D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă
|
|
- Albertina Ababei
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin urmre, funcţiile cre nu sunt continue µ-..t. e [, b] nu ot fi integrbile Riemnn e cest intervl. Vom răt în continure că cestă roriette crcterizeză integrbilitte Riemnn. În concluzie, continuitte µ-..t. stbileşte grniţ integrbilităţii Riemnn. Teorem (Teorem lui Lebesgue de crcterizre integrbilităţii Riemnn) Fie f : [, b] R, o funcţie mărginită. Atunci f R([, b]) dcă şi numi dcă f este continuă µ-..t. Demonstrţie. = : A fost demonstrtă în teorem recedentă. = : Presuunem că funcţi f este continuă µ-..t.. Fie un şir de divizări ( k ) D[, b] stfel încât k k+1, k N şi k 0. Pentru fiecre k N, fie n k = crd( k ) şi {Ei k i 1, n k}, intervlele divizării k. De semene, entru orice i 1, n k, fie m k i = inf f(x) x Ei k şi Mi k = su f(x). x Ei k Fie f şi f, funcţiile socite şirului ( k ). Vom demonstr în continure că entru orice x [, b] în cre f este continuă, vem f(x) = f(x). Fie x [, b] ş încât f este continuă în x. Atunci, entru un ε > 0, există δ > 0 stfel încât De ici, y, z (x δ, x + δ) [, b], obţinem de unde rezultă y (x δ, x + δ) [, b], f(x) f(y) < ε 4. f (y) f (z) f (y) f (x) + f (x) f (z) < ε 4 + ε 4 = ε 2, su y (x δ,x+δ) [,b] f (y) inf f (y) ε y (x δ,x+δ) [,b] 2. Cum k 0, k 0 N stfel încât k k 0, i 1, n k ş încât x E k i (x δ, x + δ), de unde rezultă Deci, f k (x) f k (x) = Mi k m k i su f (y) y (x δ,x+δ) [,b] inf f (y) ε y (x δ,x+δ) [,b] 2. f k (x) f k (x) ε 2, k k 0, de unde, trecând l limită cu k, obţinem f (x) f (x) ε < ε. Cum ε > 0 fost lut rbitrr, rezultă { } 2 f (x) = f (x). Prin urmre vem: x [, b] f (x) f (x) {x [, b] f este discontinuă în x}. Deorece f este continuă µ-..t., µ({x [, b] f este discontinuă în x}) = 0 şi tunci µ( { x [, b] f (x) f (x) } ) = 0, dică f = f µ-..t.. Deorece f şi f sunt măsurbile Lebesgue, din Teorem obţinem fdµ = fdµ. Cum k 0, din Prooziţi 11.45(4), [,b] [,b] Atunci, din Teorem rezultă că f R([, b]). fdµ = I şi [,b] [,b] fdµ = I şi deci vem I = I. Observţi Ţinând sem de teorem de mi sus, funcţii cu o definiţie comlictă, dr cre sunt continue µ-..t., vor fi integrbile Riemnn. În cest cz, integrl lor Riemnn (cre este dificil de clcult direct) v fi determintă clculând integrl Lebesgue. 86
2 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Exerciţiul Fie funcţi (lui Riemnn) f : [0, 1] R, definită rin { 0, dcă x = 0 su x [0, 1] \ Q f(x) = 1 n, dcă x [0, 1] Q, x = m n, unde m, n N cu (m, n) = 1. Să se rte că f este continuă µ-..t. şi să se clculeze 1 0 f(x)dx. În continure vom renunţ l condiţi de mărginire intervlului de definiţie l funcţiei. Definiţi Fie R şi fie o funcţie f : [, ) R ş încât f R([, b]), b (, ). 1. Vom not cu f(x)dx limit lim f(x)dx. Dcă există numărul b integrl Riemnn funcţiei f e intervlul [, ). 2. Funcţi f se numeşte integrbilă Riemnn e [, ) dcă b f(x)dx R. Mulţime funcţiilor integrbile Riemnn e [, ) se noteză cu R([, )). Observţi Dcă f R([, )), tunci f R([, )). f(x)dx R, cest se numeşte Observţi Dcă f R([, b]), b (, ), tunci f este măsurbilă Lebesgue e [, ). Într-devăr, cum entru orice n N cu n >, f R([, n]), rezultă că f este continuă µ-..t. e [, n] şi deci este măsurbilă Lebesgue e [, n]. Atunci, entru orice D τ 0, f 1 (D) [, n] M [,n] M. În consecinţă, n>(f 1 (D) [, n]) M şi cum [, ) = n>[, n], rezultă f 1 (D) = (f 1 (D) [, n]) M [, ). n> Teorem Fie R şi fie o funcţie f : [, ) [0, ) ş încât f R([, b]), b (, ). Atunci f (x) dx = fdµ. Demonstrţie. Cum m văzut mi sus, f este măsurbilă Lebesgue e [, ) şi deci, din Corolrul 11.20, funcţi ν : M [, ) [0, ], ν (A) = fdµ, este o măsură. A Deorece ν este continuă e şiruri scendente, ir şirul ([, n]) n> este scendent cu lim n [, n] = [, ), obţinem fdµ = ν([, )) = ν(lim[, n]) = lim ν([, n]) = lim fdµ. [, ) n n n [,n] n Dr f R([, n]), n > şi tunci, din Teorem rezultă că fdµ = f(x)dx, n >. Deci [, ) fdµ = lim n Pe de ltă rte, întrucât f este nenegtivă, funcţi b lim b b f(x)dx [0, ]. Deci n [, ) n [,n] f(x)dx. b f(x)dx = lim f(x)dx. Prin urmre, n f (x) dx = fdµ. [, ) f(x)dx este crescătore e (, ) şi tunci Corolr Fie R şi fie o funcţie f : [, ) [0, ) ş încât f R([, b]), b (, ). Atunci f L([, )) f R([, )). Teorem Fie R şi fie o funcţie f : [, ) R ş încât f R([, b]), b (, ). Dcă funcţi f re integrlă Lebesgue e [, ), tunci f (x) dx = fdµ. În lus, f L([, )) f R([, )). [, ) 87
3 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Demonstrţie. Fie f + şi f, rte ozitivă şi rte negtivă funcţiei f. Deorece f + = 1 2 ( f + f), f = 1 2 ( f f) şi f R([, b]), b (, ), rezultă că f, f +, f b (, ). Atunci, din Teorem obţinem: f + (x) dx = f + dµ şi [, ) Întrucât f re integrlă Lebesgue e [, ), rezultă: fdµ = f + dµ f dµ = [, ) [, ) [, ) f (x) dx = f + (x) dx [, ) f dµ. f (x) dx = f (x) dx. R([, b]), Pe de ltă rte, f L([, )) f L([, )) (vezi Teorem 11.26(2)), ir din Corolrul obţinem că f L([, )) f R([, )). Prin urmre, f L([, )) f R([, )). Observţi Fie R şi fie o funcţie f : [, ) R ş încât f R([, b]), b (, ). Din teorem nterioră şi Observţi rezultă că f L([, )) f R([, )). Reciroc cestei firmţii nu este însă devărtă, cum reiese şi din exemlul următor: Exerciţiul Fie funcţi f : [0, ) R, definită rin f(x) = Să se rte că f R([0, )), dr f L([0, )). { sin(x) x, dcă x > 0 1, dcă x = Sţii L În cele ce urmeză (, A, µ) este un sţiu cu măsură comletă. Fie [1, ). Definiţi 12.1 O funcţie f : R se numeşte -integrbilă dcă este A-măsurbilă şi f L(). Mulţime funcţiilor -integrbile e o vom not rin L (, A, µ), su rescurtt cu L (). Observţi 12.2 L 1 () = L(). Exemlul 12.3 Considerăm sţiul cu măsură (N, P(N), µ), unde µ : P(N) [0, ] este definită rin { n, entru crd(a) = n µ(a) =, A P(N)., entru crd(a) = ℵ 0 Cum m văzut în Exemlul 11.27, L(N, P(N), µ) = {( n ) R Fie f : N R şi notăm f(n) = n, n N. Atunci N f dµ = şi deci f L (N) {n} n N f dµ = f dµ < {n} f(n) dµ = n < }. n {n} n <. Prin urmre vem: L (N, P(N), µ) = {( n ) R dµ = n µ ({n}) = n n < }. Mulţime L (N, P(N), µ) se numeşte sţiul şirurilor -sumbile şi se notez cu l. Teorem 12.4 L () este un sţiu linir rel. 88
4 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Demonstrţie. Fie f, g L (). Cum f şi g sunt A-măsurbile, f + g este A-măsurbilă. Deorece f + g ( f + g ) [2 mx ( f, g )] = 2 mx ( f, g ) 2 ( f + g ) şi f, g L(), rezultă 2 ( f + g ) L() şi deci f + g L(). Prin urmre f + g L (). De semene, dcă α R, αf este A-măsurbilă şi cum αf = α f L(), rezultă αf L (). Deci L () este un sţiu linir rel. În continure vom înzestr cest sţiu cu o seminormă. Pentru cest vom demonstr mi întâi câtev ineglităţi, cu scoul finl de demonstr ineglitte triunghiulră. Definiţi 12.5 Două numere, q > 1 se numesc conjugte lgebric dcă q conjugtul lgebric l lui q, ir q se numeşte conjugtul lgebric l lui. = 1. În cest cz, se numeşte Lem 12.6 (ineglitte lui Young) Fie, q > 1, două numere conjugte lgebric., b [0, ], re loc ineglitte: b + bq q. Atunci, oricre r fi Demonstrţie. Fie, b [0, ]. Dcă b = 0, ineglitte este evidentă. Presuunem deci că > 0 şi b > 0. Dcă + bq =, ineglitte este evidentă. Presuunem că q + bq <. Atunci < şi b <. q Definim funcţiile f : [0, ) [0, ), f(x) = x 1, x [0, ), g : [0, ) [0, ), g(y) = y 1 1, y [0, ). Întrucât g este invers funcţiei f, cest, rorttă l x Oy, v ve celşi grfic cu f (fie cest G f ). Considerăm unctele A(, 0), B(0, b), M(, b) şi P (, f()). Ari domeniului delimitt de x Ox, dretele x = 0 şi x = şi de grficul G f este A 1 = y = b şi de grficul G f este A 2 = 0 b 0 f(x)dx =, ir ri domeniului delimitt de x Oy, dretele y = 0 şi g(y)dy = bq q. Cum observăm din desenul de mi jos, sum celor dou rii este mi mre su eglă cu ri dretunghiului OAMB, dică b. Eglitte re loc când M = P, dică b = f(). Prin urmre vem: + bq q = A 1 + A 2 b. Teorem 12.7 (ineglitte lui Hölder) Fie, q > 1 conjugte lgebric şi fie funcţiile f, g M(, A). Atunci re loc ineglitte ( ( fg dµ f dµ g q q dµ. Dcă în lus f L () şi g L q (), tunci fg L(). 89
5 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Demonstrţie. Dcă f dµ = 0, tunci f = 0 µ-..t., de unde rezultă că f = 0 µ-..t.. Deci fg = 0 µ-..t. şi deci fg dµ = 0. Prin urmre ineglitte este devărtă. În mod nlog, dcă g q dµ = 0, ineglitte este devărtă. Presuunem în continure că f dµ > 0 şi g q dµ > 0. ( ( Dcă f dµ = su g q dµ =, tunci f dµ g q q dµ = şi deci ineglitte este evidentă. Presuunem că f dµ < şi g q dµ <. Atunci, în ineglitte lui Young considerăm = ( f f dµ şi b = ( g, g q q dµ de unde obţinem ( fg ( f g q +. f dµ g q q dµ f dµ q g q dµ Integrând e cestă ineglitte, rezultă: 1 ( ( 1 fg dµ f dµ g q q dµ f dµ f 1 dµ + q g q dµ g q dµ = q = 1. În consecinţă, ( fg dµ ( f dµ g q q dµ. ( ( L() şi deci f dµ g q q dµ Dcă f L () şi g L q (), tunci f, g q ineglitte lui Hölder obţinem fg dµ <, de unde deducem că fg L(). <. Din Exemlul 12.8 Fie, q > 1 conjugte lgebric şi fie două şiruri de numere rele ( n ) şi (b n ). Considerăm funcţiile socite f : N R, f(n) = n, n N şi g : N R, g(n) = b n, n N. Folosind observţiile din Exemlul 12.3, ineglitte lui Hölder devine n b n = N ( fg dµ f dµ N ( N g q q dµ Pentru = q = 2 obţinem ineglitte lui Cuchy-Bunikovski-Schwrz: ( ( = n ( ( 2 2 n b n n 2 b n 2. Pentru n = b n = 0, n > m, se obţin vrintele cestor ineglităţi în czul finit. b n q q. Teorem 12.9 (ineglitte lui Minkowski) Fie 1 şi fie funcţiile f, g M(, A) ş încât f + g este bine definită. Atunci re loc ineglitte ( ( ( f + g dµ f dµ + g dµ. Demonstrţie. Dcă = 1, tunci f + g f + g, de unde rezultă f + g dµ f dµ + g dµ. 90
6 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Deci ineglitte este devărtă. Presuunem în continure că > 1. Dcă f + g dµ = 0, ineglitte este evidentă. Presuunem că f + g dµ > 0. ( ( ( Dcă f dµ + g dµ =, ineglitte este evidentă. Presuunem tunci că f dµ + ( g dµ <, dică f dµ < şi g dµ <. Prin urmre f, g L () şi tunci, din Teorem 12.4, f + g L (). Deci f + g dµ <. Are loc ineglitte: f + g dµ = Fie q = f + g f + g 1 dµ f f + g 1 dµ + g f + g 1 dµ. (117) 1, conjugtul lgebric l lui. Alicând ineglitte lui Hölder funcţiilor f şi f + g 1, obţinem: ( f f + g 1 dµ ( ( ( f dµ f + g ( 1)q q dµ = f dµ f + g q dµ. (118) Alicând ineglitte lui Hölder funcţiilor g şi f + g 1, obţinem: ( g f + g 1 dµ ( ( ( g dµ f + g ( 1)q q dµ = g dµ f + g q dµ. (119) Folosind în (117) ineglităţile (118) şi (119), rezultă [ ( ( ] f + g dµ f dµ + g ( dµ f + g q dµ, ( e cre o înmulţim cu ( f + g dµ ) 1 f + g q dµ (0, ) şi obţinem = ( 1 ( ( f + g q dµ f dµ + g dµ. ( Teorem Fie 1 şi fie funcţi : L () [0, ), f = f dµ, f L (). este o seminormă e L (), dică re următorele rorietăţi: 1. αf = α f, α R, f L (), 2. f + g f + g, f, g L () (numită ineglitte triunghiulră). Demonstrţie. Pentru orice f L (), f dµ [0, ) şi deci funcţi este bine definită. ( ( 1. Fie α R şi f L (). Atunci αf = αf dµ = α f dµ = α f. 2. Fie f, g L (). Din ineglitte lui Minkowski obţinem ( f + g = ( ( f + g dµ f dµ + g dµ = f + g. Observţi f = 0 f dµ = 0 f = 0 µ-..t. Din observţi de mi sus deducem că în generl nu este o normă. Există însă situţii în cre cest este normă, dică, e lângă rorietăţile seminormei mi re şi roriette f = 0 f = 0. 91
7 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Exemlul Fie (N, P(N), µ), sţiul cu măsură considert în Exemlul 12.3 şi fie l = L (N, P(N), µ). Cum µ(a) = 0 A =, rezultă că o funcţie f : N R este nulă µ-roe este tot dcă şi numi dcă f este nulă este tot. Prin urmre, funcţi este o normă e l. Din observţiile făcute în Exemlul 12.3, entru orice şir ( n ) l, vem ( ( n ) = n. Observţi Seminorm ote fi rivită c o normă dcă identificăm funcţiile egle µ-..t.. sens, entru orice f, g L () definim relţi În cest f g f = g µ-..t. este o relţie de echivlenţă e L (). Astfel, entru orice f L () considerăm f = {g L () g f}, cls de echivlenţă funcţiei f în rort cu. Fie L (, A, µ) mulţime fctor socită relţiei, dică { } L (, A, µ) = f f L (). Când nu există ericol de confuzie, vom not cest sţiu cu L (). Exerciţiul Definim oerţiile + : L () L () L (), f + ĝ = f + g, f, ĝ L (), : R L () L (), α f = α f, α R, f L (). Funcţiile + şi sunt bine definite şi (L (), +, ) este un sţiu linir rel. 2. Fie funcţi : L () [0, ), definită rin f = f, f L (). este bine definită şi este o normă e L (). Observţi Din exerciţiul de mi sus deducem că (L (), ) este un sţiu linir normt. Definiţi Fie un şir (f n ) L () şi fie f L (). 1. Sunem că şirul (f n ) converge în medie de ordinul l funcţi f, şi notăm cu f n f, dcă fn f Sunem că şirul (f n ) converge în medie de ordinul dcă există o funcţie f L () stfel încât f n f. 3. Sunem că şirul (f n ) este fundmentl în medie de ordinul dcă ε > 0, n ε N stfel încât m, n n ε, f m f n < ε. Observţi Deorece în generl nu este o normă, şirurile convergente în medie de ordinul nu u limită unică. Fie un şir (f n ) L () şi fie f, g L () stfel încât f n f şi fn g. Atunci vem Prin urmre f g = 0 şi deci f = g µ-..t.. f g f f n + f n g 0. Teorem Un şir (f n ) L () este convergent în medie de ordinul dcă şi numi dcă (f n ) este fundmentl în medie de ordinul. Demonstrţie. Fie un şir (f n ) L (). : Dcă (f n ) converge în medie de ordinul, tunci există o funcţie f L () stfel încât f n f şi deci, entru un ε > 0, există n ε ş încât n n ε, f n f < ε 2. Atunci, m, n n ε vem f m f < ε 2 şi f n f < ε 2 şi ţinând sem că stisfce ineglitte triunghiulră, obţinem f m f n f m f + f f n < ε 2 + ε 2 = ε. Deci, ε > 0, n ε N ş încât m, n n ε, f m f n < ε, dică şirul este fundmentl în medie de ordinul. 92
8 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P : Presuunem că şirul (f n ) este fundmentl în medie de ordinul. Atunci ε > 0, n ε N stfel încât m, n n ε, f m f n < ε. (120) Fie n 0 = 0. Pentru fiecre k N, luând în (120) ε = 1 2 k, există n k > n k 1 stfel încât Cum şirul (n k ) k N este crescător, din (121) rezultă Pentru fiecre j N, considerăm funcţi m, n n k, f m f n < 1 2 k. (121) f nk+1 f nk < 1 2 k, k N. (122) g j = j f nk+1 f nk. Întrucât şirul (g j ) j N este crescător, este bine definită funcţi g = lim j g j = fnk+1 f nk. Atunci g este A-măsurbilă, ir din (122) obţinem g j j fnk+1 f nk < Alicând Teorem Lebesgue-Beo-Levi (Teorem 11.15) şirului ( g j ), rezultă g dµ = j 1 2 k = 1 1 < 1. Deci 2j g j < 1, j N. (123) lim j g j dµ = lim g j dµ = lim g j (123) j j 1. Atunci g L() şi deci g este finită µ-..t.. Prin urmre, seri f n0 + µ-..t.. Fie mulţime A = { x f n0 (x) + (f nk+1 f nk ) este bsolut convergentă } (f nk+1 (x) f nk (x)) este convergentă şi fie funcţi f : R, definită rin f n0 (x) + (f nk+1 (x) f nk (x)), dcă x A f(x) =. 0, dcă x A Rezultă că f n0 + (f nk+1 f nk ) = f µ-..t. şi cum seri f n0 + (f nk+1 f nk ) este telescoică, deducem că f nk µ..t. f. Arătăm în continure că şirul (f n ) converge în medie de ordinul l funcţi f. Deorece (f n ) este fundmentl în medie de ordinul, entru un ε > 0, există n ε N stfel încât Fie un m n ε. Cum f f m = lim f n k f m µ-..t., vem f f m = lim inf k k Ftou şirului ( f nk f m ) k N, obţinem: f f m dµ = lim inf k n, m n ε, f n f m < ε 2. (124) f n k f m dµ lim inf k 93 f n k f m µ-..t., şi licând Lem lui f nk f m dµ = lim inf f n k f m (124) k ε 2.
9 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Deci f f m dµ <, dică f f m L () şi cum f m L (), obţinem f = (f f m ) + f m L (). De semene vem f f m ε < ε şi deci 2 ε > 0, n ε N stfel încât m n ε, f f m < ε, dică f n f. Corolr indusă de norm ). ) (L (), este un sţiu Bnch (dică este un sţiu metric comlet în rort cu metric Observţi Mi mult, sţiul (L 2 (), 2 ) re o structură de sţiu Hilbert, dică este un sţiu Bnch şi există un rodus sclr <, >: L 2 () L 2 () R ş încât f = < f, f >, f L 2 (). 2 Produsul sclr este definit rin < f, ĝ >= fgdµ, f, ĝ L 2 (). Remintim că un rodus sclr, e un sţiu linir rel, este o licţie <, >: R cu următorele rorietăţi: 1. < x, x > 0, x şi < x, x >= 0 x = 0, 2. < x, y >=< y, x >, x, y, 3. < αx + βy, z >= α < x, z > +β < y, z >, x, y, z, α, β R. În continure vom comr convergenţ în medie de ordinul cu celellte tiuri de convergenţă. Exerciţiul Fie 1 şi fie intervlul [0, 1] înzestrt cu măsur Lebesgue. Pentru orice n N definim funcţi f n : [0, 1] [0, ), f n (x) = n 3 2 x e n 2 x 2, x [0, 1] şi fie f : [0, 1] [0, ), f(x) = 0, x [0, 1]. Să se rte că f n f, dr f n f. [0,1] Exerciţiul Fie 1 şi fie intervlul [0, 1] înzestrt cu măsur Lebesgue. Pentru orice k N şi orice i 1, k, fie mulţime Ei k = [ i 1 k, i k ] şi funcţi f (k 1)k <k,i> = χ E k i, unde < k, i >= + i. De semene, fie 2 funcţi f : [0, 1] [0, ), f(x) = 0, x [0, 1]. Să se rte că f n f, dr fn f. [0,1] Observţi Din exemlele de mi sus deducem că între convergenţ unctulă şi convergenţ în medie de ordinul e sţiul L () nu există nici o legătură, chir dcă măsur sţiului este finită. Exerciţiul Presuunem µ() < şi fie f, f n L (), n N. Dcă f n u f, tunci f n f. Observţi Dcă măsur sţiului este infinită, rezulttul de mi sus nu se mi ăstreză. considerăm următorul exemlu: În cest sens Exerciţiul Fie intervlul [1, ) înzestrt cu măsur Lebesgue şi fie un 1. definim funcţi f n : [1, ) R rin { x 2 + n 1, dcă x [1, n] f n (x) = x. 2, dcă x (n, ) Pentru orice n N De semene, definim funcţi f : [1, ) R, f(x) = x 2, x 1. Să se rte că fn Teorem Fie f, f n L µ (), n N. Dcă f n f, tunci fn f. u f, dr f n f. [1, ) 94
10 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Demonstrţie. Fie un ε > 0. Pentru orice n N considerăm mulţime A n,ε = {x f n (x) f(x) ε}. Atunci vem f n f = f n f dµ f n f dµ A n,ε ε dµ = ε µ(a n,ε ) A n,ε şi cum f n f 0, rezultă lim µ(a µ n,ε) = 0. Deci f n f. n Observţi Fie (f n ) şirul din Exerciţiul Deorece µ([0, 1]) = 1 < şi f n [0,1] 0, din Teorem lui.u. µ Egorov (Teorem 9.17) rezultă că f n 0 şi deci f n 0. Cum f n 0, deducem că, în L (), convergenţ în măsură nu determină convergenţ în medie de ordinul. Cu condiţii sulimentre sur şirului, convergenţ în măsură determină convergenţ în medie de ordinul, cum reiese din exerciţiul următor. Exerciţiul Fie f, f n L (), n N. Dcă există g L () ş încât f n g, n N şi f n µ f, tunci f n f. Teorem Presuunem µ() < şi fie 1 < q <. Atunci L q () L () şi ) (τ τ q. L q () Demonstrţie. Alicând ineglitte lui Hölder funcţiilor f şi 1, cu numerele conjugte lgebric q şi obţinem: ( ) ( ) q ( ) f dµ ( f ) q q q dµ dµ = f q q q dµ (µ()) q, de unde, rin ridicre l utere 1 rezultă ( Dcă f L q (), tunci ( q q, ( f dµ f q q q dµ (µ()) q. (125) ( f q q dµ < şi cum µ() <, din ineglitte de mi sus obţinem dică f L (). Deci L q () L (). Atunci ineglitte (125) se rescrie stfel: f (µ()) q q f q, f L q (), de unde rezultă că τ q (vezi [7], g. 66). (τ ) f dµ <, L q () Observţi În generl, în condiţiile teoremei nteriore, incluziune Lq () L () este strictă. În cest sens, considerăm următorul exemlu: Exerciţiul Fie 1 şi fie intervlul (0, 1 2 ] înzestrt cu măsur Lebesgue. Definim funcţi f : (0, 1 2 ] R rin f(x) = x 1 (ln x) 2, x (0, 1 2 ]. Să se rte că f L ((0, 1 2 ]), dr f Lq ((0, 1 2 ]), entru orice q >. Observţi De semene, dcă măsur sţiului nu este finită, rezulttul Teoremei nu se mi ăstreză. Exerciţiul Fie intervlul (0, ) înzestrt cu măsur Lebesgue. Definim funcţi f : (0, ) R rin f(x) = x 1 2 (1 + ln x ) 1, x (0, ). Să se rte că f L 2 ((0, )), dr f L ((0, )), entru orice 1 cu 2. Observţi Mi mult, există exemle de sţii cu măsură infinită în cre 1 < q L () L q (). În cest sens, considerăm următorul exemlu: Exerciţiul Fie sţiul cu măsură (N, P(N), µ), din Exemlul Notăm cu c 0 = {( n ) R n 0} şi fie funcţi u : c 0 [0, ), ( n ) u = su n. Să se rte că n N 1. 1 < q < l l q c 0, 2. c 0 este un sţiu linir rel şi u este o normă e c Pentru orice 1, mulţime l este densă în sţiul normt (c 0, u ). 95
11 D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 12 SPAŢII L P Observţi Să considerăm din nou sţiul (N, P(N), µ) şi fcem următorele notţii: s = {( n ) ( n ) este un şir de numere rele}, m = {( n ) s ( n ) este mărginit}, c = {( n ) s ( n ) este convergent}, R = {( n ) s n N stfel încât m = 0, m > n}, R n = {( n ) s m = 0, m > n}, unde n N. Atunci, entru 1 < < q vem R n R l 1 l l q c 0 c m s şi tote ceste mulţimi u structură de sţiu linir rel. Prin urmre, tât u cât şi normele ot fi considerte şi e R n. În cest cz, 2 se numeşte norm euclidină. Cum R n este un sţiu linir finit dimensionl (de dimensiune eglă cu n), orice două norme e R n sunt echivlente şi deci, tote normele definite e cest sţiu vor gener ceeşi toologie (vezi [7], g. 91). Din unct de vedere geometric, însă, bilele generte de fiecre dintre ceste norme vor ve forme diferite. Exerciţiul Pe sţiul R 2, să se rerezinte grfic bil închisă centrtă în origine şi cu rz r > 0, reltiv l normele ( 1) şi u. 96
Seminarul 1
Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.
Mai multCurs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1
Curs 8 Derivbilitte şi diferenţibilitte pentru funcţii rele 8.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele. Propriet¼ţi generle De niţi 8.1.1 (i) Fie f A R! R şi 2 A 0 \ A Spunem c¼ f re derivt¼ în punctul
Mai multLABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati
LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Vectori Şi vlori rorii Metod rotţiilor lui Jcobi Fie A o mtrice ¼trtic¼ Un vector x R n se numeşte vector roriu în rort cu A dc¼ x 6= 0 şi
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să
DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,
Mai multSocietatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013
Societte de Ştiinţe Mtemtice din Români Ministerul Educţiei Nţionle Olimpid Nţionlă de Mtemtică Etp Nţionlă, Brşov, 2 prilie 213 Cls XII- Problem 1. Să se determine funcţiile continue f : R R cu propriette
Mai multCalcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere
Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins I Introducere 6 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l
Mai multM1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de
Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multCursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi
Cursul 6 Integrl în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problem existenţei unei primitive lui f, dică unei funcţii olomorfe F : D C stfel încât F = f. În czul funcţiilor rele,
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢRE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Obiective de referinţă L sfârşitul clsei VII- elevul v fi cpbil..să
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multPowerPoint Presentation
Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mil: Levente.Czumil@ethm.utcluj.ro WePge: http://users.utcluj.ro/~czumil Formul clsică trpezelor rezultă prin
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multModel de planificare calendaristică
Liceul Greco-Ctolic Timotei Cipriu Avizt. Director, Vicenţiu RUSU. Şef Ctedră, PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ANUL ŞCOLAR 04-05 Disciplin MATEMATICĂ, Filieră TEORETICĂ, progrm nr. 35/3.0.006 Cls XI-, profil
Mai multTema 5
Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multModul de Calcul Manual Metode dendrom ÎN TEREN Înălţimi METODA Norme Ediţia 2000 Indicativ Structura Arboretelor Diametru Nr. de arbori la care se măs
oul e Clcul nul etoe enrom ÎN TEREN Înălţimi ETODA Norme Eiţi 000 Inictiv Structur Arboretelor Dimetru Nr. e rbori l cre se măsoră - H- Dim. e referinţă pentru măsurre - H-. Tbelelor e cubj 5.. E+P sp.
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul
Mai multSăptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2;
Săptămân ) {; ; ; 4; ; 8} {} {; ; ; 6; 7} [AE b) {; 4} C {; ; 4; ; 7} AD c) {; ; } {; } Cls VII- Mtemtică Răspunsuri {; 4} AF. ) A {0,,,, 4, }, B {, 4,, 6, 7}. b) A Ç B {, 4, }; A È B {0,,,, 4,, 6, 7};
Mai multPowerPoint Presentation
Curs 9 Integrre Numerică Clculul Numeric l Integrlelor cu plicții în Ingineri Electrică Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL Lortorul de Cercetre în Metode Numerice Deprtmentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multProf. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 2014/ Metoda directă a lui Lyapunov Metoda directă a lui Lyapunov, numită şi cea de a
Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II 4/5 59. Metoda directă a lui Lyaunov Metoda directă a lui Lyaunov, numită şi cea de a doua metodă a lui Lyaunov, serveşte entru investigarea stabilităţii
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multMetode Numerice
Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multSubiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mai 2019 CLASA a V-a Citește fiecare cerință și analizează cu
Suiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mi 2019 CLASA V- Citește fiecre cerință și nlizeză cu tenție desenele su imginile de mi jos. Selecteză cerculețul
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf
EMNALE ANALOGICE Obiecivele ceui cur: Diribuţii Funcţii ingulre Diribuţii uile în udiul emnlelor Trnform Fourier Funcţi de denie pecrlă Proprieăţi le rnformelor Fourier direcă şi inveră 3 Diribuţii Funcţii
Mai multMicrosoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc
ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multModelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multMicrosoft Word - fmnl06.doc
Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multmaracine.doc
Revist Inormtic Economic, nr. 1(25)/2003 123 Micro si mcro hedging utilizând contrcte utures Con.dr. Virgini MARACINE Ctedr de Cibernetic Economic, A.S.E. Bucuresti virgini_mrcine@yhoo.com For interest
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multUniversitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Teză de Doctorat Rezumat Aproximare prin Operatori Integrali Liniari şi
Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Teză de Doctorat Rezumat Aproximare prin Operatori Integrali Liniari şi Neliniari de Variabile Reale şi Complexe Doctorand:
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multMatematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I
Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multCuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.
Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multCursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multTeoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Mai multMicrosoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
Mai multProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013
GRUPUL DE ACŢIUNE LOCALĂ Județul Bistriț-Năsăud, orș BECLEAN, Zon de Agrement Fig, FN, Cod poștl 425100, Tel: 037-1408616, Fx: 037-1377056, e-mil: secretrit@gltinutulhiducilor.ro Progrmul Nţionl de Dezvoltre
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric
.. SEMNLE NLOGIE 1.. Reprezentări ale emnalelor prin diferite forme ale eriei Fourier Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier trigonometrică utilizează pentru SFG (eria Fourier generalizată) itemul
Mai mult1 2 1
1 2 1 3 PROBABILITĂŢI ŞI STATISTICĂ MA- TEMATICĂ 3.1 SPAŢIU PROBABILISTIC, DEFINIŢII, PROPRIE- TĂŢI Teoria probabilităţilor este analiza matematică a noţiunii de experienţă aleatoare (sau aleatorie, întâmplătoare,
Mai mult02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multCursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)
Mai multMicrosoft Word - 03 Dominica MOISE.doc
CONFERINȚA NAȚIONALĂ DE INSTRUMENTAȚIE VIRTUALĂ, EDIȚIA A V-A, BUCURE TI, 20 MAI 2008 13 Pachet de programe care ilustrează capitole din matematică, fizică şi studiul fractalilor Luminița Dominica MOISE,
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multLimbaje Formale, Automate si Compilatoare
Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multMicrosoft Word - 06-Rosu-Mihaela-RED-TR_Proiect_did_Bunat_toamnei_II_ROM.doc
Proiect de lecție Şcol Gimnzil,,Anghel Mnolche Scrioște Dt: 9 noiembrie 2017 Cls: II- A Disciplin: Comunicre în limb român Unitte temtic: File din crte tomnei Titlul lecției : Buntți de tomn Tipul lecţiei:
Mai multProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013
GRUPUL DE ACŢIUNE LOCALĂ Județul Bistriț-Năsăud, orș BECLEAN, Zon de Agrement Fig, FN, Cod poștl 425100, Tel: 037-1408616, Fx: 037-1377056, e-mil: secretrit@gltinutulhiducilor.ro Progrmul Nţionl de Dezvoltre
Mai mult