SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric

Transcriere

1 .. SEMNLE NLOGIE 1.. Reprezentări ale emnalelor prin diferite forme ale eriei Fourier Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier trigonometrică utilizează pentru SFG (eria Fourier generalizată) itemul total de funcţii ortogonale: 1,co t,in t, Z M (.1.) cu intervalul de ortogonalitate I t,t, 1 1. Produele calare corepunzătoare celor trei tipuri de funcţii din (.1.), evaluate în t I, unt următoarele: 11 1 co t 1 in t in co t inm t t com t,,, c, pentru m pentru m pentru m pentru m (..) Relaţiile (..) ilutrează ortogonalitatea itemului de funcţii trigonometrice care nu ete ortonormal. Normele funcţiilor 1, inu şi coinu corepund valorilor:, c (.3.) Notând cu,, S coeficienţii SFG corepunzătoare contantei 1, funcţiilor coinu şi inu, e obţine eria Fourier trigonometrică (SF): 1

2 t co t S in t 1 (.4.) Formulele de calcul al coeficienţilor unt: S 1 t 1 t 1 t dt Oricare emnal t L It I, I t,t ; I t,. I t 1 1 t 1 t tco t dt tin t dt (.5.) poate fi reprezentat cu relaţia (.4.), impunând condiţia Reprezentarea emnalelor prin SF pune în evidenţă componentele pare şi impare ale emnalului. Seria Fourier armonică Seria Fourier armonică pune în evidenţă amplitudinea şi faza unei componente de ordinul. Se conideră un termen (de ordinul ) din uma (.4.) şi e introduc notaţiile: S atfel încât e obţine: co( ) in( ) co( t) S iar SF poate fi exprimată ub forma: t in( t) co in co co t int t (.6.) (.7.) co(t ) (.8.) Relaţia (.8.) reprezintă eria Fourier armonică (SF). ermenul de ordinul 1 reprezintă componenta fundamentală, iar cel de ordinul, armonica în reprezentarea cu SF. Legăturile dintre coeficienţii SF şi cei ai SF rezultă din notaţiile (.6.).

3 S S arctg ete amplitudinea, iar Seria Fourier exponenţială faza armonicii de ordinul. 3 (.9.) Seria Fourier exponenţială utilizează în reprezentarea prin SFG itemul total de funcţii ortogonale: j t M e, Z (.1.) Spre deoebire de SF, unde M R, aici M. Intervalul de ortogonalitate ete I t,t, 1 1. Ortogonalitatea itemului (.1.) rezultă din efectuarea produului calar în e jt e jmt,, pentru m pentru m t I : (.11.) Norma funcţiei exponenţiale de ordinul ete, prin urmare itemul nu ete ortonormal. Notând cu a coeficientul termenului din SFG e obţine expreia: t care, reprezintă emnalul t complexă. jt a e (.1.) prin eria Fourier exponenţială (SFE) denumită şi eria Fourier oeficientul a e exprimă în forma: şi ete în general complex: 1 t 1 j a t t e dt (.13.) t 1 j a a e (.14.) Relaţiile (.8.) şi (.1.) unt echivalente. Într-adevăr, criind termenul de ordinul din (.8.) în forma exponenţială şi făcând convenţia: (.15.), a a

4 rezultă identitatea termenilor: co e e jt j t e e t jt jt e j e j a a e e jt e jt jt 4 e j e jt e j (.16.) (.17.) Expreia (.17.) arată că armonicei din SF îi corepunde o pereche de termeni de ordinul în SFE. Relaţia între coeficienţii SFE şi cei ai SF rezultă din (.17.) ub forma: a a naliza Fourier a emnalelor periodice. Diagrame pectrale (.18.) Semnalele periodice e utilizează frecvent în aplicaţii tehnice: în generatoarele din aparatura electronică de măură şi control, în aparatura medicală, în aeronautică, în itemele de telecomunicaţii ş.a.m.d. şa cum -a menţionat în introducere (curul 1), un emnal periodic relaţia de periodicitate: p t t p t atiface p, Z (.19.) unde, cel mai mic interval de pe axa timpului, care atiface (.19.) ete perioada fundamentală. Un emnal periodic p t poate fi coniderat ca provenind din prelungirea unui emnal neperiodic t, aşa cum e arată în figurile 1.6. şi 1.7. (vezi curul 1): preupunându-e că t t t p q (..) q ete definit în I şi ete nul în afara acetui interval. Deoarece -a preupu că t L, emnalul poate fi reprezentat în t I prin oricare din formele eriei Fourier, luând I intervalul de ortogonalitate al SF, SF, SFE. În acelaşi timp ete şi perioada fundamentală a dezvoltărilor în erie corepunzătoare.

5 Pentru emnalul periodic 5 p t exprimat prin relaţia (.19.), perioada fundamentală ete tot ; prin urmare, oricare din formele eriei Fourier unt reprezentări valabile în interiorul intervalelor de periodicitate, adică aproximarea ete adevărată pentru toate repetările exprimate prin relaţia (..). În punctele de la capetele intervalelor de periodicitate, SF şi echivalentele ale t în condiţiile teoremei lui Dirichlet: converg către Dacă p t ete o funcţie periodică, continuă şi derivabilă pe porţiuni, SF corepunzătoare ete punctual convergentă în t R, având ca umă t. Expreiile SF, SF şi SFE, tabilite anterior, reprezintă un emnal periodic p t, care atiface condiţiile lui Dirichlet, t R. ondiţiile Dirichlet unt mai puţin retrictive t L care aigură e.p.m. (eroarea pătratică medie). decât Pentru emnalul periodic, noţiunea de energie nu are en, din cauza duratei ale infinite. O măură utilă a efectelor energetice ale emnalului ete înă puterea medie a emnalului pe o perioadă: 1 P t p t dt (.1.) 1 Utilizând pentru un umării e găeşte: p t SF din (.1.) şi inverând apoi ordinea integrării şi 1 j P t a p t e dt (..) Ţinând eama de (.13.) rezultă că: a P (.3.) Relaţia (.3.) reprezintă egalitatea Pareval pentru emnale periodice, fiind cunocută şi ub denumirea de teorema lui Pareval. naliza Fourier a emnalelor periodice e mai numeşte analiză armonică. Prin intermediul relaţiilor ce exprimă SF şi SFE e tabileşte o corepondenţă între funcţia de timp p t şi mulţimea armonicilor de frecvenţă f f cu Z în cazul SF, repectiv Z pentru SFE. În tudiul emnalelor ete utilă reprezentarea grafică a acetora în funcţie de timpul t şi reprezentarea imaginii lor în funcţie de frecvenţa unghiulară, au de frecvenţa în Hz. Prima e numeşte în mod curent reprezentarea în domeniul timp au forma de undă a emnalului, iar cea de a doua, reprezentarea în domeniul frecvenţă au diagramă pectrală a emnalului.

6 O componentă de frecvenţă f f (au, la cara frecvenţelor unghiulare, ) ete complet definită de amplitudinea şi faza corepunzătoare. În cazul reprezentării SF o componentă e exprimă prin: iar în cazul reprezentării SFE prin: a e co t, N, R, R (.4.) j t, Z, a (.5.) Rezultă că pentru caracterizarea completă a emnalului în domeniul frecvenţă unt neceare două diagrame pectrale: a au - pectrul de amplitudini f au pentru SF, repectiv f a pentru SFE şi - pectrul de fază: f au. aracteritic tuturor emnalelor periodice ete faptul că: reprezentarea în timp ete continuă (au continuă pe porţiuni), iar reprezentarea în frecvenţă ete dicretă. Spectrele de amplitudini şi pectrele de fază aociate emnalelor periodice unt dicrete. Oricare din reprezentările în timp au în frecvenţă caracterizează în mod univoc emnalul. omponentele din pectrul de amplitudini decrec cu mărirea ordinului al armonicei, datorită convergenţei eriei. Intervalul de pe emiaxa (au f) pozitivă, în care unt concentrate componentele pectrale importante e numeşte bandă de frecvenţă ocupată de emnal au bandă a frecvenţelor utile. În tehnică e conideră importante componetele ale căror amplitudini reprezintă un anumit procent (depinzând de fineţea prelucrării emnalului) din amplitudinea componentei fundamentale. 6