Transformata Laplace

Transcriere

1 NTRODCERE Crcue de curen connuu Teoremele lu Krchhoff K u K Relațle înre enun ș curenț u e u R Probleme: -analza crcuelor - e dau relale nre enun curen conexunle e cer u 2 -neza crcuelor - e dau anum u e cere un crcu conru cu elemene de p da care are ace u

2 Exemplul : Crcuul ee realza cu rezoare lnare SCCC cu Exemplul 2: Crcuul ee realza cu rezoare lnare dode Zener cu E Z 2V

3 2 Crcue de curen alernav Ι,, K K K Z Ι, K K E, K K Ι K Ι SK Exemplu: neza caracerclor de frecvena Zf Фf Crcuul ee realza cu elemene cu R L C Κ, Κ, Κ Z pozve. Se ma po mpune L L L, dn move Κ mn, max, C C Cmax ehnologce. Κ mn 3 Crcue n regm ranzoru Tranformaa Laplace Z e Φ R Κ R mn, L max

4 Fe o ecuațe dferențală lnară cu coefcenț conanț în funcța de mp x. Cu auorul ranformae Laplace e poae conru o ecuațe algebrcă în funcța de varablă complexă X care corepunde ecuațe dferențale. lzarea ecuațlor algebrce n locul celor dferențale preznă avanae evdene în udul crcuelor elecrce. Fe o funce reala de mp f care ndeplneșe urmăoarele condț: f penru orce, ε unde ε > f ee margna pe nervalul ε,, are dconnua fne ee abolu n egrabla n orgne ε f d < ε σ penru > > f < Ae Orce funcțe f care ndeplneșe acee condț e numeșe funcțe orgnal ș are o magne Laplace F defnă de ranformaa Laplace. F f e d unde σω ee varabla complexă.

5 F exă penru orce Re >σ unde σ ee valoarea mnmă penru care are loc propreaea. n exprea de defnțe a lu F lma nferoară a negrale ee - în enul că: T F lm d f e T ε ε Lma - e a penru ca F a conțnă nformaț aupra unu evenual al al lu f n orgne. Se foloec urmăoarele noa: F L {f}- funcța F ee ranformaa Laplace a funcțe orgnal f f L -{F} funcța orgnal f ee ranformaa Laplace nveră a funcțe magne Schemele echvalene operaonale Rezorul deal are ecuaa de funconare ur daca L{u}, L{} aunc R. Facorul care nmulțeșe pe penru a obțne pe e numee mpedanța operațonală Z. La rezorul deal Z R R. Acee relaț î corepunde chema echvalenă operațonală

6 Penru bobna deală, ecuațe u L d d î corepunde ecuața în ranformae Laplace L[- - ] au L-ϕ - unde - au ϕ - repreznă condța nală la momenul - penru curen au flux magnec. Penru - e defneșe mpedana operaonală a bobne Z L. Schema L echvalenă operațonală ee: Penru condenaorul deal relațe C du d î corepunde legaura înre ranformaele Laplace C[-u - ] au C-q - unde u - au q - un condțle nțale la - penru enunea

7 au arcna condenaorulu. Penru u - e defneșe mpedanța operațonală a condenaorulu. C C Z Ecuațle operațonale ale crcuulu Ecuațle unu crcu lnar în domenul mpulu e po cre cu meoda abloulu. u W D aut u u v N D N M D M A T A unde: - W ee vecorul necunocuelor care cuprnde: poențalele nodurlor v, enunle ș

8 curenț laurlor grafulu u - A ee marcea de ncdență a laurlor la nodur ar A T ranpua aceea. - Dd/d ee operaorul de dervare. - M, M, N, N un marce cu elemene conane în care apar paramer crcuulu R, L, C,... - u ee vecorul urelor ndependene dn crcu funcț orgnal. Se aplcă ranformaa Laplace aceu em de ecuaț ș e obțn ecuațle crcuulu în domenul frecvențe complexe. W aut V N N M M A T A unde L{u} e referă la condțle nțale. Se obervă ușor că oae acee ecuaț un mlare cu cele ale unu crcu lnar de curen connuu au de curen alernav. De exemplu, penru are nțala nulă, bobna ee echvalenă cu o mpedanță operațonală Z L L ș condenaorul cu o mpedanță Z C /C. Dacă facem ω obțnem mpedanțele

9 complexe penru pulața ω: Z L ωl, Z C -/ωc. Dec oae eoremele meodele de analza udae în curen alernav un valable ș penru chemele echvalene operațonale: eoremele generaoarelor echvalene, eorema uperpozțe, eoremele de reprezenare a dporulu, meoda poențalelor nodurlor, meoda curențlor cclc, ec. În membrul drep al emulu de ecuaț în domenul frecvențe complexe apare n plu vecorul al condlor nale. Răpunul la are nțală nulă. Funcț de crcu Fe un crcu lnar cu paramer nvarabl în mp ș cu oluțe uncă. Preupunem că avem o ngură ură ndependenă de curen ș condț nțale nule. Dorm ă exprmăm răpunul în funcțe de excața. Ecuațle operațonale ale crcuulu un

10 unde W T de ] [de T T cofacor β unde β ee o funcțe de crcu ș anume câșgul facorul de ranfer au amplfcarea în curen. Smlar e po defn ș ale funcț de crcu : - câșgul facorul de ranfer au amplfcarea în enune : α - mpedanșa de ranfer : Z ș mpedanța de nrare Z - admanța de ranfer : Y admanța de nrare Y În general o funcțe de crcu funcțe de ranfer ee

11 L rapunul la cond nale nule P H L excae Q De oarece elemenele lu T un polnoame de gradul nâ în cu coefcenț real, rezulă că H ee o fracțe raonală cu coefcenț real. Rădăcnle lu Q e numec pol a lu H ș rădăcnle lu P e numec zerour ale lu H. Pol lu H un frecvențe naurale ale crcuulu. Nu oae frecvențele naurale un pol a orcăre funcț a crcuulu repecv penru că anumț facor prm care apar în Q ș P po ă dpară prn mplfcare. Daca facem ω rezulă funcța de crcu în curen alernav: ω P ω H ω Xe X ω Q ω unde X e ω X ω un reprezenărle complexe ale marm de ere marm de nrare, ar H ω ee funcța de crcu în curen alernav. În ace cur e va uda numa neza funcțlor de crcu de p H, neza funcțlor de crcu de p H ω fnd un caz parcular al aceea.