Test pentru admiterea în clasa a V-a - 20 mai

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Test pentru admiterea în clasa a V-a - 20 mai"

Transcriere

1

2 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 20 mai I. Considerăm numerele: a = 920 ( ) (66 8 7) b = : ( :3) c = [ ( : 2 6) ]: (413 2 n), unde n este cel mai mic număr format din 3 cifre pare diferite. (15 p) 1) Calculaţi cele trei numere; (10 p) 2) Calculaţi diferenţa dintre succesorul lui a şi predecesorul lui b; (15 p) 3) Pentru c = 41, calculaţi produsul dintre triplul sumei numerelor a şi b şi diferenţa dintre b şi c. II. Peste câţiva ani, la Colegiul Naţional Gheorghe Şincai din Baia Mare, profesorii, elevii de gimnaziu şi elevii de liceu vor fi în total în număr de 960. Suma numărului de profesori şi a numărului de elevi de liceu va fi de 7 ori mai mare decât numărul de elevi de gimnaziu. Numărul profesorilor va fi cu 45 mai mic decât numărul elevilor de gimnaziu. (20 p) 1) Câţi elevi de gimnaziu vor fi? (15 p) 2) Câţi profesori şi câţi elevi de liceu vor fi? III. Se consideră următorul şir de numere: 20, 30, 40, 50,..., (5 p) 1) Care este suma primilor 20 de termeni ai şirului? (5 p) 2) Determinaţi numărul termenilor şirului; (5 p) 3) Care este primul număr din şir care are înaintea lui mai mulţi termeni decât după el? (justificaţi răspunsul) NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

3 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 19 mai Matematică I. Considerăm numerele: a = : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b = : : c = : : 1000 n : 7 unde n este cel mai mare număr par format din 3 cifre diferite. (15 p) 1) Calculaţi cele trei numere; (10 p) 2) Arătaţi că 4 a+ 3 este egal cu predecesorul lui b şi că ( b 4 ) : 6 = c + 12; (15 p) 3) Ordonaţi crescător numerele: a, jumătatea lui b şi dublul lui c. II. Într-o excursie organizată de Colegiul Naţional Gheorghe Şincai din Baia Mare participă 30 elevi de 10, 11 şi 12 ani. Numărul elevilor de 11 ani este egal cu numărul celorlalţi elevi. Numărul elevilor de 12 ani este un sfert din numărul elevilor de 10 ani. (20 p) 1) Câţi elevi de 11 ani participă la excursie? (15 p) 2) Care este suma vârstelor tuturor elevilor participanţi? III. În Sala Festivă a Colegiului Naţional Gheorghe Şincai scaunele sunt aşezate câte 20 pe fiecare rând şi sunt numerotate astfel: Rândul Rândul (5 p) 1) Cu ce număr începe rândul 5? (5 p) 2) Pe ce rând se află scaunul cu numărul 133? (5 p) 3) Dacă Ioana ocupă locul 168 pe rândul din mijloc, iar Bogdan ocupă un loc din ultimul rând, în dreptul Ioanei, determinaţi numărul de locuri din Sala Festivă şi ce loc ocupă Bogdan. NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

4 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 17 mai I. Se consideră numerele: a = : 2 : 6 24 : 8 4 : 2 : 4 ( ) ( ) ( ) iar c verifică relaţia ( ) { } { } b = 102 : :15 + 3: :5 2 : 2 + 4, : c : = (15 p) 1) Aflaţi numerele a, b, c; (10 p) 2) Să se arate că a 10 b = 15 c ; (15 p) 3) Să se afle cu câte zerouri se termină numărul a b a b... a b a b apare de c ori. ( ) ( ) ( ), unde factorul ( ) II. Într-o fermă sunt găini şi iepuri, în total 400 de picioare. Dacă un sfert din numărul găinilor este egal cu jumătate din numărul iepurilor, să se afle: (20 p) 1) Câţi iepuri şi câte găini sunt în fermă? (15 p) 2) Dacă fermierul vinde 30 de animale (găini şi iepuri), cu 10 lei o găină şi cu 12 lei un iepure obţinând 322 de lei, câte găini şi câţi iepuri au mai rămas la fermă? III. Se consideră numărul N = (5 p) 1) Să se calculeze suma cifrelor numărului N. (5 p) 2) Care este cel mai mic număr de şase cifre care se poate forma cu cifre ale numărului N? (5 p) 3) Să se scrie cel mai mic număr pe care-l putem obţine din N prin eliminarea a 4 cifre, fără a schimba ordinea cifrelor rămase. NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

5 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 21 mai I. Considerăm numerele: a = : 6 5 ( ) : 2 b = ( ) : c = xy, unde unde cifrele x şi y verifică relaţia: 4 + { :( 2 x+ y) }: 5 = 24 (35 p) 1) Aflaţi numerele abc.,, (5 p) 2) Arătaţi că 2 a+ 7 b= 3 c+ 31. II. Cei 28 de elevi ai clasei a V-a de la Colegiul Naţional Gheorghe Şincai iau la lucrarea la matematică note de 8, 9 şi 10. Suma notelor de 9 şi 10 este de 188. (15 p) 1) Care este cel mai mare număr de note de 10 posibil? Justificaţi. (10 p) 2) Care este cel mai mare număr de note de 8 posibil? Justificaţi. (10 p) 3) Andrei îi spune lui Dan: Dacă aş fi luat la lucrare mai puţin decât tine, atunci produsul notelor noastre ar fi fost cu 9 mai mic decât cel de acum. Ce note au luat Andrei şi Dan? Justificaţi. III. Numărul natural A este unul dintre numerele pare de la 0 la 20, iar B este unul dintre numerele 1, 3, 5. (5 p) 1) Aflaţi suma tuturor valorilor posibile ale lui A. (5 p) 2) Câte valori diferite poate avea produsul A B? Justificaţi. (5 p) 3) Scrieţi cel mai mare număr care se poate forma folosind o singură dată toate valorile posibile ale lui A, fără să schimbăm ordinea cifrelor în niciunul dintre numerele A alese. (De exemplu, folosind doar valorile 12 şi 18 ale lui A, putem forma doar numerele 1218 şi 1812.) NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

6 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 21 mai I. (15 p) 1) Să se calculeze : : 6. (15 p) 2) Dacă a este cel mai mic număr natural de trei cifre, care are toate cifrele diferite, să se calculeze : 7 ( ) :12 +a : 6 : 2. (10 p) 3) Să se determine numărul natural x care verifică egalitatea: { ( 8 + x 98 ) : }: 2 = 55. II. Într-un depozit încap 50 tone de marfă. Acesta este aprovizionat de un camion care face o singură cursă pe zi. Camionul plin cu marfă cântăreşte 7000 kilograme, iar pe jumătate plin cântăreşte 4700 kilograme. (15 p) 1) Câte kilograme cântăreşte camionul gol? (10 p) 2) Care este cel mai mic număr de zile în care se poate umple depozitul? (10 p) 3) Câte kilograme trebuie să transporte camionul în ultima zi, pentru a umple depozitul, ştiind că în celelalte zile camionul a fost plin? III. Se consideră şirul: n, n+ 5, n+ 10, n+ 15,..., unde n este un număr natural. (5 p) 1) Să se determine n ştiind că al cincilea termen este (5 p) 2) Să se determine n ştiind că suma primilor 20 de termeni este (5 p) 3) Să se determine n ştiind că şirul are 2015 termeni iar termenul din mijloc este egal cu Notă Toate subiectele sunt obligatorii. Nu se acceptă numai răspunsurile. Acestea trebuie justificate. Timp de lucru: 45 minute. Din oficiu se acordă 10 puncte.

7 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 3 mai 2015 I. Se consideră numerele: a = { : 2 2 ( ) : 3}, numărul b verifică relația ( b ) :9 7 = 114, iar c este cel mai mic număr de trei cifre distincte, format din cifre nenule care se împart exact la 3. (35 p) 1) Aflaţi numerele ab, și c ; (5 p) 2) Să se arate că restul împărțirii numărului c la b a 29 este 3. II. Fie a și b două numere naturale cu proprietatea că împărțind numărul a la b se obține câtul 10 și restul 5. (10 p) 1) Care este ultima cifră a numărului a? (25 p) 2) Să se afle numerele a și b dacă diferența lor este (5 p) (5 p) III. Se consideră șirul numerelor naturale de cel mult 3 cifre care se scriu doar cu cifrele 1, 5, 9, adică 1, 5, 9, 11, 15, 19, 51, 55, 59, 91,..., ) Care este suma numerelor de două cifre din șir? 2) Câte numere de trei cifre se găsesc în șir? (5 p) 3) Există doi termeni din șir cu proprietatea că suma lor este un termen din șir? Justificați răspunsul. NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 45 minute. Din oficiu se acordă 10 puncte.

8 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 19 mai 2016 I. Considerăm numerele a, b și c, unde: a = : :9 2, b verifică: 6 ( b 9) = 81: ( ) + 11 : 4 + 8: ( 12 : 4 2) iar c este diferența dintre cel mai mare număr natural par de trei cifre diferite și cel mai mic număr natural impar de trei cifre diferite. (30 p) 1) Aflaţi numerele abc.,, (5 p) 2) Demonstraţi că a:9= ( c+ 7 ) : b+ 2 b+ 3. (5 p) 3) Aflați câte numere cuprinse între c și a dau restul 1 la împărțirea cu 5. II. Adi, Lia și Raul sunt trei frați care au citit în vacanță mai multe cărți. Adi a aranjat cărțile citite de el pe un raft gol. Mama a luat o carte din cele citite de Adi, iar Lia a citit jumătate din cărțile rămase pe raft, pe care le-a pus apoi pe masă. Tata a adăugat o carte la cele citite de Lia și astfel pe masă sunt de șase ori mai multe cărți decât cele citite de Raul. (10 p) 1) Arătați că Adi a citit cel puțin 11 cărți. (15 p) 2) Dacă numărul tuturor cărților citite de Adi, Lia și Raul este cuprins între 30 și 40, aflați câte cărți a citit fiecare. III. Se dă şirul de coloane: (10 p) 1) Calculați suma tuturor numerelor de pe primele 11 coloane. (10 p) 2) Arătați că oricum am alege 2 coloane alăturate, suma celor patru numere din aceste coloane este diferită de (5 p) 3) Luca alege 40 de coloane și șterge din ele toate numerele de sus. Apoi adună numerele rămase în coloanele alese. Dacă obține numărul 1660, care este ultimul număr pe care l-a șters? Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 45 minute. Din oficiu se acordă 10 puncte.

9 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, 2010 I. Considerăm numerele: a = 183 ( ) b = : 2 c = 25 [ (21 4 5) ]: (15 p) 1) Aflaţi cele trei numere; (10 p) 2) Calculaţi suma numerelor a şi c; (15 p) 3) Calculaţi produsul dintre suma numerelor a şi b şi jumătate din diferenţa numerelor b şi c. II. La un depozit s-au adus, în saci, 1990 kg cereale şi anume: 25 saci cu grâu, 15 saci cu orez şi 12 saci cu porumb. Se ştie că fiecare sac cu grâu cântăreşte 40 kg, iar fiecare sac cu porumb cântăreşte cu 5 kg mai puţin decât cel cu grâu. (15 p) 1) Câte kilograme de porumb s-au adus în depozit? (20 p) 2) Aflaţi cât cântăreşte fiecare sac cu orez. III. Se dă şirul de numere: 0, 5, 10, 15, 20, 25,..., (5 p) 1) Câţi termeni are şirul? (5 p) 2) Cu cât este egală suma primilor 20 de termeni? (5 p) 3) Care este primul număr din şir care are suma cifrelor egală cu 18? NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

10 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, 28 aprilie 2011 I. Considerăm numerele: a = 275 ( ) b = ( ) :( : ) c = 25 [ (21 4 5) ]: ( n), unde n este cel mai mic număr de 3 cifre impare mai mare decât 100. (15 p) 1) Aflaţi numerele a, b, c şi ordonaţi-le crescător; (15 p) 2) Arătaţi că a b:2= 4 c; 2 c x= a b:2 :4. (10 p) 3) Aflaţi numărul necunoscut din egalitatea ( ) II. La concursul de matematică Gheorghe Şincai pentru micii matematicieni au participat 80 elevi, care au avut de rezolvat un subiect format din 3 probleme. Pentru o problemă corect rezolvată un elev primeşte 10 puncte, iar pentru o problemă nerezolvată i se scade un punct. Prima problemă a fost rezolvată de jumătate dintre elevii participanţi, a doua problemă a fost rezolvată de un numar de elevi cu 20 mai mare decât în cazul primei probleme. În total au fost 161 probleme notate cu 10. (20 p) 1) Câţi elevi au rezolvat corect problema a treia? (15 p) 2) Care este suma punctelor obţinute de toţi elevii? Există cel puţin un elev care a rezolvat toate problemele? (justificaţi). III. Se dă şirul de numere: 0, 5, 10, 15, 20, 25,... (5 p) 1) Care este suma primilor 8 termeni ai şirului? (5 p) 2) Care este termenul aflat pe poziţia 2011? (5 p) 3) Care sunt primii patru termeni din şir care au proprietatea că fiecare este egal cu răsturnatul său? NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

11 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, 26 aprilie 2012 I. Se consideră numerele: a = :( 8 4 : 2 ) : 4 b = ( : 2) ( 196 : : 2), iar c verifică relaţia 8 ( c ) : : : 4 = 920. (30 p) 1) Aflaţi numerele a, b, c; (10 p) 2) Să se arate că răsturnatul numărului a b este numărul c b. II. Patru copii au fiecare câte o sumă de bani. Dacă primul ar avea cu 3 lei mai puţin, al doilea cu 3 lei mai mult, al treilea de trei ori mai puţin, atunci toţi patru ar avea aceeaşi sumă de bani. Ştiind că al treilea şi al patrulea copil au împreună 40 de lei, să se afle: (20 p) 1) Câţi lei are al patrulea copil? (15 p) 2) Ce sumă de bani au cei patru copii în total? III. Într-o sală de clasă sunt 20 de elevi. Primul scrie pe tablă numărul 1, al doilea scrie pe tablă numerele 2 şi 3, al treilea scrie numerele 4, 5, 6 şi aşa mai departe până la ultimul elev. (5 p) 1) Care este suma numerelor scrise pe tablă de al patrulea elev? (5 p) 2) Câte numere s-au scris pe tablă în total? (3 p) 3) Să se arate că suma numerelor scrise pe tablă este un număr impar. (2 p) 4) În pauză, un elev şterge la întâmplare 20 de numere din cele scrise pe tablă. Să se arate că suma numerelor rămase pe tablă nu poate fi NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

12 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, 23 aprilie 2013 I. Considerăm numerele: a = ( 12 6 :3) b = ( :9) :5 5, iar c verifică relaţia 34 ( c) :13 = 1. (30 p) 1) Aflaţi numerele abc.,, 5 a 4 b= 8 c+ 2. (10 p) 2) Demonstraţi că ( ) II. În clasa a V-a a Colegiului Naţional Gheorghe Şincai sunt 28 de elevi, fetele fiind cu patru mai puţine decât băieţii. Elevii se împart în două echipe, care culeg mere dintr-o livadă. (20 p) 1) Câţi băieţi sunt în clasă? Explicaţi. (15 p) 2) Fetele din prima echipă culeg tot atâtea mere cât băieţii din echipa a doua. Fetele din echipa a doua culeg dublul merelor strânse de băieţii din prima echipă şi de patru ori mai mult decât băieţii din echipa proprie. Care dintre echipe a cules cele mai multe mere? III. Se dă şirul de numere: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5,... (5 p) 1) Scrieţi următorii 7 termeni ai şirului. (5 p) 2) Cu cât este egală suma primilor 30 de termeni? (5 p) 3) Scrieţi toate secvenţele de cel puţin doi termeni consecutivi (adică unul după altul) ai şirului care au suma egală cu 11. NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

13 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, 29 aprilie 2014 I. Considerăm numerele: a = ( 15: 5 + 3) 75 b = { : : 6 ( ) :11 2} 5 iar c verifică relaţia ( 30 18: c) : 5 = 113. (20 p) 1) Aflaţi numerele ab, şi c ; (10 p) 2) Să se demonstreze că 4 a+ 2 b 2 c este egal cu cel mai mic număr de trei cifre distincte care conţine doar cifre pare; (10 p) 3) Dacă numărul m este dublul produsului dintre succesorul lui a şi predecesorul lui c să se determine numărul cifrelor de zero în care se termină numărul m m... m. de10 ori m II. Suma a trei numere este Dacă din fiecare număr se scade 1023, se obţin trei diferenţe: prima diferenţă este de două ori mai mare decât a doua diferenţă, iar a treia diferenţă este cât jumătate din a doua diferenţă. (15 p) 1) Demonstraţi că suma celor trei diferenţe este 70. (20 p) 2) Care sunt cele trei numere? III. Se consideră şirul de numere naturale: 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,... (5 p) 1) Calculaţi suma primilor 16 termeni ai şirului; (5 p) 2) Pe ce poziţie în şir apare prima dată 100? (5 p) 3) Care este al 200-lea termen al şirului? NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 45 minute. Din oficiu se acordă 10 puncte.

14 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, - 29 aprilie I. Considerăm numerele ab, și c determinate de: a = ( : 4 2) : b ( 54 : 9) = 2015 iar c este egal cu diferența dintre cel mai mare număr natural de trei cifre distincte și cel mai mic număr natural impar de trei cifre. (30 p) 1) Calculaţi cele trei numere; (5 p) 2) Arătați că restul împărțirii numărului c la b este egal cu suma cifrelor numărului a. II. La împărțirea a două numere naturale nenule câtul este de 18 ori mai mic decât diferența dintre deîmpărțit și rest, iar împărțitorul de 3 ori mai mare decât câtul. (20 p) 1) Care este câtul împărțirii? (15 p) 2) Dacă în plus restul este mai mare decât 15, să se determine numerele inițiale. III. Se consideră următorul şir de numere: 0, 5, 10, 15, 20, 25,... și șirul corespunzător sumelor cifrelor numerelor din primul șir: 0, 5, 1, 6, 2, 7,... (10 p) 1) Calculați suma primilor 20 de termeni din primul șir. (5 p) 2) Arătați că numerele 4, 8, 9, 10 și 2015 se află în al doilea șir; (5 p) 3) Care este primul număr din primul şir cu suma cifrelor 27? (justificaţi răspunsul) NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte. Baia Mare, Str. Gh.Şincai, nr. 25 Tel , fax

15 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, - 14 aprilie I. Considerăm numerele a, b și c, unde: a = : 7 69 numărul b verifică relaţia 215 ( b) :9 135:9 :5 = 23 iar c este cel mai mic număr de 3 cifre cu produsul cifrelor egal cu 405. (30 p) 1) Aflaţi numerele abc.,, c+ 1 = 40 a b+ 2. (10 p) 2) Demonstraţi că ( ) II. Ana, Dan și Călin au cules un coș cu cireșe. Ana a cules cu două cireșe mai mult decât triplul cireșelor culese de Dan, iar Călin a cules un sfert din cât ar fi cules Dan, dacă n-ar fi ajuns la ultimele trei cireșe. (10 p) 1) Arătați că Ana a cules un număr impar de cireșe. (15 p) 2) Dacă Ana a cules cu 88 de cireșe mai multe decât Dan, aflați câte cireșe a cules fiecare. III. Se dă şirul: 1, 3, 7, 9, 8, 6, 4, 2, 11, 13, 17, 19, 18, 16, 14, 12, 21,... (10 p) 1) Calculați suma primilor 20 de termeni ai șirului. (10 p) 2) Pe ce loc este numărul 2016 în acest șir? (5 p) 3) Scrieţi cel mai mare număr par din șir care are 10 cifre, iar suma cifrelor sale este egală cu 55. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 45 minute. Din oficiu se acordă 10 puncte.

16 TEST 1 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele: a = ( ) b = : c = 35 [ ( : 2) 56 ]: (1009 n), unde n este cel mai mare număr de 3 cifre impare. (15 p) 1) Aflaţi cele trei numere; (10 p) 2) Calculaţi diferenţa dintre predecesorul lui c şi succesorul lui b; (15 p) 3) Calculaţi produsul dintre b şi dublul diferenţei numerelor c şi a. II. Într-o livadă cu 240 pomi fructiferi sunt meri, cireşi şi pruni. Numărul merilor şi cireşilor împreună este triplul numărului de pruni, iar numărul merilor este cu 30 mai mare decât jumătate din numărul cireşilor. (15 p) 1) Câţi pruni sunt în livadă? (20 p) 2) Câţi meri şi câţi cireşi sunt în livadă? III. În figura alăturată sunt desenate aleile dintr-un parc. (5 p) 1) Care sunt toate dreptunghiurile care apar în desen? (de exemplu ABFD) (5 p) 2) Care sunt toate triunghiurile care apar în desen? (de exemplu BMC) (5 p) 3) O persoană aflată în punctul A doreşte să ajungă în punctul G mergând doar pe alei şi fără a trece de două ori prin acelaşi punct. Scrieţi şase trasee care trec prin M şi pe care le poate urma persoana (de exemplu A B M F G). NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

17 TEST 2 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele: a = ( ) b = : c = 36 [ ( : 2 + 4) ]: (996 n), unde n este cel mai mare număr de 3 cifre diferite. (15 p) 1) Aflaţi numerele a, b, c; (10 p) 2) Calculaţi diferenţa dintre numărul a şi jumătatea numărului c; (15 p) 3) Calculaţi produsul dintre dublul sumei numerelor a şi b şi triplul diferenţei numerelor c şi a. II. La o fermă sunt crescute în total 1200 de animale (vaci, porci şi pui de găină). Numărul vacilor este un sfert din numărul porcilor, iar numărul puilor este dublu faţă de a celorlalte animale la un loc. (15 p) 1) Câţi pui creşte ferma? (20 p) 2) Aflaţi câte vaci se află la fermă. (15 p) III. În figura alăturată sunt desenate străzile dintr-un oraş. O persoană aflată în punctul A doreşte să ajungă în punctul H mergând doar pe străzi şi fără a trece de două ori prin acelaşi punct. Scrieţi care sunt toate traseele pe care le poate urma persoana (de exemplu A B C F H). NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

18 TEST 3 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele a, b, c date de relaţiile: a = ( : 4) : :8 : b 4 = 1 ( ) ( ) ( ) c n 26 ( 98:14 : 7 7) = +, unde n este cel mai mare număr format din 3 cifre în care cifra zecilor este dublul cifrei unităţilor, iar cifra sutelor este triplul cifrei unităţilor. (15 p) 1) Calculaţi cele trei numere; (10 p) 2) Arătaţi că c a = 8; (15 p) 3) Scrieţi numerele pare cuprinse între a şi c. II. La un concurs de matematică au participat 50 elevi, care au avut de rezolvat un subiect format din 4 probleme. Pentru o problemă corect rezolvată un elev primeşte 10 puncte, iar pentru o problemă nerezolvată corect i se scade un punct. Prima problemă a fost rezolvată de jumătate dintre elevii participanţi, a doua problemă a fost rezolvată de un numar de elevi cu 20 mai mare decât cazul primei probleme, iar a treia cu 5 mai puţin decât a doua problemă. În total au fost 151 probleme notate cu 10. (20 p) 1) Câţi elevi au rezolvat corect a patra problemă? (15 p) 2) Care este suma punctelor obţinute de toţi elevii? Există cel puţin un elev care a rezolvat toate problemele? (justificaţi răspunsul). III. Se consideră următorul şir de numere: , , , ,, (5 p) 1) Care este suma primilor 5 termeni ai şirului? (5 p) 2) Determinaţi numărul termenilor şirului; (5 p) 3) Este 2014 termen al şirului? Dar 2016? (justificaţi răspunsul). NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

19 TEST 4 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele: a = : 2 b = : 4 ( ) c = ( : 9 43) ( 2 n 7 28), unde n este cel mai mare număr de două cifre impare egale. (15 p) 1) Aflaţi cele trei numere; (10 p) 2) Calculaţi suma dintre dublul lui a şi triplul lui b; (15 p) 3) Pentru c = 44, calculaţi produsul dintre sfertul sumei numerelor a şi c şi diferenţa numerelor a şi b. II. Ana şi Bogdan au împreună 3 mere, Ana şi Carmen au împreună 4 mere, iar Bogdan şi Carmen au împreună 5 mere. (15 p) 1) Dintre Bogdan şi Carmen, cine are cele mai puţine mere? (20 p) 2) Câte mere are fiecare? III. Suma a cinci numere naturale diferite este egală cu 24. (5 p) 1) Arătaţi că nu se poate ca toate numerele să fie consecutive; (10 p) 2) Determinaţi numerele, dacă 4 dintre ele sunt consecutive. Câte soluţii există? NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

20 TEST 5 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele: a = b = : :5 ( ) { ( ) } c = : (15 p) 1) Care dintre cele trei numere este mai mare? (Justificaţi) (15 p) 2) Calculaţi produsul dintre sfertul lui a şi jumătatea lui b ; 2 n= b 2 c :2. (10 p) 3) Găsiţi numărul necunoscut din egalitatea ( ) II. 1) Calculaţi suma numerelor de două cifre care au o cifră egală cu dublul (15 p) celei de a doua. (20 p) 2) Dacă ştergem ultima cifră a unui număr, obţinem un număr de 12 ori mai mic decât numărul iniţial. Aflaţi numărul. III. Alina îi spune lui Barbu: Dacă aş avea cu 2 ani mai mult şi tu cu 2 ani mai puţin, atunci am avea aceeaşi vârstă. Barbu îi spune Alinei: Dacă aş avea cu 2 ani mai mult şi tu cu 2 ani mai puţin, atunci aş avea dublul vârstei tale. (5 p) 1) Cu câţi ani este mai mare Barbu decât Alina? (10 p) 2) Câţi ani are Alina şi câţi ani are Barbu? NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

21 TEST 6 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele: a = 20 + ( ) : 2 :3 b = : 7 ( ) ( ) c = 4022 : : 99 n. (15 p) 1) Aflaţi numerele a şi b; (10 p) 2) Aflaţi numărul c ştiind că n este cel mai mare număr impar de două cifre diferite; (15 p) 3) Calculaţi suma numerelor pare cuprinse între numerele a şi a II. În trei lădiţe numerotate (lădiţa 1, lădiţa 2, lădiţa 3) se află ciuperci. Aflaţi ce cantitate, exprimata in kg, se poate afla in fiecare ladiţă, în urmatoarele cazuri: (15 p) 1) Suma numerelor care reprezintă cantităţile este 6; (20 p) 2) Produsul numerelor care reprezintă cantităţile este 6. III. Considerăm şirul de numere 2, 5, 11, 23, 47, (5 p) 1) Aflaţi al şaselea termen al şirului; (5 p) 2) Aflaţi primii patru termeni din şir care au proprietatea că fiecare este egal cu răsturnatul său; (5 p) 3) Aflaţi cel mai mare termen al şirului care este mai mic decât NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

22 TEST 7 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele: a = :5 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b = c = : : (15 p) 1) Aflaţi cele trei numere; (10 p) 2) Aflaţi suma dintre triplul numărului a şi sfertul numărului b; (15 p) 3) Arătaţi că 5 c+ 8 a = 4 b. II. Într-o curte a unei gospodării se află găini, cocoşi şi raţe. Se ştie că 2 cocoşi cântăresc tot atât cât 3 găini, iar un cocoş cântăreşte căt 2 raţe. Ştiind că 6 raţe şi 2 găini cântăresc 13 kg, să se afle: (15 p) 1) Cât cântăresc 6 cocoşi şi 4 găini? (20 p) 2) Cât cântăresc în total o găină, un cocoş şi două raţe? III. Mihai citeşte o carte. În fiecare zi el citeşte cu 8 pagini mai mult decât în ziua precedentă şi după 4 zile el are citite 164 de pagini. (5 p) 1) Aflaţi câte pagini a citit Mihai în prima zi; (5 p) 2) Aflaţi câte pagini va citi Mihai în 7 zile; (5 p) 3) Aflaţi câte pagini poate avea cartea dacă aceasta este terminată de citit în 9 zile. NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

23 TEST 8 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele: a = :10 10 :10 ( ( )) b = ( : 7 ) : :( 176 :8 13) şi c care verifică relaţia: ( ) 4015: c : = 56. (20 p) 1) Aflaţi cele trei numere; 10 a 2 b = c 3 :8 10; (10 p) 2) Arătaţi că ( ) II. Într-o curte a unei gospodării se află găini şi oi, care au împreună 70 de picioare. (15 p) 1) Care este numărul maxim de oi care pot fi în curte? (20 p) 2) Ştiind că dacă în curte ar fi cu 5 găini mai puţin, atunci numărul găinilor ar fi egal cu numărul oilor, să se afle câte găini sunt. III. În drum spre casă, Andrei parcurge dalele trotuarului - câte una la fiecare pas - în felul următor: La prima mutare face trei paşi înainte şi unul înapoi, la cea de-a doua mutare face patru paşi înainte şi unul înapoi şi apoi repetă mutările. (10 p) 1) Aflaţi după câte mutări se opreşte Andrei pe dala cu numărul 27. (10 p) 2) Aflaţi pe ce dală se opreşte Andrei după 300 de mutări complete; (5 p) 3) Este posibil ca după câteva mutări complete, Andrei să se oprească pe dala cu numărul 2014? Explicaţi. NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

24 TEST 9 pentru admiterea în clasa a V-a ( Model orientativ ) I. Considerăm numerele: a = (66 8 7) ( ) ( ) [ ] b = : : c = ( : 2 6) : (413 2 n), unde n este cel mai mic număr format din 3 cifre pare diferite. (15 p) 1) Calculaţi cele trei numere; (10 p) 2) Calculaţi diferenţa dintre succesorul lui a şi dublul predecesorului lui b; (15 p) 3) Pentru c = 101, calculaţi produsul dintre triplul sumei numerelor a şi b şi diferenţa dintre c şi dublul lui b. II. Peste câţiva ani, la Colegiul Naţional Gheorghe Şincai din Baia Mare, suma numărului de profesori, de elevi de gimnaziu şi de elevi de liceu va fi 990. Numărul elevilor de liceu va fi de 5 ori mai mare decât suma numărului de profesori şi de elevi de gimnaziu. Numărul profesorilor este cu 30 mai mare decât jumătate din numărul elevilor de gimnaziu. (15 p) 1) Care este numărul elevilor de liceu? (20 p) 2) Care este numărul de profesori şi care este numărul elevilor de gimnaziu? III. Se consideră următorul şir de numere: 24, 34, 44, 54,..., (5 p) 1) Care este suma primilor 20 de termeni ai şirului? (5 p) 2) Câţi termeni are şirul? (5 p) 3) Care este primul număr din şir care are înaintea lui mai mulţi termeni decât după el? NOTĂ Toate subiectele sunt obligatorii. (adică nu sunt la alegere) Timpul de lucru este de 45 de minute. Se acordă din oficiu 10 puncte.

25 Soluţii Test pentru admiterea în clasa a V-a - 20 mai I. 1) a = 920 ( ) (66 8 7) = ( ) (66 56) = = = = 100. b = : ( :3) = : ( 6 3) = = : = = 49. c = ( : 2 6) : ( ) = [ ] = [ ( ) ]: ( ) = ( ) = ( ) : 5 = :5 = = 41 2) ( a + 1) ( b 1) = = : 5 = 3) 3 ( a + b) ( b c) = 3 ( ) ( 49 41) = = 3576 II. 1) Numărul total de elevi şi profesori este de 8 ori mai mare decât numărul elevilor de gimnaziu. Aşadar numărul elevilor de gimnaziu va fi 960 :8 = ) În total numărul profesorilor şi al elevilor de liceu este = 840. Câţi profesori vor fi? = 75. Câţi elevi de liceu vor fi? = 765. III. 1) Termenii şirului sunt 2 10, 3 10, 4 10,..., Suma primilor 20 de termeni este: S = = = ( ) : 2 = = : 2 = ) Şirul are 200 de termeni. (De la 2 la 201 sunt 200 de numere) 3) Al 100-lea termen are în faţa lui 99 de termeni, iar după el are 100 de termeni. Termenii anteriori au mai puţini termeni în faţa lor şi mai mulţi după. Al 101-lea termen are 100 de termeni în faţa lui şi 99 după el şi deci este termenul căutat. El are valoarea = 1020.

26 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 19 mai I. 1) a = 345 ( 20 14) : 5 = = = 150 b = : ( : 6) ( ) = : ( 20 11) 72 = = :9 72 = = 604 Observăm că n = 986 c = ( :1 9 ) :( 14 : 7) = ( ) : 2 = = : 2 = : 2 = 88 2) 4 a + 3 = = 603 Predecesorul lui b este 603. Rezultă că 4 a+ 3 este egal cu predecesorul lui b. b 4 : 6 = : 6 = 600 : 6 = 100 ( ) ( ) c + 12 = 100 Rezultă că ( b 4 ) : 6 = c ) a = 150 Jumătatea lui b este b : 2 = 604 : 2 = 302 Dublul lui c este 2 c = 88 2 = 176 Ordonarea crescătoare este a < 2 c < b:2 II. 1) Un segment reprezintă numărul elevilor de 12 ani Deoarece numărul elevilor de 11 ani este jumătate din numărul de elevi, rezultă că numărul lor este 15. 2) Numărul de elevi este reprezentat în total de 10 segmente. Un segment reprezintă aşadar 30 :10 = 3 elevi. Numărul elevilor de 12 ani este 3, iar suma vârstelor lor este 3 12 = 36 ani. Numărul elevilor de 10 ani este 4 3 = 12, iar suma vârstelor lor este = 120 ani. Numărul elevilor de 11 ani este 5 3 = 15, iar suma vârstelor lor este = 165 ani. Suma vârstelor elevilor este = 321 ani. III. 1) Rândul 1 începe cu 1, rândul 2 începe cu 21, rândul 3 începe cu 41, rândul 4 începe cu 61, iar rândul 5 începe cu 81.

27 2) Primul rând se termină cu scaunul care are numărul 20. Observăm că 20 = Al doilea rând se termină cu scaunul care are numărul 40. Observăm că 40 = Scaunul care are numărul 133 se află pe rândul care începe cu 121 şi se termină cu 140, adică pe rândul 7, deoarece 140 = ) Scaunul care are numărul 168 se află pe rândul care începe cu 161 şi se termină cu 180. Deoarece 180 = 9 20, rezultă că Ioana se află pe rândul 9. În faţa rândului 9 sunt 8 rânduri. După rândul 9 vor mai fi încă 8 rânduri. Sala Festivă va avea 17 rânduri. Sala are 340 de locuri. Ultimul rând începe cu scaunul care are numărul 321. Scaunul pe care se află Ioana este al optulea din rând. Scaunul lui Bogdan va fi al optulea din rândul 17 şi va avea numărul 328.

28 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 17 mai I. 1) a = : 6 24 :( 8 2 ) : 4 = : 6 4 : 4 a = = 125 b = ( 102 : ) :15 + 3: ( 1+ 2 ) : = ( ): : b = 105: : = 8: = 8 [ ] ( ) ( ) = = ( ) : c : 7 = : c : : : c : = : c = 36 : c c = 36 :12 = 3. 2) a 10 b = = c = 15 3 = 45 Aşadar a 10 b = 15 c. 3) a b = 1000 deci ( a b) ( a b) ( a b) = Numărul se termină cu 9 zerouri. II. 1) Notăm cu a numărul găinilor şi cu b numărul iepurilor. not Avem a:4= b:2= c, deci a = 4c şi b = 2c. Atunci, 2a + 4b = 400, adică 8c + 8c = 400. Obţinem c = 25 şi apoi a = 4c = 100 găini şi b = 2c = 50 iepuri. Se putea folosi şi metoda figurativă. 2) Notăm cu x numărul găinilor vândute şi cu y numărul iepurilor vânduţi. Avem x + y = 30, deci 10x + 10y = 300 (lei) şi 10x + 12y = 322 (lei) Obţinem 2y = 22 deci y = 11 şi x = 30 y = 19. Au rămas = 81 găini şi = 39 iepuri. III. 1) ( ) = : = 102 2) )

29 Test pentru admiterea în clasa a V-a - 21 mai I. 1) a = : : 2 = = = 82. b = ( ) : = ( 710 : 5) = = = 23 { :( 2x+ y) }: 5 = 20, deci :( 2x+ y) = : 2x+ y 2 = : 2x+ y = 56 : 2 II. ( ), rezultând ( ) = 52 :( 2x+ y), apoi 2x y 52 : 2 x + = şi de aici 2 + y= 26 Dacă am avea x 8, atunci 2x+ y = 25, fals. Aşadar x = 9, deci y = 8, iar c = 98. 2) 2a+ 7b= = = 325 3c + 31 = = = ) Notăm cu x numărul notelor de 8, cu y numărul notelor de 9 şi cu z numărul notelor de 10. Avem 9y+ 10z = 188, deci 10z = 188 9y. Aşadar numărul 9y trebuie să se termine cu 8, pentru ca 188 9y să se împartă exact la 10. Deci y poate fi egal cu 2 sau cu 12, căci 9 22 = 198 > 188. Cea mai mică valoare posibilă pentru y este y = 2, deci cea mai mare valoare a lui z este z = 17. 2) Dacă y = 2 şi z = 17, atunci x = = 9. Dacă y = 12 şi z = 8, atunci x = = 8. Aşadar numărul maxim posibil de note de 8 este egal cu 9. 3) Notăm cu a nota lui Andrei şi cu d nota lui Dan. Din enunţ rezultă că Dan nu a luat nota opt, iar a d 9. Dacă a= d = 10, atunci a d = 100. Dacă Andrei ar fi luat nota 9, atunci produsul ar fi fost 9 10 = 90 = , iar dacă Andrei ar fi luat nota 8, atunci produsul ar fi fost 8 10 = 80 = , fals. Dacă a = 10 şi d = 9, atunci a d = 90. Dacă Andrei ar fi luat nota 8, atunci produsul ar fi fost 8 9 = 72 = 90 18, fals. Dacă a= d = 9, atunci a d = 81. Dacă Andrei ar fi luat nota 8, atunci produsul ar fi fost 8 9 = 72 = Soluţia este a= d = 9. III. 1) Suma este S = 2 ( ) = 2 ( 1+ 10) 10 : 2 = 110 2) Valorile posibile ale lui A B sunt: 0 B = 0, 2 1 = 2, 4 1 = 4,..., 20 1 = 20 ; Câteva dintre numerele 2 3 = 6, 4 3 = 12,..., 20 3 = 60 au mai apărut. Valorile noi sunt: 8 3 = 24,10 3 = 30,..., 20 3 = 60 (7 valori) Câteva dintre numerele 2 5 = 10, 4 5 = 20,..., 20 5 = 100 au mai apărut. Valorile noi sunt: 8 5 = 40,10 5 = 50,14 5 = 70,16 5 = 80,18 5 = 90, 20 5 = 100 (6 valori) În total sunt = 24 de numere A B distincte. 3)

30 c c Test pentru admiterea în clasa a V-a I. 1) : : 6 = = ) a = : 7 ( ) :12 + a : 6 : 2 = ( ) : 2 = 48. { } 3) ( ) 8 + x 98 : : 2 = 55 ( ) ( ) ( ) 8 + x 98 : = x 98 : = x 98 : 2 = 119 x = 328 II. 1) m m m 4700 kg 7000 kg m = 7000kg 4700kg = 2300 kg c = 4700kg 2300kg = 2400kg R: Camionul câtăreste 2400kg 2) 50 tone = kg Camionul plin transportă 4600 kg marfă = < = > R: Cel mai mic număr de zile este 11 III. 1) n + 20 = 2014, n = ) Termenii sirului se pot scrie n + 5 0, n + 5 1, n + 5 2,... iar al douăzecelea termen este n n = 2010, 20n = 2010, n = 53. Atunci ( ) 3) Dacă sunt 2015 termeni atunci termenul din mijloc este al 1008-lea care este egal cu n de unde se obtine n = 2014

31 Test pentru admiterea în clasa a V-a ) a = + ( ) = ( : 3) : :3 = = b :9 7 = 114 : 6 ( ) ( b ) 2 :9 7 = 10 b :9 = 12 b = 108 c = 369 2) b a 29 = = r = ) a= 10b+ 5 ultima cifră a lui a este 5 2) Presupunând că se poate, va exista un număr natural c astfel încât a= 24c+ 18, deci a este un număr par. Deoarece ultima cifră a lui a este 5, rezultă că a este impar. Contradicție. 3) a b= b+ 5 b= b = 201. a = ) Suma este = ) Deoarece în șir sunt 9 numere de două cifre atunci: - cu cifra 1 pe poziția sutelor vor fi 9 numere; - cu cifra 5 pe poziția sutelor vor fi 9 numere; - cu cifra 9 pe poziția sutelor vor fi 9 numere. În total în șir sunt 27 de numere de trei cifre. 3) Deoarece orice termen din șir este impar, atunci suma oricăror doi termini din șir este un număr par, deci această sumă nu este termen al șirului.

32 Test pentru admiterea în clasa a V-a 2016 I. 1) a = = = b 9 = 81: : 4 + 8: b 9 = 6 b 9 = 1 b= 10. ( ) ( ) ( ) ( ) c = = ) a : 9 = 112. c+ 7 : b+ 2 b+ 3 = 890 : = = 112. ( ) 3) Numerele sunt: 886 = , 891 = ,, 1006 = , în număr de = 25. II. 1) Notăm cu x numărul cărților citite de Adi, cu y numărul cărților citite de Lia și cu z numărul celor citite de Raul. y = x 1 :2 x 1= 2 y x= 2 y+ 1. Avem: ( ) y+ 1= 6 z 6 1 y 5 x= 2 y x 11. 2) y 6 z 1 = ( ) x= 2 y+ 1= 2 6 z 1 + 1= 12 z 1. Obținem: x+ y+ z = 12 z 1+ 6 z 1+ z = 19 z 2. Apoi, z 2 40 z = 2. Obținem x= 23, y = 11, z = 2. III. 1) S = = : 2 22 = = ) Avem situațiile: a a + 2 a a + 2 a + 1 a + 3 a + 3 a + 5 și a+ ( a+ 1) + ( a+ 2) + ( a+ 3) = a+ 6 = a= 2010, fals și a+ ( a+ 2) + ( a+ 3) + ( a+ 5) = a+ 10 = a = 2006, fals 3) Calculăm suma numerelor rămase dacă Luca șterge primele 40 de coloane. Aceasta este: S = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = = = : 2 20 = Orice altă alegere ne conduce la o sumă mai mare decât cea a primelor 40 de coloane. Așadar Luca a șters numerele de sus din primele 40 de coloane. Ultimul număr șters este cel de deasupra lui 80, adică ultimul număr șters este 80 2 = 78.

33 Concursul Gheorghe Şincai- pentru micii matematicieni, 2010 I. 1) a = 183 ( ) = = 100. b = : 2 = = 40. c = 25 [ (21 4 5) ]: 20 5 = 25 [ (21 20)]: 20 5 = = 25 ( ) : 20 5 = 25 4 : 20 5 = 5 5 = 0. 2) a + c = = 100. a + b b c : 2 = : 2 = : 2 = ) ( ) ( ) ( ) ( ) II. 1) Cât cântăreşte fiecare sac cu porumb? 40 5 = 35 (kg) Câte kilograme de porumb s-au adus în depozit? = 420 (kg). 2) Câte kilograme de grâu s-au adus în depozit? = 1000 (kg) Câte kilograme de orez s-au adus în depozit? = 570 (kg) Cât cântăreşte fiecare sac cu orez? 570 :15 = 38 (kg). III. 1) Termenii şirului se pot scrie sub forma 0 5, 1 5, 2 5, 3 5,..., Şirul are 2011 termeni. (De la 0 la 2010 sunt 2011 numere). 2) Suma primilor 20 de termeni ai şirului este S = = = ( ) 20 : 2 = 950. Suma S se putea calcula şi direct, fără formulă. 3) Număr de o cifră care să aibă suma cifrelor 18 nu există. Singurul număr de două cifre care să aibă suma cifrelor 18 este 99, dar acesta nu face parte din şir. (oricare număr din şir se termină cu 0 sau 5) Dacă numărul are trei cifre şi se termină cu 0, atunci suma primelor două cifre trebuie să fie 18. Singurul astfel de număr este 990. Dacă numărul are trei cifre şi se termină cu 5, atunci suma primelor două cifre este 13. Numărul trebuind să fie cel mai mic, cifra sutelor trebuie să fie cât mai mică şi în consecinţă cifra zecilor să fie cât mai mare. Luând cifra zecilor 9, rezultă că cifra sutelor este 4. Obţinem numărul 495, care este cel mai mic termen al şirului cu proprietatea cerută.

34 Concursul Gheorghe Şincai- pentru micii matematicieni, 2011 I. 1) a = 275 ( ) = 275 ( ) = = 150. b = ( ) :( : ) = 1260 ( ) :( ) ( 800 : ) = 1260 ( ) = = 260. c = 25 [ (21 4 5) ]: ( ) = = 25 [ (21 20)]: ( ) = 25 ( ) : 20 + = = 25 4 : 20 = 5. Ordinea crescătoare este c, a, b. 2) a b : 2 = : 2 = = 20 = 4 5 = 4 c. 2 c x= a b:2 :4 3) ( ) 2 5 x = ( : 2 ) : 4 10 x = ( ) : 4 10 x = 5 x = 5. II. 1) Prima problemă a fost rezolvată de către 40 de elevi. Ceilalţi 40 n-au rezolvat-o. A doua problemă a fost rezolvată de către 60 de elevi. Ceilalţi 20 nu au rezolvat-o. Câte probleme au fost rezolvate până acum? = 100 Câţi elevi au rezolvat a treia problemă? = 61. (Ceilalţi 19 n-au rezolvat-o) 2) Câte puncte s-au obţinut pe problemele rezolvate? = 1610 Câte probleme n-au fost rezolvate? = 79 Care este suma punctajelor? = ) Cum numărul de elevi este 80, iar al problemelor nerezolvate 79, rezultă că cel puţin un elev a rezolvat toate problemele. III. 1) S = = ) Termenii şirului se pot scrie 0 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5,... Termenul de pe poziţia 2011 este = ) Primul termen din şir cu proprietatea cerută este 0. Al doilea este 5. Al treilea este 55, iar al patrulea este 505.

35 Concursul Gheorghe Şincai- pentru micii matematicieni, 2012 I. 1) ( ) [ ] a = : 8 4 : 2 : 4 = : 6 : 4 = = : 4 = = 51 ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] = b = : : : 2 = : 2 0 = 0 8 ( c) : : : 4 = ( c) : :9 904 ( c) : = c = c = 255 c = 15. 2) a b= 51 c b= 15 II. 1) Fie abcd,,, sumele de bani ai celor patru copii. Atunci, a 3= b+ 3 = c:3= d Aşadar c= 3d, deci 4d = 40, de unde d = 10. 2) Deoarece a= 13, b= 7, c= 30, d = 10, copiii au în total 60 de lei. III. 1) Al patrulea elev scrie pe tablă numerele: 7, 8, 9, 10, deci suma este 34. 2) Numărul numerelor scrise pe tablă este: = 20 21: 2 = 210 3) Suma numerelor scrise pe tablă este: = : 2 = 22155, care este un număr impar. 4) Suma maximă pe care o poate şterge este suma celor mai mari 20 de numere, adică = = = : 2 = 4010 Prin urmare cea mai mică sumă a numerelor rămase este =

36 Concursul Gheorghe Şincai- pentru micii matematicieni, 2013 I. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c) :13 = 33 ( c) = ( c) 4 = a = = = 7 8 = 56 b = : 5 5 = : 5 5 = 335: 5 5 = 67 5 = c = 424 : 4 3 c = c = 2 2) 5 a 4 b= = 32 8 c + 2 = 8 4 = 32. ( ) II. 1) Notăm cu f numărul fetelor şi cu b pe cel al băieţilor. Avem f = b 4 şi f + b= 28 Obţinem b+ b 4 = 28 deci 2 b = 32 şi apoi b = 16, f = 12. 2) Notăm cu f 1 numărul fetelor din prima echipă, cu f 2 pe cel al fetelor din echipa a doua, cu b 1 pe cel al băieţilor din prima echipă şi cu b 2 pe cel al băieţilor din echipa a doua. Avem f1 = b2 şi f2 = 2 b1 deci b2 + f2 = f1+ 2 b1 > f1+ b1. Deci cea de-a doua echipă a cules cele mai multe mere. III. 1) 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6 2) S = S = = 128 3) 5, 6 3, 4, 4 2, 3, 3, 3 1, 1, 2, 2, 2, 3 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3

37 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, 2016 I. 1) a = = = ( b) : : 9 : 5 = 23 ( b) 200 ( 842 b) : 9 = 115 ( b) Deoarece 405 = 5 9 9, rezultă că c = ) c + 1 = = 600. ( a b ) ( ) = = : 9 15 = : 9 = b = 765 b = 77. II. 1) Notăm cu a, d, c numărul cireșelor culese de Ana, de Dan și de Călin. Avem: a = 3d + 2 și d 3= 4c. Deoarece d = 4c+ 3, Dan a cules un număr impar de cireșe. Obținem că 3d este un număr impar, deci a= 3d + 2 este un număr impar. 2) Avem a = d + 88, deci 3d + 2 = d + 88, adică d = 43. Obținem a = 131 și c = 10 III. 1) S = ( ) + ( ) S = ( ) = 260 2) Împărțim șirul în grupe de câte 8 termeni: grupa 1: (1, 3, 7, 9, 8, 6, 4, 2), grupa 2: (11, 13, 17, 19, 18, 16, 14, 12),... grupa 202: (2011, 2013, 2017, 2019, 2018, 2016, 2014, 2012) În primele 201 grupe sunt = 1608 termeni, iar 2016 este pe locul 6 în grupa 202. Așadar 2016 este al 1614-lea termen al șirului. 3) Numărul A este maxim dacă are cât mai mulți de 9 pe primele locuri. 55 = , dar numărul este impar. Folosim faptul că 55 = A nu poate avea ultima cifră 0, deoarece multiplii de 10 nu fac parte din șir. Numărul căutat este A =

38 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, 2014 I. 1) a = ( ) a = 29 b = ( ) b = : c = 27 c = 6 2) Cel mai mic număr de trei cifre distincte care conţine doar cifre pare este = 204 3) m = = 300 numărul de cifre de zero este 20 II. 1) = 3069 suma diferenţelor = 70 2) 70 : 7 = 10 a = = 1063 b = = 1043 c = = 1033 III. 1) S = 1+ ( 1+ 2) + ( ) + ( ) + ( ) + 1= = = 36 2) Grupăm astfel: 1, ( 1, 2 ),( 1, 2,3 ),( 1, 2,3, 4 ),, ( 1, 2,3, 99 ),( 1, 2,3,,99,100 ), Rezultă că 100 se găseşte pe poziţia = ) Căutăm numărul natural n pentru care nn+ ( 1 ) : Cum : 2 = 190, avem: 1, ( 1, 2 ),( 1, 2,3 ),( 1, 2,3, 4 ),, ( 1, 2,3,,19) 190 termeni. Din grupa următoare luăm primii 10 1, 2,3,,10. Avem: termeni ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1, 2, 1, 2,3, 1, 2,3, 4,, 1, 2,3,,19, 1, 2,3,,10,, Prin urmare al 200-lea termen al şirului este 10.

39 Concursul Gheorghe Şincai - pentru micii matematicieni, 2015 I. 1. a = 204 3( 81 30) = = 51 ( ) b = b= 230 6b= 96 b= 16 c = = :16 = 55 rest 6 și suma cifrelor lui a este 5+ 1= 6. II. 1. Fie a și b numerele date. Atunci a= b c+ rr, < b Din ipoteză avem 18c= a r și b= 3c Deducem că b c= 18 c, deci b = 18 și c = 6 2. Din b = 18 avem r < 18 și r > 15 rezultă r = 16 sau r = 17 Pentru r = 16 avem a= 124, b= 18 iar pentru r = 17 avem a= 125, b= 18 III = 5( ) = Numerele 40,35,45,55, se găsesc în primul șir și au suma de2015ori corespunzătoare a cifrelor egală cu 4,8,9,10 și 2015, deci se gasesc în al doilea șir 3. Numerele din primul șir au ultima cifră 0 sau 5. Ca numărul să fie cel mai mic el trebuie să aibă cele mai puține cifre. Dacă ultima cifră este 0, atunci convine Dacă ultima cifră este 5, atunci convine Numărul căutat este 4995.

40 TEST 1 I. 1) a = ( ) = (100 84) = = = = 67 b = : = = 10 c = ( : 2) 56 : ( ) = [ ] = 35 [ ( ) 56 ]:10 = ( ) = :10 = 700. c 1 b + 1 = = ) ( ) ( ) 3) ( ) ( ) :10 = b 2 c a = = = II. 1) Numărul tuturor pomilor este de patru ori mai mare decât numărul prunilor. Numărul prunilor este aşadar 240 : 4 = 60. 2) Numărul merilor şi cireşilor este = 180. Un segment reprezintă 150 : 3 = 50pomi. În livadă sunt 80 de meri şi 100 de cireşi. III. 1) Dreptunghiurile care apar în desen sunt: ABFD, BCGF şi ACGD. 2) Triunghiurile care apar în desen sunt: BMC, MEF şi CGE. 3) A B M F G; A B M E F G; A B C G; A D E F G; A D E M F G; A D E M C G.

41 TEST 2 I. 1) a = ( ) = (100 36) = = = = 20 b = : = = 500 c = ( : 2 + 4) : ( ) = [ ] = 36 [ ( ) ]: 9 = ( ) : 9 = 36 6 :9 = 24. 2) a c : 2 = : 2 = = 8. 2 a + b 3 c a = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) II. 1) Numărul total al animalelor este de 3 ori mai mare decât suma numărului de vaci şi porci la un loc. Împreună, numărul de vaci şi porci este aşadar 1200 :3 = 400. Numărul de pui este = ) Am arătat că numărul de vaci şi porci, împreună, este 400. Un segment reprezintă 400 :5 = 80 de animale. Numărul vacilor este 80. III. A B C F H; A B C F E G H; A B E F H; A B E G H; A D E B C F H; A D E F H; A D E G H.