Gabriela Grosu / EDCO 1 SEMINAR NR. 9, REZOLV ¼ARI EDCO, AIA 1:5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la acestea: ecu
|
|
- Romulus Ene
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Gabriela Grosu / EDCO SEMINAR NR. 9, REOLV ¼ARI EDCO, AIA :5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi şi ecuaţii reducibile la acesea: ecuaţii Bernoulli, ecuaţii Riccai :5:: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi Forma general¼a a unei ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi : 0 () = a () () + b () sau () d d = a + b (0 ) unde a : I R! R, b : I R! R sun dou¼a funcţii coninue. Rezolvare: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţiile () sau ( 0 ). Uilizând eplicaţiile eoreice din curs schiţ¼am dou¼a meode de rezolvare a acesei ecuaţii diferenţiale. Meoda variaţiei consanelor (Lagrange) : Eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei omogene aaşae ecuaţiei (), 0 () = a () () ; () care ese o ecuaţie cu variabile separabile, şi obţinem o (; c) = ce R a()d ; 8 I şi c R: (3) Eapa : Deermin¼am o soluţie paricular¼a a ecuaţiei neomogene (), folosind meoda variaţiei consanelor, de forma p () = u () e R a()d ; 8 I. (4) u : I! R ese o funcţie derivabil¼a care se deermin¼a impunând ca p da¼a de (4) s¼a veri ce (). Se înlocuieşe epresia lui u în (4) şi se obţine p () = b () e R a()d d e R a()d ; 8 I. (5) Eapa 3 : Soluţia general¼a a ecuaţiei neomogene () ese da¼a de (; c) = o (; c) + p () ; 8 I şi c R: (6 0 ) Înlocuind în formula anerioar¼a relaţiile (3) şi (5) se obţine (; c) = e R a()d c + b () e R a()d d ; 8 I şi c R: (6) Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiilor () sau ( 0 ), sub form¼a eplici¼a. Domeniul de de niţie a soluţiei ese chiar I = I. Convenţie : În calculul inegralelor nede nie ce apar în formulele (3), (5) şi (6) se cosider¼a oae consanele 0. În formulele (3) şi (6) apare o singura consan¼a c, deoarece formulele respecive sun penru soluţii generale ale unor ecuaţii diferenţiale de ordin înâi. În formula (4) nu apare nici o consan¼a deoarece formula d¼a o soluţie paricular¼a penru ecuaţia diferenţial¼a (). Meoda facorului inegran : În curs s-a demonsra c¼a ecuaţia () ese reducibil¼a la o ecuaţie cu diferenţial¼a eac¼a, folosind facorul inegran () = e R a()d ; 8 I. (7) Se înmulţeşe ecuaţia () cu (), se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng şi se resrâng ca şi derivaa unei funcţii ( () ()) 0, se inegreaz¼a ecuaţia şi se obţine formula (6). La pasul în care se inegreaz¼a ecuaţia se pune în evidenţa consana c R. Penru formula (6) se uilizeaz¼a Convenţia. În calculul inegralei nede nie ce apare în formula (7) se cosider¼a consana 0, deoarece se uilizeaz¼a un singur facor inegran.
2 Gabriela Grosu / EDCO Eerciţiul : S¼a se deermine soluţiile generale ale urm¼aoarelor ecuaţii diferenţiale liniare a) 0 () = () + 3 ; I; b) 0 () = () + ; I ; c) d d () = () cg + sin ; I; d) () = () + sin ; I ; d d Rezolvare : a) Fie ( LN ) 0 () = () + 3 ; I: Penru I D, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu a : R! R; a () = ; b : R! R; b () = 3 : Meoda variaţiei consanelor (Lagrange) : Eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei omogene aaşae ecuaţiei (), ( LO ) 0 () = () ; R, care ese o ecuaţie cu variabile separabile. Se observ¼a c¼a : R! R; () = 0; ese soluţie penru ecuaţia ( LO ), numi¼a soluţie singular¼a. C¼au¼am şi ale soluţii decâ cea singular¼a. ( LO ) ) 0 () () = ; 8 I R a.î. () 6= 0 0 () () d = d ) ln j ()j = + ln k; 8 I a.î. () 6= 0 şi k > 0 ) j ()j = ke ; 8 I a.î. () 6= 0 şi k > 0 ) () = ce ; 8 I a.î. () 6= 0 şi c R : Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a eplici¼a, unde I ese domeniul de de niţie a soluţiei. Aunci oae soluţiile ecuaţiei ( LO ) sun dae eplici de o (; c) = ce ; 8 R şi c R: Eapa : Deermin¼am o soluţie paricular¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ), folosind meoda variaţiei consanelor, de forma p () = u () e ; 8 R. u : R! R ese o funcţie derivabil¼a care se deermin¼a impunând ca p da¼a anerior s¼a veri ce ( LN ), adic¼a u 0 () e + u () e = u () e + 3 ; 8 R ) u 0 () = 3 e ; 8 R R u 0 () d = 3 e d ) Deermin¼am I (; c) = 3 e d = e 0 d = e e 0 d = e e +c; 8 R şi c R:
3 Gabriela Grosu / EDCO 3 Aunci u () = e e + 0; 8 R. S-a ales consana 0 deoarece se cau¼a o singur¼a soluţie paricular¼a p. Se înlocuieşe epresia lui u în cea a lui p şi se obţine p () = e e e = ; 8 R. Eapa 3 : Soluţia general¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ) ese da¼a de (; c) = o (; c) + p () ; 8 R şi c R; adic¼a (; c) = ce + ; 8 R şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a. de niţie a soluţiilor ese chiar I = R, penru ecare c R. Domeniul de Meoda variaţiei consanelor -redus¼a la formul¼a : Aplicând direc formula (6) şi convenţia se obţine (; c) = e R ( )d c + 3 e R ( )d d ; 8 R şi c R ) (; c) = e +0 c + 3 e +0 d ; 8 R şi c R ) h i (; c) = e c + e e + 0 ; 8 R şi c R: Meoda facorului inegran : Deermin¼am facorul inegran () = e R d = e +0 = e ; 8 R. În calculul inegralei nede nie ce apare în formula anerioar¼a se cosider¼a consana 0, deoarece se uilizeaz¼a un singur facor inegran. Se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = e ) 0 () e = () e + 3 e ; 8 R: Se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng ) 0 () e + () e = 3 e ; 8 R ) d () e = 3 R e ; 8 R d () e = 3 e d; 8 R folosim I(;c) )
4 Gabriela Grosu / EDCO 4 h i (; c) = e e e + c ; 8 R şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a. de niţie a soluţiilor ese chiar I = R, penru ecare c R. Domeniul de b) Fie 0 () = () + ; I: Aducem ecuaţia anerioar¼a la forma normal¼a ( LN ) 0 () = () + ; 8 I a.î. 6= 0. Penru I D, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu a : I! R; a () = ; b : I! R; b () = : I ese un inerval ce nu conţine = 0, adic¼a I ] ; 0[ sau I ]0; +[. Meoda variaţiei consanelor (Lagrange) : Eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei omogene aaşae ecuaţiei ( LN ), ( LO ) 0 () = () ; I, care ese o ecuaţie cu variabile separabile. Se observ¼a c¼a : I! R; () = 0; ese soluţie penru ecuaţia ( LO ), numi¼a soluţie singular¼a. C¼au¼am şi ale soluţii decâ cea singular¼a. ( LO ) ) 0 () () = ; 8 I R a.î. ( 6= 0 şi () 6= 0) 0 () () d = d ) ln j ()j = ln jj + ln k; 8 I a.î. ( 6= 0 şi () 6= 0) şi k R + ) j ()j = k jj ; 8 I a.î. ( 6= 0 şi () 6= 0) şi k R + ) () = c; 8 I a.î. ( 6= 0 şi () 6= 0) şi c R : Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a eplici¼a, unde I ese domeniul de de niţie a soluţiei. Aunci oae soluţiile ecuaţiei ( LO ) sun dae eplici de o (; c) = c; 8 I şi c R: Eapa : Deermin¼am o soluţie paricular¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ), folosind meoda variaţiei consanelor, de forma p () = u () ; 8 I. u : R! R ese o funcţie derivabil¼a care se deermin¼a impunând ca p da¼a anerior s¼a veri ce ( LN ), adic¼a u 0 () + u () = u () + ; 8 I ) u0 () = ; 8 Ij R R u 0 () d = R d ) u () = + 0; 8 I. S-a ales consana 0 deoarece se cau¼a o soluţie paricular¼a p. Se înlocuieşe epresia lui u în cea
5 Gabriela Grosu / EDCO 5 a lui p şi se obţine p () = ; 8 I. Eapa 3 : Soluţia general¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ) ese da¼a de (; c) = o (; c) + p () ; 8 I şi c R; adic¼a (; c) = (c + ) ; 8 I şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a. de niţie a soluţiilor ese chiar I, penru ecare c R. Domeniul de Meoda variaţiei consanelor -redus¼a la formul¼a : Aplicând direc formula (6) şi convenţia se obţine () = e R c d + e R d d ; 8 I şi c R ) () = e c lnjj+0 + e lnjj+0 d ; 8 I şi c R ) () = jj c + jj d ; 8 I şi c R: Aunci, penru I ]0; +[, (; c) = (c + + 0) ; 8 I şi c R şi, penru I ] ; 0[ ; (; c) = (c + 0) = ( c + ) ; 8 I şi c R: Meoda facorului inegran : Deermin¼am facorul inegran () = e R d = e lnjj+0 = ; 8 I. jj În calculul inegralei nede nie ce apare în formula anerioar¼a se cosider¼a consana 0, deoarece se uilizeaz¼a un singur facor inegran. Penru 8 I ]0; +[ se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = ) 0 () = () + ; 8 I: Se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng) 0 () + () = ; 8 I ) d () d R = ; 8 I
6 Gabriela Grosu / EDCO 6 () = + c; 8 I ) (; c) = ( + c) ; 8 I şi c R: Penru 8 I ] ; 0[ se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = (; c) = ( + c) ; 8 I şi c R: Domeniul de de niţie a soluţiilor ese chiar I, penru ecare c R. ) c) Fie ( LN ) d () = () cg + sin ; I: d Penru I D, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu a : I! R; a () = cg ; b : I! R; b () = sin : I R ese un inerval ce nu conţine fl; l g, adic¼a I ] ; 0[ sau I ]0; [ ş.a.m.d. Meoda variaţiei consanelor (Lagrange) : Eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei omogene aaşae ecuaţiei (), ( LO ) 0 () = () cg ; 8 I; care ese o ecuaţie cu variabile separabile. Se observ¼a c¼a : I! R; () = 0; ese soluţie penru ecuaţia ( LO ), numi¼a soluţie singular¼a. C¼au¼am şi ale soluţii decâ cea singular¼a. ( LO ) ) 0 () () = cg ; 8 I R a.î. ( = fl; l g şi () 6= 0) 0 () () d = cg d ) ln j ()j = ln jsin j + ln k; 8 I a.î. ( = fl; l g ; () 6= 0) şi k R + ) j ()j = k jsin j ; 8 I a.î. ( = fl; l g ; () 6= 0) şi k R + ) () = c sin ; 8 I a.î. ( = fl; l g ; () 6= 0) şi c R : Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a eplici¼a, unde I ese domeniul de de niţie a soluţiei. Aunci oae soluţiile ecuaţiei ( LO ) sun dae eplici de o (; c) = c sin ; 8 I şi c R: Eapa : Deermin¼am o soluţie paricular¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ), folosind meoda variaţiei consanelor, de forma p () = u () sin ; 8 I; u : I! R ese o funcţie derivabil¼a care se deermin¼a impunând ca p da¼a anerior s¼a veri ce ( LN ), adic¼a u 0 () sin + u () cos = u () sin cg + + sin ; 8 I ) u 0 () = ; 8 Ij R u () = + 0; 8 I: S-a ales consana 0 deoarece se cau¼a o soluţie paricular¼a p. Se înlocuieşe epresia lui u în cea a lui p şi se obţine
7 Gabriela Grosu / EDCO 7 p () = sin ; 8 I: Eapa3 : Soluţia general¼a a ecuaţiei neomogene ( LN ) ese da¼a de (; c) = o (; c) + p () ; 8 I şi c R; adic¼a (; c) = (sin ) c + ; 8 I şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a. de niţie a soluţiilor ese chiar I, penru ecare c R. Domeniul de Meoda variaţiei consanelor -redus¼a la formul¼a : Aplicând direc formula (6) şi convenţia se obţine (; c) = e R cg d c + (sin ) e R cg d d ; 8 I şi c R ) (; c) = e c lnjsin j+0 + (sin ) e lnjsin j+0 d ; 8 I şi c R ) (; c) = jsin j c + sin jsin j d ; 8 I şi c R: Fie I, inerval ales asfel încâ sin > 0; 8 I. Aunci (; c) = (sin ) c + ; 8 I şi c R: Fie I, inerval ales asfel încâ sin < 0; 8 I. Aunci (; c) = sin c + 0 ; 8 I şi c R ) (; c) = (sin ) c + ; 8 I şi c R: Meoda facorului inegran : Deermin¼am facorul inegran () = e R cg d = e lnjsin j+0 = ; 8 I: jsin j În calculul inegralei nede nie ce apare în formula anerioar¼a se cosider¼a consana 0, deoarece se uilizeaz¼a un singur facor inegran. Fie I, inerval ales asfel înc¼a sin > 0; 8 I. Aunci se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = sin ) 0 () sin = () cg + ; 8 I: sin Se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng)
8 Gabriela Grosu / EDCO 8 0 () sin + () cos sin = ; 8 I ) d () d sin R = ; 8 I () sin = + c; 8 I şi c R ) (; c) = (sin ) + c ; 8 I şi c R: Fie I, inerval ales asfel înc¼a sin < 0; 8 I. Aunci se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = (; c) = (sin ) + c ; 8 I şi c R: d) analog cu c). :5:: Ecuaţii diferenţiale Bernoulli-nu se cer în :5:3: Ecuaţii diferenţiale Riccai-nu se cer în sin ) : PROBLEME CAUCHY ŞI PROBLEME LA LIMIT ¼A Eerciţiul : S¼a se deermine soluţiile penru + e () a) problema Cauchy 0 () = e (0) = ; Rezolvare : eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei () + e () 0 () = e : Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia (). Se observ¼a c¼a () ) () 0 () = e + e ; 8 I R () 0 () d = e + e d; 8 I ) () () = ln + e + c; 8 I şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a implici¼a. Menţion¼am c¼a () nu are soluţii singulare. Deci () reprezin¼a oae soluţiile penru () : Soluţia general¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a, penru ecare c R, de urm¼aoarele dou¼a familii de funcţii : I! R; () = p (ln ( + e ) + c); : I! R; () = p (ln ( + e ) + c); unde domeniul de de niţie a soluţiei, depinde de consana c. Penru ecare c R, I = I = I = R; ln + e + c 0 : eapa : Deermin¼am acea soluţie paricular¼a a ecuaţiei () (dac¼a eis¼a, dac¼a e unic¼a) ce veri c¼a CI : (0) =. Înlocuim CI în () şi obţinem = ln + e0 + c ) c = ln : Înlocuim aceas¼a consan¼a în () şi obţinem () = ln + e + ln ; 8 I: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ce veri c¼a CI : (0) =, sub form¼a implici¼a(acea ramur¼a cu () 0 din (0) = 0). Soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a de q : I! R; () = ln ( + e ) + ln ; 8 I; unde domeniul de de niţie a soluţiei, I = I se obţine din ln + e + ln 0:
9 Gabriela Grosu / EDCO 9 + b) problema Cauchy + 0 = 0 () = 0; Rezolvare: eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei () = 0: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am () =?, funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia (). Se observ¼a c¼a () ) () 0 () + () = ; 8 I R, a.î. 6= 0 () 0 () + () d = d; 8 I, a.î. 6= 0 ) ln + () = ln jj + ln k; 8 I ; a.î. 6= 0 şi k > 0: () + () = c ; 8 I ; a.î. 6= 0 şi c R +: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a implici¼a. Menţion¼am c¼a () nu are soluţii singulare. Deci () reprezin¼a oae soluţiile penru () : Soluţia general¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a, r penru ecare c R +, r de urm¼aoarele dou¼a familii de funcţii c c : I! R; () = ; : I! R; () = ; unde domeniul de de niţie a soluţiei, I = I = I, depinde de consana c: Penru ecare c R, I = R; c 0; 6= 0 : eapa : Deermin¼am acea soluţie paricular¼a a ecuaţiei () (dac¼a eis¼a, dac¼a e unic¼a) ce veri c¼a CI : () = 0. Înlocuim CI în () şi obţinem + 0 = c ) c = : Înlocuim aceas¼a consan¼a în () şi obţinem + () = ; 8 I: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ce veri c¼a CI : () = 0, sub form¼a implici¼a. Soluţia paricular¼a r a ecuaţiei () ese da¼a r sub form¼a eplici¼a de : I! R; () = + ; : I! R; () = ; unde domeniul de de niţie a soluţiei, I = I [ ; 0[ [ ]0; ] se obţine din 0:
10 Gabriela Grosu / EDCO 0 ( 3 0 () sin () = c) problema la limi¼a lim () =!+ : Rezolvare: c) eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei () 3 0 () sin () = : Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am () =?, funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia (). Se observ¼a c¼a () ) (sin ()) 0 () = 3 ; 8 I R, cu 6= 0 (sin ()) 0 () d = 3 d ) () cos () = + c; 8 I, cu 6= 0 şi c R: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia general¼a a ecuaţiei () sub form¼a implici¼a. Soluţia general¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a, penru ecare c R, de : I! R; () = arccos c ; 8 I, unde domeniul de de niţie a soluţiei, I, depinde de consana c (penru ecare c se obţine o soluţie cu un anumi domeniu de de niţie şi o anumi¼a lege de asociere) (se impune c [ ; ] şi 6= 0). eapa : Deermin¼am acea soluţie paricular¼a a ecuaţiei () (dac¼a eis¼a, dac¼a ese unic¼a) ce veri c¼a CL : lim () =!. Uiliz¼am CL în () şi obţinem cos = lim + c ) c = 0:!+ Înlocuim aceas¼a consan¼a în () şi obţinem cos () = ; 8 I. Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ce veri c¼a CL : lim () =, sub form¼a! implici¼a. Soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ese da¼a sub form¼a eplici¼a de : I! R; () = arccos ; 8 I, unde domeniul de de niţie a soluţiei, I = I [ ; 0[ [ ]0; ] se obţine din [ ; ] şi 6= 0: Eerciţiul. S¼a se deermine soluţia problemei Cauchy () e () 4 d + e () d () = 0 () =
11 Gabriela Grosu / EDCO Rezolvare : Eapa :Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei () () e () 4 d + e () d () = 0; I: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am () =?, funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia (). Folosind Convenţiile şi : () ) e 4 d + e d = 0. No¼am D domeniu simplu cone, D R şi P : D! R; P (; ) = e 4 Q : D! R; Q (; ) = e : Eapa 8 : : Sudiem dac¼a ecuaţia () ese cu diferenţial¼a eac¼a. (; ) = e 4 + e ; 8 (; (; ) = e + e ; 8 (; ) (; ) (; ) = 0; 8 (; ) D ) ecuaţia () poae cu diferenţial¼a eac¼a. ese ales domeniu simplu cone) ecuaţia () ese cu diferenţial¼a eac¼a. Eapa : : Deermin¼am acea funcţie (eis¼a conform Eapei :) F : D R! R, de clasa C pe D, din 8 a c¼arei diferenţial¼a s¼a provin¼a ecuaţia, adic¼a (; ) = e 4 ; 8 (; ) D, (; ) = e ; 8 (; ) D: Sisemul anerior ese un sisem de ecuaţii cu derivae parţiale în necunoscua F (; ). Îl rezolv¼am. modul. (:)j R () d (; ) d = e 4 d ) F (; ) = e + ' () ; 8 (; ) unde ' () ese o funcţie necunoscu¼a, consan¼a în rapor cu variabila de inegrare. Deermin¼am ' folosind şi (:) din sisem. Deriv¼am ulima relaţie în rapor cu (; ) = Înlocuim (:) ) (e ) = e + d' d + d' () ; 8 (; ) D. d Înlocuim în epresia lui F ) F (; ) = e + c ; 8 (; ) D şi c R. modul. (:)j R () d ) () ; 8 (; ) D ) d' d () = 0 ) ' () = c ; c (; ) d = (e )d ) F (; ) = e + () ; 8 (; ) unde () ese o funcţie necunoscu¼a, consan¼a în rapor cu variabila de inegrare. Deermin¼am folosind şi (:) din sisem. Deriv¼am ulima relaţie în rapor cu (; ) = e 4 + d Înlocuim (:) ) (e 4) = e 4 + d () ; 8 (; ) D. () ; 8 (; ) D ) d d () = 0 ) () = c ; c R: d Înlocuim în epresia lui F ) F (; ) = e + c ; 8 (; ) D şi c R Eapa :3 : Cu F deermina¼a la Eapa, obţinem c¼a soluţia generala a ecuaţiei () ese daa sub
12 Gabriela Grosu / EDCO forma implici¼a de F (; ) = c 3 ; c 3 R, adic¼a, noând c = c 3 c sau c = c 3 c ; de () e = c; 8 (; ) D şi c R. Local, s-ar puea eplicia : I! R;unde domeniul de de niţie a soluţiei, I, depinde de consana c (penru ecare c se obţine o soluţie cu un anumi domeniu de de niţie şi o anumi¼a lege de asociere). Eapa : Impunem asupra soluţiei generale g¼asie condiţia iniţial¼a CI : () = şi g¼asim acea soluţie paricular¼a ce veri c¼a CI. Înlocuim în () condiţia iniţial¼a () = ) e = c ) c = e 8: Înlocuim aces c în () ) e = e 8; 8 (; ) D. Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiei () ce veri c¼a CI : () =. 8 < Eerciţiul 3: S¼a se deermine soluţia problemei Cauchy 0 = : + ( + ) ; 8 I (0) = 3: Rezolvare: Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei ( LN ) 0 () = () + ( + ) ; I: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a 8 liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu < a : I! R; a () = : ; b : I! R; b () = ( + ) : I R ese un inerval ce nu conţine f ; g, adic¼a I ] ; [ sau I ] ; [ sau I ]; +[. Meoda variaţiei consanelor dealia-em¼a Meoda variaţiei consanelor redus¼a la formula (6) penru ecuaţia în necunoscua () şi Convenţia. Se obţine : R 3 () = e d 6 4c + ( + ) e d 7 d5 ; 8 I şi c R ) () = e lnj + j+0 c + () = + c + ( + ) ( + ) e lnj +j+0 d ; 8 I şi c R ) + d ; 8 I şi c R: Penru I ] ; [ sau I ]; +[ ) ( ) (; c) = + c ; 8 I şi c R:
13 Gabriela Grosu / EDCO 3 Penru I ] ; [, (; c) = + c ; 8 I şi c R ) ( ) (; c) = + c + ; 8 I şi c R: Relaţiile ( ) şi ( ) dau cele dou¼a familii de soluţii generale ale ecuaţiei ( LN ). Meoda facorului inegran : Deermin¼am facorul inegran: R () = e d = e lnj +j+0 = + ; 8 I. () = + = + ; dac¼a I, I ] ; [ sau I ]; +[ + ; dac¼a I, I ] ; [ Deoarece în eapa vom impune CI : (0) = 3; sudiem cazul în care 0 I, adic¼a I ] ; [ : Penru 8 I ] ; [ se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = h i h i h i + ) 0 () + = ( )(+) () + + ( + ) + ; 8 I: Se rec ermenii ce conţin, 0 în membrul sâng) i i + () = ( ) ; 8 I 0 () h + () h + i = = ( ) ; 8 I ) d h () (+) d + h i + c; 8 I ) (; c) = + ( ) (; c) = + + c ; 8 I şi c R: Penru 8 I, I ] ; [ sau I ]; +[ se înmulţeşe ecuaţia ( LN ) cu () = R + c ; 8 I şi c R: + )analog. eapa : Impunem asupra soluţiei generale condiţia iniţial¼a (0) = 3, adic¼a ( 0 ; 0 ) = (0; 3). Cum 0 = 0 I ] ; [ înlocuim ( 0 ; 0 ) = (0; 3) în ( ) ) 3 = c ) c = 3: Înlocuim c = 3 în ( ) ) (; 3) = ; 8 I: Ulima relaţie reprezin¼a soluţia paricular¼a a ecuaţiiei ( LN ), sub form¼a eplici¼a, ce veri c¼a (0) = 3 8 < d b) S¼a se deermine soluţia penru d () sin () cos = sin : lim () = 0:!+ Rezolvare: eapa : Deermin¼am soluţia general¼a a ecuaţiei d d () sin () cos = sin ; I ) ( LN ) 0 sin () = (cg ) () ; I: Penru I I, variabil¼a independen¼a din domeniul de de niţie al soluţiei, c¼au¼am = () funcţie necunoscu¼a, soluţie penru ecuaţia ( LN ). Se observ¼a c¼a ecuaţia ( LN ) ese ecuaţie diferenţial¼a liniar¼a de ordin înâi neomogen¼a, cu
14 Gabriela Grosu / EDCO 4 ( a : I! R; a () = cg ; b : I! R; b () = sin : I R ese un inerval ce nu conţine nici 0, nici fl; l g, adic¼a I ] ; 0[ sau I ]0; [ ş.a.m.d. La aces eerciţiu vom uiliza direc formula (6) penru ecuaţia în necunoscua () şi Convenţia: (; c) = e R R (cg )d sin c + e (cg )d d ; 8 I şi c R ) (; c) = e c lnjsin j+0 sin + e lnjsin j+0 d ; 8 I şi c R ) (; c) = jsin j c + jsin j d ; 8 I şi c R: sin Penru I asfel încâ sin > 0; 8 I ) ( ) (; c) = (sin ) c ; 8 I şi c R: Penru I asfel încâ sin > 0; 8 I ) (; c) = ( sin ) c + 0 ; 8 I şi c R ) ( ) (; c) = (sin ) c + ; 8 I şi c R: Relaţiile ( ) şi ( ) dau cele dou¼a familii de soluţii generale ale ecuaţiei ( LN ). Puem grupa cele doua epresii în () (; c) = (sin ) c + ; 8 I a.î. sin 6= 0 şi c R: eapa : Impunem Condiţia la limi¼a lim () = 0: Cum recerea la limi¼a penru! + în!+ epresia lui () presupune alegerea unui inerval de de niţie a soluţiei de forma I = ]d; +[ iar sin ese funcţie periodic¼a (adic¼a eis¼a inervale ]d ; +[ pe care sin > 0 şi eis¼a inervale ]d ; +[ pe care sin < 0) nu puem şi în care din relaţiile ( ) sau ( ) s¼a recem la limi¼a. Deoarece penru ecuaţii diferenţiale liniare, deci şi la eces eerciţiu, soluţiile po grupae sub (), convenim s¼a impunem asupra soluţiei generale () condiţia la limi¼a lim () = 0, adic¼a!+ lim () = lim (sin ) c +!+!+ Cum limia din membrul drep al relaţiei anerioare nu eis¼a ) nu g¼asim nici un c din relaţia anerioar¼a ) nu eis¼a nici o soluţie paricular¼a a ecuaţiei ( LN ) care s¼a veri ce condiţia la limi¼a () = 0. lim!+ Dac¼a s-ar ceru lim () =, consideram I = ] ; 0[ şi I = ]0; [, impuneam 8!0 8 < lim () = < lim (sin ) c + "0;I "0;I = ) : lim () = : lim (sin ) c + ) c #0;I #0;I = R şi c R adic¼a lim () = 0 e veri ca¼a de oae soluţiile de nie pe I şi lim () = 0 e veri ca¼a de oae "0 #0 soluţiile de nie pe I.
Slide 1
ELECTROTEHNICĂ ET An I - ISA CURS 13 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ehm.ucluj.ro REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE Generaliăţi Definiţie Regimul elecrocineic
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( )
Mai multOlimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 14 februarie 2015 Subiecte 1. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m într-o mişcare uniformă la înălţ
Subiece. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m înr-o mişcare uniformă la înălţimea h = m pe un plan înclina, cu ajuorul sisemului de scripeţi din Figura (palan). Când lespedea urcă uniform,
Mai multLucrarea nr
REDRESOARE MONOFAZAE U FLRU APAV. OBEVE a) Sabilirea dependenţei dinre ipul redresorului (monoalernanţă, bialernanţă) şi forma ensiunii redresae. b) Deerminarea efecelor modificării valorilor rezisenţei
Mai multMicrosoft Word - Tema_FIR.doc
TEMA. FILTRE CU RĂSPUNS FINIT LA IMPULS. Un filru digial RFI cu fază liniară, de ipul, cu coeficienţi reali şi cu imp de înârziere de grup minim, are: / - zerourile z = e π, z = 0, 7. - aenuare infiniă
Mai multI
ACADEMIA DE UDII ECONOMICE BUCUREŞI CAEDRA DE MONEDĂ INGINERIE FINANCIARĂ APLICAŢII Bucureşi 9 CUPRIN I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni... 3 II. Noţiuni elemenare... 5 III. Modelul Binomial... 9
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multMicrosoft Word - Indrumar2008_v6.doc
6.. Decimarea Decimarea reprezină operaţia de reducere a raei de eşanionare a unui semnal discre cu un facor înreg : LUCRAREA 6 CHIBAREA RATEI DE EŞANTIONARE. APLICAŢII ALE CIRCUITELOR ULTIRATĂ x [ n]
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multMicrosoft Word - CAN si CNA.doc
CONVETOAE ANALOG-NUMEICE SI NUMEIC ANALOGICE Asa cum s-a meniona anerior, dupa amplificarea si filrarea semnalelor care urmeaza sa fie prelucrae de un sisem digial, se face conversia analog-numerica a
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multrrs
Modelul Tramo - Seas uiliza în analiza seriilor dinamice Prof. univ. dr. Consanin ANGHELACHE (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși / Universiaea Arifex din Bucureși Prof. univ. dr.
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multMicrosoft PowerPoint - Radulescu -econfirme.ppt [Compatibility Mode]
Economisirea companiilor în România Bogdan Rădulescu, CFA CEROPE Piraeus Bank Romania Definiţie Valoare adăugaă bruă Cheluieli cu salariaţii Impozie nee pe producţie Profi operaţional bru Dobânda neă plăiă
Mai multMicrosoft Word CursAppAnNum08
I20 Conrolul asulu În unele cazur ese necesară enru obţnerea une eror dae folosrea unu as varabl în rezolvarea numercă Meodele numerce care folosesc un as varabl se numesc meode adave Penru conrolul asulu
Mai multMicrosoft Word - 3_bratu_ro.doc
Economie eoreică şi aplicaă Volumul XVIII (011), No. 11(564), pp. 1-9 Inervale de previziune ale inflaţiei în România Mihaela BRATU Academia de Sudii Economice, Bucureşi mihaela_mb1@yahoo.com Rezuma. În
Mai multC:/Octavian/proiecte_TeXandFriends_mai2015/Alte_tutoriale/asimpt/book.dvi
Ocavian G. Musafa Inegrarea Asimpoică a Ecuaţiilor Diferenţiale Ordinare în Cazul Neauonom Trei aricole Publicaţiile DAL Craiova Fişier prelucra în daa de [November 19, 2015] Averismen Aces eseu nu a
Mai multSCCECE
Profesor univ. dr. Ana Mihaela ANDREI E-mail: aaeconomy@gmail.com Academia de Sudii Economice din Bucuresi Lecor Dr. Ramona-Mihaela PĂUN E-mail: paunrm@webser.ac.h Webser Universiy, Thailand UTILIZAREA
Mai multMicrosoft Word - Tema 01 - Terminologie, valori sintetice, forma generica.doc
1. ermeni şi definiţii Mărimea fizică reprezină o proprieae comună a unei caegorii de obiece, sări, evenimene sau fenomene, care se poae evalua caniaiv. Descrierea simbolică a mărimilor fizice se bazează
Mai multVBS_ro_2012_ pdf
Siseme de cleme U ride U, form N cu conrapies din plasic 396 cu conrapies mealic 398 cu conecarea ecranrii 398 ride U, cap ciocan cu conrapies din plasic 399 cu conrapies mealic 403 Fiarea prizei de pmn
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multTRANSFER DE CÃLDURÃ ŞI MASÃ
Gelu COMAN TRANSFER DE CÃLDURÃ ŞI MASÃ 0 INTRODUCERE Diversiaea domeniilor de aplicare a fenomenelor de ransfer de cãldurã se daoreşe muliplelor aspece sub care acesea se manifesã în procesele indusriale.
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multMicrosoft Word - PI-L8r
Procesarea Imailor - aboraor 8: Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 1 8. Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 8.1. Inroducere În aceasă lucrare se vor prezena prcipalele răsăuri saisice care caracerizează
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multUTILIZAREA METODEI VAR PENTRU ANALIZA MODULUI ÎN CARE ELASTICITATEA CERERII FAŢĂ DE VENITURI INFLUENŢEAZĂ REACŢIA CERERII LA ŞOCURI SURVENITE ÎN VENIT
UTILIZAREA METODEI VAR PENTRU ANALIZA MODULUI ÎN CARE ELASTICITATEA CERERII FAŢĂ DE VENITURI INFLUENŢEAZĂ REACŢIA CERERII LA ŞOCURI SURVENITE ÎN VENITURI Andrei DOSPINESCU * Rezuma În lucrarea de faţă
Mai multSeminar 6 1. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f (x) = e x cos 2x. Soluţie: Funcţia dată satisface condiţiile teoremei de repre
Seminar 6. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f x) e x cos x. Funcţia ată satisface coniţiile teoremei e reprezentare a unei funcţii printr-o integrală Fourier şi mai observăm că
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf
EMNALE ANALOGICE Obiecivele ceui cur: Diribuţii Funcţii ingulre Diribuţii uile în udiul emnlelor Trnform Fourier Funcţi de denie pecrlă Proprieăţi le rnformelor Fourier direcă şi inveră 3 Diribuţii Funcţii
Mai mult2
odulaţia PA Def.: Frecvenţa de imbol în ranmiiile numerice frecvenţa de imbol (au frecvenţa de emnalizare ee daă de numărul de variaţii (daoriă proceului de modulare pe uniae de imp (ecundă a paramerului
Mai multGHID PENTRU REALIZAREA RAPORTULUI ANUAL DE MONITORIZARE A PJGD ARAD Contractul de servicii nr. 9978/ privind Elaborarea Planului Judetean de
GHID PENTRU REALIZAREA RAPORTULUI ANUAL DE MONITORIZARE A PJGD ARAD Conracul de servicii nr. 9978/20.10.2007 privind Elaborarea Planului Judeean de Gesionare a Deseurilor 15 Ianuarie 2008 COORDONATOR PROIECT:
Mai multMicrosoft Word - L5 - Studiul invertoarelor monofazate de tip paralel.doc
Sudiul inveroarelor monofazae de ip paralel. Inroduere Inveroarele de ip paralel sun monaje are ransformă energia eleriă de uren oninuu în energie eleriă de uren alernaiv, de o anumiă frevenţă, formă şi
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multIsaic2.doc
Revisa Informaica Economica, nr. 2 (22)/2002 65 Cosul fiabiliaii si menenanei sisemelor complexe cu degradare coninua Prof. dr. Alexandru ISAIC-MANIU, conf. univ. dr. Tudorel ANDREI Caedra de Saisica si
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multMatematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I
Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,
Mai multAlgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2
lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multrrs
Aspece privind meodologia Eurosa de esimare a discrepanțelor în saisica comerțului inernațional Prof. univ. dr. Consanin ANGHELACHE (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși / Universiaea
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multUntitled
F PROSPEC DE OFERA DE PRELUARE BENEVOLA A VALORLOR MOBLARE Emien: PARCUL DE AUOBUZE DN BAL S.A. Preful pldi per acliune: 5 lei Perioada oerei:4w M& e@m/ Oferan: MOLDRANS-UR S.R.L. ermediar: S.C. BROKER
Mai multUniversitatea Lucian Blaga din Sibiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Calculatoare şi Inginerie Electrică FIŞA DISCIPLINEI * Valabil an univer
FIŞA DISCIPLINEI * Valabil an universitar 018-019 1. Date despre program Instituţia de învăţământ superior Facultatea Departament Domeniul de studiu Ciclul de studii Specializarea Universitatea Lucian
Mai multTransformata Laplace
NTRODCERE Crcue de curen connuu Teoremele lu Krchhoff K u K Relațle înre enun ș curenț u e u R Probleme: -analza crcuelor - e dau relale nre enun curen conexunle e cer u 2 -neza crcuelor - e dau anum u
Mai multSubiecte
Cap. Semnale şi instrumente pentru generarea lor. Ce tipuri de aparate pot genera semnal sinusoidal? 2. Care sunt principalele caracteristici ale unui generator de audio frecvenţă? 3. Care sunt principalele
Mai multModelarea deciziei financiare şi monetare
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI FACUTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VAORI Modelarea deciziei financiare şi monetare Teoria producătorului Aleandru eonte Departamentul de Monedă
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multMicrosoft Word - L02_SampleAndHold
sample hold command Vi Ve Ve 0 Figura.1 Comporarea ideală a unui circui. Vi Voff1 Vi Voff - - K + + CH OA OA1 Figura. Principiul de funcționare a unui circui. 1.1 Supor eoreic Un circui ce realizează funcția
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multCOMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 2019
COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 09 INTRODUCERE Gazea Maemaică repreziă peru pasioații de maemaică,fie
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multMicrosoft Word - ORDIN nr doc
ORDIN nr. 237 din 7 aprilie 2006 privind auorizarea culivaorilor de plane modificae geneic În baza prevederilor ar. 4 alin. (1) li. c) din Ordonanţa Guvernului nr. 49/2000 privind regimul de obţinere,
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai mult1
4.3. Amplificatoare de semnal mic Amplificatoarele de semnal mic (ASM) au semnalul amplificat mic în raport cu tensiunile de c.c. de polarizare a tranzistoarelor. Tranzistoarele funcţionează într-o zonă
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCurs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e
Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai mult02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multDependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,
Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție
Mai multPROBLEME PRIVIND INSTABILITATEA UNOR CALCULE ALE MECANISMELOR
INSTABILITĂŢI DE CALCUL LA ANALIZA DIADEI RRR s.l. univ. dr. ing. Valentina MANEA s.l.univ.dr.ing. Raluca GRASU Rezumat. Se studiază instabilităţile de calcul care apar la analiza diadei RRR, cauzate de
Mai multMicrosoft Word - C05_Traductoare de deplasare de tip transformator
Traductoare de deplasare de tip transformator Traductoare parametrice. Principiul de funcţionare: Modificarea inductivităţii mutuale a unor bobine cu întrefier variabil sau constant. Ecuaţia care exprimă
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multAnaliză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019
Analiză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019 Cuprins 1 Ecuații și sisteme diferențiale 3 1.1 Ecuații liniare de ordinul n cu coeficienți constanți.............. 3 1.2 Metoda eliminării
Mai multFizica fluidelor Cursul 5
Fizica fluidelor Cursul 5 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul III. Curgeri potențiale. III.1. Fluidul perfect. III.2. Teorema lui Bernoulli. III.3. Echilibrul hidrostatic. III.4.
Mai mult2
C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11
Mai multProgramare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e
Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2
Mai multLimite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multFIŞA UNITĂŢII DE CUR S/MODULULUI MD-2012, CHIŞINĂU, STR. 31 AUGUST, 78, TEL: FAX: , Matematica economică 1. Date d
MD-01, CHIŞINĂU, STR. 31 AUGUST, 78, TEL: 0 3-76-16 FAX: 0 3-41-87, www.utm.md Matematica economică 1. Date despre unitatea de curs/modul Facultatea Inginerie Economică și Business Catedra/departamentul
Mai mult2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multInvesteşte în oameni
FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Politehnică Timișoara 1. Facultatea / Departamentul 3 Facultatea de Inginerie Hunedoara / Inginerie Electrică
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multPowerPoint Presentation
Meoe Numece e Rezolvae a Ssemelo e Ecuaț Deențale Ș.l. D. ng. Levene CZUMBIL E-mal: Levene.Czumbl@em.uclu.o WebPage: p://uses.uclu.o/~czumbl Se conseă un ssem e ecuaţ eenţale onae cu conţle nţale e ma
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai mult