Concursul Interjudeţean de Matematică,,Dumitru Ţiganetea Ediţia a XIV-a, 26 aprilie 2014 Clasa a VI a

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Concursul Interjudeţean de Matematică,,Dumitru Ţiganetea Ediţia a XIV-a, 26 aprilie 2014 Clasa a VI a"

Transcriere

1 Miisterul Educaţiei Naţioale Ispectoratul Şcolar Judeţea Cluj Colegiul Naţioal,,Adrei Mureşau Dej Cocursul Iterjudeţea de Matematică,,Dumitru Ţigaetea Ediţia a XIV-a, 6 aprilie 014 Clasa a VI a 1. Să se afle umerele raţioale x, y, z ştiid că x şi y sut direct proporţioale 4z cu şi 3, y şi z sut ivers proprţioale cu 0, 5 şi 0, iar 4x + 5y + = 84 3 Prof. Dragos Coria,Prof.Galdea Alia. Determiaţi umerele aturale, eule a şi b care satisfac relaţia 63a + 6a + 46 = ( 7a + 3)( b + 1) Prof.Vasile Serdea, Prof. Aca Cristia Hodorogea 3. I figura de mai jos, dreptughiul ABCD a fost împărţit î dreptughiuri cu ariiile de 5 m, 15 m, m, 0 m şi 36 m.calculaţi aria dreptughiului ABCD. A 5m 15m B m 0m 36m D C Prof.Camelia Magdas, Prof.Euge Jeca 4. Se cosideră triughiul ABC î care m( B ) = 40 şi m( C ) = 30. Pe latura ( BC ) se cosideră puctele D şi E, astfel îcât m( DAB ) = 40 şi m( EAC ) = 30. Fie G itersecţia paralelei pri D la dreapta AB cu latura ( AC ).Dacă { J } = AE BG, arătaţi că [ JB] = [ JC]. Gazeta Matematica Îvăţâd matematica, îveţi să gâdeşti Grigore C.Moisil

2 Miisterul Educaţiei Naţioale Ispectoratul Şcolar Judeţea Cluj Colegiul Naţioal,,Adrei Mureşau Dej Cocursul Iterjudeţea de Matematică,,Dumitru Ţigaetea Ediţia a XIV-a, 6 aprilie 014 Clasa a V a 1. a)arătaţi că umărul A = abc + bca + cab este divizibil cu 37 b) Dacă 3ab + b4a + ab = 1341, arătaţi ab 9. Prof. Zolta Fodor, Prof.Dragos Coria Se cosideră umărul A = , N. Să se determie ştiid că A se termiă cu 016 zerouri. Prof.Pop Cristia, Prof.Alia Galdea 3. a) Să se afle cifrele a, b şi umărul atural petru care 014 = a + bb b) Să se afle x N ştiid că x = 49. Prof.Vasile Serdea, Prof.Camelia Magdas 4. Se cosideră fracţiile 1 şi 1, N.Să se determie cel mai mic ştiid că ître cele două fracţii există 35 fracţii diferite cu umărătorul 3 Determiaţi aceste fracţii. Prof.Cristia Pop, Prof. Euge Jeca Îvăţâd matematica, îveţi să gâdeşti Grigore C.Moisil

3 Miisterul Educaţiei Naţioale Ispectoratul Şcolar Judeţea Cluj Colegiul Naţioal,,Adrei Mureşau Dej Cocursul Iterjudeţea de Matematică,,Dumitru Ţigaetea Ediţia a XIV-a, 6 aprilie 014 Clasa a IV a 1. a)care este cel mai mic umăr de trei cifre î a cărui scriere u apare cifra 1? b) Câte umere impare mai mici decât 100 au cifra zecilor 7. c) Care este cel mai mare umăr par scris cu patru cifre diferite? { x }. Aflaţi valoarea umerică a lui x di ( ) *** : 014 = 100 Iv.Daa Muresa 3. Suma a trei umere aturale este 118. Dacă di primul umăr luăm 1, la al doilea umăr adăugăm 3 şi di al treilea umăr luăm 16 obţiem trei umere aturale cosecutive ( î această ordie). Aflati umerele. Prof.Vasile Serdea, Prof. Camelia Magdas 4. Completaţi următoarele pătrate magice ( suma elemetelor de pe liie, coloaă şi diagoale este aceeaşi) *** Îvăţâd matematica, îveţi să gâdeşti Grigore C.Moisil

4 BAREME-cls a VI a x y y z Avem = şi = pct x y z = = = k x = 8 k, y = 1 k, z = 15k 3pct k + 5 1k + 15k = 84 k = Se obţie x = 6, y = 9, z =. 4 Soluţie 1. Di a, b N 63a + 6a + 46, 7a + 3, b + 1 N Atuci 7a a + 6a ( pct), dar 7a + 3 9a ( 7a + 3), de ude 7a a + 46 ( pct). Se obţie 7a ( ), de ude a = 4. ( ) Petru a = 4, relaţia devie b + 1 = 4, adică b = 41. ( ) Soluţia este ( a, b) {( 4,41) }. Soluţie. Se efectuează calculele şi se obţie 63a + 55a + 43 = b ( 7a + 3), ( pct), de ude 63a + 55a a(7a + 3) + 4(7a + 3) b = b = = 9a a + 3 7a + 3 7a + 3 b N 7a + 3 = 31 a = 4 şi b = 41 ( pct), a, b 4,41. { }. ( 3pct), Dar Soluţia este ( ) ( ) Notăm cu a,b,c,x,y,z dimesiuile dreptughiurilor, şi calculăm ariile acestora. Obţiem b x = 5 şi c x = 15, de ude 3 b =, adică c = 3b.(1) c Aalog a y = şi b y = 0, de ude = 10, adică 10 a = a (). Di relaţiile (1) şi () obţiem c = 30 a.(3) Di () şi (3), avem că a + b + c = 41a (4). Di z c = 36 şi c = 3 b z 3b = 36 z b = 1 z 10a = 1 z a = 1, Di b x = 5 şi b = 10 a x 10a = 5 a x = 0,5. AABCD = ( a + b + c)( x + y + z) = 41 a ( x + y + z) = 41 a x + 41 a y + 41 a z = 41 0, , = 151,7cm b 4. Se arată că m( BAC ) = 110, m( DAE ) = 40 m( DGA ) = 70 ( DGA şi BAC sut itere de aceeasi parte a secatei), m( GDB ) = 140 (aalog). Deorece m( DGA) = m( DAG ) = 70 obţiem că triughiul DGA este isoscel cu [ DA] = [ DG ] Aalog triughiul DBA este isoscel cu [ DA] = [ DB ] Astfel că triughiul DGB este isoscel, deci m( JBC ) = m( DGB) = = 0 Costruim m CBB = 30 şi B AC. BB astfel îcât ( ) Atuci m( GBB ) = 10 şi ( ) m ABB = 10, de ude BB bisectoare î triughiul isoscel BAJ.Atuci BB este mediatoarea segmetului AJ, deci triughiul B AJ este isoscel şi BB mediatoarea AB J. I triughiul ABB, avem m( AB B ) = 60.Deducem că m( AB B ) = = m( JB B ) = = m( JB C ) = 60, deci B J este bisectoarea BB C.I triughiul isoscel BB C ( m( B BC) = m( B CB ) = 30 ),J este pe mediatoarea JB = JC. segmetului BC, adică [ ] [ ]

5 1. BAREM, clasa a V a a) A = 111a + 111b + 111c = 111( a + b + c) = 37 3( a + b + c) 37 4pct b) 3 ab + b4a + ab = 111a + 111b + 34 = 111( a + b) + 34 pct 111 ( a + b) + 34 = ( a + b) = 999 a + b = 9, deci ab 9 1p ct. A = 3 5 ( ) 3pct + A = pct A se termiă cu 016 zerouri câd + = 016 = 014 pct 3. a) Membrul stâg este umăr par, deci şi membrul drept este par Membrul drept este par câd a este par, deci a este par, a {,4,6,8} 1) Dacă a = obţiem 014 = + bb i) Dacă = 10, obţiem 014 = +bb0 bb 0 = 990, b = 9 9 ii) Dacă = 9, obţiem 014 = + bb0 bb 0 = 150, imposibil ) Dacă a = 4, obţiem 014 = 4 + bb0 de ude rezultă = 5, adică 014 = bb0 bb0 = 990 rezultă b = 9 3) Dacă a = 6, obţiem 014 = 6 + bb0 relaţie imposibilă, căci ultima cifră a lui 6 este 6 4) Dacă = 8 a, obţiem 014 = 8 + bb0, relaţie imposibilă b) Di relaţie rezultă că x este umăr impar, deci are forma x = p 1, p Cum ( p 1) = p, relaţia dată devie: p = 49 adică p = ( 7 ), de 014 ude p = 7, atuci x = pct Dacă N, avem <, de ude Căutăm fracţiile,,...,, astfel ȋcât < < <... < < () Di ( ) 35 < 34 <... < < 1 şi 3 < 35 < 34 <... < < 1 < 3 pct Ȋtre 3 şi 3 există exact 35 umere aturale petru = 4, şi aume 3 4 < 13 < 14 < 15 <... < 47 < 3 16 pct Obţiem fracţiile,,...,

6 BAREM clasa a IV a 1. a)care este cel mai mic umăr de trei cifre î a cărui scriere u apare cifra 1? b) Câte umere impare mai mici decât 100 au cifra zecilor 7. c) Care este cel mai mare umăr par scris cu patru cifre diferite? Solutie. a) 00 pct b) 71,73,75,77,79-5 umere pct c) pct.. Aflaţi valoarea umerică a lui x di 10 { x ( : 014) } = : 014 = = = = 86 x = 10 x = cate 1 pct fiecare operatie. x = Suma a trei umere aturale este 118. Dacă di primul umăr luăm 1, la al doilea umăr adăugăm 3 şi di al treilea umăr luăm 16 obţiem trei umere aturale cosecutive ( î această ordie). Soluţie Fie a, b, c cele trei umere aturale a + b + c = 118 şi a 1 = x, b + 3 = x + 1, c 16 = x + pct Di relaţiile de mai sus obţiem a = x + 1, b = x + 1 3, c = x , (*) pct Care ȋlocuite ȋ a + b + c = 118dau x = 30 Obţiem a = 4, b = 8, c = 48 4 Completaţi următoarele pătrate magice ( suma elemetelor de pe liie, coloaă şi diagoale este aceeaşi) pct pct