Curs 6. Hipersfera. Oana Constantinescu

Transcriere

1 Ecuatiile hipersferei Intersectia dintre o dreapta si o hipersfera. Hiperplanul tangent unei hipersfere intr-un punct al ei. Intersectia dintre o hipersfera si un hiperplan. Ecuatia unui cerc in E 3. Puterea unui punct fata de o hipersfera. Hiperplanul radical a doua hipersfere. Curs 6 Hipersfera Oana Constantinescu Oana Constantinescu Curs 6

2 1 Ecuatiile hipersferei 2 Intersectia dintre o dreapta si o hipersfera. Hiperplanul tangent unei hipersfere intr-un punct al ei. 3 Intersectia dintre o hipersfera si un hiperplan. Ecuatia unui cerc in E 3. 4 Puterea unui punct fata de o hipersfera. Hiperplanul radical a doua hipersfere.

3 Denitia hipersferei Fie E n un spatiu an euclidian n-dimensional, d : E E R functia distanta si R = {O; ē 1,, ē n } un reper ortonormat. Denition Fie Ω E si R > 0. Hipersfera de centru Ω si raza R este multimea punctelor P ale spatiului a.e. E cu proprietatea ca d(ω, P) = R. S n 1 (Ω, R) = {P E d(ω, P) = R} Exteriorul hipersferei se deneste prin ExtS (Ω, R) = {P E d(ω, P) > R}, iar interiorul hipersferei prin IntS (Ω, R) = {P E d(ω, P) < R}.

4

5 Ecuatiile hipersferei Fie P E de vector de pozitie r in raport cu R. Atunci P S (Ω, R) ΩP 2 = R 2 r r Ω 2 = R 2 (1) r 2 2 < r, r Ω > +( r Ω 2 R 2 ) = 0. (2) Oricare din ecuatiile anterioare reprezinta ecuatia vectoriala a hipersferei cu centrul in Ω, de raza R. Presupunem ca r = n x i i=1 ē i, r Ω = n obtinem ecuatia generala a hipersferei n ( x i ω i) 2 i=1 n (x i ) 2 2 i=1 α = i=1 ωi ē i. Din ecuatiile anterioare = R 2 n ω i x i + α = 0, i=1 n (ω i ) 2 R 2. i=1

6 Cercul in E 2 si sfera in E 3 Bineinteles, o hipersfera intr-un plan an euclidian E 2 este un cerc, iar intr-un spatiu a.e. 3-dimensional E 3 este o sfera. In dimensiune mica vom nota coordonatele unui punct arbitrar cu {ī, (x, y), respectiv (x, y, z), iar bazele reperelor ortonormate cu j }, {ī, respectiv j, k }. Ecuatia generala a cercului S 1 (Ω, R) in E 2, cu Ω(x 0, y 0 ) este (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2 x 2 + y 2 2x 0 x 2y 0 y + x y 2 0 R 2. Iar ecuatia generala a sferei S 2 (Ω, R) in E 3, cu Ω(x 0, y 0, z 0 ) este (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2 x 2 + y 2 + z 2 2x 0 x 2y 0 y 2z 0 z + x y z 2 0 R 2.

7 Reciproc, ne intereseaza cand o ecuatie de tipul n (x i ) 2 + i=1 n λ i x i + α = 0, λ 1,, λ n, α R, (3) i=1 reprezinta o hipersfera? Ecuatia (3) este echivalenta cu n (x i + λ i 2 )2 = 1 4 i=1 n (λ i ) 2 α. n Daca (λ i=1 i) 2 > 4α rezulta ca multimea punctelor ale caror coordonate verica (3) este hipersfera de centru Ω( λ 1, λ 2,, λn ) si raza R = 2 1 n (λ i=1 i) 2 4α. n Daca (λ i=1 i) 2 = 4α, multimea anterioara se reduce la { } Ω( λ 1, λ 2,, λn ) n, iar in cazul (λ i=1 i) 2 < 4α se obtine multimea vida. i=1

8 Ecuatiile parametrice ale cercului Sa consideram cercul de centru Ω(x 0, y 0 ) si raza R intr-un plan an euclidian. Pentru orice punct P S(Ω, R), cu OP = xī + y j, consideram t = (ī, ΩP) [0, 2π].

9 Ecuatiile parametrice ale cercului Atunci OP = OΩ + ΩP = x 0 ī + y 0 j + (R cos t)ī + (R sin t) j. Deci { x = R cos t + x 0, y = R sin t + y 0. (4) Ecuatiile (4) ne dau reprezentarea parametrica a cercului, sau ecuatiile parametrice ale acestuia.

10 Ecuatiile parametrice ale sferei In E 3 inzestrat cu reperul ortonormat R = { O, ī, j, k }, se considera sfera de centru Ω(x 0, y 0, z 0 ) si raza R. Vom determina mai intai ecuatiile parametrice ale sferei cu centrul in origine, de raza R, obtinuta din sfera initiala prin translatia de vector ΩO. Fie P(x, y, z) un punct arbitrar al acestei sfere. Notam cu P 1 proiectia ortogonala a lui P pe planul (xoy) = O + [ī, j] si cu P 2 proiectia ortogonala a lui P pe axa Oz = O + [ k]. Fie ϕ = (ī, OP 1 ) si θ = ( k, OP), ϕ [0, 2π], θ [0, π].

11 Ecuatiile parametrice ale sferei

12 Ecuatiile parametrice ale sferei Atunci OP 1 = R sin θ si OP 1 = (R sin θ)(cos ϕī + sin ϕ j ). Deoarece OP 2 = (R cos θ) k si OP = OP 1 + OP 2, rezulta ca x = R sin θ cos ϕ, y = R sin θ sin ϕ, z = R cos θ sunt ecuatiile parametrice ale sferei t ΩO (S(Ω, R)). Aplicand acestei sfere translatia de vector OΩ = x 0 ī + y 0 j + z 0 k, obtinem ecuatiile parametrice ale sferei S(Ω, R): x = R sin θ cos ϕ + x 0, y = R sin θ sin ϕ + y 0, z = R cos θ + z 0.

13 Intersectia dintre o dreapta si o hipersfera Fie hipersfera S(Ω, R) de ecuatie vectoriala H(P) := ΩP 2 R 2 = 0 r r Ω 2 R 2 = 0 (5) si dreapta δ = P 0 + [ū], ū 0 si P0 ( r 0 ), de ecuatie vectoriala r = r 0 + tū, t R. (6) Vrem sa studiem multimea δ S(Ω, R). { OP OΩ 2 R 2 = 0, P( r) δ S(Ω, R) OP = OP 0 + tū ΩP 0 + tū 2 R 2 = 0 ū 2 t < ΩP 0, ū > t + H(P 0 ) = 0. (7)

14 Ecuatia (7) este o ecuatie de gradul II in necunoscuta t, al carei discriminant este Dar G d(ω, δ) = ( ) ΩP0, ū G 4 =< ΩP 0, ū > 2 ū 2 H(P 0 ). (8) = ΩP 0 2 ū 2 < ( ΩP0,ū G(ū) ), deci ΩP 0, ū > 2 si 4 = ū 2 ( R 2 d 2 (Ω, δ) ) (9) 1 Daca d(ω, δ) < R, ecuatia (7) are doua solutii reale distincte t 1 si t 2, deci δ S(Ω, R) = {P 1, P 2 }, P 1 = P 0 + t 1 ū si P 2 = P 0 + t 2 ū. In acest caz spunem ca dreapta δ este secanta hipersferei. 2 Daca d(ω, δ) = R, ecuatia (7) are doua solutii reale egale t 1 = t 2, δ S(Ω, R) este formata dintr-un punct dublu. In acest caz dreapta δ este tangenta hipersferei. 3 Daca d(ω, δ) > R, ecuatia (7) nu are solutii reale si δ S(Ω, R) =. Spunem ca dreapta δ este exterioara hipersferei.

15 Hiperplanul tangent hipersferei intr-un punct al ei Theorem Fie P 0 un punct al hipersferei S(Ω, R). Atunci multimea tuturor tangentelor la hipersfera in punctul P 0 este un hiperplan H prin P 0, de vector normal ΩP 0. In plus ecuatia hiperplanului H se obtine din ecuatia hipersferei prin dedublare in P 0 ( r 0 ): < r r Ω, r 0 r Ω > R 2 = 0. (10) Hiperplanul H de ecuatie (10) se numeste hiperplanul tangent hipersferei in P 0.

16 Exemple Daca ecuatia hipersferei este data sub forma n i=1 (x i ) 2 + n i=1 λi x i + α = 0, dedublarea in P 0 se face astfel: n x i x i 0 + i=1 n i=1 1 2 λi (x i + x i 0) + α = 0 In s.a.e. E 2 se considera cercul de ecuatie (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 5. Ecuatia tangentei in P 0 (2, 1) la cerc este (x 1)(2 1) + (y + 3)( 1 + 3) 5 = 0 x + 2y = 0. Analog, in E 3 se da sfera de ecuatie x 2 + y 2 + z 2 2x + 4y 10z + 16 = 0. Ecuatia planului tangent sferei in P 0 (2, 1, 7) este 2x + y + 7z (x + 2) + 2(y + 1) 5(z + 7) + 16 = 0 x + 3y + 2z 19 = 0.

17 Ecuatia hiperplanelor tangente la hipersfera, de directie normala data (facultativ) Fie hipersfera S(Ω, R) si hiperplanul xat H ce trece prin P 0, de directie normala [ N]. Ecuatiile hiperplanelor paralele cu H, care sunt tangente hipersferei, sunt (H 1 ) < ΩP, N > +R N = 0, (H 2 ) < ΩP, N > R N = 0. Daca N(a 1, a 2,, a n ) si Ω(ω 1,, ω n ), ecuatiile anterioare devin: (H 1 ) (H 1 ) n i=1 a i(x i ω i ) + R n n i=1 a i(x i ω i ) R n i=1 a2 i = 0. i=1 a2 i = 0, (11)

18 Ecuatia hiperplanelor tangente la hipersfera, de directie normala data Intr-un plan vectorial euclidian, data o dreapta H si un cerc S, exista doua drepte tangente cercului, paralele cu H.

19 Sa consideram un cerc in E 2, de ecuatie (x a) 2 + (y b) 2 R 2 si dreapta δ : a 1 x + a 2 y + a 0 = 0. Ecuatiile tangentelor la cercul dat, paralele cu δ sunt (δ 1,2 ) a 1 (x a) + a 2 (x b) ± R a1 2 + a2 = 0. 2 Daca ecuatia dreptei δ este scrisa sub forma δ : y = mx + n, directia normala a dreptei este data de N = mī j. Inlocuind in ecuatiile (11), obtinem ecuatiile tangentelor la cercul dat, paralele cu dreapta δ: (δ 1,2 ) y b = m(x a) ± R m 2 + 1, (12)

20 Ecuatiile tangentelor dintr-un punct la un cerc in E 2 Putem folosi ecuatiile (12) pentru a obtine ecuatiile tangentelor la un cerc duse printr-un punct exterior cercului. De exemplu, e cercul S : x 2 + y 2 25 = 0 si P 0 (7, 1) exterior cercului. Am vazut ca tangentele la cerc, de panta data m, au ecuatiile y b = m(x a) ± R m 2 + 1, deci y = mx ± m 2. Punand conditia ca P 0 sa apartina acestor drepte, obtinem ±5 1 + m 2 = 1 7m 12m 2 7m 12 = 0 m = 4 3 sau m = 3. Obtinem cele doua tangente 4 (δ 1 ) 4x 3y 25 = 0, (δ 2 ) 3x + 4y 25 = 0.

21 Intersectia dintre o hipersfera si un hiperplan Fie hipersfera S(Ω, R) si un hiperplan H. Fie Ω 0 proiectia ortogonala a centrului sferei Ω pe hiperplanul H. 1 Daca d(ω, H) > R, atunci toate punctele hiperplanului sunt exterioare hipersferei. Spunem ca H este exterior hipersferei. 2 Daca d(ω, H) = R, atunci H e hiperplanul tangent hipersferei in Ω 0. 3 Daca d(ω, H) < R, atunci S(Ω, R) H este hipersfera de centru Ω 0 si raza r = R 2 d(ω, H) 2 din hiperplanul H. In acest caz hiperplanul este secant hipersferei.

22 Intersectia dintre o hipersfera si un hiperplan

23 Puterea unui punct fata de o hipersfera (facultativ) Fie hipersfera S(Ω, R) si punctul A E. Se considera o dreapta arbitrara δ prin A care intersecteaza hipersfera in punctele A 1, A 2, posibil confundate. Denition Se numeste puterea punctului A fata de hipersfera S(Ω, R) numarul real P S (A) =< AA 1, AA 2 >.

24 Puterea unui punct fata de o hipersfera Se demonstreaza ca aceasta denitie este corecta, adica < AA 1, AA 2 > nu depinde de dreapta δ, ci numai de punctul A si de hipersfera.

25 Proposition Fie hipersfera de ecuatie H(P) := ΩP 2 R 2 = 0. Atunci puterea punctului A fata de hipersfera este P S (A) = H(A). Observatie A IntS(Ω, R) P S (A) < 0, A ExtS(Ω, R) P S (A) > 0 si A S(Ω, R) P S (A) = 0.

26 Hiperplanul radical a doua hipersfere Fie S(Ω 1, R 1 ) si S(Ω 2, R 2 ) doua hipersfere de centre distincte. Se poate demonstra ca locul geometric al punctelor ce au puteri egale fata de cele doua hipersfere este un hiperplan de directie normala Ω 1 Ω 2. Intr-adevar, e S(Ω 1, R 1 ) : n (x i i=1 ) 2 + n i=1 λi 1 x i + α 1 = 0 si S(Ω 2, R 2 ) : n (x i i=1 ) 2 + n i=1 λi 2 x i + α 2 = 0. Punctul P(x 1,, x n ) are aceeasi putere fata de cele doua hipersfere n (x i i=1 ) 2 + n i=1 λi 1 x i + α 1 = n (x i i=1 ) 2 + n i=1 λi 2 x i + α 2 n i=1 (λi 1 λi 2 )x i + (α 1 α 2 ) = 0. Deoarece hipersferele au centre distincte, rezulta ca ecuatia anterioara reprezinta un hiperplan de directie normala N(λ 1 1 λ1 2,, λn 1 λn 2 ) Ω 1 Ω 2. Acest hiperplan se numeste hiperplanul radical al celor doua hipersfere.

27 Exemplu In cazul unui plan an euclidian, date doua cercuri neconciclice, locul geometric al punctelor din plan ce au aceeasi putere fata de cele doua cercuri va o dreapta perpendiculara pe linia centrelor, dreapta numita axa radicala a celor doua cercuri. = 0 si De exemplu, date cercurile S 1 : x 2 + y 2 4 }{{} H 1 (x,y) S 2 : x 2 + y 2 2x 4y }{{} H 2 (x,y) = 0, axa lor radicala se obtine astfel: H 1 (x, y) = H 2 (x, y) x + 2y 2 = 0.

28 Intersectia a doua hipersfere Vom prezenta in continuare, fara demosntratie, un rezultat ce generalizeaza pozitia relativa a doua cercuri intr-un plan euclidian. Se dau doua hipersfere neconcentrice, S(Ω 1, R 1 ) si S(Ω 2, R 2 ), Ω 1 Ω 2, R 2 R 1. Dorim sa studiem intersectia celor doua hipersfere. Deoarece orice punct comun celor doua hipersfere are putere egala cu zero fata de ambele hipersfere, rezulta ca el apartine si hiperplanului radical. Astfel, intersectia a doua hipersfere este intersectia uneia dintre ele cu hiperplanul lor radical. Se obtine ca S(Ω 1, R 1 ) S(Ω 2, R 2 ) R 1 d(ω 1, Ω 2 ) R 2 R 1 + d(ω 1, Ω 2 ). In acest caz avem situatiile: 1 daca intr-una din relatiile de sus avem egalitate, rezulta ca intersectia celor doua hipersfere e formata dintr-un singur punct, si hipersferele se numesc tangente; 2 daca R 1 d(ω 1, Ω 2 ) < R 2 < R 1 + d(ω 1, Ω 2 ), intersectia dintre hipersfere este o hipersfera din hiperplanul radical, caz in care hipersferele sunt secante.

29 Intersectia a doua cercuri in E 2 Date doua cercuri S(Ω 1, R 1 ) si S(Ω 2, R 2 ), Ω 1 Ω 2, R 2 R 1 intr-un plan euclidian, relatiile anterioare se poat rescrie intr-un mod analog si obtinem: 1 daca 0 < d(ω 1, Ω 2 ) < R 1 R 2, pentru R 2 < R 1, avem S(Ω 1, R 1 ) S(Ω 2, R 2 ) = si S(Ω 2, R 2 ) IntS(Ω 1, R 1 ): un cerc este situat in interiorul celuilalt; 2 daca d(ω 1, Ω 2 ) = R 1 R 2, avem S(Ω 1, R 1 ) S(Ω 2, R 2 ) = {P} si S(Ω 2, R 2 )\ {P} IntS(Ω 1, R 1 ): cele doua cercuri sunt tangente interioare; 3 daca R 1 R 2 < d(ω 1, Ω 2 ) < R 1 + R 2, avem S(Ω 1, R 1 ) S(Ω 2, R 2 ) = {P 1, P 2 }: cele doua cercuri sunt secante; 4 daca d(ω 1, Ω 2 ) = R 1 + R 2, avem S(Ω 1, R 1 ) S(Ω 2, R 2 ) = {P}, S(Ω 2, R 2 )\ {P} ExtS(Ω 1, R 1 ), S(Ω 1, R 1 )\ {P} ExtS(Ω 2, R 2 ): cele doua cercuri sunt tangente exterioare; 5 daca d(ω 1, Ω 2 ) > R 1 + R 2, avem S(Ω 1, R 1 ) S(Ω 2, R 2 ) = si ecare cerc este inclus in exteriorul celuilat: cercurile sunt exterioare.

30 Intersectia a doua cercuri in E 2