V.1 Tipuri de convergențe
|
|
- Albert Tomescu
- 3 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 acultatea de Matematică Teoria robabilităților, Semestrul IV Lector dr. Lucia MATICIUC Cursurile 1 13 LSNM, LTNM, TLC V.1 Tipuri de covergețe ie v.a. X și u șir N de v.a. defiite pe același spațiu de probabilitate Ω,,. Defiiţia V.1.1 Dacă X : Ω R este o v.a. defiim, petru p 0,, Defiiţia V.1. etru p 0, defiim care este spațiu vectorial. 1 def X p == E X p 1 p = X p p d. Ω L p Ω,, def == {X : Ω R : X v.a. astfel îcât X p < }, Remarca V.1.3 Să observăm că p devie o semiormă pe spațiul L p Ω,, doar dacă p [1,. Î plus, X p = 0 X p d = 0 X = 0,. etru a devei o ormă trebuie să lucrăm pe spațiul Ω L p Ω,, def == { X = X + N : X L p Ω,, }, ude N = {X : Ω R : X v.a. astfel îcât X = 0, }. etru X L p Ω,,, defiim X p = X p și X d = X d, petru orice X X. Ω Ω Evidet, X p și Ω X d u depid de alegerea reprezetatului X X deoarece lucrăm cu itegrale Lebesgue. Astfel L p Ω,, coție, de fapt, clase de echivaleță de v.a. X adică v.a. egale cu X astfel îcât X p <. Vom idetifica o v.a. cu clasa ei de echivaleță. Remarca V.1.4 Dacă p [1, ], atuci L p Ω,, este spațiu vectorial, ormat și complet, adică L p Ω,, este spațiu Baach. Defiiţia V.1.5 ie p [1, și X L p Ω,,, N L p Ω,,. Spuem că șirul N coverge î L p la X, și scriem L p X, petru, dacă lim X p = 0 sau, echivalet, lim E X p = 0. 1
2 Remarca V.1.6 olosid iegalitatea lui Hölder se obție iegalitatea lui Liapuov: E X p 1 p E X q 1 q, petru orice 0 < p < q, adică X p X q, petru orice 0 < p < q. Remarca V.1.7 Ca o coseciță a iegalității lui Liapuov obțiem și iegalitatea ditre mometele absolute: E X E X 1... E X 1, petru orice N. ri urmare, dacă o v.a. admite momet absolut de ordi, i.e. E X <, atuci admite și medie sau, echivalet, dacă o v.a. u admite medie, atuci u admite ici momet absolut de ordi. Mai precis, se poate arăta că mometul E X de ordi al uei v.a. X există și este fiit dacă și umai dacă media E X și dispersia D X există și sut fiite. L Remarca V.1.8 Î cazul particular î care X X, petru, obțiem covergeța î medie pătratică. Defiiţia V.1.9 Spuem că șirul N coverge aproape sigur la X, și scriem dacă X, petru, {ω : lim ω = X ω} = 1, adică mulțimea puctelor ω petru care u are loc covergeța puctuală ω X ω este o mulțime eglijabilă. Remarca V.1.10 Există exemple î care N sut v.a., X, petru, dar totuși limita u este v.a. etru a evita această problemă, și deci a asigura că limita oricărui șir de v.a. este tot o v.a., trebuie impus ca spațiul pe care se lucrează să fie spațiu de probabilitate complet 1. Orice spațiu de probabilitate se poate completa pri adaugarea la σ algebra a tuturor submulțimilor mulțimilor eglijabile și să impuem ca aceste submulțimi să fie tot eglijabile, mai precis, lucrâd cu σ algebra geerată de N, ude N este mulțimea tuturor eveimetelor eglijabile. Evidet, măsura poate fi extisă ușor astfel îcât să fie defiită pe σ algebra σ N. Defiiţia V.1.11 Spuem că șirul N coverge î probabilitate la X, și scriem X, petru, dacă, petru orice ɛ > 0, lim X > ɛ = 0. ropoziţia V.1.1 Limita î probabilitate a uui șir de v.a. N este uică, i.e. X, Y = X = Y,. 1 Remarca V.1.13 olosid defiiția, se poate arăta că limita î L p și limita aproape sigură a uui șir de v.a. sut și ele uice, î sesul dat de 1. 1 Spuem că spațiul de probabilitate Ω,, este spațiu de probabilitate complet dacă orice submulțime a uui eveimet ul este tot eveimet. Mai precis, dacă N este u eveimet eglijabil, i.e. N = 0, atuci orice M N este, de asemeea, eveimet, i.e. M pri urmare, se obție și M = 0.
3 Au loc și următoarele proprietăți de stabilitate ale covergeței î probabilitate î raport cu diverse operații. ropoziţia V.1.14 Dacă X și Y Y, petru, atuci i + Y X + Y, petru ; ii Y X Y, petru. Remarca V.1.15 Se poate arăta că proprietatea i, de stabilitate î raport cu suma, este adevărată și î cazul covergeței î L p precum și î cazul covergeței aproape sigure. Defiiţia V.1.16 ie X o v.a. defiită pe spațiul de probabilitate Ω,, și u șir N de v.a. astfel îcât fiecare v.a. este defiită pe spațiul de probabilitate Ω,,. Spuem că șirul N coverge î fucția de repartiție la X, și scriem X, petru, dacă petru orice x R î care X este cotiuă. lim X x = X x, Remarca V.1.17 Așa cum am văzut deja î ropoziția V.1.1 și î Remarca V.1.13, limita î L p, limita aproape sigură precum și limita î probabilitate sut uice. Acest lucru u mai este adevărat î cazul limitei î fucția de repartiție; î acest caz are loc doar uicitatea î lege a limitei, mai precis X, Y = X = d Y. Remarca V.1.18 Covergeța puctuală doar î puctele de cotiuitate petru X este suficietă petru a obție faptul că limita, î sesul fucției de repartiție, este uică î lege. Remarca V.1.19 Î cazul covergeței î fucția de repartiție fiecare v.a. poate fi defiită evetual, u obligatoriu pe u alt de spațiu de probabilitate Ω,,, ude N. Evidet, fucțiile de repartiție vor fi defiite pe același spațiu X, X : R [0, 1]. Mețioăm că î cazul covergeței î probabilitate, a covergeței aproape sigure precum și a covergeței î L p este esețial ca v.a. X și să fie defiite pe același spațiu de probabilitate Ω,, petru orice N. Remarca V.1.0 Covergeța î fucția de repartiție se mai umește și covergeța î distribuție, otată d lege L X, sau covergeța î lege, otată X sau X, sau covergeța slabă, otată weak X. Defiiţia V.1.1 ie v.a. defiite pe spațiul de probabilitate Ω,, și v.a. X defiită pe spațiul Ω,,. Spuem că șirul N coverge î fucția caracteristică la X, și scriem ϕ X, petru, dacă lim ϕ X t = ϕ X t, petru orice t R. Remarca V.1. Î cazul covergeței î fucția caracteristică ca și î cazul covergeței î fucția de repartiție fiecare v.a. poate fi defiită pe u alt de spațiu de probabilitate Ω,,. Evidet, fucțiile caracteristice sut defiite pe același spațiu ϕ X, ϕ X : R C. Următoarele rezultate stabilesc legăturile ditre diversele tipuri de covergețe. 3
4 Teorema V.1.3 i X = X. ii X = există k k N astfel îcât k Teorema V.1.4 Aplicâd iegalitatea lui Markov, obțiem L p X = X. Teorema V.1.5 Teorema Covergeței Domiate a lui Lebesgue Î codiții suplimetare, L X = X p X. k + X. Mai precis, dacă X, petru și dacă există v.a. Y L p Ω,, astfel îcât Y, petru orice N L, atuci X p X, petru. Teorema V.1.6 X = X v.a. X, sut defiite pe același spațiu de probabilitate Ω,,. Teorema V.1.7 ude c este o v.a. costată. c = c, Remarca V.1.8 ie v.a. defiite pe Ω,, și v.a. X defiită pe Ω,,. Aplicâd teorema lui Lévy obțiem ϕ X X. V. Legea Numerelor Mari Î următoarele două secțiui vom folosi următoarele otații. Dacă X k k N este u șir de v.a., atuci Defiiţia V..1 Dacă u șir X k k N de v.a. satisface def == X def k și X == k=1, ude N. E S 0, petru sau, echivalet, E X 0, petru atuci spuem că șirul dat satisface legea slabă a umerelor mari LSNM. Corolarul V.. ie X k k N u șir de v.a. de pătrat itegrabil astfel îcât Atuci șirul X k k N satisface LSNM. lim D S =
5 Remarca V..3 Î cazul particular î care v.a. sut de pătrat itegrabil și idepedete două câte două astfel îcât șirul D X k este mărgiit, codiția 3 este satisfăcută. k N Remarca V..4 Î cazul particular î care v.a. sut de pătrat itegrabil și de tip i.i.d. idepedeța este două câte două, atuci codiția 3 este satisfăcută deoarece 1 k=1 D X k = 1 D X 1. Astfel, dacă E X k = µ < + și D X k = σ < +, petru orice k N, atuci șirul X k k N satisface LSNM, mai precis, se obție µ, petru. 4 Remarca V..5 Să observăm că 4 poate fi obțiută și direct, folosid iegalitatea lui Cebâșev. Avem E E X = = µ și dispersia D X = D S k=1 = D X k = σ. Utilizâd iegalitatea lui Cebâșev obțiem deci adică X µ 0, petru. X µ < ɛ 1 σ ɛ, lim X µ < ɛ = 1, Exemplul V..6 ie X k k N u șir de v.a. de tip i.i.d., cu X k Beroulli p = B 1, p, k N. utem vedea X k ca v.a. care desemează umărul de apariții ale uui eveimet A umit Succes la îcercarea k, cu probabilitatea p de apariție a Succesului: 0 1 X k :, k N. q p V.a. f def == k=1 X k se umește frecveța absolută de apariție a Succesului î cele probe și are drept valori umărul de apariții ale Succesului î cele observații. ri urmare f urmează o distribuție de tip biomial cu f B, p. V.a. f se umește frecveța relativă de apariție a Succesului. Avem E X k = p și D X k = pq 1 4, petru orice k N. Coform Remarcii V..3 obțiem sau, echivalet, f k=1 p f = f p 0, petru p, petru, 5 5
6 adică șirul fecvețelor relative de apariție a Succesului coverge î probabilitate la p care este probabilitatea, teoretică, de apariție a Succesului la o sigură îcercare. Cu alte cuvite, dacă f este frecveța absolută de apariție a uui eveimet A î probe idepedete și p este probabilitatea de apariție a lui A idiferet de probă, atuci frecveța relativă f de apariție a eveimetului A î cele probe tide î probabilitate la p, i.e. limita 5: f p, petru. Î toate rezultatele de mai sus s-a cerut ca v.a. să fie de pătrat itegrabil. Se poate arăta că șirul X k k N satisface LSNM presupuâd doar itegrabilitatea v.a.. Demostrația se face pri truchierea v.a., luâd, mai îtâi, Xk = X k 1 { Xk k}. Teorema V..7 ie X k k N u șir de v.a. itegrabile și de tip i.i.d. idepedeța este două câte două astfel îcât E X k = µ < +, petru orice k N. Atuci șirul X k k N satisface LSNM, mai precis, se obție µ, petru. Ne iteresează î cotiuare ca codițiile ca limita să aibă loc aproape sigur. Defiiţia V..8 Dacă u șir X k k N de v.a. satisface E S 0, petru sau, echivalet, E X 0, petru atuci spuem că șirul dat satisface legea tare a umerelor mari LTNM. Teorema V..9 ie X k k N u șir de v.a. de tip i.i.d. idepedeța este două câte două astfel îcât E X k = µ există fiită sau ifiită, petru orice k N. Atuci șirul X k k N satisface LTNM, mai precis, se obție µ, petru. ropoziţia V..10 ie X k k N u șir de v.a. idepedete î asamblu și de pătrat itegrabil astfel îcât Atuci șirul X k k N satisface LTNM. + k=1 D X k k < +. Remarca V..11 Î cazul particular î care X k k N este u șir de v.a. idepedete î asamblu și de pătrat itegrabil astfel îcât șirul D X k este mărgiit, X k N k k N satisface LTNM. 6
7 Remarca V..1 Aplicâd Remarca V..11 obțiem, utilizâd otațiile și cadrul de lucru di Exemplul V..6, f p, petru, 6 adică șirul fecvețelor relative de apariție a Succesului coverge aproape sigur la p care este probabilitatea, teoretică, de apariție a Succesului la o sigură îcercare. Cu alte cuvite, dacă f este frecveța absolută de apariție a uui eveimet A î probe idepedete și p este probabilitatea de apariție a lui A idiferet de probă, atuci frecveța relativă f de apariție a eveimetului A î cele probe tide aproape sigur la p, i.e. limita 6. V.3 Teorema Limită Cetrală ie șirul X k k N de v.a. de tip i.i.d. idepedeța este î asamblu astfel îcât au dispersie fiită și să otăm E X k = µ și D X k = σ, petru orice k N. Studiem î cotiuare problema covergeței î repartiție a șirului sumelor = k=1 X k stadardizate, i.e. a șirului de v.a. date de E D, ude N. Să observăm că deoarece E D = µ σ = µ σ/ = X E X D, X E = µ, E X = µ, D = σ, D X = 1 σ. 7 Deci v.a. S µ σ este stadardizarea v.a. iar v.a. µ σ/ este stadardizarea v.a. X, ude N. Teorema V.3.1 Teorema Limită Cetrală ie șirul X k k N de v.a. de tip i.i.d. idepedeța este î asamblu astfel îcât Atuci are loc covergeța E X k = µ < + și D X k = σ < +, petru orice k N. E D Z N0, 1, petru. 8 ri urmare, șirul de v.a. stadardizate ormală stadard. S ES are drept limită î sesul fucției de repartiție o v.a. D Remarca V.3. olosid 7 deducem că relația 8 poate fi scrisă și sub forma E D = µ σ Z N0, 1, petru 9 sau, echivalet, E X D X = µ σ/ Z N0, 1, petru, 10 7
8 adică lim S µ z = lim X µ z = Z z == ot Φz, σ σ/ petru orice z R, 11 ude Φ este fucția de repartiție asociată v.a. Z N0, 1, i.e. Φ z ot == Z z = z f Z t dt = 1 π z e t dt, z R, petru care există tabele cu valori ale ei. Să reamitim faptul că fucția de repartiție Φ z = z f Z t dt reprezită și aria domeiului pla cupris ître x = z, axa Ox și curba y = f Z x. Remarca V.3.3 ri urmare, petru suficiet de mare, S µ z = S µ z Φ z, σ σ z R 1 sau, echivalet, Deci, petru orice a < b +, a < S µ b σ X µ σ/ z = X µ z Φ z, z R. 13 σ/ = S µ σ b S µ σ a sau, echivalet, a < X µ σ/ b = X µ b σ/ X µ a σ/ și astfel, folosid 1 și 13, obțiem că, petru suficiet de mare, a < S µ b = a < X µ σ σ/ b Φ b Φ a, petru orice a < b Astfel am obțiut următoarele estimări petru ca, sau respectiv, să fie ître aumite limite: a σ + µ < b σ + µ Φ b Φ a sau, echivalet, a σ + µ < b σ + µ Φ b Φ a. Remarca V.3.4 Dacă X este o caracteristică cercetată și X 1,..., este o selecție de volum, atuci, pri defiiție, v.a. X k, k = 1,, sut de tip i.i.d., urmâd distribuția v.a. X, deci obțiem că E X k = E X = µ iar D X k = D X = σ, petru k = 1,. Atuci, petru suficiet de mare > 30, media de selecție def == X urmează o distribuție ormală de tip N µ, σ, oricare ar fi legea de repartiție a lui X. Îtr-adevăr, aplicâd Teorema Limită Cetrală, Z = µ σ/ Z N0, 1, petru. 8
9 Astfel obțiem = σ Z + µ σ Z + µ N µ, σ. Aplicâd Teorema Limită Cetrală obțiem că distribuția ormală este cazul limită al multor distribuții. Deci petru valori mari ale lui putem folosi doar tabele distribuției ormale. Î cazul particular al șirului X k k N de v.a. de tip i.i.d. idepedeța este î asamblu, urmâd o distribuție Beroulli, X k B 1, p, petru k N, se obție B, p, ude N. Î acest caz are semificația de frecveța absolută de apariție a Succesului la îcercări iar are semificația de frecveța relativă de apariție a Succesului la îcercări. Coform formulelor de calcul petru media și dispersia uei v.a. distribuite biomial, avem Obțiem astfel următorul rezultat. E = p și D = pq. Teorema V.3.5 Teorema lui Moivre-Laplace ie șirul X k k N asamblu și distribuite Beroulli X k B 1, p. Atuci are loc covergeța de v.a. de tip i.i.d. idepedeța este î p pq Z N0, 1, petru. Remarca V.3.6 Avem faptul că, petru suficiet de mare, S µ σ Z z, pri urmare vezi și 14, folosid a S p b = S µ b S µ a, pq σ σ obțiem că petru orice a < b + și, petru suficiet de mare, z este aproximativ egal cu Φ z def == a S p b = a < X p b Φ b Φ a. 15 pq pq/ Deci am obțiut următoarele estimări petru ca frecveța absolută sau respectiv frecveța relativă, să fie ître aumite limite: a pq + p < b pq pq + p = a + p < X pq b + p Φ b Φ a. 9
Limite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai multMicrosoft Word - 3 Transformata z.doc
Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multMicrosoft Word - subiecte
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Mai multMicrosoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc
CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 8 2019 Aca Igat Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u
Mai multCAPITOLUL 1
3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul
Mai multDependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,
Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție
Mai multSTRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe
STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia
Mai multMicrosoft Word - anmatcap1_3.doc
. IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral
Mai multMatematici aplicate științelor biologie Lab10 MV
LP10 - TATITICA INFERENŢIALĂ. Itervale de îcredere. Cosiderații teoretice Majoritatea studiilor statistice u se realizează pe îtreaga populaţie statistică di uul sau mai multe icoveiete: - talia populaţie
Mai mult1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob
1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: 19.6 19.9 20.4 19.8 20.5 21.0
Mai multCe este decibelul si Caracteristica BODE
. Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W
Mai multCURS 8
Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul
Mai multSIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv
SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări
Mai multProgramare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e
Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multMicrosoft Word - pag_006.doc
ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multCurs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e
Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui
Mai multPagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia
Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației
Mai multMicrosoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc
ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F
Mai multPreţ bază
OPERATORUL PIEŢEI DE ENERGIE ELECTRICĂ ŞI DE GAZE NATURALE DIN ROMÂNIA INDICATORI SPECIFICI PUBLICAŢI DE OPCOM SA PREŢURI ŞI INDICI DE PREŢ/VOLUM Piaţa petru Ziua Următoare (PZU) Preţuri orare [lei/mwh]
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multConcursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat
Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a
Mai multPrograma olimpiadei de matematică
Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval
BAEM DE COECTAE Clasa a -a Pagia di 9 Subiect - MECANICĂ CLASICĂ Parţial Puctaj Bare subiect ucte Problea. Mişcări ucte a.) Mișcarea puctului aterial este uifor ariată a / cost. Eidet rectiliie u poate
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai mult1
APROXIMAREA PROFILULUI TRANSVERSAL AL DRUMURILOR PRIN FUNCŢII MATEMATICE ÎN VEDEREA EVALUARII PARAMETRILOR DE CALITATE AI SUPRAFEŢEI CAROSABILE Prof dr ig Bruj Adri Şef lucr dr ig Dim Mri Asist ig Cătăli
Mai multOLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.
Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.
Mai multHNT_vol_Vorbire_v_7_hhh.PDF
Utilizarea tehicilor uatate (fuzzy) si de diamica eliiara petru siteza adaptiva a vorbirii Horia-Nicolai L. Teodorescu cademia Româa, Sectia Stiita si Tehologia Iformatiei, Calea Victoriei 25, Bucuresti
Mai multModelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO
Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz
Uiversitatea Politehica di ucureşti Facultatea de Electroică, TelecomuicaŃii şi Tehologia IformaŃiei Tehici Avasate de Prelucrarea şi Aaliza Imagiilor urs 7 Morfologie matematică Pla urs 7 Morfologie matematică
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai mult1 2 1
1 2 1 3 PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MA- TEMATICĂ 3.1 SPAŢIU PROBABILISTIC, DEFINIŢII, PROPRIE- TĂŢI Teoria probabilităţilor este analiza matematică a noţiunii de experienţă aleatoare (sau aleatorie, întâmplătoare,
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai mult02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multProbleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multMicrosoft Word - fmnl06.doc
Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multNr. 1 Septembrie/Octombrie pagini De la Ferme Adunate Proiecte: Programul Contract Grower Cum poţi deveni investitor cu
www.smithfieldferme.ro Nr. 1 Septembrie/Octombrie 2009 6 pagii De la Ferme Aduate Proiecte: Programul Cotract Grower Cum poţi devei ivestitor cu ajutorul Smithfield Ferme şi al Uiuii Europee Judeţele di
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE UNIVERSITATEA OVIDIUS DIN CONSTANŢA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ PLAN DE ÎNVĂŢĂMÂNT (conţine 11 pagi
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE UNIVERSITATEA OVIDIUS DIN CONSTANŢA PLAN DE ÎNVĂŢĂMÂNT (conţine 11 pagini) Domeniul fundamental: Matematică si Știinte ale Naturii Domeniul de licenţă: Matematică
Mai multUnitatea de învăţare nr
Numr compl Uitata d îvăţar r. Numr compl upris Pagia Obictivl uităţii d îvăţar r.. Forma umrlor compl. Opraţii cu umr compl Lucrar d vriicar uitata d îvăţar r. 5 Răspusuri şi comtarii la îtrbăril di tstl
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multInvesteşte în oameni
FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Politehnică Timișoara 1. Facultatea / Departamentul 3 Facultatea de Inginerie Hunedoara / Inginerie Electrică
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multCOMUNA MIRCEA VODA MIRCEA VODA CONSTANTA SITUATIE PRIVIND MONITORIZAREA CHELTUIELILOR DE PERSONAL + PE LUNA...lULlE...ANUL CAP. 51 ADMINISTR
PRIVIND MONITORIZAREA CHELTUIELILOR DE PERSONAL + PE LUNA...lULlE...ANUL...217... CAP. 51 ADMINISTRATIE PUBLICA t Cc')/ rt. DENUMIRE INDICATORI TOTAL Cheltuieli cu salariile i bai Salarii de baza Salarii
Mai multMicrosoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multMicrosoft Word - PLANIFICARE CLASA 2.doc
Mariana Morãraºu Matematicã ºi Explorarea mediului Planificarea calendaristicã Proiectarea unitãþilor de învãþare Clasa a II-a Semestrul I Aria curriculară: Matematică și Științe ale naturii Disciplina:
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multMicrosoft Word - Documentatie_Finala_versiunea_IT
I. Raportare fiaciara Nr proiect I. DATE GENERALE. Nume : I.. Date persoale ale directorului de proiect.2 Preume :.3 Telefo :.4 E-Mail : I..2 Istitutia coordoatoare a proiectului 2. Deumire istitutie,
Mai multMINISTERUL NVźÅMÂNTULUI Program TEMPUS JEP 3801 SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT Daniel SCRÅDEANU MODELE GEOSTATISTICE N HIDROLOGIE VOL. I Serie co
MINISTERUL NVźÅMÂNTULUI Program TEMPUS JEP 380 SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT Daiel SCRÅDEANU MODELE GEOSTATISTICE N HIDROLOGIE VOL. I Serie coordoatå de: Jea Pierre CARBONNEL Uiversitatea Pierre
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematica 1.3 Departamentul Matematica Didactic 1.4
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multAlgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2
lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez
Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multȘcoala: Clasa a V-a Nr. ore pe săptămână: 4 Profesor: MATEMATICĂ Clasa a V-a Aviz director PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ORIENTATIVĂ Nr. crt. Unitatea de
Școala: Clasa a V-a ore pe săptămână: 4 Profesor: MATEMATICĂ Clasa a V-a Aviz director PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ORIENTATIVĂ de SEMESTRUL I. Recapitulare, iniţială. Numere - reprezentare comparare, estimare
Mai multMicrosoft Word - F.Paladi_TD_manual.doc
dq d d c lm lmt lm 0, T 0 dt T 0 dt T 0 d lt deoarece lm(lt ) La fel se poate demostra că ş T 0 cp cv lm 0, care tde către zero ma let decât dfereţa de la T 0 cp umărător c c P V 15 Etropa Exstă tre formulăr
Mai multMatematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VI
Matematika román nyelven középszint 83 ÉRETTSÉGI VIZSGA 09. május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Informaţii utile
Mai multMicrosoft Word - final7.doc
Metode uerice î igieri electrică Cuvât-îite Lucrre iligvă roâă-frceză Metode uerice î igieri electrică Aplicţii î C++ şi Turo Pscl prezită o viziue proprie utorilor supr teoriei şi plicării etodelor uerice
Mai mult