CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
|
|
- Lili Aanei
- 5 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z dacă şi numai dacă, atunci z x y Dacă x y z Dacă x xy y y yz z z zx x. şi egalităţile se probează prin calcul direct 3p x xy y y yz z z zx x, presupunem că x y y yz z z zx x este echivalentă cu x yx y z x y z, deci. Egalitatea Problema. Ȋn triunghiul ABC avem AB BC, iar D BC astfel încât AD AB. Mediatoarea segmentului DC intersectează bisectoarea unghiului ABD în punctul O. Arătaţi că OA OI, unde I este centrul cercului înscris în triunghiul ABD. Dacă H este intersecţia bisectoarei unghiului ABC cu paralela prin A la BC, rezultă că patrulaterul ABCH este romb, iar ADCH este trapez isoscel. Mediatoarea segmentului AH coincide cu mediatoarea segmentului CD şi fie M mijlocul lui segmentului AH (1) Deoarece AB AD, rezultă că AI BC, deci AI OM şi, cumulat cu (1), deducem că OM este linie mijlocie în triunghiul dreptunghic AIH. Cum segmental AO este mediana corespunzătoare ipotenuzei HI, rezultă concluzia. Problema 3. Numerele m şi n sunt naturale, mai mari decât 1. Calculaţi m n ştiind că numerele n 1 sunt simultan naturale. m Din nm 1 rezultă că există Deci nk 1n 1. Deoarece Deducem că nk 1 n k mn 1 * k astfel încât m nk 1 nk 1 n k n şi, echivalent cu k n nk 1 n k k, rezultă că nk 1 n k 1 1, deci k 1. Obţinem 4p 3p 4p m 1 şi n Problema 4. Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC. Punctul M aparţine segmentulului AC, iar punctul N aparţine semidreptei MC astfel încât MN AC 4p p. Perpendiculara din M pe dreapta BC intersectează perpendiculara din N pe dreapta AB în punctul K. Paralela prin K la dreapta AC intersectează perpendiculara din B pe dreapta AC în punctul H. Arătaţi că H este ortocentrul triunghiului ABC. Fie H punctul de intersecţie a înălţimii din A a triunghiului ABC cu paralela prin K p la dreapta AC. Patrulaterul AMKH este paralelogram Deoarece AM CN, rezultă că şi patrulaterul KNCH este paralelogram, deci 4p CH NK, adică CH AB. Deducem că H este ortocentrul triunghiului ABC şi H H
2 CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-A, TULCEA, 1aprilie 18 Soluţii orientative şi bareme Clasa a VIII-a Problema 1. Determinaţi toate tripletele de numere naturale nenule m, n, p pentru care mn np pm mnp. Presupunem că m n p. Deducem că 3mn mnp p 1, 3p Dacă 1 Dacă, deci p, deducem că pm n, deci mn 1. Obţinem tripletul 1,1,1 p, obţinem m n şi obţinem 4,3, şi permutările acestora Problema. Se consideră piramida patrulateră regulată SABCD în care AB 1 şi SA 3. Punctele M şi N sunt mijloacele muchiilor SC, respectiv SB. Determinaţi măsura unghiului dintre dreptele AN şi BM. Avem MN BC / AP, unde P este mijlocul segmentului AD, deci patrulaterul m AN, BM m PM, BM m PMB 3p ANMP este paralelogram. Prin urmare, 5 Din calcul, obţinem PB MB.(1) Fie Q proiecţia lui M pe planul ABC. Rezultă Q este mijlocul segmentului OC, unde O este centrul bazei piramidei. Se demonstrează că triunghiul PQB este isoscel cu BQ QP (şi dreptunghic). Prin urmare, cum proiecţia triunghiului MBP pe planul ABC este triunghiul QBP, rezultă MP MB () Din (1) şi () rezultă triounghiul MBP echilateral, deci mpmb 6 Problema 3. Determinaţi numerele reale a, a 1, pentru care există cel puţin un triplet de numere reale ( x, y, z ) care verifică inegalitatea x y a y z a z x a xy yz zx. x a y a xy Evident, x, y, z a, Avem x y a (din inegalitatea a a mediilor), cu egalitate pentru y a şi analoagele. Deci a xy yz zx x y a y z a z x a xy yz zx. Obţinem a 1 şi, cumulat cu ipoteza, a 1. Pentru a 1, există tripletul x, y, z,, Problema 4. Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC în care O este centrul cercului circumscris. Punctele D, E şi F sunt situate pe segmentele BC, AC şi respectiv AB astfel încât DE OC şi DF OB. Dacă P este centrul cercului circumscris triunghiului AEF, arătaţi că PD BC. m BOC m BAC Triunghiul OBC este isoscel şi Deducem că medc mfdb mbac, deci bisectoarea unghiului EDF este perpendiculară pe dreapta BC. Bisectoarea unghiului EDF intersectează mediatoarea segmentului FE în punctul P Rezultă că patrulaterul EDFP este inscriptibil şi P' E P' F Deoarece mfp ' E 18 mfde mbac, rezultă că punctul A este situat pe cercul cu centrul în P şi rază P' E P' F. Deducem că P P, deci PD BC. p p 3p 4p p 3p p
3 CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ LAURENŢIU PANAITOPOL Tulcea. 1 Aprilie 18 Clasa a 9-a (1) Să se găsească cel mai mare element al mulţimii {sin 1, sin, sin 3}. Soluţie. Ţinând seama de monotonia funcţiei sinus pe intervalul (, π), avem sin 1 > sin π = 4 sin 3π > sin p 4 Transformăm în produs diferenţa sin sin 1 = sin 1 cos p Produsul de mai sus este pozitiv pentru că 1, 3 ( ), π p sin este cel mai mare element al mulţimii () (a) Să se arate că x x pentru orice x [, ]. (b) Fie a, b R şi f : R R, funcţia definită prin f(x) = x + ax + b. Să se arate că cel puţin una dintre inegalităţile f() f(1) 1 şi f() f(1) 1 este adevărată. (c) Să se găsească cea mai mică valoare a lui m R astfel încât există numerele a, b R pentru care inegalitatea x + ax + b m este satisfăcută pentru orice x [, ]. *** Cătălin Gherghe, Bucureşti Soluţie. (a) Inegalitatea este echivalentă cu (x 1) 1, care este adevărată pentru orice x [, ] p (b) Avem f() f(1) = 1 a 1 dacă şi numai dacă a şi f() f(1) = a+3 1 dacă şi numai dacă a, adică cel puţin una dintre inegalităţi este adevărată indiferent de numerele a, b R p (c) Folosind punctul (b) avem că f() f(1) 1 sau f() f(1) 1. Presupunem că f() f(1) 1. Atunci, din inegalitatea modulului, avem 1 f() f(1) f() + f(1) m. Deci m 1. Folosind acum punctul (a) obţinem că valoarea minimă a lui m este m = 1, caz în care avem, de exemplu, a = şi b = 1. Analog se studiază cazul f() f(1) p (3) Fie a Z un număr impar negativ fixat şi (x n ) n 1 o progresie aritmetică cu x 1 = a şi raţia r Z. Definim mulţimea M = {n N x n n = 1}. Găsiţi toate valorile lui r pentru care mulţimea M are exact două elemente. Marcelina Popa,Tulcea Soluţie. Arătăm că singura valoare convenabilă pentru r este r =. Să observăm mai întâi că dacă n M atunci a + (n 1)r = n + 1 (varianta (i)) sau a + (n 1)r = n 1 (varianta (ii)) Presupunem că M = {n 1, n } cu n 1 n. Sunt posibile patru cazuri: (1) n 1 şi n sunt ambele în varianta (i); () n 1 şi n sunt ambele în varianta (ii); (3) n 1 este în varianta (i) şi n este în varianta (ii); (4) n 1 este în varianta (ii) şi n este în varianta (i) Cazurile (1) şi (): Scădem relaţiile corespunzătoare lui n 1 şi n şi obţinem (n 1 n )(r 1) =, de unde rezultă că r = 1 şi deci a = (în cazul (1)), respectiv a = (în cazul ()). Acest lucru nu este posibil deoarece a este număr impar negativ Cazul (3): Scădem relaţiile corespunzătoare lui n 1 şi n şi obţinem (n 1 n )(r 1) =, de unde rezultă că r 1 divide pe şi deci r { 1,,, 3}. Cazul r = se exclude prin condiţia din ipoteză. Deoarece n verifică varianta, avem (n 1)(1 r) = a. Cum a este număr impar, rezultă că singura valoare posibilă pentru r este r =. Cazul (4) se tratează analog p Arătăm acum că dacă r = atunci mulţimea M are exact două elemente. Deoarece r = rezultă x n = a+(n 1) pentru orice n N. Atunci x n1 n 1 = 1 dacă n 1 = 3 a
4 şi x n n = 1 dacă n = 1 a. Evident n 1 n şi deci mulţimea M are exact două elemente p (4) Fie l şi m două drepte distincte concurente şi fie M = { v i i = 1, 18} o mulţime de 18 vectori având direcţiile paralele cu una din cele două drepte. Presupunem că v i = v j pentru orice i j. Dacă v i {1,,..., 18}, pentru orice i = 1, 18, să se decidă dacă suma 18 vi poate fi egală cu. *** Soluţie. Fie u şi v versorii dreptelor l şi m (adică vectorii de lungime egală cu 1 având direcţiile celor două drepte). După o eventuală renumerotare, putem presupune că există un număr natural k între 1 şi 18 şi numerele reale a i şi b j, astfel încât vi = a i u pentru i = 1, k şi vj = b j v pentru j = (k + 1), 18. Din ipoteză, ai şi b j sunt toate numerele naturale de la 1 la p Dacă 18 vi = ( k ) ( k ), atunci a u i + b v i =, şi deoarece vectorii u şi v nu sunt coliniari, rezultă că k Evident ( ) k a i + 18 i=k+1 b i = şi a i = 18 i=k+1 i=k+1 b i = p k a i + 18 b i = = i=k+1 Notând cu x suma termenilor pozitivi şi cu y suma termenilor negativi din suma ( ), avem x y = şi deci x = y. Pe de altă parte, x + y este număr impar şi obţinem o contradicţie. În concluzie, nu este posibil ca suma vectorilor din M să fie nulă p
5 Concursul de matematică,,laurenţiu Panaitopol Tulcea, 1 aprilie 18 Clasa a 1-a 1. Rezolvaţi ecuaţia log (log (1 + cos 4x)) + sin x sin 5x = 1+cos 6x. Soluţie. Membrul stâng este cel mult log (log ) + =, iar membrul drept este cel puţin = p Egalitatea se obţine pentru cos 4x = 1, sin x sin 5x = 1 şi cos 6x = p Cum sin x sin 5x = cos 4x cos 6x, soluţiile ecuaţiei sunt soluţiile comune ale ecuaţiilor cos 4x = 1, cos 6x = 1, adică x = (n+1)π, n Z p. Determinaţi funcţiile f : R R care au proprietatea e x+y f(x)f(y) f(x + y), oricare ar fi numerele reale x şi y. Soluţie. Pentru x = y = obţinem 1 f () f(), deci f() = p Deducem e x f(x), x R (1) p Apoi f(x)f ( x) f() = 1 implică f (x) 1/f( x) 1/e x = e x. Combinând cu (1) obţinem f(x) = e x, x R p 3. Fie a, b numere complexe, astfel încât z + az + b 1, oricare ar fi numărul complex z cu z 1. Arătaţi că a = b =. Soluţie. Pentru z = ±i avem b 1 ± ai 1, deci b 1 + ai + b 1 ai b 1 + ai + b 1 ai = b 1, de unde b p Pentru z = ±1 avem b + 1 ± a 1, de unde, ca mai sus, b Rezultă că b se află în intersecţia discurilor de rază 1, cu centrele în punctele de afixe ±1, deci b = p Obţinem acum 1 ± a 1, de unde a = p 4. Fie A o mulţime nevidă de numere reale şi f : A A o funcţie bijectivă, astfel încât funcţia g : A R, g(x) = x + f(x) este strict crescătoare. a) Demonstraţi că, dacă mulţimea A este finită, atunci f este funcţia identică. b) Daţi exemplu de mulţime A şi funcţie care îndeplineşte condiţiile din ipoteză, dar f(x) x, oricare ar fi x A. Soluţie. a) Raţionăm inductiv, după numărul n al elementelor lui A. Dacă n = 1 atunci A = {a} şi f(a) = a, deci f = 1 A Fie acum n şi x 1 < x <... < x n elementele lui A. Dacă f(x n ) x n, atunci există p, 1 p < n, astfel încât f(x p ) = x n. Deducem f(x k ) > x p + f(x p ) x k = x p + x n x k x p pentru k > p. Reiese că mulţimea {x p+1, x p+,..., x n 1 } conţine cele n p elemente distincte f(x p+1 ), f(x p+ ),..., f(x n ) fals, deoarece mulţimea are n p 1 elemente. Aşadar presupunerea f(x n ) x n este falsă, deci f(x n ) = x n. Aplicând acum ipoteza de inducţie pentru funcţia f restricţionată la mulţimea {x 1, x,..., x n 1 }, deducem f = 1 A p b) f : R R, f(x) = x p 1
6 Concursul de Matematică Laurenţiu Panaitopol Tulcea, 1 Aprilie 18 Enunţuri şi soluţii, Clasa a XI-a Problema 1. Arătaţi că pentru oricare matrici A, B, C M (C) există numere nenule a, b, c, astfel ca det(aa + bb + cc) =. Soluţie şi barem. Sistemul xc 1 + yc + zc 3 =, unde C 1, C respectiv C 3 sunt primele coloane ale matricilor A, B, C ( ecuaţii cu 3 necunoscute), are soluţie nebanală puncte Fie a, b, c una dintre aceste soluţii. Aceasta face ca prima coloană a matricei aa + bb + cc să fie, deci determinantul ei e puncte Problema. Fie şirul (x n ) n 1 definit prin x 1 = 1, x n+1 = x n + 1 x n + 1 n pentru n 1. a) Arătaţi că şirul are limita infinit; b) Determinaţi a > astfel ca şirul ( x n n a ) n 1 să fie convergent cu limita finită şi nenulă. Soluţie şi barem. a) Evident x n > şi deci x n+1 > x n, pentru orice n. Prin urmare şirul are limită. Dacă aceasta ar fi finită, să zicem l, prin trecere la limită în relaţia de recurenţă, obţinem 1 l =, absurd. Deci limita este infinită puncte b) Prin ridicare la pătrat, obţinem x n+1 = x n x + 1 n n + x n n +. nx n puncte Cu teroema Stolz-Cesaro deducem x n lim n n = lim(x n+1 x n) = lim( 1 x + 1 n n + + x n n + ). nx n puncte Ultima limită este căci tot cu Stolz-Cesaro deducem lim n x nn =. Aşadar a = 1.. puncte Problema 3. Matricea A M 3 (Z) satisface relaţia det(a + 19A + 18I 3 ) = 17. Arătaţi că pentru orice n Z, matricea A + ni 3 este inversabilă. Soluţie şi barem. Definim f(x) = det(a + xi), f : Z Z. Funcţia are forma f(x) = det A + ax + bx + x 3
7 cu a, b Z puncte Dacă prin absurd, există n astfel ca A + ni 3 nu e inversabilă, atunci f(n) =, deci există polinom cu coeficienţi întregi de grad, Q, cu f(x) = (x n)q(x). Pe de altă parte avem A + 19A + 18I = (A + I)(A + 18I) = f(1)f(18) punct Dar f(1)f(18) = (1 n)q(1)(18 n)q(18). Produsul (1-n)(18-n) este par, ceea ce contrazice relaţia din ipoteză echivalentă cu f(1)f(18) = puncte Problema 4. Se consideră numerele reale a, b, c, d cu a < b, c < d şi funcţia f : [a, b] [c, d] care are proprietatea Darboux pe [a, b] şi este discontinuă în punctele a şi b. Să se arate că există α şi β numere reale, α f (a), β f (b) astfel încât funcţia g : [a, b] R, g (x) = α, x = a f (x), x (a, b) β, x = b are proprietatea lui Darboux pe [a, b]. Soluţie şi barem. Cum f are proprietatea lui Darboux pe [a, b], rezultă că f ([a, b]) este interval. Dacă f([]a, b])se reduce la un punct, atunci f este funcţie constantă, de unde f continuă pe [a, b], de unde fcontinuă în a şi b, contradicţie cu ipoteza problemei. Deci f([a, b]) [c, d] are o infinitate de puncte de acumulare care sunt doar numere reale finite (un interval închis inclus în [c, d] punct Dacă (x n ) n1 este şir cu elemente din [a, b], atunci şirul (f (x n )) n1 [c, d] este mărginit şi, conform Lemei Cesaro, există un subşir al său convergent. Atunci: f discontinuă în a (x n ) n1 (a, b), lim x n = a şi lim f (x n) = α f (a) deci n n αeste punct de acumulare pentru f ([a, b]) ; (1) f discontinuă în b (x n) n1 (a, b), lim n x n = b şi lim f n (x n) = β ; β este punct de acumulare pentru f ([a, b]). () punct1 punct α, x = a Arătăm că funcţia g : [a, b] R, g (x) = f (x), x (a, b) are proprietatea Darboux β, x = b pe [a, b] puncte Dacă a < α 1 < α < b, atunci g (x) = f (x), x [α 1, α ] şi, cum fare proprietatea Darboux pe [a, b], obţinem că pentru orice y dintre g (α 1 ) şi g (α ) există c y (α 1, α ) astfel încât g (c y ) = y. Pentru un interval [a, α ], a < α < b : - dacă g (a) < g (α ) şi y (g (a), g (α )) = (α, f (α )) : din (1) rezultă că există x n (a, α ) astfel încât f (x n ) < y < f (α ) (dacă f (x n ) y, n 1, atunci lim f (x n) y > n α, adică α > α, contradicţie) şi, cum fare proprietatea Darboux pe [a, b],există c y (x n, α ) astfel încât f (c y ) = y, deci există c y (a, α ) astfel încât g (c y ) = f (c y ) = y. - dacă g (α ) < g (a) şi y (g (α ), g (a)) = (f (α ), α) : din (1) rezultă că există x n (a, α ) astfel încât f (α ) < y < f (x n ) (dacă f (x n ) y, n 1, atunci lim n f (x n) y < α, adică α < α,
8 contradicţie) şi, cum fare proprietatea Darboux pe [a, b],există c y (x n, α ) astfel încât f (c y ) = y, deci există c y (a, α ) astfel încât g (c y ) = f (c y ) = y. 1 punct Pentru un interval [β, b], a < β < b : - dacă g (β ) < g (b) şi y (g (β ), g (b)) = (f (β ), β) : din () rezultă că există x n (β, b) astfel încât f (β ) < y < f ( x ) n (dacă f (x n ) y, n 1, atunci lim f n (x n) y < β, adică β < β, contradicţie) şi, cum f are proprietatea Darboux pe [a, b], există c y ( β, x ) n astfel încât f ( c y) = y, deci există c y (β, b) astfel încât g ( c ( ) y) = f c y = y. - dacă g (β ) > g (b) şi y (g (b), g (β )) = (β, f (β )) : din ()rezultă că există x n (β, b) astfel încât f ( x ) n < y < f (β )(dacă f (x n) y, n 1, atunci lim f n (x n) y > β, adică β > β, contradicţie) şi, cum fare proprietatea Darboux pe [a, b],există c y ( β, x ) n astfel încât f ( c y) = y, deci există c y (β, b) astfel încât g ( c ( ) y) = f c y = y. Deci funcţia gare proprietatea Darboux pe [a, b]. 4 puncte 3
9 Concursul de Matematică Laurenţiu Panaitopol Tulcea, 1 Aprilie 18 Enunţuri şi soluţii, Clasa a XII-a Problema 1. Câte dintre sistemele cu coeficienţi a, b Z 1 de forma ax + by + cz bx + ay + bz bx + by + az = ˆ1 = ˆ = ˆ3 au soluţii unice? Soluţie şi barem. Determinantul coeficienţilor în Z 1 este (a + b)(a b).... puncte Acest element trebuie să fie inversabil în Z 1 deci să fie ˆ1, ˆ5, ˆ7ˆ puncte Număratea corectă a perechilor (a, b). 3 puncte Problema. Demonstraţi cî pricare ar fi a, b Z polinomul f = (X a) (X b) + 1 este ireductibil în Z[X]. Soluţie şi barem. Dacă f = pq cu p, q Z[X] deducem că ambele au gradul ; altlel ar avea rădăcini reale în contradicţie cu pq punct Dacă a b: Avem p(i)q(i) = 1 pentru i a, b deducem p(i) = q(i) = ± punct Prin derivare p(i)q (i) + p (i)q(i) = pentru i = 1, punct De aici şi din relaţia precedentă avem că p (i) + q (i) = pentru i = a, b deci p + q =, adică p + q = constant = k puncte Aşadar (x a) (x b) p = kp, o contradicţie cu gradele punct Pentru a = b avem (X a) + 1 = (X X + 1)(X + X + 1) care nu poate fi descompus în factori din Z[X] punct Problema 3. Fie f : [, 1] R o funcţie continuă pe [, 1]. Să se arate că există un punct c (, 1) astfel încât să avem c (c 3c + 1) f(x)dx = c(c 1)f(c) Soluţie şi barem Fie g : [, 1] R, g(x)= x(x-1) e 1 x x f (t) dt punct Cum funcţia g este derivabilă [,1] şi g() = g(1) =, aplicând teorema lui Rolle că există un punct c (, 1) astfel încât g (c) = puncte g (x) = (x 1)e 1 x x f (t) dt x(x 1)e 1 x x f (t) dt + x(x 1)e 1 x f(x).
10 puncte Rezultă c(c 1)f(c) = (c (1 + )c + 1]) c f(t)dt, adică rezultatul punct Problema 4.. Fie F clasa funcţiilor continue f : [, 1] R, astfel încât 1 f(x)(1 x) dx 1. Asociem fiecărei funcţii f din F funcţia continuă f : [, 1] R, f(x) = 1 x x f(t) dt, < x 1 f(), x =. Determinaţi valoarea minimă pe care o poate lua max x 1 f(x), când f parcurge clasa F. Solution. Minimul cerut este obţinut pentru funcţia constantă egală cu pentru x [, 1] 1 punct Fie f din F. Demonstrăm că M( f) = max x 1 f(x). Considerăm, pentru aceasta F (x) = x f(t) dt, x 1. Conform ipotezei, avem succesiv 1 puncte = 1 1 f(x)(1 x) dx = F (x)(1 x) x f(x) dx M( f) x dx = 1 M( f), F (x) dx = 1 F (x)dx ceea ce încheie demonstraţia puncte Pentru o corectă aplicare a formulei de integrale prin părţi dar fără finalizare se acordă în afara celor puncte de la început încă puncte.
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1/2014 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din = astfel încât să obţineţi o
Soluţiile problemelor propuse în nr. /204 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din 2 3 4 = 7 2 4 astfel încât să obţineţi o egalitate. Câte soluţii există? Explicaţi! (Clasa I ) Codruţa
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multSimilitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multRecMat dvi
Probleme propuse 1 P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la 1 la 30 care să aibă suma 30. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi P356. Colorează figura geometrică care nu
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multMatematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VI
Matematika román nyelven középszint 83 ÉRETTSÉGI VIZSGA 09. május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Informaţii utile
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multclasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)
clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multMicrosoft Word - Evaluare_initiala_Matematica_Cls07_Model_Test.doc
Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare inińială la disciplina MATEMATICĂ, din anul şcolar 011-01 În anul şcolar 011-01, modelul propus pentru testare inińială la disciplina Matematică
Mai multClasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce
Clasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce dau celor doi fraţi mai mari câte două banane, mănânc
Mai multMarian Tarina
PROGRAMA LA MATEMATICĂ An școlar 2018-2019 Temele propuse vor fi detaliate conform programei şcolare în vigoare care cuprinde atât conţinuturile obligatorii cât şi conţinuturile suplimentare menţionate
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai mult1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad
1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad 2. Teorema lui Menelaus Ciocan Cristian+Cioară Alexandru+Răileanu Daniel 3. Teorema lui Pitagora Paraipan Rareș+Postelnicu Marius+Anghel Mircea
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU
SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multRecMat dvi
Soluţiile problemelor propuse în nr. /6 Clasele primare P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la la 3 care să aibă suma 3. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi Soluţie.
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență MODELE DE PROBLEME REZOLVATE DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURS
ARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență + 0 MODELE DE PROBLEME REZOLVATE + 1130 DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURSURI ŞI CENTRE DE EXCELENŢĂ Clasa a V-a Ediţia a X-a EDITURA
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multINDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE 2 ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x 4 x 16 y 4 x x 4 Condiţiile radica
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x x 16 x 16 16 x Condiţiile radicalilor: 16 0 16 x 16 ecuaţia devine: 16 x 0 16 y y0; 8 S x y 16
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de Ana-Cristina Blanariu-Șugar, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multAlgebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multrecmat dvi
Concursul de matematică Florica T.Câmpan Etapa judeţeană, 5-6 mai 2005 Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute, cl. V-VIII 2 ore. ClasaaIV-a 1. Să seafledouă numere
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2017_var_02_LRO
Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. S considră numărul compl z + i. Arătați că z z zz 9 5p. Dtrminați numărul ral m, știind
Mai multCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ETAPA NAŢIONALĂ, BRAŞOV Abstract. Comments on some of the problems presented at the Final Round of the Nationa
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 203 ETAPA NAŢIONALĂ, BRAŞOV Abstract. Comments on some of the problems presented at the Final Round of the National Mathematics Olympiad 203, Braşov. Data: 5 aprilie
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multO metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o
O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎSAN 1, Marius DĂGAN, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to obtain some refined geometric inequalities in a triangle,
Mai multE_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,
Mai multSubiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Mai multLecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe
Lecții de pregă,re la informa,că Admitere 2019 Tema: Discutarea problemelor date la ul,mele sesiuni de admitere Bogdan Alexe bogdan.alexe@fmi.unibuc.ro Cuprinsul lecției de azi Enunțuri și rezolvări pentru
Mai mult