MINISTERUL NVźÅMÂNTULUI Program TEMPUS JEP 3801 SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT METODE NUMERICE N HIDROGEOLOGIE Serie coordonatå de: Jean Pierre C
|
|
- Eliza Gheorghiu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 MINISTERUL NVźÅMÂNTULUI Program TEMPUS JEP 380 SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT METODE NUMERICE N HIDROGEOLOGIE Sere coordonatå de: Jean Perre CARBONNEL Unverstatea Perre et Mare Cure - Pars 6 Radu DROBOT - Unverstatea Tehncå de Construc Bucure t EDITURA DIDACTICÅ ªI PEDAGOGICÅ, R.A. - BUCUREªTI, 996
2 ISBN Toate drepturle asupra aceste ed sunt rezervate Edtur Ddactce Pedagogce, R.A., Bucure t Redactor: Grafcan: Iulana ARHANGHELSCHI Dumtru ªMALENIC
3 Prefa å n ultmele decade, metoda elementelor fnte a cåpåtat o tot ma largå utlzare în rezolvarea problemelor de calcul aferente ngnere apelor. n momentul de fa å, metoda oferå posbltå larg de abordare a curger prn med poroase în regm permanent sau nepermanent, mono sau multfazce, nclusv a problemelor de nterfa å. U urn a de algortmare mplementare în programe de calcul, fe generale, fe specalzate, a contrbut, în egalå måsurå, la transformarea elementelor fnte într-o metodå de uz curent în ngnera apelor. Pentru utlzarea avzatå a metode nterpretarea corectå a rezultatelor sunt înså necesare cunoa terea aprofundatå a bazelor teoretce, a potezelor smplfcatoare nerente con nute a specfculu de modelare matematcå, în func e de obectvele calculelor. Lucrarea de fa å î propune, ca prncpal obectv, clarfcarea acestor probleme, astfel încât utlzatorul metode så aplce competent algortmele programele de calcul så analzeze rezultatele prn prsma aproxma lor potezelor asocate. n prma parte a lucrår se trateazå prncpul metode elementelor fnte, deducerea ecua lor în elemente fnte pentru curgerea prn med poroase, clasele tpurle de elemente fnte, nclusv matrcele vector de nfluen å, caracterstce acestora. n aceea prmå parte se trateazå modelarea regmurlor tranztor în med saturate, prezentându-se specfcul dscretzårlor spa o-temporale problemele de stabltate numercå. n a doua parte a lucrår sunt tratate problemele de nterfa å, atât ca lmtå de demarca e a domenulu de curgere asgurat de suprafa a lberå, cât a lmtelor între lchde nemscble, precum unele probleme specale ca: m carea în regm nesaturat fluxur cuplate de curgere termce. La elaborarea lucrår, autor au benefcat de experen a propre, câ tgatå în peste 20 de an de actvtate în domenu. Prn modul de sstematzare a materalulu prn gradarea prezentår, lucrarea se adreseazå, în egalå måsurå, cttorlor care vn, pentru prma datå, în contact cu metoda, cât acelora care o utlzeazå în mod frecvent, consttundu-se într-un materal documentar utl cursan lor ªcol de Stud Postunverstare "Ingnera Resurselor de Apå", dar pentru ngner ce lucreazå în acest domenu. Autor
4 DIN PARTEA COORDONATORILOR: Necestatea organzår unor cursur de actualzare a cuno tn elor tn fce în domenul resurselor de apå medulu a fost enun atå în cursul anulu 990 de cadrele ddactce ngner român, cu ocaza prmelor vzte efectuate dupå 989 de cåtre coleg francez la Bucure t. Acest proect a putut f transpus în va å datortå sprjnulu fnancar al Programulu TEMPUS - PHARE, n at de Comuntatea Europeanå pentru a ajuta årle Europe de Est så- restructureze învå åmântul superor. Programul organzat dupå prncple cclulu 3 francez (D.E.A. - dplome d'études approfondes) a început så func oneze efectv dn anul unverstar 992/993 a avut partener dn Fran a (Unverstatea "Perre et Mare Cure", care a fost de altfel coordonatorul acestu program), Belga (Unverstatea dn Lege), Itala (Unverstà degl Stud d Genova), evdent, dn Româna (Unverstatea Tehncå de Construc Bucure t Unverstatea Bucure t); de la început untå le de profl dn domenu (Rega autonomå "Apele Române", Insttutul Na onal de Meteorologe Hdrologe, Insttutul de Cercetår pentru Ingnera Medulu) au sus nut în mod actv derularea programulu care a fost denumt: SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT (S.E.E. - Stn ele Ape Medulu). Un numår mportant de profesor cercetåtor de înalt nvel tn fc dn Fran a, Belga, Itala Româna au sus nut preleger în lmba francezå sau românå, pentru crca 50 de tner cercetåtor ngner, în ce 3 an de func onare a programulu. Coordonator programulu au consderat totu cå s-ar putea face ma mult pentru formarea specal tlor dn domenul tn elor ape medulu au decs så råspândeascå în cea ma mare måsurå posblå cuno tn ele predate. Rezultatul aceste nten îl consttue edtarea une ser de 0 bro ur dn domenul Hdrologe, Hdrogeologe sau al pregåtr tn fce fundamentale. n speran a cå acestå sere va f utlå studen lor dn cclul 2 3, precum specal tlor, coordonator aceste ser î exprmå nten a de a contnua actvtatea începutå, în vederea acoperr cu materale scrse, în cât ma mare måsurå, a domenulu tn elor ape medulu. Coordonator: Jean - Perre CARBONNEL Radu DROBOT
5 CUPRINS. Prncpul metode elementelor fnte..... Introducere Procedeul Galerkn Formularea vara onalå Ecua în elemente fnte pentru curgerea în med poroase Ecua de bazå pentru curgerea în regm sta onar Formularea în elemente fnte Defnrea ecua lor în elemente fnte, utlzând procedeul Galerkn Defnrea ecua lor în elemente fnte, utlzând formularea vara onalå Etapele de calcul... Bblografe I Caracterstcle elementelor fnte Clase tpur de elemente fnte Convergen a solu e Clase cond de contnutate Tpur de elemente fnte Func de aproxmare în coordonate globale Elementul trunghular lnar Elemente zoparametrce Func de aproxmare în coordonate naturale Integrarea numercå Elemente zoparametrce bdmensonale Elementul zoparametrc 3D lnar Transformår ale caracterstclor hdraulce Elemente fnte specale... Bblografe II Modelarea regmurlor tranztor Ecua le care guverneazå fenomenul Ecua le în elemente fnte aferente dscretzår domenulu spa u Rezolvarea ntegrår pe domenul tmp Prncpul modelelor hbrde Utlzarea dscretzår pe domenul tmp Stabltatea numercå... Bblografe III
6 4. Modelarea problemelor de nterfa å Determnarea poz e suprafe e lbere Poz a suprafe e lbere în cazul acvferelor de mcå adâncme Poz a suprafe e lbere în cazul trdmensonal general Modelarea poz e suprafe e lbere în cazul regmulu nepermanent Determnarea suprafe e apå dulce - apå såratå Ecua de m care Aproxmarea solu e prn metoda elementulu fnt Regmul de m care permanent Smularea regmulu nepermanent Exemple... Bblografe IV Modelarea m cår ape în regm nesaturat Rela consttutve suc une - umdtate Legea de m care (Darcy) Ecua de m care a ape în regm nesaturat Caz partcular. Problema monodmensonalå (ecua a Rchards) Smularea m cår ape în regm nesaturat prn metoda elementulu fnt Integrarea sstemulu de ecua. Metoda Pcard Partculartå ale smulår problemelor nelneare Accelerarea convergen e Metoda coefcen lor de nfluen å Exemple... Bblografe V Procese cuplate în acvfere Transferul termc în acvfere Fluxur termce în acvfere Ecua a cåldur Cuplajul proceselor de curgere transport termc Cuplajul masc în acvfere Stabltatea hdrodnamcå... Bblografe VI Smularea numercå a proceselor cuplate Metoda elementelor fnte în modelarea proceselor cuplate Metoda fâ lor succesve Coefcen de nfluen å Exemple... Bblografe VII
7 PRINCIPIUL METODEI ELEMENTELOR FINITE.. INTRODUCERE Problemele de câmp, a a cum este problema curger prn med poroase, sunt în general descrse de un sstem de ecua cu dervate par ale: A ( u) Au ( ) = A ( u) = M 2 0, (.) în care u sunt func a sau func le necunoscute pe domenul D de un set de cond de margne ( ) Bu B = B M ( u) ( u) = 2 0 (.2) pe gran ele Γ ale domenulu. Rezolvarea presupune gåsrea func e u care satsface ecua le A(u)=0 în D cond le de margne B(u) = 0 pe gran e. Dacå ntegrarea analtcå a ecua lor (.) nu este posblå datortå complextå domenulu a cond lor mpuse, se recurge la rezolvår aproxmatve. Aproxmarea care stå la baza metode elementelor fnte este de forma: n u u = N a, (.3) 7
8 unde N sunt func de aproxmare, exprmate în func e de varable ndependente (a a cum sunt coordonatele x,y,z), ar a sunt parametr necunoscu, a cåror valoare urmeazå a f determnatå. Func le N (x,y,z) trebue så fe contnue pe D så reflecte vara a func e necunoscute u. Aproxmarea (.3) este înså greu de gåst pentru întregul domenul D ca urmare se recurge la o dvzare a domenulu în subdomen D e - numte elemente fnte - defnrea local a func lor de aproxmare N (fg..). Fg... Domenul de studu condˇ de margne. Pentru ca aceast aproxmare local s fe posbl, este necesar ca ecua le de bazå (.) (.2) så fe reformulate într-o formå ntegralå []: ( ) ( ) GudD+ gud D Γ = 0, (.4) Γ în care G g sunt operator sau func cunoscute. Forma ntegralå permte aproxmarea (.3) element de element, prn smpla rescrere a ntegralelor ca sumå a contrbu e celor m elemente fnte care compun domenul D: m ( e e ) GdD + gd GdD gd D Γ = e + Γ D Γ Γ, (.5) unde D e este domenul fecåru element fnt, ar Γ e este por unea de gran å care î revne. Pentru ob nerea forme ntegrale (.4) sunt posble douå cå. Prma cale se bazeazå pe metoda rezduurlor ponderate este uzual utlzatå în procedeul Galerkn. A doua cale se bazeazå pe formularea vara onalå a probleme analzate. 8
9 .2. PROCEDEUL GALERKIN De oarece ecua le A(u) = 0 B(u) = 0 trebue så fe satsfåcute în orce punct al domenulu D, rezultå egaltå le: [ ] ( ) ( ) ( ) w T A u dd wa u + w2a2 u + LdD 0 ; (.6.a) [ ] T ( ) Γ ( ) ( ) T = [ w w ] 2K w [ w w ] w B u d wb u + w2b2 u + LdΓ 0, (.6.b) unde w arbtrare. Formularea ntegralå: T T = 2K sunt douå setur de func T ( ) ( ) w A u dd+ w B u dγ = 0, (.7) Γ D este satsfåcutå pentru orcare set w w este dec echvalentå cu satsfacerea sstemulu de ecua cu dervate par ale (.) a cond lor de margne asocate (.2). n exprmårle (.6) (.7) este adms mplct faptul cå ntegralele pot f evaluate, ca urmare, sunt alese numa acele setur de func w w care conduc la valor fnte ale ntegralelor. Aproxmarea de forma (.3) a func e necunoscute u prn: n [ ]{} u u = N a = N a = Na, (.8) cu N=[N] matrcea func lor de aproxmare a={a} vectorul parametrlor necunoscu, nu ma satsface sstemele (.) (.2). Forma ntegralå (.7) permte ca aproxmarea (.8) så fe acceptablå dacå în locul func lor oarecare w w se alege un set fnt de func : w = w w = w cu j =, n, (.9) j unde n este numårul de parametr necunoscu a probleme a. Ecua a (.7) se transformå într-un sstem de ecua algebrce dn care rezultå parametr a : T T ( Na) j ( Na) j w j A dd+ w B dγ = 0, j =, n. (.0) Γ D Se poate observa cå A(Na) B(Na) sunt rezduurle sau erorle care rezultå dn substtu a func e u cu aproxmarea Na în ecua le A(u)=0 B(u)=0. Ca 9
10 urmare, ecua a (.0) este o ntegrare ponderatå a acestor rezdur metoda se nume te a rezduurlor ponderate [2]. Dat fnd faptul cå setul fnt de func de pondere w w poate f ales arbtrar, în func e de modul de alegere sunt defnte ma multe procedee: - coloca a în puncte: w j =δ j, unde δ j este astfel ales încât w j =0 pentru x x j y y j dar wdd j = I, cu I matrcea untarå. Alegerea lu w revne la a asgura D j rezduu zero în n puncte dn nterorul domenulu; - coloca a în subdomen: w j =I în D j zero în orce alta parte a lu D. Alegerea lu w j revne la a mpune ca ntegrala erorlor så fe zero în anumte subdomen specfcate; - procedeul Galerkn: w j =N j, func le de aproxmare [N] fnd foloste ca ponder. Procedeul Galerkn conduce deobce la matrc smetrce ca urmare a fost adoptat în formularea ecua lor în elemente fnte [2], [3]..3. FORMULAREA VARIAºIONALÅ Un prncpu vara onal defne te o canttate scalarå E, numtå func onalå, ata atå probleme de câmp analzate: E= F u u dd G u u d D,, L +,, L Γ x Γ, (.) x unde F G sunt operator. Func a u este solu a probleme dacå face sta onarå func onala în raport cu mc schmbår δu ale func e. Ca urmare: δe = 0. (.2) Dacå se poate gås un prcpu vara onal, atunc rezolvarea aproxmatvå a probleme capåtå forma standard utlzatå în cadrul metode elementelor fnte. Utlzând aproxmarea (.3): u u = N a, prn substtu a acestea în func onala (.), aceasta va depnde numa de parametr a. Cond a de sta onartate capåtå forma: E E E δe = δa + δa2 + L + δan = 0. a a a 2 n n 0
11 Cum egaltatea trebue så fe îndeplntå pentru orce δa, rezultå cond a: E {} a E a = M = 0, (.3) E a n dn care se ob n parametr necunoscu a. Formularea vara onalå nu are acela grad de generaltate ca procedeul rezduurlor ponderate în formularea Galerkn. Prncp vara onale exstå numa pentru anumte clase de probleme, dar, acolo unde ele exstå, se pot ob ne drect dn aspectul fzc al probleme. n curgerea poten alå echvalentul vara onal este dat, a a cum se va vedea, de teorema energe dspate mnme în procesul curger..4. ECUAºII ÎN ELEMENTE FINITE PENTRU CURGEREA ÎN MEDII POROASE.4.. ECUAºII DE BAZÅ PENTRU CURGEREA ÎN REGIM STAºIONAR Problema constå în determnarea sarcnlor hdraulce, a graden lor hdraulc a debtelor nfltrate atunc când are loc un proces de curgere prntrun medu permeabl echvalent medulu poros. Sarcna hdraulcå are expresa generalå: p H = z +, (.4) γ unde z este cota geodezcå, p este presunea, ar γ este greutatea specfcå. Ecua le A(u)=0 care guverneazå fenomenul sunt în acest caz ecua a de contnutate: legea generalzatå Darcy: q x q q + + =0 (.5) y z x y z
12 v v v H H = k + k + k x y x x xy xz H H = k + k + k x y y yx y yz H H = k + k + k x y z zx zy z H ; z H ; z H, z (.6) unde q x, q y q z sunt componentele debtulu pe untatea de suprafa å (denumt uneor flux) în sstemul cartezan xyz, ar v x, v y v z sunt componentele vteze de curgere în acela sstem. ºnând seama cå vteza este egalå cu debtul pe untatea de suprafa å, ecua le (.6) se pot rescre matrcal sub forma: q {} q = qy [ k h ]{ q ar ecua a (.5), în forma matrcalå: x z = gradh}, (.7) grad { q } = 0, (.8) unde operatorul gradent are expresa grad T = x y z, ar [k h ] este o matrce smetrcå, de 3x3, con nând conductvtå le hdraulce. Ecua le B(u)=0 care exprmå cond le de margne sunt consttute dn: H H = 0 pe Γ q q = 0 pe Γ, n q H ; (.9) reprezentând cond de poten al mpus H * pe anumte gran e Γ H cond de flux mpus q * normal pe anumte gran e Γ q. n aceastå formulare dferen alå, func a necunoscutå u este sarcna hdraulcå H(x,y,z), matrcea [k h ] fnd o caracterstcå a medulu de curgere. 2
13 .4.2. FORMULAREA ÎN ELEMENTE FINITE A a cum s-a aråtat, aproxmarea care stå la baza metode elementelor fnte este de forma (.3): n H H = N a, (.20) unde N (x,y,z) sunt func le de aproxmare, ar a sunt parametr necunoscu. Gåsrea unor func de aproxmare N contnue pe întreg domenul, capable så conducå la o solu e aproxmatvå acceptablå a probleme este extrem de dfclå. Pentru a depå acest nconvenent, domenul de studu D se împarte în elemente fnte (fg..). Conectarea dntre acestea se realzeazå întrun numår fnt de puncte, stuate pe gran a elementelor, denumte puncte nodale sau nodur. Forma ntegralå (.5) a ecua lor de bazå a cond lor de margne permte ca aproxmarea (.20) så se realzeze ndependent pentru fecare element fnt. Ca urmare, func le de aproxmare N se defnesc au propretå de contnutate numa pe domenul unu element, având de aceastå datå forme smple. Parametr necunoscu a se aleg la rândul lor ca fnd valorle func e necunoscute H în punctele nodale, devennd valorle nodale H. Substturea aproxmår H=ΣN H în forma ntegralå a ecua lor probleme permte defnrea ecua lor în elemente fnte a matrcelor de nfluen å aferente DEFINIREA ECUAºIILOR ÎN ELEMENTE FINITE UTILIZÂND PROCEDEUL GALERKIN Pentru smplfcarea formulårlor, se consderå cazul curger bdmensonale, în sstemul xy, astfel ales încât så concdå cu drec le prncpale de anzotrope ale conductvtå lor hdraulce. n acest caz H=H(x,y) ar k xy =k xz =k yz =0, matrcea [k h ] având forma dagonalå smplå: [ k h ] k x = 0 0 k y. (.2) Setul de ecua A(u)=0 se reduce la : x k H x y k H x + y = 0, (.22) y ar cond le de margne B(u) au forma: 3
14 qn q = 0 pe Γ q, (.23.a) unde: q H k x n k H = + y n y, (.23.b) n x x y cu n x n y cosnu drector a normale la gran a Γ g. Celelalte cond, de tp H=H * pe Γ H se pot mpune ulteror. De altfel, fnd valor nodale cunoscute H * ele se elmnå dn ansamblul valorlor nodale necunoscute H. Forma ntegralå de tp (.7) devne în cazul studat: D w k x x H x y k H + y dxdy + y H w k x n k H y n q + d x x + y y Γ = 0. Γq (.24) Dacå prmul termen se ntegreazå prn pår, folosnd formula generalå Green se admte w = w, rezultå forma ma smplå: w + + = x k H w x y k H x y y dxdy wq d Γ 0 D Γ. (.25) Se poate verfca cu u urn å deducerea ecua e (.25), dacå se ne seama de formulele de ntegrare: w k x w k y H x dxdy = H y dxdy = w x k w y k H x dxdy w k H + x nd x Γ Γ x x x H y dxdy w k H + y nd y Γ Γ y y y Alegerea setulu w = w nu afecteazå generaltatea formulår, având în vedere cå ambele setur de func sunt arbtrare. Utlzând operatorul grad forma matrcealå [k] pentru conductvtå le hdraulce, ecua a (.25) se poate rescre sub forma: 4
15 T [ h ] grad w k grad HdD wq dγ = 0. (.26) Γ D Pentru defnrea ecua lor în elemente fnte forma ntegralå (.26) se exprmå ca o sumå a contrbu lor elementelor fnte care compun domenul: m e T T ( egrad w D [ kh ] grad H dd e w q dγ Γ ) = 0, (.27) unde m este numårul de elemente fnte, D e domenul unu element fnt, ar Γ e por unea de gran å care î revne. Pentru fecare element fnt func a H(x,y) se aproxmeazå în func e de valorle nodale H : n [ ]{ } H( x, y) = N H = N H, (.28) unde [N]=[N N 2... N n ] este matrcea func lor de aproxmare, ar {H} T ={H H 2... H n } este vectorul valorlor nodale, corespunzåtoare celor n nodur ale elementulu. Procedeul Galerkn al rezduurlor ponderate înlocue te setul arbtrar de func de pondere w cu func le de aproxmare [N]. Substtund (.28) în expresa contrbu e elementulu în (.27) înlocund w=[n], rezultå: D e T [ ][ h ] [ ]{ } ( ) e [ ] grad N k grad N H dd N q d Γ Γ. (.29) ºnând seama de nota le: grad N x y N x N y N x N y 2 [ ] = [ N N2 L Nn ] = = [ B] 2 T L L Nn x Nn y, (.30) 5
16 x ([ ]{ }) = [ NH N 2H2 L N nhn] grad N H y N x H = N y H = N 2 x H N n x H L+ n B H N y H N = 2 n y H 2 L n [ ]{ } (.3) contrbu a elementulu se poate rescre în forma matrcealå smplå: [ k]{ H} { r}, (.32) unde: [ k] [ B] T [ k h ][ B] = dd (.33) D e {} = e [ ] T r N q d Γ. (.34) Γ Matrcea [k] se nume te matrcea de nfluen å sau matrcea de nfltra e a elementulu, ar vectorul {r} exprmå contrbu a nodalå a cond lor de flux mpus pe gran a elementulu. Revennd la forma ntegralå aferentå întregulu domenu, exprmatå de ecua a (.27), se ob ne: sau: m [ ] [ ] m e ([ k]{ H} { r} ) = 0 (.35) [ K]{ H} = { R}, (.36) unde K = k, R = r ar {H} reprezntå de aceastå datå vectorul m { } { } valorlor nodale ale sarcnlor hdraulce dn toate nodurle dscretzår. Opera a de sumare a matrcelor vectorlor caracterstc se realzeazå prn adunarea termenlor omolog dn matrcele [k] vector {r}, dupå extnderea acestora la dmensunle date de numårul nodurlor dn dscretzare. 6
17 Rezolvarea sstemulu de ecua algebrce lnare (.36) permte ob nerea valorlor nodale ale sarcnlor hdraulce. Valoarea sarcn hdraulce în orce punct al domenulu, graden hdraulc fluxurle tranztate se ob n revennd la nvelul elementulu tnând seama de rela le de aproxmare: Hxy (, ) = [ Nxy (, )]{ H} grad H( x, y ) = [ B( x, y )]{ H} {} q = [ k h ][ B( x, y) ]{ H} (.37) unde de aceastå datå {H} este vectorul valorlor nodale aferente elementulu, selectate dn vectorul general ob nut dn sstemul (.36). Debtul care traverseazå o laturå (în cazul 2D) sau o fa å (în cazul 3D) a elementulu fnt se determnå prn ntegrarea: Q = Γ e v ds, (.38) unde v n este vteza normalå la fa å în orce punct al acestea, ar Γ e este fa a lateralå (latura) specfcatå. Vteza normalå se determnå în func e de componentele vteze în sstemul cartezan. n cazul 2D: n x [ ] [ n]{} v v = n n n x y v v y =, (.39) unde [n] este matrcea cosnusurlor drectoare ale normale la fa å. Expresa (.39) se poate extnde cu u urn å în cazul 3D. ºnând seama cå {v} {q} de expresle (.37) rezultå: [ ][ h][ ]{ } v = n k B H Revennd în rela a de calcul (.38), rezultå expresa: n. (.40) Q = ( [ n ][ k h ][ B ] ds ){ H } = [ CQ ]{ H}, (.4) Γ e unde [CQ] este o matrce caracterstcå elementulu fe e pentru care se calculeazå debtul. 7
18 .4.4. DEFINIREA ECUAºIILOR ÎN ELEMENTE FINITE UTILIZÂND FORMULAREA VARIAºIONALÅ Func onala asocatå probleme curger sta onare în medu poros are expresa: E grad T = H{} q dd q H D dγ, (.42) 2 Γ în care prmul termen exprmå energa dspatå în untatea de tmp în procesul de curgere ar cel de-al dolea energa corespunzåtoare extrac e sau njec e de flux pe gran å. Func a necunoscutå H(x,y) se ob ne dn cond a de sta onar a func onale δe=0. n acest caz este vorba de mnmzarea energe dspate, corespunzând teoremelor generale ale energe. Pentru defnrea ecua lor în elemente fnte domenul de studu se împarte în subdomen - elemente fnte - ar energa se exprmå ca sumå a contrbu e elementelor dn dscretzare: m m T E = eee = e grad H{} q dd q Hd e D Γ, (.43) 2 Γ e unde m este numårul de elemente fnte, D e domenul unu element ar Γ e por unea de gran å care î revne. Sarcna hdraulcå H(x,y) se aproxmeazå pe domenul elementulu în func e de valorle nodale H : m (, ) = = [ ]{ } Hxy NH N H unde, la fel ca în rela a (.28), [N] este matrcea func lor de aproxmare ar {H} este vectorul valorlor nodale, corespunzåtoare celor n nodur ale elementulu. Gradentul hdraulc pe element se exprmå în func e de acelea valor nodale, la fel ca în rela a (.3): ([ ]{ }) [ ]{ } grad H = grad N H = B H, unde [B] este o matrce ce con ne dervatele de ordnul I ale func lor de aproxmare., 8
19 Debtul pe untatea de suprafa å {q} este dat de reala a (.7), dn care, dacå se înlocue te aproxmarea (.28), rezultå: {} q [ k h]{ gradh} [ k h][ B]{ H} = =. (.44) nlocund aproxmårle pentru H, grad H q în expresa func onale aferente unu element rezultå: T T T T Ee = { H} [ B] [ k ][ B] dd h { H} { H} [ N] q e e D dγ. (.45) 2 Γ n aceastå formå func onala depnde numa de valorle sarcnlor hdraulce nodale. Prma ntegralå se dentfcå cu matrcea de nfluen å sau matrcea de nfltra e a elementulu: [ k] [ B] T [ k h ][ B] = dd, (.46) ar a doua ntegralå ca vector al cond lor de margne: D e {} = e [ ] T r N q d Γ. (.47) Cu aceste nota, func onala aferentå elementulu devne: Γ Ee = H k H H 2 T T { } [ ]{ } { } { r}, (.48) ar func onala corespunzåtoare întregulu domenu rezultå dn sumarea contrbu lor tuturor elementelor: m E = eee = H K H H 2 T T { } [ ]{ } { } { R}. (.49) n expresa (.49) vectorul {H} con ne de aceastå datå valorle nodale ale sarcn hdraulce dn toate nodurle dscretzår, ar: [ K] = m [ k] { R} m = { r} 9
20 rezultå dn smpla sumare a matrcelor de nfluen å respectv a vectorlor cond lor de margne ale elementelor, prn adunarea termenlor omolog dupå extnderea acestora la dmensunle date de numårul nodurlor dn dscretzare. Cond a de sta onar δe=0 aplcatå func onale se exprmå în acest caz sub forma: E H = 0, (.50) { } ceea ce conduce, nând seama de (.49), la sstemul algebrc lnar: [ K]{ H} = { R}. (.5) Rezolvarea sstemulu conduce la ob nerea valorlor nodale ale sarcnlor hdraulce. Sarcna hdraulcå, gradentul hdraulc fluxul tranztat în orce punct al domenulu se ob n revennd la nvelul elementulu utlzând relatle (.37) prezentate anteror..5. ETAPELE DE CALCUL Dupå cum rezultå dn formularea ecua lor în elemente fnte, rezolvarea probleme comportå o succesune de etape. Dscretzarea, în care domenul de studu se împarte în elemente fnte se stablesc punctele nodale în care se vor calcula sarcnle hdraulce. Alegerea func lor de aproxmare, în care se stablesc func le N (x,y,z), contnue pe domenul elementulu, cu ajutorul cårora se exprmå vara a sarcn hdraulce pe domenul elementulu, în func e de valorle acestea în nodurle elementulu. Aceastå etapå se ma nume te alegerea tpulu de element, dat fnd faptul cå exstå anumte confgura ale elementelor fnte în func e de forma gradul func lor de aproxmare. Evaluarea matrcelor de nfluen å a vectorlor caracterstc pe baza func lor de aproxmare alese în func e de conductvtå le hdraulce ale materalulu care compune elementul: T [ ] = e D [ ] [ h ][ ] T {} r = e [ N] q dγ, Γ k B k B dd; (.52) 20
21 în care ntervn matrcea func lor de aproxmare [N], matrcea [B] ce con ne dervatele de ordnul I al acestora matrcea [k h ] a conductvtå lor hdraulce. Calculul matrcelor vectorlor de nfluen å se face deobce prn ntegrare numercå. Asamblarea, în care se determnå matrcea caracterstcå a domenulu [K] vectorul termenulu lber {R} prn sumarea matrcelor de nfluen å a vectorlor cond lor de margne ale elementelor dn dscretzare. La baza procedur de sumare stå faptul cå, într-un nod comun ma multor elemente fnte, valoarea sarcn hdraulce este aceea pentru toate elementele cuplate în acel nod. Rezolvarea sstemulu de ecua algebrce lnare KH=R, rezultat dn opera a de asamblare. Dn rezolvare rezultå valorle sarcn hdraulce în toate nodurle dscretzår. Calculul sarcn hdraulce, a gradentulu a debtelor în orce punct al domenulu pe baza valorlor nodale ale sarcnlor hdraulce. BIBLIOGRAFIE. Zenkewcz, O.C., Taylor, R. L., The Fnte Element Method, Mc. Grow-Hll, Fnlayson, B.A., The Method of Weghted Rezduals and Varatonal Prncples, Academc Press, Z e n k e w c z, O.C., M o r g a n, K., Fnte Element and Approxmaton, Wley,
22 2 CARACTERISTICILE ELEMENTELOR FINITE 2.. CLASE ªI TIPURI DE ELEMENTE FINITE 2... CONVERGENºA SOLUºIEI Metoda elementelor fnte este o metodå numercå aproxmatvå pentru rezolvarea problemelor de câmp. Ca urmare, este de prm nteres în a cunoa te cât de bunå este aproxmarea, ma ales, cum poate f sstematc îmbunåtå tå pentru a se apropa cât ma mult de solu a exactå. Evaluarea eror este o problemå dfclå, datortå faptulu cå solu a exactå a problemelor complexe este ea înså necunoscutå. n ceea ce prve te îmbunåtå rea solu e, calea este înså evdentå, rezultând dn înså modul de aproxmare a solu e. Rela a de aproxmare a sarcn hdraulce pe domenul unu element este de forma ( ) m Hxyz,, = NH, unde N sunt func le de aproxmare, ar H sunt valorle dn nodurle elementulu. Aceastå rela e poate f prvtå ca una de nterpolare a valor dntr-un punct oarecare al elementulu în func e de valorle dn nodur. Este evdent cå, necunoscând vara a realå a sarcn pe element, valoarea nterpolatå este numa o aproxmare a cele reale. Cu cât numårul de puncte nodale ale elementulu este ma mare cu cât domenul elementulu fnt este ma mc aproxmarea valor reale va f ma bunå. Rezultå de ac cå ar trebu ca precza solu e aproxmatve så creascå pe måsurå ce cre te numarul de elemente fnte dn dscretzare, mplct, numårul de nodur (fg.2.). Dacå acest proces de îmbunåtå re a aproxmår se realzeazå se spune cå solu a numercå converge cåtre solu a exactå. Pentru a se asgura convergen a, este înså necesar så fe îndeplnte anumte cond de contnutate complettudne []. 22
23 Fg.2.. Convergen a solu e în elemente fnte CLASE ªI CONDIºII DE CONTINUITATE n cazul rezolvår prn elemente fnte a problemelor de câmp se defnesc urmåtoarele clase de contnutate: C 0 - când varabla de câmp este contnuå pe frontera dntre douå elemente fnte, ar dervatele de ordnul I ale acestea sunt contnue pe domenul elementelor, dar dscontnue pe fronterå; C - când varabla de câmp dervatele de ordnul I ale acestea sunt contnue pe fronterå ar dervatele de ordnul II sunt contnue pe domenul elementelor dar dscontnue pe fronterå; M C n - când varabla de câmp dervatele sale pânå la ordnul n sunt contnue pe frontera dntre elemente. Solu a aproxmatvå prn elemente fnte trebue så defneascå astfel func le de aproxmare natura necunoscutelor nodale încât så poatå f operate ntegrårle pe domenul elementulu. Ca urmare, clasa de contnutate care trebue asguratå depnde de ordnul dervatelor care apar în expresa de sub ntegralå a func onale sau a forme ntegrale a ecua lor fenomenulu. Dacå ordnul maxm al dervatelor este k, atunc convergen a solu e cu elemente fnte este asgurata de o aproxmare ce respectå o contnutate de claså C k-. n cazul problemelor de curgere prn med poroase, sub ntegralå apare gradentul, adcå dervate de ordnul I, în consecn å, aproxmarea trebue så asgure o contnutate de claså C 0. Elementele fnte corespunzåtoare se numesc elemente de claså C 0 au ca necunoscute valorle sarcn hdraulce dn nodur. Exstå alte tpur de probleme de câmp care au sub ntegralå dervate de ordnul II, a a cum este cazul câmpulu de deplasår efortur dn plåcle plane 23
24 curbe în teora elastctå. n acest caz se cere o contnutate de claså C pentru a asgura contnutatea pe gran å a dervatelor de ordnul I elementele fnte corespunzåtoare au ca necunoscute nodale atât valoarea func e, cât valorle dervatelor acestea de ordnul I TIPURI DE ELEMENTE FINITE n majortatea rezolvårlor cu elemente fnte func le de aproxmare sunt de tp polnomal [], [2]. n cazul elementelor fnte de claså C 0, a a cum sunt cele utlzate în problemele de curgere prn med poroase, necunoscutele nodale sunt valorle dn nodur ale func e necunoscute (sarcna hdraulcå în cazul de nteres). Pentru a se asgura convergen a solu e este necesar ca polnoamele de aproxmare så respecte cond a de complettudne. Aceastå cond e se referå la utlzarea polnoamelor complete, a a cum sunt ele defnte de trunghul lu Pascal. Astfel, în cazul probleme 2D, aproxmarea polnomalå de ordnul I (lnarå) are forma: ( ) Hxy, = a + ax 2 + ay 3 + axy 4, (2.) ar aproxmarea de ordnul II (cuadratcå) are forma: ( ) Hxy, = a + ax+ ay+ axy+ ax + ay + axy + axy. (2.2) Smlar se pot forma polnoamele pentru cazul problemelor trdmensonale. Cond a de complettudne este echvalentå cu cond a de a evta exsten a unor drec preferen ale în nterorul elementulu. Pentru determnarea coefcen lor polnoamelor de aproxmare (2.) sau (2.2) se pun cond le ca în nodurle elementulu sarcna hdraulcå H(x,y) så capete valoarea nodalå H. Numårul de nodur trebue dec så fe egal cu numårul coefcen lor polnomal. Ca urmare, în cazul problemelor 2D elementul lnar (aproxmare polnomalå de ordnul I) are 4 nodur, ar ca formå geometrcå este un patrulater oarecare, ar elementul påtratc (aproxmare polnomalå de ordnul II) are 8 nodur, ar ca formå geometrcå este un patrulater cu latur curbe (fg.2.2)
25 Fg.2.2. Elemente fnte bdmensonale - forma standard. Smlar, în cazul problemelor 3D elementul lnar are 8 nodur H x, y, z = a + a x + a y + a z + a xy + a yz + a zx + a xyz forma ( ( ) ) hexaedralå, ar elementul påtratc are 20 de nodur este un hexaedru cu latur curbe (fg.2.3). Fg.2.3. Elemente fnte trdmensonale - forma standard. n dscretzare se pot folos elemente cu formå geometrcå degeneratå. n cazul 2D trunghur care provn dn patrulatere, prn suprapunere a douå nodur, ar în 3D prsme sau tetraedre, care provn dn hexaedre prn suprapunerea a douå much, respectv a ma multor nodur (fg.2.4). Dn aceste consderente rezultå cå între confgura a elementulu functle de aproxmare exstå o nterdependen å bne defntå. Ca urmare, în practca metode se defne te tpul de element - lnar, påtratc, cubc etc. - în acord cu gradul polnomulu de aproxmare, ar numarul de nodur ata ate elementulu este astfel preczat. 25
26 Fg.2.4. Forme geometrce degenerate pentru elementele de claså C : a - bdmensonale; b - trdmensonale FUNCºII DE APROXIMARE ÎN COORDONATE GLOBALE Se admte aproxmarea polnomalå a sarcn hdraulce pe domenul elementulu. Pentru a smplfca dezvoltårle algebrce se alege, pentru început, un element de claså C 0, lnar, 2D. n conformtate cu fgura 2.5, elementul este defnt geometrc de coordonatele (x,y ) ale celor patru nodur în sstemul global xy. Aproxmarea polnomalå are forma (2.): ( ) Hxy, = a+ ax+ ay+ axy Fg.2.5. Defnrea geometrcå pentru elementul patrulater lnar. 26
27 Cond a ca în nodurle..4 valoarea func e H(x,y) så a valorle nodale H..H 4 se scre sub forma: care, exprmatå matrcal, devne: H = a + a x + a y + a x y M H = a + a x + a y + a x y , (2.3) H H H H = x y xy a x y x y a x3 y3 x3y3 a3 x4 y4 x4y4 a4 (2.4) sau: { H} [ MC]{ a} =, (2.5) unde {H} este vectorul valorlor nodale, {a} vectorul coefcen lor polnomal, ar [MC] este o matrce de coordonate ce defnesc geometra elementulu. Prn nversarea rela e (2.5) se ob n coefcen polnomal: { a} = [ MC] { H}. (2.6) Dacå polnomul de aproxmare se scre la rândul lu matrcal: a a 2 Hxy (, ) = [ x y xy] (2.7) a3 a 4 se înlocue te vectorul coefcen lor polnomal dn (2.6), rezultå: (, ) = [ ][ ] { } Hxy x y xy MC H dn care se pune în evden å matrcea func lor de aproxmare:, (2.8) 27
28 [ Nxy (, )] = [ x y xy][ MC]. (2.9) Procedeul de generare a func lor de aproxmare este absolut general. n cazul problemelor 3D aproxmarea polnomalå cuprnde coordonata z, ar dacå aproxmarea este påtratcå sau cubcå vor apare termen corespunzåtor în polnom, în conformtate cu trunghul lu Pascal pentru polnoame complete. De acest procedeu de ob nere a func lor de aproxmare este avantajos conceptual, în rezolvårle practce are o sere de nconvenente. Inversarea matrce de coordonate [MC] este o opera e dfclå în cazul polnoamelor de grad superor, char în cazurle smple, lnare, poate produce sngulartå pentru anumte confgura poz ale elementulu fa å de sstemul de axe. Un alt nconvenent, semnfcatv, apare la calculul matrcelor de nfluen å ale elementelor, când ntegrarea numercå pe un domenu oarecare, a a cum apare el defnt de geometra elementulu, poate f o problemå dfclå [2] ELEMENTUL TRIUNGHIULAR LINIAR Un element fnt cu propretå partculare, care permte formularea drectå a matrcelor de nfluen å, este elementul trunghular lnar. Procedura de ob nere a func lor de aproxmare urmeazå calea generalå prezentatå în paragraful precedent. Elementul este bdmensonal are forma trunghularå defntå de nodurle locale, 2 3 în planul xoy (fg.2.6,a). Vara a sarcn hdraulce pe domenul elementulu se aproxmeazå prntr-un polnom ncomplet de gradul I: a Hxy (, ) = a + ax 2 + ay 3 = [ x y] a2. (2.0) a 3 Coefcen polnomulu de aproxmare se determnå dn cond a ca în nodurle =,2,3 sarcna hdraulcå H(x,y) så capete valorle nodale H, H 2, H 3 : H H H 2 3 = x x x y a y a2 = [ MC]{} a. (2.) y a 3 Prn nversare, se ob ne vectorul coefcen lor polnomal: 28
29 { a} = [ MC] { H}, (2.2) unde: [ MC] = xy 2 3 xy 3 2 xy 3 xy 3 xy 2 xy 2 y y y y y y A x3 x2 x x3 x2 x, (2.3) ar A este ara trunghulu. nlocund expresa (2.3) în rela a (2.0), rezultå dependen a sarcn hdraulce de valorle nodale: (, ) = [ ][ ] H2 = [ Nxy (, )]{ H} Hxy x y MC H H 3. (2.4) Fg.2.6. Elementul trunghular lnar: a - defnrea geometrcå; b - sstemul local pentru latura j. 29
30 Pentru calculul matrce de nfluen å a elementulu trebue evaluatå matrcea [B] dn exprmarea gradentulu în func a de valorle nodale: ([ ]{ }) [ ]{ } grad H = grad N H = B H. (2.5) Componentele vectorulu grad H pot f evaluate dn aproxmarea (2.4): H x H y = = 2A y y y y y y H = = 2A x x x x x x H [ 0 0][ MC] { H} [ ]{ } [ 0 0 ][ MC] { H} [ ]{ } , (2.6) de unde se poate pune în evden å, matrcea [B]: [ B] y2 y3 y3 y y y2 = x x x x x x (2.7) Dupå cum se observå, matrcea con ne constante numerce dec, gradentul este la rândul lu constant pe domenul elementulu. n expresa matrce de nfluen å: [ k] [ B] T [ kh ][ B] matrcea conductvtå lor hdraulce [k h ] are forma: = dd, (2.8) D e [ kh ] kx = 0 0 k y, (2.7) acceptând cå sstemul de coordonate concde cu drec le prncpale de anzotrope, sau forma completå: [ kh ] kx kxy = kyx k, (2.8) y dar smetrcå, în cazul anzotrope locale dfertå de sstemul global. Elementul de ntegrare este dd=dxdy în cazul 2D analzat. Matrcele [B] [k h ] fnd constante, rezultå expresa matrce de nfluen a sub forma: 30
31 [ k] [ B] T [ kh ][ B] = A, (2.9) unde A este, a a cum s-a aråtat, ara trunghulu. Vectorul cond lor de margne {r} provent dn cond le de flux mpus pe gran a elementulu: { } = e [ ] T r N q d Γ Γ (2.20) necestå pentru evaluare o ntegrare numercå, dat fnd cå matrcea func lor de aproxmare depnde de x y. Pentru a smplfca calculul ntegrale se admte cå fluxul q * este constant pe gran a elementulu se recurge la reformularea exprese (2.20) într-un sstem local os, ata at latur j care consttue gran a elementulu Γ e comunå cu gran a domenulu (fg.2.6,b): unde: dec: Hs ( ) [ ] l {} = ( ) T r N s q ds, (2.2) 0 H s s = H j 0 l l (2.22) H k [ Ns ( )] s s = 0 l l. (2.23) Substtund expresa (2.23) în formularea (2.2) efectuând ntegrarea, rezultå: {} r l 2 l = q, (2.24) 2 0 3
32 de unde se observå cå, în cazul q * =ct pe gran a j, cond a de flux mpus se repartzeazå în mod egal celor douå nodur care defnesc gran a ELEMENTE IZOPARAMETRICE FUNCºII DE APROXIMARE ÎN COORDONATE NATURALE Nodurle unu element fnt sunt dentfcate prn douå ssteme de numerotare, unul global, pentru întregul domenu dscretzat unul local, pentru fecare element în parte. Este convenabl de a se asoca sstemulu local de nodur un sstem local de coordonate. Orgnea sstemulu local se alege, de obce, în centrul de greutate al elementulu. La rândul lor, coordonatele locale pot f normale (de exemplu cartezene) sau naturale. Coordonatele naturale sunt coordonate normalzate, ob nute prn raportarea coordonatelor globale la mårm caracterstce ale elementulu - lungm sau ar. n cazul în care se utlzeazå coordonatele naturale, ar orgnea sstemulu concde cu centrul de greutate al elementulu, atunc domenul de vara e al coordonatelor naturale asocate elementulu este (-,). n cele ce urmeazå se prezntå coordonatele naturale pentru patrulaterul oarecare în cazul bdmensonal (fg.2.7,a), respectv, pentru hexaedru în cazul trdmensonal (fg.2.7,b). Fg.2.7. Coordonate naturale pentru: a - patrulaterul oarecare; b - hexaedru. 32
33 Pentru patrulaterul oarecare, rela le dntre coordonatele naturale (s,t) coordonatele globale (x,y) sunt date de expresle: x= [( s)( tx ) + ( + s)( tx ) + ( + s)( + tx ) + ( s)( + tx ) ] (2.25.a) y= [( s)( t) y + ( + s)( t) y + ( + s)( + t) y + ( s)( + t) y ] (2.25.b) ntr-o screre ma concså, rela le de transformare au forma: 4 x = L x ; = 4 y= L y, = (2.26) în care: L = ( + ss)( + ) 4 tt, (2.27) (x,y ) fnd coordonatele nodulu în sstemul xy, ar (s,t ) fnd coordonatele nodulu în sstemul st. Pentru elementele fnte trdmensonale hexaedrale, rela le de legåturå dntre cele douå ssteme de coordonate (fg.2.7,b) au o formå asemånåtoare: 8 x = Lx = 8 y = L y = 8 z = Lz =, (2.28) în care: L = ( + ss)( + tt)( + ) 8 rr. (2.29) Nota le sunt acelea, (x,y,z ) fnd coordonatele nodulu în sstemul xyz, ar (s,t,r ) fnd coordonatele nodulu în sstemul str. 33
34 n cazul coordonatelor naturale, func le de aproxmare N (s,t,r) pot f deduse pe o cale mult ma smplå. Se ne seama de faptul cå acestea au propretatea N = pentru nodul N =0 pentru celelalte nodur. Fårå a ntra în detal, în cele ce urmeazå, se dau expresle func lor de aproxmare pentru elementul plan patrulater elementul spa al hexaedral [3]: Cazul bdmensonal (fg.2.8): Fg.2.8. Elemente bdmensonale în coordonate naturale: a - lnar; b - påtratc; c - cubc. Element lnar (4 nodur): N( s, t) = ( + ss)( + tt ) 4, (2.30) cu s, t =±. Element påtratc (8 nodur): N( s, t) = ( + ss)( + tt)( ss 4 + tt ), (2.3.a) pentru nodurle..4 cu s, t =±; pentru nodurle 5 7 la s=0, t =± : N s, t = s + tt 2 2 ( ) ( )( ), (2.3.b) 34
35 pentru nodurle 6 8 la s =±, t=0 Element cubc (2 nodur): (, ) = ( + )( ) N s t ss t 2 2, (2.3.c) [ ] N = + ss + tt s + t , (2.32.a) 2 2 ( )( ) ( ) pentru nodurle...4 cu s, t =± ; 9 N = ( + ss)( t )( + ) tt, (2.32.b) pentru nodurle 7, 8, 2, cu s =± t =± 3 : 9 N = ( + tt)( s )( + ) ss, (2.32.c) pentru nodurle 5, 6, 9 0, cu t =± s =± 3. Cazul trdmensonal (fg.2.9): Fg.2.9. Elemente trdmensonale în coordonate naturale: a - lnar; b - påtratc; c - cubc. 35
36 Element lnar (8 nodur): cu s, t, r =±. Element påtratc (20 nodur): N = ( + ss)( + tt)( + ) 8 rr, (2.33) - Nodur de col s =±, t =±, r =± : N = ( + ss)( + tt)( + rr)( ss + tt + rr ) 8 2. (2.34.a) - Nodur de mjloc tpce s =0, t =±, r =±: 2 ( )( )( ) N = s + tt + 4 rr. (2.34.b) Pentru restul nodurlor de mjloc dn planurle t =0 respectv r =0, func le de aproxmare se ob n dn permutår. Element cubc (32 nodur): - Nodur de col s =±, t =±, r =±: [ ] N = + ss + tt + rr s + t + r , (2.35.a) ( )( )( ) ( ) - Nodur ntermedare tpce s =± 3, t =±, r =±: 2 ( )( )( )( ) 9 N = s + ss + tt + rr (2.35.b) Pentru restul nodurlor ntermedare, dn planurle t =± 3 respectv r =±, func le de aproxmare se ob n prn permutår. 3 36
37 Avantajul exprmår func lor de aproxmare în coordonatele naturale rezultå evdent: pentru orcare element fnt, ndferent de geometra partcularå a acestua, func le de aproxmare sunt unce, bne defnte u or de verfcat ntutv INTEGRAREA NUMERICÅ Matrcele de nfluen å [k] vector ce provn dn cond le de margne {r} se ob n prn ntegrarea unor expres ce con n func le de aproxmare sau dervatele acestora: T [ k] = e [ B] [ k ][ B D h ] T {} r = [ N] q dγ, Γ unde [B] este o matrce formatå dn dervate ale func lor de aproxmare [N]. Evaluarea analtcå a acestor ntegrale este foarte dfclå uneor char mposblå. Dn acest motv se apeleazå frecvent la ntegrarea numercå. Folosrea coordonatelor naturale pentru defnrea func lor de aproxmare aduce, în acest caz, un cert avantaj, datortå domenulu partcular pe care se efectueazå ntegrarea. Integralele de evaluat, ndferemt cå este vorba de [k] sau {r} sunt de forma: (, ) pentru cazul bdmensonal respectv: Fstdsdt, (,, ) dd F s t r dsdtdr, pentru cazul trdmensonal. F este produsul matrcal corespunzåtor mårm elementale care se calculeazå. Evaluarea numercå a acestor ntegrale se face folosnd urmåtoarele rela generale [2]: n n (, ) wwfs j ( tj) Fstdsdt= = j= n n n (,, ) j k (, j, k) F s t r dsdtdr = w w w F s t r = j= k=, (2.36), (2.37) 37
38 în care w, w j w k sunt coefcen de pondere ar s, t j, r k sunt puncte de evaluare a ntegrantulu. n cazul metode Gauss-Legendre, folostå practc în exclusvtate pentru ntegrårle numerce în elemente fnte, poz a punctelor de evaluare (denumte puncte de ntegrare) ponderle asocate se determnå astfel încât eroarea så fe mnmå pentru un numår de puncte de evaluare dat. Punctele de ntegrare se dspun smetrc în raport cu centrul ntervalulu (-, ), ar perechle de puncte smetrce au aceea pondere. n tabelul 2. se dau poz le punctelor de ntegrare coefcen de pondere corespunzåtor ntegrår Gauss [2]. Numår de puncte de ntegrare Poz a punctelor Ponderea n= n= n= n= Tabelul 2. Integrarea numercå a matrcelor vectorlor caracterstc ntroduce în calcul eror suplmentare fa å de aproxma le nerente ale metode. Numårul mnm de puncte de ntegrare, care evtå apar a unor eror mportante, depnde în mare måsurå de geometra elementulu fnt în sstemul cartezan global. Pentru elementele fnte de claså C 0, care ntervn în problema curger prn med poroase pentru elemente cu dstorsune geometrcå moderatå fa å de formele standard - påtrat sau cub - ordnul mnm este 2x2 pentru cazul bdmensonal 2x2x2 pentru cazul trdmensonal ELEMENTE IZOPARAMETRICE BIDIMENSIONALE Elementele zoparametrce utlzeazå coordonatele naturale pentru defnrea func lor de aproxmare ntegrarea numercå, în forma Gauss, pentru calculul matrcelor vectorlor de nfluen å. 38
39 Rela le de trecere dn sstemul global de coordonate, de forma (2.26) sau (2.28), folosesc func le de transformare L (s,t,r) care sunt dentce cu func le de aproxmare N (s,t,r) dn rela le (2.30) sau (2.33). Utlzarea acelora func pentru transformarea de coordonate pentru aproxmarea varable pe elemente - acea parametr - a dat denumrea de zoparametre respectv de elemente fnte zoparametrce [] Elementul zoparametrc 2D lnar. Este un element patrulater cu 4 nodur (fg.2.0). Necunoscutele nodale sunt sarcnle hdraulce H dn cele patru nodur. Fg.2.0. Elementul zoparametrc 2D lnar. n sstemul natural de coordonate, func le de aproxmare au forma datå de rela le (2.30): N = ( s)( ) 4 t ; N N N = 4 + = = 4 + ( s)( t) ( s)( t) ( s)( t) ; ;, (2.38) ar sarcna hdraulcå se exprmå prn ntermedul acestora în func e de valorle nodale: ( ) Hst, = NH + NH NH NH 4 4. (2.39) 39
40 Trecerea dn sstemul global xy în sstemul natural st este datå de rela smlare: x = N x + N x + N x + N x y= N y + N y + N y + N y ; (2.40) sau în formå matrcealå: x xst (, ) N N N N y = yst (, ) N N N N. (2.4) M y 4 Se poate verfca cu u urn å cå nodul dn sstemul natural de coordonate (s,t ) concde cu acela nod dn sstemul global de coordonate (x,y ). Spre exemplu, pentru nodul (s=-, t=-) func le de aproxmare au valorle N =, N 2 =N 3 =N 4 =0 dec x(s,t )=x. Pentru calculul matrce de nfluen å este necesar ca matercea [B] så se exprme în sstemul natural de coordonate. ªtnd expresa lu [B] dn rela a (.30): [ B] N = x N y N x N y N x N y N x N y este necesar så se evalueze dervatele func lor de aproxmare în raport cu coordonatele globale x,y. Rela le dntre dervatele în raport cu cele douå ssteme sunt date de regula cunoscutå: N s N t N x N = + x s y N x N = + x t y Aceea rela e, rescrså matrcal, are forma: y ; s y. t (2.42) 40
41 [ ] N s N t x s y s x t y t N x N y J N x N y = =, (2.43) unde [J] este matrcea Jacobanulu transformår. ºnând seama de rela le (2.4) (2.38), Jacobanul poate f scrs sub forma: ( ) [ ] Jst N s N s N s N s N t N t N t N t x y x y x y x y, = , (2.44) care se explcteazå: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jst t t t t s s s s x y x y x y x y, = (2.45) Prn nversarea rela e (2.43) se pot exprma dervatele func lor de aproxmare în raport cu x y, în func e de dervatele în raport cu s t: [ ] N x N y J N s N t =. (2.46) Dacå se noteazå cu [ ] [ ] J J = se evden azå termen matrce: [ ] J J J J J = , (2.47) atunc termen dn matrcea [B] pot f evalua : 4
42 N x N y = J N + J s = J N + J s N t N t ;. (2.48) Fåcând pe rând =,4 nând seama de dervårle utlzate la trecerea dn rela le (2.44) la (2.45), se poate exprma matrcea [B(s,t)]. Calculul matrce de nfluen å: T [ ] [ ] [ h ][ ] k = B k B dd se face utlzând forma standard a ntegrår numerce: 4 4 [ ] = j j ( j) D T [ ] [ h] [ ( j) ] [ ( j) ] k w w B s, t k B s, t det J s, t, (2.49) nând seama de rela a între elementele de ntegrare dd=dxdy=dsdt det[j], unde det[j] este determnantul Jacobanulu Elementul zoparametrc 2D påtratc. Este un element patrulater cu latur curbe, defnte de 8 nodur, patru fnd nodur de col, ar celelalte patru dspuse la jumåtatea laturlor (fg.2.). Necunoscutele nodale sunt sarcnle hdraulce în cele 8 nodur. Nodurle ntermedare de pe latur permt defnrea polnoamelor påtratce pentru aproxmarea sarcn hdraulce în acela tmp curbarea laturlor patrulaterulu. Fg.2.. Elementul zoparametrc 2D påtratc. 42
43 n sstemul de coordonate st func le de aproxmare au forma datå de rela le (2.3). Sarcna hdraulcå coordonatele cartezene dn sstemul global se exprmå prn ntermedul func lor de aproxmare: (, ) = [ Hst N N L N 2 8 H H 2 ] ; (2.50) M H 8 x y xst (, ) N N N x = yst (, ) L N N N L 0 8 y2 M y8. (2.5) Pentru calculul matrce de nfluen å [k] este necesar så se exprme matrcea: [ B] N = x N y N x N y 2 2 L L N8 x N, (2.52) 8 y în sstemul natural de coordonate st. La fel ca în cazul elementulu zoparametrc lnar 2D, se ne seama de rela le (2.42) dntre dervatele par ale exprmate în raport cu cele douå ssteme de axe. Jacobanul dn rela a (2.43) are în acest caz forma extnså: N, = s N t [ Jst ( )] N s N t L N 2 8 L s N 2 8 t x x M x y y M y (2.53) Inversarea rela e (2.43) conduce în acest caz la: 43
44 N x N = y [ J] N s N t, în care dervarea func lor de aproxmare în raport cu sstemul (s,t) este medatå, nând seama de expresle (2.3). Rela le (2.47) (2.48), cu ajutorul cårora se calculeazå termen matrce [B] sunt valable în acest caz. Rela a de calcul a ntegrale ce permte evaluarea matrce de nfluen å [k] are aceea structurå cu rela a (2.49), doar cå dmensunle matrcelor [B(s,t j )] sunt de aceastå datå 2x8 fa å de 2x4 cât erau în cazul elementulu lnar, ar matrcea de nfluen å va f de 8x8, fa å de 4x ELEMENTUL IZOPARAMETRIC 3D LINIAR Este un element hexaedral cu 8 nodur (fg. 2.2). Necunoscutele nodale sunt sarcnle hdraulce în cele 8 nodur. Fg.2.2. Elementul zoparametrc 3D lnar. n sstemul natural de coordonate str func le de aproxmare au expresle date de rela le (2.33): N = ( s)( t)( ) 8 + r ; N2 = s t M ( )( )( r) N8 = s t ( )( )( r) ;, (2.54) 44
45 ar sarcna hdraulcå se exprmå prn ntermedul acestora în func e de valorle nodale: ( ) Hstr NH NH NH,, = L. (2.55) Trecerea dn stemul cartezan global xyz în sstemul natural str se face utlzând acelea func de aproxmare: ( ) ( ) ( ) xstr ystr zstr N N N N N N N N N x y z x y z,,,,,,. = L L L M (2.56) Pentru calculul matrce de nfluen å [k] este necesar så se exprme matrcea: [ ] B N x N x N x N y N y N y N z N z N z = L L L 8 8 8, (2.57) în sstemul natural str. Rela le dntre dervatele par ale exprmate în cele douå ssteme de coordonate au forma cunoscutå: [ ] N s N t N r x s y s z s x t y t z t x r y r z r N x N y N z J N x N y N z = =. (2.58) Matrcea Jacobanulu transformår [J] se determnå nând seama de rela le (2.56): 45
46 N s N,, = t N r [ Jstr ( )] N s N t N r L N 2 8 L s N 2 8 L t N 2 8 r x y z x y z M M M x8 y8 z8, (2.59) care se explcteazå cu u urn å efectuând dervatele de ordnul I ale expreslor (2.54). Prn nversarea rela e (2.58) se ob ne matrcea [B(s,t,r)], în func e de coordonatele naturale: [ B] = [ J] N s N t N r N s N t N r L 2 8 L 2 8 L 2 8 N s N. (2.60) t N r Evaluarea matrce de nfluen å se face prn ntegrare numercå Gauss, utlzând rela a standard (2.37): n n n [ ] = j k j k ( j k) T [ ] [ h] [ ( j k) ] [ ( j k) ] k w w w B s, t, r k B s, t, r det J s, t, r, unde, det[j] este determnantul matrce de transformare [J] TRANSFORMÅRI ALE CARACTERISTICILOR HIDRAULICE n cazul medlor ortotrope, conductvtå le hdraulce dn matrcea: kx 0 0 = 0 ky 0 (2.6) 0 0 kz [ kh ] sunt cunoscute în sstemul local de coordonate x'y'z', ata at drec lor prncpale de anzotrope. Pentru a evalua matrcea de nfluen å a elementulu, matrcea [k h ] trebue defntå în raport cu sstemul global de coordonate xyz. 46
Microsoft Word - F.Paladi_TD_manual.doc
Prn urmare, entropa calculată în baza a va f egală cu log a (2) înmulţt cu entropa calculată cu logartm în baza 2. 3. Contnutate Entropa este o funcţe contnuă. Une modfcar nfntezmale a probabltăţlor corespunde
Mai multMicrosoft PowerPoint - 3.ppt [Compatibility Mode]
Unverstatea Tehncă Gheorghe sach dn Iaş Facultatea de Ingnere hmcă ş Protecţa Medulu Ingnera proceselor chmce ş bologce/3 n unverstar 205-206 Departamentul Ingnera ş Managementul Medulu În unele cazur,
Mai multMicrosoft Word - N_ND.02_Capitol.doc
Captolul Cuvnte-chee Sstem de puncte materale, Legătur blaterale, Legătur unlaterale, Legătur geometrce, Legătur cnematce, Legătur olonome (ntegrable), Legătur neolonome (nentegrable), Legătur stațonare
Mai multMETODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE
METODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE Foldere / Metode Ssteme de ordnul întâ Metodele de ma jos rezolvă problema cu valor nțale: x f( t, x) x( t x ) Adams45 Metoda Adams-Moulton Predctor-Corector
Mai multNU ESTE TERMINATĂ
POBLEME SEMINA TEHNICI DE OPTIMIZAE ÎN ENEGETICĂ POBLEMA Să se determne încărcarea optmă a două grupur ale une centrale termoelectrce cu puterle nomnale de ş MW. Cele două grupur utlzează cărunele comustl
Mai multMicrosoft Word - acasa_Reteua de difractie.doc
UIVERSITATEA "POLITEHICA" DI BUCUREŞTI DEPARTAMETUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE OPTICĂ B - 0 B DIFRACŢIA LUMIII DETERMIAREA LUGIMII DE UDĂ A RADIAŢIEI LUMIOASE UTILIZÂD REŢEAUA DE DIFRACŢIE 004-005 DIFRACŢIA
Mai multInteligență artificială Laboratorul 5 Normalizarea datelor. Mașini cu vectori suport (SVM) 1. Normalizarea datelor Metode obișnuite de preprocesare a
Normalzarea datelor. Mașn cu vector suport (SVM) 1. Normalzarea datelor Metode obșnute de preprocesare a datelor. În partea stângă sunt reprezentate datele D orgnale. În mjloc acestea sunt centrate în
Mai multPrelucrarea Datelor cu Caracter Personal de către OSIM Toate datele cu caracter personal colectate de Oficiul de Stat pentru Invenții și Mărci (OSIM)
Prelucrarea Datelor cu Caracter Personal de către OSIM Toate datele cu caracter personal colectate de Ofcul de Stat pentru Invenț ș Mărc (OSIM) sunt prelucrate în conformtate cu dspozțle Regulamentulu
Mai multALGORITHMICS
Curs 11: Metode de tp ansamblu meta-modele) ata mnng - Curs 11 1 Structura Motvaţe Ideea modelelor de tp ansamblu Colecţ de modele bucket of models) Colecţ de arbor aleator random forests) Strateg de agregare
Mai multMicrosoft PowerPoint - 5_.ppt
Unverstatea Tehncă Gheorghe Asach dn Iaş Facultatea de Ingnere Chmcă ş Protecţa edulu Ingnera proceselor chmce ş bologce/5 An unverstar 202-203 Ttular dscplnă: Prof.dr.ng. ara Gavrlescu Aplcaţ: Dr. Petronela
Mai multCELULA DE ELECTROLIZĂ: este formată prin asocierea a doi electrozi, iar trecerea curentului electric se datorează aplicării unei tensiuni electrice ex
II.. CELULA ELECTOCHIMICĂ: reprezntă sstemul format prn cuplarea a electroz, contactul între e realzâdu-se prn ntermedul conductorlor de ordnul II (soluţlor). În funcţe de cauza care determnă trecerea
Mai multMicrosoft PowerPoint - p1_PowerVLSI.ppt
Proectarea structurlor pentru aplcat de putere. Modelarea conertoarelor c.c. c.c.. tructura s functle crcutelor ntegrate pentru controlul conertoarelor c.c. c.c. 3. tructur s funct pentru managementul
Mai multPowerPoint-Präsentation
Unverstatea Translvana n Braşov Laboratorl e Veere Artcală Robstă ş Control Metoe Nmerce Crs 7 ntegrarea nmercă Ggel Măceșan Cprns ntrocere Metoa trapezl ș eroarea e trncere Metoa l Rcarson Metoa l Smpson
Mai multMicrosoft Word - Anexa 5A Precizarea ipotezelor care au stat la baza proiectiilor finaciare
Anexa 5A PRECIZAREA IPOTEZELOR CARE AU STAT LA BAZA INTOCMIRII PROIECTIILOR FINANCIARE PRECIZARILE DE MAI JOS SUNT AFERENTE ANEXELOR FINANCIARE 1-8 AtenŃe: 1. Prognozele vor f întocmte pornnd de la stuańle
Mai multMicrosoft Word CursAppAnNum08
I20 Conrolul asulu În unele cazur ese necesară enru obţnerea une eror dae folosrea unu as varabl în rezolvarea numercă Meodele numerce care folosesc un as varabl se numesc meode adave Penru conrolul asulu
Mai multEvaluarea şi sumarizarea automată a conversaţiilor chat
Evaluarea ş sumarzarea automată a conversaţlor chat Mha Dascălu, Ștefan Trăușan-Matu, Phlppe Dessus To cte ths verson: Mha Dascălu, Ștefan Trăușan-Matu, Phlppe Dessus. Evaluarea ş sumarzarea automată a
Mai multTransformata Laplace
NTRODCERE Crcue de curen connuu Teoremele lu Krchhoff K u K Relațle înre enun ș curenț u e u R Probleme: -analza crcuelor - e dau relale nre enun curen conexunle e cer u 2 -neza crcuelor - e dau anum u
Mai multMicrosoft Word _ISABEL_GA
Optmzarea unu sstem BCI folosnd tehnca GA Dan Marus Dobrea, Monca-Clauda Dobrea Abstract Această lucrare, ce contnuă o cercetare anteroară, are ca prm obectv îmbunătăţrea unu sstem de tp nterfaţă creer-calculator
Mai multMicrosoft Word - L07_TEFO_FILTRUL_KALMAN.doc
Laborator TEFO Lucrarea nr. 7 FILTRUL KALMAN este un nstrument matematc puternc care joacă un rol mportant în grafca pe computer când vrem să reprezentăm lumea reală în sstemele de calcul. De asemenea,
Mai multSlide 1
BAELE ELECTOTEHNC BE An - ETT CUS 9 Conf. dr.ng.ec. Clauda PĂCUA e-mal: Clauda.Pacurar@et.utcluj.ro CCUTE ELECTCE LNAE ÎN EGM PEMANENT SNUSODAL TEOEME Ș METODE DE ANALĂ A CCUTELO ELECTCE LNAE 3/36 Conf.dr.ng.ec.
Mai multSlide 1
ELECROEHNCĂ E An - SA CURS 7 Conf.dr.ng.ec. Clauda PĂCURAR e-mal: Clauda.Pacurar@ethm.utcluj.ro 1. Mărm perodce ș mărm snusodale. Reprezentăr smbolce ale mărmlor snusodale 3. Operaț cu mărm snusodale
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multUNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI
UNVERSTATEA "POLTEHNA" DN BUUREŞT ATEDRA DE FZĂ LABORATORUL DE MEANĂ BN 1b MOMENTELE DE NERŢE ALE ORPURLOR Ş TEOREMA LU STENER 7 8 MOMENTELE DE NERŢE ALE ORPURLOR Ş TEOREMA LU STENER 1. Scopul lucrăr -
Mai multMicrosoft Word - DIN-Cap.5.3.doc
5.6. Analza namc a unu sstem e reglare automat a vteze unghulare la axul motorulu hraulc 5.6.. Formularea probleme. Acest moel e sstem hraulc e reglare este frecvent utlzat atunc cân organulu e lucru (execue)
Mai multMicrosoft Word - Articol_Cretu Ion [RO].docx
40 No solț ntegrale termoelastce pentr semspaț NOI SOLUȚII INTEGALE TEOELASTICE PENTU SEISPAȚIU Ion Creț, lector nv. Unverstatea Tehncă a oldove INTODUCEE Oțnerea solțlor ntegrale în termoelastctate de
Mai multMicrosoft Word - F.Paladi_TD_manual.doc
dq d d c lm lmt lm 0, T 0 dt T 0 dt T 0 d lt deoarece lm(lt ) La fel se poate demostra că ş T 0 cp cv lm 0, care tde către zero ma let decât dfereţa de la T 0 cp umărător c c P V 15 Etropa Exstă tre formulăr
Mai multAlgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a B¼arb¼acioru Iuliana Carmen Seminarul 2
lgebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a şi diferenţial¼a ¼arb¼acioru Iuliana armen uprins. Spaţii vectoriale............................. 4. Modi carea coordonatelor unui vector atunci când se schimb¼a
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multI. Proiectii financiare si indicatori financiari (Anexele B pentru persoanele juridice si Anexele C pentrupersoanele fizice autorizate, intreprinderi
I. Proect fnancare s ndcator fnancar (Anexele B pentru persoanele jurdce s Anexele C pentrupersoanele fzce autorzate, ntreprnder ndvduale s ntreprnder famlale) pentru demonstrarea crterulu de elgbltate
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multINFLPR
IFLPR Secta Laser RAPORT DE CERCETARE r. 3 / 16.03.011 Proect ISOTEST - POSCCE.1. In cadrul cele de a trea peroade de raportare (16.1.010 16.03.011) sunt prevazute urmatoarele actvtat de dezvoltare expermentala
Mai multASDN
PROIECTAREA LOGICĂ Laboratorul PL Suport de Laborator II 1. Să se găsească sumele minimale şi produsele minimale pentru următoarele funcţii: (a) f = m(0 + 2 + 4 + 8 + 10 + 12), (b) f = m(2 + 3 + 6 + 7
Mai multMicrosoft Word - declatie avere 2013.doc
ANEXA 1 DECLARAŢIE DE AVERE Subsemnatul/Subsemnata SABĂU D. MIHAELA având funcţa de GREFIER la JUDECĂTORIA MIERCUREA CIUC, CNP, domclul Mercurea Cuc,judeţul Harghta, cunoscând prevederle art. 292 dn Codul
Mai multfu vu ^ p DECLARAŢIE DE AVERE dg pe TlMiŞ N r. j f - S u b s e m n a t a N Ă S T U R A Ş A L I N A, a v â n d f u n c ţ i a d e g r e f i
fu vu ^ p 2-0 5-205 DECLARAŢIE DE AVERE dg pe TlMŞ N r. j f - S u b s e m n a t a N Ă S T U R A Ş A L I N A, a v â n d f u n c ţ a d e g r e f e r l a P a r c h e t u l d e p e l â n g ă I r b u n a l
Mai multDECLARAŢIE DE AVERE S pitalul Judeţean de IJrgentâ (Vlavt o rnaţi" 8otosani I N.m A R E ~ ie S ip E HR.tfQ/.CkJ...Zl &K2 una..clan Subsemnatul/Subsemn
DECLARAŢIE DE AVERE S ptalul Judeţean de IJrgentâ (Vlavt o rnaţ" 8otosan I N.m A R E ~ E S p E HR.tfQ/.CkJ...Zl &K2 una..clan Subsemnatul/Subsemnata, de Medc şef IllTIS VANDA la A.T.l., domclul Botoşan,
Mai multMicrosoft Word - declaraţii de avere 2015.doc
ANEXA1 DECLARAŢIE DE AVERE Subsemnata,GHENCI A. ELENA ALINA, având funcţa de GREFIER ŞEF la JUDECĂTORIA MIERCUREA CIUC, CNP, domclul:, cunoscând prevederle art.292 dn Codul penal prvnd falsul în declaraţ,
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multMicrosoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multMicrosoft Word - L8
Facultata d Ingnr Chmcă ş Protcţa Mdulu Dpartamntul d Polmr Natural ş Snttc Ştnţa ş Ingnra Polmrlor Ingnra utlajlor pntru sntza ş prlucrara polmrlor Laborator nr. 8 MODLARA MATMATICĂ ŞI SIMULARA PROCSULUI
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMATEMATICĂ... 2 FIZICĂ ŞI FUNDAMENTE DE INGINERIE ELECTRICĂ... 6 UNITĂŢI DE MĂSURĂ ÎN S.I CHIMIE ANORGANICĂ CHIMIE FIZICA CHIMIE OR
MATEMATICĂ... FIZICĂ ŞI FUNDAMENTE DE INGINERIE ELECTRICĂ... 6 UNITĂŢI DE MĂSURĂ ÎN S.I.... 10 CHIMIE ANORGANICĂ... 11 CHIMIE FIZICA... CHIMIE ORGANICA... CHIMIE ANALITICA INSTRUMENTALA... 36 BAZELE TEHNOLOGIEI
Mai multDECLARAŢIE DE AVERE A e i f ia de jf r â r â m m Subsemnata GALAN C ELENA având funcţia de Director general la... Agenţia Naţionala de Integritate, Bu
DECLARAŢIE DE AVERE A e f a de jf r â r â m m Subsemnata GALAN C ELENA având funcţa de Drector general la... Agenţa Naţonala de Integrtate, Bucureşt, SECTOR CNP, domclul cunoscând prevederle art. 292 dn
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multDECLARATIE DE AVERE Subsemnatul Vasile Nicusor Adrian, avand functia de sef serviciu, la INSPECTORATUL TERITORIAL DE MUNCA PRAHOVA, declar pe propria
DECLARATIE DE AVERE Subsemnatul Vasle Ncusor Adran, avand functa de sef servcu, la INSPECTORATUL TERITORIAL DE MUNCA PRAHOVA, declar pe propra raspundere, ca, mpreuna cu famla detn urmatoarele actve s
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multMicrosoft Word - _arbori.docx
ARBORI Să presupunem că o firmă doreşte să conecteze la TV, prin cablu, cele n case ale unui sat. Cum vor fi conectate casele la cablu? Logic, va trebui ca fiecare casă să fie conectată. Apoi, la o casă
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multEcuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro
Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX
Mai multCURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Mai multNr 33, Q Cuprinsul editiei: I. Rolul zambetului de volatilitate al aurului in determinarea pozitiei pietei II. Evolutii ale pretului aurului in
Nr 33, Q1 2016 Cuprnsul edte: I. Rolul zambetulu de volatltate al aurulu n determnarea pozte pete II. Evolut ale pretulu aurulu n Q1 2016 Gold shnes agan I. Rolul zambetulu de volatltate al aurulu n determnarea
Mai multi Fisa de date Tip anunţ: Anunţ de participare simplificat Tip legislaţie: Legea nr. 98/ Nu a existat o consultare de piaţa prealabila SECŢI
Fsa de date Tp anunţ: Anunţ de partcpare smplfcat Tp legslaţe: Legea nr. 98/23.05.2016 a exstat o consultare de paţa prealabla SECŢIUNEA I: AUTORITATEA CONTRACTANTA 1.1)DENUMIRE ADRESA SI PUNCT(E) DE CONTACT
Mai multTOTUL DESPRE LOTO SPECIAL 6/49 NOROC
TOTUL DESPRE LOTO SPECIAL 6/49 NOROC CUPRINS Generalitãþi...6 Descrierea biletului LOTO 49...6 Figura 1. Biletul LOTO 49...7 Cum se face marcarea biletului...8 Figura 2. Modalitãþi de marcare a biletului
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi
urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multInstruc iuni de instalare ºi între inere pentru tehnicieni Echipament cu condensare pe gaze CERAPURMAXX O ZBR 65-1 A 23 ZBR 90-1 A 2
Instruc un de nstalare º între nere pentru tehncen Echpament cu condensare pe gaze CERAPURMAXX 6 720 611 406-00.3O ZBR 65-1 A 23 ZBR 90-1 A 23 OSW Cuprns Cuprns Indca de sguran ã a func onãr 3 Explca smbolur
Mai multDECLARAŢIE DE AVERE Subsemnata Ganea C. Mioara Daniela având funcţia de Referent Agenţia Naţionala de Integritate, Bucureşti, SECTOR 1 la... CNP, domi
DECLARAŢIE DE AVERE Subsemnata Ganea C. Moara Danela având funcţa de Referent Agenţa Naţonala de Integrtate, Bucureşt, SECTOR 1 la... CNP, domclul... cunoscând prevederle art. 292 dn Codul penal prvnd
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multMETODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a
Mai multA.E.F. - suport laborator nr.1 sem.ii Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atin
Noțiuni generale pentru analiza cu elemente finite utilizând Siemens NX Nastran (1) În acest laborator sunt atinse următoarele aspecte: termeni și concepte uzuale din analiza cu elemente finite, noțiuni
Mai multMicrosoft PowerPoint - INDEXWATCH
saptamanal, nr.70, 3 decembre 0 Dan Rusu, Head of Research tel +0(6) 3 05 6; nt 5 emal dan.rusu@btsecurtes.ro focus Percepta asupra econome europene s-a amelorat n noembre Indcatorul de sentment ESI a
Mai multMicrosoft Word - fmnl06.doc
Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.
Mai mult* Categoriile indicate sunt: (1) apartament; (2) casa de locuit; (3) casa de vacanta; (4) spatii comerciale/de prnductie. *2) La "Titular" se mentione
* Categorle ndcate sunt: (1) apartament; (2) casa de locut; (3) casa de vacanta; (4) spat comercale/de prnducte. *2) La "Ttular" se mentoneaza, n cazul bunurlor propr, numele propretarulu (ttularul, sotul/sota,
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multAproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multFisa disciplinei_Utilizarea_Calc_CFDP_ _var2_
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCȚII BUCUREȘTI FIŞA DISCIPLINEI (COD PO-09_F-01) Denumirea Utilizarea calculatoarelor Codul 1.OB05.DPF Anul de studiu I Semestrul 1 Tipul de evaluare finală (E, CO, V) CO
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematica 1.3 Departamentul Matematica Didactic 1.4
Mai multSlide 1
VII. ÎNSCRIEREA PE DESENELE TEHNICE A PRESCRIPŢIILOR DE CALITATE Starea suprafeţelor influenţează fiabilitatea şi funcţionarea pieselor în cadrul unui ansamblu 7.1 STAREA SUPRAFEŢELOR (RUGOZITATEA) SR
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Informatică 1.3 Departamentul Informatică 1.4 Domeniul
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multSlide 1
Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice PROIECTAREA OPTIMALĂ A DISPOZITIVELOR ELECTROMAGNETICE PODE CURS 2 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@et.utcluj.ro 2/46 Proiectarea
Mai mult1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai
1. a. Să se scrie un algoritm care să afişeze toate numerele de patru cifre care au cifra sutelor egală cu o valoare dată k, şi cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra sutelor. b. Se consideră algoritmul
Mai multE_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multPAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C
PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematica 1.3 Departamentul Matematica Didactic 1.4
Mai multDeclaraţii. Instrucţiuni 19 octombrie 2005 Programarea calculatoarelor 2. Curs 3b Marius Minea
Declaraţii. Instrucţiuni 19 octombrie 2005 Declaraţii. Instrucţiuni 2 Domeniul de vizibilitate al identificatorilor Pt. orice identificator, compilatorul trebuie sǎ-i decidǎ semnificaţia Identificatorii
Mai mult