SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf

Transcriere

1 EMNALE ANALOGICE Obiecivele ceui cur: Diribuţii Funcţii ingulre Diribuţii uile în udiul emnlelor Trnform Fourier Funcţi de denie pecrlă Proprieăţi le rnformelor Fourier direcă şi inveră 3 Diribuţii Funcţii ingulre În udiul emnlelor nlogice cre un în generl funcţii coninue de, pr deeori diconinuiăţi ce nu po fi re prin funcţiile coninule () : R C cunocue din nliz memică În cee iuţii ee necer ă e peleze l eori diribuţiilor 3 Diribuţii uile în udiul emnlelor Proprieăţi e numeşe diribuţie proceul de ribuire prinr-o funcţionlă f, unor vlori N f de unei funcţii, cărei i e impun prin ipoeză condiţii uplimenre Penru, defini în R (czul emnlelor fizice), proceul de ribuire de vlori e defineşe prin relţi: f d N e numeşe diribuţie Dirc, coninuă în f (3), vlore Rezulă relţi de definiţie penru : d, o funcţionlă cre ribuie unei funcţii (3) e numeşe diribuţie de ip repă-unie, u inegrbilă în R, vlorii: ud d (33) Funcţi u ee binecunocuă din elecroehnică e reprezină grfic c în figur 3b În figur 3 e ră reprezenre grfică funcţiei,, ribuire unei funcţii,

2 - - - b - Figur 3 Prezenre grfică funcţiei: - şi b - u relţi: Vlore principlă funcţiei ee un l exemplu de diribuţie, definiă prin vp d lim d d Inegrl (34) re o vlore numerică excă dcă mărgini: I,,, (34) ee o funcţie cu uporul Diribuţiile menţione e deoebec înre ele prin proprieăţile funcţiilor corepunzăore Diribuţi penru funcţi u ee regulă deorece funcţi ee locl inegrbilă Diribuţiile obţinue cu şi v p nu un regule: cee e numec şi v p, funcţii ingulre Dinre funcţiile ingulre, ee deoebi de impornă penru udiul emnlelor : diribuţii ingulre, ir Proprieăţi le funcţiei (35) d d (36) 3 n n n d, dcă 4 Dcă y y du 5 d ee derivbil de n ori (37) y ee o funcţie coninuă în şi, unci: (38) (39) 4 Anliz Fourier emnlelor neperiodice Trnform Fourier Funcţi de denie pecrlă Fie o funcţie ce decrie un emnl nlogic Preupunem că Trnform Fourier lui ee prin definiţie: L

3 e j d R (3) Aunci când ifce condiţiile lui Dirichle, funcţi lim p poe fi T deermină prin rnformre Fourier inveră din : j e d (3) e noeză imbolic F Funcţi e numeşe rnform Fourier inveră lui Deorece mjorie emnlelor nlogice ifc condiţiile de exienţă le rnformei Fourier L, rnformările inegrle (3) şi (3) un un imporn inrumen de udiu, bilind legăur înre cele două limbje: în imp şi în frecvenţă Din exprei penru rezulă că pecrul de frecvenţe l unui emnl periodic ee coninuu Conform relţie (3), emnlul ee coniui dinr-o umă infiniă de exponenţile cu mpliudine d Funcţi ee conideră funcţi originl, ir, funcţie imgine Dcă L, exiă â rnform Fourier direcă câ şi ce inveră şi, în plu, L, R unci (3) O conecinţă impornă ceui fp ee poibilie de deermin energi emnlelor prin inermediul reprezenării în frecvenţă Fie emnlul şi imgine în frecvenţă Exprei energiei emnlului ee: d 3 (33) Înlocuid din (33) prin relţi corepunzăore rnformării Fourier şi rernjând ermenii e găeşe: j e d d (34) În prnez rondă e recunoşe, fel că eglând relţiile (33) şi (34) e obţine: d d (35) relţie cunocuă ub denumire eorem Ryleigh energiei Reprezenre grfică funcţiei, repeciv rg, coniuie digrm pecrlă echivlenă pecrului de mpliudini, repeciv de fze Ace grfic permie preciere benzii de frecvenţă ocupă de emnl Funcţi reprezină funcţi de denie pecrlă energiei emnlului Grficul ceei funcţii ne informeză upr benzii energeice emnlului, cre cuprinde inervlul de frecvenţe în cre ee concenră ce mi mre pre din energi emnlului

4 Proprieăţi le rnformelor Fourier direcă şi inveră Trnform Fourier ee un operor linir În rpor cu ce operor, pereche de funcţii poedă numie proprieăţi cre conduc l imporne implificări în clcule Linirie Trnform Fourier umei unor emnle ck k, c k conn ee um rnformelor Fourier individule: F ck k ck k (36) k k Demonrţi ee imediă, conform definiţiei (3) Derivre în domeniul imp Trnform Fourier derivei unui emnl Fourier emnlului deci: j Relţi (38) preupune exienţ derivei Demonrţi ' d e j d d Derivând ub inegrlă e găeşe: ' j j e d 4 n ee de j ori rnform F ' (37) Penru o derivre de n ori în rpor cu impul e obţine relţi: n n F j (38) şi prenenţ l L j F ' 3 Inegrre în domeniul imp Trnform Fourier inegrlei unui emnl emnlului împărţiă l j Inegrl din rebuie ă dmiă rnformre Fourier Rezulă: F d j Demonrţi j d e d d j e d d e j j e j ee rnform Fourier j d (39) Deci relţi (39) ee demonră C şi în czul derivării, inegrre e poe plic de mi mule ori

5 4 imeri Trnformele Fourier direcă şi inveră un imerice în rpor cu funcţiile ce e rnformă Dcă: F (3) unci: F (3) Aceă propriee rezulă direc din expreiile rnformelor 5 Derivre în domeniul frecvenţă ' j F Demonrţi e conideră rnformre: e j cre e deriveză în rpor cu şi e obţine: ' d j e j d (3) de unde rezulă propriee (3) Exindere ceui rezul l derivele de ordin uperior conduce l relţi: n n F j (33) 6 Inegrre în domeniul frecvenţă F d j Demonrţi Ee imilră celei precedene Propriee 6 e poe exinde nlog derivării, l inegrări ucceive (34) 7 chimbre cărilor O comprimre cării impului penru penru şi reciproc Exprimre nliică ceei proprieăţi ee urmăore: F, R Demonrţi F Fie emnlul şi F Noând F j e d, e obţine d d şi rezulă: j e d 5 conduce l o dilre cării frecvenţelor (35)

6 Fourier Inegrl reprezină ocmi Propriee enunţă ee demonră 8 Înârziere emnlului Înârziere lui cu în domeniul imp conduce l o muliplicre rnformei j cu e e j F (36) Demonrţi Noând F ( ) e j d, rezulă d d şi înlocuind în inegrl precedenă, e găeşe: j ( ) e j d e F Ulim inegrlă ee ocmi 9 Deplre pecrului (modulre) e j d, deci relţi (36) ee demonră Orice deplre funcţiei de denie pecrlă emnlului cu j e j e cu conduce l o muliplicre F Demonrţi Fie rnform Fourier şi funcţi deplă cu Vom ve: j F e d Noând cu, găim: j F e j e d de unde rezulă relţi (37) (37) Obervţie: Proprieăţile 9 un numie eoremele rnformelor Fourier 6