Dependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,

Transcriere

1 Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție h cu această proprietate, atuci spue că g este idepedetă de,,, î A Deiiţia Spue că ucţiile reale, dacă cel puţi ua ditre ele depide de celelalte Eeplu: Fie R,, R, : sut î depedeţă ucţioală pe ulţiea A,, T, oricare,, R Deoarece R h : R, hu, v u v h, R pe R, deci ucția R,, Așadar depide de și, veriică Deiiţia Spue că ucţiile reale, sut idepedete î A, puct iterior, dacă petru orice veciătate V a lui, ici ua ditre ele u depide de celelalte î V A Vo spue că, sut idepedete pe o ulție E A dacă sut idepedete î orice puct di E Propoziţia Dacă ucţiile, A şi dacă ragul atricei ucţioale au derivate parţiale îtr-o veciătate a puctului iterior i i,, î puctul este egal cu (=uărul ucţiilor), atuci ucţiile, sut idepedete î puctul Fucţiile, puct A sut idepedete pe o ulţie deschisă A dacă sut idepedete î orice Observaţie: Dacă,,, este o trasorare regulată î puctul A, atuci ucţiile, sut idepedete î, Observaţie: Dacă (uărul de ucţii > uărul de variabile) atuci ucţiile,, u pot i idepedete Fucții iplicite Fie A R, B R, F : A B O ucţie : A B R şi ecuaţia F, y 0, ude este soluţie a acestei ecuaţii î raport cu y, dacă,, A, y B F, 0 petru orice A Dacă eistă o sigură ucţie care veriică această ecuaţie, atuci spue că ucţia este deiită de ecuaţia F, y 0 Fucţiile deiite cu autorul ecuaţiilor se uesc

2 ucţii deiite iplicit sau ucţii iplicite Evidet lucrurile se geeralizează dacă î loc de o ecuație ucțioală ave u siste de ecuații ucțioale Cosideră sisteul de ecuaţii: F,,, y,, y 0 F,,, y,, y 0 F,,, y,, y 0 (siste de ecuaţii cu ecuoscute: y, y,, y ) Sisteul uic de ucţii reale, y,, y y,, ulţiea,, A R dacă petru orice (),, este soluţie a sisteului () pe,, A ave F,,, 0 F,,, 0 F,,, 0 Î acest caz, spue că ucţiile,,, sut ucţii iplicite sau deiite iplicit de sisteul () Cosideră că ucţiile F, F,, F au derivate parţiale î raport cu variabilele y, y,, y pe ulţiea A B şi otă iacobiaul (deteriatul ucțioal) cu D F,, F D y,, y Teorea ucţiilor iplicite Fie A R, 0, 0,, 0, y y, y,, y 0 Dacă sut îdepliite urătoarele trei ceriţe: F, y 0; ) 0 0 ) ucţiile,, ) iacobiaul F F F y y y F F F y y y F F F y y y B R, 0, 0 y A B puct iterior, şi ucţia vectorială F F, F,, F : A B R F F F au derivate parţiale cotiue îtr-o veciătate a lui 0, 0 DF,, F 0 î puctul 0, y 0, D y,, y y ;

3 atuci: i) eistă o veciătate U V a puctului 0, y 0 (ude U este veciătate a lui 0 şi V este veciătate a lui 0 y ) şi o uică ucţie vectorială şi F, 0, U y 0 0 ii) ucţiile,,, au derivate parţiale cotiue pe U şi D F, F,, F D y,, y, D F,, F Fie D y,, y,,, : U V astel îcât Etree codiţioate şi etree cu legături Metoda ultiplicatorilor lui Lagrage D F, F,, F D, y,, y D F,, F A R o ulţie deschisă, ucţia : A R şi ulţiea E A Deiiţia 4 Spue că adite î puctul D y,, y, a a, a,, a A u etre codiţioat relativ la ulţiea E dacă a E şi restricţia ucţiei la ulţiea E (otată : E R ) adite î a u etre liber (sau obişuit) Faptul că ucţia are î puctul a u ai (respectiv u ii) relativ la ulţiea E, îseaă că eistă o veciătate V a lui a, astel îcât oricare ar i să ave: a, (respectiv a,,, V E E ) Etreele ucţiei relative la o subulţie E A se uesc etree codiţioate Dacă subulţiea E va i deiită ca ulţiea soluţiilor uui siste de ecuaţii, atuci etreele codiţioate se uesc şi etree cu legături Cosideră ecuaţiile (legăturile): F,,, 0 F,,, 0, () Fk,,, 0 ude k iar ucţiile F : A R,, k Î acest caz ave E A F F F 0, 0,, 0 şi etreele ucţiei relative la ulţiea E se uesc etree codiţioate de sisteul () sau etree cu legături Puctele staţioare ale ucţiei cu,,, E se uesc pucte staţioare codiţioate k

4 Reaiti că diereţiid legătura F,,, 0 î puctul a a a a,,, obţie F F F ad ad ad 0, ude di i ai, i, Urătoarea teoreă oeră codiții ecesare de eisteță a puctelor de etre codițioate (ea airă că orice puct de etre codițioat este puct stațioar codițioat) Teoreă Fie a u puct care veriică sisteul () (veriică legăturile) Cosideră că ucția și ucțiile F, F,, Fk au derivate parțiale cotiue îtr-o veciătate V a lui a și că atricea F i ucțioală M, ude,, T,, are î puctul a ragul k (egal cu i, k, uărul legăturilor) Dacă a este puct de etre al ucției codițioat de sisteul (), atuci eistă k uere,,, k astel îcât să ave: F F Fk a a a k a 0 F F Fk a a a k a 0 F F Fk a a a k a 0 Coeicieții,,, k se uesc ultiplicatorii lui Lagrage Pe baza acestei teoree ave o etodă de căutare a puctelor de etre cu legături, uită etoda ultiplicatorilor lui Lagrage: k variabile): ) Se costruieşte lagrageaul (ucţia auiliară de L,,, ;,,, k,,, F,,, F,,, F,,,, k k ude,,, k poartă deuirea de ultiplicatorii lui Lagrage ) Se aulează cele derivate parţiale ale lui L î raport cu,,, La aceste ecuaţii se adaugă cele k legături, se obţie sisteul de ecuaţii: L ; 0, L ; 0,, L ; 0 F 0, F 0,, Fk 0 ude,,, A şi,,, k Se rezolvă acest siste de k ecuaţii cu k,,, ;,,,,,, ;,,, (4) k Fie a a a k ecuoscute o soluţie a acestui siste (deci puct staţioar petru L), atuci spue că puctul a a a a,,, este u puct staţioar 4

5 codiţioat al lui Puctele de etre codiţioate ale ucţiei se găsesc pritre puctele staţioare a; ale lui L ) Stabili care ditre puctele staţioare codiţioate ; etre Vo studia seul diereței a a ale lui sut şi pucte de î puctele care veriică legăturile Petru aceasta presupue că ucţiile, F, F,, F k au derivate parţiale de ordiul doi cotiue îtr-o veciătate a puctului a Coor orulei lui Taylor de ordiul doi îtr-o veciătate a puctului a ave a L; La; L a; d id i i ude di i ai, i, şi este cotiuă şi ulă î a Se studiază seul acestei diereţe studiid atura diereţialei de ordiul doi a lui L î puctul a; sau atura hessiaei lui L î acest puct Ave ;, ; i i ude i i i,, i d L a L a d d d a i 4) Petru a uşura acest lucru se diereţiază î puctul a a a a obţie sisteul:,,, legăturile date, se F a F a F a d d d 0 Fk a Fk a Fk a d d d 0 di care se deteriă depedeţele ditre diereţialele eleetare, să zice că se ală d, d,, d k î ucţie de dk, dk,, d şi se îlocuiesc î ucţioala pătratică d L ; a, La did i i 5) Dacă ucţioala pătratică este egativ deiită ( atuci a a a a d L ; a, 0 petru orice a),,,, este puct de ai local codiţioat petru ; dacă este pozitiv deiită ( d L ; a, 0 petru orice a ), puctul a a a a local codiţioat petru Dacă ucţioala pătratică ;, puctul staţioar a a a a,,, este puct de ii d L a este edeiită, atuci,,, u este puct de etre codiţioat petru U eeplu de probleă de etre cu legături este dat de o ivestiţie Cosideră că ave la dispoziţie o suă totală de S u care poate i ivestită î diverse activităţi ecooice 5

6 a,,,,, iecare a producâd u auit proit Notâd cu optiizare: p sua ivestită petru activitatea a p S 0,, p pe uitatea oetară ivestită a odelarea ateatică ridică problea de, deci deteriarea aiului ucţiei : + 0,, ude,,, R cu legătura Eeplu: Fie ucţia : ucţiei codiţioate de legătura Soluţie: Ave, y y S R R, R R,, y y Să se deterie puctele de etre ale y 0 F şi lagrageaul, ;,, L y y F y y y Se orează sisteul: 0 deci y 0 rezultă soluţiile 0, y, y 0 ave puctele staţioare A 0, cu ultiplicatorul Petru L, L L L F şi 0, y, şi 0, ave L, y; y y y y ; 0 ; 0,, y 0 Aşadar B cu ultiplicatorul, deci, L y y, L 0, L şi diereţiala de ordiul doi î puctul A, y y d L, y;0,, y este pozitiv deiită, aşadar puctul 0, ii local codiţioat al lui şi iiul codiţioat este 0, Petru Rezultă ave L, y; y y L, L y y, L, L y y y L 0, L L A este puct de şi diereţiala de ordiul doi î puctul B, d L, y;0,, y este egativ deiită, aşadar puctul B0, este puct de ai local codiţioat al lui, iar aiul codiţioat este 0, 6