Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la

Transcriere

1 Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie, informatica-matematica Timp alocat: 18 minute Stabiliti carei multimi de numere ii apartine valoarea expresiei. (5 puncte). Fie functiile f : R R, f(x) = x 3x + ; g : R R, g(x) = x 3. Determinati f(g(x)). (4 puncte) 3. Determinati valorile parametrului real a pentru care ecuatia 3 cos x + sin x = a admite radacini. (6 puncte) 4. Determinati lungimea liniei definita de ecuatia x + 5x + y =. (7 puncte) 5. Rezolvati inecuatia D(x), unde D(x) = 1 x x x x 1 (8 puncte) 6. Determinati exponentul puterii la care trebuie ridicat + 3, folosind formula binomului, astfel incat T 3 6 =. (8 puncte) T Calculati integrala 1 3x + 5x + dx. (9 puncte) 8. Centrul cercului inscris intr-un triunghi isoscel imparte inaltimea lui in segmente de lungime, respectiv de, 5 cm si 3 cm. Aflati lungimile laturilor triunghiului. (9 puncte) 9. Sa se determine pentru ce valori ale parametrului real m functia f : R R, f(x) = e x (m 3x x ) este monoton descrescatoare pe R. (1 puncte) 1. Descompuneti in factori ireductibili polinomul P (X) = X X + 36 peste multimea C. (9 puncte) 11. Aria sectiunii diagonale a unei piramide patrulatere regulate este S. O muchie laterala a ei formeaza cu planul bazei piramidei un unghi de masura β. (1 puncte) 1. Determinati toate valorile parametrului real a, pentru care sistemul: admite o singura solutie. (13 puncte) y + ln y y = x y + (x + a) = x + a + 4 Aflati volumul piramidei.

2 Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Solutii 1. Se observa ca = = obtine = = ( 5) = 5 = 5 si se = 1. Asadar, valoarea expresiei date este un numar natural. Nota: N Z Q R C... (a se vedea si sesiunea 1999).. Se utilizeaza definitia functiei compuse si se obtine f(g(x)) = (x 3) 3(x 3) + = 4x 1x + 9 6x = 4x 18x Ecuatia a sin x + b cos x = c are solutii daca si numai daca c 1 (a se vedea a + b Ecuatii trigonimetrice, metoda unghiului auxiliar). Prin urmare, ecuatia data are solutii doar pentru a 1, de unde a [, ]. 4. Cum x + 5x + y = x + 5 x y = (x + 5 ( ) 5 ) + y =, rezulta ca linia data este o circumferinta de raza R = 5 cu centrul in punctul M ( 5 ; ). Se aplica formula pentru determinarea lungimii circumferintei si se obtine l = πr = π 5 = 5π(un.lungime). 5. Se utilizeaza proprietatile determinantilor si se obtine 1 x x D(x) = x x 1 = x 1 x 1 x 1 = (x 1) x x 1 x x 1 = = (x 1) x + 1 x + 1 = (x 1)(x + 1) 1 1 = (x 1)(x + 1) x + 1 x Inecuatia D(x) devine (x 1)(x + 1). Se rezolva utilizand metoda intervalelor si se obtine x { 1} [ 1 ; + ). 6. Se utilizeaza formula pentru termenul de rang k din dezvoltarea binomului lui Newton (a + b) n : T k+1 = C k na n k b k, (k =, n ) si se obtine T 3 = C n( ) n ( 3) T 4 Cn( 3 ) n 3 ( 3) = C n 1 3 = 3 C 3 n 6 4

3 Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 3 sau, tinand seama ca C k n = n! k!(n k)!, n(n 1) n(n 1)(n ) 3 de unde rezulta n = 4 si n = Cum integrantul reprezinta o functie rationala, il descompunem in fractii simple (tinand seama ca radacinile trinomului din numitor sunt reale si de multiplicitatea unu): = 3 4, 3x + 5x + = 3 ( ) = A x + 3 (x + 1) 3x + + B x + 1 A(x + 1) + B(3x + ) =. (3x + )(x + 1) Utilizand metoda coeficientilor nedeterminati se obtine A = si B = 3. Asadar ( 3x + 5x + dx = 3x + 3 ) dx dx = x + 1 3x + 3 dx x + 1 = Conform formulei Newton-Leibniz 1 = ln 3x + 3 ln x C. 3 3x + 5x + dx = ( ) 3 1 ln 3x + 3 ln x + 1 = = 3 (ln 5 ln ) 3 ln = 3 ln 1 3 ln. 8. Fie ABC tringhiul isoscel (AB = BC), BD inaltimea (BD AC) O BD centrul cercului inscris in ABC, OB = 5cm, OD = 3cm, si prin urmare BD = 8(cm). Fie E punctul de tangenta a laturii AB cu cercul. Atunci OE AB si prin urmare BOE dreptunghic. Cum OE = OD = 3, BO = 5, conform teoremei Pitagora B E O A D C BE = BO OE = 5 9 = 4(cm).

4 Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 4 Cum triunghiurile dreptunghice BOE si ABD sunt asemenea ( B comun), rezulta: AB BO = BD BE = AD OE, de unde BO BD AB = = 5 8 = 1(cm), BE 4 BD OE AD = = 8 3 = 6(cm). BE 4 Cum BD inaltimea coborata pe baza tringhiului isoscel ABC, rezulta BD mediana si AC = AD = 1(cm). Asadar AB = BC = 1cm, AC = 1cm. 9. Functia f : X R, X R este monoton descrescatoare pe X daca f (x) pentru orice x X. Rezulta f (x) = e x (m 3x x ) + e x ( 3 x) = e x (x + 5x m + 3). Cum e x > pentru orice x R, inecuatia devine x + 5x m + 3. Ultima inecuatie va avea solutii x R daca si numai daca discriminantul inecuatiei este nepozitiv (a se vedea Formule, Dictionare, Trinomul patrat). Asadar: 5 4(3 m), de unde m Se considera ecuatia bipatrata x x + 36 =, solutiile careia (in multimea numerelor complexe) sunt x 1 = i, x = i, x 3 = 3i, x 4 = 3i. Prin urmare X X + 6 = (X + i)(x i)(x + 3i)(X 3i). 11. S D C O A B Fie SABCD piramida patrulaterala regulata (ABCD patrat), aria SAC = S, SAC = β, O centrul patratului ABCD. Fie AO = a. Atunci AC = a; SO = AO tg β = = a tg β (din triunghiul dreptunghic SAO) si aria triunghiului SAC S = 1 AC SO = 1 a a tg β = a tg β

5 Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 5 de unde a = S ctg β si a = S ctg β. Prin urmare AB = a + a = a = S ctg β (aria bazei piramidei), SO = a tg β = S ctg β tg β (inaltimea piramidei) si V = 1 3 S ABCD SO = 3 S ctg β S ctg β tg β = 3 S S ctg β(un.cub.) 1. Din prima ecuatie a sistemului rezulta y = x si x > (expresia ln y este definita doar y pentru y > a se vedea Formule, Dictionare, Modul). Atunci a doua ecuatie devine Ultima ecuatie are solutie unica daca: (x + a) = a + 4 sau x + ax + a a =. D = 4a 4(a a ) = a = si x = (x > ) si o singura solutie pozitiva, daca a a <, { a a =, a > de unde a [ 1; ). Asadar, a { } [ 1, ).