Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
|
|
- Estera Suciu
- 5 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte polinom laticial o expresie definită recursiv astfel: 1. Orice variabilă x L este un polinom laticial; 2. Dacă u(x 1, x 2,..., x n ), v(x 1, x 2,..., x n ) sunt polinoame laticiale, atunci (a) u(x 1, x 2,..., x n ) v(x 1, x 2,..., x n ), (b) u(x 1, x 2,..., x n ) v(x 1, x 2,..., x n ), (c) (u(x 1, x 2,..., x n )) sunt de asemenea polinoame laticiale; 3. Orice polinom laticial se obţine aplicând de un număr finit de ori regulile (1) şi (2). Exemplul 3.1 Dacă x, y, z L, atunci x, x y, x (y z) (x y (z y)) sunt polinoame laticiale. Teorema 3.1 (Proprietatea de izotonie): Dacă x i y i (i = 1,..., n), atunci f(x 1,..., x n ) f(y 1,..., y n ) (polinoamele laticiale sunt funcţii izotone de variabilele lor). 27
2 28 PRELEGEREA 3. Demonstraţie: Din x y rezultă: x z = (x y) z = x (y z) y z x z y (x z) = (y x) z = y z. Aceste relaţii verifică teorema pentru polinoame laticiale cu un singur operator ( sau ). Pentru polinoamele cu 0 operatori teorema este banală. Inductiv, să presupunem că f(x 1,..., x n ) este un polinom cu n (n > 1) operatori. Conform definiţiei, el provine din două polinoame laticiale u şi v legate printr-un operator sau la pasul (2a) sau (2b). Presupunem fără a micşora generalitatea că f = u v. Polinoamele u şi v au mai puţin de n operatori, deci u(x 1,..., x n ) u(y 1,..., y n ), v(x 1,..., x n ) v(y 1,..., y n ). Folosind relaţiile de sus, vom avea f(x 1,..., x n ) = u(x 1,..., x n ) v(x 1,..., x n ) u(y 1,..., y n ) v(x 1,..., x n ) u(y 1,..., y n ) v(y 1,..., y n ) = f(y 1,..., y n ). Din y z y rezultă x (y z) x y. Deci x (y z) este un majorant pentru x y. Similar, din y z z rezultă x (y z) x z. Deci putem scrie două relaţii, numite legi semi-distributive : x (y z) (x y) (x z) (1) x (y z) (x y) (x z) (2) Din x z avem x z = z; atunci (1) devine x (y z) (x y) z (3) numită lege semi-modulară. Putem enunţa acum Teorema 3.2 (Teorema de minimax): Fie L o latice şi x ij L, (1 i m, 1 j n). Atunci ( m n n m x ij x ij ). i=1 j=1 j=1 i=1 Demonstraţie: Relaţia devine mai simplu de abordat dacă aranjăm elementele laticii sub formă de tablou: x 11 x x 1n x 21 x x 2n Să notăm y i = x m1 x m2... x mn n m x ij, z j = x ij. j=1 i=1 Vom avea pentru orice i, j relaţiile y i x ij z j. Deci y i este mai mare n n decât cel mai mic majorant al tuturor z j, adică i, y i z j. Cum z j este m n minorant pentru toţi y i, avem y i z j. i=1 j=1. j=1 j=1
3 3.2. LATICI MODULARE 29 Exemplul 3.2 Să aplicăm Teorema 3.2 tabloului x y z y z x z x y Obţinem relaţia (y z) (z x) (x y) (y z) (z x) (x y) (4) care seamănă cu o lege semi-distributivă. 3.2 Latici modulare Definiţia 3.1 Se numeşte latice liberă o latice L ale cărei elemente nu satisfac nici o altă relaţie înafara celor şase postulate (din a doua definiţie a laticilor), împreună cu consecinţele lor. Exemplul 3.3 Să considerăm laticea liberă cu trei elemente x, y, z, unde x > z. Folosind relaţia (3) şi proprietatea de izotonie, obţinem următoarele relaţii: x y x x (y z) (x y) z z y z; x y z y y y x y z; (y x) z y x, z y x (z y). Pe baza lor se poate construi diagrama Hasse: x y z y x x (y z) y (x y) z y x z y z Definiţia 3.2 O latice modulară este o latice cu proprietatea x z x (y z) = (x y) z. (M) Exemplul 3.4 Să considerăm laticea a b = a c c a (B) b a b = a c Ea nu este modulară deoarece avem c > b şi c (a b) = c > b = (c a) b. (A)
4 30 PRELEGEREA 3. Teorema 3.3 O latice este modulară dacă şi numai dacă nu conţine nici o sublatice izomorfă cu (B). Două latici sunt izomorfe dacă au aceeaşi diagramă Venn. Demonstraţie: Deoarece (B) nu este modulară, orice latice care conţine o sublatice izomorfă cu ea nu va fi modulară. Invers, dacă avem o latice în care există trei elemente x, y, z cu x > z, care nu verifică relaţia (M), regula (3) de semi-modularitate dă x (y z) > (x y) z. Conform Exemplului 3.3, o astfel de latice conţine o sublatice de forma (A), care la rândul ei conţine o sublatice de tipul (B). Izomorfismul dintre (B) şi sublaticea lui (A) se obţine notând a = y, b = (x y) z, c = x (y z). Atunci a b = y z şi a c = x y. Propoziţia 3.1 Într-o latice modulară, fie b, c două elemente cu b c sau c b. Atunci a b = a c şi a b = a c b = c. Demonstraţie: Implicaţia = este trivială. Pentru implicaţia inversă, să considerăm b c. Atunci b = b (a b) = b (a c) = (b a) c = (c a) c = c. Cazul c b se demonstrează analog. Observaţia 3.1 Dacă laticea nu este modulară, atunci ea conţine o sublatice de tipul (B), în care b c cu toate că a b = a c şi a b = a c. Observaţia 3.2 Condiţia b c sau c b este esenţială. Astfel, în laticea a b = a c a b c a b = a c avem a b = a c şi a b = a c dar b c. 3.3 Latici metrice Definiţia 3.3 Fie L o latice. O funcţie v : L R cu proprietatea v(x) + v(y) = v(x y) + v(x y), x, y L se numeşte evaluare a lui L. O evaluare este pozitivă dacă şi numai dacă x > y v(x) > v(y) (relaţia > din dreapta este inegalitatea uzuală din mulţimea R a numerelor reale).
5 3.3. LATICI METRICE 31 Definiţia 3.4 Se numeşte latice metrică o latice L pentru care se poate defini o evaluare pozitivă. Teorema 3.4 Dacă o latice este metrică atunci ea este modulară. Demonstraţie: Fie L o latice metrică, cu evaluarea pozitivă v. Din x > z rezultă x y z = y z, x y z = x y şi deci v((x y) z) = v(x y) + v(z) v(x y z) = v(x) + v(y) v(x y) + v(z) v(x y z) = v(x) + v(y) + v(z) v(x y z) v(x y z), v(x (y z)) = v(x) + v(y z) v(x y z) = v(x) + v(y) + v(z) v(y z) v(x y z) = v(x) + v(y) + v(z) v(x y z) v(x y z), deci v((x y) z) = v(x (y z)). Dacă laticea este nemodulară, atunci din x > z am obţine regula de semimodularitate strictă x (y z) > (x y) z, deci v(x (y z)) > v((x y) z), contradicţie. Deci trebuie ca laticea L să fie modulară. Reciproca acestei teoreme este valabilă pentru latici modulare de lungime finită dotate cu evaluări pozitive (dacă există). Termenul de latice metrică vine de la posibilitatea de definire a unei distanţe δ(x, y): δ(x, y) = v(x y) v(x y). Reamintim, o distanţă este o funcţie cu valori nenegative d : L [0, + ), care verifică sistemul de axiome: (D 1 ) : d(x, y) = d(y, x), x, y L; (D 2 ) : d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z L; (D 3 ) : d(x, y) = 0 x = y. Acestea sunt postulatele unui spaţiu metric. Teorema 3.5 Într-o latice metrică, δ este o distanţă. Demonstraţie: Deoarece x y x y, avem δ(x, y) = v(x y) v(x y) 0. (D 1 ) rezultă folosind postulatele (1a) şi (1b) din definiţia laticilor. (D 2 ): pentru că v(x y)+v(y z) = v((x y) (y z))+v((x y) (y z)) v(x y z)+v(y) şi v(x y)+v(y z) = v((x y) (y z))+v((x y) (y z)) v(y)+v(x y z), avem δ(x, y) + δ(y, z) v(x y z) v(x y z) v(x z) v(x z) = δ(x, z). (D 3 ): din x = y rezultă x y = x y, deci v(x y) v(x y) = 0. Reciproc, v(x y) v(x y) = 0 implică x y = x y (pentru că evaluarea este pozitivă). Atunci x = x (x y) = x y şi la fel y = x y, adică x = y.
6 32 PRELEGEREA 3. Exemplul 3.5 Fie A o mulţime finită nevidă şi notăm L= 2 A. În laticea L (vezi şi prelegerea anterioară) definim evaluarea v(x) = card(x), X L. Definiţia este corectă, deoarece se verifică imediat relaţia v(x Y ) = v(x) + v(y ) v(x Y ). v este o evaluare pozitivă, deci laticea L este metrică; cu Teorema 3.4 rezultă că L este şi modulară. Se poate defini distanţa dintre două mulţimi prin δ(x, Y ) = card(x Y ) card(x Y ). De exemplu, pentru A = {a, b}, vom avea 3.4 Latici distributive δ {a} {b} {a, b} {a} {b} {a, b} Definiţia 3.5 O latice L este distributivă dacă x, y, z L [(x y) (y z) (z x) = (x y) (y z) (z x)]. (D) Teorema 3.6 O latice distributivă este modulară. Demonstraţie: Dacă x z atunci x z = z, x z = x. Înlocuind în (D) şi folosind postulatele (3a), (3b) din definiţia laticilor, se obţine imediat x (y z) = (x y) z, adică legea de modularitate (M). Atenţie, reciproca nu este adevărată! Să considerăm alte două postulate (duale): x (y z) = (x y) (x z) (D ) x (y z) = (x y) (x z) (D ) Teorema 3.7 Postulatele (D), (D ), (D ) sunt definiţii alternative pentru laticile distributive. Demonstraţie: Trebuie arătat că fiecare astfel de relaţie implică pe celelate două. Am arătat că (D) = (M). Presupunem (D) (deci şi (M)) adevărată şi să reunim cu x ambii membri ai relaţiei (D). x [(x y) (y z) (z x)] = x [(x y) (y z) (z x)]. Membrul stâng (cu (3b)) este x (y z), iar membrul drept folosind (M) devine [x ((x y) (y z))] (z x) = [x (y z)] (x y) (z x) = (x y) (x z), deci (D ) (s-au mai folosit proprietăţile de asociativiate şi absorbţie). (D ) se obţine prin dualitate.
7 3.4. LATICI DISTRIBUTIVE 33 Reciproc, să presupunem că avem o latice L în care proprietatea (D ) este satisfăcută. Înlocuim x cu (x y) (x z); atunci x y = (x y) (x z) y = y (x z) = (y x) (y z) şi analog x z = (z x) (z y). După ce utilizăm idempotenţa pentru a elimina termenul z y, din (D ) se obţine (D). Dual, (D) se poate obţine şi din (D ). Postulatul de modularitate (M) se poate obţine deci din oricare din ele, via (D). Exemplul 3.6 Laticea L definită în Exemplul 3.5 este şi distributivă, elementele ei verificând banal postulatul (D ) (sau (D )). Cele două legi (D ), (D ) pot fi generalizate la n elemente astfel: ( n ) ( n n ) n x y i = (x y i ), x y i = (x y i ). i=1 i=1 i=1 i=1 Aceste formule nu sunt adevărate pentru un număr infinit de elemente. Exemplul 3.7 Să considerăm laticea numerelor întregi nenegative, cu legea de ordine parţială definită prin x y z, xz = y. Cum x0 = 0, avem x 0 x. Deci 0 este elementul total 1 iar 1 este elementul nul 0. În particular, 2 + k=0 (2k + 1) = 2 0 = 2, + k=0 (2 (2k + 1)) = + k=0 1 = 1. Deci formula nu este adevărată deşi laticea luată ca exemplu este o latice distributivă. Cum o latice distributivă este modulară, ea nu poate avea o sublatice izomorfă cu (B). Să considerăm şi laticea u a b c d Teorema 3.8 O latice modulară L este distributivă dacă şi numai dacă nu are nici o sublatice izomorfă cu laticea (C). Demonstraţie: = : Presupunem că L are o sublatice izomorfă cu (C). Scriind relaţia de distributivitate pentru a, b, c, avem (a b) (b c) (c a) = (a b) (b c) (c a) adică d = u, contradicţie. Deci (C) nu este o latice distributivă. = : Notăm d = (x y) (y z) (z x), u = (x y) (y z) (z x). Dacă laticea nu este distributivă, trebuie ca d u pentru cel puţin un triplet (C)
8 34 PRELEGEREA 3. x, y, z L. Legea de semi-distributivitate (4) asigură d < u. Fie acum a = (u x) d, b = (u y) d, c = (u z) d. Avem u x = (x y) (y z) (z x) x = x (y z) şi la fel u y = y (z x). Deci a b = [x (y z)] d [y (z x)] = [x (y z)] [y (z x)], unde fiecare termen din d a fost absorbit de unul din ceilalţi termeni. Deci, folosind proprietatea de modularitate (M), avem a b = [[x (y z)] y] (z x) = [[(y z) x] y] (z x) = (y z) (x y) (z x) = u. Analog, b c = c a = u. Cum d < u, legea de modularitate asigură că a, b, c pot fi scrise şi sub forma a = u (x d), b = u (y d), c = u (z d); folosind un procedeu dual, ajungem la a b = b c = c a = d. Deci a, b, c, d, u formează o latice izomorfă cu (C). Corolarul 3.1 O latice este distributivă dacă şi numai dacă nu are nici o sublatice izomorfă cu (B) sau (C). Propoziţia 3.2 O latice L este distributivă dacă şi numai dacă a, b, c L [a b = a c, a b = a c = b = c] (vezi şi Propoziţia 3.1). Demonstraţie: = : Dacă laticea nu este distributivă, se poate găsi o sublatice formată din cinci elemente, izomorfă cu (B) sau (C), în care b c deşi a b = a c şi a b = a c. = : b = b (a b) = b (a c) = (b a) (b c) = (a c) (b c) = (a b) c = (a c) c = c. Teorema 3.9 O latice metrică este distributivă dacă şi numai dacă x, y, z avem v(x y z) v(x y z) = v(x) + v(y) + v(z) v(x y) v(y z) v(z x) Demonstraţie: = : Dacă laticea este distributivă, avem v(x y z) = v(x) + v(y z) v(x (y z)) = v(x) + v(y z) v((x y) (x z)) = v(x) + v(y) + v(z) v(y z) v(x y) v(x z) + v((x y) (x z)). = : Dacă laticea este metrică, din egalitatea din teoremă, avem v(x (y z)) = v((x y) (x z)). Cum legea de semi-distributivitate dă x (y z) (x y) (x z) iar evaluarea v este pozitivă, se obţine x (y z) = (x y) (x z). În mod analog se poate scrie şi o teoremă duală. 3.5 Latici complementate Dacă o latice L are 0 şi 1 şi x, y L astfel ca x y = 0, x y = 1, atunci y este complementul lui x, iar x este complementul lui y. În general, un element x poate să nu aibă complement, poate avea mai multe complemente sau doar unul. 0 şi 1 dacă există sunt complementare.
9 3.5. LATICI COMPLEMENTATE 35 Exemplul 3.8 Să considerăm laticea (i): 1 1 b a b c a 0 0 (i) (ii) Elementul a are două complemente: b şi c, deoarece a b = a c = 1, a b = a c = 0. Similar b are drept complemente pe a şi c, iar c pe a şi b. În schimb, în laticea (ii), nici a şi nici b nu au nici un complement. Dacă x şi y sunt complementare în raport cu sublaticea [a, b] = {z a z b}, adică x y = a, x y = b, atunci x, y sunt relativ complementare unul altuia în raport cu [a, b]. Definiţia 3.6 O latice complementată este o latice în care fiecare element are un singur complement. O latice relativ complementată este o latice L în care a, b L cu a < b, [a, b] este o latice complementată. Teorema 3.10 Fie L o latice modulară şi x, y L două elemente complementate. Dacă a, b L verifică relaţia a x b, atunci x şi b (y a) sunt relativ complementare în raport cu [a, b]. Demonstraţie: Ştim că într-o latice modulară, din b > a rezultă b (y a) = (b y) a. Deci, dacă a x b, avem x b (y a) = x (y a) = (x y) a = 0 a = a, (x şi y sunt complementare în L), şi similar, x (b y) a = (b y) x = b (y x) = b 1 = b. Corolarul 3.2 O latice modulară complementată este relativ complementată. Exemplul 3.9 Fie laticea L= 2 A definită în Exemplul 3.5. Pentru fiecare X L, X = {a A a X} este complementul lui X. Avem X X = A, X X =. Laticea este deci complementată şi fiind şi modulară este relativ complementată. Teorema 3.11 O latice este distributivă dacă şi numai dacă orice complement relativ, dacă există atunci este unic. Demonstraţie: = : Fie y 1, y 2 două complemente ale lui x : x y 1 = x y 2 = 0, x y 1 = x y 2 = 1. Cum laticea este distributivă, conform Propoziţiei 3.2 rezultă y 1 = y 2. Acelaşi argument se aplică şi pentru complementele relative.
10 36 PRELEGEREA 3. = : Dacă complementul relativ este unic, atunci laticea nu admite nici o sublatice izomorfă cu (B) sau (C), deci conform Corolarului 3.1 laticea este distributivă. Vom nota complementul (unic) al unui element a L cu a. Deci: a a = 1, a a = Exerciţii Exerciţiul 3.1 Arătaţi că funcţia de evaluare nu este injectivă. (Indicaţie: folosiţi Exemplul 3.5). Exerciţiul 3.2 Demonstraţi că laticea definită în Exemplul 3.7 este distributivă. Exerciţiul 3.3 Daţi exemplu de latice modulară care nu este distributivă. Exerciţiul 3.4 Fie L o latice metrică distributivă şi v o evaluare. Atunci v(x y)+v(y z)+v(z x)+v(x y)+v(y z)+v(z x) = 2(v(x)+v(y)+v(z)). Exerciţiul 3.5 Într-un grup oarecare de oameni, 10 au ochi albaştri, 14 sunt căsătoriţi şi 16 sunt politicieni. Există doar un politician cu ochi albaştri care este căsătorit, dar sunt 21 care sunt sau căsătoriţi sau cu ochi albaştri, şi 4 politicieni sunt cu ochi albaştri. Câţi oameni sunt numai căsătoriţi sau numai cu ochi albaştri? Exerciţiul 3.6 Fie L o latice modulară şi a, b L, a < b. Să se arate că [a, a b] şi [a b, b] sunt izomorfe. Exerciţiul 3.7 Fie L o latice şi : o operaţie (numită reziduare ) definită prin axiomele: 1. (a : b) b < a, a, b L; 2. Dacă a b < c atunci c : b > a, a, b, c L. Să se arate că o latice distributivă finită este reziduată cu operaţia x : y = z. z y<x Exerciţiul 3.8 Orice latice reziduată L are elementul 1 şi x : x = 1 x L.
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multProbleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multLogică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multLogică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multL4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par
L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:
Mai multAnaliză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Mai mult43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru tra
43 Prelegerea 4 Protocoale de distribuire a cheilor 4.1 Introducere Am văzut că sistemele bazate pe chei publice nu necesită un canal sigur pentru transmiterea unei chei private. Aceste avantaj este compensat
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multPowerPoint Presentation
ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multLogică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multL4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par
L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multMicrosoft Word - l10.doc
Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multMicrosoft Word - Mihailesc Dan_Test logica (1).doc
Variantă subiecte bacalaureat 2018 Proba E. d) Logică, argumentare şi comunicare Conform modelului publicat Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este
Mai multIntroducere în algebra comutativă. Teoria lui Galois December 23, Curs 1 - Corpuri şi spaţii liniare Definiţii: inel, corp, exemple, morfism de
Introducere în algebra comutativă. Teoria lui Galois December 23, 2016 1 Curs 1 - Corpuri şi spaţii liniare Definiţii: inel, corp, exemple, morfism de corpuri; izomorfism, automorfism. Observaţie 1.1 f
Mai mult2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Mai multAnaliză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VI-a Matematică Proiect didactic realizat de Nicoleta Popa, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multB
F.I.A. Laboratorul numărul 3 Cătălin Stoean Unificarea şi recursivitatea Unificarea Unificarea reprezintă modul în care Prologul realizează potrivirile între termeni. La prima vedere, procesul de unificare
Mai multE_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,
Mai multCursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să
DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,
Mai multALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii Preliminarii logice 3 Exerciţii la Prelimin
ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii 3 1.1. Preliminarii logice 3 Exerciţii la Preliminarii logice 3 1.2. Mulţimi 3 Operaţii cu mulţimi 4
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai mult8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s
8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} sunt sungrupuri ale lui A. Propoziţia 8.2. Considerăm
Mai multLimbaje de Programare Curs 6 – Functii de intrare-iesire
Limbaje de Programare Curs 6 Funcţii de intrare-ieşire Dr. Casandra Holotescu Universitatea Politehnica Timişoara Ce discutăm azi... 1 Citire formatată 2 Citirea şirurilor de caractere 3 Citirea unor linii
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multMicrosoft Word - Curs1.docx
1. REPREZENTAREA INFORMAȚIILOR ÎN CALCULATOR 1.1. CONCEPTUL DE DATĂ ȘI INFORMAȚIE Datele desemnează elementele primare, provenind din diverse surse, fără o formă organizată care să permită luarea unor
Mai multDETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multMicrosoft Word - Lab1a.doc
Sisteme de numeraţie şi coduri numerice 1.1. Sisteme de numeraţie 1.2. Conversii generale între sisteme de numeraţie 1.3. Reprezentarea numerelor binare negative 1.4. Coduri numerice 1.5. Aplicaţii In
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multMicrosoft Word - _arbori.docx
ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă
Mai multExamView Pro - Untitled.tst
Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula
Mai multMicrosoft Word - 03 Dominica MOISE.doc
CONFERINȚA NAȚIONALĂ DE INSTRUMENTAȚIE VIRTUALĂ, EDIȚIA A V-A, BUCURE TI, 20 MAI 2008 13 Pachet de programe care ilustrează capitole din matematică, fizică şi studiul fractalilor Luminița Dominica MOISE,
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez
Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai mult