FUNCȚII CARE ADMIT SAU NU ADMIT PRIMITIVE

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "FUNCȚII CARE ADMIT SAU NU ADMIT PRIMITIVE"

Transcriere

1 FUNCȚII CARE ADMIT SAU NU ADMIT PRIMITIVE Prezentare teoretică: În clasa a XII-a, la analiză matematică avem capitolul PRIMITIVE. Elevul este pus în fața a trei probleme referitoare la primitive: Să cunoască: 1) Noțiunea de primitivă 2) Metodele de determinare a primitivelor 3) Probleme de existență a primitivelor În ceea ce urmează ne vom ocupa de problema existenței primitivelor unei funcții, dar bineînteles aceasta nu se poate realiza fără a cunoaște definiția primitivei și proprietățile acesteia. Precizez că funcțiile vor fi definite pe un interval din. Definiție: Fie un interval, și. Funcția admite primitive pe (este primitivabilă) dacă există o funcție astfel încât să avem: 1) -derivabilă pe 2), Funcția se numește primitivă a funcției Propoziția 1: Dacă și sunt două primitive ale aceleași funcții interval, atunci astfel încât (două primitive ale aceleași funcții diferă printr-o constantă). Corolar: Fie, interval din, o funcție care admite o primitivă. Atunci, funcția este o primitivă a lui și orice primitivă a lui este de forma. Observație: Dacă nu este interval, ci o reuniune de intervale disjuncte, afirmația nu rămâne adevărată. Contraexemplu: Fie Considerăm Avem, dar { care nu e constantă. Propoziția 2: Fie o funcție care admite primitive. Atunci are proprietatea lui Darboux (deci nu are discontinuități de primă spetă). Corolar: Dacă nu are proprietatea lui Darboux, atunci nu admite primitive. Observație: Reciproca este falsă. Contraexemplu: Fie { Funcția nu admite primitive dar, are proprietatea lui Darboux. Este bine de stiut urmatorul rezultat: Funcția { are următoarele proprietăți: 1) admite primitive (vezi problema 2) 2) are proprietatea lui Darboux 1

2 Există o clasă mare de funcții care admit primitive și anume clasa funcțiilor continue. Teoremă: Fie, o funcție continua, J- interval. Atunci admite primitive. Observație: Reciproca este falsă. Contraexemplu: Fie { Funcția nu este continuă ( și dar și ), dar admite primitive. Deci, avem următoarele incluziuni stricte: interval din Am notat: clasa funcțiilor continue pe clasa funcțiilor primitivabile pe clasa funcțiilor cu proprietatea lui Darboux Ne punem firesc întrebarea: Cum arătăm că o funcție admite sau nu admite primitive? Modalități de a arăta că o funcție admite primitive: 1) Dacă funcția este continua; 2) Dacă scriem funcția ca o combinație liniară de funcții care admit primitive; 3) Construim efectiv primitiva sa. Modalități de a arăta că o funcție nu admite primitive: 1) Dacă funcția nu are proprietatea lui Darboux; 2) Dacă imaginea unui subinterval al domeniului de definiție nu este interval; 3) Scriem funcția ca suma dintre o funcție care admite primitive și una care nu admite primitive; 4) Dacă are discontinuități de prima speță; 5) Prin reducere la absurd. Aplicații: 1. Să se arate ca funcția { admite primitive. Soluție: Pornim de la:, de unde. Funcția se scrie cu { ; {.Funcția admite primitive. O primitivă a sa este funcția { 2

3 Funcția admite primitive deoarece este continuă Deci. Funcția admite primitive fiind o combinație liniară de funcții care admit primitive. 2. Funcția { admite primitive Soluție: Scriem funcția { { - admite primitive (problema 1) - admite primitive (altfel { } care nu e interval ) Observație: Mulțimea funcțiilor primitivabile este închisă față de adunare, dar nu este închisă in raport cu înmulțirea( dacă suma a două funcții care admit primitive admite primitive, nu același lucru se întâmplă în cazul înmulțirii). 3. Funcția { admite primitive, dar funcția { nu admite primitive. Soluție: { { {. - nu admite primitive, h- admite primitive - nu admite primitive. 4. Exemplu de funcții care nu admit primitive pe, dar suma, produsul, respectiv compunerea lor admit primitive pe. { ; {, sunt funcții continue, deci admit primitive. 5. Să se arate că funcția { nu admite primitive pe. 3

4 Soluție: { { este continuă pe [ ] admite primitive; nu admite primitive nu admite primitive. 6. Dacă este derivabilă cu derivată continuă, atunci funcția { admite primitive. Soluție: { + { - continuă [ admite primitive. ] admite primitive admite primitive } 7. Să se arate că { are primitive pe. Metoda 1: { = { +{. este continuă admite primitive Metoda 2: Pornim de la :[ ] Scriem { [ ] -2{ +{ - combinație liniară de funcții care admit primitive admite primitive 8. Există funcții bijective astfel încât funcția, să fie primitiva lui? Mihai Piticari,RMT Soluție: Presupunem că există cu proprietatea din enunț are proprietatea lui Darboux( admite primitive).deoarece este si injectivă este strict monotonă este strict crescătoare ) (derivata funcției există deoarece este o primitivă), nu este surjectivă. Contradicție nu există funcții cu proprietatea din enunț. 9. Să se arate că nu există bijecție, derivabilă, astfel încât ( ). 4

5 Soluție: Presupunem că există derivabilă și bijectivă astfel încât să fie o primitivă a funcției. Deoarece este derivabilă continuă. Cum este și injectivă strict monotonă. Presupunem că este strict crescătoare (cazul strict descrescătoare se tratează analog) Dar. Deoarece este surjectivă astfel încât f(m ) ( ) nu e surjectivă. Contradicție. 10. Fie un interval și o funcție strict descrescătoare pe care admite primitive pe. Există funcții care admit primitive pe astfel încât? Soluție: Presupunem că există cu proprietatea din enunț. Deoarece admite primitive pe are proprietatea lui Darboux pe (1). Funcția este strict descrescătoare pe f injectivă este injectivă g- injectivă (2); Din (1) și (2) este strict monotonă strict crescătoare este strict crescătoare. Contradicție. Presupunerea făcută este falsă. Las cititorilor plăcerea de a rezolva următoarele probleme:. Fie un interval. Există funcții care admit primitive pe astfel încât?.fie continuă. Arătați că nu există nicio primitivă a lui astfel încât =. 11. Să se arate că dacă are primitive pe, atunci are primitive pe. Soluție: {. Fie o primitivă a lui pe -derivabilă -continuă -admite primitive (notez cu o primitivă a lui ). Atunci. Dacă admite primitive, primitivele sale sunt de forma: { Cum - derivabilă -continuă -continuă în Pentru simplificarea scrierii notez =c Avem: { ; Analog derivabilă pe și primitivă a lui. Observație: Asemănător se poate rezolva următoarea problemă: Fie o funcție care admite primitive pe. Să se arate ca următoarele funcții admit primitive (: 1) ; 2) ; 5

6 3) ; 4) ( ) ; 12. Să se demonstreze că dacă admite primitive, atunci, admite primitive. Soluție: Fie o primitivă a lui, atunci, este o primitivă a lui care se anulează în zero. Pornim de la: ( ) { ( ) { sa. {. Arătăm că - admite primitive construid primitiva Deoarece este continuă în - continuă pe. derivabilă în - derivabilă pe și este primitivă a lui. Funcția este continuă admite primitive admite primitive fiind combinație liniară de funcții care admit primitive. BIBLIOGRAFIE: 1) Vasile Arsinte, Probleme elementare de calcul integral Editura Universitatii, Bucuresti, 1995; 2) D.M. Batinetu-Giurgiu, Primitive si integrale, Analiza matimatica XII, Editura Birchi; Maria Batinetu-Giurgiu, I.Birchi -Damian 3)Dorel Duca, Eugenia Duca, Culegere de probleme de analiza matematica II Editura Gil, Zalau; 4) Dorin Andrica, Nicolae Bisboaca, Ioan Serdan, Manual de matematica-clasa a XII-a M1 Editura Plus, Bucurest 5) Mircea Ganga, Matematică, manual pentru clasa a XII-a, Elemente de analiză matematică, Editura Mathpress, 2002 Profesor Lucaciu Simona Daniela, Colegiul Național Silvania Zalău 6