ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

Transcriere

1 Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei Laplace, aceste ecuații și sisteme devin sisteme algebrice, pe care le putem reolva mult mai simplu. Principalele avantaje ale reolvării ecuațiilor și sistemelor diferențiale cu ajutorul transformatei Laplace sînt: reolvarea unei ecuații neomogene se face direct, nu mai este necesar să se tratee caul omogen mai întîi; valorile inițiale sînt folosite direct în calcul, nu se mai obține o soluție pînă la o constantă, care se determină din valorile inițiale. Pentru aceasta, avem nevoie de o proprietate a transformatei Laplace aplicată derivatei originalului. Folosind definiția și integrarea prin părți, se pot verifica simplu următoarele proprietăți: De fapt, în general, avem: Lf = slf f0 Lf = s Lf sf0 f 0. Lf n = s n Lf s n f0 s n f 0 f n 0. De asemenea, pentru integrale, avem deja teorema integrării originalului: L t 0 fτdτ = s Fs, unde Fs = Lft. Reultă, folosind transformarea inversă: t 0 fτdτ = L s Fs. De exemplu, pentru a reolva ecuația diferențială: y + ay + by = rt, y0 = K 0, y 0 = K, aplicăm transformata Laplace și folosim proprietățile de mai sus. Fie Y = Lyt

2 Se obține ecuația algebrică: unde Rs = Lr. Forma echivalentă este: s Y sy0 y 0 + asy y0 + by = Rs, s + as + by = s + ay0 + y 0 + Rs. Împărțim prin s + as + b și folosim formula: de unde reultă: Qs = s + as + b = s + a + b 4, a Ys = s + ay0 + y 0 Qs + RsQs. În forma aceasta, descompunem Ys în fracții simple, dacă este nevoie și folosim tabelul de transformate Laplace, pentru a afla y = L Y. De exemplu: y y = t, y0 =, y 0 =. Soluție: Aplicăm transformata Laplace și ajungem la ecuația: Reultă Q = și ecuația devine: s s Y sy0 y 0 Y = s s Y = s + + s. Y = s + Q + s Q = s + s + s s = s + s s Folosind tabelul și proprietățile transformatei Laplace, obținem soluția: yt = L Y = L s + L s L s = e t + sinh t t.

3 Exerciții. Să se reolve următoarele probleme Cauchy, folosind transformata Laplace: a y t + yt = 4t, y0 = ; b y t + yt = sin 4t, y0 = 0; c y t + y t + 5yt = 0, y0 = 0, y 0 = 0; d y t 6y t + 4yt = e t, y0 =, y 0 = ; e y t yt + yt = e t, y0 =, y 0 = ; f y t + 4yt = cos t, y0 =, y 0 =.. Să se reolve următoarele sisteme diferențiale: x + x + 4y = 0 a x y y = 0 x0 = 4, y0 = b c x + x y = e t y + y x = e t x0 =, y0 = x + y + x y = 5 sin t x + y + x y = e t x0 =, y0 = Indicație: Aplicăm transformata Laplace fiecărei ecuații și notăm Lxt = Xs și Lyt = Ys. Apoi reolvăm sistemul algebric obținut cu necunoscutele X și Y, cărora la final le aplicăm transformata Laplace inversă. Transformata Z Definim acum o nouă transformată, dar de data aceasta pe un ca discret. Definiţie : Se numește semnal discret o funcție x : Z C, dată de n x n sau, echivalent, xn ori x[n]. Mulțimea semnalelor discrete se va nota cu S d. Dacă x n = 0 pentru n < 0, spunem că semnalul are suport poitiv, iar mulțimea lor se va nota cu S + d. Un semnal particular este următorul: pentru k Z fixat, definim: {, n = k δ k n = 0, n k. Acesta se numește impulsul unitar discret la momentul k și vom nota δ 0 cu δ simplu. Cîteva noțiuni și operații specifice cu semnale urmeaă.

4 Definiţie : Fie x S d și k Z fixat arbitrar. Semnalul y = x n k n Z se numește întîriatul lui x cu k momente. Operația de convoluție o reîntîlnim și în caul semnalelor discrete: Definiţie : Fie x, y S d. Dacă seria: x n k y k k Z este convergentă pentru orice n Z și are suma n, atunci semnalul = n n se numește convoluția semnalelor x și y și se noteaă = x y. Să remarcăm că, din definiție, avem pentru x, y S + d existența x y și x y = y x. În plus, au loc: x δ = x și x δ k n = x n k. Ajungem în fine la definiția principală: Definiţie 4: Fie s S d, cu s = a n n. Se numește transformata Z sau transformata Laplace discretă a acestui semnal funcția complexă definită prin: L s = n Z a n n, care se definește în domeniul de convergență al seriei Laurent corespunătoare. Principalele proprietăți ale transformării Z sînt: Există R, r > 0 astfel încît seria care definește transformarea Z să fie convergentă în coroana r < < R; Liniaritatea: Asocierea s L s este C-liniară și injectivă, deci: L α s +α s = α L s + α L s, α, α C, s, s S d. Dacă s S + d, cu s = a n, atunci lim L s = a 0, iar dacă există limita lim a n = l, n atunci: lim L s =. 4 Inversa transformării Z: Fie s S + d, cu s = a n. Presupunem că funcția L s este olomorfă în domeniul r < < R. Pentru orice r < ρ < R, fie γ ρ frontiera discului ρ parcursă în sens poitiv o singură dată. Atunci avem: a n = πi γ ρ n L s d, n Z. 5 Teorema de convoluție: Fie s, t S + d. Atunci s t S+ d și are loc: L s t = L s L t. În particular: L s δk = k L s, k Z. 4

5 6 Prima teoremă de întîriere: Pentru n N : L s ft n = n L s f. 7 A doua teoremă de întîriere teorema de deplasare: L s ft + n = n L s f n ft t, n N. În tabelul din figura sînt preentate transformatele Z ale funcțiilor uuale. t=0 s { h n = 0, n < 0 h n =, n 0 δ k, k Z s = n n N L s k s = n n N + s = a n n N, a C s = e an n N, a R s = sinωn n N, ω R a e a sin ω cos ω + s = cosωn n N, ω R cos ω cos ω + Figura : Transformate Z uuale Exerciții. Să se determine semnalul x S + d, a cărui transformată Z este dată de: a L s = b L s = c L s = d L s = ; + ; + 6 ; + a + a, a > 0 parametru. 5

6 Soluție: a Avem: x n = n L s d πi =ρ = Re n L s, n = Re, = lim n = lim n n = n n. b x n = n L s d πi =ρ = Re n L s, + Re n L s, i + Re n L s, i Re n L s, = lim n + = Re n i n L s, i = i i Re n L s, i = n i n ii +. Remarcăm că pentru n = 4k și n = 4k +, avem x n = 0, iar în celelalte două cauri, x n =. c [ Re n L s, = lim n ] + 6 = 4n +. 6 Re n L s, = n 5 Re n L s, = n 80. Obținem x n = 4n n 5 n 80. d, = a ± i sînt poli simpli. Avem: n x n = Re + a + a, = an + i n + a = i a n n. + an i n + a 6 n + Re + a + a,

7 Putem scrie trigonometric numerele și : = a + i = a cos π 4 + i sin π 4 = a i = a cos π 4 i sin π 4. Deci: x n = n a n sin nπ 4.. Fie x = x n S + d și y = y n, unde y n = x x n. Să se arate că Y = X. Soluție: Avem Y = y n n. Dar: n=0 X = x n n și n=0 x n n = X, n=0 deoarece x = 0. Putem continua și obținem n=0 x n k n = X. Așadar: k Y = X = X.. Cu ajutorul transformării Z, să se determine șirurile x n definite prin următoarele relații: a x 0 = 0, x =, x n+ = x n+ + x n, n N șirul lui Fibonacci; b x 0 = 0, x =, x n+ = x n+ x n, n N; c x 0 = x = 0, x =, x = 0, x n+4 + x n+ + x n+ + x n+ + x n = 0, n N; d x 0 =, x n+ + x n =, n Z; e x 0 = 0, x =, x n+ 4x n+ + x n = n + 4 n, n N. Soluție: Abordarea generală este să considerăm șirul x n ca fiind restricția unui semnal x S + d la N și rescriem relațiile de recurență sub forma unor ecuații de convoluție a x = y, pe care le reolvăm în S + d. a Fie x S + d, astfel încît restricția lui la N să fie șirul căutat. Deoarece avem: x n+ x n+ x n = y n, n Z, cu y n = 0 pentru n și y =, avem ecuația de convoluție: a x = y, unde a = δ + δ + δ, y = δ. 7

8 Aplicăm transformata Z și reultă: L s x = = x n = 5 [ + 5 n 5 n ]. b Ca în caul anterior, avem a x = y, cu a = δ δ + δ, unde y = δ. Aplicînd transformata Z, obținem: Obținem: x n = Re L s x + = = L s x = n +, + i + Re Calculăm reiduurile, cu notația ε = + i n Re +, ε Similar: Reultă: = lim ε = εn = n Re +, ε = x n = c Ecuația a x = y este valabilă pentru: i n +. și ε = i : n ε + cos nπ cos nπ + i sin nπ i. sin nπ, n N. +, i. i sin nπ i. a = δ 4 + δ + δ + δ + δ, y = δ δ. + Aplicăm transformata Z și obținem: L s x =. Descompunem în fracții + + simple, calculăm reiduurile și ținem cont de faptul că rădăcinile numitorului, ε, ε sînt poli de ordinul, obținem: x n = n 4εn εn n + εn + ε n ε n ε n ε ε = n sin nπ, n N. d Ecuația corespunătoare este a x = y, cu a = δ + δ și y n y = x 0 + x =, cu y n = 0, n, adică y = + δ. Așadar: δ x + δ x = + δ. =, n, iar 8

9 Aplicăm transformata Z și obținem: Re n Re n L s x + L s x = + = + + = L s x = + = x n = Re n + +, + + Ren +, +, = lim + + n + = 5 4 +, = lim n + = n 4 = n. Reultă: x n = 5 4 n. e Avem ecuația: a x = y, unde a = δ 4δ + δ, cu y n = 0, n, y = și y n = n + 4 n, n N. Fie s = n4 n n, s = 4 n n. Atunci: L s s = L s s 4 = = 4 4 = L s x = = = L s x = Descompunem în fracții simple și obținem, în fine: x n = 9[ 8 n + n 4 n 5 ], n N. OBSERVAȚIE: Toate exercițiile cu recurențe se mai pot reolva în alte două moduri: Se poate aplica teorema de convoluție relației de recurență. De exemplu, din recurența: putem obține: x n+ x n+ + x n = Zx n+ Zx n+ + Zx n = Z, iar Zx n+ = Zx n δ = Zx n Zδ etc. Se poate aplica teorema de deplasare. În aceeași recurență de mai sus, de exemplu, avem: Zx n+ = n Zx n x 0 x și la fel pentru celelalte. 9