1 2 1
|
|
- Corvin Albu
- 5 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 1 2 1
2 3 PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MA- TEMATICĂ 3.1 SPAŢIU PROBABILISTIC, DEFINIŢII, PROPRIE- TĂŢI Teoria probabilităţilor este analiza matematică a noţiunii de experienţă aleatoare (sau aleatorie, întâmplătoare, lat. aleatorius < alea - zar). Noţiunile de bază ale statisticii şi calculului probabilităţilor s-au format şi au circulat din cele mai vechi timpuri, le întâlnim la vechii egipteni care măsurau terenurile agricole, evaluau recoltele, etc. Calculul probabilităţilor s-a născut în secolul al XVII-lea, ca o modelare matematică a şansei, ca o ştiinţă a jocului de noroc. Noţiunile fundamentale ale acestei teoriei probabilităţilor sunt cele de eveniment şi de probabilitate. Prin formalizarea acestor noţiuni se ajunge la modelul teoretic bazat pe teoria mulţimilor propus de Kolmogorov în Fie o experienţă aleatoare oarecare. Rezultatul experienţei nu poate fi determinat decât în urma realizării experienţei. Fie Ω = {ω} mulţimea tuturor rezultatelor posibile în experienţa dată şi A un eveniment oarecare legat de experienţa considerată, adică producerea sau neproducerea unui fenomen legat de experienţa considerată. Putem spune că eveninentul A a avut loc sau nu a avut loc, numai în urma realizării experienţei. De aceea, evenimentul A poate fi identificat cu o mulţime de rezultate ω- rezultatele favorabile realizării sale- adică evenimentul A poate fi identificat cu o submulţime a lui. Elementele se pot numi atunci evenimente elementare. În acest fel operaţiile de reuniune, intersecţie, complementare (negare, trecere la contrariu) a evenimentelor coincid cu operaţiile corespunzătoare asupra mulţimilor şi deci mulţimea evenimentelor care ne vor interesa 2
3 trebuie să fie închisă (stabilă) în raport cu aceste operaţii. Probabilitatea este o funcţie numerică definită pe mulţimea evenimentelor, funcţie ale cărei proprietăţi trebuie să fie asemănătoare celor ale frecvenţei de realizare a evenimentului. Definiţia 3.1. Fie Ω = {ω} mulţimea rezultatelor posibile întro experienţă aleatoare. Fie S o mulţime de părţi ale lui Ω care formează în raport cu operaţiile obişnuite cu mulţimi o σ- algebră, adică are proprietăţile: (i) Ω S; mulţimea tuturor rezultatelor posibile face parte din S; (ii) A, B S A\B S; odată cu două mulţimi Sconţine şi diferenţa lor; (iii) A i S, i = 1, 2,... A i S; orice reuniune de mulţimi din S este din S. Mulţimea S se numeşte mulţimea evenimentelor legate de experienţa considerată. Din definiţia dată rezultă că mulţimea S a evenimentelor este închisă în raport cu operaţiile de reuniune, intersecţie, diferenţa şi complementară. Evenimentul Ω se numeşte evenimentul sigur; evenimentul se numeşte evenimentul imposibil; evenimentul A\B se numeşte diferenţa evenimentelor A şi B; evenimentul C A = Ω\A se numeşte evenimentul contrariu al lui A; etc. Evenimentele A şi B se numesc incompatibile dacă nu se pot realiza în acelaşi timp, adică dacă A B =. Orice eveniment şi contrariul său sunt evenimente incompatibile. Un eveniment se numeşte compus dacă el este reuniunea 3
4 a altor două evenimente diferite de el. Evenimentele elementare ω sunt diferite de evenimentul imposibil şi nu sunt compuse. Cunoaşterea evenimentelor numai ca apartenenţă la categoria de a fi întâmplătoare nu este o informaţie suficientă pentru pătrunderea fenomenelor ce le modelează. Avem nevoie de legi de desfăşurare a fenomenelor, de cunoaşterea gradului (a şansei) de realizare ale diferitelor evenimente. Sunt obiect de studiu al teoriei probabilităţilor şi al statisticii matematice, numai experienţele care posedă proprietatea de stabilitate a frecvenţelor de apariţie a evenimentelor asociate, adică acelea care pot oferi posibilităţi de formulare a legilor obiective după care se desfăşoară şi o prognoză privind evoluţia lor viitoare. Datorită caracterului complex al categoriei de probabilitate ca măsură a gradului de realizare a evenimentelor, evoluţia acestuia a parcurs un drum foarte lung de la metoda empirică (statistică) până la cea axiomatică. La elucidarea ei şi-au adus contribuţia matematicieni de seamă ca: Fermat, Pascal, Borel, Kolmogorov, Onucescu şi alţii. Noţiunea de probabilitate a fost extrasă din noţiunea de frecvenţă. Definiţia 3.2. O funcţie p : S R + se numeşte probabilitate pe mulţimea evenimentelor dacă are următoarele proprietăţi: (i) p(ω) = 1; (evenimentul sigur are probabilitatea egală cu unitatea); (i) dacă A i S, i = 1, 2,..., sunt evenimente incompatibile două câte două A i A j =, i j = 1, 2,... atunci ( ) p A i = p(a i ); (proprietatea de aditivitate numărabilă). 4
5 Dacă evenimentele sunt incompatibile două câte două A i A j, i j = 1, 2,..., vom scrie A i în loc de A i ; la fel în cazul finit. Definiţia 3.3. Un triplet (Ω, S, p) se numeşte spaţiu probabilistic (de probabilitate). Obiectul studiului teoriei probabilităţilor este spaţiul probabilistic. Exemplul 3.1. Fie într-o experienţă aleatoare mulţimea evenimentelor elementare Ω = ω 1, ω 2,..., ω N şi fie mulţimea evenimentelor S = P (Ω), mulţimea părţilor lui Ω. Fie p(ω k ) = 1 N, k = 1, 2,..., N, adică evenimentele elementare sunt egal posibile. Atunci pentru un eveniment A oarecare legat de experienţă p(a) = r N = nr.rezultatelor favorabile nr.rezultatelor posibile, unde r = A este numărul evenimentelor elementare care compun pe A (rezultatele favorabile lui A). Tripletul (Ω, S, p) este spaţiul probabilistic al modelului clasic al lui Laplace al teoriei probabilităţilor. În cazul particular al experienţei aruncării unui zar, N = 6 şi ω i = i, i = 1, 2,..., 6 este evenimentul apariţiei feţei i. În cazul experienţei aruncării de n ori a unei monede, mulţimea evenimentelor elementare este de forma ω = (ε 1, ε 2,..., ε n ) unde ε i = 0 sau 1 după cum la a i-a aruncare a ieşit faţa cu stema sau faţa cu valoarea. În acest caz N = 2 n. Evenimentul care constă în apariţia de k ori a feţei cu valoarea este A = {(ε 1, ε 2,..., ε n ) ε 1 + ε ε n = k}. Atunci A = C n k, p(a) = Cn k 2 n. 5
6 Din definiţiile date rezultă uşor că într-un spaţiu probabilistic au loc următoarele proprietăţi: (i) p(ca) = 1 p(a); (proprietatea probabilităţii evenimentului contrar); (ii) A B p(a) p(b); (probabilitatea este funcţie crescătoare); (iii) 0 p(a) 1; (probabilitatea are valori pozitive cel mult egale cu unitatea); (iv) p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) sau mai general p(a 1 A 2... A n ) = = p(a i ) p(a i A j ) + p(a i A j A k )... (formula includerii şi excluderii); (v) dacă A n B adică A 1 A 2... A n A n+1...b = atunci lim n p(a n ) = p(b) (proprietatea de continuitate la dreapta a probabilităţii) (vi) dacă A n B adică A 1 A 2... A n A n+1...b = atunci lim n p(a n ) = p(b); ( proprietatea de continuitate la stânga a probabilităţii). 6 A i A i
7 Dacă A, B sunt două evenimente şi p(b) > 0 atunci raportul se numeşte probabilitatea evenimentului A p(a B) p(b) condiţionat de B şi se notează p(a B) sau p B (A). Deci adică p(a B) = p(a B) p(b) p(a B) = p(b)p(a B) = p(a)p(b A). Când p(a B) = p(a) adică dacă şi numai dacă p(anb) = p(a)p(b) evenimentele A,B se numesc independente. În general avem relaţia p(a 1 A 2... A n ) = = p(a 1 A 2... A n 1 )p(a n A 1... A n 1 ) =... = p(a 1 )p(a 2 A 1 )p(a 3 A 1 A 2 )...p(a n A 1 A 2... A n 1 ). Dacă Ω = H i se spune că evenimentele H i, i = 1, 2,..., n constituie un sistem complet de evenimente sau o desfacere a evenimentului sigur. Atunci oricare ar fi A S, A = A Ω = (A H i ) şi deci rezultă p(a) = p(h i )p(a H i ), relaţie numită formula probabilităţii totale. Cum oricare ar fi k = 1, 2,..., n, p(h h A) = p(a)p(h k A) = p(h k )p(a H k ) avem p(h k A) = p(h k)p(a H k ) n. p(h i )p(a H i ) 7
8 Aceasta este formula lui Bayes. De obicei evenimentele H k se constituie în ipoteze în care are loc evenimentul A sau cauze sub a căror acţiune are loc evenimentul A; de aceea formula se mai numeşte şi formula ipotezelor sau formula cauzelor. Probabilităţile p(h k ) sunt probabilităţi a priori, în timp ce probabilităţile p(h k A) sunt probabilităţi a posteriori. 3.2 VARIABILE ALEATOARE DEFINIŢIE, PROPRIETĂŢI În viaţa de toate zilele întâlnim frecvent mărimi care iau valori ce se schimbă sub influienţa unor factori întâmplători. Aşa sunt de exemplu numărul zilelor dintr-un an în care cade ploaia într-o anumită regiune, numărul produselor defecte dintr-un lot examinat, timpul de funcţionare fără defecţiuni al unui dispozitiv etc. Mărimile care iau valori întâmplătoare sunt legate de anumite experienţe aleatoare, iar valorile pe care le iau sunt funcţii de rezultatul experienţei. O astfel de mărime o vom numi variabilă aleatoare. Există variabile aleatoare a căror mulţime de valori este finită (variabile aleatoare simple), sau cel mult numărabila (variabile aleatoare de tip discret), precum şi variabile aleatoare care iau o mulţime nenumărabilă de valori reale, numite variabile aleatoare de tip continuu. La acestea din urmă ne interesează in general, probabilitatea ca ea să ia valori într-un anumit interval şi nu probabilitatea ca ea să ia o valoare bine determinată (de cele mai multe ori această probabilitate este nulă). Adică o variabilă aleatoare poate poate fi privită ca o corespondenţă între mulţimea rezultatelor posibile ale unei experienţe aleatoare şi mulţimea numerelor reale, pentru caracterizarea căreia trebuie 8
9 cunoscute valorile sale posibile împreună cu probabilităţile de a lua aceste valori. Acest mod de a asocia fiecărei experienţe aleatoare o funcţie, permite definirea riguroasă a noţiunii de variabilă aleatoare cu ajutorul analizei matematice. Definiţia 3.4. Fie (Ω, S, p) un spaţiu de probabilitate. O funcţie ξ : Ω R se numeşte variabilă aleatoare sau variabilă eventuală dacă pentru orice x R mulţimea {ω S ξ(ω) < x} este din σ-algebra S şi p(ω S < ξ(ω) < ) = 1. În loc de {ω S ξ(ω) < x} se scrie simplu {ξ < x}. Prima condiţie din definiţie cere să se poată defini probabilitatea evenimentului {ξ < x}; a doua condiţie cere ca funcţia ξ să fie efectiv definită pe întreaga mulţime a evenimentelor elementare Ω. Dacă A este un eveniment, variabila aleatoare definită prin relaţia { 1, ω A, I A = 0, ω / A, se numeşte indicatorul evenimentului A. (În analiză această funcţie se numeşte funcţia caracteristică a lui A, în teoria probabilităţilor prin funcţie caracteristică se va înţelege altceva). Sunt evidente relaţiile I CA = 1 I A, I A B = I A.I B, I A B = I A + I B I A B. Variabilele aleatoare ξ 1, ξ 2,..., ξ n se numesc variabile aleatoare independente dacă oricare ar fi sistemul de numere reale x 1, x 2,...,x n avem p(ξ 1 < x 1, ξ 2 < x 2,..., ξ n < x n ) = p(ξ 1 < x 1 )p(ξ 2 < x 2 )...p(ξ n < x n ). 9
10 O funcţie vectorială ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) : Ω R n ale cărei componente ξ i (i = 1, 2,..., n) sunt variabile aleatoare se numeşte variabilă aleatoare n-dimensională sau vector aleator n-dimensional. Următoarele proprietăţi ale variabilelor aleatoare sunt frecvent folosite: (i) Dacă ξ este o variabilă aleatoare şi c o constantă, atunci ξ + c, cξ, ξ, ξ 2 1, pentru ξ 0 sunt de asemenea tot ξ variabile aleatoare. (ii) Dacă {ξ n } n N este un şir convergent de variabile aleatoare, atunci şi lim n ξ n este de asemenea variabilă aleatoare. (iii) Dacă ξ, η sunt variabile aleatoare atunci {ξ > η} S, {ξ η} S, {ξ = η} S,. (iv) Dacă ξ, η sunt variabile aleatoare atunci şi ξ + η, ξ η, ξη, ξ sunt deasemenea variabile aleatoare. η FUNCŢIA DE REPARTIŢIE, DENSITATEA DE REPAR- TIŢIE În aplicaţiile practice nu lucrăm cu direct cu variabile aleatoare, ci cu legea ei de repartiţie, adică cu o funcţie care i se asociază şi care ne dă informaţii atât asupra variabilelor sale, cât şi a probabilităţilor cu care sunt luate aceste valori. În cazul variabilelor aleatoare continue sunt necesare a fi cunoscute de obicei probabilităţile evenimentelor pentru care valorile aparţin unor intervale, de exemplu sunt mai mici decât o valoare reală x. Toate acestea ne sugerează următoarea definiţie: 10
11 Definiţia 3.5. Funcţia F ξ(x) = p(ξ < x) se numeşte funcţia de repartiţie sau funcţia cumulativă a probabilităţii variabilei aleatoare ξ. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare are următoarele proprietăţi: (i) x y F ξ(x) F ξ(y) (este nedescrescătoare) (ii) p(x ξ < y) = F ξ(y) F ξ(x); (iii) F ξ( ) = F ξ( ) = lim F ξ(x) = 0, x F ξ(x) = 1. lim x (iv) p(ξ x) = 1 F ξ(x); (v) F ξ(x 0) = F ξ(x); (F ξ(x) este continuă la stânga). (vi) p(ξ x) = F ξ(x + 0); (vii) p(ξ = x) = F ξ(x + 0) F ξ(x). Funcţia de repartiţie F ξ(x) = p(ξ < x) = p fiind crescătoare pe (, ) cu valori în (0, 1) se poate vorbi de inversa sa Qξ(p) definită pe (0, 1) cu valori în (, ) astfel că Qξ(p) = x dacă F ξ(x) = p = p(ξ < x). Funcţia Qξ(p) se numeşte inversa funcţiei cumulative de probabilitate sau cuantila de ordin p. Definiţia 3.6. O variabilă aleatoare ξ se numeşte discretă dacă ea poate lua o mulţime cel mult numărabilă de valori. Dacă o variabilă aleatoare discretă ia un număr finit de valori ea se numeşte simplă. 11
12 Fie ξ o variabilă aleatoare discretă care poate lua valorile x 1, x 2,..., x n,... Fie A i = {ω Ω ξ(ω) = x i }, i = 1, 2,..., n,... Evident Ω = A 1 + A A n +..., adică evenimentele A i, i = 1, 2,... constituie un sistem complet de evenimente. Invers dacă se poate scrie Ω = A 1 + A A n +..., atunci putem defini o variabilă aleatoare discretă punând ω Ai ξ(ω) = x i. Definiţia 3.7. Prin legea de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete ξ se înţelege mulţimea perechilor (x i, p i = p(ξ = x i )), expresia p i = p(ξ = x i ) fiind densitatea de repartiţie a variabilei. Conform definiţiei variabilei aleatoare p i = 1. i Legea de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete poate fi dată fie printr-un tabel de forma: ( x1 x 2 x n ) p 1 p 2 p n fie printr-o reprezentare grafică de forma din figura de mai jos, fie printr-o reprezentare grafică în care segmentele cu săgeată de înlocuiesc prin dreptunghiuri (bare). Legea de repartiţie a indicatorului evenimentului A este ( p(a) p(a) ). Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete este F ξ(x) = p(ξ < x) = x i <x p i, 12
13 iar în cazul unei variabile aleatoare simple putem scrie 0, x x 1 p 1, x 1 < x x 2 p F ξ(x) = 1 + p 2, x 2 < x x 3... p p n 1, x n 1 < x x n 1, x n < x Ea este o funcţie scară pentru care se păstrează proprietăţile amintite mai înainte. O altă definitie a densităţii de repartiţie o putem da folosind funcţia de repartiţie: Definiţia 3.8. Fie F (x) funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare ξ. Dacă există o funcţie pozitivă ρ(x) integrabilă pe R, cu proprietatea că pentru orice x R este verificată egalitatea F (x) = x ρ(t)dt atunci ρ(x) se numeşte densitate de repartiţie sau densitate de probabilitate a variabilei aleatoare. Proprietăţi ale densităţii de repartiţie: (i) P (a ξ < b) = (ii) ρ(t)dt = 1. b a ρ(t)dt pentru orice interval [a, b) R; (iii) dacă funcţia de repartiţie F e derivabilă pa R, atunci F (x) = ρ(x), ( )x R 13
14 Reprezentând grafic densitatea de repartiţie se obţine curba de repartiţie care se numeşte curba normală şi care are forma unui clopot, numindu-se clopotul lui Gauss. Tote curbele normale au următoarele proprietăţi comune: (i) admit ca asimptotă axa abciselor; (ii) admit câte un punct de maxim; (iii) variabila aleatoare corespunzătoare este unidimensională; (vi) sunt simetrice faţă de o paralelă la axa Oy, deci toate cele trei caracteristici ale tendinţei centrale de grupare ale variabilei normale sunt egale; (v) admit două puncte de inflexiune. Funcţia de repartiţie reprezintă aria deliminată de curba de repartiţie, axa Ox a valorilor variabilei aleatoare şi dreapta paralelă cu axa densităţii de probablitate dusă prin punctul x OPERAŢII CU VARIABILE ALEATOARE SIMPLE (i) Dacă c este o constantă şi ξ este o variabilă aleatoare simplă, atunci cξ este funcţia care asociază fiecărui eveniment elementar valoarea cx i când ξ ia valoarea x i pentru acelasi eveniment elementar. Deoarece P (cξ = cx i ) = P (ξ = x i ) = f (x i ), repartiţia variabilei aleatoare cξ este (cx i, f (x i )), i = 1, n. (ii) Fie ξ şi η două variabile aleatoare simple cu repartiţiile (x i, f (x i )), i = 1, n şi respectiv (y j, g (y j )), j = 1, n. Dacă pentru un eveniment elementar ξ ia valoarea x i iar η ia valoarea y i atunci, prin definiţie, ξ + η ia valoarea x i + y i. 14
15 Dacă notăm cu h (x i, y j ) probabilitatea cu care, simultan, ξ ia valoarea x i şi η ia valoarea y i avem: h (x i, y j ) = P ({X = x i } {Y = y j }) = P (X = x i, Y = y j ), i = 1, n,j = 1, m (iii) Fie ξ şi η două variabile aleatoare simple cu repartiţiile de la punctul precedent. Prin definitie, ξη este variabila aleatoare care ia valoarea dacă şi numai dacă ξ ia valoarea şi η ia valoarea x i y i. Repartiţia variabilei aleatoare ξη este (x i y j, h (x i y j )), i = 1, n,j = 1, m SCHEMA BILEI NEREVENITE Într-o urnă sunt n bile din care n 1 de culoare a 1, n 2 de culoare a 2,..., n k de culoare a k. Se extrag succesiv m bile, fără a se pune bila extrasă înapoi şi ne interesează evenimentul se obţin m i bile de culoare a i. Avem în total Cn m este C m 1 n 1 C m 2 n 2 fi cazuri posibile. Numărul cazurilor favorabile şi prin urmare probabilitatea căutată va C m k n k C m 1 n 1 C m 2 n 2 C m k n k Cn m = Cm 1 n 1 C m 2 n 2 C m k n k C m 1+m 2 + +m k n 1 +n 2 + +n k SCHEMA BILEI REVENITE Într-o urnă sunt a bile albe şi b bile negre. Se fac n extrageri cu întoarcere, adică punând de fiecare dată bila la loc. Ne interesează evenimentul se obţin k bile albe. Experienţa este 15
16 echivalentă cu extragerea câte unei bile din n urne de aceiaşi compoziţie. Rezultatele se pot pune în corespondenţă cu funcţiile f : {1, 2,, n} {1, 2,, a+b} () fiecăriu număr i îi punem în corespondenţă bila obţinută la extragerea i) şi prin urmare avem (a + b) n cazuri posibile. Să calculăm acum numărul cazurilor favorabile evenimentelor se obţin k bile albe. Pentru început să presupunem că avem o situaţie de tipul de k ori am obţinut bile albe. În această situaţie pe cele n k locuri sunt n bile negre şi vom avea a k b n k posibilităţi de a obţine de k ori bile albe şi n k bile negre, căci fiecare extragere de k bile albe este posibilă cu fiecare extragere de n k bile negre. Dar o situaţie de tipul de k ori se obţin bile albe este posibil să apară de Cn k ori. Prin urmare în total vom avea Cna k k b n k cazuri posibile şi probabilitatea cerută este p k (n) = Ck na k b n k (a + b) m = Ck n SCHEMA LUI BERNOULLI ( a a + b ) k ( b a + b ) n k. Să presupunem că se efectuează n experienţe aleatoare independente, fiecare din ele putând avea două rezultate: succes cu probabilitatea p şi insucces cu probabilitatea q = 1 p. O asemenea schemă - de fapt, o asemenea experienţă aleatoare - se numeşte schema lui Bernoulli. Să notăm cu b n numărul succeselor în cele n experienţe. b n este o variabilă aleatoare simplă. Să notăm cu ω i, i = 1, 2,..., n variabilele aleatoare 1, dacă în a i-a experienţă a fost succes Ω i = 0, dacă în a i-a experienţă a fost insucces 16
17 Fie vectorii ω = (ω 1, ω 2,..., ω n ). Aceştia alcătuiesc evenimentele elementare, deci mulţimea Ω. Evident b n = n ω i. Cele n experienţe fiind independente avem p(ω) = p(ω 1 )p(ω 2 )...p(ω n ). Cum p(ω i = 1) = p, p(ω i = 0) = q = 1 p avem ( n ) p(b n = k) = p ω i = k = p(ω 1 )p(ω 2 )...p(ω n ) Vom nota = C k np k q n k. ω 1 +ω ω n =k p n,k = p(b n = k) = C k np k q n k. Rezultă că variabila aleatoare simplă b n are legea de repartiţie dată de tabelul ( k n q n Cnpq 1 n 1 Cnp 2 2 q n 2 Cnp k k q n k p n Definiţia 3.9. Variabila aleatoare b n discretă simplă cu valori naturale şi cu densitatea de repartiţie p n,k = p(b n = k) = Cnp k k q n k se numeşte varabilă aleatoare binomială. n Evident p n,k = 1 cum rezultă şi din relaţia 1 = (p + q) n k=0 = n Cnp k k q n k. k=0 Exemplul 3.2. Un aparat este compus din 5 elemente, fiecare putându-se defecta într-un timp dat cu probabilitatea p = 0, 1. Aparatul funcţionează normal dacă nu se defectează mai mult de 2 elemente. Care este probabilitatea ca în timpul dat aparatul să funcţioneze normal? 17 ).
18 Soluţia este p(b 5 2) = p(b 5 = 0) + p(b 5 = 1) + p(b 5 = 2) = C 5 0 0, 1 0 0, C 5 1 0, 1 1 0, C 5 2 0, 1 2 0, 9 3 = 0, Numărul cel mai probabil de realizări ale succesului în cele n experienţe din schema lui Bernoulli este apropiat de np. Fie ε > 0 un număr oarecare. Să încercăm să evaluăm probabilitatea b nn p > ε, adică probabilitatea ca modulul diferenţei între frecvenţa apariţiei succesului în cele n experienţe şi probabilitatea succesului într-o experienţă să fie mai mare ca ε. Teorema 3.1. (Legea numerelor mari sub forma lui Bernoulli). Ori care ar fi ε > 0, probabilitatea ca modulul diferenţei dintre frecvenţa de realizare a succesului în n experienţe din schema lui Bernoulli şi probabilitatea de realizare a succesului într-o experienţă să fie mai mică decât e tinde către 1 atunci când n tinde către infinit. Exemplul 3.3. Într-o localitate s-au născut într-un an 400 de copii. Probabilitatea naşterii unui băiat este egală cu probabilitatea naşterii unei fete. Să se evalueze probabilitatea ca numărul băieţilor născuţi în acel an să difere de 200 cu cel mult 20. Avem ( b 400 p( b < 20) = p < 20 ) ( ) 1 2 = =
19 Definiţia O variabilă aleatoare discretă ξ cu valori naturale cu densitatea de repartiţie pξ(ξ = k) = e aak, k = 0, 1, 2,... k! se numeşte variabilă aleatoare repartizată după legea lui Poisson a evenimentelor rare. 3.3 VALORI MEDII ALE VARIABILELOR ALEA- TOARE DISCRETE LEGEA NUMERELOR MARI SUB FORMA LUI MARKOV Definiţia Dacă ξ este o variabilă aleatoare, vom numi observaţie independentă a lui ξ orice variabilă aleatoare independentă cu aceea şi lege de repartiţie ca şi Ω. Introducem o asemenea definiţie pentru că orice observaţie rezultă din observarea variabilei Ω, contând mai mult realizarile acesteia. ( ) 1 0 Fie variabila aleatoare ξ cu repartiţia asociată unei p q experienţe. Repetând experienţa de n ori obţinem ( variabilele ) 1 0 aleatoare ξ i, i = 1, 2,..., n cu aceeaşi repartiţie. Acestea sunt observaţii independente ale variabilei Ω. Conform p q legii numerelor mari sub forma lui Bernoulli media aritmetică a rezultatelor observaţiilor independente ale lui ξ sunt oricât de apropiate de p pentru n mare cu o probabilitate oricât de apropiată de 1. De aceea este natural să numim probabilitatea p drept speranţă matematică ( sau) valoare medie a variabilei aleatoare ξ cu repartiţia. 1 0 p q 19
20 Fie acum o variabilă aleatoare simplă ξ cu legea de repartiţie ( ) x1 x 2 x m p 1 p 2 p m şi fie ξ 1, ξ 2,..., ξ n observaţii independente ale lui ξ. Dacă s n = ξ 1 + ξ ξ n atunci avem s n = N 1 x 1 + N 2 x N n x n unde N j este numărul observaţiilor al căror rezultat a fost x j, j = 1, 2,..., m. Fie ξ j i indicatorul evenimentului {rezultatul observaţiei i este x j }. ξ ( j i reprezintă ) observaţii ale variabilei 1 0 aleatoare ξ j cu repartiţia. Evident avem ξ j 1 p j 1 p + j ξ j ξj i = N j. Atunci din legea numerelor mari a lui Bernoulli avem că p ( ξ 1 + ξ ξ n n ) m x j p j ε j=1 j=1 n 0 sau trecând la evenimentul contrar ( ) ξ 1 + ξ ξ n m n p x j p j < ε 1 n Aceste relaţii constituie legea numerelor mari sub forma lui Markov VALOAREA MEDIE, PROPRIETĂŢI Din legea numerelor mari sub forma lui Markov rezultă că este natural ca suma m x j p j să se numească valoarea medie sau j=1 speranţa matematică a variabilei aleatoare ξ (expectation în engleză, esperance în franceză). Mai mult introducem următoarea 20
21 Definiţia Dacă ξ este o variabilă aleatoare discretă cu densitatea de repartiţie ( ) x1 x 2 x m, p 1 p 2 p m dacă seria x i p i este absolut convergentă atunci suma acestei serii se numeşte valoarea medie a variabilei aleatoare şi se va nota prin M(ξ). Variabila aleatoare ξ M(ξ) se numeşte abaterea variabilei aleatoare ξ. Exemplul 3.4. Dacă A este un eveniment, atunci valoarea medie a indicatorului lui A este M(I A ) = p(a). Exemplul 3.5. Fie b n variabila aleatoare binomială. Cum p(b n = k) = C k np k q n k avem M(b n ) = n kcnp k k q n k = k=0 n k=1 C k 1 n 1 npk q n k = np(p+q) n 1 = np. Exemplul 3.6. Fie ξ o variabilă aleatoare repartizată după legea evenimentelor rare cu parametrul a, adică p(ξ = k) = e aa k. Valoarea medie a acestei variabile este k! M(ξ) = e a k=0 a k k! = ae a e a = a. Valorile medii asociate variabilelor aleatoare discrete au o serie de proprietăţi. Teorema 3.2. Fie ξ o variabilă aleatoare discretă cu repartiţia p(ξ = x i ) = p i şi f(x) o funcţie definită pe mulţimea valorilor 21
22 variabilei ξ astfel încât f(x i ) p i <. Atunci M(f(ξ)) există şi M(f(ξ)) = f(x i )p i. Consecinţă: M(αξ + β) = αm(ξ) + β. Teorema 3.3. Dacă ξ şi η, sunt două variabile aleatoare discrete atunci M(ξ + η) = Mξ) + M(η). Definiţia Variabilele aleatoare discrete ξ şi η, se numesc independente dacă evenimentele ξ = x i, η = y j sunt independente oricare ar fi i, j. Analog se defineşte independenţa în totalitate a mai multor variabile aleatoare. Teorema 3.4. Dacă ξ şi η, sunt variabile aleatoare discrete independente şi cu valori medii finite atunci M(ξη) = M(ξ)M(η) MOMENTE, INEGALITĂŢILE LUI MARKOV ŞI CEBÎŞEV Definiţia Dacă ξ este o variabilă aleatoare numărul M(ξ k ) se numeşte momentul de ordin k al lui ξ, iar numărul M( ξ k ) se numeşte momentul absolut de ordin k al lui ξ. Numărul µ k (ξ) = M ( (ξ M(ξ)) k) se numeşte momentul centrat de ordin k al lui ξ, iar numărul M ( ξ M(ξ) k) se numeşte momentul absolut centrat de ordin k. În particular pentru k = 2, µ 2 (ξ) = M ( (ξ M(ξ)) 2) se numeşte dispersia sau variaţia lui ξ şi se notează şi cu D 2 (ξ) sau var(ξ). Termenul dispersie provine din cuvântul latin dispersio care înseamnă împrăştiere, răspândire. D(ξ) = D 2 (ξ) se numeşte abaterea medie pătratică a lui ξ. 22
23 Notăm relaţiile D 2 (ξ) = M(ξ 2 ) [M(ξ)] 2 D 2 (αξ + β) = α 2 D 2 (ξ). Dacă ξ 1, ξ 2,..., ξ n sunt variabile aleatoare independente atunci D 2 (ξ 1 + ξ ξ n ) = D 2 (ξ 1 ) + D 2 (ξ 2 ) D 2 (ξ n ), aceasta rezultând din definiţia dispersiei şi multiplicativitatea valorilor medii ale variabilelor aleatoare independente. Dacă ξ şi η sunt două variabile aleatoare pentru care există momentele de ordinul doi M(ξ 2 ), M(η 2 ) atunci au loc inegalitatea lui Schwarz inegalitatea lui Markov inegalitatea lui Cebîşev M(ξη) = M(ξ 2 )M(η 2 ); p ( ξ k ε ) = M ( ξ k) ε k ; p ( ξ M(ξ) ε) = D2 (ξ) ε 2. Definiţia Dacă ξ, η sunt două variabile aleatoare numărul cov(ξ, η) = E((ξ E(ξ))(η E(η))) se numeşte covariaţia celor două variabile aleatoare; numărul cor(ξ, η) = cov(ξ, η) D(ξ)D(η) se numeşte corelaţia celor două variabile aleatoare. 23
24 Totdeauna cor(ξ, η) = 1. Dacă cor(ξ, η) = 0 variabilele ξ, η se numesc necorelate. Dacă variabilele sunt independente ele sunt necorelate; invers nu este adevărat totdeauna. Exemplul 3.7. Un lot de 400 de piese, conţine 8% piese cu defecţiuni. Să se identifice legea de repartiţie a numărului ξ de piese cu defecţiuni dintr-un eşantion de 10 piese din lot. Lotul de c = 400 de piese conţine a piese defecte şi b piese bune astfel încât c = a + b, a c = 0, 08, b = 0, 92, deci a = 32, c b = 368. Un eşantion de n = 10 piese conţine k piese defecte şi n k = 10 k piese bune. Cu cele b piese bune se pot obţine C n k b = C k eşantioane de n k piese bune, cu cele a = 32 piese defecte se pot obţine Ca k = C32 k eşantioane de k piese defecte; deci există C k ac n k b = C k 32C 10 k 368 eşantioane de n = 10 piese din care k sunt defecte. Rezultă că probabilitatea ca din eşantionul de n = 10 piese k să fie defecte este p k = Ck ac n k b Ca+b n = Ck 32C k C Valoarea medie a variabilei ξ este M(ξ) = = , iar dispersia este D (ξ) = Exemplul 3.8. Într-un lac sunt N peşti. Se pescuiesc a peşti, se marchează aceşti peşti şi se aruncă în lac. În lac sunt acum b = N a peşti nemarcaţi. Se pescuiesc din nou n peşti. Din schema bilei nerevenite, probabilitatea ca printre cei n peşti să se găsească k peşti marcaţi este p N,k = Ck acn a n k. C n N 24
25 Dacă după pescuirea celor n peşti s-au pescuit într-adevăr k peşti marcaţi, avem posibilitatea să apreciemnumărul numărul total de peşti din lac N pentru că pescuirea celor k peşti marcaţi este cea mai verosimilă atunci când probabilitatea p N,k este maximă în raport cu variabila N, adică p N 1,k p N,k p N+1,k Scriind aceasta se găseşte că N este valoarea întreagă cea mai apropiată de na k. 3.4 CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABI- LELOR ALEATOARE CONTINUE Fie ξ o variabilă aleatoare continuă a cărei funcţie de repartiţie este F (x), iar densitatea de repartiţie ρ(x). Presupunem că variabila aleatoare ξ ia valori într-un interval [a, b] R. Definiţia Dacă xdf (x) este absolut convergentă, atunci definim valoarea medie a variabilei aleatoare ξ prin M(ξ) = xdf (x). În cazul în care ξ are densitatea de repartiţie ρ continuă sau continuă pe porţiuni, F este derivabilă în orice x în care ρ este continuă integrala de mai sus se reduce la M(ξ) = xρ(x)dx 25
26 şi F (x) = ρ(x). Variabila aleatoare ξ M(ξ) se numeşte abaterea variabilei aleatoare continue ξ. Pornind de la această relaţie se pot defini prin analogie cu cazul discret: Definiţia Momentul de ordin k: M(ξ k ) = x k ρ(x)dx; Momentul absolut de ordin k: M( ξ k ) = Momentul centrat de ordin k: M ( [ξ M(ξ)] k) = Dispersia: D 2 (ξ) = [x M(ξ)] k ρ(x)dx [x M(ξ)] 3 ρ(x)dx Abaterea medie pătratică: D(ξ) = D 2 (ξ). x k ρ(x)dx Proprietăţile valorilor medii şi ale dispersiei unei variabile aleatoare discrete se menţin şi în cazul variabilei aleatoare continue, dispersia dând o indicaţie asupra gradului de concentrare a valorilor unei variabile aleatoare în jurul valorii medii. 26
Modelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multLaborator 7- Distributii de probabilitate clasice Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 15.nov
Laborator 7- Distributii de probabilitate clasice Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 15.nov.2017 1 1 Preliminarii Matlabul lucreaza cu functia de repartiţie
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multUniversitatea Lucian Blaga Sibiu Facultatea de inginerie-Departamentul de calculatoare şi Inginerie Electrică Titular curs: Şef lucrări dr.mat. Po
Titular curs: Şef lucrări dr.mat. Pop N.Daniel Laborator : Şef lucrări dr.mat. Pop N.Daniel Fiecare dintre noi foloseste cuvântul probabil in limbajul curent de câteva ori pe zi, atunci când se referă
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multINDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ
Indicatori ai formei distribuţiei Atunci când valorile unei serii sunt distribuite nesimetric în jurul mediei, acest fapt este imposibil de surprins cu ajutorul indicatorilor de dispersie. S-au introdus
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multINDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ
STATISTICA DESCRIPTIVĂ observarea Obiective: organizarea sintetizarea descrierea datelor Analiza descriptivă a datelor Analiza statistică descriptivă reperezintă un tip de analiză ce servește la descrierea,
Mai multIntroducere în statistică
Tudor Călinici 2015 Diferenţierea dintre aplicaţiile descriptive şi aplicaţiile de tip inferenţial Familiarizarea cu terminologia specifică statisticii Variabila Populație statistică Eșantion Talie Bias
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multMicrosoft Word - Curs1.docx
1. REPREZENTAREA INFORMAȚIILOR ÎN CALCULATOR 1.1. CONCEPTUL DE DATĂ ȘI INFORMAȚIE Datele desemnează elementele primare, provenind din diverse surse, fără o formă organizată care să permită luarea unor
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multE_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multOPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multPerformanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
Mai multSlide 1
Logica fuzzy Precizie si realitate Paternitatea logicii fuzzy Istoric Multimi fuzzy Fuzzy vs. probabilitate Operatii cu multimi fuzzy Implementare Arduino a mf 1 / 27 Precizie si realitate Fuzzy: vag neclar
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multFIŞA UNITĂŢII DE CUR S/MODULULUI MD-2012, CHIŞINĂU, STR. 31 AUGUST, 78, TEL: FAX: , Matematica economică 1. Date d
MD-01, CHIŞINĂU, STR. 31 AUGUST, 78, TEL: 0 3-76-16 FAX: 0 3-41-87, www.utm.md Matematica economică 1. Date despre unitatea de curs/modul Facultatea Inginerie Economică și Business Catedra/departamentul
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai mult1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
Mai multPowerPoint Presentation
EXAMEN INFORMATICĂ MEDICALĂ ȘI BIOSTATISTICĂ 2017 Obiective Recapitulare materie Teme subiecte Exemple de probleme Organizare Scris Calculul notei finale Informația Sistemul binar, operații binare Cantitatea
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multMatematici aplicate științelor biologie Lab05 MV
LP05 - PREZENTAREA DATELOR STATISTICE (1) Obiective: I. Prezentarea datelor prin tabele - Întocmirea tabelului de evidenţă primară Acest tabel conţine valori de observaţie distincte x i ale caracterului
Mai multMicrosoft Word - matem_aplicate in Economie aa FD Bala.doc
FIŞA DISCIPLINEI ANUL UNIVERSITAR 05-06. DATE DESPRE PROGRAM. Instituţia de învăţământ superior UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA. Facultatea Economie și Administrarea Afacerilor.3 Departamentul Management, Marketing
Mai multAGENDA TRAINING
AGENDA TRAINING ECONOMETRIE NIVEL DE COMPLEXITATE 2 DATA, ORA SI LOCATIA Grupul ţintă este format din 20 de funcţionari publici din cadrul Comisiei Naţionale de Prognoză, Ministerului Finanţelor Publice
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multMicrosoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR
Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multMicrosoft Word - Algoritmi genetici.docx
1.1 Generalităţi Algoritmii genetici fac parte din categoria algoritmilor de calcul evoluționist și sunt inspirați de teoria lui Darwin asupra evoluției. Idea calculului evoluționist a fost introdusă în
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multMicrosoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc
Convertoare analog-numerice (ADC) Convertoarele analog-numerice sunt circuite electronice (în variantă integrată sau hibridă) care, printr-un algoritm intrinsec de funcţionare, asociază valorilor tensiunii
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Dunărea de Jos din Galaţi 1.2 Facultatea Economie şi Admin
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Dunărea de Jos din Galaţi 1.2 Facultatea Economie şi Administrarea Afacerilor 1.3 Departamentul Administrarea
Mai multALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multCapitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursu
Capitole Speciale de Informatică Curs 4: Calculul scorurilor în un sistem complet de extragere a informaţiilor 18 octombrie 2018 Reamintim că în cursul precedent am prezentat modelul de spaţiu vectorial
Mai multFIŞĂ DISCIPLINĂ 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Dunărea de Jos din Galați 1.2 Facultatea Economie și Admini
FIŞĂ DISCIPLINĂ 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Dunărea de Jos din Galați 1.2 Facultatea Economie și Administrarea Afacerilor 1.3 Departamentul Economie 1.4 Domeniul
Mai multLogică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
Mai mult2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multMicrosoft Word - Curs_08.doc
Partea a II-a. Proiectarea bazelor de date Capitolul 6. Tehnici de proiectare şi modele În capitolele precedente s-au analizat modele de baze de date şi limbaje, presupunând în cele mai multe cazuri că
Mai multPowerPoint Presentation
Electronică Analogică Redresoare Redresoare polifazate, comandate redresoarele comandate permit reglarea tensiunii şi a curentului prin sarcină. Reglajul poate fi făcut în mod continuu de la zero până
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multLucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi
Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multComplemente de Fizica I Cursul 1
Complemente de Fizică I Cursul 1 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul I. Transformări de coordonate I.1. Transformări Galilei. I.2. Spațiul E 3 al vectorilor tridimensionali.
Mai multrrs_12_2012.indd
Corelaţia dintre Produsul Intern Brut/locuitor şi Rata de ocupare a populaţiei model econometric de analiză Drd. Ligia PRODAN Academia de Studii Economice, Bucureşti Abstract Se prezintă evoluţia Ratei
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multE_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multDETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea
Mai multMicrosoft PowerPoint - 20x_.ppt
Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Facultatea de Inginerie Chimică şi Protecţia Mediului Ingineria proceselor chimice şi biologice/20 Titular disciplină: Prof.dr.ing. Maria Gavrilescu Catedra
Mai multLUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart
LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai mult