Exemple I (v 0 _ v 1 ) ^ (v 3 _ v 5 ) ^ ( v 20 _ v 15 _ v 34 ) este în FNC

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Exemple I (v 0 _ v 1 ) ^ (v 3 _ v 5 ) ^ ( v 20 _ v 15 _ v 34 ) este în FNC"

Transcriere

1 Definiţia.68 Un literal este o I variabilă (în care caz spunem că este literal pozitiv) sau I negaţia unei variabile (în care caz spunem că este literal negativ). Exemple: v, v 2, v 0 literali pozitivi; v 0, v 00 literali negativi Definiţia.69 Oformulă' este în formă normală disjunctivă (FND) dacă ' este o disjuncţie de conjuncţii de literali. 0 n_ ^k i Aşadar, ' este în FND ddacă ' L i,j A, undefiecarel i,j este literal. j= 93 Definiţia.70 Oformulă' este în formă normală conjunctivă (FNC) dacă ' este o conjuncţie de disjuncţii de literali. 0 n^ _ k i Aşadar, ' este în FNC ddacă ' L i,j A, undefiecarel i,j este literal. Exemple I (v 0 _ v ) ^ (v 3 _ v 5 ) ^ ( v 20 _ v 5 _ v 34 ) este în FNC j= I ( v 9 ^ v ) _ v 24 _ (v 2 ^ v ^ v 2 ) este în FND I v ^ v 5 ^ v 4 este atât în FND cât şi în FNC I v 0 _ v 20 _ v 4 este atât în FND cât şi în FNC I (v _ v 2 ) ^ ((v ^ v 3 ) _ (v 4 ^ v 5 )) nu este nici în FND, nici în FNC 94 Funcţia asociată unei formule Notaţie: Dacă L este literal, atunci L c := Propoziţia.7 (ii) Fie ' oformulăînfnd,' = W n ( v dacă L = v 2 V v dacă L = v. Wki j= L i,j.atunci (i) Fie ' oformulăînfnc,' = V n ' W n Vki j= Lc i,j,oformulăînfnd. Vki j= L i,j ' V n Exerciţiu. Wki j= Lc i,j,oformulăînfnc..atunci : Arătaţi că v! (v 2! (v ^ v 2 )). v v 2 v! (v 2! (v ^ v 2 )) Acest tabel defineşte o funcţie F : {0, } 2!{0, } " " 2 F ("," 2 )

2 Funcţia asociată unei formule Fie ' oformulăşivar(') ={x,...,x n }. Fie (",...," n ) 2{0, } n.definime ",...," n : Var(')!{0, } astfel: e ",...," n (x i )=" i pentru orice i 2{,...,n}. Definim e + ",...," n (') 2{0, } astfel: e + ",...," n (') :=e + ('), unde e : V!{0, } este orice evaluare care extinde e ",...," n,adică, e(x i )=e ",...," n (x i )=" i pentru orice i 2{,...,n}. Conform Propoziţiei.3, definiţia nu este ambiguă. Definiţia.72 Funcţia asociată lui ' este F ' : {0, } n!{0, }, definităastfel: F ' (",...," n )=e + ",...," n (') pentru orice (",...," n ) 2{0, } n. Funcţia asociată unei formule Propoziţia.73 (i) Fie ' oformulă.atunci (a) ' ddacă F ' este funcţia constantă. (b) ' este nesatisfiabilă ddacă F ' este funcţia constantă 0. (ii) Fie ', două formule. Atunci (a) ' ddacă F ' apple F. (b) ' ddacă F ' = F. (iii) Există formule diferite ', a.î. F ' = F. Exerciţiu. Aşadar, F ' este funcţia definită de tabela de adevăr pentru ' Caracterizarea funcţiilor booleene Definiţia.74 O funcţie booleană este o funcţie F : {0, } n!{0, }, unden. Spunem că n este numărul variabilelor lui F. : Pentru orice formulă ', F ' este funcţie Booleană cu n variabile, unde n = Var('). Teorema.75 Fie n ş i H : {0, } n!{0, } o funcţie booleană arbitrară. Atunci există o formulă ' î n F N D a. î. H = F '. Dacă H(",...," n )=0pentruorice(",...," n ) 2{0, } n, n_ luăm ' := (v i ^ v i ).AvemcăVar(') ={v 0,...,v n }, i=0 aşadar, F ' : {0, } n!{0, }. Cum v i ^ v i este nesatisfiabilă pentru orice i, rezultăcă' este de asemenea nesatisfiabilă. Deci, F ' este de asemenea funcţia constantă Caracterizarea funcţiilor booleene Altcumva, mulţimea T := H () = {(",...," n ) 2{0, } n H(",...," n )=} este nevidă. Considerăm formula ' := _ (",...," n)2t ^ v i ^ ^ v i A. " i = " i =0 Deoarece Var(') ={v,...,v n },avemcăf ' : {0, } n!{0, }. Se demonstrează că H = F ' (exerciţiu suplimentar). 00

3 Caracterizarea funcţiilor booleene Caracterizarea funcţiilor Booleene Teorema.76 Fie n ş i H : {0, } n!{0, } o funcţie booleană arbitrară. Atunci există o formulă î n F N C a. î. H = F. Dacă H(",...," n )=pentruorice(",...," n ) 2{0, } n, atunci luăm n^ := (v i _ v i ). Altcumva, mulţimea i=0 F := H (0) = {(",...," n ) 2{0, } n H(",...," n )=0} : Fie H : {0, } 3!{0, } descrisă prin tabelul: " " 2 " 3 H("," 2," 3 ) D = v _ v 2 _ v D 2 = v _ v 2 _ v C = v ^ v 2 ^ v D 3 = v _ v 2 _ v C 2 = v ^ v 2 ^ v 3 0 C 3 = v ^ v 2 ^ v 3 0 C 4 = v ^ v 2 ^ v 3 C 5 = v ^ v 2 ^ v 3 este nevidă. Considerăm formula := ^ (",...," n)2f _ v i " i = " i =0 Se demonstrează că H = F (exerciţiu suplimentar). v i A. 0 ' = C _ C 2 _ C 3 _ C 4 _ C 5 î n F N D a. î. H = F '. = D ^ D 2 ^ D 3 î n F N C a. î. H = F. 02 Algoritm pentru a aduce o formulă la FNC/FND: Pasul. Se înlocuiesc implicaţiile şi echivalenţele, folosind: Teorema.77 '! ' _ ş i ' $ ( ' _ ) ^ ( _ '). Orice formulă ' este echivalentă cu o formulă ' FND î n F N D ş i c u oformulă' FNC î n F N C. Fie Var(') ={x,...,x n } ş i F ' : {0, } n!{0, } funcţia booleană asociată. Aplicând Teorema.75 cu H := F ', obţinem o formulă ' FND î n F N D a. î. F ' = F ' FND. Aşadar, conform Propoziţiei.73.(ii), ' ' FND. Similar, aplicând Teorema.76 cu H := F ', obţinem o formulă ' FNC î n F N C a. î. F ' = F ' FNC.Prinurmare,' ' FNC. Pasul 2. Se înlocuiesc dublele negaţii, folosind, şiseaplică regulile De Morgan pentru a înlocui (' _ ) cu ' ^ ş i (' ^ ) cu ' _. Pasul 3. Pentru FNC, se aplică distributivitatea lui _ faţa de ^, pentru a înlocui ' _ ( ^ )cu(' _ ) ^ (' _ ) şi ( ^ ) _ ' cu ( _ ') ^ ( _ '). Pentru FND, se aplică distributivitatea lui ^ faţa de _, pentru a înlocui ' ^ ( _ )cu(' ^ ) _ (' ^ ) şi ( _ ) ^ ' cu ( ^ ') _ ( ^ ')

4 Considerăm formula ' := ( v 0! v 2 )! (v 0! v 2 ). Avem ' ( v 0! v 2 ) _ (v 0! v 2 ) Pasul ( v 0 _ v 2 ) _ (v 0! v 2 ) Pasul ( v 0 _ v 2 ) _ ( v 0 _ v 2 ) Pasul (v 0 _ v 2 ) _ ( v 0 _ v 2 ) Pasul 2 ( v 0 ^ v 2 ) _ ( v 0 _ v 2 ) Pasul 2 ( v 0 ^ v 2 ) _ v 0 _ v 2 Pasul 2 Putem lua ' FND := ( v 0 ^ v 2 ) _ v 0 _ v 2. Pentru a obţine FNC, continuăm cu Pasul 3: ' ( v 0 ^ v 2 ) _ ( v 0 _ v 2 ) ( v 0 _ v 0 _ v 2 ) ^ (v 2 _ v 0 _ v 2 ). Putem lua ' FNC := ( v 0 _ v 0 _ v 2 ) ^ (v 2 _ v 0 _ v 2 ). Se observă, folosind idempotenţa şi comutativitatea lui _, că' FNC v 0 _ v Definiţia.78 O clauză este o mulţime finită de literali: C = {L,...,L n },undel,..., L n sunt literali. Dacă n =0, obţinem clauza vidă := ;. O clauză nevidă este considerată implicit o disjuncţie. Definiţia.79 Fie C oclauzăşie : V!{0, }. Spunemcăe este model al lui C sau că e satisface C ş i s c r i e m e C dacă există L 2 C a.î. e L. Definiţia.80 OclauzăC se numeşte (i) satisfiabilă dacă are un model. (ii) validă dacă orice evaluare e : V!{0, } este model al lui C. 06 Definiţia.8 OclauzăC este trivială dacă există un literal L a.î. L, L c 2 C. Propoziţia.82 (i) Orice clauză nevidă este satisfiabilă. (ii) Clauza vidă este nesatisfiabilă. (iii) Oclauzăestevalidă ddacăestetrivială. Exerciţiu. S = {C,...,C m } este o mulţime de clauze. Dacă m = 0, obţinem mulţimea vidă de clauze ;. S este considerată implicit ca o formulă în FNC: conjuncţie de disjuncţii ale literalilor din fiecare clauză. Definiţia.83 Fie e : V!{0, }. Spunemcăe este model al lui S sau că e satisface S ş i s c r i e m e S dacă e C i pentru orice i 2{,...,m}. Definiţia.84 S se numeşte (i) satisfiabilă dacă are un model. (ii) validă dacă orice evaluare e : V!{0, } este model al lui S

5 şi FNC Propoziţia.85 I Dacă S conţine clauza vidă, atuncis nu este satisfiabilă. I ; este validă. Exerciţiu. S = {{v, v 3 }, { v 3, v 3 }, {v 2, v }, {v 2, v, v 3 }} este satisfiabilă. Considerăm e : V!{0, } a.î. e(v )=e(v 2 ) =. Atunci e S. S = {{ v, v 2 }, { v 3, v 2 }, {v }, {v 3 }} nu este satisfiabilă. Presupunem că S are un model e. Atunci e(v )=e(v 3 )=şi, deoarece e { v 3, v 2 },trebuiesăavem e(v 2 ) = 0. Rezultă că e(v 2 )=e + ( v ) = 0, deci e nu satisface { v, v 2 }. Am obţinut o contradicţie. Unei formule ' î n F N C î i a s o c i e m o m u l ţ i m e d e c l a u z e S ' astfel: Fie ' := 0 n^ _ k unde fiecare L i,j este literal. Pentru orice i, fiec i clauza obţinută considerând toţi literalii L i,j, j 2{,...,k i } distincţi. Fie S ' mulţimea tuturor clauzelor C i, i 2{,...,n} distincte. j= L i,j A, S ' se mai numeşte şi forma clauzală alui'. Propoziţia.86 Pentru orice evaluare e : V!{0, }, e ' ddacă e S '. Exerciţiu şi FNC Rezoluţia Unei mulţimi de clauze S î i a s o c i e m o f o r m u l ă ' S î n F N C a s t f e l : I C = {L,...,L n }, n 7! ' C := L _ L 2 _..._ L n. I 7! ' := v 0 ^ v 0. Fie S = {C,...,C m } omulţimenevidădeclauze.formula asociată lui S este m^ ' S := ' Ci. Formula asociată mulţimii vide de clauze este ' ; := v 0 _ v 0. Formula ' S nu este unic determinată, depinde de ordinea în care se scriu elementele în clauze şi în S, dar se observă imediat că: S = S 0 implică ' S ' S 0. Propoziţia.87 Pentru orice evaluare e : V!{0, }, e S ddacă e ' S. Exerciţiu. Definiţia.88 Fie C, C 2 două clauze. O clauză R se numeşte rezolvent al clauzelor C, C 2 dacă există un literal L a.î. L 2 C, L c 2 C 2 ş i Regula Rezoluţiei Rez R =(C \{L}) [ (C 2 \{L c }). C, C 2 (C \{L}) [ (C 2 \{L c }), L 2 C, L c 2 C 2 Notăm cu Res(C, C 2 ) mulţimea rezolvenţilor clauzelor C, C 2. I Rezoluţia a fost introdusă de Blake (937) şi dezvoltată de Davis, Putnam (960) şi Robinson (965). I Multe demonstratoare automate de teoreme folosesc rezoluţia. Limbajul PROLOG este bazat pe rezoluţie. 2

6 Rezoluţia Rezoluţie C = {v, v 2, v 5 }, C 2 = {v, v 2, v 00, v 5 }. I Luăm L := v 5.AtunciL 2 C ş i L c = v 5 2 C 2. Prin urmare, R = {v, v 2, v 2, v 00 } este rezolvent al clauzelor C, C 2. I Dacă luăm L 0 := v 2,atunciL 0 2 C ş i L 0c = v 2 2 C 2. Prin urmare, R 0 = {v, v 5, v 00, v 5 } este rezolvent al clauzelor C, C 2. C = {v 7 }, C 2 = { v 7 }. Atunci clauza vidă este rezolvent al clauzelor C, C 2. Fie S omulţimedeclauze. Definiţia.89 O derivare prin rezoluţie din S sau o S-derivare prin rezoluţie este osecvenţăc, C 2,...,C n de clauze a.î. pentru fiecare i 2{,...,n}, una din următoarele condiţii este satisfăcută: (i) C i este o clauză din S; (ii) există j, k < i a.î. C i este rezolvent al clauzelor C j, C k. Definiţia.90 Fie C oclauză.oderivare prin rezoluţie a lui C din S este o S-derivare prin rezoluţie C, C 2,...,C n a.î. C n = C. 3 4 Rezoluţie Fie S = {{ v, v 2 }, { v 2, v 3, v 4 }, {v }, {v 3 }, { v 4 }}. O derivare prin rezoluţie a clauzei vide din S este următoarea: C = { v 4 } C 2S C 2 = { v 2, v 3, v 4 } C 2 2S C 3 = { v 2, v 3 } C 3 rezolvent al clauzelor C, C 2 C 4 = {v 3 } C 4 2S C 5 = { v 2 } C 5 rezolvent al clauzelor C 3, C 4 C 6 = { v, v 2 } C 6 2S C 7 = { v } C 7 rezolvent al clauzelor C 5, C 6 C 8 = {v } C 8 2S C 9 = C 9 rezolvent al clauzelor C 7, C 8. 5

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA  Sem. I, LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski

Mai mult

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul

Mai mult

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea   marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

Paradigme de programare

Paradigme de programare Curs 9 Logica propozițională. Logica cu predicate de ordinul întâi. Context Scop: modelarea raționamentelor logice ca procese de calcul efectuate pe mașini de calcul Abordare Descrierea proprietăților

Mai mult

Notiuni de algebra booleana

Notiuni de algebra booleana Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

Retele Petri si Aplicatii

Retele Petri si Aplicatii Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire

Mai mult

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 27 octombrie 2014

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea   marius/curs/lsd/ 27 octombrie 2014 Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 27 octombrie 2014 Logica stă la baza informaticii circuite logice: descrise în algebra

Mai mult

Logică și structuri discrete Logica predicatelor Casandra Holotescu

Logică și structuri discrete Logica predicatelor Casandra Holotescu Logică și structuri discrete Logica predicatelor Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Logică: recapitulare Folosim logica pentru a exprima riguros (formaliza) raționamente.

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:

Mai mult

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:

Mai mult

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

ExamView Pro - Untitled.tst

ExamView Pro - Untitled.tst Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula

Mai mult

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului

Mai mult

CAPITOLUL I

CAPITOLUL I CAPITOLUL I. LIMBAJE FORMALE 1.1. CONCEPTE DE BAZĂ Cunoaştem unele limbaje de nivel înalt, cum sunt Pascal, Fortran, Basic, C şi altele. Ne scriem programele în aceste limbaje iar când citim un program

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

Retele Petri si Aplicatii

Retele Petri si Aplicatii Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2019) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f

ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată

Mai mult

I. INTRODUCERE 1. Necesitatea studiului logicii Teodor DIMA În activitatea noastră zilnică, atunci când învăţăm, când încercăm să fundamentăm o părere

I. INTRODUCERE 1. Necesitatea studiului logicii Teodor DIMA În activitatea noastră zilnică, atunci când învăţăm, când încercăm să fundamentăm o părere I. INTRODUCERE 1. Necesitatea studiului logicii Teodor DIMA În activitatea noastră zilnică, atunci când învăţăm, când încercăm să fundamentăm o părere proprie sau o idee, când comunicăm anumite impresii

Mai mult

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea   marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu

Mai mult

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente

Mai mult

Microsoft Word - Planuri_Mate_

Microsoft Word - Planuri_Mate_ ANUL I 2018-2019 (TRUNCHI COMUN pentru programele de studii universitare de licență: MATEMATICĂ, MATEMATICĂ- INFORMATICĂ, MATEMATICI APLICATE) I 1. Algebră 3 3 E 6 3 3 E 7 2. Analiză matematică 3 3 E 6

Mai mult

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from

Mai mult

Microsoft Word - Curs_07.doc

Microsoft Word - Curs_07.doc 5.3 Modificarea datelor în SQL Pentru modificarea conţinutului unei baze de date SQL pune la dispoziţie instrucţiunile insert, delete şi update. 5.3.1 Inserări în baza de date Sintaxa instrucţiunii insert

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

Slide 1

Slide 1 Logica fuzzy Precizie si realitate Paternitatea logicii fuzzy Istoric Multimi fuzzy Fuzzy vs. probabilitate Operatii cu multimi fuzzy Implementare Arduino a mf 1 / 27 Precizie si realitate Fuzzy: vag neclar

Mai mult

MergedFile

MergedFile PROIECT DIDACTIC Clasa a VI-a Matematică Proiect didactic realizat de Nicoleta Popa, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Circuite Integrate Digitale Conf. Monica Dascălu Curs Seminar Laborator notă separată Notare: 40% seminar 20% teme // + TEMA SUPLIMENTARA 40% examen 2014 CID - curs 1 2 Bibliografie Note de curs Cursul

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

1

1 Contents 1 Automate finite... 2 1.1 Probleme cu AF... 2 1.2 Structuri de date pentru automate finite... 4 2 Gramatici si limbaje; gram. indep. de context... 5 2.1 Limbaje... 5 2.2 Gramatici si limbaje...

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi

Mai mult

15. Logică matematică cu aplicații în informatică - MI 3

15. Logică matematică cu aplicații în informatică - MI 3 FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2

Mai mult

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

Microsoft Word - Mihailesc Dan_Test logica (1).doc

Microsoft Word - Mihailesc Dan_Test logica (1).doc Variantă subiecte bacalaureat 2018 Proba E. d) Logică, argumentare şi comunicare Conform modelului publicat Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este

Mai mult

Microsoft Word - _arbori.docx

Microsoft Word - _arbori.docx ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă

Mai mult

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină

Mai mult

Limbaje Formale, Automate si Compilatoare

Limbaje Formale, Automate si Compilatoare Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme

Mai mult

Microsoft Word - Mapa 0.doc

Microsoft Word - Mapa 0.doc ACADEMIA ROMÂNĂ INSTITUTUL DE FILOSOFIE ŞI PSIHOLOGIE CONSTANTIN RĂDULESCU-MOTRU PROBLEME DE LOGICĂ VOL. XIII Dragoş POPESCU Coordonatori: Ştefan-Dominic GEORGESCU EDITURA ACADEMIEI ROMÂNE Bucureşti, 2010

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii Preliminarii logice 3 Exerciţii la Prelimin

ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii Preliminarii logice 3 Exerciţii la Prelimin ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii 3 1.1. Preliminarii logice 3 Exerciţii la Preliminarii logice 3 1.2. Mulţimi 3 Operaţii cu mulţimi 4

Mai mult

Metode Numerice

Metode Numerice Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă

Mai mult

43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru tra

43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru tra 43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru transmiterea unei chei private. Aceste avantaj este compensat

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

PowerPoint-Präsentation

PowerPoint-Präsentation Universitatea Transilvania din Braşov Laboratorul de Vedere Artificială Robustă şi Control Metode Numerice Curs 01 Introducere Gigel Măceșanu 1 Cuprins Obiectivele cursului Organizare: Structura cursului

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_10_RO_2019_v1.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_10_RO_2019_v1.pptx SDA (PC2) Curs 10 Arbori Iulian Năstac Definiția 1: Arbori Recapitulare Arborele este un graf orientat, aciclic și simplu conex. Definiția 2: Un arbore este un ansamblu de structuri de date de natură recursivă

Mai mult

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA

Mai mult

Microsoft Word - Draghici_Logica_predicatelor.docx

Microsoft Word - Draghici_Logica_predicatelor.docx FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 InstituŃia de învăńământ UNIVERSITATEA BABES-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA superior 1.2 Facultatea FACULTATEA DE ISTORIE SI FILOSOFIE 1.3 Departamentul DEPARTAMENTUL DE

Mai mult

Logică computațională O introducere practică pentru studenți la informatică Note de curs Adrian Crăciun 24 ianuarie

Logică computațională O introducere practică pentru studenți la informatică Note de curs Adrian Crăciun 24 ianuarie Logică computațională O introducere practică pentru studenți la informatică Note de curs Adrian Crăciun adrian.craciun@e-uvt.ro 24 ianuarie 2019 1 Cuprins I. Introducere 2 1. Rezolvare problemelor prin

Mai mult

Microsoft Word - l10.doc

Microsoft Word - l10.doc Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea

Mai mult

Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată

Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două

Mai mult

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI

FIŞA DISCIPLINEI FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul

Mai mult

Slide 1

Slide 1 BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită

Mai mult

2

2 C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics

Mai mult

Introducere

Introducere Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic AEACD 17. Segmentarea imaginilor: Region-based segmentation. Graph Theory In Image Segmentation Region-based segmentation

Mai mult

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s 8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} sunt sungrupuri ale lui A. Propoziţia 8.2. Considerăm

Mai mult

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan

Mai mult

proiectarea bazelor de date

proiectarea bazelor de date Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie şi Dezvoltare Durabilă Departamentul de Automatică, Energie, Mediu şi Dezvoltare Durabilă Proiectarea bazelor de date Lect.dr. Adrian

Mai mult

OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1

OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1 OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea

Mai mult

Microsoft Word - Curs_09.doc

Microsoft Word - Curs_09.doc Capitolul 7. Proiectarea conceptuală Scop: reprezentarea cerinţelor informale ale aplicaţiei în termenii descrierii complete şi formale dar independent de criteriul folosit pentru reprezentare în sistemul

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

Capitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiil

Capitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiil Capitole Speciale de Informatică Curs 1: Extragerea informaţiilor. Modelul boolean şi modelul boolean extins 27 septembrie 2018 Extragerea informaţiilor (engl. Information Retrieval, IR) constă în găsirea

Mai mult

Curs7

Curs7 Analizor sintactic LL(1) S A { a a 1 i-1 a i Algoritm liniar LL(k) L = left (secvența este parcursă de la stânga la dreapta L = left (se folosesc derivări de stânga) Predicția are lungimea k S A { Principiu

Mai mult

matematica

matematica MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În

Mai mult

B

B F.I.A. Laboratorul numărul 3 Cătălin Stoean Unificarea şi recursivitatea Unificarea Unificarea reprezintă modul în care Prologul realizează potrivirile între termeni. La prima vedere, procesul de unificare

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula

Mai mult

gaussx.dvi

gaussx.dvi Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care

Mai mult

E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO

E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007 GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de

Mai mult

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,

Mai mult

Limbaje de Programare Curs 6 – Functii de intrare-iesire

Limbaje de Programare   Curs 6 – Functii de intrare-iesire Limbaje de Programare Curs 6 Funcţii de intrare-ieşire Dr. Casandra Holotescu Universitatea Politehnica Timişoara Ce discutăm azi... 1 Citire formatată 2 Citirea şirurilor de caractere 3 Citirea unor linii

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Forme Normale 4 Redundanţa Redundanţa este cauza principală a majorităţii problemelor legate de structura bazelor de date relaţionale: spaţiu utilizat, anomalii de inserare / stergere / actualizare. Redundanţa

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

MINISTERUL EDUCAŢIEI AL REPUBLICII MOLDOVA COORDONAT: " " 2017 Nr. de înregistrare a planului de învăţământ UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Aprobat:

MINISTERUL EDUCAŢIEI AL REPUBLICII MOLDOVA COORDONAT:   2017 Nr. de înregistrare a planului de învăţământ UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Aprobat: MINISTERUL EDUCAŢIEI AL REPUBLICII MOLDOVA COORDONAT: " " 2017 Nr. de înregistrare a planului de învăţământ UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Aprobat: Senatul U.S.M. din " " 2017 Proces verbal nr. Facultatea

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

SECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE

SECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum

Mai mult

MergedFile

MergedFile PROIECT DIDACTIC Clasa a V-a Informatică și T.I.C. Proiect didactic realizat de Anișoara Apostu, profesor Digitaliada, revizuit de Radu Tăbîrcă, inspector școlar Informatică Textul și ilustrațiile din

Mai mult

Curs8

Curs8 Curs 8 Analiză sintactică LR(k) Termeni Predicție vezi LL(1) Manșa = simboluri din vârful stivei de lucru care formează (în ordine) pdp Analizor de tip deplasare - reducere: deplasează simboluripentru

Mai mult

Microsoft Word - CarteC.doc

Microsoft Word - CarteC.doc INSTRUCŢIUNILE LIMBAJULUI C (2) Instrucţiuni repetitive Instrucţiunea while Instrucţiunea while are formatul: while(expresie) Expresie DA Instrucţiune NU Instrucţiunea while produce în primul rând evaluarea

Mai mult