Microsoft Word - anmatcap1_3.doc

Transcriere

1 . IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral al irului. U ir de elemete ale uei mulimi E este o fucie defiit pe mulimea cu valori î mulime E... Defii ie:u ir ( a ) îcât, petru orice, a M... Defii ie:u ir ( a ) se ume te m rgiit dac eist u um rreal M > astfel se ume te: mooto cresc tor dac petru orice avem: a a +, i.e. fiecare terme al irului este mai mic decât urm torul, respectiv mooto descresc tor dac petru orice avem: a a +, i.e. fiecare terme este mai mare decât urm torul... Defii ie:u sub ir al uui ir ( a ) < <... < <... p este u ir ( a p )..4 U um r a (fiit sau ifiit) se ume te limita uui ir ( a ) dac oric rei veci t ivalui a se afl cel mult u um r fiit de termei ai irului ( a ). p astfel îcât î afara irurile de umere reale care au limit fiit se umesc iruri covergete. irurile care u sut covergete se umesc divergete...5 Teorem : U ir ( a ) este coverget c tre um rul real a dac i umai dac petru orice ε > eist u um r ε astfel îcât oricare ar fi ε avem: a a < ε. CRITERII DE CONVERGEN.. Dac α este u ir coverget c tre i a a α coverge c tre a... Dac α i a α, atuci a... Dac α i a α, atuci a...4 Dac a iar b < M petru orice, atuci ab.. PROPRIET I a <, atuci irul.. Dac a a atuci a a.. Orice ir coverget este m rgiit... Dac a a atuci orice sub ir al lui ( a ) are tot limita a...4 Lema lui Cesaro: Orice ir m rgiit coie u sub ir coverget...5 Dac a a atuci: pri schimbarea ordiii termeilor, pri îl turarea sau ad ugarea uui um r fiit de termei se obie u ir care are tot limita a.

2 Capitolul : iruri de umere cu proprietatea: petru orice ε > eist u um r N ε astfel îcât oricare ar fi m, N ε avem: a am < ε...6 Defii ie:se ume te ir Cauch sau ir fudametal u ir ( a )..7 Criteriul de coverge Cauch: U ir ( a ) este coverget dac i umai dac este fudametal..4. Teorem : Orice ir mooto im rgiit este coverget. Orice ir em rgiit i mooto este diverget. Observaie: Reciproca teoremei.5. u este adev rat (a se vedea proprietatea..) a, b care îdepliesc.4. Criteriul de coverge Cesaro-Stolz: Fie irurile codiiile: i. irul b ii. lim b b Atuci a lim b l a a este cresc tor iem rgiit l (fiit).4. Criteriul de coverge D Alembert: Dac irul ( a ) a a eist lim, atuci: lim a lim. a a.5 EXERCI II REZOLVATE are toi termeii pozitivi i.5. S se arate c urm toarele iruri sut covergete is se calculeze limita lor: a. a + b a Rezolvare:a.Vomar ta c irul este mooto im rgiit. Avem: a a >, ( ) de ude rezult a > a,deci irul este mooto cresc tor. irul este m rgiit (vezi..) petru c a > petru orice i a < petru orice,deci < a <. Atuci, coform.5., irul este coverget fiid mooto i m rgiit. Petru calculul limitei avem: lim a lim lim þ lim + + petru c b. Se tie c lim. ( + ) ,deci a.vomar ta c irul este mooto im rgiit: 6

3 Capitolul : iruri de umere ( ) a + + ( + ) < a de ude rezult a < a,deci irul este mooto descresc tor. Se observ u or c < a <,deci irul este m rgiit. Atuci, coform.5., irul este coverget i: þ + + lim a lim lim.5. S se arate folosid teorema.6. c : lim a. b. lim + Rezolvare: a. Se observ c : ( + )( + + ) ( + ) ( + ) < < Fie ε >. Iegalitatea ε +, atuci 4ε obiem: lim. < ε este echivalet cu <. Pri urmare, dac 4ε < ε icuatâtmaimult < ε, deci coform..5 b. Fie ε >. Iegalitatea a a < ε devie: < ε + + Dar, petru orice +,avem: ε ε > > + de ude, petru orice ε +,obiem: < ε,deci lim coform..5. ε S se arate folosid defiiia limitei c : Rezolvare: a. irul b. irul ( a ) a,cu + a u are limita.,cu a ( ) + u are limit. a. Fie ε.dac irul ε s avem: a + ar avea limita, eist ε astfel îcât petru orice 7

4 Capitolul : iruri de umere < < + < + < 5 5 < 5< Di prima iegalitae obiem ceea ce cotrazice presupuerea c limita irului este. De fapt limita irului cosiderat este. b. S presupuem c irul a + este coverget. Atuci, coform.4, irul cosiderat este ir Cauch, deci petru orice ε > eist ε astfel îcât petr orice m, ε s avem: a am < ε. Fie atuci ε i m, suficiet de mari, cu par i m impar. Atuci: m a am ( ) + ( ) m m ( ) ( ) m cotradicie, deci irul cosiderat u este ir Cauch, pri urmare u poate fi ici coverget..5.4 S se arate c irurile de mai jos sut iruri Cauch: a. u a + aq + aq aq, ude q < ieist M > astfel îcât ak M b. u Rezolvare: a. Avem: p u p u a q + a q + a pq deci: p (*) u p u a q + a q + a p q (coform iegalit ii a+ b a + b ). Dar ak M iatucirelaia (*) devie: p (**) u p u a q + a q a p q p p q M q ( + q q ) M q M q q q p deoarece + q q este suma uei progresii geometrice de raie q cu p termei i M q <.Am obiut a adar: u p u < q.fie ε > ;cum q <,eist ε astfel q îcât, petru orice, devie: ε ceea ce îseam c irul ( u ) q q < M ε. Atuci, petru orice ε iorice p,relaia (**) u p u < ε este u ir Cauch..5.5 S se demostreze folosid criteriul lui Cauch c irul a este diverget.

5 Capitolul : iruri de umere Rezolavare:Fie, p.avem: Luâd p relaia devie: Cum k a p a p a a petru orice k {,,..., },obiem: a a Am obiut a adar c petru orice eist p astfel îcât a p a ceea ce îseam c ( a ) u este ir Cauch. Observaie: Cum irul a u este ir Cauch, u este ici coverget (acest fapt va folosi petru a demostra divergea seriei armoice )..5.6 S se arate, folosid teorema de coverge cu ε (..5), c irul a. are limita Rezolvare:Fie ε >. Iegalitatea * <ε se mai poate scrie: + < ε < ε < ε + < ε Atuci luâd ε + +,petruorice, ε, iegalitatea (*) este satisf cut,deci ε coform..5 limita irului a este. Observaie: Num rul ε arat c î afara veci t ii ( a ε a+ ε), se afl cel mult ε termei ai irului cosiderat. De eemplu, î eerciiul aterior, dac lu m ε., atuci î afara veci t ii.,. se g sesc cel mult ε. + + ditre primii termei ai ( + ) restul termeilor g sidu-se î veci tatea ( + ).,.. irului,.5.7 Fie a, a >. S se studieze covergea irului ( ) a a,. defiit pri 9

6 Capitolul : iruri de umere Rezolare:Dac a, atuci irul ( ) Dac a > atuci: este irul costat a a >, a a a a a a a, de ude: a ( ) a a a >, deci coverget c tre. deci >. Vom demostra pri iducie complet dup c > petruu orice. Petru proprietatea a fost verificat. Presupuem relaia adev rat petru, >. Atuci: Cum + > i >, obiem + >, deci >. Coform pricipiului iduciei complete relaia > este adev rat petru orice, deci irul este mooto cresc tor. Acum, a <, deci a a < a. Presupuem c < a. Atuci a a + < a a. Coform pricipiului iduciei complete, am obiut a adar c petru orice. Am demostrat a dar c irul este u ir mooto cresc tor im rgiit superior, deci coform.5. este coverget. Fie lim. Atuci: lim lim a lim lim lim a de ude obiem c a. Î mod aalog se trateaz i cazul < a<, petru care vom obiedeasemeeac irul este coverget (fiid mooto descresc tor im rgiit iferior) i are limita..5.8 S se studieze covergea irului: a þ þ þ a... Rezolvare: Avem: ( )( ) a irul obiut, a, este coverget i are limita..5.9 S se calculeze: p + p p p + lim < a

7 Capitolul : iruri de umere p p p Rezolvare: Fie a i b + p. irul ( b ) este cresc tor iem rgiit, deci, a a coform criteriului de coverge Cesaro-Stolz (.5.), dac eist lim i este fiit, b b a a a atuci lim lim.avem: b b b deci a lim p ( ) p + p ( p + p p ) p+ p+ a lim b b + p p p p ( ( + ) ) lim lim lim p+ p+ p+ p+ p k k p+ p k k p C p+ ( Cp+ ) ( Cp+ ) k k p p p lim. p+ p +.5. S se calculeze: i. lim! ii. lim Rezolvare: i. Fie a. irul ( a ) are umai termei pozitivi i atuci, coform.5., obiem: a lim a lim lim a ii. Fie a þ deoarece lim + e.!. irul ( a ) ( ) are umai termei pozitivi i atuci, coform.5., obiem:!! lim lim lim a lim a! þ lim lim a! e.5. Fie a,b umere reale strict pozitive cu a>b>. Defiim recursiv irurile a + b ab ( a),( b) astfel: a a, b b, a, b. S se arate c a + b irurile sut covergete is se calculeze limita lor. a+ b a+ b b a Rezolvare: Avem: a a a a <,petruc a>b. ( b) a b ab ab b b a b b b b >,petruc a>b a + b a+ b a+ b a+ b i a,b>.

8 Capitolul : iruri de umere ( a + b ) a a + b a + b >, petru c a,b>. Am obiut a adar c b a b 4a b < b < b < a < a. Presupuem c < b < b< a< a. Atuci: < b < a i a + b b a a a a < petru c b < a ab ab ab b b ( a b) b b b b > a + b a + b a + b a + b a + b a b ( a b ) a b > a + b a + b petru, deci < b < b < a < a. Atuci, coform pricipiului iduciei complete, am obiut c < b b<... < b < b < a < a <... < a a petru orice. Cu alte cuvite am obiut c : irul ( a ) este u ir descresc tor imrgiit iferior (de b) iar irul ( b ) cresc tor imrgii superior ( de a). Atuci, coform.5., irurile ( a ) covergete. Fie α lim a i β lim b.obiem: este u i ( b ) a + b lim a lim a α lim α lim a + lim b α α + β α β i deasemeea avem ab a + b a b a b a + b a b ab... ab ab c ir sut petru orice, deci de ude: αβ lim a lim b lim ab ab, icum α β >,obiem lim a lim b ab..6 EXERCI II PROPUSE: S se arate c urm toarele iruri sut covergete is se calculeze limitele lor: a l Idicaie: Se folose te criteriul de coverge Cesaro Stolz. R:.6. a Idicaie: Se folose te criteriul lui D'Alembert. R:.6. a R: a ( R: ).6.5 a ( )( )...( ) R:

9 Capitolul : iruri de umere a R: 4 Folosid criteriul de coverge Cauch, s se demostreze covergea irurilor: si.6.7 si si u u... cos cos cos S se calculeze:.6.9 lim R: l l( ) l( R: ) lim lim R:.6. lim! R:.6. lim ( )( )...( ) R: 4 e

10 . SERII DE NUMERE ( ) Defii ie:se ume te serie de umere reale perechea ( u ), ( s ) ude ( u ) ( s ) iruri de umere reale iar s u s u + u... s u + u u Termeii irului ( u ) par iale. Dac Dac eist u lim s se umesc termeii seriei iar irul ( s ) lim s, atuci vom defii lim s u eist, atuci seria se ume te oscilat., sut se ume te irul sumelor O serie se ume te coverget dac irul sumelor par iale este coverget, i.e. lim s eist ieste fiit. Î acest caz, u lim s se ume te suma seriei. Dac lim s ±, spuem c seria este diverget. Observaie: Se obiuiete ca seria (( u), ( s) ) s se defieasc pri ota ia u.. Proprietþi geerale:.. Dac îtr-o serie schimb m ordiea uui um r fiit de termei, se ob ie o ou serie de aceeai atur cu seria ii ial ;Dac seria ii ial are sum, atuci seria ob iut are aceeai sum... Dac la o serie coveget ad ug m sau îl tur m u um r fiit de termei se ob ie de asemeea o serie coverget,dar,îgeeral,cualt sum... Dac o serie este coverget, atuci irul sumelor par iale este m rgiit (reciproca u este adev rat )...4 Dac termeii uei serii sut pozitivi iar irul sumelor par iale este m rgiit, atuci seria este coverget. ( )..5 Defiiie: Se umete rest de ordi p al uei serii covergete ( u ) ( s ) defiit pri: R p p+..6 Resturile uei serii covergete formeaz u ir coverget c tre. ( )..7 Dac ( u ), ( s ) este o serie coverget, atuci irul u, irul u al termeilor s i este coverget c tre. (Aceastaesteocodiie ecesar, darui suficiet de coverge )..8 Seriile avâd ca termei irurile u atur. respectiv ( α ) u, ude α *, au aceeai

11 Capitolul : Fucii reale de o variabilþ realþ. CRITERII DE CONVERGEN PENTRU SERII CU TERMENI OARECARE: ( ).. Criteriul geeral al lui Cauch: Oserie ( u ) ( s ), este coverget dac i umai dac petru orice ε > eist u um r N ε astfel îcât petru orice N ε i orice p u + u u < ε p.. Criteriului lui Abel: Fie ( u), ( s) o serie cu proprietatea c irul sumelor par iale este m rgiit i s α u ir descresc tor de umere reale pozitive, coverget c tre. Atuci seria αu este coverget.. CRITERII DECONVERGEN PENTRU SERII ALTERNATE.. Defiiie: Se umete serie alterat o serie de umere reale petru care produsul a doi termei cosecutivi este egativ... Criteriul lui Abel: Fie ( u ) u ir descretor de umere reale pozitive, coverget c tre. Atuci seria ( ) u este coverget..4 CRITERII DE CONVERGENþ ABSOLUTþ.4. Defii ie:seria u se umete absolut coverget dac seria u este coverget.o serie coverget care u este absolut coverget se umete serie semicoverget..4. Teorem : Dac îtr-o serie absolut coverget se schimb ordiea termeilor, se ob ie tot o serie absolut coverget cu aceeai sum..4. Teorem (Riema): Îtr-o serie semicoverget se poate schimba ordiea termeilor astfel îcât seria astfel ob iut s aibe ca sum u um r real, fiit sau ifiit, diferit de suma seriei ii iale, sau ca seria s fie oscilat..4.4 Criteriul compara iei: Fie u, v dou serii petru care eist u um r atural N astfel îcât u v petru orice >N. Atuci dac seria v coverget,seria u este absolut coverget..5 CRITERII DE CONVERGENþ PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI al este absolut Observaie: O serie cu termei pozitivi poate fi coverget sau diverget,cusuma.petruoserie cu termei pozitivi proprietatea de coverge este echivalet cu proprietatea de absolut coverge..5. Primul criteriu al compara iei: Fie u, v dou serii cu termei pozitivi petru care eist u um r atural N astfel îcât u v petru orice >N. Atuci: a. dac seria v este coverget, atuci seria u este coverget b. dac seria u este diverget,atuci seria v este diverget.5. Al doilea criteriu al compara iei: Fie u, v dou serii cu termei pozitivi petru care eist u um r atural N astfel îcât u v u v 5

12 Capitolul : Fuc ii reale de o variabil real petru orice >N. Atuci: a. dac seria v este coverget, atuci seria u este coverget b. dac seria u este diverget,atuci seria v este diverget.5. Al treilea criteriu al compara iei: Fie u, v dou serii cu termei pozitivi astfel îcât u lim v a. dac < k <, atuci cele dou serii au aceeai atur b. dac k iar seria v este coverget, atuci seria u este coverget c. dac k iar seria v este diverget, atuci seria u este diverget Observaie: Aceste criterii e ofer posibilitatea de a stabili atura uei serii cu termei pozitivi comparâd-o cu o alt serie a c rei atur o cuoatem. De obicei, petru compara ie se folosete seria geometric sau seria (seria armoic geeralizat ). α Observaie: Seria armoic geeralizat este: coverget dac α > i diverget dac α. α Observaie: Seria este coverget iaresumae (umrul lui Euler).!.5.4 Criteriul rdciii (al lui Cauch): Fie u o serie cu termei pozitivi. a. Dac eist u umr atural N i u umr <k< astfel îcât petru orice N s avem u k, atuci seria este coverget b. Dac u petru o ifiitate de termei, atuci seria este diverget Corolar: Dac petru seria u cu termei pozitivi eist lim u k, atuci aceast serie coverge dac k < idivergedac k >..5.5 Criteriul raportului (al lui D'Alembert): Fie u o serie cu termei pozitivi. a. Dac eist u umr atural N i u umr <k< astfel îcât petru orice N s avem u k u b. Dac eist u umr atural N astfel îcât petru orice N s avem u u atuci seria este diverget. Corolar: Dac petru seria u cu termei pozitivi eist u lim k, atuci aceast serie u coverge dac k < idivergedac k >..5.6 Criteriul Raabe-Duhamel: Fie u o serie cu termei pozitivi. a. Dac eist u umr k > i u umr atural N astfel îcât u ( u + ) k k petru orice N, atuci seria este coverget. b. Dac eist u umr atural N astfel îcât 6

13 u ( ) < u + petru orice N, atuci seria este diverget. Corolar: Dac petru seria cu termei pozitivi u u lim ( ) λ Capitolul : Fucii reale de o variabil real u eist atuci seria coverge dac λ > idivergedac λ <..5.7 Criteriul logaritmic: Fie u o serie cu termei pozitivi. a. Dac eist u umr atural N astfel îcât petru orice N log u log > atuci seria este coverget. b. Dac eist u umr atural N astfel îcât petru oirice N log u log < atuci seria este diverget. Corolar: Dac petru seria cu termei pozitivi eist log u lim λ log atuci aceast serie coverge dac λ > idivergedac λ <..6 EXERCI II REZOLVATE.6. S se studieze coverge aseriei calculâd suma ei. Rezolvare: Termeul geeral al sumei este: u + + u ( )( + ) Atuci irul sumelor par iale se mai poate scrie: s k k k + k k k Coform defii iei, seria data este coverget dac irul sumelor par iale este coverget iareca sum limita acestui ir, dac aceasta eist. Avem: lim s lim + de ude ob iem c seria u este coverget iaresuma. 7

14 Capitolul : Fucii reale de o variabil real.6. S se calculeze suma seriei: ( )( ) Rezolvare: Termeul geeral al seriei este: u Ne prpuem s scriem termeul geeral al seriei ca o sum de frac ii simple, i.e.: A B C u + + Ob iem: A B C A( )( ) + B( ) + C( ) + + ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) ( )( ) A B C A B C A B C Pri trecere la idetificarea coeficie ilor ob iem sistemul: A+ B+ C A+ B+ C A+ B+ C cu solu ia A, B, C.Aadar termeul geeral al seriei se mai poate scrie: u + irul sumelor par iale devie: + s uk + + k k k k + k Cum suma seriei este egal cu limita irului sumelor par iale, ob iem: + lim s lim S se calculeze suma seriei: Rezolvare: Se observ c termeii geerali ai seriei sut termeii uei progresii geometrice al crei prim terme este u ra ia q. Pri urmare, irul sumelor par iale este: adic: de ude ob iem: q s u uq uq uq u q s 4 8

15 Capitolul : Fucii reale de o variabil real 4 4 lim s lim.6.4 S se calculeze suma seriei: Reozolvare:! Coform observa iei,.5., seria este coverget! i e.vomscrie! termeul geeral al seriei î raport de termeul geeral al seriei!. Avem, petru >:! + a + b + a + a+ b de ude, pri idetificarea coeficie ilor, ob iem: a, + a+ b,deci a, b. Atuci termeul geeral al seriei devie: ( )( ) ( ) !!!!!!! irul sumelor par iale se mai poate scrie a adar: s + + k! k! k! k k k i cum suma seriei este egal cu limita irului sumelor par iale, avem: s + + 5e!!!! lim ( ) ( ) Stabilii atura seriilor:.6.5 Rezolvare: Am demostrat la.5. c lim este: lim lim. Atuci limita irului termeului geeral al seriei deci seria u este coverget, coform..7 ( irul termeului geeral u coverge la )..6.6 l Rezolvare: Suma par ial a acestei serii este: k + s l ( l( k + ) l( k) ) l( ) l l( ) k k k Cum lim s lim l ( ),obiem c seria l este diverget iaresuma. Observaie: irul termeilor acestei serii, u l, coverege la, ( lim l ), cu toate c seria este diverget. Acest fapt demostreaz c proprietatea..7 u este i o codi ie suficiet de coverge petru serii. 9

16 Capitolul : Fucii reale de o variabil real.6.7 l Rezolvare: Deoarece petru orice * avem l <,obiem de asemeea l <, ideci: > petru orice. l Coform eerci iului.6., seria este diverget. Di primul criteriu al compara iei.5. ob iem atuci c seria este diverget. l Rezolvare: Cum + petru orice,obiem c: < <. Cum seria cu termeul + geeral v este coverget (este o serie gemetric cu ra ia q subuitar) iseriadat are termeii pozitivi, di primul criteriu al compara iei.5. ob iem c seria cu termeul geeral u este de asemeea coverget ( ) Rezolvare: Vom folosi crieteriul al treilea al compara iei,.5., î care: u, v Coform observa iei,.5., seria este coverget petru α >, deci seria care are ca terme α geeral v este coverget. Avem: u ( ) lim lim lim v + Cum limita este fiit, coform criteiului al treilea al compara iei, cele dou serii au aceea iatur, pri urmare iseria este coverget , a a > Rezolvare: Folosid corolarul criteriului rdciii,.5.4, se ob ie: lim lim + u a a

17 Capitolul : Fucii reale de o variabil real i deci seria este diverget dac a > i coverget dac < a<.petrua criteriul rdciii u precizeaz atura seriei, deci va trebui s determim atura seriei î acest caz pri alte metode. Fie a adar a. Termeul geeral al seriei devie î acest caz: ideci u lim lim u lim + lim + e e Cum limita irului termeului geeral al seriei este diferit de zero, coform observa iei..7 seria este diverget i î acest caz Rezolvare: Î acest caz este comod de aplicat criteriu rdciii,.5.4, iobiem: + u + u + lim u lim < i deci seria este coverget..6.! Rezolvare: Aplicâd criteriul raportului,.5.5, se ob ie:! u ( )! u ( + ) lim lim lim lim u! e + Dar e <, deci, coform criteriului mai sus amitit, seria este coverget..6. a, + 5 a > Rezolvare: Vom folosi criteriul raportului,.5.5. Avem: ideci: a u > + 5

18 Capitolul : Fucii reale de o variabil real 5 + u 5 a + 5 a lim lim lim a u + 5 a Petru a <, deci petru a 5 5 <, seria este coverget, iar petru a >, deci petru a> 5, seria este 5 diverget, coform criteriului raportului. Petru a5, criteriul raportului u e poate preciza atura seriei. Petru a stabili totu iaturaserieidate i î acest caz putem folosi ua di urmtoarele metode: - proprietatea..7, ude 5 lim lim lim u deci termeul geeral al seriei u coverge la, ceea ce îseama c seria este diveget î acest caz - criteriul Raabe-Duhamel, petru care u lim lim lim u ( + ) 5( + 5 ) ( 5) lim lim ( + ) i cum aceast limit este subuitar, seria este diverget..6.4!, λ > ( λ+ )( λ + )...( λ+ ) Rezolvare: Aplicâd criteriul lui D'Alembert ob iem: u! λ + λ +... λ+ > ( )! ( λ )( λ )...( λ )...! u lim lim lim u λ+ λ+ λ+ λ+ ceea ce îseam c acest criterii u e poate da iforma ii asupra aturii seriei. Aplicm criteriul Raabe-Duhamel iobiem: u λ+ λ lim lim lim λ u Pri urmare, dac λ >, seria este coverget, iar petru < λ < seria este diverget.dac λ, termeul geeral al seriei devie:! u... deci am ob iut seria,careestediverget (vezi.5. observa ii) a, a >

19 Capitolul : Fucii reale de o variabil real Rezolvare: Aplicâd criteriul Raabe-Duhamel se ajuge la calcule complicate. Putem aplica criteriul logaritmic: u a > l l l a u a lim lim lim l alim la l l l l (aplicâd evetual criteriul Cesaro-Stolz petru determiarea limitei lim ). l Pri urmare, dac l a l >,adic > e a<, seria este coverget, iardac a a e l a <, adic a >, seria este diverget. Dac a criteriul logaritmic u e poate da iforma ii asupra e e aturii seriei..6.6 a l, a > Rezolvare: Se aplic criteriul logaritmic,.6.5.ob iem: l a u > l l a a u l l l l a l lim lim lim lim la l l l l Pri urmare, dac l a >,adic a > e, seria este coverget. Petru l a<,adic petru a< e, seria este diverget. Dac ae, atuci criteriul logaritmic u e poate da iforma ii despre atura seriei. Dac ae, atuci termeul geeral al seriei devie: l e u ob iâdu-se seria, serie diverget..6.7 S se studieze atura seriei: ( ) Rezolvare: Seria este coverget, petru c termeul geeral v este o progresie geometric cu ra ia subuitar. Cum termeul geeral al seriei date are proprietatea u,obiem a adar c aceasta este absolut coverget..6.8 S se studieze coverge a seriei: + +

20 Capitolul : Fucii reale de o variabil real Rezolvare: Petru a verifica dac seria dat este coverget vom aplica criteriul lui Abel,... cu termeul geeral a este descresctor petru c: a a < + + ideasemeea lim. + Pri urmare, coform criteriului lui Leibiz, seria cu termeul geeral ( ) u + coverget. Petru a verifica dac seria este absolut coverget, vom aplica criteriul compara iei,.5., ude: u + + v Ob iem: u lim lim + lim v + deci cele dou serii au aceea iatur. Cumseria este diverget, obiem c iseria + este diverget, deci seria dat u este absolut coverget..7 EXERCI II PROPUSE:.7. S se stabileasc atura urmtoarelor serii iscalculeze suma lor irul este a. 6 8 b. c. d. ( α )( α ) ( )( + ) + + 5, ude α este u umr real diferit de orice îtreg egativ R :, 4 coverget R : + α coverget R : + coverget 5 R : 6 coverget 4

21 Capitolul : Fucii reale de o variabil real + Idica ie: Se va scrie +, i pri urmare seria dat estesumaadou progresii geometrice de ra ie 5 i 5.7. S se stabileasc atura urmtoarelor serii: 7 R: coverget a. + 5 R: coverget b. + R: diverget c. 7 + R: coverget d. R: coverget e. Idica ie: se va folosi iegalitatea: < < f., + a ( ) ( ) a > Idica ie: se va compara cu seria, folosid al treilea criteriu al compara iei. R: coverget.7. S se stabileasc atura seriilor urmtoare aplicâd criteriul raportului i criteriul rdciii: a a.,! a > + a b.,! c.!! d. e. f. a > Idica ie: R: coverget R: coverget R: coverget R: coverget R: coverget R: coverget 5

22 Capitolul : Fucii reale de o variabil real g. lg h. 5 ( + 7) R: coverget R: coverget.7.4 S se stabileascatura seriilor urmtoareaplicâd criteriul Raabe-Duhamel: a. b. c. ( ) ( ) R: diverget a! R: coverget petru a< e a >, diverget petru a e! ( + )...( α + ) α α, α >.7.5 S se stabileasc atura seriilor urmtoare: R: coverget petru α > diverget petru < α a. b. c. ( ) ( ) ( ) ( ) a α ( ) ude α este u umr real diferit de orice îtreg egativ R: semicoverget R:absolut coverget petru α >. semicoverget petru α < R: diverget.7.6 S se studieze coverge a seriei: e e... e, a > Idica ie: Se aplic criteriul lui D Alembert i criteriul al doilea al compara iei. 6

23 . FUNC II REALE DE O VARIABIL REAL. LIMITE DE FUNC II Fie A, A) i f : A o fuc ie de variabil real. (umr fiit sau ifiit) u puct de acumulare al mul imii A (u eaprat.. Defiiie: Vom spue c l (fiit sau ifiit) este limita fuciei f î puctul relativ la mulimea A dac petru orice ir de umere reale ( ) ( f ( )) al valorilor fuciei are limita l. Vom scrie atuci: lim f ( ) l sau lim, A di A,,cu lim, irul f l Petru defiiia.. sut echivalete afirmaiile:.. a. Num rul l (fiit sau ifiit) este limita fuciei f î puctul relativ la mulimea A dac i umai dac petru orice veci tate V alui l eist veci tatea U alui, depizâd de V,astfel îcât petru orice A U,,avem f ( ) V. b. Dac i l sut fiite, atuci l este limita fuciei f î puctul relativ la mulimea A dac i umai dac petru orice um r ε > eist δ > astfel îcât petru orice A <δε,,,avem c. Dac f l < ε. este fiit i l +, atuci f ( ) ε lim dac i umai dac petru orice um r M > eist δ M > astfel îcât petru orice A < δ M f > M. d. Dac i l este fiit, atuci lim l dac i umai dac, petru orice um r ε > eist δ ε > astfel îcât petru orice A >δε,, avem.. Operaii cu limite de fucii: Fie f, g : A i mul imea A. Dac eist lim f ( ) l i lim g( ),, avem f l < ε. l, fiite sau ifiite, atuci: u puct de acumulare petru a. dac l+ l are ses, fuc ia sum f + g are limit î puctul i avem: lim f + g l + l b. dac l l are ses, fuc ia produs f g are limit î puctul i avem: lim f g l l c. dac g( ) pe o veci tate a lui { A g( ) } f : are limit î puctul i avem: g f lim g ( ) l l l i dac l are ses, atuci fuc ia

24 49 d. dac α, atuci fuc ia α f : A are limit î puctul i avem: lim α f α l..4 Criterii de eiste a limitelor de fucii: Capitolul 4 Serii de fucii a. dac f ( ) l g( ) petru orice A i lim g( ), atuci lim b. dac f ( ) h( ) petru orice A c. dac eist M > astfel îcât i lim g( ), atuci lim ( f g)( ) i lim h( ), atuci lim f ( ) f l f M petru orice A (i.e. f este m rgiit pe A) d. Criteriul lui Cauch: Fuc ia f : A are limit î puctul de acumulare fiit al lui A dac i umai dac petru orice ε > eist ovecitate V alui astfel îcât petru orice V A f ' f '' < ε. ', '', ' '' avem..5 Î aplica ii se folosesc des urm toarele limite: si( a) a tg ( a) a. lim, lim b b b þ aþ a b. lim + e, lim + e, dac a > lim a, dac < a< c., dac a > lim a, dac < a <. CONTINUITATEA FUNC IILOR DE O VARIABIL REAL.. Defiiie: Spuem c fuc ia f este cotiu î puctul de acumulare orice ir ( ) A coverget la avem lim f ( ) f ( ) A dac petru Urmtoarele defii ii sut echivalete cu defii ia dat mai sus cotiuit ii uei fuc ii îtr-u puct: a. Petru orice vecitate U alui f ( ) eist ovecitate V alui astfel îcât petru orice V A avem f ( ) U. b. Petru orice ε > eist δ ε > astfel îcât petru orice A, cu <δε avem f f < ε... Defiiie: Spuem c fuc ia f : A este cotiu la stâga (respectiv la dreapta) î A dac petru orice ir ( ) A, ( respectiv ), cu lim, avem lim f ( ) f ( ) (se mai poate scrie: lim f ( ) f ( ), >, < (respectiv lim f f ),i.e.limita lateral la stâga (respectiv la dreapta) ale fuc iei f î puctul eist iesteegal cu f ( ).

25 Capitolul 4 Serii de fucii.. Propoziie: Fucia f : A este cotiu î A dac i umai dac este cotiu la stâga i la dreapta î...4 Defiiie: U puct A se ume te puct de discotiuitate aluif dac f u ste cotiu î. U puct de discotiuitate petru fucia f se ume te puct de discotiuitate de spea Idac limitele laterale al fuc iei f î puctul eist, sut fiite, dar u sut egale. U puct de discotiuitate petru fuc ia f se ume te puct de discotiuitate de spea a II-a dac u este de spe ai...5 Defiiie: Fie I u iterval i f : I o fuc ie. Spuem c fuc ia f are proprietatea lui Darbou pe itervalul I dac petru orice ab, I, a b i petru orice, f ( a) λ f ( b) eist c ( a, b) astfel îcât λ λ f c λ λ...6 Propoziie: Orice fuc ie cotiu f : I are proprietatea lui Darbou. (Reciproca u este adev rat ).. UNIFORM CONTINUITATEA FUNC IILOR DE O VARIABIL REAL.. Defiiie: Fie I u iterval i f : I. Spuem c f este uiform cotiu pe I dac petru orice ε > eist δ ε > astfel îcât petru orice ', '' I cu ' '' <δε s avem f ' f '' < ε... Propoziie: Orice fuc ie uiform cotiu este cotiu.(reciprocauesteadev rat ).4 DERIVABILITATEA FUNC IILOR DE O VARIABIL REAL.4. Defiiie: Fie I u iterval, f : I i I.Dac eist i este fiit f ( ) f ( ) lim vom spue c fuc ia f este derivabil î puctul.vomota: lim i o vom umi derivata fuc iei f î. Limitele ( ) ' d f ( ) ' s f lim, > lim, < f f f f f f f' ( ) dac eist, seumesc respectiv derivata la dreapta i derivata la stâga a fuc iei f î puctul..4. Propoziie: Fucia f : I este derivabil î dac i umai dac are derivate laterale egale î..4. Teorema lui Rolle: Fie fucia f : I, ab, I, a< b.dac : i. f este cotiu pe [ ab, ]. ii. f este derivabil pe ( ab, ) iii. f ( a) f ( b) 5

26 Capitolul 4 Serii de fucii atuci eist cel pui u puct c ( a, b) astfel îcât f' c..4.4 Teorema lui Lagrage: Fie fucia f : I, ab, I, a< b.dac : i. f este cotiu pe [ ab, ]. ii. f este derivabil pe ( ab, ) atuci eist cel pui u puct c ( a b), astfel îcât f ( a) f b b a f'.4.5 Cosecie: Dac f' ( ) > (respectiv ' (respectiv descresc toare) pe acest iterval. ( c).4.6 Teorema lui Cauch: Fie f, g : I, a, b I.Dac : f < )peitervaluli, atuci f este cresc toare i. f i g sut cotiue pe [ ab, ] ii. f i g sut derivabile pe ( ab, ) iii. g( ) petru orice ( a, b), atuci eist cel pui u puct c ( a b) f ( b) f ( a) f' ( c) g( b) g( a) g' ( c).4.7 Regulile lui l Hospital :. Fie f, g : I, c I.Dac : i. f ( c) g( c) ii. f i g sut derivabile î c iii. g' ( c) f ( ) f ( c) atuci lim ' c g g' c. Fie f, g : I \{ c}, ude c este u puct de acumulare petru I. Dac : i. lim f ( ) lim g( ) atuci lim c c c ii. f i g sut derivabile pe I\ { c} iii. g' ( ) petru I\ { c} f' ( ) iv. lim l c g ' ( ) f ( ) l g( ). Fie f, g : I\ { c}, ude c este u puct de acumulare petru I. Dac : i. lim g( ) + c ii. f i g sut derivabile pe I\ { c} iii. g' ( ) petru I\ { c} f' ( ) iv. lim l c g ' ( ), astfel îcât 5

27 f atuci lim c g l Capitolul 4 Serii de fucii.4.8 Observaii: i.fie f, g : I\ { c} astfel îcât lim f ( ) i lim g( ) F f g.dac vom scrie l Hospital (. sau.) f g I c c c f g F vom obie uul di cazurile î care se poate aplica regula lui g f ii. Fie, : \{ } astfel îcât. f ( ) g( ) g f Φ f g f g c c vom obie uul d lim l Hospital (. sau.) f, g : I \ c astfel îcât iii. Fie { } lim i c f i sau lim f ( ) i lim g( ) c c lim f ( ) i lim c c g Ψ f, atuci dac vom scrie lim lim ± i Φ f g. Atuci dac vom scrie c sau g g i cazurile î care se poate aplica regula lui g gl f Ψ f e se obie cazul i. prezetat mai sus..5 DIFEREN IABILITATEA FUNC IILOR DE O VARIABIL REAL.5. Defiiie: Vom spue c fucia f : I, ude I este u iterval, este difereiabil î puctul I dac eist u umr A astfel îcât petru orice I s avem: ude α f ( ) f ( ) A( ) + α ( )( ) : I este o fuc ie cu proprietatea α ( ) i α lim..5. Coseciþ:.O fucie f : I este difereiabil î I dac i umai dac este derivabil î.dac f este derivabil î, atuci ude α f ( ) f ( ) f' ( )( ) + α ( )( ) : I este o fucie cu proprietatea α ( ) i α ( ) Petru valori suficiet de apropiate ale lui de.6 PROBLEME REZOLVATE.6. lim. vom putea scrie: f f f',, I Folosid defiiia limitei uei fucii îtr-u puct (..), s se arate c : lim 4 Rezolvare: fie δ > u um r real i astfel îcât < δ. Obiem atuci c δ < < δ δ < < δ +.Cumîs + + i δ < δ,avem: < + δ i i 5

28 Atuci: + + < 4+ δ (*) 4 ( )( + ) + < δ ( 4+ δ) Capitolul 4 Serii de fucii ε Fie atuci ε > i δ > astfel îcât δ ( δ + 4) < ε < δ <.Petru I, < δ î ε relaia (*) obiem : 4 < ε.amobiut a adar: ε Petru orice ε > eist < δ < astfel îcât petru orice I, cu ε ε <,avem: ε limita 4 î. 4 < ε, ceea ce îseam coform defiiiei.. c fucia dat are.6. lim + Rezolvare: Vom ar ta c petru orice ε > eist δ ε > astfel îct petru orice > δε s avem + ε. Avâd î vedere c >, iegalitatea + ε se mai poate scrie: > ε ε ε Atuci luâd δε,petru > δε igalitatea ε + < ε este realizat. ( ).6. Fie f : *, f ( ) si.s se arate c lim f. * Rezolvare: Fie gh, :, g( ) si ( ), h. Avem: f ( ) g( ) h( ) g( ) si ( ), lim h( ) lim. Atuci coform criteriului..4, c., obiem c : deci lim g h lim f..6.4 S se arate c fucia ( ) ( + ) i f :,, f si l u tide c tre atuci câd tide c tre. Rezolvare: S presupuem c fucia dat tide c tre atuci câd tide c tre. Atuci, coform cu lim f. Fie atuci irul criteriului..4,b., petru orice ir π + π lim avem π π lim lim( + π ) + π lim. Atuci,. Evidet avem lim f ( ), coform criteriului mai sus amitit. Dar: 5

29 Capitolul 4 Serii de fucii π π f ( ) ( + si( + π )) l( + π ) π π π ( + si )l( + π ) ( )l( + π ) deci lim f ( ), cotradicie, deci presupuerea f cut este fals, i pri urmare fucia dat u tide c tre atuci câd tide c tre..6.5 S se arate c fucia f f ( ) Rezolvare: Vom ar ta c eist irurile ( ) ( ) lim f lim f.fiea adar π þ lim π lim + π Dar f ( ) si( π ) i lim lim f f ceea ce cotrazice criteriul..4, b. :, si u are limit câd tide c tre.,, cu lim lim i π π, + π. Avem evidet π þ f + π.6.6 Fie f { } f ( ) si,deci lim f ( ) i lim f,deci : \,,. Are aceast fucie limit î puctele - i? Rezolvare: O fucie are limit îtr-u puct dac i umai dac limitele laterale î acel puct eist i sut egale. S remarc m maii îtâi c de i puuctele - i u apari domeiiului de defiiie al fuciei f, ele sut totu i pute de acumulare petru acesta. Vom calcula adar limitile laterale ale fuciei î cele dou pucte. Avem: lim lim lim lim ( ), <, < ( )( + ), <, < + lim lim lim lim, >, > +, >, > + deci fucia u admite limit î puctul. Aalog: lim lim lim lim ( ) ( )( + ) + lim lim lim lim + +, <, <, <, <, >, >, >, > decii fucia dat u are limit ici î puctul. *.6.7 S se arate c fucia f f ( ) :, cos u are limit î puctul, demostrâd c u satisface criteriul geeral al lui Cauch. Rezolvare: Vom ar ta c eist ε > astfel îcât petru orice δ > s eiste,, satisf câd iegalit ile, < δ i f ( ) f ( ) ε. Fie ε. Atuci petru orice δ > eist u um r atural astfel îcât: δ δ π <, π < ( + ) 54

30 petru c lim lim π π ( + ) Dar cos π cos f f π Capitolul 4 Serii de fucii i deci criteriul geral Cauch este cotrazis; a adar fucia dat u are limit î puctul. : \, satisface criteriul geeral al lui Cauch + î puctul. Rezolvare: Fie ', '' >, ', ''. Atuci: ' '' ' '' ' '' (*) f ( ' ) f ( '' ) < ' + '' + ( ' + )( '' + ) ( ' + )( '' + ) < ' '' ' + '' ' + ''.6.8 S se arate c fucia f { } f ( ) Alegem ε δ ε ε i ', '' astfel îcât ' <, '' <. Atuci î relaia (*) obiem: ε ε f ( ' ) f ( '' ) < ' + '' < + ε ceea ce îseam c fucia dat satisface criteriul lui Cauch î putul..6.9 S se calculeze: lim + Rezolvare: Sutem î cazul eceptat.avem: + f ( ) þ + + Cum,deci >,obiem ideci: lim ( + ) lim þ + + ( i ;seaplic..4, c.) S se calculeze: lim + ± Rezolvare: Avem: ( ) f Petru avem > deci. Atuci: þ

31 lim + lim lim þ Petru avem < ideci. Atuci: Atuci: þ þ f þ + + þ lim + lim S se calculeze: + lim Rezolvare: Sutem î cazul eceptat. iâd cot de relaia: (... ) a b a b a + a b+ + ab + b î care lu m a +, b,obiem: þ ( + ) + ( + ) Capitolul 4 Serii de fucii þ i atuci: lim S se calculeze: cos lim Rezolvare: Sutem de asemeea î cazul. Atuci: ideci: þ si þ si si cos 56

32 Capitolul 4 Serii de fucii þ þ si si co lim lim lim (vezi..5,a.).6. S se calculeze: si5 si lim 5 Rezolvare: Avem: si5 si si cos 4 si lim lim lim lim cos (a se vedea operaii cu limite de fucii,..).6.4 S se calculeze: π lim ( )tg π π i lim tg, lim tg, sutem î cazul, >, < eceptat o. Fie atuci u ;atucipetru,avem u i Rezolvare: Deoarece lim π π þ πu u lim ( ) tg lim u tg ( u) lim u ctg lim, u u u π þ π π tg u ude am aplicat..5, a..6.5 S se calculeze: + þ lim Rezolvare: S observ m mai îtâi c Cum: + þ þ þ + + þ lim + e obiem c : + þ lim.6.6 S se calculeze: l + k lim e + lim, deci sutem î cazul eceptat.avem: i lim (am aplicat..5,b) þ 57

33 Capitolul 4 Serii de fucii Rezolvare: Sutem î cazul.avem: i atuci: ( + ) l k l + + l ( + k) k l k lim lim l( k) lim l ( k) k + + k k lim k l + k k l lim + k k l e k k.6.7 S se calculeze: e lim Rezolvare: Sutem î cazul. Not m t e, de ude: ( e ) ( t + ) ( t + ) ( + t ) e t+ sau, logaritmâd, l l l l. Observ m c dac, atuci t. Obiem: e t t lim lim lim t t l( + t) l ( + t) (petru c t t ( + t) t ) l t l( + t l ) ( e) l + t t t.6.8 S se calculeze: a lim, a > Rezolvare: Sutem î cazul.not m a t, de ude: ( + ) ( a) t a t+ l( a ) l( t+ ) l( a) l( t+ ) l l Se observ c dac atuci t.obiem: a t t lim lim l( a) lim l t l( t+ ) t l( t+ ) l a.6.9 Studiai cotiuitatea fuciei: ( ) e, daca \{} f, daca Rezolvare: Petru, fucia este cotiu ; vom studia cotiuitatea fuciei umai î puctul.avem: ( a) 58

34 Capitolul 4 Serii de fucii þ lim ideci lim Cum f ( ) f ( ) lim f e lim, fucia u este cotiu î puctul ; acest puct este puct de discotiuitate de spea îtâia..6.9 Studiai cotiuitatea fuciei:, daca \ {-} f ( ) + +, daca - Rezolvare: Fucia este cotiu î orice puct ; î puctul avem: f ( + ) lim,petruc lim, >, > f ( ) lim,petruc lim, >, > Am obiut a adar c limitele laterale ale fuciei î puctul u sut egale, de fucia u este cotiu î f + f, fucia dat este cotiu la dreapta î puctul ; deoarece ; este puct de discotiuitate d spea adoua. [ ] ( ] cotiu pe itervalul îchis [, ]. Rezolvare: Deoarece fucia f pe itervalele [, ) i ( ].6.9 Fie f ( ) +,,.S se determie costata a astfel îcât fucia f s fie a +,,, este liiar, deci cotiu, vom studia cotiuitatea fuciei f umai î puctul. Codiia de cotiuitate petru fucia f î puctul se scrie: Dar: f f ( + ) f ( ) f + ( ) lim lim ( + ), <, < lim lim f f f + f a+ a+, >, > Di relaiile i obiem a adar c : a +,deci.6. S se studieze cotiuitaea fuciei: f lim +, Reolavare: Dac [ ) f +,, atuci a. f lim + + lim. Dac, atuci lim.aadar fucia este cotiu pe itervalul [ ), avâd o discotiuitate de prima spe., i discotiu î puctul 59

35 .6.9 S se arate fucia f ( ) se auleaz îtr-u puct ( ) Rezolvare: Avem: f ( ) < i f (, ), f are proprietatea lui Darbou pe itervalul ( ) ξ (, ) astfel îcât f ( ξ ). ξ,. Capitolul 4 Serii de fucii >. Cum fucia f este cotiu pe itervalul,, cu alte cuvite eist cel pui u puct.6.4 S se arate c fucia, daca f ( ), daca \ Rezolvare:Fie '.Cummulimea umerelor iraioale este des î mulimea umerelor reale, oricare ar fi o veci tate V alui,eist u puct '' \ cu '' V.Amobiut a adar c petru orice veci tate V alui ' eist '' V astfel îcât f ( ' ) f ( '' ) ( ),decif u este cotiu î ici u puct. Aalog, petru orice ' \, iâd cot c mulimea umerelor raioale este des î mulimea umerelor reale, f u este cotiu î ici u puct \ ;a adar f u este cotiu î ici u puct ( \ )..6.5 S se studieze cotiuitatea uiform petru fucia: f ( ) si( ) Rezolvare: Cum fucia sius este o fucie m rgiit pe, fucia f este de asemeea m rgiit.de asemeea, fiid compuerea a dou fucii cotiue, f este cotiu. Petru a studia uiform cotiuitatea fuciei avem: π, daca ( 4k + ), k π f ( ), daca ( 4k + ), k, daca kπ, k π π π ', ''. Atuci ' '', idecipetru π π ( 4k + ) + ( 4k + ) valori ale lui k suficiet de mari, puctele ' i '' pot fi luate oricât de apropiate. Îs : Fie ( 4k + ) ( 4k + ) π π f ( ' ) f ( '' ) si( 4k+ ) si( 4k + ) Am ar tat a adar c eist ε i puctele ', '' situate la dista oricât de mic astfel îcât f ' f '', ceea ce demosteaz c fucia dat u este uiform cotiu pe (dar este uiform cotiu pe orice iterval compact di )..6.6 S se studieze uiform cotiuitatea fuciei f :[, ), f ( ) + + Rezolvare: Se observ c fucia dat estecotiu (fiid suma ditreraportula dou fucii cotiue i o fucie cotiu ) iem rgiit pe itervalul cosiderat (avem: lim + ). Vom ar ta c este + uiform cotiu pe [, ). 6

36 Fie ε > i ( + )( + ) δ > astfel îcât ( ) Capitolul 4 Serii de fucii Fie,.Avem: þ f f þ + < + δ + δ < ε. Atuci petru orice, astfel îcât < δ obiem, coform relaiei de mai sus, f ( ) f ( ) ( ) dat este uiform cotiu pe [, )..6.7 S se studieze derivabilitatea fuciei f ( ) ( + ) < δ + δ < ε, ceea ce demostreaz c fucia si î puctul Rezolvare: Coform defiiiei, o fucie este derivabil îtr-u puct dac eist i este fiit f ( ) f ( ) lim. Î cazul de fa obiem: petru c f ( ) f si( + ) si( 9) si cos lim lim lim si 4 cos + 5 si 4 lim lim + cos + cos ( 5 ) 8 ( 9 ) 4 ( 4) si lim 4 derivabil î puctul. f f ;a adar lim eist i este fiit, deci fucia dat este.6.8 S se studieze derivabilitatea fuciei þ Rezolvare: Petru l ( + ), < < f., > + +, avem f ' ( ) ( l ( ) ) ' ;petru ( ) '.Aadar f este derivabil pe ( ) f, avem þ,, ; petru a studia derivabilitatea fuciei î puctul vom folosi proprietatea.4.; derivatele laterale ale fuciei f î sut: ' f ( ) f ( ) fd ( ) lim lim lim, >, >, > ' f ( ) f ( ) l( + ) l( + ) fs ( ) lim lim lim, <, <, <, < þ lim l + Cum derivatele laterale sut egale, fucia f este derivabil î i f'..6.9 S se studieze derivabilitatea fuciei f [ π ] f ( ) ( ) ( ) :,, ma cos,cos. 6

37 Rezolvare: Fie g [ π ] g( ) ( ) ( ) :,, cos cos.avem: g cos cos cos si ideci g( ) > ( ) > ( ) cos cos petru π þ, i g( ) ( ) ( ) Capitolul 4 Serii de fucii cos cos petru π π,,petruc si ( ) petru orice i π þ cos > petru,, cos petru π, π.amobiut a adar c : π cos ( ), daca < f ( ) π cos ( ), daca π deci π π si ( ), <, f' ( ) π cos ( ) si ( ), < π π Petru vom stabili derivablitatea fuciei f porid de la propozi ia.4.: π þ si ' π þ cos ( ) π þ fd lim lim π π π π, > π, > π þ π þ si ' π þ cos ( ) fs lim lim π π π π π, < π, < þ π Cum derivatele laterale u sut egale, fucia u este derivabil î..6. S se demostreze iegalitatea: arctg ( ) + <,. petru orice.avem: + Rezolvare: Fie f :(, ), f ( ) arctg( ) + f' < ( + + ) ( + ) petru orice (, ). Cum derivata fuciei este egativ pe ( ) (, ).Obiem a adar c f ( ) < f ( ) petru orice ( ) arctg + + ( ) < < arctg ( ) petru orice ( ),, fucia f este descresc toare pe,, de ude,. 6

38 Capitolul 4 Serii de fucii.6. S se demostreze iegalitatea tg ( ) > + π þ petru orice,. π þ f :,, f.avem: Rezolvare: Fie tg ' ( si( ) + cos ( ) )( si( ) cos ( ) ) cos ( ) cos cos si cos f cos cos cos : π þ,, si cos.avem Fie g g( ) ( ) ( ) π þ g' cos cos + si si > petru orice,. Atuci g este π þ descresc toare pe π þ g > g petru orice,, de ude,,deci si cos >. π þ si + cos >, cos > petru orice Cum π þ deci fucia f este cresc toarepeitervalul tg π þ > > + petru orice,. tg.6. S se demostreze iegalitatea si petru orice ab,. si b a b a,,obiem c,. Atuci f' >, π þ f > f,,,deci Rezolvare: Fie f :[ a, b], f ( ) si ( ).Cumf este cotiu pe [ ab, ] i derivabil pe ( ab) di teorema lui Lagrage (.4.4) obiem eist c ( a, b) astfel îcât f ( b) f ( a) f' ( c) deci si b a ( b) si( a) b a cos ( c) De aici obiem si( b) si( a) b a cos ( c) b a petru c.6. S se demostreze iegalitatea b a b tg b tg a a cos a cos b cos c.,, 6

39 π petru orice a< b<. Capitolul 4 Serii de fucii Rezolvare: Fie f :[ a, b], f ( ) tg ( ).Cumf este cotiu pe [ ab, ] i derivabil pe ( ab) îdeplie te ipotezele teoremei Lagrage (.4.4), deci eist c ( a, b) astfel îcât: f ( b) f ( a) tg ( b) tg ( a) f' ( c) b a b a cos ( c) Deoarece fucia cos ( ) este descresc toarepeitervalul [ ab],, f π,,,cum a< c< b,obiem c : cos ( a) > cos( c) > cos( b) > cos ( a) > cos ( c) > cos ( b) < < cos cos cos tg( b) tg( a) Dar,deci b a b tg b tg a a b a cos ( c) cos ( a) cos ( b) π petru orice a< b<. tg( ).6.4 S se calculeze lim. si( ) Rezolvare: Fie π π þ f, g :,, f ( ) tg ( ), g( ) si ( ).Observ mc : π π þ i. fuciile f i g sut derivabile petru orice, i f' ( ), g' cos cos ( ) π π þ g', ii. iii. lim lim iv. f g ( )( ) ( ) f' cos cos lim lim lim g' cos cos cos cos + cos + cos lim lim cos cos cos Atuci, coform teoremei lui l Hospital (.4.7) avem: f ( ) f' ( ) tg( ) lim lim lim. g( ) g' ( ) si ( ).6.5 S se calculeze: lim l ( ) + Rezolvare: Fie f, g :,, f, g( ) l ( ) +.Observ mc : i. f i g admit derivatede ordiul I iiipe (, ) i ( a) ( c) ( b) 64

40 ( ) f' l +, g' ( ) f'' l + +, g'' ii. g' ( ) i g'' ( ) petru orice (, ) iii. lim f ( ) lim g( ) lim f' ( ) lim g' ( ) Capitolul 4 Serii de fucii ( ) f'' l + + iv. lim lim g'' ( ) Atuci coform teoremei lui l Hospital (.4.7) obiem: f ( ) f' ( ) f' f'' lim lim i lim lim de ude lim. g( ) g ' ( ) g' ( ) g'' ( ) l ( ) S se calculeze: lim l( ), > Rezolvare: Fie f, g :(, ), f ( ), g( ) l ( ). Deoarece lim f ( ) lim, >, > g( ), sutem î cazul eceptat. Î aceste codiii avem: l lim l lim, >, > i ajugem astfel la cazul eceptat. Se verific u or c sut verificate ipotezele teoremei lui l Hospital (.4.7), deci obiem: ( ) l ' lim l lim lim lim, >, > þ, >, > ' i.6.7 S se calculeze lim, > Rezolvare: Sutem î cazul de ecepie lim l( ) e e, lim >, >, >. Î aceste codiii scriem: lim l( ) ( ) Dar l l ' lim l lim lim lim,deci, >, >, > þ, > ' lim, > l( ) e e.6.8 Folosid difereiala, s se calculeze aproimativ valorile: i. arcsi ( 5, ) ii. arctg ( 5, ) Rezolvare: i. Fie fucia π π f :[, ],, f ( ) arcsi ( ). Puâd 5 aplicâd defiiia difereialei uei fucii (.5.) se obie: 65,,, i

41 Capitolul 4 Serii de fucii arcsi( + ) arcsi( ) + ( arcsi ( ) )' sau, î cazul de fa : arcsi (, 5) arcsi (, 5) +,, 5 (, 5) π π ii. Fie fucia f :,, f ( ) arctg ( ). Puâd,, 5 i aplicâd defiiia difereialei uei fucii (.5.) se obie: arctg ( + ) arctg ( ) + ( arctg ( ) )' sau, î cazul de fa : arctg 5, arctg + 5, 8, +.7 PROBLEME PROPUSE Folosid defiiia limitei uei fucii îtr-u puct s se arate c : + lim 8 + lim +.7. S se arate c fucia f ( ) cos( ) u are limit câd. S se calculeze urm toarele limite: lim R: lim R: ( cos( ) ).7.6 lim 4 Idicaie: þ cos si R: 4 si( ).7.7 lim π π π R: Idicaie: Se folose te substituia π + u þ lim R: e + þ.7.9 lim 4+ 4 tg ( ).7. lim π 4 π 4 R: e R: l( 6 ) 66

42 ( ) tg Idicaie: t e cos ( ).7. lim e cos e cos ( ) Idicaie: Se scrie + limit î parte i se calculeaz fiecare Capitolul 4 Serii de fucii R: S se determie costata α astfel îcât urm toarele fucii s fie cotiue:.7. α α+, daca < f α +, daca 6si( α ( ) ).7., daca < f α +, daca S se studieze cotiuitatea urm toarelor fucii: e +,.7.4 f ( ), >.7.5 f ( ) + e,,.7.6 f :, f ( ),, \ R: α 5 R: α 7 R: cotiuu R: discotiu î R: cotiuu î, discotiu petru S se studieze cotiuitatea uiform a fuciilor:.7.7 f :(, ), f ( ) l( ) R: u este uiform cotiu.7.8 [ ] f :,, f R: este uiform cotiu.7.9 f :,, f si þ π R: u este uiform cotiu Fiid dat ε >,s se determie δε astfel îcât s fie satisf cut codiia de cotiuitate petru fuciile:.7. f ( ) +, [, ] +,,.7. f ( ) [ ) S se studieze derivabilitatea fuciilor urm toare: ( l + ), <.7. f ( ) 5 ( ) + l ( ), > 4 +, 4.7. f ( ) , > R: fucia este derivabil petru orice R: fucia este derivabil petru orice 67

43 Capitolul 4 Serii de fucii.7.4 f :(, ), f ( ) l( ) R: fucia u este derivabil î e.7.5 f ( ) mi { +, 4 } R: fucia u este Idicaie: Se studiaz semul fuciei g( ) + ( 4 ) derivabil î i S se calculeze derivatele fuciilor urm toare:.7.6 þ 6 f l +, >, R: + f' + + ( + ) f, ± R: + ( ) ( + ).7.8 π si ( ) f, k +, k R: cos ( ) cos ( ) 4 cos ( ) S se demostreze iegalit ile:.7.9 e > + petru orice.7. arcsi > + petru orice (, ) 6.7. cos ( b) cos ( a) b a petru orice ab,.7. a b a þ a l b petru orice < b< a a b b Folosid teorema lui l Hospital, s se calculeze limitele: cos ( ).7. lim si ( ) R: e si( ) cos ( ).7.4 lim R:.7.5 lim e l( ) R: + e e.7.6 lim R: arcsi þ.7.7 lim R: S se calculeze valorile aproimative petru:.7.8 tg ( 46 o ) R:,5.7.9 l ( 9, ) R: -, 4 e

44 Capitolul 4 Serii de fucii 69 Fie ( f ) CAP. 4 SERI DE FUNC II u ir de fucii, f : E 4.. Defiiie: Se ume te seriedefucii o serie de forma f f + f +... Petru orice puct E se poate defii seria umeric f ( ), care poate fi coverget sau diverget. 4.. Defiiie: Seria de fucii f se ume te coverget î puctul E dac seria umeric f( ) este coverget. Mul imea puctelor E ume te mul ime de coverge aserieidate i o vom ota cu X. 4. CONVERGENþ SIMPLþ 4.. Defii ie: Fie irul de fuc ii, : f f E î care seria f f coverge simplu c tre fuc ia f dac seria umeric f E. Fuc ia f se umete suma seriei f. este coverget se i f : E. Spuem c seria de fuc ii coverge la f ( ) petru orice 4.. Propozi ie: Seria f este simplu coverget pe E c tre f dac i umai dac petru orice ε > i petruorice E eist u um r N ε, astfel îcât petru orice N ε, petru orice E. f ( ) + f ( ) +... f ( ) f ( ) < ε 4. CONVERGENA UNIFORMþ 4.. Defii ie: Fie irul de fuc ii, : f f E avem: i f : E. f : E. Spuem c seria de fuc ii f coverge uiform c tre fuc ia f dac petru orice ε > eist u um r N ε astfel îcât petru orice N ε avem: f... + f + f f < ε petru orice E. Observaie: Rezult de aici c î cazul coverge ei uiforme N ε este idepedet de puctul E, i.e. este acelai petruorice E. 4.. Defii ie: Se umete rest de rag al seriei f seria

45 R f + f f +... p Capitolul 4 Serii de fucii Observaie: Mul imea de coverge aseriei f este i mulimea de coverge aseseriei R. 4.4 CRITERII DE CONVERGENþ PENTRU SERII DE FUNCII 4.4. Teorem : Codi ia ecesar i suficiet ca seria f s fie uiform coverget (simplu coverget ) pemulimea E este ca restul s u coverget) pe E petru orice Teorem : Seria f umai dac irul de fuc ii fuc ia idetic ul pe E. R s fie uiform coverget (respectiv simplu este uiform coverget (simplu coverget )pee c tre fuc ia f dac i R este uiform coverget (respectiv simplu coverget) c tre 4.4. Criteriu lui Cauch: O serie de fuc ii defiite pe E este uiform coverget pe mul imea E dac i umai dac petru orice ε > eist u um r atural N ε astfel îcât petru orice > N ε i p i petruorice E s avem: f ( ) f ( ) < ε p Teorem : Fie f i φ,cu φ > petru orice,dou serii de fuc ii defiite pe mul imea E. Dac petru orice i petruorice E avem f φ i seria φ este uiform coverget pe E, atuci seria f este uiform coverget pe E Criteriul lui Weierstrass: Fie f o serie de fuc ii defiite pe E i a o serie de umere reale pozitive coverget.dac f < a petru orice i orice E, atuci seria f este uiform covrget pe E Propozi ie: Fieseriiledefucii defiite pe mul imea E f, avâd mul imile de coverge X i respectiv X. Atuci: a. Seria ( f + g) este coverget pe X X c tre fuc ia f + g g cu sumele f i respectiv g, b. petr α,seria α f este coverget pe mul imea X c tre fuc ia α f 7

46 Capitolul 4 Serii de fucii 4.5 CONTINUITATEA, DERIVABILITATEA I INTEGRABILITATEA SERIILOR UNIFORM CONVERGENTE 4.5. Teorem : Fie f o serie de fuc ii defiite pe mul imea E uiform coverget pe E c tre fuc ia f. Dac toate fuc iile f sut cotiue î puctul E (respectiv pe mul imea E), atuci fuc ia f este cotiu î (respectiv pe mul imea E) 4.5. Teorem : Fie f o serie de fuc ii defiite pe itervalul [ ab, ], coverget pe [ ab, ] c tre fuc ia f. Dac toate fuc iile f sut itegrabile pe itervalul [ ab, ], atuci f este itegrabil pe b itervalul [ ab, ] i f ( ) d este coverget.deasemeea: b a a f ( ) d f ( ) d b a 4.5. Teorem : Dac f este o serie de fuc ii uiform coverget pe u iterval m rgiit I c tre fuc ia f i dac fuc iile f sut derivabile pe I iar seria de fuc ii f ' coverge uiform c tre fuc ia g, atuci f este derivabil pe I i 4.6 EXERCIII REZOLVATE f' g Calcula i domeiul de coverge al seriei + Rezolvare: Dac <, atuci lim ; petru ca o serie de umere reale s covearg este + ecesar îs ca irul termeilor geerali s covearg la, deci seria de fuc ii dat u este coverget petru <. Dac, atuci se ob ie seria cu termeul geeral u, deci seria de fuc ii u coverge ici petru, di aceleai cosiderete. Dac >, atuci: < + iar seria cu termeul geeral u este coverget petru > (este o progresie geometric cu ra ia subuitar ), deci coform teoremei 4.4.4, seria dat coverge petru >.Aadar domeiul de coverge petru seria dat este (, ) (, ) Aplicâd criteriu lui Weierstrass s se arate c seria si si + + si ( ) +... coverge uiform î itervalul (, ). 7