www. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus

Transcriere

1 Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,, pentru lungimile laturilor,, respectiv ; semiperimetrul; 2,, pentru măsurile unghirilor triunghiului;,, - lungimile înălţimilor triunghiului; - lungimea razei cercului circumscris, al cărui centru se află la intersecţia mediatoarelor; - lungimea razei cercului încris, al cărui centru se află la intersecţia bisectoarelor; - aria triunghiului cos şi analog cos ;cos 2) Formule pentru, :, 3) Formule pentru aria triunghiului: a) a şi analog, b) sin şi sin, sin c) (Heron) Observaţie: Este util pentru rezolvarea problemelor care apar în variantele de bacalaureat să amintim câteva dintre teoremele referitoare la triunghiul dreptunghic: 1) Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (Pitagora) 2) Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei 1

2 3) Într-un triungji dreptunghic, lungimea catetei care se opune unui unghi de 30 este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei Aplicaţii 1) Să se calculeze sin, ştiind că în triunghiul ABC se cunosc 4, 2 şi 60 Din teorema sinusurilor 2, 2 şi 60, rezultă 4sin 2 sin şi dacă, de unde şi cum se cunosc 2) Să se calculeze sin, ştiind că în triunghiul ABC se cunosc latura 10 şi raza cercului circumscris egală cu 10 Din teorema sinusurilor 2, deci sin, deci 30 3) Să se calculeze lungimea laturii a triunghiului ştiind că 45, 30 şi 10 Din teorema sinusurilor : sin sin sin Avem 10, sinsin45 sin sin, sin sin 30 şi deci ) Să se calculeze lungimea laturii a triunghiului ştiind că 30 şi raza cercului circumscris triunghiului este egală cu 4 2

3 Din 2 rezultă 2sin, deci 2 4 sin ) Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ştiind că 20 şi 60 Din 2 rezultă, adică şi deci 6 ) În triunghiul se cunosc 6 şi 6 3 Să se calculeze cos A vem cos din teorema cosinusurilor Rezultă cos, adică cos 30 şi 7) Să se determine lungimea laturii a triunghiului, ştiind că 6, 4 şi 60 Din teorema cosinusurilor os c şi cum 6,4, avem cos 60 şi 5248, deci 28, rezultă 3

4 2 7 8) Calculaţi perimetrul triunghiului, ştiind că 2, 3 şi 120 Perimetrul este egal cu suma lungimilor laturilor triunghiului Din teorema cosinusurilor cos Rezultă 4912cos120, cos 120 cos cos60 şi deci 136 Ave m 19 şi ) Să se calculeze aria triunghiului dacă 6 şi 120 Avem sin 36 sin sin sin60 10) Aflaţi aria triunghiului dacă 6, 4 şi 45 A vem sin 24 sin45 şi deci 11) Să se calculeze lungimea înălţimii din a triunghiului, ştiind că 3, 4 şi 5 Observăm că şi deci triunghiul este dreptunghic în Rezultă 6, de unde rezultă şi deci 4

5 12) Să se calculeze lungimea laturii a triunghiului, ştiind că 90, 30 şi 4 3 Triunghiul este dreptunghic în şi 30 şi deci cateta care se opune unghiului de 30 este egală cu Din teor ema lui Pitagora, deci 48 sau 4 483, de unde 8 13) Să se calculeze lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic cu aria egală cu 18 şi măsura unui unghi 45 Un triunghi dreptunghic cu un unghi 45 este isoscel, deci cele 2 catete au aceeaşi lungime Cum aria triunghiului este egală cu semiprodusul catetelor, rezultă că, dacă notăm, rezultă că 6 18, deci 36 şi 14) Să se demosntreze că într-un triunghi dreptunghic cu 90 are loc sin sin, unde este piciorul înălţimii din Folosind definiţiile funcţiilor trigonometrice în triunghiul dreptunghic avem că sinusul unui unghi ascuţit este raportul dintre cateta opusă şi ipotenuză Aplicând în triunghiurile dreptunghice şi avem sin şi sin Înmulţind cele 2 relaţii membru cu membru rezultă sin sin 5

6 15) Să se calculeze aria paralelogramului, ştiind că 8, 10 şi 150 Aria paralelogramului este dublul ariei triunghiului Într-un paralelogram unghiurile alăturate sunt suplementare şi deci 30 Rezultă că aria cerută este 2 1 sin 30 80sin ) Să se calculeze raza cercului înscris în triunghiul cu lungimile laturilor de 13, 14, 15 A vem, unde este aria triunghiului şi semiperimetrul Cum , , şi Din formula lui Heron şi 4 17) Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi cu lungimile laturilor 5, 7 şi 8 Vom folosi Calculăm folosind formula lui Heron: Rezultă şi deci 6

7 Propunem spre rezolvare: 1) Să se calculeze lungimea laturii a triunghiului, ştiind că 2, 30 şi 45 2) Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului, ştiind că 3 şi 30 3) Să se determine lungimile laturii a triunghiului, dacă 10, 15 şi 60 4) Să se determine aria triunghiului, ştiind că 4 şi 30 5) Se consider ă triunghiul de arie egală cu 7 Să se calculeze lungimea laturii, ştiind că 2 şi 30 6) Să se calculeze aria unui dreptunghi, ştiind că 10 şi 30 (Indicaţie: 30, rezultă 5, 5 3 şi aria , altfel: în triunghiul dreptunghic avem sin 30 şi cos 30 5 şi 5 3 etc) de unde 7) Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul cu lungimile laturilor egale cu 3, 5, 7 8) Fie triunghiul cu 5, 6 şi cos Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului (Indicaţie: din teorema cosinusului se află şi apoi se poate afla fie din formula lui Heron, fie din 7

8 cos rezultă sin 1 şi ) 8