0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx

Transcriere

1 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >, q > ; + x) g) e x dx; h) sin 6 x cos x dx; i) ln x) p dx, p >.. ă se calculeze următoarele integrale folosind derivarea sub semnul integral: a) ln cos x + y sin x ) dx, cu y > ; + y sin x b) ln dx, cu y < ; sin x y sin x arctgy tg x) c) dx; tg x ln y x ) d) x dx, cu y <. x. ă se calculeze lungimile următoarelor curbe: x = at sin t), a) : t [, ], cu a > ; y = a cos t), x = a cos t cos t), b) : t [, ], cu a > ; y = a sin t sin t), x = ae mt cos t, c) : y = ae mt t [, ], cu a, m >. sin t,. ă se calculeze următoarele integrale curbilinii de prima speţă: a) ye x x = ln + t ), ds, unde : t [, ]; y = arctg t t, b) x + y ) ds, unde este segmentul [AB], cu Aa, a) şi Bb, b), b > a; x = a cos t, c) xy ds, unde : t [, ], cu a > ; y = a cos t, d) x x y ds, unde este definită de x + y ) = a x y ), x, cu a > ; e) f) g) a >. z ) x = t cos t, x + y ds, unde : y = t sin t, t [, ]; z = t, ds x + y + z ), unde este definită de x + y + z = a şi z = a > ; ze x +y ds, unde este definită de x + y + z = a şi x + y =, cu

2 . ă se calculeze următoarele integrale curbilinii de speţa a doua: x = at sin t), a) a y) dx + x dy, unde : t [, ]; y = a cos t), x dy y dx b), unde este arcul x x + y + y = a, cuprins în primul cadran; c) y + z ) dx + z + x ) dy + x + y ) dz, unde este curba de intersecţie a suprafeţelor x + y + z = ax şi x + y = ax, cu z ; d) y dx + z dy + x dz, unde este curba de intersecţie a suprafeţelor x + y + z = a şi x + y = ax, cu z ; e) e x cos y + xy ) dx e x sin y + x y) dy, unde este frontiera compactului definit de x, y, r a cos t, cu a > ; f) xy +x+y) dx+xy +x y) dy, unde este curba definită de x +y = x; dx + dy x = ae t cos t, g) +xyz dz, unde : y = ae x + y + z t sin t, t [, ], cu a, b > ; z = be t, h) y dx + z dy + x dz, unde este curba de intersecţie a suprafeţelor z = x + y şi z = 6 x + y ). 6. ă se arate că curbă închisă. 7. ă se calculeze ) ) e x +y cos xy dx+ e x +y sin xy dy =, pentru orice y dx + x dy pe un drum cu capetele A, ) şi B, ). y dx + x dy 8. ă se calculeze pe un drum arbitrar cu capetele A, ) şi + xy B, ), ce nu intersectează hiperbola de ecuaţie xy =. 9. ă se calculeze circulaţia câmpului V x, y) = x +xy i y +x y j de-a lungul x +y curbei r = a + cos t), cu t [, ]. x +y. ă se calculeze următoarele integrale duble: a) e x +y dx dy, unde = x, y) R x + y } ; x b) y + x + y dx dy, unde = x, y) R x + y, x, y } ; xy dx dy } c) x + y, unde = x, y) R x a + y b, x, y ; ) d) e x a + y b dx dy, unde este exteriorul elipsei x a + y b = ; dx dy e) x + y + x + y ), unde este interiorul cercului x + y = a ;

3 f) unitar; g) h) xy x + y dx dy, unde este sfertul din primul cadran al discului + ) x + y dx dy, unde = x, y) R x + y y, x } ; x + y x + dx dy, unde este definit de y şi r a + cos t), x + y cu a > ; i) x x y ) dx dy, unde este definit de x + y x ; j) a x y dx dy, unde este definit de x + y ax, cu a > ; k) x + y x + y ) dx dy, unde este definit de x + y ; l) y dx dy, unde = x, y) R x + y x + y }.. ă se calculeze ariile domeniilor limitate de curbele: a) x + y ) = a xy; b) x + y ) = ax, cu a > ; c) x + y ) = a x y ), cu a >.. ă se calculeze următoarele integrale triple: dx dy dz a), unde este definit de x + y + z, x, y, z ; + x + y + z) b) xyz dx dy dz, unde este definit de x + y + z, x, y, z ; c) x +y +z ) dx dy dz, unde este definit de x +y +z, x, y, z ; d) R x y z dx dy dz, unde este definit de x +y +z R ; e) x + y z ) dx dy dz, unde este definit de x + y + z R ; f) x + y + z dx dy dz, unde este definit de x + y + z z; g) ze x +y +z ) dx dy dz, unde este definit de x + y + z a, z, cu a > ; h) a >. x + y + z dx dy dz, unde este definit de x + y + z ax, cu. ă se calculeze volumele domeniilor limitate de suprafeţele: a) x + y + z = 8 şi x + y z = ; b) z = x y şi z = + x + y ; c) x + y + z = şi x + y = z ; d) x + y + z = a şi x + y = ax, cu a > ; e) x + y x 9 = z şi + y 9 = z ; f) x + y = şi z = x + y, cu z.. ă se calculeze volumul domeniului mărginit de suprafaţa x + y + z ) = a x + y ), cu a >.

4 . ă se calculeze aria paraboloidului z = x + y, cu z [, 9]. 6. ă se calculeze aria suprafeţei x +y +z = a, situată în interiorul cilindrului x + y = ax, unde a >. 7. ă se calculeze aria suprafeţei z = x + y, situată în interiorul cilindrului x + y = x. 8. ă se calculeze aria decupată de x +y ) = a x y ) pe suprafaţa x +y = az, cu a >. 9. ă se calculeze aria decupată de x +y ) = a x y ) pe sfera x +y +z = a.. ă se calculeze ariile suprafeţelor: a) = x, y, z) R x + y + z = z, z x + y } ; b) = x, y, z) R x + y + z = a, z } x + y, a > ; c) = x, y, z) R x + y + z =, x + y } ; d) = x, y, z) R x + y z, x + y x }.. ă se calculeze următoarele integrale de suprafaţă de prima speţă: a) x + y + z) dσ, unde este suprafaţa x + y + z = a, cu z ; b) xy + yz + zx) dσ, unde este porţiunea suprafeţei conice z = x + y, decupată de suprafaţa x + y = ax; c) x + y z) dσ, unde este suprafaţa definită de x + y + z = a, x + y ax şi z, cu a > ; dσ d) x + y, unde este suprafaţa definită de z = xy şi x + y a, cu a >.. ă se calculeze următoarele integrale de suprafaţă de speţa a doua: a) x dy dz + y dz dx + z dx dy, unde este faţa exterioară a sferei x + y + z = a ; b) x dy dz+ y dz dx+ dx dy, unde este faţa exterioară a elipsoidului z x a + y b + z c = ; c) xy dy dz + yz dz dx + zx dx dy, unde este faţa exterioară a sferei x + y + z = a, cu z.. ă se calculeze fluxul câmpului vectorial V x, y, z) = x i + y j + z k prin faţa exterioară a conului z = x + y, cu z [, ].. ă se calculeze fluxul câmpului vectorial V x, y, z) = y i x j + z k prin faţa exterioară a paraboloidului z = x + y, cu z [, ]. ). ă se calculeze fluxul câmpului vectorial V x, y, z) = y i x j + k x +y prin faţa exterioară a paraboloidului z = x y, cu z [, ].

5 6. ă se calculeze fluxul câmpului vectorial V x, y, z) = x i + y j + z k prin faţa exterioară a sferei x + y + z =, cu x, y, z >. 7. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Riemann-Green, valoarea integralei xe xy + x cos y) dx + ye xy x sin y ) dy, unde este frontiera domeniului = x, y) R x + y a }, cu a >. 8. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Riemann-Green, valoarea integralei x + y ) dx + xy dy, unde este frontiera domeniului = x, y) R x + y ax }, cu a >. 9. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Riemann-Green, circulaţia câmpului vectorial V x, y) = xy i + x j de-a lungul curbei, unde = x, y) R x + y =, x y } x, y) R x + y =, x, y }.. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Riemann-Green, circulaţia câmpului vectorial V x, y) = e x cos y i e x sin y j de-a lungul curbei, unde este o curbă arbitrară conţinută în semiplanul superior, care uneşte punctele A, ) şi B, ), sensul fiind de la A către B.. onsiderăm forma diferenţială ω = y x +y dx + x x +y dy. a) ă se calculeze ω, unde O, R) este cercul de centru O, ) şi rază R >. b) ă se calculeze O,R) ω, unde este o curbă închisă astfel încât O, ) /.. onsiderăm forma diferenţială ω = x y x +y dx + x+y x +y dy. ă se calculeze integrala ω, unde este o curbă închisă astfel încât O, ) /.. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Gauss-Ostrogradski, valoarea integralei x dy dz+y dz dx+z dx dy, fiind faţa exterioară a sferei x +y +z = a, cu a >.. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Gauss-Ostrogradski, valoarea integralei x dy dz+x y dz dx+x z dx dy, fiind suprafaţa cilindrului x +y = r, cuprinsă între planele z = şi z = a, cu r, a >.. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Gauss-Ostrogradski, valoarea integralei x yz dy dz + xy z dz dx + xyz dx dy, fiind faţa exterioară a sferei x + y + z =, cu x, y, z. 6. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Gauss-Ostrogradski, valoarea integralei xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy, unde suprafaţa este bordul domeniului = x, y, z) R x + y z x + y )} şi este orientată după normala interioară.

6 6 7. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Gauss-Ostrogradski, valoarea integralei xy z ) dy dz + yz x ) dz dx + zx y ) dx dy, unde suprafaţa este bordul domeniului = x, y, z) R x + y + z = a }, cu a >, şi este orientată după normala exterioară. 8. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Gauss-Ostrogradski, valoarea integralei xz + ) dy dz + yz dz dx z + z ) dx dy, fiind suprafaţa sferei x + y + z =, cu z. 9. ă se calculeze, cu ajutorul formulei Gauss-Ostrogradski, valoarea integralei x y z) dy dz + y z x) dz dx + z x y) dx dy, fiind suprafaţa conului z = x + y, cu < z.. ă se calculeze, cu ajutorul formulei lui tokes, valoarea integralei y dx+z dy +x dz, fiind curba de intersecţie a suprafeţelor x +y +z = a şi x + y = ax, cu a >.. ă se calculeze, cu ajutorul formulei lui tokes, valoarea integralei y z) dx + x z) dy + x y) dz, fiind curba de intersecţie a suprafeţelor x + y + z = a şi x y + z =, cu a >.. ă se calculeze, cu ajutorul formulei lui tokes, valoarea integralei yz dx + xy dy + x dz, fiind curba de intersecţie a suprafeţelor x + y = z şi x + y + z =.. ă se calculeze, cu ajutorul formulei lui tokes, valoarea integralei x + xy ) dx + y + z) dy + xz yz) dz, fiind curba de intersecţie a suprafeţelor x + y + z = şi y + z =.. Legea lui Gauss) Pentru orice q > considerăm câmpul scalar fx, y, z) = q şi câmpul de gradienţi V = grad f. ă se arate că fluxul câmpului x +y +z V prin orice suprafaţă închisă ce conţine originea în interior este egal cu q. ). ă se calculeze fluxul câmpului vectorial V = r r k : a) printr-o suprafaţă închisă arbitrară ce nu conţine originea în interior; b) prin sfera unitate. 6. ă se calculeze fluxul câmpului vectorial V = r + k r r r prin suprafaţa = x, y, z) R z = x y, z } x, y, z) R x + y, z = }, orientată după normala exterioară. Răspunsuri. a) ; b) ; c) ; d) sin ; e) 9 ; f) q Γ p+ q i) Γ p + ).. a) ln y+. a) 8a; b) 6a; c) a +m m ) ; g) ; h) ; ; b) arcsin y; c) lny + ); d) a ). e m ).. a) 6 ln ; b) b a );

7 ) c) ; d) a ; e) + ) ; f) a ; g) c) a ; d) a ; e) a ; f) 8; g) a b a.. a) a ; b) a e 8 ) ; h) ln.. a) e ); b) ) a ; c) b ab a 7 a+b) ; d) e ; e) arctg a + +a ; f) ; g) 8 + a 9 ; h) ; i) a ; j) ) ; k) ; l).. a) a ; b) a 8 ; c) a. ) ) ). a) ln 8 ; b) ln 8 ; c) ln 8 ; d) R ; e) R ; f) ; + a )e a) ; h) 8 a.. a) 8 7); b) ; c) ); g) d) 6a 9 ); e) 8; f).. a ; 7 ). 6. a a ). 9. a + ).. a) ; b) a ); c) ; d).. a) a ; b) 6a ; c) a ; d) a a + + ln a + a + )).. a) a ; b) a b +b c +c a ) abc ; c) a ) a e.. a) ; b).. a. ar Bibliografie a.. 6a 9. [] Nicolae onciu, umitru Flondor, Analiză matematică. ulegere de probleme, Vol. şi, Editura ALL, Bucureşti, 998. [] onstantin răguşin, Marinică Gavrilă, Octav Olteanu, Analiză matematică. alcul integral. Teorie şi aplicaţii, Editura Matrix Rom, Bucureşti,. [] Mircea Olteanu, Probleme de analiză matematică. Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate, Ed. Printech, Bucureşti,.