Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a

Transcriere

1 Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a si Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA Se repetă noţiunile teoretice: - mulţime; element; relaţia de apartenenţă - relaţii între mulţimi; submulţimi - operaţii cu mulţimi - cardinalul unei mulţimi finite Operaţii cu mulţimi. 1) Intersecţia 2) Reuniunea 3) Diferenţa A B={x/x A şi x B} A B={x/x A sau x B} A\B={x/x A şi x B} 4) Diferenţa simetrică A B=(A\B)U(B\A) 5) Produsul cartezian AXB={(a;b) / a A, b B} Ex: Fie A={x/x=2n, n N, n<5} B={y/y=6k, k N, k<3} Determinaţi: A B, A B, A\B, B\A, A B, AxB A={0,2,4,6,8} B={0,6,12} A B={0,2,4,6,8,12} A B={0,6} A\B={2,4,8} B\A={12} A B=(A\B) (B\A)={2,4,8} {12}={2,4,8,12} AxB={(0;0),(0;6),(0;12),(2;0),(2;6),(2;12),(4;0),(4;6),(4;12),(6;0);(6;6),(6;12),(8;0), (8;6),(8;12)} Proprietăţi: 1) Reuniunea, intersecţia şi diferenţa simetrică sunt comutative. A B = B A A B = B A A B = B A 2) Diferenţa şi produsul cartezian nu sunt comutative.

2 A\B B\A AxB BxA 3) Reuniunea, intersecţia şi diferenţa simetrică sunt asociative. A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 4) Reuniunea este distributivă faţă de intersecţie. A (B C) = (A B) (A C) 5) Intersecţia este distributivă faţă de reuniune. A (B C) = (A B) (A C) 6) A Ø= A A Ø=Ø A\Ø=A Ø\A=Ø Cardinalul unei mulţimi finite reprezintă numărul elementelor din acea mulţime. Se notează card A. Observaţie: Numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2 n Relaţii între cardinalul mulţimilor şi operaţii cu acestea. 1) Principiul includerii şi excluderii card (A B) = card A + card B card (A B) 2) card (A B) = card (A\B) + card (B\A) + card(a B) 3) card (A\B) = card A card (A B) 4) card (A B C) = card A + card B + card C card (A B) card (A C) card (B C) + card (A B C) EXERCIȚII PROPUSE 1. Să se determine submulțimile mulțimii {1, 2, 3, 4, 5} care îndeplinesc simultan condițiile: A B C = {1,2,3,4,5} A B C = {4} A - B = {1, 2} A C = {1, 3} 5 A B 2. Să se arate că mulțimile A și B sunt disjuncte, unde A = {n 2 + n + 7 / n Є N} și B = {n 4 + 5/ n Є N } 3. Fie A N o submulțime care îndeplinește următoarele condiții: {2; 6} A Dacă x Є A atunci 4x + 1 Є A Dacă x 2 Є A atunci 3x + 1 Є A Arătați că {10; 13; 37; 165} A 4. Să se determine numerele naturale x astfel încât mulțimile: A = {2x, 6x + 4} și B = {2x 1, 2x + 1, 5x + 6}, să aibă un singur element comun. 5. Se consideră mulțimile A = {x Є N / < x < } și B = {y Є N / < y < }

3 Determinati numărul de elemente al mulțimii A, numărul de elemente al mulțimii B și numărul de elemente al mulțimii A B. 6. Fie A = { x Є N / < x } și B = {y Є N / y < } a) Specificați cel mai mic element al mulțimii A și cel mai mare element al mulțimii B b) Stabiliți care mulțime are mai multe elemente 7. Fie A 1, A 2, A 3... submulțimi ale mulțimii numerelor naturale astfel încât: A 1 = {0, 1, 2} A 2 = {3, 4, 5, 6, 7} A 3 = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} A 4 = {15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} a) Determinați cardinalul fiecăreia dintre mulțimile A 1, A 2, A 3, A 4 b) Determinați mulțimea A 5 c) Calculați suma cardinalelor mulțimii A 1, A 2,..., A 102, A 103 d) Determinați primul element al mulțimii A 44 și justificați dacă 2007 Є A Determinați numărul submulțimilor mulțimii A ={1, 2, 3,..., 70, 71} care au suma elementelor egală cu Fie mulțimile A = { 2a a Є N}, B = { 3b b Є N}, C = { 5c - 1 c Є N} Să se determine mulțimea A B C. 10. Fie mulțimile: A = {2 0, , , ,...} B = {3 0, , , ,...} Determinați A B 11. Mulțimile A și B au ca elemente numere naturale consecutive. Dacă A B = {2008} și diferența dintre cel mai mare și cel mai mic element din A B este 2007, arătați că mulțimile nu pot avea același cardinal. 12. Dacă card (A B) = 20, card A = 16, card B = 17, să se determine card (A B), card (A\B), card (B\A), card (A B). 13. Într-o clasă sunt 30 elevi. Dintre aceştia 15 joacă fotbal, 13 baschet şi 12 volei. Se ştie că 8 elevi joacă fotbal şi baschet, 5 elevi fotbal şi volei, 7 elevi baschet şi volei, iar 3 elevi practică toate cele trei sporturi. Câţi elevi din clasă nu joacă niciunul dintre sporturile precizate? 14. Într-o şcoală sunt 1095 elevi. Fiecare participă la ceva: 51 la spectacol şi sport, dar nu în excursie, 63 doar la spectacol, 720 la excursie şi 90 doar în excursie şi la sport. În excursie şi la spectacol merg de 3 ori mai mulţi elevi decât cei de la toate activităţile şi numărul lor este egal cu al celor care merg doar la sport. Câţi elevi merg doar în excursie? 15. Se dau mulţimile: A = {x / x = 2k + 5, k N} şi B = {y / y = n 2 + n, n N}, cu elementele ordonate crescător. a) Arătaţi că 2009 A \ B b) Găsiţi cel de-al 30- lea element al mulţimii A c) Arătaţi că cele două mulţimi sunt disjuncte.

4 16. Se dă mulţimea A = {1, 2, 3,..., 101}. Să se determine câte submulţimi M ale mulţimii A, de tipul M = {a, b, c, d} au proprietatea că a + b = c + d = Fie mulţimile: M 1 = {1}, M 2 = {1; 3}, M 3= {1; 3; 6}, M 4 = {1; 3; 6; 10}, M 5 = {1; 3; 6; 10; 15},... a) Determinaţi mulţimile M 10\ M 9 b) Există n număr natural nenul astfel încât 2009 M n? c) Aflaţi numărul elementelor divizibile cu 5 din M Se consideră mulţimea A = {x N / < x < } a) Aflaţi numărul elementelor mulţimii A b) Aflaţi cel mai mic număr natural prim, mai mare decât 3, care divide suma celor mai mici 2009 elemente din mulţimea A. 19. a) Aflaţi elementele mulţimilor A = {u N u este ultima cifră a numărului x = 5n + 2, n N} B = {n N* / < < } C = {n N / N} b) Determinaţi elementele mulţimii (A B) \ (B C) c) Determinaţi card (A B C) şi card (A B C) 20. Se consideră mulţimea de numere naturale A, care îndeplineşte simultan condiţiile: a) 2 A b) dacă x A, atunci 3x + 2 A c) dacă x A, atunci x A Să se arate că {1, 4, 5, 26} A 21. Să se găsească mulţimile A şi B, care îndeplinesc simultan condiţiile: a) card A = card B = 3 b) 4 A B c) x A <=> x 2 B d) Suma elementelor mulţimii B este triplul sumei elementelor mulţimii A. 22. Determinaţi mulţimile A şi B, ştiind că satisfac simultan condiţiile: a) A B = {1; 2; 3; 4 } b) 1 A\B c) A B Ø d)b\a {2; 4} e) A\B {1; 2} 23. Să se determine mulţimile A, B şi C care îndeplinesc simultan condiţiile: a) A B C = {x x N, x < 10} b) A B = Ø c) C B d) A \ C = {1; 3; 7} e) B \ C = {5; 9} 24. Aflaţi mulţimile A,B şi C care satisfac simultan condiţiile: a) A B C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} b) A B = B C = C A = {1; 5}

5 c) A\C = {2; 6; 9} d) B\C = {3; 7; 8} 25. Găsiţi 2 mulţimi A şi B ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile: a) Mulţimea A are 4 elemente, iar mulţimea B are 3 elemente b) Elementele mulţimii A sunt numere naturale pare consecutive, iar elementele mulţimii B sunt numere naturale impare consecutive c) Cel mai mare element al mulţimii A este cu 7 unităţi mai mare decât cel mai mic element al mulţimii B d) Suma elementelor mulţimii A U B este Determinaţi mulţimile A şi B ştiind că îndeplinesc simultan condiţiile: a) A B = {a, b, c, d, e, f} b) A B = { c, d,} c) A {e,f } = Ø d) {a,b} B Ø 27. Să se determine mulţimile A şi B ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile: a) A B = {1; 2; 3; 4} b) 1 A c) {3; 4} A d) (A\B) (B\A) = {1; 4} 28. Sa se determine mulţimile A, B şi C ştiind că: a) A B C = {1; 2; 3; 4} b) A B = {2} c) A\B = Ø d) A\C = B\{3} 29. Fie a, b, c, d, e numere naturale nenule distincte două câte două, a căror sumă este egală cu 28 şi mulţimile: A = {a, b, c, d, e} şi B = {2k + 1 k N} a) Demonstraţi că A B are cel puţin două elemente b) Arătaţi că A B are cel mult patru elemente. 30. Aflaţi mulţimile X şi Y care satisfac simultan condiţiile: a) 3 X Y b) X\{1} = Y {2, 4, 5, 7} c) Y\{1; 3; 6} = X {2; 4} d) X Y {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e) Mulţimea X are cu trei elemente mai mult decât mulţimea Y. 31. Două mulţimi A şi B au acelaşi număr de elemente, numere naturale consecutive. Găsiţi cele două mulţimi, dacă suma elementelor celor două mulţimi este 170, iar suma elementelor din mulţimea A B este Determinați elementele mulțimii A = {abc aaaa = abca + acb} 33. Se consideră A = {(n m)(n + m) n,m N*, n > m} și B = { k k N*} Determinați mulțimea A B. 34. Determinați mulțimile A și B ale căror elemente sunt numere naturale nenule, cel mult egale cu 10 și care verifică simultan următoarele proprietăți:

6 i) 5 B \ A ii) Pentru orice a A există b B, astfel încât numărul 2a + b este pătrat perfect iii) Pentru orice b B există a A astfel încât numărul 10 b a este pătrat perfect 35. Mulțimea numerelor naturale nenule se împarte în submulțimi astfel: {1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8, 9},. a) Aflați cel mai mic element din cea de-a 100-a submulțime b) Este 2015 cel mai mare element al unei astfel de de submulțimi? 36. Mulțimea numerelor naturale imparese împarte în submulțimi astfel: {1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19},. a) Aflați care este primul număr din cea de-a a submulțime b) Există o submulțime de acest timpcare începe cu 2013? Justificați răspunsul. TEMA I ( ) ex.: 6, 14, 17, 20 TEMA II ( ) ex.: 24, 26, 28, 35