Limbaje Formale, Automate si Compilatoare
|
|
|
- Martin Popescu
- 5 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs LFAC ( ) Curs 1 1 / 45
2 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici 4 Ierarhia lui Chomsky 5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) 6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate LFAC ( ) Curs 1 2 / 45
3 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Titulari curs: O. Captarencu: otto/lfac.html A. LFAC ( ) Curs 1 3 / 45
4 Prezentare curs Sistem evaluare 7 seminarii, 6 laboratoare; AS = activitatea la seminar (max 10 puncte); AL = activitatea la laborator (max 10 puncte); T1,T2 teste scrise în săptămânile 8, respectiv în sesiune; Punctajul final se obţine astfel: P = 3 * AS + 3 * AL + 2 * T1 + 2 * T2 Condiţii miminale de promovare: AS 5, AL 5, T 1 5, T 2 5; Punctaj minim pentru promovare: P 50; Nota finală se va stabili conform criteriilor ECTS; LFAC ( ) Curs 1 4 / 45
5 Prezentare curs Sistem evaluare AS = activitatea la seminar (max 10 puncte): două teste scrise AL = activitatea la laborator (max 10 puncte): 1 test laborator, 1 proiect (note de la 0 la 10) AL = media celor 2 note LFAC ( ) Curs 1 5 / 45
6 Prezentare curs Tematica cursului (partea I) LFAC ( ) Curs 1 6 / 45
7 Prezentare curs Tematica cursului (partea I) LFAC ( ) Curs 1 7 / 45
8 Prezentare curs Tematica cursului (partea I) Limbaje şi gramatici Limbaje regulate; gramatici, automate, expresii regulate Limbaje independente de context; gramatici, automate pushdown LFAC ( ) Curs 1 8 / 45
9 Prezentare curs Tematica cursului (partea II) Limbaje de programare: proiectare şi implementare Analiza lexicală Analiza sintactică Traducere în cod intermediar LFAC ( ) Curs 1 9 / 45
10 Prezentare curs Bibliografie (selecţii) 1 A. V. Aho, M. S. Lam, R. Sethi, J. D. Ullman: Compilers: Principles, Techniques, and Tools. Boston: Addison-Wesley, Gh. Grigoras. Constructia compilatoarelor - Algoritmi fundamentali, Ed. Universitatii Al. I. Cuza Iasi, ISBN , 274 pg., Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2006). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (3rd ed.). Addison-Wesley 4 J. Toader - Limbaje formale şi automate, Editura Matrix Rom, Bucuresti, J. Toader, S. Andrei - Limbaje formale şi teoria automatelor. Teorie şi practică, Editura Universitatii Al. I. Cuza, Iasi, LFAC ( ) Curs 1 10 / 45
11 Limbaje formale Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici 4 Ierarhia lui Chomsky 5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) 6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate LFAC ( ) Curs 1 11 / 45
12 Limbaje formale Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri ) LFAC ( ) Curs 1 12 / 45
13 Limbaje formale Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri ) Cuvânt: şir finit de simboluri cuvântul nul este notat cu ǫ sau λ. LFAC ( ) Curs 1 12 / 45
14 Limbaje formale Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri ) Cuvânt: şir finit de simboluri cuvântul nul este notat cu ǫ sau λ. Lungimea unui cuvânt u: numarul simbolurilor sale. Notaţie: u. ǫ = 0 LFAC ( ) Curs 1 12 / 45
15 Limbaje formale Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri ) Cuvânt: şir finit de simboluri cuvântul nul este notat cu ǫ sau λ. Lungimea unui cuvânt u: numarul simbolurilor sale. Notaţie: u. ǫ = 0 V - multimea tuturor cuvintelor peste alfabetul V, inclusiv ǫ. {0, 1} = {ǫ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...} LFAC ( ) Curs 1 12 / 45
16 Limbaje formale Alfabet, cuvânt, multţime de cuvinte Alfabet: V o mulţime finită (elementele lui V = simboluri ) Cuvânt: şir finit de simboluri cuvântul nul este notat cu ǫ sau λ. Lungimea unui cuvânt u: numarul simbolurilor sale. Notaţie: u. ǫ = 0 V - multimea tuturor cuvintelor peste alfabetul V, inclusiv ǫ. {0, 1} = {ǫ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...} V + - multimea tuturor cuvintelor nenule peste alfabetul V {0, 1} + = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...} LFAC ( ) Curs 1 12 / 45
17 Limbaje formale Operaţii pe cuvinte Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x y obţinut din simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y de asemenea în ordinea în care apar: x = 0100, y = 100, x y = x = 000, y = ǫ, x y = 000 LFAC ( ) Curs 1 13 / 45
18 Limbaje formale Operaţii pe cuvinte Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x y obţinut din simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y de asemenea în ordinea în care apar: x = 0100, y = 100, x y = x = 000, y = ǫ, x y = 000 Concatenarea este asociativă LFAC ( ) Curs 1 13 / 45
19 Limbaje formale Operaţii pe cuvinte Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x y obţinut din simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y de asemenea în ordinea în care apar: x = 0100, y = 100, x y = x = 000, y = ǫ, x y = 000 Concatenarea este asociativă (V, ) este monoid (ǫ este element neutru), se numeşte monoidul liber generat de V. LFAC ( ) Curs 1 13 / 45
20 Limbaje formale Operaţii pe cuvinte Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x y obţinut din simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y de asemenea în ordinea în care apar: x = 0100, y = 100, x y = x = 000, y = ǫ, x y = 000 Concatenarea este asociativă (V, ) este monoid (ǫ este element neutru), se numeşte monoidul liber generat de V. Cuvântul v este un prefix al cuvântului u dacă w V : u = vw; dacă w V +, atunci v este un prefix propriu al lui u. LFAC ( ) Curs 1 13 / 45
21 Limbaje formale Operaţii pe cuvinte Concatenarea a doua cuvinte x, y: cuvântul x y obţinut din simbolurile lui x, în ordinea în care apar, urmate de cele ale lui y de asemenea în ordinea în care apar: x = 0100, y = 100, x y = x = 000, y = ǫ, x y = 000 Concatenarea este asociativă (V, ) este monoid (ǫ este element neutru), se numeşte monoidul liber generat de V. Cuvântul v este un prefix al cuvântului u dacă w V : u = vw; dacă w V +, atunci v este un prefix propriu al lui u. Cuvântul v este un sufix al cuvântului u dacă w V : u = wv; dacă w V +, atunci v este un sufix propriu al lui u. LFAC ( ) Curs 1 13 / 45
22 Limbaje formale Fie V un alfabet. O submulţime L V este un limbaj (formal) peste alfabetul V (sau V-limbaj) dacă L are o descriere (matematică) finită. O descriere poate fi: LFAC ( ) Curs 1 14 / 45
23 Limbaje formale Fie V un alfabet. O submulţime L V este un limbaj (formal) peste alfabetul V (sau V-limbaj) dacă L are o descriere (matematică) finită. O descriere poate fi: neformală (în limbaj natural): multimea cuvintelor peste alfabetul {0, 1} care contin un numar par de 0. L = {x V + : x este par}. {a n b n n N}. {w {0, 1} w se termina in 00}. LFAC ( ) Curs 1 14 / 45
24 Limbaje formale Fie V un alfabet. O submulţime L V este un limbaj (formal) peste alfabetul V (sau V-limbaj) dacă L are o descriere (matematică) finită. O descriere poate fi: neformală (în limbaj natural): multimea cuvintelor peste alfabetul {0, 1} care contin un numar par de 0. L = {x V + : x este par}. {a n b n n N}. {w {0, 1} w se termina in 00}. formală (descriere matematică): o descriere inductivă a cuvintelor o descriere generativă a cuvintelor (gramatică generativă) o descriere a unei metode de recunoaştere a cuvintelor din limbaj (automat finit, automat pushdown, etc.) LFAC ( ) Curs 1 14 / 45
25 Limbaje formale Operaţii cu limbaje Operatiile cu multimi (reuniune, intersectie etc) Produs de limbaje: L 1 L 2 = {u v u L 1, v L 2 } Exemplu: L 1 = {a n, n 1}, L 2 = {b n, n 1} L 1 L 2 = {a n b m, n 1, m 1} Iteraţia (produsul Kleene): L = n 0 Ln, unde: L 0 = {ǫ} L n+1 = L n L Exemplu: L = {a}, L 0 = {ǫ}, L 1 = L, L 2 = {aa},...,l n = {a n } L = {a n, n 0} LFAC ( ) Curs 1 15 / 45
26 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici 4 Ierarhia lui Chomsky 5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) 6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate LFAC ( ) Curs 1 16 / 45
27 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Gramatici Definiţie 1 O gramatica este un sistem G = (N, T, S, P), unde: N şi T sunt două alfabete disjuncte: N este multimea neterminalilor T este multimea terminalilor S N este simbolul de start (neterminalul iniţial) P este o multime finita de reguli (producţii) de forma x y, unde x, y (N T) şi x conţine cel puţin un neterminal. LFAC ( ) Curs 1 17 / 45
28 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Derivare Definiţie 2 Fie G = (N, T, S, P) o gramatica şi u, v (N T). Spunem că v este derivat direct (într-un pas) de la u prin aplicarea regulii x y, şi notăm u v, dacă p, q (N T) astfel încât u = pxq şi v = pyq. LFAC ( ) Curs 1 18 / 45
29 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Derivare Definiţie 2 Fie G = (N, T, S, P) o gramatica şi u, v (N T). Spunem că v este derivat direct (într-un pas) de la u prin aplicarea regulii x y, şi notăm u v, dacă p, q (N T) astfel încât u = pxq şi v = pyq. Daca u 1 u 2... u n, n > 1, spunem ca u n este derivat din u 1 în G şi notam u1 + u n. LFAC ( ) Curs 1 18 / 45
30 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Derivare Definiţie 2 Fie G = (N, T, S, P) o gramatica şi u, v (N T). Spunem că v este derivat direct (într-un pas) de la u prin aplicarea regulii x y, şi notăm u v, dacă p, q (N T) astfel încât u = pxq şi v = pyq. Daca u 1 u 2... u n, n > 1, spunem ca u n este derivat din u 1 în G şi notam u1 + u n. Scriem u v dacă u + v sau u = v. LFAC ( ) Curs 1 18 / 45
31 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Limbaj generat Definiţie 3 Limbajul generat de gramatica G este: L(G) = {w T S + w} LFAC ( ) Curs 1 19 / 45
32 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Limbaj generat Definiţie 3 Limbajul generat de gramatica G este: L(G) = {w T S + w} Definiţie 4 Două gramatici G 1 şi G 2 sunt echivalente dacă L(G 1 ) = L(G 2 ). LFAC ( ) Curs 1 19 / 45
33 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Exemplu G = (N, T, S, P), N = {S, X, A}, T = {a, b}, P constă din: 1 S axb 2 ax aab 3 Xb ba 4 aa aa 5 A ǫ L(G) = {ab, abb, aabb} Gramatică echivalentă cu un singur neterminal? Ce limbaj generează gramatica dacă sunt eliminate utlimele două reguli? LFAC ( ) Curs 1 20 / 45
34 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Exemplu L = {a n b n n 1} Definiţia inductivă: ab L Daca X L, atunci axb L Nici un alt cuvânt nu face parte din L LFAC ( ) Curs 1 21 / 45
35 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Exemplu L = {a n b n n 1} Definiţia inductivă: ab L Daca X L, atunci axb L Nici un alt cuvânt nu face parte din L Definiţia generativă: G = ({X},{a, b}, X, P), unde P = {X axb, X ab} Derivarea cuvântului a 3 b 3 : X axb a(axb)b aa(ab)bb LFAC ( ) Curs 1 21 / 45
36 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici Exemplu L = {a n b n c n n 1} G = (N, T, S, P), N = {S, X}, T = {a, b, c}, P constă din: 1 S abc 2 S asxc 3 cx Xc 4 bx bb Derivarea cuvântului a 3 b 3 c 3 : S (2) asxc (2) aasxcxc (1) aaabcxcxc (3) aaabxccxc (4) aaabbccxc (3) aaabbcxcc (3) aaabbxccc (4) aaabbbccc = a 3 b 3 c 3 LFAC ( ) Curs 1 22 / 45
37 Ierarhia lui Chomsky Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici 4 Ierarhia lui Chomsky 5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) 6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate LFAC ( ) Curs 1 23 / 45
38 Ierarhia lui Chomsky Ierarhia lui Chomsky 1 Gramatici de tip 0 (generale) Nu exista restrictii asupra regulilor LFAC ( ) Curs 1 24 / 45
39 Ierarhia lui Chomsky Ierarhia lui Chomsky 1 Gramatici de tip 0 (generale) Nu exista restrictii asupra regulilor 2 Gramatici de tip 1 (dependente de context) reguli de forma pxq pyq unde x N, y ǫ, p, q (N T), S ǫ, caz în care S nu apare în dreapta regulilor LFAC ( ) Curs 1 24 / 45
40 Ierarhia lui Chomsky Ierarhia lui Chomsky 1 Gramatici de tip 0 (generale) Nu exista restrictii asupra regulilor 2 Gramatici de tip 1 (dependente de context) reguli de forma pxq pyq unde x N, y ǫ, p, q (N T), S ǫ, caz în care S nu apare în dreapta regulilor 3 Gramatici de tip 2 (independente de context) reguli de forma A y unde A N şi y (N T) LFAC ( ) Curs 1 24 / 45
41 Ierarhia lui Chomsky Ierarhia lui Chomsky 1 Gramatici de tip 0 (generale) Nu exista restrictii asupra regulilor 2 Gramatici de tip 1 (dependente de context) reguli de forma pxq pyq unde x N, y ǫ, p, q (N T), S ǫ, caz în care S nu apare în dreapta regulilor 3 Gramatici de tip 2 (independente de context) reguli de forma A y unde A N şi y (N T) 4 Gramatici de tip 3 (regulate) reguli A u sau A ub unde A, B N şi u T. LFAC ( ) Curs 1 24 / 45
42 Ierarhia lui Chomsky Exemple Tip 1: pxq pyq unde x N, y ǫ, p, q (N T), S ǫ G = (N, T, S, P), N = {S, A, B}, T = {a, b, c}, P: (1)S aaac (2)aAc aabbc (3)bB bbc (4)Bc Abc (5)A a Gramatica tip 1 G = (N, T, S, P), N = {S, X}, T = {a, b, c}, P: (1)S abc (2)S asxc (3)cX Xc (nu este regulă de tip 1!, gramatica va fi de tip 0) (4)bX bb LFAC ( ) Curs 1 25 / 45
43 Ierarhia lui Chomsky Exemple Tip 2: A y unde A N şi y (N T) Tip3: A u sau A ub unde A, B N şi u T. G: (1)x axb (2)x ǫ (Gramatică tip 2) G: (1)x ax (2)x bx (3)x ǫ (Gramatică tip 3) LFAC ( ) Curs 1 26 / 45
44 Ierarhia lui Chomsky Exemple Fie G = ({E},{a,+,,(,)}, E,{E a, E (E + E), E (E E)}). Ce tip are gramatica G? Construiti derivari din E pentru cuvintele (a+a) si ((a+a) a) Cuvantul (a+a a) poate fi derivat din E? Descrieti limbajul L(G) Fie G = ({A, B},{a, b}, A,{A aa, A B, B bb, B ǫ}) Ce tip are gramatica G? Descrieti limbajul L(G) LFAC ( ) Curs 1 27 / 45
45 Ierarhia lui Chomsky Clasificarea limbajelor Un limbaj L este de tipul j daca exista o gramatica G de tipul j astfel incat L(G) = L, unde j {0, 1, 2, 3}. Vom nota cu L j clasa limbajelor de tipul j, unde j {0, 1, 2, 3}. Are loc: L 3 L 2 L 1 L 0 Incluziunile sunt stricte: orice limbaj de tip j + 1 este si de tip j {0, 1, 2} exista limbaje de tip j care nu sunt de tip j + 1, j {0, 1, 2} LFAC ( ) Curs 1 28 / 45
46 Ierarhia lui Chomsky Proprietăţi Fiecare din familiile L j cu 0 j 3 contine toate limbajele finite Fiecare din familiile L j cu 0 j 3 este inchisa la operatia de reuniune: j : 0 j 3 L 1, L 2 L j = L 1 L 2 L j, LFAC ( ) Curs 1 29 / 45
47 Ierarhia lui Chomsky Notaţii alternative pentru gramatici de tip 2: BNF LFAC ( ) Curs 1 30 / 45
48 Ierarhia lui Chomsky gramatici DTD generează mulţimea documentelor XML cu o anumită structură (limbaj independent de context) LFAC ( ) Curs 1 31 / 45
49 Ierarhia lui Chomsky gramatici DTD Un cuvânt din limbajul generat de gramtica DTD: LFAC ( ) Curs 1 32 / 45
50 Ierarhia lui Chomsky XML Schema - rol similar gramaticilor DTD LFAC ( ) Curs 1 33 / 45
51 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici 4 Ierarhia lui Chomsky 5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) 6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate LFAC ( ) Curs 1 34 / 45
52 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) Gramatici de tip 3 O gramatică G = (N, T, S, P) este de tip 3 dacă regulile sale au forma: A u sau A ub unde A, B N şi u T. Exemplu: G = ({D},{0, 1,..., 9}, D, P) Unde P este: D 0D 1D 2D... 9D D LFAC ( ) Curs 1 35 / 45
53 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) Exemple Fie gramatica G = ({A, B},{l, d}, A, P) unde P este: A lb, B lb db ǫ (l = litera, d = cifra) LFAC ( ) Curs 1 36 / 45
54 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) Exemple Fie gramatica G = ({A, B},{l, d}, A, P) unde P este: A lb, B lb db ǫ (l = litera, d = cifra) L(G): multimea identificatorilor Fie gramatica G = ({A, B},{+,, d}, A, P) unde P este: A +db db db, B db ǫ (d = cifra) LFAC ( ) Curs 1 36 / 45
55 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) Exemple Fie gramatica G = ({A, B},{l, d}, A, P) unde P este: A lb, B lb db ǫ (l = litera, d = cifra) L(G): multimea identificatorilor Fie gramatica G = ({A, B},{+,, d}, A, P) unde P este: A +db db db, B db ǫ (d = cifra) L(G): multimea constantelor intregi LFAC ( ) Curs 1 36 / 45
56 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) Forma normală O gramatică de tip 3 este in formă normală daca regulile sale sunt de forma A a sau A ab, unde a T, si, eventual S ǫ ( caz in care S nu apare in dreapta regulilor). Pentru orice gramatica de tip 3 exista o gramatica echivalenta in forma normala. LFAC ( ) Curs 1 37 / 45
57 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) Forma normală Obtinerea gramaticii in forma normala echivalenta cu o gramatica de tip 3: Se poate arata ca pot fi eliminate regulile de forma A B (redenumiri) si cele de forma A ǫ (reguli de stergere), cu exceptia, eventual a regulii S ǫ. Orice regula de forma A a 1 a 2...a n se inlocuieste cu A a 1 B 1, B 1 a 2 B 2,..., B n 2 a n 1 B n 1, B n 1 a n, n > 1, B 1,...,B n 1 fiind neterminali noi. Orice regula de forma A a 1 a 2...a n B se inlocuieste cu A a 1 B 1, B 1 a 2 B 2,..., B n 2 a n 1 B n 1, B n 1 a n B, n > 1, B 1,...,B n 1 fiind neterminali noi Transformarile care se fac nu modifica limbajul generat de gramatica LFAC ( ) Curs 1 38 / 45
58 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme de generare a limbajelor: gramatici 4 Ierarhia lui Chomsky 5 Limbaje şi gramatici de tip 3 (regulate) 6 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate LFAC ( ) Curs 1 39 / 45
59 Proprietăţi de închidere pentru familia de limbaje regulate Fie L, L 1, L 2 limbaje de tip 3 (regulate). Atunci, urmatoarele limbaje sunt de asemenea de tip 3: L 1 L 2 L 1 L 2 L L 1 L 2 L 1 \ L 2 LFAC ( ) Curs 1 40 / 45
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014
Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu
1
Contents 1 Automate finite... 2 1.1 Probleme cu AF... 2 1.2 Structuri de date pentru automate finite... 4 2 Gramatici si limbaje; gram. indep. de context... 5 2.1 Limbaje... 5 2.2 Gramatici si limbaje...
CAPITOLUL I
CAPITOLUL I. LIMBAJE FORMALE 1.1. CONCEPTE DE BAZĂ Cunoaştem unele limbaje de nivel înalt, cum sunt Pascal, Fortran, Basic, C şi altele. Ne scriem programele în aceste limbaje iar când citim un program
Curs7
Analizor sintactic LL(1) S A { a a 1 i-1 a i Algoritm liniar LL(k) L = left (secvența este parcursă de la stânga la dreapta L = left (se folosesc derivări de stânga) Predicția are lungimea k S A { Principiu
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Notiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
ExamView Pro - Untitled.tst
Class: Date: Subiecte logica computationala licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Fie formula
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
CLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
15. Logică matematică cu aplicații în informatică - MI 3
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
I
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Curs8
Curs 8 Analiză sintactică LR(k) Termeni Predicție vezi LL(1) Manșa = simboluri din vârful stivei de lucru care formează (în ordine) pdp Analizor de tip deplasare - reducere: deplasează simboluripentru
Elemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Spatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
MergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VI-a Matematică Proiect didactic realizat de Nicoleta Popa, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Microsoft Word - O problema cu bits.doc
O problemă cu bits 1 Tiberiu Socaciu Enunţul Pe pagina Proful de Mate de pe Facebook 2 am primit de la un elev de clasa a IX-a următoarea provocare 3 : Vom oferi două soluţii, una folosind manipulări de
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Microsoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
PowerPoint-Präsentation
Universitatea Transilvania din Braşov Laboratorul de Vedere Artificială Robustă şi Control Metode Numerice Curs 01 Introducere Gigel Măceșanu 1 Cuprins Obiectivele cursului Organizare: Structura cursului
0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Colec ia MATE EDITURA PARALELA 45 Matematic. Clasa a VI-a 1
Colecia MATE 2000 + Matematic. Clasa a VI-a 1 Matematic. Clasa a VI-a 2 Acest auxiliar didactic este aprobat pentru utilizarea în unitile de învmânt preuniversitar prin O.M.E.N. nr. 3530/04.04.2018. Lucrarea
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Microsoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
PowerPoint Presentation
Circuite Integrate Digitale Conf. Monica Dascălu Curs Seminar Laborator notă separată Notare: 40% seminar 20% teme // + TEMA SUPLIMENTARA 40% examen 2014 CID - curs 1 2 Bibliografie Note de curs Cursul
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Subiectul 1
Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n
Microsoft Word - Tematica examen AII.doc
FACULTATEA DE AUTOMATICA SI CALCULATOARE Catedra Automatica si Informatica Industriala Tematica comuna de examen la PROGRAMELE de MASTER de APROFUNDARE 1. Arhitecturi Orientate pe Servicii pentru Controlul
FIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
SECURITATE ȘI CRIPTOGRAFIE
Noțiuni de bază ale criptografiei Criptografia este studiul metodelor matematice legate de securitatea informației, capabile să asigure confidențialitatea, autentificarea și non-repudierea mesajelor, precum
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f
ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată
MD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Slide 1
Logica fuzzy Precizie si realitate Paternitatea logicii fuzzy Istoric Multimi fuzzy Fuzzy vs. probabilitate Operatii cu multimi fuzzy Implementare Arduino a mf 1 / 27 Precizie si realitate Fuzzy: vag neclar
Slide 1
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE Disciplină obligatorie An IV ET CURS 1 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro
1. Operatii cu matrici 1 Cerinte: Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A
1. Operatii cu matrici 1 Sa se realizeze functii pentru operatii cu matrici patratice (de dimensiune maxima 10x10). Operatiile cerute sunt: A+B (adunare), aa (inmultire cu scalar), A-B scadere), AT (Transpusa),
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Matematică şi Info
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Matematică şi Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul
Prelegerea 3 Noţiuni de morfologie 3.1 Structura morfologică a cuvintelor Regulile de formare ale cuvintelor - care pornesc de la o anumită structură
Prelegerea 3 Noţiuni de morfologie 3.1 Structura morfologică a cuvintelor Regulile de formare ale cuvintelor - care pornesc de la o anumită structură a acestora - diferă de la o limbă la alta, atât prin
Examenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca superior 1.2 Facultatea Facultatea de Mate
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca superior 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică şi Informatică 1.3 Departamentul Departamentul
Microsoft Word - Planuri_Mate_
ANUL I 2018-2019 (TRUNCHI COMUN pentru programele de studii universitare de licență: MATEMATICĂ, MATEMATICĂ- INFORMATICĂ, MATEMATICI APLICATE) I 1. Algebră 3 3 E 6 3 3 E 7 2. Analiză matematică 3 3 E 6
Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
OLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Slide 1
SCTR -SZOKE ENIKO - Curs 4 continuare curs 3 3. Componentele hard ale unui sistem de calcul in timp real 3.1 Unitatea centrala de calcul 3.1.1 Moduri de adresare 3.1.2 Clase de arhitecturi ale unitatii
Adresarea memoriei Modurile de adresare constituie un instrument principal pentru reprezentarea în memorie a imaginii datelor, aşa cum este ace
174 12 Adresarea memoriei Modurile de adresare constituie un instrument principal pentru reprezentarea în memorie a imaginii datelor, aşa cum este aceasta văzută de programatorul în limbaj de nivel înalt.
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
FIȘA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituţia de învăţământ superior Universitatea de Vest din Timişoara 1.2. Facultatea Matematică şi Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
MergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
..MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE ŞI CERCETARII STIINTIFICE UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA.I CENTRUL DE DEZVOLTARE ACADEMICĂ. FIȘA DISCIPLINEI 1.
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
Microsoft Word - 6 FD_Informatica SGBD II CIG 2017.doc
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior 1.2.Facultatea 1.3.Departamentul 1.4.Domeniul de studii 1.5.Ciclul de studii 1.6.Programul de studii/calificarea Universitatea
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
matematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Facultatea de Mate
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică şi Informatică 1.3 Departamentul Informatică
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
..MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE ŞI CERCETARII STIINTIFICE UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA.I CENTRUL DE DEZVOLTARE ACADEMICĂ. FIȘA DISCIPLINEI 1.
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
Microsoft Word - Curs1.docx
1. REPREZENTAREA INFORMAȚIILOR ÎN CALCULATOR 1.1. CONCEPTUL DE DATĂ ȘI INFORMAȚIE Datele desemnează elementele primare, provenind din diverse surse, fără o formă organizată care să permită luarea unor
ANEXA nr
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituția de învățământ superior Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Centrul Universitar Nord din Baia Mare 1.2 Facultatea De Inginerie 1.3 Departamentul
..MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE ŞI CERCETARII STIINTIFICE UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA.I CENTRUL DE DEZVOLTARE ACADEMICĂ. FIȘA DISCIPLINEI 1.
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Informatică 1.4. Domeniul
02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Facultatea de Mate
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică şi Informatică 1.3 Departamentul Informatică
Subiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
PROBLEME PRIVIND INSTABILITATEA UNOR CALCULE ALE MECANISMELOR
INSTABILITĂŢI DE CALCUL LA ANALIZA DIADEI RRR s.l. univ. dr. ing. Valentina MANEA s.l.univ.dr.ing. Raluca GRASU Rezumat. Se studiază instabilităţile de calcul care apar la analiza diadei RRR, cauzate de
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Microsoft Word - Lab1a.doc
Sisteme de numeraţie şi coduri numerice 1.1. Sisteme de numeraţie 1.2. Conversii generale între sisteme de numeraţie 1.3. Reprezentarea numerelor binare negative 1.4. Coduri numerice 1.5. Aplicaţii In
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
FIŞA DISCIPLINEI
Competenţe transversale Competenţe profesionale FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior 1.2.Facultatea 1.3.Departamentul 1.4.Domeniul de studii 1.5.Ciclul de studii
Algebra si Geometri pentru Computer Science
Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul
Microsoft Word - Curs_09.doc
Capitolul 7. Proiectarea conceptuală Scop: reprezentarea cerinţelor informale ale aplicaţiei în termenii descrierii complete şi formale dar independent de criteriul folosit pentru reprezentare în sistemul