Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
|
|
- Diana Stancu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge punctual pe [a, b] către f pentru n, scris f n f dacă avem f n (x 0 ) f(x 0 ), pentru orice x [a, b]. UC Spunem că șirul (f n ) converge uniform pe [a, b] către f, scris f n f, dacă: ε > 0, N ε N a.î. n N ε, f n (x) f(x) < ε, x [a, b]. În calcule, va fi de folos următorul rezultat: Teoremă.: Un șir (f n ) de funcții mărginite f n : [a, b] R este uniform convergent către o funcție f dacă și numai dacă lim f n f = 0. De asemenea, avem și: Teoremă.2: Orice șir de funcții f n : [a, b] R uniform convergent pe [a, b] este punctual convergent pe [a, b]. Reciproca acestui rezultat este falsă: fie [a, b] = [0, ] și f n (x) = x n, n. Pentru orice x [a, b], avem: lim f n(x) = { 0, x [0, ), x = Rezultă că f n PC f, unde funcția f este definită de limita de mai sus. Dar: f n f = sup f n (x) f(x) x [0,) = max( sup ( f n (x) f(x), f n () f() )) x [0,) = max( sup (x n, 0)) x [0,) =, de unde obținem lim f n f = 0. Rezultă că (f n ) este punctual convergent, nu uniform convergent pe [0, ). Pentru caracterizarea convergenței, avem la dispoziție mai multe rezultate, printre care și criteriul fundamental, al lui Cauchy. Vom enunța, însă, rezultatele care vor fi utile în special în rezolvarea exercițiilor: Teoremă.3 (Integrare termen cu termen): Fie (f n ) un șir uniform convergent de funcții continue, f n : [a, b] R. Atunci limita f = lim f n este o funcție continuă pe [a, b] și avem: b lim a f n (x)dx = b a f(x)dx. Cu alte cuvinte, în cazul convergenței uniforme, limita comută cu integrala.
2 Pentru derivabilitate, avem: Teoremă.4 (Derivare termen cu termen): Fie (f n ) un șir de funcții din C ([a, b]) și f, g funcții mărginite, PC cu f, g : [a, b] R. Dacă f n f și f n UC g pe [a, b], atunci f este derivabilă pe [a, b] și f = g. Pentru cazul șirurilor monotone de funcții continue, rezultatul următor arată o legătură simplă între convergența punctuală și cea uniformă: Teoremă.5 (U. Dini): Fie (f n ) un șir monoton de funcții continue, f n : [a, b] R, astfel încît f n UC Atunci f n f. Următorul rezultat va fi de folos în special în capitolul privitor la serii de puteri: PC f. Teoremă.6 (Stone Weierstrass): Pentru orice funcție continuă f : [a, b] R, există un șir (f n ) de UC polinoame, cu f n : [a, b] R, astfel încît f n f. 2 Serii de funcții Trecem acum la studiul seriilor de funcții, făcînd legături similare cu trecerea de la șiruri de numere la serii de numere. Începem cu o noțiune fundamentală: Definiţie 2.: Mulțimea valorilor lui x pentru care seria de funcții n f n (x) este convergentă se numește mulțimea de convergență a seriei, iar funcția f : [a, b] R, cu f(x) = lim S n(x), unde S n (x) este șirul sumelor parțiale pentru seria de funcții, se numește suma seriei. Seria f n se numește simplu (punctual) convergentă către funcția f dacă șirul sumelor parțiale (S n (x)) n este punctual convergent către f. Similar, seria se numește uniform convergentă către funcția f dacă șirul sumelor parțiale este uniform convergent către f. Seria se numește absolut convergentă dacă seria f n (x) este simplu convergentă. Regăsim acum, atît noțiunile privitoare la șirurile de funcții, cît și criteriile de convergență pentru serii de numere. Teoremă 2.: Fie f n o serie uniform convergentă de funcții continue, cu f n : [a, b] R și fie s suma acestei serii. Atunci s este o funcție continuă pe [a, b] și: b a s(x)dx = n Avem rezultatul corespunzător și pentru derivate: b a f n (x)dx. Teoremă 2.2: Fie f n o serie punctual convergentă de funcții din C ([a, b]), cu suma s pe [a, b] și astfel încît seria derivatelor f n să fie uniform convergentă. Atunci funcția s este derivabilă pe [a, b] și în plus: s (x) = n f n(x). Teoremă 2.3 (Weierstrass): Fie f n o serie de funcții, cu f n : [a, b] R și fie a n o serie convergentă de numere reale pozitive. Dacă f n (x) a n, pentru orice x [a, b] și n N, cu N fixat, atunci seria de funcții f n este uniform convergentă pe [a, b]. Teoremă 2.4 (Criteriul lui Abel): Dacă seria de funcții f n se poate scrie α n v n, astfel încît seria de funcții v n să fie uniform convergentă, iar (α n ) să fie un șir monoton de funcții egal mărginite (i.e. mărginite de aceeași constantă), atunci seria inițială este uniform convergentă. 2
3 O alternativă: Teoremă 2.5 (Criteriul lui Dirichlet): Dacă seria de funcții f n se poate scrie sub forma α n v n, astfel încît șirul sumelor parțiale al seriei v n să fie un șir de funcții egal mărginite, iar șirul (α n ) să fie un șir monoton de funcții, ce converge uniform către 0, atunci ea este uniform convergentă. 3 Formula lui Taylor Putem asocia oricărei funcții cu anumite proprietăți bune un polinom care o aproximează. Este vorba despre polinomul Taylor, definit astfel. Fie I R un interval deschis și fie f : I R o funcție de clasă C m (I). Pentru orice a I, definim polinomul Taylor de gradul n m asociat funcției f în punctul a: T n,f,a = n k=0 Restul (eroarea aproximării) se definește prin: f (k) (a) (x a) k. k! R n,f,a (x) = f(x) T n,f,a (x). Următorul rezultat ne arată că polinomul de mai sus poate fi transformat într-o formulă mai exactă: Teoremă 3. (Formula lui Taylor cu resturi Lagrange): Fie f : I R o funcție de clasă C n+ (I) și a I. Atunci, pentru orice x I, există ξ (a, x) (sau (x, a), după caz), astfel încît: f(x) = T n,f,a (x) + (x a)n+ f n+ (ξ). (n + )! Privitor la restul rezultat din această formulă, avem următoarele: forma Peano: ω : I R, cu lim x a ω(x) = ω(a) = 0: R n,f,a (x) = (x a)n ω(x). n! forma integrală: lim x a R n,f,a (x) (x a) n = 0. R n,f,a (x) = n! x a f (n+) (t)(x t) n dt. 4 Exerciții șiruri și serii de funcții. Să se studieze convergența simplă și uniformă a șirurilor de funcții: (a) f n : [, ] R, f n (x) = x +nx 2 ; (b) f n : [0, ] R, f n (x) = x n ( x n ); (c) f n : (, ) R, f n (x) = xn x ; (d) f n : [0, ] R, f n (x) = (e) f n : [0, ) R, f n (x) = (f) f n : [0, ) R, f n (x) = 2nx +n 2 x 2 ; x+n x+n+ ; x +nx 2 ; 3
4 (g) f n : R R, f n (x) = arctan(nx); (h) f n : [ 0, π 2 ] R, fn (x) = n sin n x cos x. 2. Să se arate că șirul f n : [0, ) R, f n (x) = x uniform pe orice interval [a, b], cu 0 < a < b. x+n nu converge uniform pe [0, ), dar converge 3. Să se arate că șirul de funcții (f n ), unde: f n : (, ) R, f n (x) = (n 2 + ) sin 2 π n + nx nx este uniform convergent (la 0). 4. Să se arate că șirul de funcții (f n ), cu: f n : R R, f n (x) = arctan xn n converge uniform pe R, dar: ( ) lim f n(x) lim x= f n(). Rezultatele diferă deoarece șirul derivatelor nu converge uniform pe R. 5. Să se arate că șirul de funcții (f n ), cu: f n : [0, ] R, f n (x) = nxe nx2 converge, dar: lim 0 f n (x)dx 0 lim f n(x)dx. Rezultatul se explică prin faptul că șirul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru x n = n [0, ], avem f n(x n ), dar în general, f n (x) Studiați convergența simplă și uniformă a șirului de funcții: [ f n : 0, π ] R, f n (x) = n sin n x cos x. 2 5 Serii de puteri. Serii Taylor 6. Să se dezvolte în seria Maclaurin următoarele funcții, precizînd și domeniul de convergență: (a) f(x) = e x ; (b) f(x) = sin x. Soluție: (a) Calculăm derivatele funcției și obținem că (e x ) (n) = e x, pentru orice n. Atunci, din formula lui Maclaurin, găsim: e x = n! xn. n 0 4
5 Pentru a determina domeniul de convergență, folosim criteriul raportului: x n+ lim (n + )! n! x = lim x n = 0 <, n + deci seria este convergentă pe R. Restul de ordin n se obține: R n (x) = xn+ (n + )! eξ, ξ (0, x) sau ξ (x, 0). (b) Calculăm derivata de ordin n a funcției sinus și observăm: ( (sin x) (n) = sin x + n π ), n N. 2 Deducem că derivatele de ordin par sînt nule, iar cele de ordin impar sînt ( ) n. Rezultă: sin x = n 0 ( ) n (2n + )! x2n+. Pentru determinarea domeniului de convergență, putem folosi din nou criteriul raportului și obținem: lim x 2n+3 (2n + 3)! deci seria este convergentă pe R. (2n + )! = lim x 2n+ x 2 (2n + 2)(2n + 3) = 0 <, 7. Să se dezvolte în serie de puteri ale lui x funcția: Soluție: Derivata de ordin n este: f : R {0} R, f(x) = x. Rezultă: f (n) (x) = ( )n n! x n+ f (n) () = ( ) n n!, n N. x = ( ) n (x ) n, x (0, 2). n 0 8. Să se afle raza de convergență și mulțimea de convergență pentru seriile de puteri: (a) n 0 x n ; (b) n n x n ; n! n Soluție: (a) Fie R raza de convergență. Din definiție, avem: a n R = lim a n+ =. Deducem că seria este absolut convergentă pe (, ) și divergentă în rest. 5
6 Evident, seria este uniform convergentă pe orice interval închis x r <, iar pentru x = ±, obținem o serie divergentă. (b) Din nou, calculăm raza de convergență: a n ( n ) n R = lim a n+ = lim = n + e. ( ) Rezultă că seria este absolut convergentă pe e, e și divergentă în rest. Seria este uniform convergentă pe x r < e, iar pentru x = ± e, se obține o serie divergentă, rezultat care se poate demonstra cu criteriul raportului. 9. Studiați convergența seriilor de funcții: (a) n 0 (b) n ln n x, x > 0; ( + ) n 2 e nx ; n (c) n n!x n. Soluție: Exercițiile se rezolvă cu o schimbare de variabilă, care transformă seriile de funcții în serii de puteri: (a) t = ln x; (b) t = e x ; (c) t = x. 0. Să se calculeze sumele seriilor de funcții: (a) n 0 x 2n ; (b) n 0 ( ) n x2n+ 2n + ; (c) n 0(n + )x n. Soluție: (a) Putem folosi direct formula pentru seria geometrică: x 2n = (x 2 ) n =, x (, ). x2 n 0 n 0 (b) Raza de convergență se poate calcula și obținem R =. Fie S(x) suma seriei date. Seria derivatelor are aceeași rază de convergență cu seria inițială, iar suma ei este egală cu derivata sumei (seriile de puteri se pot deriva mereu termen cu termen): S (x) = ( ) n (x 2 ) n =, x (, ). + x2 n 0 6
7 Rezultă S(x) = arctan x + C și, deoarece S(0) = 0, avem C = 0. (c) Procedăm similar, acum cu integrare termen cu termen. Raza de convergență este egală cu. Avem: x S(x)dx = x n+ = x, x (, ). 0 x n 0 Rezultă S(x) = ( x) 2. 6 Exerciții serii de puteri. Să se studieze convergența punctuală și uniformă a șirurilor de funcții: (a) f n : R R, f n (x) = (b) f n : [0, ] R, f n (x) = nx2 ; +nx 2 xn ; +x 2n (c) f n : R + R, f n (x) = e nx sin nx; 2. Să se afle mulțimea de convergență a seriei de funcții: ( ) n n x. n 3. Să se studieze convergența seriilor: (a) n x 2 + n 2 ; (b) n sin nx 3 n 4 + x 4 ; (c) n x n, x R. 4. Să se determine mulțimea de convergență și suma seriilor: (a) n ( ) n+ xn n ; (b) n 0(n + )(n + 2)(n + 3)x n ; (c) n n 3 x n ; 5. Găsiți mulțimea de convergență pentru seriile de puteri: (a) n n!x n ; 7
8 (b) n x n 2 n + 3 n ; (c) n n n!x n ; (d) n 5 9 (4n 3) 3 7 (4n ) xn ; 6. Să se dezvolte în serie Maclaurin următoarele funcții, precizînd domeniul de convergență: (a) f(x) = cos x; (b) f(x) = ( + x) a, a R; (c) f(x) = +x ; (d) f(x) = + x; (e) f(x) = ln( + x); (f) f(x) = arctan x. 7. Să se dezvolte în serie de puteri ale lui x + 4 funcția: f : R { 2, } R, f(x) = x 2 + 3x
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multAutoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez
Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric
.. SEMNLE NLOGIE 1.. Reprezentări ale emnalelor prin diferite forme ale eriei Fourier Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier trigonometrică utilizează pentru SFG (eria Fourier generalizată) itemul
Mai multMatematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I
Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,
Mai mult02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multMicrosoft Word - l10.doc
Metode Numerice - Lucrarea de laborator 0 Lucrarea de laborator nr. 0 I. Scopul lucrării Aproximarea funcţiilor. Polinoame de interpolare. II. Conţinutul lucrării. Polinom de interpolare. Definiţie. Eroarea
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multCursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multprograma_olimpiada_matematica_IX-XII_
R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA
Mai multMicrosoft Word - Adela_Programa_Matematici speciale_2015_2016 (1).doc
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA Facultatea de Mecanică Departamentul: Ingineria şi Managementul Sistemelor Tehnologice Drobeta Turnu-Severin An universitar: 2015-2016 Se aprobă, DECAN Prof.univ.dr.ing. Nicolae
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multM1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de
Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multLogică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multCuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.
Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test
Mai multCursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T
Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi Takagi, curbele lui Peano, mulţimile Julia, ş.a.) au
Mai multLimbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa
Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să
DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multModelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multSeminarul 1
Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.
Mai multUniversitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov
Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multMicrosoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multCursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multCapitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multSlide 1
Logica fuzzy Precizie si realitate Paternitatea logicii fuzzy Istoric Multimi fuzzy Fuzzy vs. probabilitate Operatii cu multimi fuzzy Implementare Arduino a mf 1 / 27 Precizie si realitate Fuzzy: vag neclar
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai multcurs 9 v3 [Compatibility Mode]
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 03 Aa prioritară nr. Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice
Mai multFIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multMicrosoft Word - 03 Dominica MOISE.doc
CONFERINȚA NAȚIONALĂ DE INSTRUMENTAȚIE VIRTUALĂ, EDIȚIA A V-A, BUCURE TI, 20 MAI 2008 13 Pachet de programe care ilustrează capitole din matematică, fizică şi studiul fractalilor Luminița Dominica MOISE,
Mai multDaniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 2017
Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 17 Cuprins 1 Integrale prime şi sisteme simetrice 1 1.1 Abstract teoretic................................ 1 1.
Mai multUniversitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Teză de Doctorat Rezumat Aproximare prin Operatori Integrali Liniari şi
Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Teză de Doctorat Rezumat Aproximare prin Operatori Integrali Liniari şi Neliniari de Variabile Reale şi Complexe Doctorand:
Mai multComplemente de Fizica I Cursul 1
Complemente de Fizică I Cursul 1 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul I. Transformări de coordonate I.1. Transformări Galilei. I.2. Spațiul E 3 al vectorilor tridimensionali.
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multCurs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai multLimite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multLucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi
Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VI-a Matematică Proiect didactic realizat de Nicoleta Popa, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2019) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVAŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVŢRE. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obiective de referinţă Exemple de activităţi de învăţare La
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multPowerPoint Presentation
ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati
Mai multINDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ
STATISTICA DESCRIPTIVĂ observarea Obiective: organizarea sintetizarea descrierea datelor Analiza descriptivă a datelor Analiza statistică descriptivă reperezintă un tip de analiză ce servește la descrierea,
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai mult