Capitolul MD.13. Metode numerice pentru ED Cuvinte-cheie diferenţe finite, rezolvare numerică, metoda Runge-Kutta. Metoda diferenţelor finite

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Capitolul MD.13. Metode numerice pentru ED Cuvinte-cheie diferenţe finite, rezolvare numerică, metoda Runge-Kutta. Metoda diferenţelor finite"

Transcriere

1 Capioll Cvie-ceie diereţe iie rezolvare merică meoda Re-a Meoda diereţelor iie dacă eisă şi ese iiă limia lim Fie mărl real a.î. <. Nmim diereţă iiă a cţiei epresia ( Diereţele iie de ordi sperior s ( Avem relaţiile ( v v ( α α ( ( ( Pri rmare diereţele iie de ordi sperior s ( ( ( O cţie : [ a b] IR ese derivabilă î [ ab] ( ( ( ( ( ( ( ( a c pasl (ales a.î. IN [ ab] { a }. Deoarece ormlele (-( se rescri Cosiderăm diviziea iervalli [ b] Noăm ( Derivaele cţiei î pcele se aproimează c ( Ueori se olosesc diereţe iie cerae MD... Rezolvarea merică a problemei Cac per o e.d. de ordil îâi ( (5

2 Cosiderăm problema Cac per o ecaţie diereţială de ordil îâi [ ab] ( ( a de : [ a b] IR ese cţia ecoscă derivabilă : [ ab] D IR coiă D IR IR. Prespem că cţia îdeplieşe codiţiile eoremei de eiseţă şi iciae a solţiei. Rezolvarea merică a acesei ecaţii prespe ăsirea valorilor aproimaive a b adică dorim să ale solţiei eace î pcele ei divizii a iervalli [ ] deermiăm pcele M M di care coaşem la îcep doar pcl. Acese pce ormează o liie polioală care aproimează raicl solţiei eace. Asociem sisemli ( siseml ( (7 să calcleze sccesiv Se poae scrie proram care porid de la (... (. S-a dezvola diverse meode de rezolvare a sisemli (7 dâd diverse valori cţiei. A. Meoda dezvolării î serie Talor Prespem că cţia se poae dezvola î serie Talor î veciăaea iecări pc :...!! Îlocim. Aci ( ( ( ( ( ( ( ( [ ]... (8!! B. Meoda Eler păsrează doar primii doi ermei di dezvolarea (8 deci. Siseml (7 se scrie ( Ea ese o meodă de ordil îâi şi oeră o precizie saisacăoare c câ creşe c aâ creşe eroarea. C. Meoda Eler modiicaă (meodă predicor-corecor cosideră D. Meoda Re a Aceasă meodă evalează cţia î pce iermediare di iervall. Î calcll li apar mai valori calclae la pasl precede. Aloriml Re a

3 a.î. ermel di dreapa al ecaţiei di (7 să coicidă c dezvolarea î serie Talor (8 pâă la ermei de ordil a cţiei c ormlele de ordil calclează ( ( ( ( ( (7 cosc Meoda Re a implică volm mare de calcle deoarece per iecare pc se repeă calcll valorilor cţiei î pce per o meodă de ordil. Î MATAB se poae obţie aproimarea solţiei problemei Cac olosid de eempl procedrile ode5 sa ode. Acesea a la baza meode de ip Re a implemeae î alorimi care permi adaparea pasli şi coroll erorii. Erori Erorile ăce pri meodele merice se po evala c ajorl resli dezvolării î serie Talor. Noăm eroarea c ε. Dacă oprim di dezvolarea î serie Talor ermei pâă la eroarea ese ε... [...] deci eroarea ese de ordil li :!! ε O (. Spem că meoda respecivă ese de ordil. Meoda Eler ese de ordil îâi: eroarea ese ε! ε O( ; Meoda Re a de ordil reţie di dezvolarea î serie Talor ermei 5 pâă la ε O. deci eroarea ese ( ( Eempl. Se dă problema Cac î pcl. olosid pasl. c meodele Eler şi Re a de ordil. Rezolvare. Meoda R-. ( ( ( (. [ ]. Se cere valoarea li

4 .. ( 888 (. (.. Solţia eacă a problemei ese e (. e.. Y e X X Î iră s reprezeae solţia eacă şi valorile calclae c meoda Re-a. Meoda Eler...! Se observă că aproimarea pri meoda Eler dieră ml de solţia eacă pe câd pri meoda Re-a se obţie aceeaşi valoare c solţia eacă. M.D... Rezolvarea merică a problemei Cac per siseme de e.d. de ordil îâi Meodele merice de rezolvare a ecaţiilor diereţiale se po eide la rezolvarea sisemelor de e.d. de ordil îâi. Vom eempliica meodele Eler şi Re- a per siseme de doă ecaţii diereţiale de ordil îâi per doă cţii ecosce c codiţii iiţiale. Fie siseml ( ( ( ( ( a ( a de : [ ab] IR ( ( : [ a b] D IR coie IR iervalli [ a b] c pasl X [ ab] s cţiile ecosce derivabile D IR. Cosiderăm diviziea IN şi oăm ( (. Meoda Eler oloseşe ormlele [ ab] { a }

5 5 ( ( cosce Meoda Re-a de ordil oloseşe ormlele ( ( cosce ( ( ( ( M.D... Rezolvarea problemei Cac per e.d. de ordi sperior Orice ecaţie diereţială de ordil se poae rasorma îr- sisem de ecaţii de ordil îâi pri rmare se po olosi meodele merice de rezolvare de mai ss. Eempl. Fie problema Cac ( ( ( [ ] Dacă oăm ( ( ( ( obţiem siseml de ecaţii per ecoscele ( ( M.D... Rezolvarea merică a ecaţiilor diereţiale de ordi sperior c codiţii la limiă Ne vom ocpa de e.d. de ordil al doilea c codiţii la limiă: ( ( ( ( [ ] ( ( β α b a ab ( Meoda. Se rezolvă o problemă c codiţii iiţiale ( ( ( ( [ ] ( ( α c a a b a Noăm solţia acesei probleme ( c şi alăm c asel îcâ să ie veriicaă a doa codiţie la limiă ( β bc ( ( c c c.

6 Meoda. Cosiderăm diviziea iervalli [ a b] c pasl IN şi olosim diereţele iie cerae Obţiem siseml c ecoscele... α β Siseml se poae rezolva c ajorl i proram. [ ab] { a } Biblioraie. arioesc D. BerciaR. Maemaici speciale per iieri Ed. Priec Bcreşi. Mariesc G. Badea I. Probleme de aaliză merică Ed. Didacică şi pedaoică Bcreşi978. Bcr C.M. Meode merice Ed. Facla Timişoara 97