Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane Axa prioritară 1 Educaţia şi

Transcriere

1 Poiect cofiaţat di Fodl Social Eoea i Pogaml Oeaţioal Sectoial Dezvoltaea eelo Umae Aa ioitaă Edcaţia şi fomaea ofeioală î ijil ceşteii ecoomice şi dezvoltăii ocietăţii bazate e coaş tee Domeil majo de iteveţie. Acce la edcaţie şi fomae ofeioală iiţială de calitate Titll oiectli: TEEN PEFOM - Pogam iovato de îmbătăţie a ezltatelo şcolae î îvăţămâtl liceal Cotact mă: POSDU/53/./S/366 Beeficia: Iectoatl Şcola Jdeţea Sceava Dicilia MATEMATICĂ FIŞĂ DE LUCU Tema/Uitatea: Pimitive Eet edcație: of. DOINA MONOANU Bevia teoetic PIMITIVE I.. Să e tabileacă dacă o fcţie admite a imitive:

2 I.. Poietăţi ale fcţiilo cae admit imitive: a) Oice fcţie cotiă e iteval I admite imitive e I. b) Dacă f : I şi f I ete iteval, atci f admite imitive e I. c) Fie f : I o fcţie cae admite imitive. Atci oice fcţie g : I cae difeă de f ît-o mlţime fiită evidă de cte, ae imitive. d) Fcţia f : I, cae ae oietatea li Dabo, admite imitive. e) fcţii cae admit imitive şi t cotie ( cotiitatea de eţa a doa ) f) fcţii cae a oietatea li Dabo şi a imitive. g) fcţii cae a imitive şi ale căo ătate a imitive. Obevaţie: C I - mlţimea fcţiilo cotie e I C I P I Da I P I - mlţimea fcţiilo cae admit imitive e I D a I - mlţimea fcţiilo cae a oietatea li Dabo. I.3. Defiiţii: Def.: Fie f : I, I. f admite imitive e I dacă F : I atfel îcât: ) F deivabilă e I ' F f, I ) Def.: Dacă f : I admite imitive, mlţimea imitivelo li f e meşte itegala edefiită a li f şi e otează f d F c, c { C C }. Pooziţie: Fie f : I, I. Dacă F, F : I catfel îcât F F c, I. I.4. Oeaţii Dacă f, g : I t doă imitive ale fcţiei f, atci o cotată t doă fcţii cae admit imitive şi, 0, atci f g şi f. f ( ) g( ) d f d g d admit imitive şi a loc elaţiile:. f d f d 3. f d f d c I.5. Tabel de itegale edefiite (elemetae). 3. id co c. cod i c e d e c 4. e d e c 5. d l a c a ' f d f c 7. d c chd h c 9. hd ch c 0. d th c ch. d cth c h

3 Fcţia (imlă) Deivata Domeil de deivabilitate c 0, îteg, eal cel ţi 0, 0, l 0, e e a, a 0, a a l a i co co i tg co co 0 ctg i i 0 aci, acco, actg acctg Fcţii (come) Deivata ', îteg ', 0, 0, eal ' ', 0 0, 0 l, 0 ', 0 e e ' a, a 0, a a ' l a i co ' co i ', co 0 ', co 0 co, i 0 ', i 0 i tg ctg 3

4 ', aci, ', acco, actg acctg ' ' II. Itegaea i ăţi Teoemă: Dacă f, g : I t fcţii deivabile c deivate cotie, atci imitive e I şi t eimate i elaţia: f g ' d f g f ' g d III. Pima metodă de chimbae de vaiabilă Teoemă: Fie I, J şi : I J, f : J fcţii c oietăţile:. deivabilă e I f ' g, fg ', fg ', admit. f admite imitive e J (F ete o imitivă a a). Atci fcţia f ' admite imitiva e I, ia F ete o imitivă a li f ' de foma: ( ) ' f d F C Obevaţie: Etae: a) Fie h: I cae ae imitive b) Se cată I J f h f ' atfel îcât c) Se cată o imitivă f t dt F() t c d) O imitivă a li h ete H F adică ' e) Pactic tşi e difeeţiază ca o egalitate t / d d dt a ' d dt f ' f tdt F t c F c III. Pimitivele fcţiilo aţioale imle ) d c ; d l a c, a ) a X a b cazl 0 : d l a a c a b a b a a a a a cazl 0 : d c a b a b a a b cazl 0 : d actg a c a b a a a a a h d f F c a b c 4

5 3) 3 I d I a a a Obevaţie: Î cazl a b c a a t k b a a b t d a! d dt k a P 4) f : I, f, gad P gadq Q a) Dacă Q ae ădăcii imle: Q a a... a de a a... a P A A A f... a a... a a a a b) Dacă Q ae ădăcii mltile: Q m P B B Bm f... m c) Dacă d) Dacă,,..., 0... Q ae ădăcii eale: Q X b c X b c X b c f P X b c X b c... X b c C D C D C D... X b c X b c X b c Q ae ădăcii eale: f i, 0 : Q b qx cq P M X N M X N M X N... b q X c b q qx cq bq X cq bq X cq e) Dacă Q ae î comoeţă decomeile a,b,c,d atci: f m bq X cq de 0, 0, 0, 0 Q a a a b X c b X c b X c m P A A A B B B C D Q a a a b X c m C D C D M N M N M N bx c b X c bq X c b X c b X c Obevaţii: q q m ) Se detemiă cotatele de la măăto şi itegăm fiecae eeie î ate. P ) Pet f gad gadq, g e tatează c a,b,c,d,e (fom.) Q Q, 5

6 III.3 Pimitivele fcţiilo aţioale imle i,co d; tg d; N : tg t. tg i tg a) : ;! N tg t F ; actgt actgt / d d dt t tg co tg t t, dt t t t b) imaă îi co t c) imaă î co i t tg d) aătg t, actgt / d d dt, i,co t tg tg m m ima co t. i co d; m, Z a i t 3., a d btitţia: ai t ' a a co t / d d a co tdt... a a cot 4., a d a a btitţia: atgt / d d dt, a co t cot 5., a d a a ai t N : a / d, d dt cot it co t 6. e d, N : e t / l l t l t / d d dt t ,,, d, ; ; 3 ; q, q, q3 N, c. m. m. m. c q, q, q3. Sbtitţie: t. q q q 8., a b d c d 3 9. Sbtitţiile Ele:, 0. a b a b a b N t t d c d c d c d / /... a b c d a. 0 a b c a t t c a, c 0 d m a b c Sbtitţie: b. m t 0 a b c t 0 m. Sbtitţii et fcţii biome (Cebâşev): ;,, a b d m Q m m a. Z, t b. Z, a b t m c. Z, a b t 6

7 . P d d Q a b c gad Q = gad P - a b c a b c Coeficieţii oliomli Q şi e detemiă i deivae şi idetificae. 3. e P d e Q c, gad Q = gad P P i d Q i S co C. Q şi S e detemiă i deivae şi idetificae. 4. Tii de itemi, 0. f :, f ( ) Să e aate că f admite imitive şi ă e calcleze o imitivă a a. 3, 0 3 ma(,, ), 0. f :, f ( ) Să e aate că f admite imitive şi ă e calcleze o 3 mi(,, ), 0 imitivă a a. l(3 ), (,0) 3. f :,, f ( ) 3 m Să e aate că f admite imitive şi ă e 3 m, 0 calcleze o imitivă a a. l 4.Se coideă fcţia f: 0,, f()=. Să e aate că fcţia F: 0,, F()= l ete o imitivă a fcţiei f. 5.Se coideă fcţia f:, f()= 3 F()= actg ete o imitivă a fcţiei f. 3 3 e e, 0 6. Se coideă fcţia f: 0,, f()=., 0 Să e aate că fcţia f ae imitive e 0,.. Să e aate că fcţia F:, 7. Se coideă fcţia f:,, f()=aci. Să e aate că fcţia g :,, g()=f() ae imitive, ia acetea t tict cecătoae. a b, 8. Fie a şi b mee eale şi fcţia F:,F()=. Să e detemie a şi b l, atfel îcât fcţia F ă fie o imitivă a ei fcţii f. 9. Se coideă fcţia f:, f()= l( i ), Să e aate că oice imitivă a fcţiei f ete cecătoae e. ae, 0 0. Fie a şi b mee eale şi fcţia F:,F()=. Să e detemie a şi b atfel îcât co b, 0 fcţia F ă fie o imitivă a ei fcţii f. 7