Programarea calculatoarelor
|
|
- Eremia Ababei
- 3 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Universitatea Constatin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Automatică, Energie şi Mediu Programarea calculatoarelor Lect.dr. Adrian Runceanu
2 Curs Programarea calculatoarelor 2
3 Capitolul 9. Funcții 9.8. Probleme rezolvate cu ajutorul funcţiilor Funcţii definite de utilizator Funcţii de tip void 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Programarea calculatoarelor 3
4 Funcţii de tip void Problema 8: Enunţ: Se consideră un număr natural în baza 10. Se cere să se scrie câte o funcţie care să afişeze reprezentarea numărului dat în bazele 2 şi 8. Exemplu: Pentru n=25 10 : reprezentarea numărului în baza 2 este reprezentarea numărului în baza 8 este Programarea calculatoarelor 4
5 #include <iostream.h> int n; void baza_2(int n) int i=1, j, x[30], cifre; while(n!= 0) x[i] = n % 2; n = n / 2; i++; Se rețin resturile împărțirii numărului la Programarea calculatoarelor 5
6 Funcţii de tip void cifre = i-1; cout<<"reprezentarea numarului in baza 2 este:"; for(i = cifre; i >= 1; i--) cout<<"\n"; return; cout<<x[i]; Programarea calculatoarelor 6
7 Funcţii de tip void void baza_8(int n) int i=1, j, x[30], cifre; while(n!= 0) x[i] = n % 8; n = n / 8; i++; Se rețin resturile împărțirii numărului la Programarea calculatoarelor 7
8 Funcţii de tip void cifre = i-1; cout<<"reprezentarea numarului in baza 8 este: "; for(i=cifre; i>=1; i--) cout<<x[i]; cout<<"\n"; return; Programarea calculatoarelor 8
9 Funcţii de tip void int main() cout<<"dati n = "; cin>>n; baza_2(n); baza_8(n); Programarea calculatoarelor 9
10 Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 10
11 Problema 9: Funcţii de tip void Enunţ: Se consideră un număr natural n. Se cere să se scrie câte o funcţie, pentru următoarele cerinţe: Să se afişeze toate numerele prime mai mici sau egale cu n Să se afişeze toate numerele perfecte mai mici sau egale cu n Să se afişeze toate numerele pătrate perfecte mai mici sau egale cu n Programarea calculatoarelor 11
12 #include <iostream.h> #include <math.h> int n; void numere_prime(int n) int i, j, prim; cout<<"numerele prime mai mici sau egale decat "<<n<<" sunt \n"; for(i=2; i<=n; i++) prim = 1; for(j=2; j<=i/2; j++) if( i % j == 0 ) prim=0; if(prim==1) cout<<i<<" "; return; Programarea calculatoarelor 12
13 void numere_perfecte(int n) int i, j, suma; cout<<"numerele perfecte mai mici sau egale decat "<<n<<" sunt \n"; for(i=6; i<=n; i++) suma = 0; for(j=1; j<=i/2; j++) if( i%j == 0 ) suma = suma + j; if( suma == i ) cout<<i<<" "; return; Programarea calculatoarelor 13
14 Funcţii de tip void void numere_patrate_perfecte(int n) int i; cout<<"numerele patrate perfecte mai mici sau egale decat "<<n<<" sunt \n"; for(i=1; i<=n; i++) if( sqrt(i) == floor( sqrt(i) ) ) cout<<i<<" "; return; Programarea calculatoarelor 14
15 Funcţii de tip void int main() cout<<"dati n = "; cin>>n; numere_prime(n); cout<<"\n"; numere_perfecte(n); cout<<"\n"; numere_patrate_perfecte(n); Programarea calculatoarelor 15
16 Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 16
17 Problema 10: Enunţ: Funcţii de tip void Scrieţi o funcţie care să aibă ca rezultat valoarea minimă existentă într-un tablou de numere intregi Programarea calculatoarelor 17
18 #include <iostream.h> int x[100], n; int minim(int x[100], int n) int i, min; min = x[1]; for(i=2; i<=n; i++) if( x[i] < min ) min = x[i]; return min; Programarea calculatoarelor 18
19 Funcţii de tip void int main() cout<<"dati numarul de elemente n = "; cin>>n; for(i=1; i<=n; i++) cin>>x[i]; cout<<"minimul este: "<<minim(x,n)<<"\n"; Programarea calculatoarelor 19
20 Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 20
21 Funcţii de tip void Problema 11: Enunţ: Pentru un număr natural n dat, se cere: să se determine toţi divizorii pozitivi să se calculeze numărul divizorilor să se calculeze suma divizorilor să se calculeze produsul divizorilor numărului n Programarea calculatoarelor 21
22 #include <iostream.h> int n; // functie care afiseaza toti divizorii proprii ai numarului n void divizori(int n) int i; for(i=1; i<=n; i++) if( n % i == 0 ) cout<<i<<" "; return; Programarea calculatoarelor 22
23 // functie care calculeaza numarul de divizori ai numarului n int nr_divizori(int n) int i, nr = 0; for(i=1; i<=n; i++) if( n % i == 0 ) nr++; return nr; Programarea calculatoarelor 23
24 // functie care calculeaza suma divizorilor numarului n int suma_divizori(int n) int i, s = 0; for(i=1; i<=n; i++) if( n % i == 0 ) s = s + i; return s; Programarea calculatoarelor 24
25 // functie care calculeaza produsul divizorilor numarului n int produs_divizori(int n) int i, p = 1; for(i=1; i<=n; i++) if( n % i == 0 ) p = p * i; return p; Programarea calculatoarelor 25
26 int main() cout<<"dati n = "; cin>>n; cout<<"\ndivizorii numarului "<<n<<" sunt: "; divizori(n); cout<<"\nnumarul de divizori ai numarului " <<n<<" = "<<nr_divizori(n)<<"\n"; cout<<"\nsuma divizorilor numarului "<<n<<" = "<<suma_divizori(n)<<"\n"; cout<<"\nprodusul divizorilor numarului " <<n<<" = "<<produs_divizori(n)<<"\n"; Programarea calculatoarelor 26
27 Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 27
28 Problema 12: Enunţ: Funcţii de tip void Să se scrie câte o funcţie fără tip care să efectueze: Citirea unei matrice pătratice Suma elementelor din matrice aflate pe diagonala principală şi produsul celorlalte elemente Afişarea elementelor din matrice Programarea calculatoarelor 28
29 #include <iostream.h> int a[50][50],n; void citire_matrice(void) int i,j; cout<<"dati dimensiunile matricei \n"; cout<<"dati numarul de linii si de coloane n = "; cin>>n; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) cout<<"a["<<i<<","<<j<<"]= "; cin>>a[i][j]; return; Programarea calculatoarelor 29
30 void scriere_matrice(void) int i, j; cout<<"elementele matricei A sunt: \n"; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) cout.width(4); cout<<a[i][j]; cout<<"\n"; return; Programarea calculatoarelor 30
31 void suma_produs(void) int suma=0, produs=1, i, j; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) if( i == j ) suma = suma + a[i][j]; else produs = produs * a[i][j]; cout<<"suma elementelor de pe diagonala principala este "<<suma<<"\n"; cout<<"produsul celorlalte elementelor este "<<produs<<"\n"; return; Programarea calculatoarelor 31
32 int main(void) citire_matrice(); scriere_matrice(); suma_produs(); Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 32
33 Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 33
34 Problema 13: Enunţ: Fiind dat un tablou bidimensional cu n linii şi n coloane, afişaţi cea mai mare componentă şi poziţiile pe care le ocupă. Exemplu: Date de intrare: n = 2 si matricea: Funcţii de tip void Date de ieşire: max = 7 se afla pe pozitiile 1 2 si Programarea calculatoarelor 34
35 #include <iostream.h> int a[50][50],n; void citire_matrice(void) int i,j; cout<<"dati dimensiunile matricei \n"; cout<<"dati numarul de linii si de coloane n = "; cin>>n; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) cout<<"a["<<i<<","<<j<<"]= "; cin>>a[i][j]; return; Programarea calculatoarelor 35
36 void scriere_matrice(void) int i,j; cout<<"elementele matricei A sunt: \n"; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) cout.width(4); cout<<a[i][j]; cout<<"\n"; return; Programarea calculatoarelor 36
37 void elemente_maxime(void) int max=-1000,i,j; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) if( max < a[i][j] ) max=a[i][j]; cout<<"maximul din matrice este "<<max<<"\n"; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) if( max == a[i][j] ) cout<<"linia "<<i<<" si coloana "<<j<<"\n"; return; Programarea calculatoarelor 37
38 Funcţii de tip void int main(void) citire_matrice(); scriere_matrice(); elemente_maxime(); Programarea calculatoarelor 38
39 Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 39
40 Problema 14: Enunţ: Se citeste o matrice patrata de dimensiune nxn si elemente numere intregi. Se cere: Sa se afiseze numerele prime de pe diagonala principala Sa se formeze un vector cu elementele matricei parcurse in ordine pe coloane Exemplu: Date de intrare: n = 3 si matricea: Funcţii de tip void Date de ieşire: Numere prime de pe diagonala principala: 5 Parcurgerea matricii pe coloane: Programarea calculatoarelor 40
41 #include <iostream.h> int a[50][50],n; void citire_matrice(void) int i,j; cout<<"dati dimensiunile matricei \n"; cout<<"dati numarul de linii si de coloane n = "; cin>>n; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) cout<<"a["<<i<<","<<j<<"]= "; cin>>a[i][j]; return; Programarea calculatoarelor 41
42 void scriere_matrice(void) int i,j; cout<<"elementele matricei A sunt: \n"; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) cout.width(4); cout<<a[i][j]; cout<<"\n"; return; Programarea calculatoarelor 42
43 int prim(int x) int ok=1; for(int i=2;i<=x/2;i++) if(x%i==0) ok=0; if(ok==1 && x>=2) return 1; else return 0; Programarea calculatoarelor 43
44 void diagonala(void) cout<<"elementele prime de pe diagonala principala\n"; for(int i=1;i<=n;i++) if(prim(a[i][i])==1) cout<<a[i][i]<<" "; cout<<"\n"; return; Programarea calculatoarelor 44
45 void vector(void) int b[200], i, j; cout<<"parcurgerea matricii pe coloane\n"; int nr=0; for(j=1;j<=n;j++) for (i=1;i<=n;i++) b[++nr]=a[i][j]; for(i=1;i<=nr;i++) cout<<b[i]<<" "; cout<<"\n"; return; Programarea calculatoarelor 45
46 int main() citire_matrice(); scriere_matrice(); diagonala(); vector(); Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 46
47 Funcţii de tip void Programarea calculatoarelor 47
48 Capitolul 9. Funcții 9.8. Probleme rezolvate cu ajutorul funcţiilor Funcţii definite de utilizator Funcţii de tip void 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Programarea calculatoarelor 48
49 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Se da un vector v cu n elemente numere intregi. Sa se scrie un program care sa calculeze: a) Suma elementelor din vectorul v b) Numarul componentelor impare din vectorul v c) Elementul maxim din vectorul v Exemplu: Date de intrare: n = 9 v = 2, 9, 15, 6, 3, 12, 66, 8, 5 Date de iesire: a) 126 b) 4 c) Programarea calculatoarelor 49
50 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Se dau n numere intregi. Sa se scrie un program care sa gaseasca numarul mai mic sau egal decat n, care sa aiba cei mai multi divizori. Se va folosi o functie care calculeaza numarul de divizori ai unui numar. Exemplu: Date de intrare: n = 100 Date de iesire: 60 (are 12 divizori) Programarea calculatoarelor 50
51 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Se da un numar natural n. Sa se scrie un program care sa stabileasca raportul dintre numarul divizorilor pari si numarul divizorilor impari ai numarului n. Exemplu: Date de intrare: n = 246 Date de iesire: 1 (4 divizori pari si 4 divizori impari) Programarea calculatoarelor 51
52 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Pentru o matrice formată din n linii şi m coloane (1< n, m < 10) să se scrie un program care afişează liniile conţinând k elemente nule (0 < k <= m). Se va afişa un mesaj în situaţia în care nici o linie nu conţine exact k elemente nule. Exemplu: Date de intrare: n=2, m=4, k= Date de iesire: Linia Programarea calculatoarelor 52
53 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Se dă o matrice pătratică de dimensiune n*n precizată, scrieţi un program care stabileşte dacă: matricea este simetrică faţă de diagonala principală matricea este inferior triunghiulară, adică toate elementele situate deasupra diagonalei principale sunt nule Exemplu: Date de intrare: n= Date de iesire: Matricea este simetrica Programarea calculatoarelor 53
54 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Scrieţi o funcţie care să stabilească dacă un număr dat n conţine în reprezentarea sa zecimală o anumită cifră precizată, notată, de exemplu, c. Se va utiliza apoi această funcţie pentru a afişa toţi întregii cu valori cuprinse între 1 şi p (p citit de la tastatură) pentru care numărul, pătratul şi cubul reprezentării sale conţin aceeaşi cifră Programarea calculatoarelor 54
55 9.9. Probleme propuse spre rezolvare Exemplu: Date de intrare: c=5 p=200 Date de iesire: 5 (valorile 5, 25=5 2, 125=5 3 contin cifra 5) Programarea calculatoarelor 55
56 Întrebări? Programarea calculatoarelor 56
Programarea şi utilizarea calculatoarelor
Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Automatică, Energie şi Mediu Programarea calculatoarelor Lect.dr. Adrian Runceanu Curs 6 Instrucţiunile limbajului
Mai mult/*
Laborator 1 1) Să se scrie un program cu ajutorul căruia să se găsească cel mai mare divizor comun a două numere întregi pozitive a şi b. #include long cmmdc (long x, long y) long rest; do rest
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multSUBPROGRAME
SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă
Mai multSlide 1
1 PROIECTAREA ALGORITMILOR Lect. univ. dr. Adrian Runceanu 1 Curs Alocarea dinamică de memorie în C++ Conţinutul cursului 1. Tipuri de date. Conceptul de pointer 3. Operatori specifici pointerilor 4. Aritmetica
Mai multDiapositive 1
Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri
Mai multI. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a
I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a XI a- informatică neintensiv PROFESOR: Dumitrașcu
Mai multE_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Mai multProgramarea şi utilizarea calculatoarelor
Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Automatică, Energie şi Mediu Programarea calculatoarelor Lect.dr. Adrian Runceanu Curs 3 Elemente introductive ale
Mai multNr. 932 din Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR
Nr. 932 din 12.12.2018 Avizat ISJ Vâlcea, Inspector școlar informatică, Ciochină Luisa EXAMEN DE ATESTARE A COMPETENȚELOR PROFESIONALE A ABSOLVENȚILOR DE MATEMATICĂ INFORMATICĂ ȘI MATEMATICĂ INFORMATICĂ,
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multPropunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XI 1.Fişierul text bac.in conţine cel mult 1000 de
Propunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XI 1.Fişierul text bac.in conţine cel mult 1000 de numere naturale cu cel mult patru cifre fiecare, despărţite
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multPropunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XII 1.Să se scrie în limbajul C/C++ definiţia comp
Propunator: Morar Florin Colegiul National Silvania Zalau Discipina: Informatica Nivel liceal, cls. XII 1.Să se scrie în limbajul C/C++ definiţia completă a subprogramului calcul, care primeşte prin intermediul
Mai multMicrosoft Word - Rezolvarea Test nr. 11.doc
Testul nr. 11 Problema 1 (30 puncte = 10 puncte + 10 puncte + 10 puncte) a) Să se calculeze ( 42 : 2 + 23 ) :11+ 2 5 16. b) Să se determine cifrele a și b din egalitatea { a b} 2 + 42 : 2 + 23 :11+ 2 5
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multE_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,
Mai multAlgoritmi genetici paraleli. Implementari Java. Continut laborator: 1. Obiectivul lucrarii. 2. Notiuni teoretice: 3. Cerinte laborator. 4. Tema. 1. Ob
Algoritmi genetici paraleli. Implementari Java. Continut laborator: 1. Obiectivul lucrarii. 2. Notiuni teoretice: 3. Cerinte laborator. 4. Tema. 1. Obiectivul lucrarii. Lucrarea de faţă are rolul de a
Mai multBacktracking_2018
Facultatea de Matematică și Informatică Lecții de pregătire Admitere 2019 Rezolvarea problemelor folosind metoda backtracking Exemplu: ieșirea din labirint 2 Exemplu: aranjarea a n regine 3 Exemplu: rezolvarea
Mai multMicrosoft PowerPoint - ImplementareLimbaj [Read-Only] [Compatibility Mode]
Detalii de implementare. Declararea variabilelor, transmiterea parametrilor catre subprograme. Declararea variabilelor variabile globale -declarate in afara oricarei functii variabile locale -declarate
Mai multMicrosoft Word - Raspunsul la niste provocari. Partea III..doc
Răspunsul la niște provocări. Partea a III-a. Re-citirea problemei cu alți ochelari Tiberiu Socaciu Preambulul Ca urmare a unei provocări primite pe pagina Proful de Mate de pe Facebook 1, de la un elev
Mai multALGORITHMICS
CURS 2: Descrierea algoritmilor în pseudocod =Exemple= 1 Structura Descrierea unor algoritmi simpli Specificarea și utilizarea subalgoritmilor 2 Exemplu 1 Considerăm un tabel cu informații despre studenți
Mai multMicrosoft Word - O problema cu bits.doc
O problemă cu bits 1 Tiberiu Socaciu Enunţul Pe pagina Proful de Mate de pe Facebook 2 am primit de la un elev de clasa a IX-a următoarea provocare 3 : Vom oferi două soluţii, una folosind manipulări de
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multTablouri unidimensionale Problema 1 Să se determine mulţimea cifrelor unui număr natural n > 0, dat. Exemplu: n= Cifre = {1,2,3,7} Se cere să s
Tablouri unidimensionale Problema 1 Să se determine mulţimea cifrelor unui număr natural n > 0, dat. Exemplu: n=1723237 Cifre = {1,2,3,7 Se cere să se utilizeze subprograme care să comunice între ele şi
Mai mult1
Laborator 3 Supraîncărcarea operatorilor (părțile II și III) 1. Supraîncărcarea operatorilor (părțile II și III) Exemplu 1: Consideram clasa sir, in care fiecare obiect retine adresa unui sir de caractere.
Mai multLaborator 2: Instrucţiuni Java şi lucru cu şiruri de caractere Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 18 octombrie 2011
Laborator 2: Instrucţiuni Java şi lucru cu şiruri de caractere Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 18 octombrie 2011 I. NOŢIUNI TEORETICE A. Instrucţiuni condiţionale 1. Intrucţiunea
Mai multProbleme proiect TP BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard da
Probleme proiect TP 2016 1. BITPERM Implementați un algoritm care citește de la intrarea standard două numere naturale și scrie la ieșirea standard dacă reprezentarea binară a unuia dintre numere poate
Mai multMicrosoft Word - CarteC.doc
Transmiterea parametrilor unei funcții Parametrii se transmit de la funcţia apelantă la funcţia apelată prin intermediul stivei. La apelul unei funcţii, pe stivă se crează o înregistrare de activare, care
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multL7
Lucrarea de laborator nr. 7 POINTERI 1. Conţinutul lucrării În lucrare se prezintă tipul pointer, operaţiile permise asupra pointerilor, modul de alocare şi eliberare dinamică a memoriei. 2. Consideraţii
Mai mult/*
Laborator 5 Cuprins 1. Alegerea cheilor... 1 2. Criptarea RSA... 2 3. Problema rucsacului... 3 4. Merkle - Hellman. Generarea cheilor... 5 5. Merkle - Hellman. Criptarea... 6 6. Logaritmul discret... 7
Mai multTop
PROGRAMARE ORIENTATĂ PE OBIECTE Tratarea excepțiilor O excepție este o eroare care poate să apară la rularea unui program. Exemple: încercarea de deschidere a unui fișier ce nu există depășirea limitelor
Mai multScrieţi pe foaia de examen răspunsul pentru fiecare dintre cerinţele următoare
Scrieţi pe foaia de examen răspunsul pentru fiecare dintre cerinţele următoare. 1. În declararea alăturată, câmpurile x şi y ale înregistrării pot memora coordonatele carteziene ale unui punct din planul
Mai multPCLPII-C16(9)
Programarea Calculatoarelor și Limbaje de Programare - Curs 16 Despre proiect ce s-a studiat? ce se va studia? proiectul tema date de intrare conţinut date de ieşire C9(16)-1 Ce s-a studiat? Instrucţiuni
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multLecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru
Mai multSecţiunea 5-6 începători Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE PROBLEMA puncte PERIODIC Se citește un număr natural nenul N. Se ump
PROBLEMA 1 PERIODIC Se citește un număr natural nenul N. Se umple, pe linii, partea de sub diagonală, inclusiv aceasta, a unui tabel pătratic de dimensiune L cu secvențe consecutive de numere : 1, 2,,
Mai multtehnologii web
Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Automatică, Energie şi Mediu Tehnologii Web Lector univ. dr. Adrian Runceanu 1 Curs 7 Limbajul PHP (partea II) 2
Mai multSECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE
Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum
Mai multLimbaje de Programare Curs 6 – Functii de intrare-iesire
Limbaje de Programare Curs 6 Funcţii de intrare-ieşire Dr. Casandra Holotescu Universitatea Politehnica Timişoara Ce discutăm azi... 1 Citire formatată 2 Citirea şirurilor de caractere 3 Citirea unor linii
Mai multLucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi
Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea
Mai multSecţiunea 5-6 avansaţi PROBLEMA 1 Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE 100 puncte NR Un număr natural nenul V care se plictisea singur,
PROBLEMA 1 NR Un număr natural nenul V care se plictisea singur, și-a căutat în prima zi cel mai mare divizor al său mai mic decât el și l-a scăzut din valoarea sa. Numărul rămas, plictisit și el, și-a
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multGrile si probleme siruri de caractere in C++ ŞIRURI DE CARACTERE Itemii următori sunt preluaţi din variantele de bacalaureat În secvenţa de i
Grile si probleme siruri de caractere in C++ ŞIRURI DE CARACTERE Itemii următori sunt preluaţi din variantele de bacalaureat 2009. 1. În secvenţa de instrucţiuni de mai jos, variabila s memorează un şir
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai mult2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Mai multSlide 1
SCTR -SZOKE ENIKO - Curs 4 continuare curs 3 3. Componentele hard ale unui sistem de calcul in timp real 3.1 Unitatea centrala de calcul 3.1.1 Moduri de adresare 3.1.2 Clase de arhitecturi ale unitatii
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multLaborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d
Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multMicrosoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multLUCRAREA NR
LUCRAREA NR. 5 TIPURI DE DATE STRUCTURATE În C există două categorii de tipuri de date structurate: tablourile şi structurile. Un tablou este o colecţie omogenă de valori de acelaşi tip identificate printr-un
Mai multLimbaje de programare Pointeri. Alocare dinamică (continuare) 26 noiembrie 2012
Limbaje de programare Pointeri. Alocare dinamică (continuare) 26 noiembrie 2012 EROARE: lipsa iniţializării E o EROARE să folosim o variabilă neiniţializată int sum; for (i=0; i++ < 10; ) sum += a[i];
Mai multALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
Mai multMatrici și vectori în VBA În VBA, o matrice este un grup de variabile de același tip. De ce ar trebui să utilizați o matrice? Presupunem că ați vrut s
Matrici și vectori în VBA În VBA, o matrice este un grup de variabile de același tip. De ce ar trebui să utilizați o matrice? Presupunem că ați vrut să stocați douăzeci de nume de angajați în variabile
Mai multLecţia 2 Structura liniară, alternativă şi repetitivă Clasa a V-a Structuri de bază(liniară, alternativă şi repetitivă) Programarea structurată este o
Structuri de bază(liniară, alternativă şi repetitivă) Programarea structurată este o manieră de concepere a programelor, potrivit unor reguli bine definite şi independent de limbajul de programare. Scopul
Mai multLaborator 2 Incompatibilităţi/Diferenţe între C şi C++ Completări C++ Supraîncărcarea (redefinirea) numelui de funcţii În C nu este permisă existenţa
Laborator 2 Incompatibilităţi/Diferenţe între C şi C++ Completări C++ Supraîncărcarea (redefinirea) numelui de funcţii În C nu este permisă existenţa a două funcţii care au acelaşi nume În C++ acest lucru
Mai multLaborator 4: Continuare Programare Orientată pe Obiecte Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 29 octombrie 2011
Laborator 4: Continuare Programare Orientată pe Obiecte Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 29 octombrie 2011 I. NOŢIUNI TEORETICE A. Suprascrierea metodelor O clasă derivată
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multSecţiunea 7-8 începători Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE PROBLEMA 1 ID 100 puncte Calculatoarele trebuie să se recunoască în rețeau
PROBLEMA ID 00 puncte Calculatoarele trebuie să se recunoască în rețeaua de Internet printr-un ID. În prezent, există metode de identificare a ID-ului folosite la scară globală: IPv4 și IPv6. Adresele
Mai multProcesarea Imaginilor - Laborator 1: Introducere în utilizarea bibliotecii OpenCV 1 1. Introducere în utilizarea bibliotecii OpenCV 1.1. Introducere S
Procesarea Imaginilor - Laborator 1: Introducere în utilizarea bibliotecii OpenCV 1 1. Introducere în utilizarea bibliotecii OpenCV 1.1. Introducere Scopul acestei lucrări de laborator este de a familiariza
Mai multMicrosoft Word - CarteC.doc
Introducere în limbajul de programare C - C este un limbaj de programare ale cărui caracteristici sunt economia de expresie, structuri moderne de control al fluxului şi de date, precum şi un set bogat
Mai multProbleme rezolvate informatica: Probleme rezolvate grafuri si a
Mai multe Creați blog Autentificare LUNI, 11 MARTIE 2013 Probleme rezolvate grafuri si arbori Probleme rezolvate de catre : Ginghina Cristian Onica Viorel Neculai Alexandru Anton Cosmin INFORMATICA Teorie
Mai multMicrosoft Word - CarteC.doc
INSTRUCŢIUNILE LIMBAJULUI C (2) Instrucţiuni repetitive Instrucţiunea while Instrucţiunea while are formatul: while(expresie) Expresie DA Instrucţiune NU Instrucţiunea while produce în primul rând evaluarea
Mai multMetode de programare Proiectarea algoritmilor
Metode de programare Asist.univ.dr. Simona Elena Vârlan Structura curs 2 ore de curs ambele specializări, titular curs Simona Elena Vârlan (cabinet D213, vineri) 2 ore de laborator o dată la două săptămâni,
Mai multStructuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S
Structuri de date pentru partiţii de mulţimi O partiţie finită a unei mulţimi nevide S este o mulţime finită de submulţimi ale lui S: {S 1, S 2,..., S n P(S) care satisface condiţiile următoare: S i 0
Mai mult1 Lucrarea nr. 8 - Structuri de date de tip liste sortate O listă sortată reprezintă un aranjament al înregistrărilor din cadrul listei în funcţie de
1 Lucrarea nr. 8 - Structuri de date de tip liste sortate O listă sortată reprezintă un aranjament al înregistrărilor din cadrul listei în funcţie de o anumită valoare a unei chei. Pentru operaţiile asupra
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multPROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Informatică și TIC
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Informatică și TIC Disciplina opțională: Informatică și T.I.C Clasa: a VII-a Unitatea de învăţare: Editorul de foi de calcul- Microsoft Excel Tema lecţiei: Utilizarea formulelor
Mai multSlide 1
Arhitectura Sistemelor de Calcul Curs 8 Universitatea Politehnica Bucuresti Facultatea de Automatica si Calculatoare cs.pub.ro curs.cs.pub.ro Structura SIMD Cuprins Probleme de Comunicatii intre Procesoarele
Mai multMicrosoft Word - Ivan, Boja.doc
Revista Informatica Economică nr. 1 (37)/2006 17 Bicriterial Optimization of Software Prof. dr. Ion IVAN, prep. Cătălin BOJA Catedra de Informatică Economică, A.S.E. Bucureşti There are defined two optimum
Mai multMicrosoft Word - PCLP2_Curs_4_2019.doc
12. Tipuri de date derivate direct - Tipul pointer Tipurile de date derivate direct sunt tipuri de date create pe baza unor tipuri de date existente. In limbajul C, un astfel de tip, nestructurat (simplu),
Mai multMicrosoft Word - 2 Filtre neliniare.doc
20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls
Mai multproiectarea bazelor de date
Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie şi Dezvoltare Durabilă Departamentul de Automatică, Energie, Mediu şi Dezvoltare Durabilă Proiectarea bazelor de date Lect.dr. Adrian
Mai multOperatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici O
Operatorii in C Expresii Operatori aritmetici Operatori de asignare Operatori de incrementare si decrementare Operatori relationali Operatori logici Operatii pe biti Operatorul conditional Operatori Logici
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multLimbaje de Programare Curs 5 – Siruri de caractere
Limbaje de Programare Curs 5 Şiruri de caractere Dr. Casandra Holotescu Universitatea Politehnica Timişoara Ce discutăm azi... 1 Şiruri de caractere 2 Tipul pointer 3 Funcţii cu şiruri de caractere Şiruri
Mai multLimbaje de Programare Curs 8 – Fisiere
Limbaje de Programare Curs 8 Fişiere Dr. Casandra Holotescu Universitatea Politehnica Timişoara Ce discutăm azi... 1 Lucrul cu fişiere 2 Fişiere de tip text 3 Funcţii pentru cazuri de eroare 4 Fişiere
Mai multCurs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Mai multLaboratorul 2 Problema tăieturii minime Considerăm un graf (neorientat) G = (V, E) (V e mulţimea vârfurilor, E e mulţimea muchiilor) care este conex (
Laboratorul 2 Problema tăieturii minime Considerăm un graf (neorientat) G = (V, E) (V e mulţimea vârfurilor, E e mulţimea muchiilor) care este conex (adică, între oricare două vârfuri există cel puţin
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multLaborator 3
Laborator 3 Programare III săptămâna 8-12.10.2018 OBIECTIVE: - Folosirea modificatorilor unei clase (public, abstract, final) - Folosirea modificatorilor de acces în declaraţiile membrilor unei clase Noţiuni:
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multProgramarea calculatoarelor. Note de curs Marius Minea 1 Introducere în programarea în C 1.1 Funcţii în limbajul C Calcule şi funcţii La origine, rolu
1 Introducere în programarea în C 1.1 Funcţii în limbajul C Calcule şi funcţii La origine, rolul programelor e de a efectua în principal calcule matematice. Discutăm de aceea structura programelor făcând
Mai multMicrosoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx
SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.
Mai multSIRURI DE CARACTERE in C++ O constanta de tip sir de caractere de declara intre doua caractere. In memoria interna, o constanta de acest tip este reti
SIRURI DE CARACTERE in C++ O constanta de tip sir de caractere de declara intre doua caractere. In memoria interna, o constanta de acest tip este retinuta sub forma unui vector de caractere. Fiecare componenta
Mai multLaborator 2-Reprezentari grafice in Matlab Daniel N.Pop Universitatea Lucian Blaga Sibiu Facultatea de Inginerie-Departament Calculatoare si inginerie
Laborator 2-Reprezentari grafice in Matlab Daniel N.Pop Universitatea Lucian Blaga Sibiu Facultatea de Inginerie-Departament Calculatoare si inginerie Electrica 1 Grafica bidimensionala in Matlab Sistemul
Mai multBIBLIOGRAFIE
Facultatea de Matematică și Informatică Lecții de pregătire Admitere FMI Graf neorientat: G = (V, E) vârf (nod), muchie gradul unui vârf vârfuri adiacente lanţ ciclu distanță Graf neorientat: G = (V,
Mai multMicrosoft Word - Capitolul_07
Viziunea computerizată în exemple şi aplicaţii practice Filtrarea în domeniul frecvenţă Introducere Filtrele de frecvenţă modifică valorile pixelului în funcţie de periodicitate şi distribuţia spaţială
Mai multGHERCĂ MAGDA CASA CORPULUI DIDACTIC BRĂILA PORTOFOLIU EVALUARE INFORMATICĂ ȘI TIC PENTRU GIMNAZIU CLASA A V-A Neamț SERIA 1 GRUPA 1 CURSANT: GHERCĂ G
CASA CORPULUI DIDACTIC BRĂILA PORTOFOLIU EVALUARE INFORMATICĂ ȘI TIC PENTRU GIMNAZIU CLASA A V-A Neamț SERIA 1 GRUPA 1 CURSANT: GHERCĂ G MAGDA COLEGIUL NAŢIONAL ROMAN-VODĂ ROMAN PROIECTUL UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE
Mai multARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență MODELE DE PROBLEME REZOLVATE DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURS
ARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență + 0 MODELE DE PROBLEME REZOLVATE + 1130 DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURSURI ŞI CENTRE DE EXCELENŢĂ Clasa a V-a Ediţia a X-a EDITURA
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai mult