8
|
|
- Betina Stan
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia z f ( x, y) =, prin proiecţia pe planul xy, nu este necesar să determinăm vectorul unitate n normal la suprafaţă. În locul acestuia este suficient vectorul normal: f f n =± grad z f ( x, y) =± i j + k x y Formula de calcul a fluxului devine: (, ) f f Φ= ( an, ) dσ = ( an, ) + + dxdy x y D xy (, ) z= f x y f f = ( a, n) dxdy =± P ( x, y, f ( x, y) ) Q( x, y, f ( x, y) ) + R( x, y, f ( x, y) ) dxdy x y D D xy z= f x y xy Exemplu: Calculaţi fluxul vectorului a = xzi mărginit de planul z = ( ) z. prin faţa externă a paraboloidului z = x y Figura 9.5 n = grad z + x + y = xi + yj + k
2 Datorită simetriei domeniului ( an, ) = x ( x y ) z= f x, y Φ= D xy x x y dxdy D xy, transformăm integrala în coordonate polare. x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ ρ : ϕ : π π π cos ( ) cos ( ) Φ= dϕ ρ ϕ ρ ρdρ = ϕdϕ ρ ρ dρ π π π cosϕ ρ ρ sinϕ π = dϕ = ϕ + π = = Proiecţia pe trei plane de coordonate Fie o suprafaţă proiectabilă în mod unic pe cele trei plane de coordonate. Notăm cu D xy, D xz şi D yz proiecţiile lui pe planele xy, xz şi yz respectiv. F x, y, z = care defineşte suprafaţa este rezolvabilă în mod unic, în fiecare Ecuaţia argument, adică există =, y = f ( x z), z = f ( x y) x f y z,,, Fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa a cărui vector unitate normal este poate fi scris astfel: n = cos α i + cos β j + cos γ k Φ= an dσ = Pxyz α + Qxyz β + Rxyz γ dσ (, ) (,, ) cos (,, ) cos (,, ) cos
3 Avem în vedere că: dσ cosα =± dydz dσ cos β =± dxdz dσ cosγ =± dxdy cu semnul fiecărei formule ales în corespondenţă cu semnul lui cosα, cos β, cosγ, pe suprafaţa, fluxul devine: (, ),,, (, ),,, (, ) Φ=± P f y z y z dydz ± Q x f x z z dxdz ± R x y f x y dxdy Dyz Dxz Dxy Exemplu: Calculaţi fluxul câmpului vectorial a = yi + zj + xk prin triunghiul din planul x + y+ z = l, l >, tăiat de planele x =, y =, z = (unghiul γ este ascuţit). n grad z + x + y l i + j + k = = grad z x y l ( + + ) Figura 9.6
4 cosα = cos β = cosγ = > Toate integralele din formula fluxului se iau cu plus. Φ= ydydz + zdxdz + xdxdy Dyz Dxz Dxy Dyz l l y l l y y l ydydz = dy ydz = y ( l y) dy = l = l = 6 Dxz l l x l Dxy ( l x) x x l zdxdz = dx zdz = dx = l x l + = 6 l l x l l x x l xdxdy = dx xdy = x ( l x) dx = l = l = 6 l l l l l Φ = + + = Fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafaţă închisă Teoremă: Dacă într-un domeniu G, componentele câmpului vectorial a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) () P sunt continue şi au derivatele parţiale x, Q y, R continue, atunci fluxul câmpului z vectorial a prin orice suprafaţă închisă, netedă pe porţiuni, din domeniul G, este egal P Q R cu integrala triplă a funcţiei + + pe domeniul V mărginit de suprafaţa : P Q R Φ= ( an, ) dσ = + + dv () V
5 Aceasta este formula Gauss-Ostrogradsky. Aici n exterioare la suprafaţa şi este vectorul unitate al normalei notează fluxul printr-o suprafaţă închisă. Exemple: a xi z k. Determinaţi fluxul vectorului = ( ) prin suprafaţa închisă: { + = = = } : x y 4, z, z prin definiţie şi cu formula Gauss-Ostrogradsky. - Cu definiţia: Φ =Φ +Φ +Φ an d z d d R Φ =, σ = σ = σ = π = 4π σ Φ = an, d = z dσ = n ( ) grad x + y 4 xi + yj xi + yj = = = grad x + y 4 4x + 4y Figura 9.7
6 (, ) σ Φ = an d = xdσ Având în vedere simetria suprafeţei, vom folosim coordonate cilindrice: x = cosϕ y = sinϕ z = z dσ = dϕdz π π Φ = dϕ 4 cos ϕdz = 4 + cos ϕ dϕ = 8π - Cu Gauss-Ostrogradsky: Φ= 4π + + 8π = 4π P Q R Φ= + + dv = ( + ) dv = dv = 4π V V V. Determinaţi fluxul vectorului r = xi + yj + zk prin sfera de rază R şi centru originea sistemului de coordonate prin definiţie şi cu formula Gauss-Ostrogradsky. Figura Cu definiţia: n este vectorul unitate normal la sferă
7 - Cu Gauss-Ostrogradsky: xi + yj + zk r n = = R R,, r rn = r = R = R= ct R R Φ= rn, dσ = R dσ = R4πR = 4πR R R P Q R 4π R Φ= + + dv = ( + + ) dv = dv = = 4π R V V V. Determinaţi fluxul vectorului a = xi yj zk prin prin suprafaţa închisă: z = 9 x y : z = > ( z ) prin definiţie şi cu formula Gauss-Ostrogradsky. - Cu definiţia: Φ =Φ +Φ Figura 9.9
8 Φ = an, dσ = zdσ = n = grad z + x + y 9 = xi + yj + k (, ) σ (, ) z= f ( x y) Φ = an d = an dxdy, D xy z= 9 x y 9 z= x y an, = 6x y z = 7x y 9 Având în vedere simetria suprafeţei, vom folosim coordonate polare: x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ ρ : ϕ : π (, ) ( 7 9 z= f x y ) Φ = an dxdy = x y dxdy, D xy π π ( 7 cos sin 9) ( 8 cos 9) = dϕ ρ ϕ ρ ϕ ρdρ = dϕ ρ ϕ ρ ρdρ D xy π 4 4 π ρ ρ ρ 8 8 = 8 cos ϕ 9 dϕ = 6 cos ϕ dϕ π = 8+ 8cos ϕ dϕ = π = π Cu Gauss-Ostrogradsky: P Q R Φ= + + dv = ( ) dv = dv V V V Având în vedere simetria suprafeţei, vom folosim coordonate cilindrice: x = ρ cosϕ y = ρ sinϕ z = z dv = ρd ρdϕdz ρ : ϕ : π z : 9 ρ
9 π 9 ρ 4 ρ ρ Φ= dϕ ρdρ dz = π ρ( 9 ρ ) dρ = π 9 = π = π 4 4 Remarcă: Când suprafaţa este deschisă, adesea este convenabil să închidem suprafaţa şi să utilizăm formula Gauss-Ostrogradsky. Exemplu: Determinaţi fluxul vectorului : x z y + =, ( y ). a = y + z i y j + yzk prin suprafaţa Figura 9. uprafaţa reprezintă un con cu axa Oy. Închidem conul cu discul din planul y =. Notaţii: Φ fluxul necunoscut Φ fluxul prin P Q R Φ +Φ = + + dv = ( y + y ) dv = V V Φ +Φ = Φ = Φ Φ = an, dσ = a, j dσ = y dσ = dσ = π Φ = Φ = π
10 9.7 Divergenţa unui câmp vectorial Considerăm câmpul vectorial al vitezelor dintr-un fluid în mişcare. Fie o suprafaţă închisă în fluid. - Dacă fluxul prin este pozitiv, aceasta sugerează că pentru spaţiul mărginit de, ieşirea de fluid este mai mare decât intrarea. punem că există surse în care generează fluid. - Dacă fluxul prin este negativ, intrarea este mai mare decât ieşirea. punem că există absorbţie în pentru fluid. În consecinţă, cantitatea: dσ () Φ= ( an, ) caracterizează natura câmpului vectorial din interiorul suprafeţei, anume prezenţa punctelor sursă şi absorbţie de câmp în interiorul lui. Conceptul de flux al unui vector printr-o suprafaţă închisă conduce la noţiunea de divergenţă a câmpului. Divergenţa unui câmp vectorial este o funcţie scalară care asociază un număr fiecărui punct din câmp. Fie M un punct dat din câmp. Închidem punctul cu o suprafaţă arbitrară, de exemplu o sferă cu o rază suficient de mică. Notăm cu (V) domeniul mărginit de şi cu V volumul acestuia. Fluxul vectorului a prin este: Considerăm raportul: dσ (4) Φ= ( an, ) ( an, ) V dσ (5) Deoarece numărătorul ne indică generarea realizată de sursele din (V), atunci raportul (5) ne indică generarea medie din unitatea de volum sau cantitatea de surse pe unitatea de volum. Definiţie: Dacă raportul (5) are limită finită atunci când (V) se reduce la punctul M, atunci această limită defineşte divergenţa câmpului vectorial a în punctul M şi se div a M : notează div a M = lim ( V) M ( an, ) V dσ (6)
11 Dacă div a ( M ) > Dacă div a ( M ) <, atunci în punctul M avem o sursă de câmp., atunci în punctul M avem un punct de absorbţie de câmp. Observaţie: Conform definiţiei, divergenţa unui câmp vectorial a în punctul M este o densitate volumică a fluxului cîmpului vectorial a în acel punct. Metodă de calcul a divergenţei în coordonate carteziene Fie câmpul vectorial: a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) (7) cu componentele funcţii continue care au derivate parţiale vecinătate a punctului M. P x, Q y, R z continue pe o Aplicăm teorema Gauss-Ostrogradsky fluxului câmpului a prin orice suprafaţă închisă din vecinătatea lui M, care conţine punctul M: P Q R ( an, ) dσ = + + dv (8) V Integralei triple din dreapta îi aplicăm teorema de medie: ubstituim această relaţie în definiţia (6): P Q R ( an, ) dσ = + + V (9) M m div a M P Q R = lim ( V) + + M M m () Când (V) se reduce la punctul M şi parţiale, avem: M m M, şi cu ipoteza de continuitate a derivatelor div a M P Q R = + + P Q R div a = + + M () ()
12 Toate cantităţile din formula () se calculează în acelaşi punct. Formula Gauss-Ostrogradsky poate fi rescrisă: ( an, ) dσ = divadv () V Reguli de calcul pentru divergenţă. Liniaritate div C a + C a + + C a = C div a + C div a + + C div a (4) n n n n unde C, C,..., C n sunt constante.. Divergenţa unui vector constant c este nulă. div c = (5). Divergenţa produsului unei funcţii scalare u ( M ) cu un vector ( M ) a : Într-adevăr, dacă div ua u div a grad u a = + (, ) a = Pi + Qj + Rk, atunci (6) div ( up) ( uq) ( ur) ua = div upi + uqj + urk = + + x y P Q R u u u = u + u + u + P + Q + R x y z x y z = udiva+ ( gradua, ) z Exemplu: Calculaţi divergenţa vectorului: a = ϕ = ϕ r () r r () r r
13 unde r = xi + yj + zk şi r r = este distanţa de la origine la un punct arbitrar M ( x y, z) ( r) ( r) ( r), ϕ ϕ ϕ div a = div r = div r + grad r r r r div r = + + =,. ( r) ( r) r ( r) ( r) ϕ ϕ ϕ ϕ grad = grad r = r r r r ϕ r rϕ r ϕ r rϕ r ϕ r ϕ r grad, r = r, r ϕ ( r) = = r r r r ϕ r ϕ r ϕ r div a = + ϕ ( r) = + ϕ r r r r Definiţie: Dacă în toate punctele unui domeniu a definit pe G, este nulă, adică: div a = atunci câmpul se numeşte solenoidal pe domeniul G. G R, divergenţa unui câmp vectorial Observaţie: În câmp solenoidal, fluxul câmpului vectorial prin orice suprafaţă închisă din câmp, este nul a, n dσ (8) = (7) Proprietăţile unui câmp solenoidal (fără surse) Fie o suprafaţă plană în câmpul vectorial a şi fie γ frontiera lui, adică γ =. Totalitatea liniilor de câmp care trec prin frontiera γ formează un tub vectorial. Considerăm o secţiune arbitrară a tubului. Normala n la este orientată în direcţia câmpului a. Teorema: Într-un câmp solenoidal a, fluxul vectorului a prin orice secţiune a unui tub vectorial este acelaşi.
14 Figura 9. Demonstraţie: Fie şi două secţiuni arbitrare, care nu se intersectează, ale aceluiaşi tub vectorial. Trebuie să arătăm că: ( a n ) dσ = ( a, n ), dσ Notăm cu suprafaţa laterală a tubului, cuprinsă între cele două secţiuni arbitrare. Cele trei suprafeţe, şi formează împreună o suprafaţă închisă = + +. Deoarece câmpul a este presupus solenoidal, avem: ( a, n ) dσ = Cu proprietatea de aditivitate a fluxului, putem scrie: ( a, n ) dσ + ( a, n ) dσ + ( a, n ) dσ = (9) Pe suprafaţa, care este formată din linii de câmp, avem suprafaţa, şi astfel ultima integrală este nulă. Deci, n a a. Atunci, (, n ) = pe ( a n ) dσ = ( a, n ), dσ
15 Fie L un contur închis, orientat, care este frontiera suprafeţei. Vom spune că L este bordul orientat al suprafeţei. Figura 9. Considerăm vectorul normal n la astfel încât să existe o legătură directă între n şi parcurgerea bordului L. Teorema : Într-un câmp solenoidal a, fluxul vectorului a prin orice suprafaţă care are acelaşi bord orientat este acelaşi, adică: ( a n ) dσ = ( a, n ), dσ Observaţie: Într-un câmp solenoidal liniile de câmp nu încep şi nu se termină în câmp. Acestea pot fi curbe închise sau deschise ce pot avea capetele pe frontiera domeniului pe care e definit câmpul. () Figura 9.
16 . Exemplu: Considerăm câmpul produs de o sarcină punctuală q plasată în originea sistemului de coordonate. Intensitatea câmpului este: q E = r r unde r = xi + yj + zk şi Pentru r avem q q div E = div r = div r r r r = r = x + y + z q q q div r div r grad, r = + r r r q q = + r, r r q q 4 = = r r r r Câmpul E este solenoidal în orice domeniu G care nu conţine punctul O (,,). Fluxul câmpului E prin sfera R de rază R şi centru punctul O (,,) este: q q q Φ= En, dσ = r, r dσ = dσ = 4πR r R R R R R Φ = 4π q Fluxul câmpului E prin orice suprafaţă închisă care conţine originea O (,,) este 4π q.
0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi
urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multMicrosoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR
Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multMicrosoft Word - C05_Traductoare de deplasare de tip transformator
Traductoare de deplasare de tip transformator Traductoare parametrice. Principiul de funcţionare: Modificarea inductivităţii mutuale a unor bobine cu întrefier variabil sau constant. Ecuaţia care exprimă
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multAnaliză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019
Analiză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019 Cuprins 1 Ecuații și sisteme diferențiale 3 1.1 Ecuații liniare de ordinul n cu coeficienți constanți.............. 3 1.2 Metoda eliminării
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multProbleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea
Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea Contents Vectori... 4 Modul de rezolvare a problemelor... 5 despre vectori... 6 Vector deplasare... 12 Vector viteza... 12 Statica...
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai mult2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multFizica fluidelor Cursul 5
Fizica fluidelor Cursul 5 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul III. Curgeri potențiale. III.1. Fluidul perfect. III.2. Teorema lui Bernoulli. III.3. Echilibrul hidrostatic. III.4.
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez
Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multPowerPoint Presentation
Calculul Aproximativ al Derivatelor Funcțiilor umerice Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mail: Levente.Czumbil@ethm.utcluj.ro WebPage: http://users.utcluj.ro/~czumbil Determinarea distribuţiei de sarcină
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multOlimpiada Națională de Astronomie şi Astrofizică Aprilie 2019 Analiza Datelor - Seniori Problema 1 - Quasar 3C273 Spectrul optic al quasarului 3C273 c
Problema - Quasar 3C273 Spectrul optic al quasarului 3C273 conține liniile spectrale ale hidrogenului. Se cunosc lungimile de undă ale hidrogenului, obținute în condiții de laborator: Hα = 656,3 nm; Hβ
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multA.E.F. - suport laborator nr.1 sem.ii Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atin
Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: termeni și concepte uzuale din analiza cu elemente finite, noțiuni
Mai multElectricitate II
Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor
Mai mult02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai mult2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Mai multMatematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I
Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multMicrosoft Word - 2 Filtre neliniare.doc
20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 3 2012/2013 Capitolul 2 n 1 0 0 377 T 0 2 1 f 1 c0 2,9979010 0 0 2 0 c 0 f 8 m s n r 0 n T 2 1 f c0 c n c 0 0 n f ITU G.692 "the allowed channel frequencies are based on a 50 GHz grid with the reference
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multSlide 1
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE CURS 2 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@et.utcluj.ro 2/46 Proiectarea
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multCuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.
Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multClustere şi impurităţi în sisteme complexe
C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods
Mai multSlide 1
VIII. Reprezentarea şi cotarea organelor de maşini 8.1 ROŢI DINŢTE Roţile dinţate sunt organe de maşini constituite de corpuri de rotaţie (cilindru, con, hiperboloid) prevăzute cu dantură exterioară sau
Mai multCURS II Modelarea scurgerii în bazine hidrografice Modelarea scurgerii lichide pe versanţii bazinului hidrografic Modalităţi de cercetare a scurgerii
CURS II Modelarea scurgerii în bazine hidrografice Modelarea scurgerii lichide pe versanţii bazinului hidrografic Modalităţi de cercetare a scurgerii pe versanţi Versanţii asigură scurgerea apei sub influenţa
Mai multPowerPoint Presentation
ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2019) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multComplemente de Fizica I Cursul 1
Complemente de Fizică I Cursul 1 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul I. Transformări de coordonate I.1. Transformări Galilei. I.2. Spațiul E 3 al vectorilor tridimensionali.
Mai multLUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,
Mai multENVI_2018_matematica_si_stiinte_Test_1_Caietul_elevului_Limba_romana
EVALUAREA NAŢIONALĂ LA FINALUL CLASEI a VI-a Anul școlar 2017-2018 Matematică şi Ştiinţe ale naturii TEST 1 Judeţul/sectorul... Localitatea... Unitatea de învățământ... Numele şi prenumele elevei/elevului......
Mai multCapitole de Matematici Speciale Codruţa Chiş
Capitole de Matematici Speciale Codruţa Chiş ii Capitole de Matematici Speciale Cuprins Ecuaţii diferenţiale. Introducere în ecuaţii diferenţiale...........2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I...........
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai mult1 2 1
1 2 1 3 PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MA- TEMATICĂ 3.1 SPAŢIU PROBABILISTIC, DEFINIŢII, PROPRIE- TĂŢI Teoria probabilităţilor este analiza matematică a noţiunii de experienţă aleatoare (sau aleatorie, întâmplătoare,
Mai multMicrosoft Word - L25Ro_Studiul efectului Hall_f_RF
STUDIUL EFECTULUI ALL 1. Scopul lucrării Obiectivul acestei lucrări este: punerea în evidenţă a efectului all pentru un semiconductor intrinsec, măsurarea tensiunii all, determinarea constantei all, a
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multMicrosoft PowerPoint - 20x_.ppt
Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Facultatea de Inginerie Chimică şi Protecţia Mediului Ingineria proceselor chimice şi biologice/20 Titular disciplină: Prof.dr.ing. Maria Gavrilescu Catedra
Mai mult