Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu

Transcriere

1 Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe N defiim dure + si imultire (dc, b N tuci bn si bn ). Pe N defiim si scdere ( b N ) umi dc b si imprtire ( : b N ) umi dc b. ) Adure pe N este: b c b socitiv: c comuttiv: b b re elemet eutru: exist 0 N stfel icit 0 0 petru orice, b, c N. b) Scdere pe N se defieste : b c stfel icit b c (de exemplu 7 2? 10 3? ). Scdere u este ici socitiv ici comuttiv. Not: Adure si scdere sut opertii de ordiul 1. c) Imultire pe N este: socitiv: comuttiv: re elemet eutru: exist Alte proprietti le imultirii: 1 N stfel icit 1 1 distributivitte ft de dure si scdere: lte prorietti: si b c si b c b 0 dc si umi dc 0su b 0 d) Imprtire exct pe N se defieste c: : b c stfel icit bc. De exemplu: 8: 2? 10:5? Imprtire exct u este ici socitiv ici comuttiv. Not: Imultire si imprtire exct sut opertii de ordiul 2. Petru orice dou umere turle si b exist lte dou umere turle q si r cu r b stfel icit (1) bq r (Petru fl q si r i (1) e gidim de cite ori se cupride b i ). q si r se umesc citul, respective restul imprtirii lui l b si relti (1) se umeste imprtire cu rest dou umere turl. 1

2 Exemplu: gseste citul si restul petru: 15 : 2 si 14 : 5. e) Ridicre l putere: Se defieste c: (2)... petru, N. Defiim de semee ori (3) 0 * 0 1petru orice N. 0 u este defiit. Di defiiti (2) obtiem urmtorele proprietti le ridicrii l putere: (4) m m m m 1 m m b b ; b (cosider m 0 i prim idetitte) m b m m Not: Ridicre l putere este o opertie de ordiul 3. Exemplu: Ex. 5 c, 6 si b (pg. 15). f) Ordie efecturii opertiilor: Itr-o expresie orecre i cre vem duri, scderi, imultiri, imprtiri, ridicri l putere dr u vem prteze: de l stig l drept efectum itii opertiile de ordiul 3, poi pe cele de ordiul 2 si l sfirsit pe cele de ordiul 1. Dc vem prteze (rotude, ptrte si ccolde) tuci efectum itii opertiile di prtezele rotude, poi opertiile di prtezele ptrte si l sfirsit cele di ccolde. Exemplu: problem 14 ) de l pgi 14 si problem 27 b) de l pgi 15. Exercitii i cls: problemele 1, 2, 4 ) si d), 5 c, 7 c, 8 ) si b), 11 ) si b) si 13 c. Tem petru cs: lege di 5 ) si d), 6 c), 11 c, 12 ) si b), 13 ) si b), 14 ) si c), 15 ), 25 ) si 27 ) si c). 2

3 2. Divizor. Multiplu. Defiitie: Fie si b dou umere turle. Spuem c b este u divizor l lui (su u fctor l lui, su c b divide ) si otm (1) b dc exist c N stfel icit (2) bc Relti (1) se pote citi si : b si se citeste este u multiplu l lui b. Deci b b. Se mi folosesc si simbolurile: (u divide) si (u este u multiplu). Exemplu: 1) 1 100, (cesti doi divizori: 1 si 100 se umesc divizori improprii) Mi stiti si lti divizori i lui 100? Citi divizori re 100? 2) 5 5, 25 5 etc Mi stiti si lti multipli i lui 5? Citi multipli re 5? Not: Petru u umr turl, umerele turle 1 si se umesc divizori improprii i lui (cesti sut tot timpul divizori i oricrui umr turl ). Ceillti divizori i lui se umesc divizori proprii. Multime tuturor divizorilor lui se otez D ; D. De exemplu: 1,2,3,4,6,12 12 Stiti cite elemete re D petru u umr dt? Multime multiplilor lui se otez M ; De exemplu M 0,12,24,36,48, Stiti cite elemete re M petru u umr * N dt? Giditi-v bie: D D M

4 Exemple i cls: Problemele 8, 12, 14, 16, 18 si 30 de l pgiile Probleme cs (tem): Problemele 1, 7, 10, 15, 17 si 21 de l pgiile

5 3. Criterii de divizibilitte: Dorim o metod usor petru determi dc u umr turl dt (de exemplu 1450, 999, 311, 47, etc) este su u divizibil (se imprte exct l) cu: 2, 3, 5, 9, 10 si 10. Criteriile de divizibilitte de mi jos se obti usor pri reprezetre zeciml umrului dt. Criteriul de divizibilitte cu 2: U umr turl este divizibil cu 2 ( 2 su 2 ) dc si umi dc ultim cifr lui este u umr pr ( 0, 2, 4, 6 su 8). De exemplu, cre di 327, 329, 450 si 348 sut divizibile cu 2 si cre u? Criteriul de divizibilitte cu 3: U umr turl este divizibil cu 3 ( 3 su 3 ) dc sum cifrelor lui se imprt exct l 3. De exemplu, cre di 327, 329, 450 si 348 sut divizibile cu 3 si cre u? Criteriul de divizibilitte cu 4: U umr turl este divizibil cu 4 ( 4 su 4 ) dc ultimele dou cifre le lui se imprt exct l 4. De exemplu, cre di 327, 329, 450 si 348 sut divizibile cu 4 si cre u? Criteriul de divizibilitte cu 5: U umr turl este divizibil cu 5 ( 5 su 5 ) dc ultim cifr lui este 0 su 5. De exemplu, cre di 327, 329, 450 si 348 sut divizibile cu 5 si cre u? Criteriul de divizibilitte cu 9: U umr turl este divizibil cu 9 ( 9 su 9 ) dc sum cifrelor lui se imprt exct l 9. De exemplu, cre di 327, 329, 450 si 348 sut divizibile cu 9 si cre u? Criteriul de divizibilitte cu 10: U umr turl este divizibil cu 10 ( 10 su 10 ) dc ultim cifr lui este 0. De exemplu, cre di 327, 329, 450 si 348 sut divizibile cu 10 si cre u? Criteriul de divizibilitte cu 10 : U umr turl este divizibil cu 10 ( 10 su 10 ) dc ultimele cifre le lui sut 0. 5

6 De exemplu, cre di 3270, 3290, 4500 si 3480 sut divizibile cu 100 si cre u? Exercitii: 1. Scrieti tote umerele turle 23x divizibile cu : ) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9 f) Determiti tote umerele turle de form: ) 3xx b) xxx si c) 25 x y cre sut divizibile cu 2 3. Determiti tote umerele turle de form ) 53x b) xxx divizibile cu ) Scrieti tote umerele turle, multipli i lui 2, cre sut solutii le iecutiei: 5x 25 b) Scrieti tote umerele turle, multipli i lui 3, cre sut solutii le iecutiei: 2x 26 Exercitii i cls: Exercitiile 7, c, e, 10,b,d, 11d, 12,c,d, 13 b, si 24 (dc e timp) de l pgiile 26, 27 si 28. Exercitii cs: Exercitiile 1, 2, 3, 4, 8, 9 si 19 (extr) de l pgiile 26 si 27. 6

7 4. Proprietti le reltiei de divizibilitte: S e mitim c b (su c b ) dc exist c N stfel icit (2) bc. Acest reltie de divizibilitte (su )re urmtorele proprietti: 1. 0 petru orice N ; 2. 1 petru orice N ; 3. petru orice N (relti de divizibilitte este reflexiv) ; 4. Dc b si b petru dou umere, b N tuci b (tisimetrie ) ; 5. Dc b si b c tuci c (trzitivitte ) 6. Dc fiecre terme l uei sume (su diferete) este divizibil cu u umr turl, tuci sum (su diferet) este divizibil cu cel umr. 7

8 Itrebre de strt: Cre sut divizorii umrului 12? ( D 12? ) Cre sut citev proprietti le reltiei? Exemple (Tem petru 4 Octombrie): 1. Problem 2 de l pgi 30: Fr clcul S, stbiliti dc cest este divizibil cu i fiecre cz : ) S si 2 b) S si 5 c) S si 3 2. Problem 3 de l pgi 30: Fr clcul P, stbiliti dc cest este divizibil cu i fiecre cz : ) P si 2 b) P si 9 si celellte subpucte : b, c, e si f. 3. Problem 4 de l pgi 30: Stbiliti vlore de devr urmtorelor propozitii: ) Dc u umr este divizibil cu 6, tuci el este divizibil si cu 2; b) Dc u umr este divizibil cu 2, tuci el este divizibil si cu 6; 8

9 c) Orice divizor l umrului 14 este si divizor l umrului 70; 4. Problem 11 de l pgi 31: Aplicd propriette de simetrie reltiei de divizibilitte: ) Determiti umrul turl stiid c 6 si c 6 este u multiplu l lui b) Clculti -b stiid c si b sut umere turle cu b si b. 5. Dc timpul permite, rezolvti si problemele 9 b si 12 de l pgi 31. 9

10 5. Numere prime si compuse: Ne mitim c divizorii lui etc. 2 sut : 1 si 2 ; 3 sut: 1 si 3 ; 4 sut 1, 2 si 4; 2 si 3 se umesc umere prime, ir 4 se umeste umr compus ; Defiitie: U umr p N este prim dc re umi doi divizori : 1 si p ; Pri urmre, u umr este prim dc re umi divizori improprii. U umr turl cre re cel puti trei divizori se umeste umr compus. Observtii: Numrul 1 u este ici prim, ici compus; 2, 3, 5 si 7 sut umere prime; 2 este sigurul umr prim pr; Folositi ciurul lui Ertostee petru gsi tote umerele prime de l 1 l 100! O metod eficiet petru determi dc u umr mi mre, c de exemplu 137, este prim su u este s il imprtim l tote umerele prime i ordie cresctore, pi cid citul devie mi mic decit imprtitorul (deci pe 137 este sufficiet s imprtim l 2, 3, 5, 7 si 11). Dc 137 u se imprte exct l ici uul di ceste umere, tuci el este prim. Exemple : 1. Problem 1 de l pgi 34: ) Utilizd ciurul lui Ertostee, gsiti tote umerele prime mi mici decit 100 ; b) Icercti s retieti cit mi multe ditre umerele flte l puctul. 2. Problem 3 de l pgi 34: Artti c: ) Numrul 109 este prim ; 10

11 b) Numrul 113 este prim ; 3. Problem 4 de l pgi 34: Scrieti multime divizorilor primi i lui: ) 48 b) Dc timpul permite, rezolvti problem 13 de l pgi 35. Tem: problem 9 de l pgi 35 11

12 5. Descompuere umerelor turle i produs de umere prime: Observtie: 1. Orice umr turl pote fi scris c u produs de umere turl prime. Acest produs se umeste descompuere umrului turl i fctori primi. 2. Observ c si c 100= =2 5 etc Exemplu 1: ) Gseste descompuere i fctori primi i lui: 560 = b) Gseste descompuere i fctori primi i lui: = Exemplu 2: ) Gseste descompuere i fctori primi si clculte umrul divizorilor turli i lui: 126 b) Gseste descompuere i fctori primi si clculte umrul divizorilor turli i lui: 648 Exercitiul 6/ p. 38: Aflti dou umere turl cosecutive l cror produs este: ) 1332 b)

13 Dc timpul permite, fcem problemele 10 si 11 de l pgi 38. Tem: problemele 1, 2, 3 (umi petru 32, 27, 170, 450 si 1350) si 4 (fr 1058) de l pgi