FIŞA NR

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "FIŞA NR"

Transcriere

1 Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009

2

3 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE Pg 6 6 FIŞ NR 6 ECUŢII LOGRITMICE Pg 9 FIŞ NR PROGRESII Pg 8 FIŞ NR 8 ELEMENTE DE COMBINTORICĂ Pg 4 9 FIŞ NR 9 ELEMENTE DE GEOMETRIE VECTORI Pg 9 0 FIŞ NR 0 ELEMENTE DE GEOMETRIE NLITICĂ Pg FIŞ NR ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE Pg 9 BIBLIOGRFIE Pg 4

4 4

5 RGUMENT Culegere se dreseză elevilor di clsele XI-XII liceu, rut directă, respectiv XII-XIII liceu, rut progresivă şi costitue u spriji importt î pregătire de bză î domeiul mtemticii, î pregătire petru emeul de Bcluret Fişele coţi tât cuoştiţele teoretice ecesre cât şi modele de eerciţii rezolvte şi eplicte Temele propuse î fiecre fişă, sut cocepute petru fire cuoştiţelor dr şi petru uşur demersul elevilor î pregătire proprie petru susţiere emeului ţiol Mterilul pote fi utilizt tât l clsă cât şi î pregătire idividulă elevilor, cest urmărid recuperre cuoştiţelor lcure dr şi o pregătire temeiică, di timp, cre să corespudă ceriţelor progrmei de Bcluret Mult succes î pregătire mtemtică, Prof Coreli Mestec Prof Rodic Trişcă

6 FIŞ NR -NUMERE RELE propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC 0, ; Z =,,,,,0,,,, N =,,,, N Z Q R Puteri cu epoet rţiol, b R *, p, q Q : p p q ; Q = pq ; p q pq ; p q p p p p b ; ; p b b p p Proprietăţile rdiclilor, b R,, k N, impre su, b R ;, k N pre : * / Z, b N,(, b), b pq ; 0 ; p ; ; b b; k k k k b 0; ; b b Medi ritmetică umerelor rele,,, este m Medi rmoică umerelor rele pozitive uule,,, este mrm Medi geometrică umerelor rele pozitive,, Modulul ( vlore bsolută ) umărului rel, este m, este g, 0, 0 Probleme rezolvte Să se clculeze probbilitte c, legâd u umăr di mulţime {,,, 4,, 6,, 8, 9, 0 }, cest să fie rţiol Rezolvre:, 8,, Q, restul umerelor u sut rţiole r cz fvorbile P, r cz posibile umărul czurilor posibile = r totl de elemete di mulţime = 0, umărul de czuri fvorbile = r rţiole =, deci P 0 Să se clculeze probbilitte c, legâd u umăr di mulţime {,,, 4,, 6,, 8, 9, 0 }, cest să fie irţiol Rezolvre:, 8,, Q, restul umerelor u sut rţiole 6

7 r cz fvorbile P, r cz posibile umărul czurilor posibile = r totl de elemete di mulţime = 0, 8 4 umărul de czuri fvorbile = r irţiole = 8, deci P 0 Să se ordoeze crescător umerele : Rezolvre: = 4 4 = 4 = 6 = 4 ; 64 = < < 8 < 4 4 Să se clculeze 9 9 Rezolvre: 9 rţioliz umitorul, 9 < 64, 64, ; 8 = -m mplifict frcţi cu petru 9 = 9 Temă 9 9 Să se clculeze probbilitte c, legâd u umăr di mulţime {, 6,, 8, 9, 0,, }, cest să fie rţiol Să se clculeze probbilitte c, legâd u umăr di mulţime {,,, 4, }, cest să fie irţiol Să se clculeze: 4 Să se clculeze: 4 8 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică!

8 FIŞ NR ECUŢII propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC Ecuţi de form +b=0 cu Ecuţi b, b R, 0 re soluţi uică =- b c 0,, b, c R şi 0, re : b -două soluţii rele, dcă b 4c 0 ; b -o soluţie relă dcă b 4c 0 ; -ici o soluţie relă dcă b 4c 0 Descompuere triomului b c,, b, c R, 0 î produs: b c ( )( ), ude, sut soluţiile ecuţiei b c 0 Relţiile lui Viète: Fie, sut soluţiile ecuţiei b c 0 ( 0, 0 ); otăm S=, P= b c tuci S= = şi P= = Formre ecuţiei b c 0 câd se cuosc soluţiile sle: Fie, R, S=, P= tuci, sut soluţiile ecuţiei S P 0 Probleme rezolvte Să se determie mulţime vlorilor lui petru cre - < 4 < Rezolvre : - < 4 < / < < + 4 < < / : ; Să se determie mulţime vlorilor lui petru cre -6 < - + < Rezolvre : -6 < - + < / < < - - < - < - 4 / : (-) ; Să se determie vlorile rele le lui petru cre Rezolvre: 0 tşăm ecuţi 0 0 =, b=, c= -0 b 4c şi disticte, 40, 49 >0, deci soluţiile sut rele b b ; Tbelul de sem este: Di tbel rezultă că 0 0 ; ; 4 Să se determie umărul rel m petru cre umărul = - este soluţie ecuţiei m m Rezolvre: = - soluţie, îsemă că îlocuid pe cu - î ecuţie, obţiem o idetitte: petru 8

9 m m m m 0 m m 0 m m 0 ; ecuţi de grdul II re soluţiile rele m 0; m Să se determie vlorile rele le lui m petru cre soluţiile şi le ecuţiei m m, verifică relţi: 0 Rezolvre: m m 0 cu soluţiile şi b m c m Scriem relţiile lui Viète: m ; m Îlocuim î relţi ecuţi m m 0 cre re soluţiile rele m şi m 6 Ştiid că şi sut soluţiile ecuţiei 4 0, clculţi Rezolvre: şi sut soluţiile ecuţiei 4 0 b 4 c Scriem relţiile lui Viète: 4 ; = = 6 0 = = 6 9 = m folosit relţi Să se rte că mulţime { R / ( m ) m 0} re două elemete, oricre r fi m ; Rezolvre: ecuţi ( m ) m 0 re două soluţii rele dcă 0, m 4m 4m 8m 4 4m 8 8m 0 8m 0 m ; Temă Să se determie mulţime vlorilor lui petru cre - < + < Să se determie mulţime vlorilor lui petru cre - < < Să se determie vlorile rele le lui petru cre 4 Să se determie umărul rel m petru cre umărul = este soluţie ecuţiei m m Să se determie vlorile rele le lui m petru cre soluţiile şi le ecuţiei m m m 0, verifică relţi: 6 Ştiid că şi sut soluţiile ecuţiei 0, clculţi ; Să se rte că mulţime { R / m m m 0} re două elemete, oricre r fi m R 8 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 9

10 FIŞ NR FUNCŢII - TEORIE propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC Fie mulţimile, B R şi o fucţie f : B f se umeşte fucţie strict crescătore dcă,, di rezultă f ( ) f ( ) f se umeşte fucţie crescătore dcă,, di rezultă f ( ) f ( ) f se umeşte fucţie strict descrescătore dcă,, di rezultă f ( ) f ( ) f se umeşte fucţie descrescătore dcă,, di rezultă f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f este crescătore dcă şi umi dcă,,,, vem 0 f este strict crescătore dcă şi umi dcă,,, f ( ) f ( ) 0 f este descrescătore dcă şi umi dcă,,, f ( ) f ( ) 0 f este strict descrescătore dcă şi umi dcă,,, f ( ) f ( ) 0, vem, vem, vem f este ijectivă dcă,, vem f ( ) f ( ) f este ijectivă dcă,, cu f ( ) f ( ) f este surjectivă dcă y B, stfel îcât y = f() f este bijectivă dcă f este ijectivă şi surjectivă f este iversbilă dcă eistă fucţi g : B cu g f şi f g B (vezi defiiţi compusei două fucţii) f este iversbilă dcă şi umi dcă f este bijectivă Operţii cu fucţii Fie f, g : D R, D R f g : D R, (f+g)() = f() + g() se umeşte fucţi sumă lui f şi g f g : D R, fg() = f()g() se umeşte fucţi produs lui f şi g f f f ( ) : D R, g( ) 0, D, ( )( ) se umeşte fucţie cât g g g( ) Fie f : B, g : B C Fucţi g f : C defiită pri ( g f )( ) g( f ( )) se umeşte compus lui g cu f Fie fucţi f : B, y = f() Fucţi g : B cu propriette ( g f )( ), şi ( f g)( y) y,y B, se umeşte ivers fucţiei f şi se oteză cu f 0

11 Fucţi fiă Fucţi f : R R, f ( ) b,, b R, se umeşte fucţie fiă Fucţi f este costtă dcă 0 Fucţi f este strict crescătore dcă 0 şi strict descrescătore dcă 0 Fucţi f : R R, f ( ) b,, b R, 0, se umeşte fucţie de grdul îtâi Fucţi f : R R, f ( ) b,, b R, 0, este bijectivă deci iversbilă Semul fucţiei de grdul îtâi: b f() Semul opus lui 0 Semul lui Fucţi de grdul II Fucţi f : R R, f ( ) b c,, b, c R, 0 se umeşte fucţie de grdul II b V ( ; ) este vârful prbolei (= reprezetre geometrică grficului fucţiei de 4 grdul II) şi cest reprezită puct de mim l fucţiei f dcă <0 / puct de miim l fucţiei f dcă >0 b Vlore f ( ) este vlore mimă fucţiei dcă <0 / vlore miimă 4 fucţiei dcă >0 Form coică fucţiei de grdul II este: b f ( ) 4 Mootoi fucţiei de grdul II Czul >0 f() Czul <0 f() f strict descrescătore f strict crescătore b 4 f strict crescătore mi b 4 f strict descrescătore m Semul fucţiei de grdul II Czul b 4c 0,, R, (, sut soluţiile ecuţiei f()=0 ) presupuem f() semul lui 0 semul opus lui 0 semul lui b Czul b 4c 0, R, (, sut soluţiile ecuţiei f()=0 ) = f() semul lui 0 semul lui

12 Czul b 4c 0,, R (, sut soluţiile ecuţiei f()=0 ) f() semul lui Fucţi epoeţilă este f : 0; R, f () =, >0, -Fucţi epoeţilă este strict crescătore petru > şi strict descrescătore petru 0<< -Fucţi epoeţilă este bijectivă şi ivers ei este fucţi logritmică Fucţi logritmică este f : (0; + ) R, f () = log, >0, -Fucţi logritmică este strict crescătore petru > şi strict descrescătore petru 0<< -Fucţi logritmică este bijectivă şi ivers ei este fucţi epoeţilă Logritmi: log = b = b, >0,, 0 ;, b R Dcă,b(0; +) {},, y, r R tuci : log y = log + log y ; log = log log y ; log log, y log r logb = r log ; log = ; log = 0 ; log = log b

13 FIŞ NR 4 FUNCŢII - EXERCIŢII propuător: prof Coreli Mestec Probleme rezolvte Fie fucţiile f : R R, f ( ) şi g : R R, g( ) Determiţi soluţiile rele le ecuţiei f ( ) g( ) 4 Rezolvre: f ( ) g( ) 4 Îlocuim f () şi g () cu epresiile lor: ( ) ( ) ; 4 ; 9/ : R Fie fucţiile f : R R, f ( ) şi g : R R, g( ) Determiţi f ( g(0)) g( f ( )) Rezolvre: I g ( 0) 0, g(0) ; f ( g(0)) f () ; f ( g(0)) 9 f ( ) ( ), f ( ) ; g( f ( )) ; g ( f ( )) 0; f ( g(0)) g( f ( )) 9 0 II f g : R R,( f g)( ) f ( g( )) g( ) ( ) 9 f ( g(0)) ; g f : R R,( g f )( ) g( f ( )) f ( ) 6 g ( f ( )) ( ) 6 0 ; f ( g(0)) g( f ( )) 9 0 Fie fucţi f : ; R, f ( ) Determiţi mulţime vlorilor fucţiei f Rezolvre: Fucţi f este strict descrescătore vâd =- <0, f ( ) ( ) > ( ) f ( ) ; = Im f f, deci 4 Fie fucţi f : R R, f ( ) 0 Clculţi distţ ditre puctele de itersecţie le reprezetării grfice fucţiei cu O Rezolvre: G f O : f ( ) ; b 4c, 4( 0) 8 b 9 b 9 4, G f O ( 4;0); B( ;0) d( ; B) ( B ) ( y B y ) ( 4) Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Determiţi vlorile rele le lui m petru cre bscis puctului de mim l grficului este Rezolvre: G dmite u puct de mim dcă 0 m 0 m ;0 f b Puctul de mim este V ;, bscis este 4 m Di ipoteză m 0 m 4, deci b ( m ) m m m

14 6 Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Determiţi vlorile rele le lui m petru cre vlore mimă fucţiei f este 8 Rezolvre: G dmite u puct de mim dcă 0 f, deci m 0 m ;0 b Puctul de mim este V ; ir vlore mimă fucţiei f este 4 4 ( ( m )) 4m m 0m Di ipoteză 4 4m 4m 4 deci 8 m 0m m m 0 cre re soluţiile rele m şi m, 4m 8 mbele egtive, deci soluţii le problemei Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Să se rte că f ( ) 0,m R Rezolvre: I f () m m, dcă folosim form coică f () m 0, m R ; 4 II putem folosi şi semul fucţiei de grdul II: m m 0, 0 m, m R m f () m m ( semul lui ) Di tbel observăm că f ( ) 0,m R 8 Fie fucţi f : R R, f ( ) 0 Clculţi f ( 0) f () f () f () f (4) f () Rezolvre: f ( ) ( 4)( ), 4 şi - sut soluţiile ecuţiei f()=0 f (4) 0 f ( 0) f () f () f () f (4) f () 0 9 Să se determie puctele de itersecţie le grficelor fucţiilor f, g : R R, f ( ) 4, g ( ) Rezolvre: I f ( ) g( ) ,, ( ), g() 4 G G ( ; ), B(; 4) g, deci II y f ( ) y g( ) f g y 4 y y 4 y şi y 4 deci G G ( ; ), B(; 4) f g 0 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei f : D R, f ( ) log ( ) 4

15 Rezolvre: C: 0 ; deci D ; Fie fucţi f : 0; R, f ( ) log Să se clculeze f () f () Rezolvre: f ( ) log 0, f ( ) log 4 f () f () 4 Clculţi log log log Rezolvre: folosim proprietăţile logritmului log y log y log log y, log log y, log 0; log log log log log 0 Temă Fie fucţiile f : R R, f ( ) şi g : R R, g( ) Determiţi soluţiile rele le ecuţiei f ( ) 4g( ) Fie fucţiile f : R R, f ( ) şi g : R R, g( ) Determiţi f ( g( )) g( f ()) Fie fucţi f : ; R, f ( ) Determiţi mulţime vlorilor fucţiei f 4 Fie fucţi f : R R, f ( ) Clculţi distţ ditre puctele de itersecţie le reprezetării grfice fucţiei cu O Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Determiţi vlorile rele le lui m petru cre bscis puctului de mim l grficului este (-) 6 Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Determiţi vlorile rele le lui m 9 petru cre vlore mimă fucţiei este 4 Fie fucţi f : R R, f ( ) m ( m ) Să se rte că f ( ) 0,m R 8 Fie fucţi f : R R, f ( ) 9 Clculţi f ( ) f ( ) f ( ) f (0) f () f () 9 Să se determie puctele de itersecţie le grficelor fucţiilor f, g : R R, f ( ), g ( ) 6 0 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei f : D R, f ( ) log ( ) Fie fucţi f : 0; R, f ( ) log 4 Să se clculeze f () f (4) Clculţi log 6 log log Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică!

16 FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE; ECUŢII EXPONENŢILE propuător: prof Coreli Mestec ÎNDRUMR PENTRU REZOLVRE ECUŢII IRŢIONLE -Se umesc ecuţii irţiole, ecuţiile cre coţi ecuoscut sub semul rdicl -Metod obişuită de rezolvre ecuţiilor irţiole costă î elimire rdiclilor pri diferite trsformări, reducâdu-le l ecuţii rţiole echivlete; cest lucru se fce pri ridicări l putere sfel îcât să dispră rdiclii Îite de trece l rezolvre efectivă ecuţiei, se pu codiţii de eisteţă rdiclilor petru obţie D mulţime / domeiul de eisteţă ecuţiei, respectiv soluţiilor; rdiclii de ordi pr u ses umi petru umere pozitive Se izoleză rdiclii (dcă este posibil) petru se pute ridic l putere şi se obţie o ecuţie mi simplă Se ţie cot de fptul că cei doi membrii i uei ecuţii trebuie să ibă celşi sem ( l ecuţiile cu rdicli de ordi pr) Se rezolvă ecuţi obţuută, se verifică dcă umărul / umerele găsite prţi domeiului de eisteţă soluţiilor D, după cre se scrie S- soluţi ecuţiei ECUŢII EXPONENŢILE -Se umesc ecuţii epoeţile, ecuţiile cre coţi ecuoscut l epoet -Metode de rezolvre: î rezolvre ecuţiilor epoeţile se utilizeză propriette de ijectivitte fucţiei epoeţile : y y, f ( ) - ecuţi de form b, 0, -dcă b 0, ecuţi u re soluţii ( ) -dcă b 0, b r f r f ( ) r S -dcă b b b f b S r f ( ) 0, ( ) log f ( ) g( - ecuţi de form ), 0, - se utilizeză propriette de ijectivitte fucţiei epoeţile : f ( ) g( ) f ( ) g( ) S f ( ) f ( ) - ecuţi de form 0, 0, -se oteză f ( ) t şi se ţie sem de fptul că t > 0 Probleme rezolvte ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei 0 Rezolvre: Codiţii: ; 0 ; D ; / 6 0, ; D S ; ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei Rezolvre: / 0 ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei 9 Rezolvre: Codiţii: 0 ; ; 9 / ; D 6

17 9 6 /: 9 8 / , b 8, c 4, b 4c b 8 ; b 8 D, ( ) F u este soluţie D, ( ) este soluţie Deci S 4) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei 4 4 Rezolvre: p pq ( m folosit q 6 4 Deci S şi propriette de ijectivitte fucţiei epoeţile:, D, cu ) ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei Rezolvre: 4 : Deci S m folosit fucţiei epoeţile pq p q şi pq p q şi propriette de ijectivitte 6) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei 4 0 Rezolvre: Notăm t 4t t 0 ; 4, b, c, b 4c t t, t t t 0 t cestă ecuţie u re soluţie petru că 0 ir Deci 0 fucţiei epoeţile p pq S m folosit q şi pq ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei Rezolvre: p q şi propriette de ijectivitte 0

18 8 0 / : 0 0, otăm t 0 t t ;,, c b, 9 4 c b 4 t t, 4 t t 0 0 t t u re soluţie Deci 0 S m folosit pq q p şi p p p b b şi propriette de ijectivitte fucţiei epoeţile Temă Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor ; 4 Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor 8 ; Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor 0 ; 4 ; 0 4 Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor 9 ; 9 ; 0 4 ; 6 ; ; 40 ; Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică!

19 FIŞ NR 6 ECUŢII LOGRITMICE propuător: prof Coreli Mestec ÎNDRUMR PENTRU REZOLVRE -Se umesc ecuţii logritmice, ecuţiile cre coţi ecuoscut l bz su rgumetul uor logritmi -Metode de rezolvre: se utilizeză propriette de ijectivitte fucţiei logritmice log log y y -ecuţii de form log f ( ) b, 0, -se pue codiţi de eisteţă logritmului f( ) 0, pe cre o rezolvăm şi obţiem D domeiul î cre ecuţi pote ve soluţii -se rezolvă ecuţi : log f ( b ) b f ( ) ( coform defiiţiei logritmului ) -se verifică dcă umărul / umerele obţiute prţi lui D, obţiâduse stfel soluţi ecuţiei S -ecuţii de form log f ( ) log g( ), 0, f( ) 0 -se pu codiţiile de eisteţă logritmilor, sistem pe cre g ( ) 0 îl rezolvăm şi obţiem D domeiul î cre ecuţi pote ve soluţii -se rezolvă ecuţi : log f ( ) log g( ) f ( ) g( ) ( coform proprietăţii de ijectivitte fucţiei logritmice) -se verifică dcă umărul / umerele obţiute prţi lui D, obţiâduse stfel soluţi ecuţiei S -ecuţii de form log f ( ) log f ( ) 0, 0, -se pu codiţiile de eisteţă logritmilor f( ) 0, pe cre o rezolvăm şi obţiem D domeiul î cre ecuţi pote ve soluţii -se rezolvă ecuţi : log f ( ) log f ( ) 0 utilizâd substituţi log f ( ) t ( se obţie o ecuţie de grdul II, cre v ve soluţiile t, t dcă 0 şi u v ve soluţii rele dcă 0 ; î czul câd eistă soluţiile t, t, mergem mi deprte stfel: t t log f ( ) t f ( ) ;log f ( ) t f ( ) -se verifică dcă umărul / umerele obţiute prţi lui D, obţiâduse stfel soluţi ecuţiei S -ecuţii de form log g( ) f ( ) b, 0, f( ) 0 -se pu codiţiile de eisteţă logritmului g ( ) 0, sistem pe cre g ( ) îl rezolvăm şi obţiem D domeiul î cre ecuţi pote ve soluţii -se rezolvă ecuţi : log ( ) ( ) ( ) ( ) b g f b f g ( coform defiiţiei logritmului ) -se verifică dcă umărul / umerele obţiute prţi lui D, obţiâduse stfel soluţi ecuţiei S 9

20 Probleme rezolvte Să se determie soluţiile rele le ecuţiei log log Rezolvre : log log Codiţie : 0 ; D log 4 D S 4 log m plict propriette de ijectivitte fucţiei logritmice (fucţi logritmică este ijectivă deci, D, cu log( ) log( ) ) Să se determie soluţiile rele le ecuţiei log 8log 0 Rezolvre : log 8log 0 Codiţie : 0 0; D Notăm log t t 8t 0 ecuţie de grdul II, b 8, c, b 4c b 8 0 b 8 0 t t t ; t t t 6 6 t log log log t log log, D S ; log Să se determie soluţiile rele le ecuţiei log log Rezolvre : log log 0 0 0; Codiţii : ; D 0 ; log log ( ) log ( ) log log 0, b, c, b 4c 9 ; D deci este soluţie ecuţiei D deci u este soluţie ecuţiei S m folosit : log log y log y şi propriette de ijectivitte fucţiei logritmice 4 Să se determie soluţiile rele le ecuţiei log Rezolvre : log Codiţie : 0 ; D log log log D 0

21 Deci S m folosit propriette de ijectivitte fucţiei logritmice Să se determie soluţiile rele le ecuţiei lg 6lg 0 Rezolvre : lg 6lg 0 Codiţie : 0 0; D Notăm lg t t 6t , b 6, c, 6 t t, t t t lg lg lg0 0 D t lg lg lg0 0 D Deci S 0;0 m folosit propriette de ijectivitte fucţiei logritmice Temă Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor log ; log Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor log 4 4 log log log ; Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor log log 0 ; lg lg log ; lg log 4 Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor log 4 ; log log Să se determie soluţiile rele le ecuţiilor l l 0; 6lg lg 0 6 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică!

22 FIŞ NR - PROGRESII propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC Progresii ritmetice Şirul se umeşte progresie ritmetică de rţie r, dcă r, Formul termeului geerl + (-)r, Sum primilor termei S Propriette progresie ritmetică, Şirul Progresii geometrice b se umeşte progresie geometrică de rţie q 0, dcă b b q, Formul termeului geerl b b q, Sum primilor termei q b, q S b b b q b, q Propriette b progresie geometrică b, b b Probleme rezolvte ) Să se determie l optule terme l şirului,, 9,, Rezolvre : se observă că şirul este o progresie ritmetică petru că 4, 4 9,9 4, etc Deci ( primul terme) şi rţi r 4 Ştim formul termeului geerl : ( ) r (8 ) 4, 9 8 ) Să se cluleze sum primilor termei i progresiei ritmetice ( ) î cre şi r Rezolvre: ştim că S şi ( ) r Î czul ostru, şi r, îlocuim î formule şi obţiem: ( ( 9)) 6 ( ) 9, S S 8 ) Să se demostreze că petru orice R, umerele, şi termeii cosecutivi i uei progresii ritmetice Rezolvre: ştim că progresie ritmetică, Pri urmre, cele trei umere fiid î progresie ritmetică, se flă î relţi 4 () sut

23 4) Să se determie l zecele terme l uei progresii geometrice î cre rţi este şi primul terme este Rezolvre: îtr-o progresie geometrică b bq, Ştim că b şi rţi este q, pri urmre b b 0 b 9 0, deci b b 0, 9 0 b q ) Să se clculeze sum : 8 44 Rezolvre: observăm că termeii sumei se flă î progresie ritmetică î cre şi rţi r Petru sum termeilor progresiei ritmetice ştim S ir petru termeul geerl ( ) r Î eerciţiul ostru ştim că 44, deci 44 ( 44) sum termeilor : S S S 4, cum putem clcul 6) Să se clculeze sum Rezolvre: observăm că termeii sumei se flă î progresie geometrică î cre b şi rţi este ; petru sum termeilor progresiei geometrice ştim q b, q S b b b q ir petru termeul geerl b bq, b, q Î czul ostru tuci S 8 8 ) Î progresi ritmetică Rezolvre: ştim că S 8 6 deci rezultă că 8 se cuosc: 6 0, 0 să se gsescă 6 0, 0, cee ce se pote scrie şi r 0 r 0 m îmulţit prim ecuţie cu (-) şi m 6 0 r 0 0r 00 dut l dou ecuţie; r ; 0 9r m folosit formul termeului geerl : ( ) r 9

24 8)Î progresi geometrică clculeze b 6 Rezolvre: ştim că tuci b 4 b q b cu termei pozitivi, se cuosc b şi b 4 Să se, b bq, 4 q q q q plicâd ir formul termeului geerl, vem b 6 b q 4, deci b b Temă Să se determie l ouăle terme l şirului -,,,, Să se cluleze sum primilor 8 termei i progresiei ritmetice ( ) î cre şi r Să se demostreze că petru orice R, umerele, şi 9 sut termeii cosecutivi i uei progresii ritmetice 4 Să se determie l optule terme l uei progresii geometrice î cre rţi este şi primul terme este 680 Să se clculeze sum : Să se clculeze sum 8 se cuosc:, 9 să se gsescă Î progresi ritmetică 8 Î progresi geometrică clculeze b b cu termei pozitivi, se cuosc b şi b Să se 9 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 4

25 FIŞ NR 8 - ELEMENTE DE COMBINTORICĂ propuător: prof Coreli Mestec BREVIR TEORETIC Fie E şi F două mulţimi evide Dcă crd E = k şi crd F =, (crd E = umărul de k elemete le mulţimii E), tuci umărul de fucţii defiite pe E cu vlori î F este Fie E o mulţime evidă cu elemete Mulţime fiită E se umeşte mulţime ordotă, dcă elemetele sle sut şezte îtr-o ordie bie determită Se umeşte permutre mulţimii eordote E, orice mulţime ordotă de elemete di E Numărul permutărilor de elemete di E este P =!, ude! =,, 0!= ( pri coveţie) Se umesc rjmete de elemete lute câte k, 0<k<, submulţimile ordote le lui E, vâd fiecre k elemete Numărul rjmetelor de elemete lute câte k, 0 k, este k, ude! k k su ( )( )( k ) ( k)! Se umesc combiări de elemete lute câte k, 0<k<, submulţimile eordote lui E, vâd fiecre k elemete k Numărul combiărilor de elemete lute câte k, 0 k, este C, ude k k! C P k!( k)! k Formul combiărilor complemetre: Formul de descompuere combiărilor: Biomul lui Newto: biomul lui Newto este k k C C k C C C k k k k k ( b) C b ; termeul geerl ( de rg k) di k0 k k k Tk C b, k {0,,,,} Numărul tuturor submulţimilor uei mulţimi cu elemete este: 0 k C C C C C o C C, Să se clculeze P C C C 6 Probleme rezolvte Rezolvre : cuoştem formulele : P =!, ude! =,, 0!= k! şi ( k)! C k k!, 0 k P k!( k)! k Pri urmre : P! 4 0,!!4 0 C C C C 0!!!! 6! 6! 4! ! 4! 4!

26 Deci P C 6 =0-0-0=80 Obs m folosit fptul că u fctoril mi mre se pote eprim î fucţie de u fctoril mi mic Eemplu: 6! 46 4! 6 su 6!! 6 su 6!!4 6 etc Să se compre umerele şi 4 C C Rezolvre: Ştim formul de clcul petru combiări: combiări complemetre : k k C C b C C4 C4 C4 C4! 4! C C C, C C C C C!4! 4! 4 vem de clcult C C rezultă că 0 b C, ştim că C4 C4 C4 C4 0 C k! şi formul petru k!( k)! C C C C C rezultă că b 4 b 6 ; comprâd cu b observăm că b Să se rezolve ecuţi: 0 Rezolvre: ştim formul de clcul petru rjmete: plicăm î czul ostru!!!!, N k k!, 0 k, pe cre o ( k)! după simplificre vem Ecuţi ostră 0 devie: ecuţie de grdul II cre re soluţiile şi 4 ; cum, N, rezultă că soluţi ecuţiei este = 4 Să se determie umărul tuturor submulţimilor de elemete ce se pot form cu elemete di mulţime {,,,4,,6,} Rezolvre: Cuoştem defiiţi combiărilor: se umesc combiări de elemete lute câte k, 0<k<, submulţimile eordote lui E, vâd fiecre k elemete, ude E esteo mulţime evidă cu elemete Î czul ostru este vorb de combiări de elemete lute câte! Deci: C k! 4! 6, 0 k, C C simplficăm cu 4!, k!( k)!!! 4 poi cu respectiv cu, rezultă C! Să se clculeze umărul submulţimilor mulţimii {,,,4,,6}, cre u u umăr pr de elemete Rezolvre: umărul de submulţimi se flă cu combiări, cele cre u umăr pr de 4 6 elemete sut C 6 ; C6, C6! C k 6! 4! 6,0 k, rezultă că : C 6 C6 C6 k!( k)!!4! 4! 4 6 Clculâd cu ceeşi formulă obţiem : C şi C 6 6, 6

27 Cum vem de clcult umărul totl de submulţimi vâd u umăr pr de elemete, duăm rezulttele obţiute: ++= 6 Se cosideră 8 pucte, oricre ecoliire Câte drepte trec pri cel puţi pucte di cele 8? Rezolvre : trebuie să flăm câte submulţimi de câte pucte se pot form di cele 8! eistete, deci utilizăm formul combiărilor C k, 0 k, şi obţiem k!( k)! C 8 8 drepte Să se rezolve ecuţi : 4! 0 6! 4, N Rezolvre : codiţii : 6, N 6, N poi folosim fptul că u fctoril mi mre se pote eprim î fucţie de u fctoril mi mic De emplu! 4!!, etc ; pri urmre 4! 6! 4 4! 0 6! 6! !, îlocuid î ecuţie obţiem :, ecuţie de grdul II, cre re soluţiile 9 şi 0, dr 6, N, deci soluţi ecuţiei este 9 8 Să se determie câte umere de cifre disticte se pot form cu elemetele mulţimii {,,,4,} Rezolvre: î umere coteză şi ordie cifrelor, ste îsemă că vom form submulţimi ordote de câte cifre, folosid elemetele mulţimii {,,,4,}; ştim că : se umesc rjmete de elemete lute câte k, 0<k<, submulţimile ordote le lui E, vâd fiecre k elemete, ude E este o mulţime evidă cu elemete Pri urmre, î problem ostră este vorb de rjmete de elemete lute câte Cuoştem! formul petru rjmete: k,0 k, rezultă că se pot form ( k)!!! 4 60 umere!! 9 Să se clculeze probbilitte c legâd u elemet l mulţimii {,,,4,,6}, cest să verifice ieglitte! Rezolvre: trebuie să vdem cre ditre elemetele mulţimii {,,,4,,6} verifică ieglitte! ;! ();! 8 ();! 6 (); 4 4 4! (F);! 0 (F); 6 6 6! 48 0 (F)

28 r cz fvorbile P, r czuri posibile = 6, r czuri fvorbile =, rezultă că r cz posibile P 6 0 Să se clculeze C C009 k k Rezolvre: cuoştem formul combiărilor complemetre: C C şi observăm că C C009 C009 C009 Să se clculeze C 4 98 C9 C9 006, pri urmre C =0 009 C009 k k k Rezolvre: ştim formul de descompuere combiărilor: C C C, plicâd-o î czul ostru : C 4 98 C9 C9 Să se rezolve iecuţi 8 deci C, N, 4 98 C9 C9 =0! Rezolvre: ştim k,0 k, plicâd î czul ostru, vem ( k)!!! 8 8 ; simplificăm cu!!! respectiv cu, putem fce st deorece N, Rezultă iecuţi tşăm ecuţi de grdul II : 8 0 cre re soluţiile 4 şi ; petru fl soluţi iecuţiei, relizăm tbelul de sem: Di tbel, rezultă că 8 0, N,, petru N ; ;4 ;4 Să se rezolve iecuţi C, N, C Rezolvre: codiţii ;;4;; D, N C!!!! 6 C Simplificâd, iecuţi devie : 6 8, 8, ;, pri urmre soluţi problemei este D 8,; 9;0;;;;4; 8

29 Să se clculeze P 4 C Să se compre umerele Temă şi 4 C 6 C6 b C 0 4 C C C C C Să se rezolve ecuţi: C 4 Să se determie umărul tuturor submulţimilor de 4 elemete ce se pot form cu elemete di mulţime {,,,4,,6,} Se cosideră pucte, oricre ecoliire Câte drepte trec pri cel puţi pucte di cele?! 6 Să se rezolve ecuţi : 6! Să se determie câte cuvite di 4 litere disticte se pot form cu u lfbet de 8 litere 8 Să se clculeze probbilitte c legâd u elemet l mulţimii {,,,4,}, cest să verifice ieglitte! Să se clculeze C C 0 Să se clculeze C C989 C989 Să se rezolve iecuţi C, N, Să se rezolve iecuţi C C, N, Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 9

30 FIŞ NR 9 ELEMENTE DE GEOMETRIE- VECTORI propuător prof Rodic Trişcă BREVIR TEORETIC Regul prlelogrmului B u; C v u v B C D Regul triughiului Vectori coliiri Fie u u vector eul şi v u vector orecre Dcă u şi v sut coliiri, tuci eistă u umăr rel, uic, stfel îcât v = u Dcă eistă R stfel îcât v = u, tuci u şi v sut coliiri Probleme rezolvte Se cosideră triughiul echilterl BC, M este mijlocul lturii BC, O este cetrul triughiului Să se determie rel, stfel îcât M O Să se demostreze că î hegoul regult BCDEF, re loc relţi B F D 0

31 B D DC CB F D DE EF DE B DC F EF CB D B F D F B D B F B F D D Se cosideră ptrulterul BCD î cre CD D BD Să se demostreze că BCD este prlelogrm 4Se cosideră rombul BCD Să se clculeze O OB OC OD Î dreptughiul BCD să se clculeze D CB

32 6 Să se demostreze că î hegoul regult BCDEF, CB CD CO Rezolvre: O este itersecţi digolelor, respectiv cetrul cercului circumscris hegoului regult; BCDO este prlelogrm petru că tote cele ptru lturi u lugimi egle ( ltur hegoului este eglă cu rz cercului circumscris); pri urmre, coform regulii prlelogrmului CB CD CO Se cosideră puctele,b,c,d u tote coliire Dcă D CB 0, să se demostreze că ptrulterul BCD este prlelogrm Rezolvre: dcă,b,c,d sut pucte, u tote coliire, tuci di D CB 0 rezultă că D şi CB sut vectori opuşi ( u ceeşi direcţie- dreptele suport sut prlele, u lugimi egle şi sesuri opuse); deci D BC şi D=BC, dică BCD este prlelogrm B 8 Dcă B CB 0, să se clculeze rportul BC Rezolvre: B CB 0 dică B CB, dr BC CB deci B BC B BC BC BC 9 Fie triughiul echilterl BC îscris îtr-u cerc de cetru O ; să se clculeze BC B BO Rezolvre: Temă Găsiţi probleme de celşi tip î vrite, rezolvţi-le şi discutţi-le î clsă cu profesorul şi colegii dvs

33 FIŞ NR 0 ELEMENTE DE GEOMETRIE NLITICĂ IX-X-XI propuător prof Rodic Trişcă BREVIR TEORETIC U reper crtezi XOY determiă î pl o împărţire plului î ptru cdre: I = {M(,y)/ >0, y>0}, II = {M(,y)/ <0, y>0}, III = {M(,y)/ <0, y<0}, IV = {M(,y)/ >0, y<0} M ; y, M ; y ; M y ) î sistemul XOY, distţ ditre cele două pucte este d( M y v ( ;y) v i + y j, 4 y, v ;, v y,, y coordotele vectorului v ; v ; y R y v coliir cu v R î v v su ; y, tuci v y ; v v ; y ; ; y M ; y, M ; y î sistemul XOY, M M ; y y M M y y dm; M lm ; M 6 M M ; y M mijlocul segmetului B,, B y yb ; y, BB; yb M, ym ; G y G; G cetrul de greutte l triughiului BC, B C y yb yc ; y, BB; yb, CC ; yc G, yg ; 8 Ecuţiile dreptei î pl -ecuţi geerlă este d: + by + c = 0,,b,cR, 0 su b 0cre pote fi scrisă şi d : y m ude m este pt dreptei -ecuţi dreptei de ptă m cre trece pri puctul M o ( o ; y o ) este d: y-y o = m(- o ), mr -ecuţi dreptei cre trece pri puctele M ( ; y ) şi M ( ; y ) este y y y y M M :,, y y Pt dreptei M M este m M M y y -distţ de l u puct M o ( o ; y o ) l drept d: + by + c=0, este d(m o ; d) = -coordotele puctului de itersecţie l dreptelor d b y c 0 ; d : b y c : b y c 0 0se determiă c soluţie sistemului b y c 0 -poziţiile reltive le dreptelor î pl d, d d : + b y + c = 0; d : + b y + c = 0 Coicid Prlele d d b c 0 by 0 b c d : y = m + ; d : y = m + d d m m şi d b c b c d d d m m b c d b b d d m m şi Perpediculre d 0

34 -ri triughiului BC, ude y, B ; y, C ; y ; B B C C, este = Probleme rezolvte ude y B C y y B C Fie puctele ; şi B ; B i b j Rezolvre: ştim că dcă M M ; y Să se determie umerele rele şi b stfel îcât, M ; y y, deci B ; B 8; v ; y tuci v i y j 8i M ; y Mi ştim că dcă 8, b sut pucte î sistemul XOY tuci, deci B j, dr B i b j, rezultă Î reperul crtezi Oy se cosideră puctele ;0 şi B ;4 Să se determie coordotele vectorului O OB B Rezolvre: ştim că dcă M ; y, M ; y sut pucte î sistemul XOY tuci M M ; y y, ir O 0;0 ; pri urmre: O ;0, OB ;4, B 6;4 Mi ştim că dcă ; y, v ; y, O OB B 6 ;0 4 v tuci v v y ; deci ; y 4, dică O OB B ;0 Să se determie ecuţi dreptei cre trece pri puctele 4; şi ; B Rezolvre: cuoştem că ecuţi dreptei cre trece pri puctele M ( ; y ) şi M ( ; y ) este y y 4 y M M :,, y y, deci B : y y 4 4 y B : 6 6 B : 6 4 6y, simplificăm ecuţi cu 6 şi B : 4 y, B : y su B : y 0 4 Î reperul crtezi (O, i, j ) se cosideră vectorii u i j şi v 4 i j Să se determie coordotele vectorului 6u v v R, tuci Rezolvre: ştim că dcă ; y, v ; y, v y ; v v ; y ; ; y şi dcă v ( ;y) pri urmre v i + y j ; 6u v = 6( i j ) + ( 4 i j ) 0i j 8i j 8i 4 j Î reperul crtezi (O, i, j ) se cosideră vectorii u i j determie umărul rel petru cre cei doi vectori sut coliiri şi v i 4 j Să se 4

35 y Rezolvre: ştim că v coliir cu v R î v v su cu lte cuvite y cei doi vectori sut coliiri dcă coordotele lor sut proporţiole Deci u şi v sut coliiri dcă 0 6 ( m folosit : produsul 4 etremilor=produsul mezilor ); 6 Să se determie umărul rel petru cre dreptele y 6 0 şi y 0 sut prlele Rezolvre: cuoştem că d b c d deci b c cee ce îsemă că Să se determie distţ ditre puctele (4; ) şi B ( ; ) Rezolvre: cuoştem că dcă M ; y, M ; y distţ ditre cele două pucte este d( M ; M y y, deci d ( ; B) 4 ) d ( ; B) 6 6 d( ; B) 6 8 Să se determie ecuţi dreptei cre trece pri (-;4) şi este prlelă cu drept de ecuţie -y+6=0 Rezolvre: ştim că d d m m şi ude m şi m sut ptele celor două drepte Mi ştim că ecuţi dreptei de ptă m cre trece pri puctul M o ( o ; y o ) este d: y-y o = m(- o ), mr; ecuţi dreptei cerute este d : y y md dică d : y 4 md Drept d este prlelă cu drept d : y 6 0 d : y 6 d : y m d Cum d d m d m d rezultă că m d, pri urmre ecuţi dreptei d cerute este d : y 4 0 d : y 4 d : y su d : y 0 9 Să se determie coordotele puctului C simetricul puctului (;) fţă de puctul B(- ;0) Rezolvre: puctul C este simetricul puctului (;) fţă de puctul B(-;0), cee ce îsemă că B=BC, dică d(;b)=d(b;c) şi,b,c coliire, deci B este mijlocul segmetului C Cuoştem : M M ; y M mijlocul segmetului B, B y yb ; y, BB; yb M, ym ;

36 î czul ostru ; y ), C C ; y ) şi B ; ) B y mijloc, rezultă B C ; y B ( y y C ( C ( B C yc dică ;0 C ; yc, deci C ( ; ) 0 Î sistemul crtezi Oy se cosideră puctele (;), B(-6;-4), C(;-) Se cer: ) ecuţi mediei duse di B; b) perimetrul triughiului BC Rezolvre: ) medi î triughi este drept cre trece pritr-u vârf l triughiului şi pri mijlocul lturii opuse; medi dusă di B este drept BM, ude M este mijlocul lturii C C y yc Coordotele lui M sut M, ym dică M, ym B y yb 6 4 Ecuţi dreptei BM este:, deci BM : y M B ym y B y 4 BM : BM : 6 9y 6 BM : 9 4 8y BM : 6 y 8 (m împărţit ecuţi cu 9) BM : y 0 b) perimetrul triughiului = sum lugimilor lturilor = sum distţelor ditre vârfurile triughiului dică perimetrul = d(;b) + d(b;c) + d(c;) perimetrul triughiului = y y y y y y B B C B C B C C Să se determie puctul D stfel îcât ptrulterul BCD să fie prlelogrm Se cuosc (-;-), B(4;) şi C(9;) Rezolvre: Fie O puctul de itersecţie l digolelor ptrulterului O C BD, dcă ptrulterul este prlelogrm tuci O este cetru de simetrie, deci O este mijlocul segmetelor C respectiv BD C y yc O mijlocul segm C O ; yo dică O ; yo B D yb yd 4 D yd O mijlocul segm BD O ; yo dică ; ; y D ( ; ) D D Să se clculeze distţ de l O(0;0) l puctul de itersecţie l dreptelor 4y 0 şi y 0 6

37 Rezolvre: cuoştem : coordotele puctului de itersecţie l dreptelor d b y c 0 ; d b y c 0se determiă c soluţie sistemului : : b y c 0 b y c 0 Fie d : 4y 0 şi d : y 0 b y c 0 d d, coordotele lui se flă rezolvâd sistemul dică b y c y 0 4y 0 4y 0 y 0 6y 9 0 0y y y 0 y deci ; Distţ de l O l este d( O; ) 089 y y O O Să se determie umărul rel m petru cre puctul ( ; ) se flă pe drept y m 0 Rezolvre: u puct prţie uei drepte dcă coordotele sle verifică ecuţi dreptei: ( ) m 0 m 0 m 4 Să se determie umărul rel m petru cre puctele ( ;), B(;), C( m;) sut coliire Rezolvre: puctele, B, C sut coliire dcă se flă pe ceeşi dreptă, deci C B Folosid problem terioră, rezultă : coordotele lui C trebuie să verifice ecuţi dreptei B y y y y B : B : B : B : y 0 B yb y C B m 0 m 4 Să se determie ecuţi dreptei ce trece pri puctul (;-) şi re pt m= Rezolvre: ecuţi dreptei de ptă m cre trece pri puctul M o ( o ; y o ) este d: y-y o = m( o ) Deci d : y y m d : y d : y 4 0 d : y 0 6 Î reperul crtezi Oy se cosideră puctele ( ;4), B(;), C(; m) Să se determie umărul rel m petru cre triughiul BC este dreptughic î

38 Rezolvre: coform teoremei lui Pitgor, dcă B C BC dică 8 m 4 m 4 9 m 9 64 m ; 89 m 8m 6 m m 8m m 0 BC este dreptughic î tuci 04 6m 04 m 6 Să se determie umerele rele, b petru cre puctele (;b) şi B(;b-) prţi dreptei y 0 Rezolvre: u puct prţie uei drepte dcă coordotele sle verifică ecuţi dreptei, d şi B d b 0 b b 0 b b b b 8 Să se clculeze ri triughiului BC ude ( ;), B(0; 4), C(; ) Rezolvre: ri triughiului BC, ude y, B ; y, C ; y ; B B C C, este =, ri = î czul ostru ude = 4 B C y y y B C 9 Î reperul crtezi Oy se cosideră puctul (4;) şi puctele B,C simetricele puctului fţă de O respectiv Oy Să se clculeze distţ ditre puctele B şi C Rezolvre: B simetricul lui fţă de O, tuci B(4;-); C este simetricul lui fţă de Oy, tuci C(-4;) d( B; C) y y C B C B Fie puctele ;4 şi B ; B i b j Temă Să se determie umerele rele şi b stfel îcât Î reperul crtezi Oy se cosideră puctele ; şi B 0; 4 coordotele vectorului O OB B Să se determie Să se determie ecuţi dreptei cre trece pri puctele ; şi ;4 B 8

39 4 Î reperul crtezi (O, i, j ) se cosideră vectorii u 4i j şi v i j Să se determie coordotele vectorului u 4v Î reperul crtezi (O, i, j ) se cosideră vectorii u i j şi v 6i ( ) j Să se determie umărul rel petru cre cei doi vectori sut coliiri 6 Să se determie umărul rel petru cre dreptele y 0 şi 4 y 0 sut prlele Să se determie distţ ditre puctele ( 6; ) şi B ( ; ) 8 Să se determie ecuţi dreptei cre trece pri (-4;) şi este prlelă cu drept de ecuţie -+y+6=0 9 Să se determie coordotele puctului C simetricul puctului (-;4) fţă de puctul B(;) 0 Î sistemul crtezi Oy se cosideră puctele (-;), B(-;-4), C(0;6) Se cer: ) ecuţi mediei duse di C; b) perimetrul triughiului BC Să se determie puctul D stfel îcât ptrulterul BCD să fie prlelogrm Se cuosc (-;0), B(4;) şi C(6;) Să se clculeze distţ de l B(;0) l puctul de itersecţie l dreptelor y 0 şi 4y 0 Să se determie umărul rel m petru cre puctul ( 4; ) se flă pe drept y m 0 4 Să se determie umărul rel m petru cre puctele ( m; ), B(;), C(; 4) sut coliire Să se determie ecuţi dreptei ce trece pri puctul (-4;) şi re pt m=- 6 Î reperul crtezi Oy se cosideră puctele ( ;4), B(; m), C(;0) Să se determie umărul rel m petru cre triughiul BC este dreptughic î Să se determie umerele rele, b petru cre puctele (;b) şi B(+;-) prţi dreptei y 0 8 Să se clculeze ri triughiului BC ude ( 0;), B( ;4), C(; ) 9 Î reperul crtezi Oy se cosideră puctul (-;) şi puctele B,C simetricele puctului fţă de O respectiv Oy Să se clculeze distţ ditre puctele B şi C 0 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 9

40 FIŞ NR ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE propuător prof Rodic Trişcă BREVIR TEORETIC t -relţi ditre măsur î rdii, t, şi măsur î grde ughiurior, α, este 80 -dcă α este măsur î grde uui ughi tuci si cos, R - idetitte fudmetlă trigoometriei si( 80 ) si, cos( 80 ) cos si 90 cos,cos 90 si si tg, cos cos ctg si 0 =0 rd si 0 cos tg 0 ctg / 80 = 0 = 4 = 60 = 90 = 6 4 rd rd rd rd rd / 0 0 / Relţii metrice î pl: Fie ΔBC cu lturile BC=, C=b, B=c şi îălţime h coborâtă di vârful pe ltur,, B, C măsurile ughiurilor triughiului, R rz cercului circumscris triughiului, r rz cercului îscris triughiului -teorem siusurilor: si b B si c C si R -teorem cosiusului: b c bccos -ri triughiului: b c S p( p )( p b)( p c) ude p ; h bsi C bc S rp 4R -dcă ΔBC este dreptughic cu =90, b,c - ctete, ipoteuză b c b c si B cos C, cos B si C, tgb ctgc, ctgb tgc c b h bc S bc, h, b c (teorem lui Pitgor) -dcă ΔBC este echilterl =b=c, p=, h, S 4 40

41 Eerciţii rezolvte Se cosideră triughiul BC cu B, C, BC Să se clculeze cos B Rezolvre: folosim teorem cosiusului: b c bccos cre mi pote fi scrisă şi b c c cos B ; oi cuoştem B c, C b, BC deci 6 cos B 8 9 0cos B cos B cos B 0 Să se clculeze ri triughiului BC ştiid că B C m,, 0 h bsi C bc Rezolvre: cuoştem că ri triughiului este S rp, î problem 4R csi B bsi C bcsi ostră legem S Ştim că B c, C b, m 0 pri urmre si 0 S 4 Să se clculeze rz cercului circumscris triughiului BC, ştiid că C, m B 60 Rezolvre: cuoştem teorem siusurilor: putem folosi si b si B c si C R, î problem ostră b R R R R R R si B si 60 si 60 4 Fie triughiul dreptughic BC şi D mijlocul ctetei C Să se clculeze lugime ipoteuzei BC, ştiid că D 6, B Rezolvre: cuoştem b c (teorem lui Pitgor), î problem ostră C D C 6 C şi B= Se cosideră triughiul BC cu ri eglă cu, cu C şi BC 6 Să se clculeze sic csi B bsi C bcsi Rezolvre: cuoştem că ri triughiului este S bsi C Î czul ostru, ştim C b şi BC 6, deci S 6si C si C si C 6 6 Să se clculeze perimetrul triughiului BC, ştiid că B C m 4,, 60 4

42 Rezolvre: folosim teorem cosiusului: b c bccos c B 4, b C, m 60 BC B C B C cos cos BC BC BC BC Perimetrul B C BC Perimetrul BC Să se clculeze lugime îălţimii di î triughiului BC, ştiid că B, C, BC Rezolvre: B 44, C, BC 69 Observăm că BC C B, tuci coform reciprocei teoremei lui Pitgor, triughiului BC este dreptughic î Pri urmre bc C B 60, cum h h h h BC 8 Să se clculeze ri triughiului BC ştiid că B BC mb BC 0,, 0 csi B Rezolvre: cuoştem că ri triughiului este S, BC, c B si B si0 si 80 0 si 0, rezultă că S 9 Să se demostreze că î orice triughi dreptughic BC de rie S şi ipoteuză de lugime este devărtă idetitte cos Bcos C S Rezolvre: -dcă ΔBC este dreptughic cu =90, b,c - ctete, ipoteuză b c bc si B cos C, cos B si C şi S Îlocuim î idetitte şi obţiem: c b bc cb bc 0 Să se clculeze si si 4 si 4 si deci Rezolvre: ştim că si 0 0 Să se clculeze cos0 cos0 cos0 cos 80 0 cos 0, deci Rezolvre: cos 0 cos0 cos 0 cos 0 0 Să se clculeze si 4 cos60 si0 Rezolvre: si 4 cos60 si 0 si si 4 si 4 si 0 Să se clculeze si si si 90 cos si si 90 cos, Rezolvre:, deci 4

43 si si si cos ( coform idetităţii fudmetle trigoometriei) 4 Să se clculeze cos cos cos69 cos9 Rezolvre: ştim că cos( 80 ) cos cos 80 cos 0, dică cos cos cos69 cos9 cos cos9 cos cos Să se clculeze si, ştiid că cos şi 0 ;90 Rezolvre: ştim idetităţii fudmetle trigoometriei si cos, R, si si si Cum 0 ;90, rezultă că si (pozitiv) 6 Să se clculeze ri triughiului echilterl BC ştiid că re lugime îălţimii eglă cu Rezolvre: ştim că h şi S 0 00 S 4 4, deci 0 şi 4 Să se clculeze lugime lturii B triughiului BC ştiid că BC, m BC 4, m BC 60 c Rezolvre: putem folosi teorem siusurilor: si si C ude BC C mbc mbc, 4, 60, deci c c si 60 si 4 8 Triughiul BC este dreptughic î B, ir rz cercului circumscris triughiului este R= Să se clculeze lugime lturii C Rezolvre: triughiul BC este dreptughic î B deci C este ipoteuz, rz cercului circumscris este jumătte di ipoteuză, rezultă că C R 0 9 Să se determie si BCD î hegoul regult BCDEF Rezolvre: dcă O este cetrul cercului circumscris hegoului, respectiv puctul de itersecţie l digolelor, tuci OBC este echilterl, m OCB 60, log OCD - 4

44 echilterl şi m OCD 60 BCD rezultă că mbcd 0 şi si si0 si si 60 lg tg44 lg tg4 lg tg46 lg tg4 lg tg4 0 Să se clculeze Rezolvre: tg4 lg tg4 lg 0 rezultă lg tg44 lg tg4 lg tg46 lg tg4 lg tg4 0 Să se clculeze cos0 cos 0 cos cos9 cos 0 cos0 cos cos 0 rezultă că cos0 cos 0 cos cos9 cos 0 cos0 0 Rezolvre: pritre prteze se flă şi Ştiid că si 40 cos40, să se clculeze si40 si40 si40 si si 40 ;cos40 cos cos 40 Rezolvre: si40 si40 si 40 cos 40 0 Temă Se cosideră triughiul BC cu B, C, BC 4 Să se clculeze cosc Să se clculeze ri triughiului BC ştiid că BC C mc,, 60 Să se clculeze rz cercului circumscris triughiului BC, ştiid că B 4, m C 4 4 Fie triughiul dreptughic BC şi D mijlocul ctetei B Să se clculeze lugime ipoteuzei BC, ştiid că D, C 8 Se cosideră triughiul BC cu ri eglă cu 9, cu B şi BC 6 Să se clculeze si B 6 Să se clculeze perimetrul triughiului BC, ştiid că B, BC 8, m B 60 Să se clculeze lugime îălţimii di î triughiului BC, ştiid că B 8, C 6, BC 0 8 Să se clculeze ri triughiului BC ştiid că B BC mb 0,, 9 Să se demostreze că î orice triughi dreptughic BC de rie S şi ipoteuză de lugime este S devărtă idetitte h tgb tgc si si 0 si 0 si 0 Să se clculeze Să se clculeze cos0 cos0 Să se clculeze cos4 si 60 tg0 Să se clculeze si 6 si 44

45 4 Să se clculeze cos cos cos68 cos8 4 Să se clculeze cos, ştiid că si şi 90 ;80 6 Să se clculeze ri triughiului echilterl BC ştiid că re lugime îălţimii eglă cu Să se clculeze lugime lturii B triughiului BC ştiid că BC 6, m BC 60, m BC 4 8 Triughiul BC este dreptughic î C, ir rz cercului circumscris triughiului este R= Să se clculeze lugime lturii B si CDE î hegoul regult BCDEF 9 Să se determie 0 Să se clculeze l tg40 l tg4 l tg4 l tg4 l tg60 Să se clculeze cos cos cos 6 cos4 cos cos Ştiid că si60 cos60, să se clculeze si0 si0 Găsiţi probleme semăătore su cre folosesc celeşi oţiui î vritele de bcluret şi rezolvţi-le ţi îtâmpit greutăţi? Notţi-le şi discutţi-le l or de mtemtică! 4

46 BIBLIOGRFIE ledru Blg, Gheorghe Miclăuş, Mirce Frcş, Ovidiu T Pop- Mtemticăcls X- ( TC + CD) Editur DCI, 00; Mrius Burte, Georget Burte Mtemtică mul cls IX- (TC + CD) Editur CRMINIS, 004; Mirce Gg Mtemtică mul cls X- ( lgebră M) Editur MTHPRESS, 00 C Năstăsescu, M Brdiburu, C Niţă, D Joiţă Eerciţii şi probleme de lgebrăpetru clsele IX-XII Editur Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 98 Vritele petru emeul de Bcluret, propuse de SNEE, 00, 008 Grup de utori Ghid de pregătire petru emeul de bcluret l mtemtică 00 Editur SIGM,

47 4

Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu

Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe

Mai mult

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,

Mai mult

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,

Mai mult

Microsoft Word - MD.05.

Microsoft Word - MD.05. pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului

Mai mult

Microsoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007

Microsoft Word - SUBIECTE  FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007 CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a

Mai mult

Limite de funcţii reale

Limite de funcţii reale ( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u

Mai mult

ETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care

ETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A

Mai mult

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2 Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa

Mai mult

Microsoft Word - subiecte

Microsoft Word - subiecte Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Mai mult

Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc

Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F

Mai mult

Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013

Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013 Societte de Ştiinţe Mtemtice din Români Ministerul Educţiei Nţionle Olimpid Nţionlă de Mtemtică Etp Nţionlă, Brşov, 2 prilie 213 Cls XII- Problem 1. Să se determine funcţiile continue f : R R cu propriette

Mai mult

1

1 APROXIMAREA PROFILULUI TRANSVERSAL AL DRUMURILOR PRIN FUNCŢII MATEMATICE ÎN VEDEREA EVALUARII PARAMETRILOR DE CALITATE AI SUPRAFEŢEI CAROSABILE Prof dr ig Bruj Adri Şef lucr dr ig Dim Mri Asist ig Cătăli

Mai mult

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 : OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este

Mai mult

Pagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia

Pagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin

Mai mult

Microsoft Word - 3 Transformata z.doc

Microsoft Word - 3 Transformata z.doc Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi

Mai mult

Săptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2;

Săptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2; Săptămân ) {; ; ; 4; ; 8} {} {; ; ; 6; 7} [AE b) {; 4} C {; ; 4; ; 7} AD c) {; ; } {; } Cls VII- Mtemtică Răspunsuri {; 4} AF. ) A {0,,,, 4, }, B {, 4,, 6, 7}. b) A Ç B {, 4, }; A È B {0,,,, 4,, 6, 7};

Mai mult

Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e

Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2

Mai mult

Concursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat

Concursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a

Mai mult

Microsoft Word - fmnl06.doc

Microsoft Word - fmnl06.doc Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.

Mai mult

Programa olimpiadei de matematică

Programa olimpiadei de matematică Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î

Mai mult

CURS 8

CURS 8 Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul

Mai mult

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢRE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Obiective de referinţă L sfârşitul clsei VII- elevul v fi cpbil..să

Mai mult

FIZ

FIZ Acel-i i mtemtici petru cre eglitte evidetă c " = " W Thompso (lord Kelvi) + e d= π este Micii MATEMATICIENI Revist elevilor di Hîrlău Fodtă î ul 7 Aul VII, r 7, pril prilie ie REDACŢIA REVISTEI REDACTOR

Mai mult

Microsoft Word - pag_006.doc

Microsoft Word - pag_006.doc ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a

Mai mult

Dependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,

Dependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1, Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție

Mai mult

Seminarul 1

Seminarul 1 Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.

Mai mult

1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob

1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob 1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: 19.6 19.9 20.4 19.8 20.5 21.0

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0

Mai mult

LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati

LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Vectori Şi vlori rorii Metod rotţiilor lui Jcobi Fie A o mtrice ¼trtic¼ Un vector x R n se numeşte vector roriu în rort cu A dc¼ x 6= 0 şi

Mai mult

Model de planificare calendaristică

Model de planificare calendaristică Liceul Greco-Ctolic Timotei Cipriu Avizt. Director, Vicenţiu RUSU. Şef Ctedră, PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ANUL ŞCOLAR 04-05 Disciplin MATEMATICĂ, Filieră TEORETICĂ, progrm nr. 35/3.0.006 Cls XI-, profil

Mai mult

Curs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1

Curs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1 Curs 8 Derivbilitte şi diferenţibilitte pentru funcţii rele 8.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele. Propriet¼ţi generle De niţi 8.1.1 (i) Fie f A R! R şi 2 A 0 \ A Spunem c¼ f re derivt¼ în punctul

Mai mult

Matematici aplicate științelor biologie Lab10 MV

Matematici aplicate științelor biologie  Lab10 MV LP10 - TATITICA INFERENŢIALĂ. Itervale de îcredere. Cosiderații teoretice Majoritatea studiilor statistice u se realizează pe îtreaga populaţie statistică di uul sau mai multe icoveiete: - talia populaţie

Mai mult

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Ce este decibelul si Caracteristica BODE

Ce este decibelul si Caracteristica BODE . Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W

Mai mult

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval BAEM DE COECTAE Clasa a -a Pagia di 9 Subiect - MECANICĂ CLASICĂ Parţial Puctaj Bare subiect ucte Problea. Mişcări ucte a.) Mișcarea puctului aterial este uifor ariată a / cost. Eidet rectiliie u poate

Mai mult

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care

Mai mult

Modul de Calcul Manual Metode dendrom ÎN TEREN Înălţimi METODA Norme Ediţia 2000 Indicativ Structura Arboretelor Diametru Nr. de arbori la care se măs

Modul de Calcul Manual Metode dendrom ÎN TEREN Înălţimi METODA Norme Ediţia 2000 Indicativ Structura Arboretelor Diametru Nr. de arbori la care se măs oul e Clcul nul etoe enrom ÎN TEREN Înălţimi ETODA Norme Eiţi 000 Inictiv Structur Arboretelor Dimetru Nr. e rbori l cre se măsoră - H- Dim. e referinţă pentru măsurre - H-. Tbelelor e cubj 5.. E+P sp.

Mai mult

Microsoft Word - anmatcap1_3.doc

Microsoft Word - anmatcap1_3.doc . IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral

Mai mult

STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe

STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

Microsoft Word - final7.doc

Microsoft Word - final7.doc Metode uerice î igieri electrică Cuvât-îite Lucrre iligvă roâă-frceză Metode uerice î igieri electrică Aplicţii î C++ şi Turo Pscl prezită o viziue proprie utorilor supr teoriei şi plicării etodelor uerice

Mai mult

Cursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi

Cursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi Cursul 6 Integrl în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problem existenţei unei primitive lui f, dică unei funcţii olomorfe F : D C stfel încât F = f. În czul funcţiilor rele,

Mai mult

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29. Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.

Mai mult

SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv

SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

CAPITOLUL 1

CAPITOLUL 1 3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x 1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima

Mai mult

Realizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice

Realizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui

Mai mult

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru

Mai mult

Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere

Calcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins I Introducere 6 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l

Mai mult

E_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO

E_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 8 2019 Aca Igat Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u

Mai mult

M1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de

M1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să

Mai mult

Microsoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc

Microsoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

OLM_2009_barem.pdf

OLM_2009_barem.pdf Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

Preţ bază

Preţ bază OPERATORUL PIEŢEI DE ENERGIE ELECTRICĂ ŞI DE GAZE NATURALE DIN ROMÂNIA INDICATORI SPECIFICI PUBLICAŢI DE OPCOM SA PREŢURI ŞI INDICI DE PREŢ/VOLUM Piaţa petru Ziua Următoare (PZU) Preţuri orare [lei/mwh]

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3

Mai mult

joined_document_27.pdf

joined_document_27.pdf INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul

Mai mult

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA

Mai mult

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice

Mai mult

RecMat dvi

RecMat dvi Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4

Mai mult

Şcoala ………

Şcoala ……… Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul

Mai mult

subiecte clasa7

subiecte clasa7 Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM

Mai mult

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.

Mai mult

Tema 5

Tema 5 Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă

Mai mult

Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,

Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,..., Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o

Mai mult

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mil: Levente.Czumil@ethm.utcluj.ro WePge: http://users.utcluj.ro/~czumil Formul clsică trpezelor rezultă prin

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz

Universitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz Uiversitatea Politehica di ucureşti Facultatea de Electroică, TelecomuicaŃii şi Tehologia IformaŃiei Tehici Avasate de Prelucrarea şi Aaliza Imagiilor urs 7 Morfologie matematică Pla urs 7 Morfologie matematică

Mai mult

Subiecte_funar_2006.doc

Subiecte_funar_2006.doc Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

CLP_UTCN-grila-2012.dvi Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera

Mai mult

Microsoft Word - 06-Rosu-Mihaela-RED-TR_Proiect_did_Bunat_toamnei_II_ROM.doc

Microsoft Word - 06-Rosu-Mihaela-RED-TR_Proiect_did_Bunat_toamnei_II_ROM.doc Proiect de lecție Şcol Gimnzil,,Anghel Mnolche Scrioște Dt: 9 noiembrie 2017 Cls: II- A Disciplin: Comunicre în limb român Unitte temtic: File din crte tomnei Titlul lecției : Buntți de tomn Tipul lecţiei:

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult

CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu

Mai mult

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par

L4. TEOREMELE ALGEBREI BINARE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTARE. OPERAȚII LOGICE PE BIT. SINTEZA FUNCȚIILOR LOGICE DIN TABELE DE ADEVĂR 1. Obiective Prin par L4. TEOREMELE LGEBREI BINRE. FUNCȚII LOGICE ELEMENTRE. OPERȚII LOGICE PE BIT. SINTEZ FUNCȚIILOR LOGICE DIN TBELE DE DEVĂR 1. Obiective Prin parcurgerea acestei ședințe de laborator studenții vor fi capabili:

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î

1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î 1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car

Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult