Modelarea pieţelor financiare prin metode martingale Derivate financiare intermonetare

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Modelarea pieţelor financiare prin metode martingale Derivate financiare intermonetare"

Transcriere

1 Modelarea pieţelor financiare prin meode maringale Derivae financiare inermoneare Conf. dr. habil. Eduard Roensein Presupunem că avem un model financiar Black-Scholes compus din două pieţe financiare în care sun ranzacţionae acive denominae în două monezi diferie: moneda auohonea (domesic currency din domesic marke) şi moneda srăină (foreign currency din foreign marke). Vom presupune că, aă raa dobânzii fără risc penru moneda domesică, câ şi raa dobânzii fără risc penru moneda săină, sun consane nenegaive, iar preţul de vânzare de pe piaţa foreign şi cursul de schimb inermonear sun modelae prin mişcări Browiniene geomerice. Vom vedea că, penru a evia corelaţia perfecă dinre acese două procese, ermenul aleaor ce guvernează modelul ar rebui să fie de ip muli-dimensional şi nu uni-dimensională, ca în abordările anerioare. Scopul sudiului ese acela de a deermina preţul fără arbiraj al diferielor ipuri de derivae financiare ranzacţionabile pe cele două pieţe considerae, procesul raei de schimb fiind un ermen consiuien al analizei efecuae. De asemenea, vom invesiga sraegiile de hedging corespunzăoare, ce permi minimizarea expunerii la risc a invesiorilor. Vom avea în vedere fapul că avem de a face cu un ermen de difuzie combina, ce provine aâ din dinamica acivelor supor pe pieţele considerae (şi denominae în moneda corespunzăoare), câ şi din volailiea cursului de schimb inermonear. Modelul de piaţă al derivaelor financiare inermoneare Toae procesele luae în considerare în cele ce urmează sun definie pe un spaţiu comun de probabiliae filra (; F; P; F) unde F = (F ) T ese filrarea naurală generaă de mişcarea Browiniană d-dimensională W = (W ; :::; W d ): Considerăm r d ca fiind dobânda insananee pe ermen scur corespunzăoare conului de economii exprima ˆîn moneda domesică, iar r f dobânda similară asociaă conului de economii exprima în monedă srăină. De asemenea, presupunem ipoeza naurală r d ; r f > 0; consane dae. Prin urmare, au loc urmăoarele reprezenări ale conurilor de economii (vom uiliza indicii d; respeciv f penru a face referire la conul denomina în moneda domesică, respeciv cel în moneda srăină, foreign): unde: 8 >< >: Z B d = exp r d (s) ds = e r d şi 0 Z B f = exp r f (s) ds = e r f ; 8 2 [0; T ]; 0 B d ese conul de economii exprima în moneda domesică; B f se conul de economii exprima în moneda srăină; T ese un momen erminal fixa (perioada de viaţă a pieţei financiare). Noăm cu Q raa de schimb înre moneda domesică şi moneda srăină. Aceasa ese exprimaă în numărul de uniăţi de monedă domesică pe uniaea de monedă srăină. Aces lucru însemnă că variabila Q reprezină caniaea de uniăţi din moneda domesică care rebuie plăiă la momenul penru achiziţionarea unei uniăţi moneare din moneda srăină. Trebuie remarca fapul că aceasă raă de schimb Q nu poae fi priviă din aceeaşi perspecivă ca orice aciv financiar ranzacţiona în piaţa domesică deoarece rebuie luae în calcul ambele procese de difuzie implicae, aşa cum vom vedea pe parcursul acesei prezenări. Asfel, penru evaluarea în piaţa domesică a unui deriva financiar denomina în moneda srăină, rebuie considerae aâ volailiaea expliciă a acesui aciv, câ şi cea a conversiei aunci când exprimăm preţul în piaţa domesică.

2 Considerăm că raa de schimb Q; sub măsura de probabiliae P; are dinamica daă de urmăoarea EDS liniară, d-dimensională: dq = Q ( Q d + Q dw ); Q 0 > 0; () unde: Q 2 R reprezină coeficienul de drif al procesului raei de schimb Q; Q 2 R d reprezină volailiaea aceluiai proces. Prin noaţia " " vom înţelege produsul scalar în spaţiul Euclidian R d : Cum W ese un proces Wiener d-dimensional, prin caniaea Q dw înţelegem Q dw = dx QdW i i :. Măsura maringală domesică (Domesic Maringale Measure) Având în vedere dinamica raei de schimb (), formula sa expliciă, la momenul ese Q = Q 0 exp Q 2 j Qj 2 + Q W Cum Q reprezină numărul de uniăţi din moneda domesica per uniae de monedă srăină, înseamnă că ese aces proces ese exprima în moneda auohonă, fap ce sugerează ca procesul său acualiza să fie realiza în rapor cu conul de economii din piaţa financiară domesică. Prin urmare, procesul acualiza Q poae fi reprezena prin formula Q := Bf Q B d i= = exp ((r f r d )) Q : Caniaea de la numărăor, B f Q reprezină conul de economii din moneda srăină, converi în moneda domesică. Ese uşor de obsera că procesul Q are formula expliciă Q = exp ((r f r d )) Q = exp ((r f r d )) Q 0 exp Q 2 jj2 + Q W = Q 0 exp Q + r f r d 2 j Qj 2 + Q W ; sau echivalen, dianamica lui Q sub P şi în rapor cu procesul Wiener iniţial are forma urmăoare: dq = Q (( Q + r f r d )d + Q dw ): (2) Observăm că procesul acualiza Q ese o maringală sub măsura de probabiliae P dacă şi numai dacă driful ecuaţiei (2) ese 0, adică dacă ese îndepliniă condiţia Q = r d r f : Definiţia O măsură de probabiliae P pe (; F T ), echivalenă cu P, ese o măsură maringală domesică (domesic maringale measure), dacă procesul acualiza Q = Bf Q B d ese o P -maringală. Inuiiv, măsura maringală domesică P ese o măsură de probabiliae neură la risc, aşa cum se vede din perspeciva unui invesior care exprimă în mod consan preţurile acivelor ranzacţionae în uniăţi din moneda domesică. Făcând apel la Teorema lui Girsanov, orice măsură maringală P P ese asociaă unui vecor 2 R d care saisface relaţia Q + r f r d + Q = 0: (3) Relaţia (3) nu ese suficienă penru a asigura uniciaea măsurii maringale, mai precis a procesului : Aceasa se daorează fapului că ermenul Q ese un produs scalar în R d : Prin urmare, dacă d = =) ese unic deermina, el fiind da de = Q (r d r f Q ) : (4) 2

3 Dacă d 6= =) nu ese neapăra unic. Dar, dacă exisă ce verifică ecuaţia (3), aunci schimbarea de măsură de probabiliae ese daă, aşa cum se şie, de variabila aleaoare în formă exponenţială În plus, procesul ransforma dp dp = T := exp W T ese, sub P ; un proces Winer d-dimensional. Deoarece Q se poae exprima în funcţie de Q ; 2 jj2 T ; P a:s:; W := W ; 8 2 [0; T ]; (5) Q = Q B d B f aunci se obţine imedia că formula expliciă a raei de schimb Q; sub măsura maringală domesică P ese daă de Q = exp ( (r f r d )) Q = Q 0 exp ( (r f r d )) exp Q + r f r d 2 j Qj 2 + Q W = (5) = (3) Q 0 exp Q Q 0 exp (r d r f ) 2 j Qj 2 + Q (W + ) = Q 0 exp Q + Q 2 j Qj 2 + Q W Prin urmare, Q are dinamica daă de EDS liniară ; 2 j Qj 2 + Q W dq = Q ((r d r f )d + Q dw ); Q 0 > 0: (6) Compleiudinea pieţei de acive financiare. Compleiudinea pieţei domesice ese asiguraă de uniciaea măsurii maringale domesice. Aces lucru se poae obţine prin inroducerea spre ranzacţionare a unui aciv adiţional, exprima în moneda domesică. Aces aciv poae fi denomina şi în moneda pieţei srăine, dar preţul său rebuie exprima în moneda pieţei domesice, prin conversia daă de procesul raei de schimb. Alfel spus, numărul acivelor ranzacţionae, inclusiv conul de economii din moneda domeică rebuie să fie egal cu d+; d fiind dimensiunea mişcării Browniene. De exemplu, dacă nu sun ranzacţionae acive supor riscae, expimae în moneda auohonă, şi puem ranzacţiona doar un singur aciv supor în piaţa srăină, aunci, penru a avea asiguraă exisenţa măsurii maringale, rebuie ca dimensiunea lui W şi, implici şi a lui W să fie egală cu 2: Asfel, modelul de piaţă presupune exisenţa a 3 acive: conurile de economii domesice şi srăine (sau, dacă se preferă, bonduri cu aceeaşi denominare) şi un aciv supor riscan (sock) în piaţa srăină. Propoziţia. Presupunem că modelul de piaţă considera ese comple. Aunci, preţul de arbiraj (preţul corec) (X), exprima în moneda domesică, al oricărui deriva financiar X; ce are mauriaea T şi care e exprima în aceeaşi monedă ese: (X) = e r d(t ) E P (X j F ) (7) Dacă Y ese denomina în moneda srăină, aunci preţul său la momenul ; exprima în moneda auohonă ese: (Y ) = e r d(t ) E P (Q T Y j F ) (8).2 Măsura maringală srăină (Foreign Maringale Measure) Preţul corec al unui deriva financiar precum cel din rezulaul preceden poae fi privi şi din perspeciva unui invesior care are în vedere o măsură maringală de pe piaţa srăină, iar apoi are loc conversia în moneda domesică, cu ajuorul raei de schimb Q: Prin urmare, dacă avem perspeciva unui asfel de invesior, ese eviden că vom avea nevoie de un curs de schimb din moneda domesică căre cea srăină, înr-o maniera "în oglindă" analizei anerioare. Penru aceasa, noăm cu R raa de schimb din moneda domesică în moneda srăină, definiă asfel: R = (Q ) = Q : 3

4 Vom deermina dinamica procesului sochasic R, în siuaţia în care Q ese da de formula (6), adică dq = Q ((r d r f )d + Q dw ); Q 0 > 0: Soluţia expliciă a lui Q ese Q = Q 0 exp Q W + r d r f 2 j Qj 2 ; deci R = = exp Q Q 0 Q W + r d + r f + 2 j Qj 2 = exp r f r d + j Q j 2 Q 0 2 j Qj 2 Q W : Alfel spus, dinamica lui R; sub P ; ese asfel daă de EDS liniară (9) dr = R ((r f r d )d Q (dw Q d)); R 0 = =Q 0 : (0) Considerăm acum procesul acualiza obţinu din conversia conului de economii din piaţa domesică în moneda srăină (B d R ) şi facoriza la ermenul de acualizare din piaţa rezulaă, adică la conul de economii din moneda srăină (B f ): R = Bd R B f = exp ((r d r f )) R ; 8 2 [0; T ] Sudiem în ce condiţii aces proces ese o maringală. Penru aceasa, pornim de la valoarea lui R ; daă de ecuaţia (0), ce are soluţia expliciă (9). Obţinem asfel: R = R exp ((r d r f )) = R 0 exp r f r d + j Q j 2 = R 0 exp j Q j 2 2 j Qj 2 Prin urmare, R are dinamica Q W ; 2 j Qj 2 Q W exp ((r d dr = R j Q j 2 d R Q dw = R Q (dw Q d); R 0 = =Q 0 : Deoarece coeficienul de drif R j Q j 2 nu ese idenic 0; aunci R nu ese un proces maringal. Puem formula problema exisenţei, pe spaţiul (; F T ); a unei măsuri de probabiliae P; ~ echivalenă cu P asfel încâ R să fie o P-maringală. ~ Aceasă măsură P ~ se va numi măsura maringală srăină (foreign maringale measure). Penru a realiza schimbarea măsurii de probabiliae echivalenă, facem apel o la Teorema lui Girsanov şi obţinem că aceasa ese deerminaă de variabila aleaoare F T măsurabilă r f )) d ~ P dp = T ; P a:s; () unde procesul maringal ese defini, penru fiecare 2 [0; T ] ; prin formula exponenţială: := exp Q W 2 j Qj 2 ; 8 2 [0; T ]: (2) Ese eviden fapul că, dacă nu avem uniciaea măsurii maringale din piaţa domesică, P ; aunci nici penru măsura maringală din piaţa srăină nu avem aceasă proprieae. Cu oae acesea, în rapor cu orice măsură maringală ~ P, procesul R ese da de: dr = R Q (dw Q d) = R Q d ~ W ; unde ~ W = W Q ; 2 [0; T ] (3) urmează o mişcare Browniană d-dimensională sub noua măsură de probabiliae ~ P P. Observăm, de asemenea, că dinamica raei de schimb R; sub măsura maringală ~ P; ese daă de urmăoarea ecuaţie, similară cu 4

5 ecuaţia (6): R = exp ( (r d r f )) R = R 0 exp = R 0 exp r f r d + j Q j 2 = R 0 exp r f r d + j Q j 2 = R 0 exp r f r d 2 j Qj 2 ceea ce conduce imedia la EDS liniară j Q j 2 2 j Qj 2 2 j Qj 2 Q W ~ 2 j Qj 2 Q W Q W Q ~W + Q exp ( (r d r f )) dr = R ((r f r d )d Q d ~ W ); 2 [0; T ] : (4) Remarcăm că, şiind că R = exp ( (r d r f )) R ; dinamica (4) poae fi regăsiă prin aplicarea direcă a formulei lui Iô funcţiei u (; x) := exp ( (r d r f )) x; în ipoeza că R verifică EDS (3). Înr-adevăr, cum u (; x) = (r d r f ) exp ( (r d r f )) x; u x (; x) = exp ( (r d r f )) ; u xx (; x) = exp ( (r d r f )) = 0: obţinem, folosind formula (3), dr = (r d r f ) exp ( (r d r f )) R d + exp ( (r d r f )) R Q d W ~ = exp ( (r d r f )) R (r d r f )d Q d W ~ = R r f r d )d Q d W ~ ; adică obţinem, din nou, formula (4). Dacă considerăm acum X ca fiind un T -deriva financiar exprima în moneda domesică, aunci preţul său corec, exprima prin formula de evaluare la risc neuru, ese (X) = exp ( r d (T )) E P (X j F ) iar ~ (X) = exp ( r f (T )) E ~P (R T X j F ); 8 2 [0; T ] ese preţul unui T -deriva financiar, X; denomina în moneda srăină. Propoziţia.2 Fie X o variabilă aleaoare F T -măsurabilă. Aunci, în ipoeza că urmăoarele două medii exisă, avem că: E ~P (XjF ) = E P X exp Q (WT W ) Demonsraţie. Aplicând formula absracă a lui Bayes, obţinem că E ~P (X j F ) = E P ( T X j F ) E P ( T j F ) Cum ese o măsură maringală sub măsura maringală domesică P obţinem E ~P (X j F ) = E P ( T X j F ) = 2 j Qj 2 (T ) j F ; 80 T T (5) E P ( T X j F ) = Dar, pe de ală pare, având formula expliciă a procesului ; = exp Q W obţinem, scriind expresia penru şi T şi inserând-o în E ~P, E ~P (X j F ) = E P demonsraţia fiind, asfel, încheiaă. X exp Q (WT W ) 2 j Qj 2 ; F mas: E P ( T X j F ): 2 j Qj 2 (T ) j F ; 80 T T ; 5

6 .3 Dinamica preţurilor acivelor supor ranzacţionabile în piaţa srăină Considerăm în modelul de piaţă consrui un aciv supor riscan, denomina în moneda srăină, fs f g 2[0;T ]: Presupunem că dinamica preţului procesului S f ; sub măsura maringală din piaţa foreign, ~ P ese ds f = S f (r f d + S f d ~ W ); S f 0 > 0; coeficienul de volailiae S f 2 R d find consan. Remarcăm că, având în vedere că dinamica ese daă sub măsura maringală a pieţei, coeficienul de drif ese chiar dobânda insananee (shor erm ineres rae) asociaă conului de economii în moneda srăină. Asfel, dacă considerăm preţul acualiza (în rapor cu conul de economii adecva) al acivului supor, acesa are dinamica ds f; = S f; S f d W ~ ; unde S f; := Sf B f = S f exp (r f ) : Cum W ~ = W Q ; rezulă că, sub măsura maringală domesică, P ; procesul preţului acivului supor ese guverna de EDS liniară ds f = S f (r f d + S f dw S f Q d) = S f ((r f S f Q ) d + Sf dw ): (6) Penru deerminarea preţurilor derivaelor financiare ce au aces aciv supor, ese uilă conversia preţului acivului supor în moneda domesică. Penru a face aceasa, noăm ~S f = Q S f preţul acivului din piaţa srăină S f ; exprima în uniăi moneare domesice. Folosind formula lui Iô şi dinamica, sub P ; penru raa de schimb Q; mai precis, dq = Q ((r d r f )d + Q dw ); (7) obţinem, folosind formulele (6) şi (7), că, sub măsura maringală P, procesul S f saisface EDS liniară: Înr-adevăr, avem d ~ S f = d d ~ S f = ~ S f (r d d + ( S f + Q ) dw ) (8) D E Q S f = Q ds f + dq S f + d Q ; S f = Q S f ((r f S f Q ) d + Sf dw ) + S f Q ((r d r f )d + Q dw ) + Q S f Q Sf d = ~ S f r f S f Q + r d r f + Q Sf d + Sf + Q dw = ~ S f r d d + Sf + Q dw ; formula (8) fiind asfel obţinuă. Penru a deduce aceeaşi formula, puem evia aplicarea formulei lui Iô produsului de procese sochasice Q S f şi folosim forma expliciă a celor doua procese consiuiene, urmând apoi, ca după rearanjarea ermenilor, să reconsruim ecuaţia diferenţiala pe care o saisface S ~ f : Avem asfel: 8 >< Q = Q 0 exp (r d r f ) 2 j Qj 2 + Q W >: S f = S f 0 exp r f S f Q (6) 2 j S f j 2 + Sf W : Prin urmare, ~S f = Q S f = Q 0 S f 0 exp r d r f 2 j Qj 2 + r f S f Q 2 j S f j 2 + Q + Sf W = S ~ f 0 exp r d 2 j Qj S f Q + j Sf j 2 + Q + Sf W = S ~ f 0 exp r d 2 2 Q + Sf + Q + Sf W ; proces ce ese soluţia ecuaţiei (8), demonsraţia fiind, în aces momen, încheiaă. 6

7 2 Conrace forward moneare (Currency Forward Conracs) şi opţiuni moneare (Currency Opions) În cadrul acesor conrace, acivul supor va fi raa de schimb Q: Făcând o analogie cu formula de deerminare a preţului penru derivae financiare ce au acive supor riscane, purăoare de dividende, S; în abordarea acuală vom înlocui valoarea S cu raa de schimb Q ; iar dividendul plăi k cu dobânda insananee foreign, r f : Vom puea obţine o o formula de ip Black-Scholes penru sabilirea preţurilor conracelor moneare. 2. Raa de schimb viioare (forward exchange rae) Vom analiza valoarea unui conrac forward iniţia la momenul şi cu mauriaea T: Cel care îşi asumă poziţia shor înr-un asfel de conrac se obligă ca, la momenul T; să-i furnizeze celui ce se află în poziţia long o anumiă caniae din moneda srăină, de exemplu, uniae. Cel ce se află în poziţia long înr-un conrac monear forward ese obliga să plăească o anumiă caniae din moneda domesică penru produsul achiziţiona, sumă ce poară denumirea de preţ de livrare. Aces preţ, care face ca conracul să fie fără valoare la momenul T; se numeşe preţul forward la momenul (forward price) al unei uniăţi din moneda srăină ce va fi livraă la momenul de mauriae al conracului monear. Referindu-ne la aces preţ viior, vom noa cu F Q (; T ) raa de schimb viioare (forward exchange rae). Propoziţia 2. Raa de schimb viioare F Q (; T ); asociaă unui conrac iniţia la momenul ; şi ce are mauriaea T ese daă de urmăoarea formulă: F Q (; T ) = Bd T B d B f B f T Q = exp ((r d r f )(T )) Q ; 8 2 [0; T ]: (9) Relaţia (9), cunoscuă şi sub denumirea de pariaea dobânzilor insananee (ineres rae pariy) afirmă că prima penru un conrac forward monear rebuie să fie, înr-un model de piaţă afla în echilibru, egală cu diferenţa dobânzilor celor două conuri de economii, r d r f : O variană relaiv simplă a acesei relaţii de pariae se păsrează chiar dacă cele două dobânzi insananee nu mai sun consane deerminise, ci urmează două procese sochasice. Rolul conurilor de economii po fi jucae de căre T -bondurile B d (; T ) şi B f (; T ) ; fiecare din ele considerae în piaţa indicaă de indicele aferen. Asfel, puem exinde egaliaea (9) penru a acoperi cazul dobânzilor sochasice, formulă ce e în concordanţă cu (9): unde F Q (; T ) = B f (; T ) B d (; T ) Q ; 8 2 [0; T ]; (20) B f (; T ) reprezină valoarea, în moneda şi piaţa srăină, a unei obligaţiuni neplăioare de cupoane, cu mauriaea T: B d (; T ) reprezină valoarea, în moneda şi piaţa domesică, a unei obligaţiuni neplăioare de cupoane, cu mauriaea T: Arăăm, folosind ehnica uzuală, că dinamica lui F Q (; T ); sub măsura maringală P ; ese daă de EDS: adică F Q (; T ) ese un proces sochasic maringal. df Q (; T ) = F Q (; T ) Q dw ; cu F Q (T; T ) = Q T ; (2) Demonsraţie. Şim că dinamica raei de schimb, sub măsura maringală domesică, ese soluţia expliciă fiind dq = Q ((r d r f )d + Q dw ) ; (22) Q = exp r d r f 2 j Qj 2 + Q W Obţinem, folosind formula (20) şi fapul că, în cazul dobânzilor consane poziive, B d (; T ) = exp ( r d (T )) = B d =BT d şi B f (; T ) = exp ( r f (T )) = B f =B f T : F Q (; T ) = exp r d r f 2 j Qj 2 r d + r f + (r d r f )T + Q W = exp ((r d r f )T ) exp Q W 2 j Qj 2 ; 7 (23)

8 adică F Q (; T ) ese soluţie penru ecuaţia (2). Formula diferenţială (2) se poae regăsi şi în cazul în care T -bondurile implicae sun procese sochasice. În secţiunea urmăoare vom folosi aceasa formulă penru a demonsra că raele de schimb forward şi fuure coincid, în cazul în care dobânzile domesice şi foreign sun deerminise. 2.2 Opţiuni inermoneare (Cross-Currency Opions) Fie un Call European care are ca aciv supor raa de schimb, la momenul de mauriae T a unei uniăţi moneare din moneda srăină, la un curs presabili de K uniăţi din moneda domesică. Funcţia de plaă la mauriae penru moneda livraă va fi C Q T = (Q T K) + : Considerăm variabila aleaoare ~ B f ; ce reprezină valoarea, la momenul ; a conului srăin, exprima în moneda domesică: ~B f = B f Q = exp (r f ) Q ; 8 2 [0; T ]: Teorema Valoarea, la momenul 2 [0; T ]; exprimaă în moneda domesică, a opţiunii moneare de ip Call European ese daă de formula de evaluare la preţ neuru (risk-neural valuaion formula): C Q = exp ( r d (T )) E P (C Q T jf ) = exp ( r d (T )) E P ((Q T K) + jf ) unde N reprezină repariţia Gaussiană iar = Q exp ( r f (T )) N(h (Q ; T )) K exp ( r d (T )) N(h 2 (Q ; T )); h ;2 (q; ) := N(x) = p 2 Z x e u2 =2 du; q ln + r d r f 2 K j Qj 2 p : Q Demonsraţie. Deerminarea preţului opţiunii moneare de ip Call European moneară se realizează prin consruirea unui porofoliu replican de căre invesiorul afla în poziţia shor. Vom noa aces porofoliu cu = ( ; 2 ); unde ~ B f reprezină suma invesiă, la momenul ; în uniăţi moneare din moneda srăină, con converi în moneda domesică, iar 2 B d reprezină suma invesiă în uniăţi moneare din moneda domesică. Prin urmare, valoarea porofoliului, exprimaă în moneda auohonă, ese V () = ~ B f + 2 B d = B f Q + 2 B d = exp (r f ) Q + 2 exp (r d ) ; 8 2 [0; T ]; Condiţia de auofinanţare conduce la urmăoarea dinamică a acesuia dv () = d ~ B f + 2 db d : Având în vedere că porofoliul replican ese exprima în moneda domesică, acualizarea valorii sale se va face în rapor cu conul de economii denomina în acceaşi moneda. Prin urmare, avem iar dinamica sa ese V () := V () B d = exp ( r d ) V (); dv () = d (exp ( r d ) V ()) = r d exp ( r d ) V () + exp ( r d ) dv () = r d exp ( r d ) B f Q + 2 B d + exp ( r d ) d B ~ f + 2 db d = r d exp ( r d ) B f Q + exp ( r d ) d ~ B f = d exp ( r d ) B f Q = d exp ( r d ) ~ B f + 2 ( r d exp ( r d ) exp (r d ) + r d exp ( r d ) exp (r d )) = dq (24) 8

9 Pe de ală pare, reaminim relaţia (7): dq = Q ((r d r f )d + Q dw ); iar de aici rezulă fapul că dinamica procesului acualiza Q ; sub măsura maringală domesică P ; ese daă de expresia dq = Q Q dw : (25) Înr-adevăr, cum Q = exp ( r d ) ~ B f = exp ( r d ) exp (r f ) Q = exp ( (r d r f ) ) Q = exp ( (r d r f ) ) Q 0 exp (r d r f 2 j Qj 2 ) + Q W = exp 2 j Qj 2 + Q W rezulă imedia că Q are dinamica (25), adică ese o maringală sub P : Din (24) obţinem că şi valoare acualizaă a porofoliului, V ; ese o maringală, sub aceeaşi măsură maringală domesică, P : Aceasa permie aplicarea formulei de evaluare la risc neuru penru deerminarea preţului derivaului financiar considera. Prin urmare, ţinem con de fapul că Q T = B ~ f T exp ( r f T ) şi obţinem, daoriă fapului că, penru fiecare 0 T; porofoliul V () ese replican, adică C Q = V () : C Q = exp ( r d (T )) E P (Q T K) + jf = exp ( r f T ) exp ( r d (T )) E P = exp ( r f T ) exp ( r d (T )) E P ~B f ~B f T =exp(r T f T )Q T = exp ( r f T ) c ~B f ; T (exp (r f T ) Q T exp (r f T ) K) + jf ; K exp (r f T ) ; r d ; Q ; + exp (r f T ) K jf unde c ~B f ; T ; K exp (r f T ) ; r d ; Q reprezină preţul sandard al unui Call European în modelul Black- Scholes, deriva caraceriza de argumenele funcţiei c anerioare. Mai explici, preţul Call-ului monear ese C Q = exp ( r f T ) ~B f N d ~B f ; T = Q exp ( r f (T )) N d ~B f ~B f =exp(r ; T f )Q K exp (r f T ) exp ( (r d r f ) ) N K exp ( (r d r f ) ) N Aceasă ulimă relaţie reprezină exac formula pe care doream să o demonsrăm deoarece d i ~B f ; T ; K exp (r f T ) ; r d ; Q = h i (Q ; T ) ; i 2 f; 2g: În final, prima componenă a sraegiei replicane ese = exp ( r f T ) N d ~B f ; T = exp ( r f T ) N (h (Q ; T )) : d 2 ~B f ; T d 2 ~B f ; T Aceasa înseamnă că, penru a consrui sraegia de hedging, cel care a emis opţiunea de cumpărare moneară ar rebui să invesească, la momenul T urmăoarea sumă exprimaă în uniăţi din moneda srăină (sub forma conului de economii sau bonduri ranzacţionabile în piaţa foreign) B f = exp ( r f (T )) N (h (Q ; T )) De asemenea, ar rebui să invesească şi în moneda domesică suma Demonsraţia ese încheiaă. 2 B d = C Q Q exp ( r f (T )) N (h (Q ; T )) : : 9

10 Observaţia 2. Puem deermina o formulă de pariae penru a deermina preţul opţiunilor moneare de Pu European. La momenul de mauriae T, are loc urmăoarea relaţie înre funcţiile de plaă: C Q T P Q T = (Q T K) + (K Q T ) + = Q T K; acivul supor fiind, ca şi până acum, raa de schimb Q: Aplicăm, formula de evaluare la risc neuru şi găsim, prinr-un calcul sandard, C Q P Q = exp ( r f (T )) Q exp ( r d (T )) K: Dacă presupunem că preţul de exerciare K ese egal cu valoarea acuală a raei de schimb forward daă de formula (9), adică K = F Q (; T ) = exp ((r d r f )(T )) Q ; aunci C Q = P Q ; 8 2 [0; T ] ; adică nu exisă diferenţă înre valorile de piaţă celor două derivae moneare europene. 3 Conrace forward dependene de capialuri srăine (Foreign Equiy Forward Conracs) Pe o piaţă globală de acţiuni, un invesior îşi poae corela acivele supor riscane din piaţa foreign şi ranzacţiile valuare înr-o mare varieae de moduri. Mai precis, el poae alege să-şi combine invesiţiile în acţiuni srăine cu diferie grade de proecţie împoriva acţiunilor adversarilor la cursurile de schimb şi preţurile acţiunilor, folosind conrace forward şi fuures, precum şi o varieae de derivae financiare de ip opţiuni de cumpărare sau/şi de vânzare. 3. Preul forward al unui aciv supor riscan din piaţa srăină (Forward Price of a Foreign Sock) Vom considera un conrac forward obişnui, ce are acivul de bază care rebuie livra proveni din piaţa srăină - adică un acord de cumpărare a unui aciv supor la o anumiă daă, cu un anumi preţ de livrare, înr-o monedă specificaă iniţial. Ese firesc să se facă disincţia înre urmăoarele două siuaţii care po apărea: (a) preţul de exerciare ese exprima în uniăţi din moneda srăină, K f ; (b) preţul de exerciare ese denomina în uniăţi din moneda domesică, K d. În ambele siuaţii, valoarea conracului forward la daa scadenă T ese egală cu diferenţa dinre preţul acivului implica în ranzacţionare la aceasă daă şi preţul de livrare, exprima în uniăţi moneare srăine. Rambursarea ese apoi ransformaă în uniăţi moneare domesice, la cursul de schimb care exisă la daa scadenţei, T: Rezumând descrierea aceasa, rambursările din perspeciva poziţiei long sun, în uniăţi moneare domesice: Penru cazul (a) : V d T (K f ) = Q f T (Sf T K f ) Penru cazul (b) : V d T (K d ) = Q T S f T Q T Kd = Q T S f T K d = ~ S f T K d Puem realiza asfel, urmăoarea analiză a preţurilor acesor ipuri de conrace moneare. Cazul (a). Rambursarea în uniăţi moneare srăine, a conracului forward ese egală cu X T = S f T K f Prin urmare, valoarea sa la momenul, în uniăţi moneare srăine, ese V f (K f ) = exp ( r f (T )) E ~P S f T K f jf = S f exp ( r f (T )) K f : În consecinţă, valoarea conracului la momenul ; aunci când ese exprima în moneda domesică ese egală cu V d (K f ) = Q S f exp ( r f (T )) K f : 0

11 Puem concluziona că preţul forward, la momenul ; al acivului supor rican S f, exprima în uniăţi moneare srăine, ese egal cu F f S f (; T ) = exp (r f (T )) S f ; 8 2 [0; ] Cazul (b). În aces caz, relaţia (7) devine Prin urmare, din relaţia (8) (X) = exp ( r d (T )) E P (X j F ) V d (K d ) = exp ( r d (T )) E P ~S f T d ~ S f = ~ S f (r d d + ( S f + Q ) dw ); K d jf : obţinem că valoarea în moneda domesică a conracului forward cu preţul de livrare K d ; ce ese exprima uniăţi moneare domesice, ese egală cu V d (K d ) = Q S f exp ( r d (T )) K d : Aceasa implică fapul că preţul forward al unui aciv supor srăin, exprima în uniăţi mone-are domesice ese egal F d S f (; T ) = exp (r d(t )) ~ S f ; 8 2 [0; T ]: Oarecum surprinzăor, acesa ese independen de dobânda insananee pe ermen scur srăină, r f. Penru a explica aces paradox aparen, observăm că penru a deermina preţul forward F d S f (; T ), se poae deermina, mai înâi, preţul de livrare din perspeciva invesiorului srăin, F f S f (; T ) şi apoi se realizează conversia în monedă domesică, prin folosirea cursul de schimb forward. Înr-adevăr, avem F f S f (; T )F Q (; T ) = exp (r f (T )) S f exp ((r d r f )(T )) Q = exp (r d (T )) Q S f = F d S f (; T ); ceea ce araă că dobânda insananee corespunzăoare conului de economii exprima în monedă srăină, r f, nu apare în rezulaul final. 3.2 Conrace forward coă (Quano Forward Conracs) Scopul acesei secţiuni ese de a sudia un conrac forward coă (quano forward conrac) pe un aciv supor riscan ranzacţiona în piaţa srăină. În general, un aciv financiar ese denumi un produs quano dacă el ese denomina înr-o monedă diferiă de cea în care, în general, ese ranzacţiona. Un asfel de conrac ese, de asemenea, cunoscu ca un conrac forward garana pe raa de schimb. Penru a descrie inuiiv aces ip de deriva financiar, considerăm un invesior care se aşeapă (speră) ca valoarea unui aciv supor riscan din piaţa srăină să se aprecieze semnificaiv pe parcursul urmăoarei perioade şi care doreşe să frucifice aceasă apreciere prin valoarea porofoliului său. Cumpărarea acţiunii de aciv supor sau adoparea unei poziţii long pe aces aciv prin inermediul unui conrac forward sau a unei poziţii de Call European, lasă invesiorul expus riscului de schimb inermonear. Penru a evia ca randamenul porofoliului său să depindă de performanţa monedei srăine versus moneda auohonă, invesiorul ar avea nevoie de o garanţie că îşi poae închide poziţia bursieră pe acivul riscan srăin la un curs de schimb apropia de cel care exisă în prezen. Aces lucru se poae face prin inrarea înr-un conrac quano forward sau înr-o opţiune ce are ca aciv supor acivul riscan srăin. Vom analiza prima opţiune, prin definirea riguroasă a noţiunii de conrac forward cu coă pe un soc srăin S f. La fel ca şi mai devreme, plaa unui conrac de deviz garana pe cursul de schimb pe un aciv srăin, ce are daa scadenă T; ese diferenţa dinre preţul acţiunilor la momenul T şi preţul de livrare exprima în uniăţi moneare srăine, K f. Cu oae acesea, aceasă plaă ese ransformaă în moneda domesică la un curs de schimb predeermina, noa de Q. Mai precis, dacă noăm cu V d (K f ; Q) valoarea la momenul ; în monedă domesică, a conracului forward cu coă, aunci aceasa va fi egală cu VT d (K f ; Q) := Q S ft K f Dorim să deerminăm valoarea corecă a unui asfel de conrac la orice momen premergăor momenului de mauriae. Funcţia de plaă la mauriae penru un asfel de conrac quano forward nu ţine con de flucuaţiile

12 viioare posibile ale cursului de schimb pe duraa sa de viaţă. Cu oae acesea, după cum vom vedea în ceea ce urmează, valoarea sa V d (K f ; Q) depinde de volailiaea Q a procesului raei de schimb Q - mai exac, ea depinde de valoarea produsul scalar Q S f care deermină covarianţa insananee înre randamenele logarimice dinre preţul acivului supor riscan din piaţa srăină şi cursul de schimb. Aplicăm formula de evaluare neură a riscului şi rezulă că valoarea, la momenul, exprimaă în moneda domesică, a conracului forward de coă ese daă de V d (K f ; Q) = Q exp ( r d (T )) E P S f T jf K f Penru a deermina media condiţionaă E P (S f T jf ), observăm că formula (6) conduce la fapul ca procesul ^S = exp (( r f + Q S f ) ) S f ese o maringală sub măsura maringală domesică P.. Concluzionând, rezulă că E P S ft jf = exp ((r f Q S f ) T ) E P ^ST jf = exp ((r f Q S f ) T ) ^S = exp ((r f Q S f ) T ) exp (( r f + Q S f ) ) S f = S f exp ((r f Q S f ) (T )) : Prin urmare, valoarea conracului va fi daă de V d (K f ; Q) = Q exp ( r d (T )) S f exp ((r f Q S f ) (T )) K f : (26) Aces lucru implică fapul că preţul forward la momenul asocia cu conracul quano forward care se maurizează la momenul T ese egal, în uniăţi moneare srăine, cu ^F f (; T ) = S f S f exp ((r f Q S f )(T )) = E P S f T jf : Ese ineresan de menţiona fapul că ^F f (; T ) ese, pur şi simplu, media condiţionaă a preţului acivului S f supor riscan la momenul T, aşa cum se vede acesa la momenul ; din perspeciva unui invesior ce acţionează în piaţa domesică. În plus, cel puţin aunci când k := Q S f 0, acesa poae fi, de asemenea, inerprea ca preţul forward al unui aciv supor plăior de dividende, ce ese ranzacţiona în piaţa srăină, caniaea k = Q S f jucând rolul dividendului plăi anerior momenului de mauriae T: Bibliografie [] Bielecki, T; Jeanblanc, M; Rukowski M., Inroducion o Mahemaics of Credi Risk Modeling, Sochasic Models in Mahemaical Finance, CIMPA-UNESCO-MOROCCO School, Marrakech, Morocco, April 9-20, [2] Bremaud, P., An Inroducion o Probabilisic Modeling, Springer-Verlag, 988. [3] Cox, J.C.; Ross. S.A., The valuaion of opions for alernaive sochasic processes, J. Finan. Econom. 3, pp , 976. [4] Cox, J.C.; Ross. S.A.; Rubinsein, M., Opion Pricing: A Simplified Approach, J. Finan. Econom., Sepember, 979. [5] Evens, L., An inroducion o sochasic differenial equaions, Deparmen of Mahemaics, UC Berkeley, preprin. [6] Hull, J. C., Opions, Fuures and Oher Derivaives, 4 h ed., Prenice Hall, 999. [7] Karazas, I.; Shreve, S.E., Brownian moion and Sochasic Calculus, Springer-Verlag, N.Y, 998. [8] Malliaris, A. G., Iô s calculus in financial decision making, SIAM Review 25, pp , 983. [9] Meron, R. C., Theory of Raional Opion Pricing, Bell Journal of Economics and Managemen Science 4 (), pp. 4 83, 973. [0] Musiela, M; Rukowsi, M., Maringale Mehods in Financial Modelling, second ediion, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, [] Oksendal, B. K., Sochasic Differenial Equaions: An Inroducion wih Applicaions, 4 h ed., Springer-Verlag,

I

I ACADEMIA DE UDII ECONOMICE BUCUREŞI CAEDRA DE MONEDĂ INGINERIE FINANCIARĂ APLICAŢII Bucureşi 9 CUPRIN I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni... 3 II. Noţiuni elemenare... 5 III. Modelul Binomial... 9

Mai mult

Gabriela Grosu / EDCO 1 SEMINAR NR. 9, REZOLV ¼ARI EDCO, AIA 1:5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la acestea: ecu

Gabriela Grosu / EDCO 1 SEMINAR NR. 9, REZOLV ¼ARI EDCO, AIA 1:5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la acestea: ecu Gabriela Grosu / EDCO SEMINAR NR. 9, REOLV ¼ARI EDCO, AIA :5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi şi ecuaţii reducibile la acesea: ecuaţii Bernoulli, ecuaţii Riccai :5:: Ecuaţii diferenţiale liniare

Mai mult

Lucrarea nr

Lucrarea nr REDRESOARE MONOFAZAE U FLRU APAV. OBEVE a) Sabilirea dependenţei dinre ipul redresorului (monoalernanţă, bialernanţă) şi forma ensiunii redresae. b) Deerminarea efecelor modificării valorilor rezisenţei

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNICĂ ET An I - ISA CURS 13 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ehm.ucluj.ro REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE Generaliăţi Definiţie Regimul elecrocineic

Mai mult

Olimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 14 februarie 2015 Subiecte 1. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m într-o mişcare uniformă la înălţ

Olimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 14 februarie 2015 Subiecte 1. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m într-o mişcare uniformă la înălţ Subiece. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m înr-o mişcare uniformă la înălţimea h = m pe un plan înclina, cu ajuorul sisemului de scripeţi din Figura (palan). Când lespedea urcă uniform,

Mai mult

Microsoft Word - Indrumar2008_v6.doc

Microsoft Word - Indrumar2008_v6.doc 6.. Decimarea Decimarea reprezină operaţia de reducere a raei de eşanionare a unui semnal discre cu un facor înreg : LUCRAREA 6 CHIBAREA RATEI DE EŞANTIONARE. APLICAŢII ALE CIRCUITELOR ULTIRATĂ x [ n]

Mai mult

Microsoft Word - Tema_FIR.doc

Microsoft Word - Tema_FIR.doc TEMA. FILTRE CU RĂSPUNS FINIT LA IMPULS. Un filru digial RFI cu fază liniară, de ipul, cu coeficienţi reali şi cu imp de înârziere de grup minim, are: / - zerourile z = e π, z = 0, 7. - aenuare infiniă

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( )

Mai mult

Microsoft Word - 3_bratu_ro.doc

Microsoft Word - 3_bratu_ro.doc Economie eoreică şi aplicaă Volumul XVIII (011), No. 11(564), pp. 1-9 Inervale de previziune ale inflaţiei în România Mihaela BRATU Academia de Sudii Economice, Bucureşi mihaela_mb1@yahoo.com Rezuma. În

Mai mult

Microsoft Word - PI-L8r

Microsoft Word - PI-L8r Procesarea Imailor - aboraor 8: Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 1 8. Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 8.1. Inroducere În aceasă lucrare se vor prezena prcipalele răsăuri saisice care caracerizează

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Radulescu -econfirme.ppt [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Radulescu -econfirme.ppt [Compatibility Mode] Economisirea companiilor în România Bogdan Rădulescu, CFA CEROPE Piraeus Bank Romania Definiţie Valoare adăugaă bruă Cheluieli cu salariaţii Impozie nee pe producţie Profi operaţional bru Dobânda neă plăiă

Mai mult

Microsoft Word - Tema 01 - Terminologie, valori sintetice, forma generica.doc

Microsoft Word - Tema 01 - Terminologie, valori sintetice, forma generica.doc 1. ermeni şi definiţii Mărimea fizică reprezină o proprieae comună a unei caegorii de obiece, sări, evenimene sau fenomene, care se poae evalua caniaiv. Descrierea simbolică a mărimilor fizice se bazează

Mai mult

C:/Octavian/proiecte_TeXandFriends_mai2015/Alte_tutoriale/asimpt/book.dvi

C:/Octavian/proiecte_TeXandFriends_mai2015/Alte_tutoriale/asimpt/book.dvi Ocavian G. Musafa Inegrarea Asimpoică a Ecuaţiilor Diferenţiale Ordinare în Cazul Neauonom Trei aricole Publicaţiile DAL Craiova Fişier prelucra în daa de [November 19, 2015] Averismen Aces eseu nu a

Mai mult

2

2 odulaţia PA Def.: Frecvenţa de imbol în ranmiiile numerice frecvenţa de imbol (au frecvenţa de emnalizare ee daă de numărul de variaţii (daoriă proceului de modulare pe uniae de imp (ecundă a paramerului

Mai mult

Microsoft Word - CAN si CNA.doc

Microsoft Word - CAN si CNA.doc CONVETOAE ANALOG-NUMEICE SI NUMEIC ANALOGICE Asa cum s-a meniona anerior, dupa amplificarea si filrarea semnalelor care urmeaza sa fie prelucrae de un sisem digial, se face conversia analog-numerica a

Mai mult

rrs

rrs Modelul Tramo - Seas uiliza în analiza seriilor dinamice Prof. univ. dr. Consanin ANGHELACHE (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși / Universiaea Arifex din Bucureși Prof. univ. dr.

Mai mult

SCCECE

SCCECE Profesor univ. dr. Ana Mihaela ANDREI E-mail: aaeconomy@gmail.com Academia de Sudii Economice din Bucuresi Lecor Dr. Ramona-Mihaela PĂUN E-mail: paunrm@webser.ac.h Webser Universiy, Thailand UTILIZAREA

Mai mult

Microsoft Word - L5 - Studiul invertoarelor monofazate de tip paralel.doc

Microsoft Word - L5 - Studiul invertoarelor monofazate de tip paralel.doc Sudiul inveroarelor monofazae de ip paralel. Inroduere Inveroarele de ip paralel sun monaje are ransformă energia eleriă de uren oninuu în energie eleriă de uren alernaiv, de o anumiă frevenţă, formă şi

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

UTILIZAREA METODEI VAR PENTRU ANALIZA MODULUI ÎN CARE ELASTICITATEA CERERII FAŢĂ DE VENITURI INFLUENŢEAZĂ REACŢIA CERERII LA ŞOCURI SURVENITE ÎN VENIT

UTILIZAREA METODEI VAR PENTRU ANALIZA MODULUI ÎN CARE ELASTICITATEA CERERII FAŢĂ DE VENITURI INFLUENŢEAZĂ REACŢIA CERERII LA ŞOCURI SURVENITE ÎN VENIT UTILIZAREA METODEI VAR PENTRU ANALIZA MODULUI ÎN CARE ELASTICITATEA CERERII FAŢĂ DE VENITURI INFLUENŢEAZĂ REACŢIA CERERII LA ŞOCURI SURVENITE ÎN VENITURI Andrei DOSPINESCU * Rezuma În lucrarea de faţă

Mai mult

GHID PENTRU REALIZAREA RAPORTULUI ANUAL DE MONITORIZARE A PJGD ARAD Contractul de servicii nr. 9978/ privind Elaborarea Planului Judetean de

GHID PENTRU REALIZAREA RAPORTULUI ANUAL DE MONITORIZARE A PJGD ARAD Contractul de servicii nr. 9978/ privind Elaborarea Planului Judetean de GHID PENTRU REALIZAREA RAPORTULUI ANUAL DE MONITORIZARE A PJGD ARAD Conracul de servicii nr. 9978/20.10.2007 privind Elaborarea Planului Judeean de Gesionare a Deseurilor 15 Ianuarie 2008 COORDONATOR PROIECT:

Mai mult

SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf

SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf EMNALE ANALOGICE Obiecivele ceui cur: Diribuţii Funcţii ingulre Diribuţii uile în udiul emnlelor Trnform Fourier Funcţi de denie pecrlă Proprieăţi le rnformelor Fourier direcă şi inveră 3 Diribuţii Funcţii

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

rrs

rrs Aspece privind meodologia Eurosa de esimare a discrepanțelor în saisica comerțului inernațional Prof. univ. dr. Consanin ANGHELACHE (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși / Universiaea

Mai mult

Isaic2.doc

Isaic2.doc Revisa Informaica Economica, nr. 2 (22)/2002 65 Cosul fiabiliaii si menenanei sisemelor complexe cu degradare coninua Prof. dr. Alexandru ISAIC-MANIU, conf. univ. dr. Tudorel ANDREI Caedra de Saisica si

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

TRANSFER DE CÃLDURÃ ŞI MASÃ

TRANSFER DE CÃLDURÃ ŞI MASÃ Gelu COMAN TRANSFER DE CÃLDURÃ ŞI MASÃ 0 INTRODUCERE Diversiaea domeniilor de aplicare a fenomenelor de ransfer de cãldurã se daoreşe muliplelor aspece sub care acesea se manifesã în procesele indusriale.

Mai mult

Microsoft Word - L02_SampleAndHold

Microsoft Word - L02_SampleAndHold sample hold command Vi Ve Ve 0 Figura.1 Comporarea ideală a unui circui. Vi Voff1 Vi Voff - - K + + CH OA OA1 Figura. Principiul de funcționare a unui circui. 1.1 Supor eoreic Un circui ce realizează funcția

Mai mult

Microsoft Word CursAppAnNum08

Microsoft Word CursAppAnNum08 I20 Conrolul asulu În unele cazur ese necesară enru obţnerea une eror dae folosrea unu as varabl în rezolvarea numercă Meodele numerce care folosesc un as varabl se numesc meode adave Penru conrolul asulu

Mai mult

Financial Market Procedures

Financial Market Procedures OPCOM Bursa Financiară de Energie Electrică Bucureşti, August 2005 Rafael Villacastin Sierra / Consultant Atos Origin Energy rafael.villacastin@atosorigin.com Agenda 1. De ce o bursă financiară? 2. Tranzacţionarea

Mai mult

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia

Mai mult

Microsoft Word - ORDIN nr doc

Microsoft Word - ORDIN nr doc ORDIN nr. 237 din 7 aprilie 2006 privind auorizarea culivaorilor de plane modificae geneic În baza prevederilor ar. 4 alin. (1) li. c) din Ordonanţa Guvernului nr. 49/2000 privind regimul de obţinere,

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

슬라이드 1

슬라이드 1 Tipuri de instrumente financiare Cuprins 01. Rolul instrumentelor financiare în sistemul financiar 02. Tipuri de instrumente financiare 03. Active reale vs active financiare 04. Instrumentele pieței de

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

VBS_ro_2012_ pdf

VBS_ro_2012_ pdf Siseme de cleme U ride U, form N cu conrapies din plasic 396 cu conrapies mealic 398 cu conecarea ecranrii 398 ride U, cap ciocan cu conrapies din plasic 399 cu conrapies mealic 403 Fiarea prizei de pmn

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

2

2 C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

Curs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e

Curs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Prezentare_Conferinta_Presa_12iul07_1.ppt

Microsoft PowerPoint - Prezentare_Conferinta_Presa_12iul07_1.ppt Conferinţă de presă Alexandru Matei Directorul Fondului de garantare a depozitelor în sistemul bancar Bucureşti, 12 iulie 2007 1 Prezentarea celui de-al doilea număr al Buletinului semestrial al Fondului

Mai mult

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,

Mai mult

8

8 9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia

Mai mult

FII MATADORPiscator Equity Plus

FII MATADORPiscator Equity Plus S.A.I. ATLAS ASSET MANAGEMENT S.A. Fond Inchis Public de Investitii MATADOR Raport privind activitatea fondului in semestrul I anul 2017 Performanta anualizata an calendaristic () S1'2017 2016 2015 FII

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

Romania postcomunista. Trecut, prezent si viitor

Romania postcomunista. Trecut, prezent si viitor REPREZENTARE, MANDATE ŞI CALITATEA DEMOCRAŢIEI 181 Fenomenul de realegere în alegerile parlamentare din 2012 Alegerile parlamentare din 2012 au reprezentat o victorie covârşitoare a alianţei politice dintre

Mai mult

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea

Mai mult

Transformata Laplace

Transformata Laplace NTRODCERE Crcue de curen connuu Teoremele lu Krchhoff K u K Relațle înre enun ș curenț u e u R Probleme: -analza crcuelor - e dau relale nre enun curen conexunle e cer u 2 -neza crcuelor - e dau anum u

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente

Mai mult

rrs_12_2012.indd

rrs_12_2012.indd Corelaţia dintre Produsul Intern Brut/locuitor şi Rata de ocupare a populaţiei model econometric de analiză Drd. Ligia PRODAN Academia de Studii Economice, Bucureşti Abstract Se prezintă evoluţia Ratei

Mai mult

COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 2019

COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 2019 COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 09 INTRODUCERE Gazea Maemaică repreziă peru pasioații de maemaică,fie

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

III. ECONOMISIREA ŞI INVESTIŢIILE De citit. Un bănuţ pus deoparte Nu-ţi trebuie cine ştie ce formule pentru investiţii, pentru a te bucura de dobânzil

III. ECONOMISIREA ŞI INVESTIŢIILE De citit. Un bănuţ pus deoparte Nu-ţi trebuie cine ştie ce formule pentru investiţii, pentru a te bucura de dobânzil III. ECONOMISIREA ŞI INVESTIŢIILE De citit. Un bănuţ pus deoparte Nu-ţi trebuie cine ştie ce formule pentru investiţii, pentru a te bucura de dobânzile adunate. Uită-te la aceste exemple simple despre

Mai mult

MergedFile

MergedFile S.A.I. ATLAS ASSET MANAGEMENT S.A. Fond Deschis de Investitii AUDAS PISCATOR Raport privind activitatea fondului in semestrul I 2017 FDI AUDAS PISCATOR Performanta anualizata an calendaristic () S1'2017

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a

Mai mult

Untitled

Untitled F PROSPEC DE OFERA DE PRELUARE BENEVOLA A VALORLOR MOBLARE Emien: PARCUL DE AUOBUZE DN BAL S.A. Preful pldi per acliune: 5 lei Perioada oerei:4w M& e@m/ Oferan: MOLDRANS-UR S.R.L. ermediar: S.C. BROKER

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

Investeşte în oameni

Investeşte în oameni FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Politehnică Timișoara 1. Facultatea / Departamentul 3 Facultatea de Inginerie Hunedoara / Inginerie Electrică

Mai mult

PLAN DE AFACERI (model) <maxim 80 de pagini, inclusiv eventualele anexe> I. REZUMAT: aceasta parte se va întocmi la final (Atentie! Rezumatul nu trebu

PLAN DE AFACERI (model) <maxim 80 de pagini, inclusiv eventualele anexe> I. REZUMAT: aceasta parte se va întocmi la final (Atentie! Rezumatul nu trebu PLAN DE AFACERI (model) I. REZUMAT: aceasta parte se va întocmi la final (Atentie! Rezumatul nu trebuie sa depaseasca 4 pagini!) - Suma dorita pentru finantare,

Mai mult

16.vechiu_camelia

16.vechiu_camelia POLITICA DE CURS PROMOVATĂ DE BNR ÎN CONTEXT EUROPEAN Conf. univ. dr. Camelia Vechiu Universitatea Constantin Brâncoveanu Piteşti Abstract The pragmatic approach of Romania s process of integration in

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx

0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice

Mai mult

[P] Marco Salort, CHEP Europe: Construim un supply chain pentru viitor, pornind de la consumator

[P] Marco Salort, CHEP Europe: Construim un supply chain pentru viitor, pornind de la consumator [P] Marco Salort, CHEP Europe: Construim un supply chain pentru viitor, pornind de la consumator 19 Apr 2019 de Progresiv [1] Conferinţa Progresiv 2019 a adus în prim plan idei și soluții care ar putea

Mai mult

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan

Mai mult

MECANICA FLUIDELOR

MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,

Mai mult

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul

Mai mult

COMISIA EUROPEANĂ Bruxelles, SWD(2017) 479 final DOCUMENT DE LUCRU AL SERVICIILOR COMISIEI REZUMATUL EVALUĂRII IMPACTULUI care însoţeşte do

COMISIA EUROPEANĂ Bruxelles, SWD(2017) 479 final DOCUMENT DE LUCRU AL SERVICIILOR COMISIEI REZUMATUL EVALUĂRII IMPACTULUI care însoţeşte do COMISIA EUROPEANĂ Bruxelles, 21.12.2017 SWD(2017) 479 final DOCUMENT DE LUCRU AL SERVICIILOR COMISIEI REZUMATUL EVALUĂRII IMPACTULUI care însoţeşte documentul Propunere de directivă a Parlamentului European

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

DOCUMENT DE POZIȚIE POLITICĂ IFAC 1 Septembrie 2011 REGLEMENTAREA PROFESIEI CONTABILE Reglementarea activității profesioniștilor contabili individuali

DOCUMENT DE POZIȚIE POLITICĂ IFAC 1 Septembrie 2011 REGLEMENTAREA PROFESIEI CONTABILE Reglementarea activității profesioniștilor contabili individuali DOCUMENT DE POZIȚIE POLITICĂ IFAC 1 Septembrie 2011 REGLEMENTAREA PROFESIEI CONTABILE Reglementarea activității profesioniștilor contabili individuali este realizată în general la nivel național, organizațiile

Mai mult

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1. Facultatea Facultatea de Economie şi Administrarea Afacerilor 1. Departamentul

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

2

2 C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics

Mai mult

Microsoft Word - FD_AA_An2 Sem II_Cerc. de mk doc

Microsoft Word - FD_AA_An2 Sem II_Cerc. de mk doc UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA DE STIINTE CONOMICE BLAJ FIŞA DISCIPLINEI Universitatea UNIVERSITATEA SPIRU HARET Facultatea FACULTATEA DE STIINTE ECONOMICE BLAJ Specializarea ADMINISTRAREA AFACERILOR

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4

Mai mult

Microsoft PowerPoint - 20x_.ppt

Microsoft PowerPoint - 20x_.ppt Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Facultatea de Inginerie Chimică şi Protecţia Mediului Ingineria proceselor chimice şi biologice/20 Titular disciplină: Prof.dr.ing. Maria Gavrilescu Catedra

Mai mult

Modificări aduse Normelor Metodologice de aplicare a Codului Fiscal

Modificări aduse Normelor Metodologice de aplicare a Codului Fiscal Modificări aduse Normelor Metodologice de aplicare a Codului Fiscal Am sumarizat în cele ce urmează cele mai importante modificări şi completări aduse de Hotărârea de Guvern nr. 284 / 27 aprilie 2017 (

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

FII MATADORPiscator Equity Plus

FII MATADORPiscator Equity Plus S.A.I. ATLAS ASSET MANAGEMENT S.A. Fond Inchis Public de Investitii HERALD Raportul administratorilor la 31.12.2018 Intocmit conform Normei Autoritatii de Supraveghere Financiara nr. 39/2015 FII HERALD

Mai mult

Facultatea de INGINERIE Specializarea: Sisteme și Echipamente Termice - licență DIPLOMĂ : Verificarea cunoștințelor generale și de specialitate

Facultatea de INGINERIE Specializarea: Sisteme și Echipamente Termice - licență DIPLOMĂ : Verificarea cunoștințelor generale și de specialitate Faulaea de INGINERIE Speializarea: Siseme și Ehipamene Termie - liență DIPOMĂ - 07: Verifiarea unoșințelor generale și de speialiae ÎNTREBĂRI a ameseurile de agenți, liera mare are poae apare după numărul

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi 1.2 Facultatea Facultatea de

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi 1.2 Facultatea Facultatea de FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematica 1.3 Departamentul Matematica Didactic 1.4

Mai mult

Prospect de emisiune al

Prospect de emisiune al RAPORT PRIVIND ACTIVITATEA FONDULUI INCHIS DE INVESTIȚII HERALD pentru anul 202 I. INFORMAŢII Fondul Inchis de Investitii HERALD, iniţiat si administrat de, constituit prin contractul de societate civilă,

Mai mult

02. Analiza matematica 3 - MI 2

02. Analiza matematica 3 - MI 2 FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul

Mai mult

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from

Mai mult

BANCA NAȚIONALĂ A MOLDOVEI COMITETUL EXECUTIV HOTĂRÂREA nr. din 2019 Cu privire la aprobarea și modificarea unor acte normative ale Băncii Naționale a

BANCA NAȚIONALĂ A MOLDOVEI COMITETUL EXECUTIV HOTĂRÂREA nr. din 2019 Cu privire la aprobarea și modificarea unor acte normative ale Băncii Naționale a BANCA NAȚIONALĂ A MOLDOVEI COMITETUL EXECUTIV HOTĂRÂREA nr. din 2019 Cu privire la aprobarea și modificarea unor acte normative ale Băncii Naționale a Moldovei În temeiul art.5 alin.(1) lit.a), art.11

Mai mult

Autoevaluare curs MN.doc

Autoevaluare curs MN.doc Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor

Mai mult

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Mai mult

Microsoft PowerPoint - PA - Curs 10.ppt

Microsoft PowerPoint - PA - Curs 10.ppt Proiecre lgorimilor Cur 0 Rețele de flux. Flux mxim. Biliogrfie [] C. Giumle Inroducere in nliz lgorimilor - cp. 5.6 [2] Cormen Inroducere in lgorimi - cp. 27 [3] Wikipedi - hp://en.wikipedi.org/wiki/ford-

Mai mult