Microsoft Word - cap1p4.doc

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Microsoft Word - cap1p4.doc"

Transcriere

1 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu vectorial al spaţiului V. Definiţia.6. Se numeşte subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial V orice submulţime V a acestuia, care împreună cu operaţiile de adunare a vectorilor şi respectiv de înmulţire a vectorilor cu scalari, definite pe V, capătă o structură de spaţiu vectorial peste corpul K. Definiţia.6. O submulţime nevidă V a lui V este un subspaţiu vectorial dacă sunt îndeplinite condiţiile: ) x + y V, oricare ar fi x, y V, ) α x V, oricare ar fi x V şi α K. Teorema.6. Definiţiile de mai sus sunt echivalente. Demonstraţie. Faptul că o submulţime a lui V, care este subspaţiu vectorial în sensul Definiţiei.6., este subspaţiu vectorial şi în sensul Definiţiei.6. rezultă imediat (demonstraţia este lăsată ca exerciţiu cititorului). Vom demonstra doar afirmaţia reciprocă. Presupunem că submulţimea nevidă V este subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial V în sensul Definiţiei.6.. Pentru a demonstra că este subspaţiu vectorial în sensul Definiţiei.6., vom verifica axiomele din Definiţia..3. Din condiţiile ) şi ) ale Definiţiei.6. rezultă că cele două operaţii ale spaţiului vectorial V sunt bine definite pe V. Proprietăţile de asociativitate şi comutativitate a adunării sunt adevărate, 39

2 Spaţii vectoriale finit dimensionale deoarece au loc în V, deci şi în V V. Faptul că orice x V are un opus tot în V rezultă din condiţia ) în care luăm α = - şi din Observaţia... Aplicând din nou condiţia ) deducem că, elementul neutru la adunare din V, aparţine şi lui V, căci = x V oricare ar fi x V, deci este element neutru şi pentru operaţia de adunare a vectorilor din V. În concluzie, V este grup abelian cu operaţia de adunare a vectorilor. Axiomele a) - d) din Definiţia..3 sunt verificate în mod evident (sunt consecinţe ale condiţiei ) şi ale ipotezei că V este spaţiu vectorial). Deci V este subspaţiu vectorial în sensul Definiţiei.6.. Exemplul.6. Submulţimea V = {(x, x, x 3, ), x i R, i =,, 3} a lui R împreună cu operaţiile cu operaţiile de adunare a vectorilor şi înmulţire a acestora cu scalari, moştenite de pe R, este un subspaţiu vectorial al lui R. Într-adevăr, dacă x = (x, x, x 3, ) şi y = (y, y, y 3, ) sunt doi vectori din V atunci x + y = (x + y, x + y, x 3 + y 3, ) V, iar α x = (α x, α x, α x 3, ) V, oricare ar fi α K. Atunci, conform Definiţiei.6., V este subspaţiu vectorial al lui R. Exemplul.6. Fie V un K spaţiu vectorial. Întrregul spaţiu vectorial V, precum şi mulţimea formată numai din vectorul nul din V sunt subspaţii vectoriale ale lui V. Ele se numesc subspaţii improprii. Celelalte subspaţii ale lui V se numesc subspaţii proprii. Observaţia.6. Fie V un subspaţiu propriu al spaţiului vectorial finit dimensional V. Avem dim K V < dim K V.

3 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Într-adevăr, deoarece orice bază a lui V este sistem liniar independent în V, aplicăm Teorema.3. şi rezultă concluzia. Dacă dimensiunile celor două spaţii vectoriale sunt egale, adică dim K V = dim K V, atunci este clar V = V şi V nu mai este spaţiu propriu. Fie acum G o submulţime nevidă a spaţiului vectorial V. Vom nota G submulţimea tuturor combinaţiilor liniare formate cu vectori din G. Este clar că G V. Teorema.6. Mulţimea G, împreună cu operaţiile definite pe V este un suspaţiu vectorial al acestuia. Demonstraţie. Fie x, y G. Fiecare dintre cei doi vectori este o combinaţie liniară de vectori din G, deci şi suma lor va fi tot o combinaţie liniară de vectori din G. Analog se deduce că αx, α K este din G. Folosind Definiţia.6., rezultă concluzia. Subspaţiul G definit mai sus se numeşte subspaţiul generat de G sau închiderea liniară a lui G sau încă, acoperirea liniară a lui G. Exemplul.6.3 Fie G = {x = (,, -, ), x = (, -,, 5), x 3 = (,, 3, ), x = (,,, 3), x 5 =(,, -, -), x 6 = (-,,, )} R. Să se determine o bază a subspaţiului generat de G. Conform definiţiei avem G = {α x + α x + α 3 x 3 + α x + α 5 x 5 + α 6 x 6, α i R, i {,,6} }. Este clar că {x, x,, x 6 } este un sistem de generatori pentru G. Din Exemplul.5.3, ştim că rangul matricei care are drept coloane componentele vectorilor x, x,, x 6 este egal cu 3. De aici deducem că doar trei dintre aceşti vectori sunt liniar independenţi, restul fiind combinaţii liniare ale acestor trei vectori. Folosind Propoziţia.. şi rezultatele obţinute în exerciţiul amintit mai sus, rezultă că x, x,

4 Spaţii vectoriale finit dimensionale x sunt liniar independenţi. Deci B = {x, x, x } este şi sistem de generatori pentru G şi, de aici, pentru G. Astfel, B este o bază pentru G. Exemplul.6. Fie V spaţiul vectorial real definit în Exemplul..3. Submulţimea V formată din totalitatea funcţiilor f C ([a, b]) care sunt pare este un subspaţiu vectorial al lui V. De asemenea mulţimea funcţiilor f C ([a, b]), impare este un subspaţiu vectorial al lui V.(Demonstraţia afirmaţiilor de mai sus sunt lăsate în seama cititorului.) Teorema.6.3 Mulţimea vectorilor x V ale căror coordonate satisfac un sistem liniar şi omogen de n ecuaţii cu m necunoscute şi rangul matricei sistemului egal cu r este un subspaţiu vectorial de dimensiune m - r. Demonstraţie. Fie V mulţimea vectorilor x V ale căror coordonate (ξ, ξ,, ξ m ), într-o bază B = {u, u,,u m } a spaţiului V, satisfac sistemul omogen de mai jos: a ξ + a ξ +.+ a m ξ m = (.6.) a i ξ + a i ξ +.+ a im ξ m = a n ξ + a n ξ +.+ a nm ξ m = Este uşor de văzut că dacă y = η u + η u + + η m u m este un alt vector din V, atunci (ξ + η, ξ + η,, ξ m + η m ) este tot o soluţie a sistemului (.6.). Deci x + y V. Analog se arată că αx V, oricare ar fi α K şi V este un subspaţiu vectorial, conform Definiţiei.6.. Considerăm matricea A=(a ij ) i =..n, j =,..m a sistemului. Presupunem că (eventual în urma unei renumerotări) un minor nenul de ordinul r ce dă

5 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială rangul matricei A se află la intersecţia primelor r linii şi r coloane ale acesteia. Atunci ξ,, ξ r sunt variabile principale iar restul vor fi secundare. Sistemul din care eliminăm ecuaţiile secundare se scrie a ξ + a ξ +.+ a r ξ r = - a r+ ξ r+ - - a m ξ m.. a i ξ + a i ξ +.+ a ir ξ r = - a ir+ ξ r+ - - a im ξ m.. a r ξ + a r ξ +.+ a rr ξ r = - a rr+ ξ r+ - - a rm ξ m. Fiind un sistem compatibil determinat în necunoscutele ξ,, ξ r se va determina ξ = b ξ r+ + + b m-r ξ m,,ξ i = b i ξ r+ + + b im-r ξ m,, ξ r = b r ξ r+ + + b rm-r ξ m. Atunci vectorul x se scrie x = (b ξ r+ + + b m-r ξ m )u + + (b i ξ r+ + + b im-r ξ m )u i + +( b r ξ r+ + + b rm-r ξ m )u r + ξ r+ u r+ +.+ ξ m u m. Avem x = ξ r+ (b u + + b i u i + + b r u r + u r+ ) + + ξ r+j (b j u + + b ij u i + + b rj u r + u r+j ) + + ξ m (b m-r u + + b im-r u i + + b rm-r u r + u m ). Notăm v j = b j u + + b ij u i + + b rj u r + u r+j, j =,, m-r şi observăm că S ={v j, j =,, m-r} este un sistem de generatori pentru V. Pentru a termina demonstraţia este suficient să arătăm că S este sistem liniar independent. Fie α v + +α j v j + +α m-r v m-r = combinaţie nulă formată cu vectorii mulţimii S. Avem α (b u + + b i u i + + b r u r + u r+ ) + + α j (b j u + + b ij u i + + b rj u r + u r+j ) + + α m-r (b m-r u + + b im-r u i + + b rm-r u r + u m ) =. Rearanjând termenii obţinem (α b + + α j b j + + α m-r b rm-r )u + + (α b i + + α j b ij + +α m-r b im-r )u i o

6 Spaţii vectoriale finit dimensionale (α b r + + α j b rj + +α m-r b rm-r )u r + + α u r+ +.+ α j u r+j + α m-r u m =. Ţinând cont de faptul că B este, în particular, sistem liniar independent, deducem că α = α = = α m-r =. De aici rezultă că S este sistem liniar independent şi fiind şi sistem de generatori pentru V este bază. Dimensiunea subspaţiului vectorial V este egală cu numărul vectorilor din S, adică cu m - r. Definiţia.6.3 Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n şi V un subspaţiu al său de dimensiune m < n şi x V, x V fixat. Mulţimea vectorilor de forma x = x + z, z V se numeşte varietate liniară. Se observă că o varietate liniară nu este un subspaţiu vectorial deoarece nu conţine vectorul nul al spaţiului..7 Intersecţii şi sume de subspaţii vectoriale Fie V şi V două subspaţii vectoriale ale aceluiaşi K - spaţiu vectorial V. Definiţia.7. Intersecţia subspaţiilor V şi V este mulţimea I formată din vectorii comuni celor două subspaţii: x I dacă şi numai dacă x V şi x V. Definiţia.7. Suma subspaţiilor V şi V este mulţimea S a vectorilor de forma x = x + x, x V, x V, adică S = {x V, x = x + x, x V, x V }. Facem observaţia că pentru intersecţia, respectiv suma subspaţiilor vectoriale V şi V se mai foloseşte şi notaţia V V, respectiv V + V.

7 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Teorema.7. Dacă V şi V sunt două subspaţii vectoriale ale aceluiaşi K -spaţiu vectorial V, atunci intersecţia acestora, V V, şi suma lor, V + V, sunt subspaţii vectoriale ale lui V. Demonstraţie. Pentru început demonstrăm că intersecţia V V este subspaţiu vectorial. Fie x, y V V şi α K. Atunci, conform Definiţiei.7., x, y V şi x, y V. Deci x + y V, x + y V, αx V şi αx V. De aici rezultă că x + y, αx V V. Aplicăm Definiţia.6. şi deducem că V V este subspaţiu vectorial al lui V. Acum vom demonstra că V + V este subspaţiu vectorial. Fie x, y V + V şi α K. Din Definiţia.7. rezultă că există x, y V şi x, y V astfel încât x = x + x şi respectiv y = y + y. Se observă că x + y = x + x + y + y = x + y + x + y, şi cum x + y V iar x + y V ( V şi V fiind subspaţii vectoriale), deducem că x + y V + V. Mai trebuie să arătăm că αx V + V şi demonstraţia este încheiată. Avem αx = α( x + x ) = αx + αx, conform axiomei d) din definiţia spaţiului vectorial. Deoarece αx V iar αx V, este clar că αx V + V. Observaţia.7. Dacă V + V este suma subspaţiilor vectoriale V şi V atunci se poate spune că V + V este "cel mai mic subspaţiu" care le conţine. Altfel spus, dacă S este un alt subspaţiu al spaţiului V astfel încât V S, V S, atunci V + V S. Pe de altă parte subspaţiul intersecţie este "cel mai mare " subspaţiu inclus în cele două subspaţii în sensul că dacă I este un alt subspaţiu astfel încât I V şi I V 5

8 Spaţii vectoriale finit dimensionale atunci I V V. Între subspaţiile sumă şi intersecţie există următoarea relaţie: V V V + V. Observaţia.7. Noţiunea de sumă a subspaţiilor vectoriale se poate extinde la un număr n de subspaţii V, V,, V n ale spaţiului vectorial V astfel: "Submulţimea S (notată şi V + V + + V n ) a lui V, definită prin S = {x V, există x i V i, i =,,n astfel încât x = x + x + + x n }, se numeşte suma subspaţiilor V, V,, V n." În acelaşi mod ca şi în cazul n = se poate demonstra că S este un subspaţiu vectorial al lui V. Observaţia.7.3 Scrierea unui vector x V + V ca o sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V nu este neapărat unică. De exemplu, dacă V V (), atunci există y V V, y. Dacă x = x + x, atunci luăm y = x - y V şi y = x - y V şi observăm că x = y + y. În mod clar y x, y x şi astfel am obţinut două scrieri diferite ale lui x ca sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V. Definiţia.7.3 Spunem că suma S a subspaţiilor vectoriale V şi V este directă dacă şi numai dacă orice vector x S se scrie în mod unic ca o sumă de doi vectori unul din V şi unul din V. În acest caz vom nota S = V V. Observaţia.7. Ca şi în Observaţia.7., definiţia de mai sus poate fi extinsă la cazul a n subspaţii vectoriale: "Spunem că suma S a subspaţiilor vectoriale V, V,, V n este directă dacă şi numai dacă orice vector x S se scrie în mod unic ca o sumă de vectori din V i, i =,,n. Vom folosi notaţia S = V V V n " 6

9 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Teorema de mai jos furnizează condiţii necesare şi sufieciente pentru ca suma a două subspaţii vectoriale să fie directă. Teorema.7. Fie V şi V două subspaţii vectoriale ale spaţiului V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: ) S = V V ; ) I = (). Demonstraţie. " ) )". Presupunem prin absurd că I (). Folosind raţionamentul din Observaţia.7.3, rezultă că scrierea lui x ca o sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V nu este unică, ceea ce contrazice ipoteza. Deci presupunerea făcută este falsă şi I = (). " ) )" Fie x S şi x = x + x = y + y, x, y V, x, y V două scrieri ale lui x ca sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V. Observăm că x - y = y - x = y şi, folosind proprietăţile subspaţiilor vectoriale V şi V, rezultă că y V şi y V. Deci y I = (). În consecinţă, x = y, x = y, adică scrierea lui x ca sumă de doi vectori, unul din V şi altul din V este unică. Din Definiţia.7.3 rezultă concluzia. Teorema.7.3 Dacă B = {u, u,,u p }, respectiv B = {v, v,,v k }, sunt baze în subspaţiile V, respectiv V, iar V V = () atunci B B este o bază în V V. Demonstraţie. Este uşor de văzut că, în general, dacă G, G sunt sisteme de generatori pentru V şi V atunci G G este sistem de generatori pentru V + V. De aici se deduce că într-adevăr B B este sistem de generatori pentru V V. 7

10 Spaţii vectoriale finit dimensionale Pentru a termina demonstraţia este suficient să arătăm că B B este sistem liniar independent. Dacă α u + α u +.+ α p u p + β v + β v + + β k v k = este o combinaţie nulă formată cu vectorii familiei B B atunci α u + α u +.+ α p u p = - β v - β v - - β k v k V V = (). De aici obţinem α u + α u +.+ α p u p =, β v + β v + + β k v k = şi, ţinând cont că B şi B sunt în particular sisteme liniar independente, rezultă α = α = = α p = β = β = = β k =. Am obţinut concluzia. Teorema.7. Dacă V este un subspaţiu vectorial al K-spaţiului vectorial V, atunci există în V un subspaţiu vectorial V astfel încât V = V V. V se va numi subspaţiul complementar al lui V în V sau complementul algebric al lui V. Demonstraţie. Fie B = {u, u,,u p } o bază în V. Deoarece B este familie liniar independentă în V, atunci ea poate fi extinsă la o bază în V (vezi Teorema.3.3). Fie acum B = { u, u,,u p,v, v,, v k } o bază în V, p + k = n, şi fie V subspaţiul vectorial generat de familia { v, v,, v k }. Vom demonstra că V este un subspaţiu care satisface cerinţele din teoremă. Din modul de construcţie al lui V, rezultă imediat că V = V + V. Mai trebuie să arătăm că suma este directă. Fie y V V. Atunci există α, α,, α p şi β, β,, β k scalari din K astfel încât y = α u + α u +.+ α p u p = β v + β v + + β k v k. De aici obţinem α u + α u +.+ α p u p - β v - β v - - β k v k = şi α = α = = α p = β = β = = β k =, 8

11 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială căci B este bază (în particular, sistem liniar independent). Deci y =, de unde V V = (). Conform Teoremei.7., suma subspaţiilor V şi V este directă. Observaţia.7.5 Subspaţiul complementar nu este unic determinat deoarece, conform demonstraţiei de mai sus, completarea unei baze din V la o bază în V se poate realiza într-o infinitate de moduri. Însă dimensiunea subspaţiul complementar este unic determinată, fiind egală cu diferenţa dintre dimensiunea spaţiului V şi cea a subspaţiului V. Teorema.7.5 (Grassmann) Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi V, V două subspaţii ale sale. Atunci dim K (V +V ) + dim K (V V ) = dim K V + dim K V. Demonstraţie. Fie B = {u, u,,u p } o bază în I = V V. Deoarece I V şi I V, vom extinde această bază, conform Teoremei.3.3, la câte o bază în V şi respectiv V, obţinând bazele B = {u, u,,u p, f p+, f p+,,f p+r } şi respectiv B = { u, u,, u p, v p+, v p+,, v p+k }. Vom arăta că B = {u, u,,u p, f p+, f p+,,f p+r, v p+, v p+,,v p+k } este o bază în V + V. Raţionănd ca în demonstraţia Teoremei.7.3, rezultă că B este un sistem de generatori pentru V + V. Trebuie să mai arătăm că B este sistem liniar independent. Facem o combinaţie liniară nulă cu vectorii familiei B şi cu scalari din K. Avem (.7.) α u + α u +.+ α p u p + β v p+ + β v p+ + + β k v p+k + γ f p+ + γ f p+ + + γ r f p+r =. Deci α u + α u +.+ α p u p + β v p+ + β v p+ + + β k v p+k = - γ f p+ - γ f p+ - - γ r f p+r = not z V V. De aici şi din faptul că B este bază în V V rezultă că z se scrie în mod unic ca o combinaţie de vectori ai familiei B. 9

12 Spaţii vectoriale finit dimensionale Deci există scalarii ζ i, i =,,p astfel încât z = ζ u + ζ u +.+ ζ p u p. Din ultimele două relaţii, rezultă că ζ u + ζ u +.+ ζ p u p = α u + α u +.+ α p u p + β v p+ + β v p+ + +β k v p+k. Deoarece vectorul z V are coordonate unice în baza B, deducem că β = β = = β k = şi α i = ζ i, oricare ar fi i =,.., p. Înlocuind valorile β i, i =,,k găsite mai sus în relaţia (.7.) şi ţinând cont de faptul că B este sistem liniar independent, deducem că α i =, i =,, p şi γ i =, i =,, r. Astfel am demonstrat că toţi coeficienţii din relaţia (.7.) sunt nuli, deci B este sistem liniar independent. Demonstraţia a fost încheiată. Exemplul.7. Se consideră subspaţiile V şi V ale spaţiului R 5 generate de familiile de vectori G = {x = (,,, 3, ), x = (-,,,, )} şi respectiv G = {y = (,,, -, ), y = (-,,,, ), y 3 = (,,,, )}. Să se găsească câte o bază pentru spaţiile sumă şi respectiv intersecţie, dacă aceste sunt nenule. În ceea ce priveşte spaţiul sumă, V + V, ştim că acesta este generat de G G, deci V + V = {x V, x = α x + α x + β y + β y + β 3 y 3, α i, β j R, i =,, j =,, 3}. Pentru a găsi o bază este suficient să determinăm o subfamilie maximală de vectori liniar independenţi a lui G G, aşa cum rezultă din demonstraţia Teoremei.3.. Aplicând succesiv Lema substituţiei, vom înlocui vectorii din baza canonică cu vectori ai familiei G G atât timp cât este posibil, adică atât timp cât există vectori din G G, care nu au intrat încă în componenţa bazei, şi care au coordonate nenule în liniile corespunzătoare vectorilor din baza canonică, ce nu au fost încă 5

13 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială eliminaţi. Dacă această condiţie nu mai este satisfăcută, atunci este clar că vectorii din G G care nu au intrat în componenţa bazei sunt combinaţii liniare de vectorii din G G care au intrat. Deci acei vectori intraţi în bază sunt sistem de generatori pentru G G ; fiind şi sistem liniar independent, formează o bază pentru V + V. Tabelul.7. B x x y y y 3 B x x y y y 3 E - - x E E - E 3 x E 3 - E -3 E 5 y 3 - B x x y y y 3 B x x y y y 3 x - - x E E - E 3 - x E - - y E 5 - y 3 B x x y y y 3 B x x y y y 3 x x E - - y x - x E -5 y E 5 - y 3 Analizând tabelul de mai sus, rezultă că G G formează o bază, deci subspaţiul V + V are dimensiunea 5. Din Observaţia.6., deducem că V + V coincide cu R 5. Tot din tabelul de mai sus deducem că G şi G sunt familii liniar independente, deci sunt baze pentru spaţiile generate V şi V. Astfel dim R V = şi dim R V =3. Aplicând teorema lui Grassmann avem dim R (V V ) = dim R V + dim R V - dim R (V +V ) =. Deci V V = (). 5

14 Spaţii vectoriale finit dimensionale.8 Exerciţii. Fie K un corp de caracteristică şi V = K x K. Să se verifice dacă V împreună cu operaţiile (x, x ) + (y, y ) = (x + y, x + y ), (x, x ), (y, y ) K x K α(x, x ) = (αx, ), α K are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K. R: Nu, deoarece nu este verificată axioma a) din Definiţia..3.( (x, x ) = (x, ) (x, x )).. Considerăm mulţimea R împreună cu operaţiile (x, x, x 3, x ) + (y, y, y 3, y ) = (x + y, x + y, x 3 + y 3, x + y ), α(x, x, x 3, x ) = (αx, αx, αx 3, αx ), α R. Să se verifice dacă aceasta are o structură de spaţiu vectorial peste corpul R. R: Nu, deoarece operaţia "+" nu este comutativă. 3. Fie mulţimea R pentru care definim operaţiile (x, x ) + (y, y ) = (x + y, x + y ), (x, x ), (y, y ) R α(x, x ) = (αx, αx ), α R. Să se studieze dacă R este spaţiu vectorial real. R: Nu, deoarece operaţia "+" nu are element neutru.. Să se demonstreze că mulţimea matricelor cu n linii şi m coloane şi elemente reale, M nm (R), împreună cu operaţiile de adunare a matricelor şi înmulţire a acestora cu numere reale are o structură de spaţiu vectorial real. Să se determine o bază a acestui spaţiu. 5

15 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială R: Se verifică axiomele Definiţiei..3. Definim matricele E i,j M nm (R) astfel E i,j =. i j Familia B = { E i,j, i =,, n, j =,,m} este o bază în. M nm (R). 5. Să se stabilească dacă familiile de vectori de mai jos sunt liniar independente în spaţiile vectoriale corespunzătoare. a) {A =, B =, C = } în spaţiul vectorial real M 3 (R). b) {x = (-,,, 3), x = (,,, 3), x 3 = (, -,, 3)} în R. c) {p = t + t +, p = t +, p 3 = t + t + } în spaţiul P(t) al polinoamelor de orice grad, în nedeterminata t şi cu coeficienţi reali (vezi Exemplul..5). d) {y = (, i,, ), y = (,, + i, 3), y 3 = ( + i,,, )} în spaţiul vectorial complex C. R: a) Nu. b) Da. c) Nu. d) Da. 6. Să se demonstreze că mulţimea numerelor complexe dotată cu operaţiile de adunare a numerelor complexe şi înmulţire a numerelor reale cu numere complexe are o structură de spaţiu vectorial real. Indicaţie: Se verifică axiomele din Definiţia Să se calculeze dim C C şi respectiv dim R C. 53

16 Spaţii vectoriale finit dimensionale R: Se observă că {} este o bază în spaţiul vectorial C considerat peste el însuşi în timp ce {, i} este o bază în spaţiul vectorial C considerat peste corpul numerelor reale. Deci dim C C = iar dim R C =. 8. Să se demonstreze că B = {u = (,,,, ), u = (,,,, ), u 3 = (3,,,, ), u = (,,,, ), u 5 = (,,,, )} şi respectiv B = {v = (,,,, ), v = (,,,, ), v 3 = (,,,, ), v = (,,,, ), v 5 = (,,,, )} sunt baze în R 5 şi să se determine matricea de trecere de la baza B la baza B. Dacă (,,,, ) sunt coordonatele unui vector x în baza B să se determine coordonatele acestuia în baza B. R: Fie E, E,,E 5 o bază canonică în R 5. Aplicând Lema substituţiei obţinem: B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 E 3 E E 3 E E 5 B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u 3 E E 3 E E 5 B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u - - E - - u E E 5 B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u E - - u - u 3 E 5 5

17 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială 55 B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u - 7 E u - u 3 - u B u u u 3 u u 5 v v v 3 v v 5 u - u u - u 3 - u Matricea de trecere este A = 3. Coordonatele vectorului x în baza B se determină folosind formula (..). Avem 5 3 ξ ξ ξ ξ ξ = 3/ 3/ 3/ / / / 3/ / 3/ / / / / / / / / / / / 3/ 3/ /, 5 3 ξ ξ ξ ξ ξ = 9 / 7 / 3/ 5 / /. 9. Să se determine subspaţiile generate de următoarele familii de vectori. Să se găsească câte o bază în aceste subspaţii şi să se precizeze dimensiunea lor. a) G = {p = t + t +, p = t +, p 3 = t 3 } P(t), b) G = {A =, B =, C =, D = } M (R)

18 Spaţii vectoriale finit dimensionale c) G 3 = {x = (, -,, 3), x = (,,, ), x 3 = (,, -, ), x = (,,, )} R. d) G = {y = (, i, ), y = ( + i,, ), y 3 = (, i, )} C 3, unde C 3 este considerat spaţiu vectorial real. R: a) Familia G este liniar independentă, deci este bază pentru spaţiul generat G. Avem G = {αt 3 + βt + (β + γ)t + β + γ, α, β, γ R}, iar dim R G = 3. b) Se constată că familia G este liniar independentă, fiind la rândul ei bază pentru spaţiul generat G. Deoarece dim R G = = dim R M (R), deducem că G = M (R), conform Observaţiei.6.. c) Rangul matricei care pe coloane componentele vectorilor din familia G 3 este. Atunci rezultă, conform Propoziţiei.., că familia G 3 este liniar independentă şi deci este bază în G 3. Ca şi în cazul punctului b) se deduce că G 3 = R. d) Deoarece relaţia αy + βy + γy 3 = este echivalentă cu sistemul β =, α + γ =, care are şi alte soluţii în afara soluţiei nule, rezultă că familia G este liniar dependentă. Se observă că {y, y } este sistem liniar independent şi fiind şi sistem de generatori pentru G este o bază pentru G. Deci dim R G =, iar G = {αy + βy, α, β R}.. Se consideră familia de vectori G de la exerciţiul 9 despre care s-a demonstrat că este o bază a spaţiului vectorial real M (R). Să se arate că familia B = {A =, B =, C =, D = 3 } este de asemenea o bază pentru M (R) şi să se determine matricea de trecere de la G la B. R: Deoarece ecuaţia vectorială αa + βb + γc + δd = admite doar soluţia nulă α = β = γ = δ =, rezultă că B este un sistem liniar independent în M (R). Este uşor de văzut că acesta este şi sistem de generatori, deci este o bază pentru M (R). Elementele 56

19 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială matricei de trecere de la baza G la baza B sunt soluţiile sistemului de ecuaţii vectoriale A = m A + m B + m 3 C + m D B = m A + m B + m 3 C + m D C = m 3 A + m 3 B + m 33 C + m 3 D D = m A + m B + m 3 C + m D. Rezolvând sistemul de mai sus obţinem matricea de trecere M = (m ij ) i,j =,, = / /. / /. Să se verifice dacă mulţimile de mai jos sunt subspaţii vectoriale şi în caz afirmativ să se determine câte o bază pentru acestea. a) V = {(x, x, x 3, ), x i R, i =,, 3} R b) V = { x R 3, x = (x, x, x 3 ), x + x - x 3 + = } R 3 c) V 3 = {x R 3, x = (x, x, x 3 ), x + x - x 3 =, x - x + x 3 = } R 3 d) V = {x R, x = (x, x, x 3, x ), x + x - x =, x + x - x 3 = } R. R: a) Da, V este subspaţiu vectorial, deoarece sunt verificate condiţiile Definiţiei.6.. Dacă E = (,,, ), E = (,,, ), E 3 = (,,, ), E = (,,, ) sunt vectorii bazei canonice în R atunci este uşor de văzut că {E, E, E 3 } este o bază pentru V. b) V nu este subspaţiu vectorial. Într-adevăr dacă x, y V atunci avem x + x - x 3 + =, y + y - y 3 + = şi de aici x + y + x + y - x 3 - y 3 + =. Se observă că dacă x + y V, atunci avem x + y + x + y - x 3 - y 3 + =. Din ultimele două relaţii deducem că =, ceea ce este absurd. Deci x + y V şi având în vedere Definiţia.6. rezultă concluzia. c) V 3 este spaţiu vectorial, conform Teoremei.6.3. Rezolvând sistemul 57

20 Spaţii vectoriale finit dimensionale x + x - x 3 =, x - x + x 3 =, deducem că V 3 = {α(/3, -/3,), α R}. O bază a lui V 3 este {(/3, -/3,)}, dimensiunea lui fiind egală cu. d) Răspunsul este afirmativ, conform Teoremei.6.3. Procedând ca mai sus, deducem că V = {α(,,, ) + β(,,, ), α, β R }. Deoarece familia de vectori { e = (,,, ), e = (,,, ) } este liniar independentă, fiind în acelaşi timp sistem de generatori pentru V, rezultă că aceasta reprezintă o bază pentru V iar dim R V =.. Fie V spaţiul generat de familia F = { x = (-,,, ), x = (,,, ), x 3 = (,,, )} R şi V spaţiul generat de familia G = { y = (,,, ), y = (,, -, )} R. Să se determine subspaţiile V + V şi respectiv V V, precizând câte o bază pentru acestea precum şi pentru V şi V. R: Se cunoaşte faptul că F G este un sistem de generatori pentru V + V. Deoarece familia {x, x, y } este un sistem liniar independent maximal în F G deducem că acesta este sistem de generatori pentru F G, deci bază V + V. Dimensiunea lui V + V este egală cu 3. În acelaşi mod se poate stabili că {x, x } şi respectiv {y, y } sunt baze pentru V şi respectiv V, dimensiunile acestor subspaţii fiind egale cu. Aplicând teorema lui Grassmann se deduce că dim R V V =. Pentru a determina V V, observăm că V V = {x R, există numerele reale a, b, α, β, γ astfel încât ay + by = αx + βx + γx 3 }. Rezolvând ecuaţia vectorială încât ay + by = αx + βx + γx 3 cu necunoscutele a, b, α, β, γ, care este echivalentă cu sistemul a + b + α - β = a + b - β - γ = - b - α - β - γ =. Obţinem a = β + γ, b = β + γ, α = β + 3γ, β, γ R. Deci V V = {x R, x = (β + γ) y + (β + γ)y, β, γ R } sau V V = {x R, x = (β + γ)(3, 3, -, ), β, γ R}. Se observă că {(3, 3, -, )} este o bază pentru V V. 58

21 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială 3. Să se determine câte un complement algebric pentru fiecare din subspaţiile proprii de la exerciţiile şi. R: Ex. a). Am văzut că {E, E, E 3 } este o bază pentru V. Atunci subspaţiul vectorial generat de E este un complement algebric al lui V, conform demonstraţiei Teoremei.7.. Ex c). Deoarece {e = (/3, -/3,)} este o bază a spaţiului V 3 se observă că {e, E, E 3 }, unde E = (,, ), E 3 = (,, ), este o bază pentru R 3. Din aceleaşi motive ca cele folosite mai sus, subspaţiul generat de {E, E 3 } este un complement algebric al lui V 3. Ex. d). În spaţiul V avem baza { e = (,,, ), e = (,,, ) } care poate fi completată cu vectorii E 3, E (vectorii bazei canonice din R ) la o bază în R. Deci subspaţiul generat de {E 3, E } este un complement algebric al lui V 3. Raţionând ca mai sus se poate stabili că un subspaţiu algebric complementar al subspaţiului V R de la Exerciţiul este generat de familia {E 3, E } iar pentru subspaţiul V de la acelaşi exerciţiu putem considera subspaţiul generat de familia {E, E }.. Să se verifice dacă suma perechilor de spaţii vectoriale de mai jos este directă şi în caz afirmativ să se calculeze spaţiul sumă. a) V = {x R 5, x = (x, x, x 3, x, x 5 ), x + x - x + x 5 =, x - x + x 3 - x =, x + x - x 5 = } şi V = {(x, x, x 3, x, ), x i R, i =,, 3,} R 5. b) V = {x R, x = (x, x, x 3, x ), x + x - x 3 + x =, x - x + x 3 - x =, x - x 3 = } şi V = {x R, x = (x, x, x 3, x ), x - x 3 + x =, x - x + x = }. R: Pentru a vedea dacă suma este directă este suficient să calculăm V V şi să aplicăm Teorema.7.. a) Se observă că V = {x R 5, x = (x, x, x 3, x, x 5 ), x 5 = } 59

22 Spaţii vectoriale finit dimensionale astfel că V V este mulţimea vectorilor x = (x, x, x 3, x, x 5 ) din R 5 ale căror coordonate satisfac sistemul x + x - x + x 5 =, x - x + x 3 - x =, x + x - x 5 =, x 5 =. Acest sistem este compatibil nedeterminat, admiţând şi soluţii diferite de soluţia nulă. Deci V V () şi suma nu este directă. b) Ca şi în cazul punctului a), V V este mulţimea vectorilor x = (x, x, x 3, x ) din R ale căror coordonate satisfac sistemul x + x - x 3 + x =, x - x + x 3 - x =, x - x 3 = x - x 3 + x =, x - x + x =. Acest sistem este compatibil determinat şi admite doar soluţia nulă. Atunci V V = () şi suma este directă. Deoarece dimensiunile subspaţiilor V şi respectiv V sunt egale cu, deducem aplicând teorema lui Grassmann că dim R V V =. Deci V V = R. 5. Să se arate că suma subspaţiilor generate de familiile G = {e = (, 3,, 5), e = (,, 5, ), e = (3,, 6, 7)} şi G = {f = (,,, ), f = (,, 3, )} este directă şi egală cu întreg spaţiul. Să se determine descompunerea vectorului x = (,, 3, 7) în sumă de doi vectori, unul din G şi altul din G. R: Se demonstrează că dim R G = dim R G =. Deoarece G G este sistem de generatori pentru G + G în care avem sistemul liniar independent {e, e, f, f }, maximal (cu cel mai mare număr de vectori) putem spune că B = {e, e, f, f } este o bază pentru G + G. Deci dim R G + G =. Folosind teorema lui Grassmann deducem că dim R G G =, deci G G = () şi suma este directă. Mai mult G + G are dimensiunea egală cu şi rezultă că G + G = R. Vectorul x are coordonatele (,,, -) în baza B şi x = e + e + f - f. Atunci luăm x = e + e = (3,, 6, 7) şi x = f - f = (-, -, -3, ) şi x = x + x este descompunerea căutată. 6

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

gaussx.dvi

gaussx.dvi Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care

Mai mult

Retele Petri si Aplicatii

Retele Petri si Aplicatii Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

Algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2

Algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2 lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

Algebra si Geometri pentru Computer Science

Algebra si Geometri pentru Computer Science Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul

Mai mult

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

Notiuni de algebra booleana

Notiuni de algebra booleana Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului

Mai mult

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA  Sem. I, LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski

Mai mult

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia

Mai mult

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial Vari Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 1 Structura afină a unui spaţiu vectorial 1 11 Varietăţi liniare 1 12 Spaţiul director şi dimensiunea unei varietăţi

Mai mult

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România

Mai mult

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap

O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.

Mai mult

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,

Mai mult

Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev

Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni

Mai mult

Şcoala ………

Şcoala ……… Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei

Mai mult

PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C

PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS

Mai mult

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea

Mai mult

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0

Mai mult

Subiectul 1

Subiectul 1 Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n

Mai mult

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007 GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de

Mai mult

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.

1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. 1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =

Mai mult

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru

Mai mult

ExamView Pro - Untitled.tst

ExamView Pro - Untitled.tst Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula

Mai mult

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_ R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA

Mai mult

I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a

I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a XI a- informatică neintensiv PROFESOR: Dumitrașcu

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA

Mai mult

SECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE

SECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum

Mai mult

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s 8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} sunt sungrupuri ale lui A. Propoziţia 8.2. Considerăm

Mai mult

O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o

O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎSAN 1, Marius DĂGAN, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to obtain some refined geometric inequalities in a triangle,

Mai mult

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea   marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu

Mai mult

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018

Mai mult

Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014

Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in

Mai mult

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi

Mai mult

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea   marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și

Mai mult

Slide 1

Slide 1 BAZELE ELECTOTEHNICII BE I An I - ETTI CUS 3 Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCUA e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro CICUITE ELECTICE DE CUENT CONTINUU Teorema conservării puterilor Enunț: Puterea primită

Mai mult

ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii Preliminarii logice 3 Exerciţii la Prelimin

ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii Preliminarii logice 3 Exerciţii la Prelimin ALGEBRA PENTRU INFORMATICĂ GEORGE CIPRIAN MODOI Cuprins Bibliografie 2 1. Mulţimi, Funcţii, Relaţii 3 1.1. Preliminarii logice 3 Exerciţii la Preliminarii logice 3 1.2. Mulţimi 3 Operaţii cu mulţimi 4

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

matematica

matematica MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x 1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima

Mai mult

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea   marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de

Mai mult

Microsoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc

Microsoft Word - V_4_Inmultirea_nr_nat.doc 3 Înmulţirea numerelor naturale De acum, pentru înmulţire vom folosi semnul în loc de Ex În loc de 32 9 vom scrie 32 9 Dacă a şi b sunt două numere naturale, prin produsul lor vom înţelege a b Ex a) Produsul

Mai mult

Retele Petri si Aplicatii

Retele Petri si Aplicatii Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2019) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3

Mai mult

Microsoft Word - a5+s1-5.doc

Microsoft Word - a5+s1-5.doc Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr

Mai mult

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA

Mai mult

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

CLP_UTCN-grila-2012.dvi Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera

Mai mult

Laborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d

Laborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi

Mai mult

Microsoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc

Microsoft Word - FiltrareaNyquist-rezumat.doc Filtrarea semnalelor de date Necesitate - unul din efectele limitării benzii unui impuls rectangular de perioadă T s, datorită filtrării, este extinderea sa în timp, care conduce la apariţia interferenţei

Mai mult

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx

Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.

Mai mult

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:

Mai mult

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele

Mai mult

Microsoft Word - _arbori.docx

Microsoft Word - _arbori.docx ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI

FIŞA DISCIPLINEI FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să

Mai mult

Diapositive 1

Diapositive 1 Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

I. INTRODUCERE 1. Necesitatea studiului logicii Teodor DIMA În activitatea noastră zilnică, atunci când învăţăm, când încercăm să fundamentăm o părere

I. INTRODUCERE 1. Necesitatea studiului logicii Teodor DIMA În activitatea noastră zilnică, atunci când învăţăm, când încercăm să fundamentăm o părere I. INTRODUCERE 1. Necesitatea studiului logicii Teodor DIMA În activitatea noastră zilnică, atunci când învăţăm, când încercăm să fundamentăm o părere proprie sau o idee, când comunicăm anumite impresii

Mai mult

Microsoft Word - matem_aplicate in Economie aa FD Bala.doc

Microsoft Word - matem_aplicate in Economie aa FD Bala.doc FIŞA DISCIPLINEI ANUL UNIVERSITAR 05-06. DATE DESPRE PROGRAM. Instituţia de învăţământ superior UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA. Facultatea Economie și Administrarea Afacerilor.3 Departamentul Management, Marketing

Mai mult

Secţiunea 5-6 avansaţi PROBLEMA 1 Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE 100 puncte NR Un număr natural nenul V care se plictisea singur,

Secţiunea 5-6 avansaţi PROBLEMA 1 Concurs online de informatică Categoria PROGRAMARE 100 puncte NR Un număr natural nenul V care se plictisea singur, PROBLEMA 1 NR Un număr natural nenul V care se plictisea singur, și-a căutat în prima zi cel mai mare divizor al său mai mic decât el și l-a scăzut din valoarea sa. Numărul rămas, plictisit și el, și-a

Mai mult