Revista Electronică MateInfo.ro ISSN August APLICAŢII ALE ANALIZEI MATEMATICE ÎN GEOMETRIA ÎN SPAŢIU (2) Prof. Poenaru
|
|
- Bogdan Tudor
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 APLICAŢII ALE ANALIZEI MATEMATICE ÎN GEOMETRIA ÎN SPAŢIU Pro. Poenaru Dan, Colegiul Economic I.Pop Cluj -Napoca Aşa cum s-a putut urmări în articolele precedente, pentru rezolvarea unor probleme de geometrie clasică ce vizează studiul variaţiei distanţelor, ariilor, volumelor în condiţii determinate de puncte variaţionale, instrumentul de investigaţie cel mai potrivit este analiza matematică. Consider că aplicaţia ce urmează este un eemplu el ocvent în acest sens: rezolvarea problemei de geometrie conduce la construcţia unei uncţii a l cărei graic evidenţiază un număr semniicativ de,,evenimente matematice speciice analizei, toate studiate în cadrul programei de liceu: - asimptotă; - puncte de etrem local; - punct unghiular; - puncte de inleiune.
2 Aplicaţie Se dau pătratul ABCD de latură AB şi triunghiul isoscel AMB, de bază AB, situate în plane perpendiculare. Se duc perpendicularele din C pe AM în punctul P, respectiv din D pe BM în punctul Q. Fie şi R mijlocul laturii AB. Să se studieze variaţia ariei triunghiului RPQ dacă punctul M este variabil. A D R P B C Q M SOLUŢIE: Mai întâi vom considera câteva airmaţii adevărate ce pot i demonstrate uşor cu ajutorul,,tehnicilor speciice geometriei în spaţiu cum ar i : [ AP] [ BQ], [ CP] [ DQ], PQ AB DC, CP şi DQ sunt concurente iar BP respectiv AQ sunt înălţimi în triungiul isoscel AMB cu [ BP] [ AQ]. Deasemenea în problemă se disting trei cazuri: I. AMB ascuţitunghic II. AMB dreptunghic P, Q, R coincid 0 III. AMB obtuzunghic A PQR Tratăm mai detaliat cazul I. Notăm MR şi căutăm să eprimăm aria triunghiului PQR în uncţie de. M PQ SR A S MR PQ PQR MS PQ Din PQ AB ; din MRB dreptunghic MB. Calculăm aria triunghiului AMB în două moduri: A P S R Q B A A AMB AMB AB MR PB MA PB PB
3 PB 4. din APB dreptunghic PB AB AP 4 5. Înălţimea triunghiului dreptunghic APB este lungimea SR şi este dată de 5 4, AB PB AP SR, astel SR MR MS. Din MS şi relaţia rezultă PQ de unde PQ şi revenind la relaţia obţinem aria triunghiului: A PQR. Considerăm uncţia :,, : R Pentru cazul III. În urma unor deliberări asemănătoare cazului I. obţinem uncţia:, :[0, R Din cele trei cazuri uncţia corespunz ătoare studiului variaţiei ariei triunghiului este:,, 0, [0,,, :[0, R Preliminarii pentru întocmirea tabloului de variaţie şi trasarea graicului: Comportamentul uncţiei la,,capete este dat de 0 0 şi 0 0 lim y
4 este asimptotă orizontală. Funcţia derivată a uncţiei este: :[0,, R, 4 6, [0, 4 6,, 4 6 Derivata uncţiei pentru [0, este ; ecuaţia 0 conduce la Prin rezolvarea ecuaţiei bipătrate se ajunge la unica soluţie din intervalul [ 0, şi anume iar. 4 6 Derivata uncţiei pentru, este ; ecuaţia 0 conduce la aceeaşi ecuaţie bipatrată şi obţinem unica soluţie din intervalul, şi anume iar. Funcţia este continuă pe [ 0, dar nu este derivabilă în punctul ; în acest punct derivatele laterale sunt 0 respectiv 0 iar 0 ceea ce înseamnă că punctul,0 este un punct de întoarcere pentru graicul uncţiei. Din studiul derivatei a doua obţinem două puncte de inleiune vezi tabloul Tabloul de variaţie: _ i 0 0 i 4
5 5 A Q D C B R M y O i i A P Q M D C B R P ma ma A PQR 5 5,, i i 0 min min A PQR Graicul uncţiei - coneiuni
6 DOUĂ APLICAŢII PRACTICE, INTERESANTE, PENTRU VACANŢĂ NECULAI STANCIU Problema. Istoria SSMR Revista Gazeta Matematică s-a îniinţat în anul 895.Apoi s-a îniinţat şi Societatea Gazeta Matematică, care şi-a modiicat denumirea de trei ori în anul 9AB Societatea de Ştiinţe Matematice şi Fizice, în anul 9CA Societatea de Ştiinţe Matematice şi de la centenarul revistei poartă denumirea de astăzi Societatea de Ştiinţe Matematice din România.Dacă anul acesta sărbătorim centenarul Societăţ ii şi AB respectiv CA sunt pătrate perecte consecutive alaţi cei patru ani în care Societatea a avut denumirile SGM, SSMF, SSM şi SSMR. prin pătrat perect se înţelege produsul dintre două numere egale Soluţie. Dacă anul acesta serbăm centenarul soci etăţii rezultă că SGM s-a îniinţat în 90. AB=49 Anul modiicării denumirii în SSMF a ost 949. CA=64 Anul în care a luat denumirea SSM a ost 964. Deoarece centenarul revistei s-a serbat în 995 anul în care a lut denumirea actuală SSMR a ost anul 995. Problema. de magie-matematică CALENDARUL PERPETUU dedicată pt. DUMITRU M. BĂTINEŢU GIURGIU & MARCEL ŢENA Proesor, Şcoala cu clasele I-VIII George Emil Palade, Buzău
7 & oricărei persoane care doreşte să ale în ce zi a săptămânii a picat sau va pica o anumită dată din calendar Pentru orice dată din calendar, notată de eemplu, avem corespondent una şi numai una din zilele Luni, Marţi, Miercuri, Joi, Vineri, Sâmbătă şi Duminică, notate de eemplu y.rezultă că putem deini o uncţie y y. Se cere: a să găsiţi ormula y y ; b să determinaţi ziua în care pică data de DMB-Giurgiu, respectiv data MŢ-redactor şe al G.M.-B; c să determinaţi ziua în care v-aţi născut şi să întrebaţi părinţiisau oricine ştie, sau vezi teleonul mobil pentru conirmare. Soluţie. a Avem şapte zileluni, Marţi, Miercuri, Joi, Vineri, Sâmbătă şi Duminică, doisprezece luni şi mulţi anidintre care unii besecţi. Formula căutată trebuie să ţină seamă de toate acestea şi unele în pluseerciţiu!:vezi pe google, despre anii bisecţi. Noipoate şi alţii am găsit următoarele două ormule: A y A mod 7 4 L Z, pentru anii 900,,999; A y A mod 7 4 L Z, pentru ani 000,,099; unde am notat prin A numărul natural ormat din ultimile două cire ale anului A A căutat; = partea întreagă a numărulului ; Z numărul natural care reprezintă cira 4 4 căutată şi L cira corespunzătoare lunii căutatevezi tabelul. Luna Ian Feb Mar Apr May Iun Iul Aug Sep Oct Nov Dec L Tabelul de mai sus se poate reţine oarte uşor: 44 - pătrat perect; 05 pătrat perect; 06 pătrat perect; 46=44+. Deoarece y este congruent modulo 7, avem y 0,,,,4,5,6. Facem asocierea: 4 0 Sâmbătă; Duminică; Luni; Marţi; 4 Miercuri; 5 Joi; 6 Vineri. Remarcă.În anii bisecţi, ziua din lunile ianuarie, respectiv, ebruarie corespunde cirei y. b ziua corespunzătoare datei an bisect
8 Restul împărţirii: , este y, iar din 4 şi remarcă, rezultă, că ziua căutată este Luni 7 7 D.M.B Giurgiu. Data Restul împărţirii: ziua de Duminică. c Se aplică metoda descrisă la punctul a. Bonus..0.0 an bisect, luna ianuarivezi remarca!. Restul împărţirii: 6, este 7 7 corespunzătoare este Duminică., este y, iar asocierea 4 rezultă că redactorul şe s -a născut în y, dar acem y, de unde rezultă că ziua Notă. Cele două ormule de calcul calendarul perpetuu au ost date de cel mai mare geniu al omenirii - William James Sidis , care a vut cel mai mare IQ între 50 şi 00.Se pare că cel mai mare IQ printre matematicieni l -a avut Gottried Willhelm von Leibniz 0.După unii se pare că IQ-ul cel mai mare dintre matematicieni l-ar i avut Srinivasa Ramanujan numai că nu a putut i determinat deoarece era oarte slab la orice altceva în aară de matematică.
9 PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE ŞI PATRULATERE COMPLETE PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE Pro. Gurău Cornelia, Şcoala cu clasele I - VIII nr.4 Moineşti, Bacău Spunem că un patrulater ABCD este circumscriptibil dacă eistă un cerc tangent laturilor AB, BC, CD, DA. Se mai spune că este înscris în ABCD sau ca ABCD este circumscris lui. Teorema. Orice patrulater circumscriptibil este conve. Demonstraţie. Într-adevăr, dacă ABCD este circumscris unui cerc, dreapta AB este tangentă lui şi lasă de o parte o anumită parte a ei, H, cercul mai puţin punctul de tangenţă deci şi punctele de contact cu celelalte laturi. Urmează că BC şi AD sunt incluse în H, apoi că C, D sunt în H. Teorema. Pithot. Patrulaterul conve ABCD este circumscriptibil da că şi numai dacă AB + CD = AD + BC sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale. Demonstraţie. Fie ABCD circumscris cercului, punctele de contact pentru AB, BC, CD, DA iind notate prin M, N, P, Q ig.. Fig. Au loc următoarele egalităţi de ta ngente din diverse puncte la cercul : AM = AQ, BM = BN, CN =CP, DP = DQ. Urmează imediat: AB + CD = AM + MB + CP + PD = AQ +BN + CN + DQ =
10 =AQ + QD + BN + CN = AD + BC. Să presupunem acum că are loc egalitatea AB + CD = AD + BC. Vom considera că dreptele suport ale două laturi opuse, de eemplu AD cu BC, sunt secante în E. Mai presupunem că notarea v ârurilor asigură că are loc A D E, deci B C E. Fie cercul înscris în triunghiul ABE. Presupunem prin absurd că CD nu este tangentă lui. Eistă două tangente la paralele cu CD; alegem acea paralelă CD la CD ce separă punctele cercului şi E în semiplane distincte. Deoarece ABCD este ciurcmscriptibil rezultă AB + C D = AD BC. Scăzând această egalitate membru cu membru din ipoteza adoptată obţinempentru cazul din ig. Fig. CD - C D = D D CC. Ar urma segmentul CD să aibă lungime egală cu a liniei rânte de aceleaşi etremităţi CC DD, absurd. Observaţie. Condiţia de conveitate a patrulaterului ABCD intervine în demonstraţie suicient de subtil, poate insuicient de clar scos în evidenţă de schiţa de demonstraţie prezentată. Fig. înăţişează un patrulater în care AB AD, BC CD, deci are loc AB + CD = AD + BC ără a i circumscriptibil. Fig. Teorema. Bisectoarele interioare ale unui patrulater ABCD sunt concurente dacă şi numai dacă ABCD este circumscriptibil.
11 Demonstraţia este imediată. Dacă cele patru bisectoare sunt concuren te întrun punct I ce se proiectează ortogonal pe laturi în punctele M, N, P, Q are loc IM IN IP IQ şi cercul I, IM va i tangent tuturor laturilor de unghiuri adică laturilor patrulaterului. Dacă ABCD este circumscris cercului I,r, cele patru bisectoare interioare concură în I. PATRULATERE COMPLETE Menţionăm utilizarea denumirii de patrulater complet ABCDEF pentru un patrulater ABCD, unde {E}= AB CD, {F}= BC AD. Segmentele AC, BD, EF se numesc diagonale ale patrulaterului completig. 4. Fig.4 Teorema Newton-Gauss. Mijloacele P, Q, R ale diagonalelor AC, BD, EF unui patrulater complet sunt coliniare. Demonstraţie. Fie G, H, I mijloacele segmentelor CE, EB, BC. Punctele G, I, P sunt pe o paralelă la EBA; H, I, Q pe o paralelă la ECD, iar H, G, R pe o paralelă la BCF. Deci, P, Q, R sunt pe prelungirile laturilor triunghiului GHI. Conorm teoremei lui Menelaos coliniaritatea punctelor P, Q, R este echivalentă cu îndeplinirea egalităţi PI RG QH. PG RH Folosind linii mijlocii convenabile vom constata însă uşor: QI PI AB RG FC QH DE,,. PG AE RH FB QI DC Cu aceste egalităţi, relaţia este echivalentă cu AB FC DE AE FB DC. Ultima egalitate constituie relaţia lui Menelaos pentru triunghiul BEC şi punctele coliniare A, D, F, deci este adevărată ig.5.
12 Observaţie. Dreapta PQ se numeşte dreapta Newton -Gauss a patrulaterului complet ABCDEF. Bibliograie Bazele raţionamentului geometric, Dan Brânzei, Eugen Onoraş, Sebastian Aniţa, Gheorghe Isvoranu, Editura Academiei, Bucureşti, 98.
13 CONCURSUL PENTRU TITULARIZARE IULIE 0 Proba scrisă la MATEMATICĂ Corneliu Mănescu-Avram Această notă conţine soluţii alternative şi generalizări ale subiectelor. Problemele şi soluţiile originale sunt date în anee. SUBIECTUL I. b. Fie * n n o progresie aritmetică de numere naturale, Sn b b... bn şi an u Sn, unde u m este ultima ciră a numărului natural m. a Arătaţi că n n r Sn n bb n, n. 6 b Calculaţi a. 7 an n c Arătaţi că şirul * este periodic de perioadă 0. d Calculaţi am pentru m = Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC şi A, B respectiv C mijloacele arcelor mici BC, CA respectiv AB ale cercului circumscris triunghiului ABC. Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. a Demonstraţi că dreptele AA, BB şi CC sunt concurente. b Arătaţi că triunghiul BIA este isoscel. c Demonstraţi că punctul I este ortocentrul triunghiului A B C. d Demonstraţi că AI = IA dacă şi numai dacă r = R cos A, unde r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL al II-lea. Fie m *, d = m +, = a + şi N =.
14 a Veriicaţi dacă [ ]. c Demonstraţi că U [ ] dacă şi numai dacă =. d Arătaţi că mulţimile = { [ ] = } şi = { [ ] } sunt ininite.. Fie uncţia :, =, unde, este o constantă. a Arătaţi că orice primitivă a uncţiei este strict crescătoare pe. b Calculaţi sin d,. c Demonstraţi că uncţia nu are limită la. d Calculaţi Soluţii : 0 d. I.. a Demonstrăm egalitatea prin inducţie după n. Dacă n =, atunci. Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n şi o demonstrăm pentru n +. Acest apt revine la veriicarea identităţii n n r n n r n bb n bn n bb n, n, 6 6 ceea ce se poate ace cu uşurinţă, eprimând şi în uncţie de şi r. b Avem S 7 = 7b b 7 + r mod 0, deci a 7 = u 7b 0 b 8, unde b 0 = b r. c Calculăm = observând că putem aplica ormula de la a pentru o progresie aritmetică de 0 de termeni., cu primul termen şi raţia r. Rezultă = 0a n + a n r, aşadar = = =. d Din 0 0 mod 0 rezultă = = = 5 =.
15 . a Folosim coordonatele complee şi presupunem că ΔABC este înscris în cercul unitate. Fie a, b, c aiele vârurilor A, B, C respectiv. Schimbând eventual semnele numerelor a, b, c deducem [] că aiele mijloacelor arcelor BC, CA, AB sunt respectiv,,. Ecuaţiile bisectoarelor sunt =,, =, deci aiul punctului I este. Cu notaţiile,,, deducem. b Avem A B = =, A I = = =, deci A B = A I, aşadar triunghiul BIA este isoscel. c Dreapta B C are ecuaţia, deci este perpendiculară pe bisectoarea AA, astel că ortocentrul triunghiului A B C se ală pe această bisectoare. Cum latura triunghiului A B C a ost aleasă arbitrar, deducem că acest ortocentru coincide cu punctul I. d Avem AI = =, IA = = =, deci egalitatea AI = IA este echivalentă cu. Calculăm lungimea r a razei cercului înscris în triunghiul ABC : ecuaţia dreptei BC este ecuaţia perpendicularei din I pe BC este deci piciorul acestei perpendiculare are aiul, +, Rezultă z =. r = = = = =. Triunghiul ABC este înscris în cercul unitate, deci R =. Calculăm cos A = A ' sin A B b bc b c.
16 Egalitatea r R cos A este deci echivalentă cu a bb c c a b c care este echivalentă cu, deoarece triunghiul ABC este ascuţitunghic, deci 0., II.. a Avem = = + [ ]. b Se ştie că [ ] are o structură de inel comutativ şi unitar aţă de adunarea şi înmulţirea obişnuite din, deci în particular este parte stabilă a lui aţă de aceste operaţii. c Dacă, y[ ], atunci uncţia normă este multiplicativă şi. Rezultă că este inversabil în [ ] dacă şi numai dacă N este inversabil în, deci dacă şi numai dacă =. d Se veriică simplu că = U -, deci U - şi U + pentru orice număr natural n, aşadar cele două mulţimi sunt ininite. Notă. Toate airmaţiile rămân adevărate în cazul general d > număr natural liber de pătrate, cu ecepţia aptului că dacă unitatea undamentală a corpului pătratic este de normă, atunci U - =. Un astel de eemplu este [], mod 5, pentru care unitatea undamentală este ε = 4 4 4, b = a 4 şi N ε =. 5. a Funcţia ia numai valori strict pozitive pe, deci orice primitivă a ei este strict crescă toare pe uncţia este continuă pe, deci admite primitive pe. b Avem = ln cos ln cos. c Funcţia este o uncţie periodică neconstantă, deci nu are limită la +. d Se ace schimbarea de variabilă t = tg, dar aceasta nu este deinită pentru. Pe intervalele 0, şi, o primitivă a uncţiei este F arctg a tg a a
17 calcule elementare, deci o primitivă oarecare a uncţiei pe intervalul 0, este, 0, F C F C,. F C,, Din condiţia de continuitate a uncţiei F în punctul se obţine lim = = lim, de unde C C, C C, a C C. a Funcţia F obţinută astel este derivabilă în punctul şi F calcule a elementare. Integrala deinită poate i calculată acum cu ormula Leibniz-Newton : ' 0 d F F 0. a Bibliograie [] colectiv Culegere de probleme rezolvate pentru admiterea în învăţământul superior, Editura Ştiinţiică şi Enciclopedică, Bucureşti, 989 [] Hahn, Liang-shin, Comple Numbers and Geometry, The Mathematical Association o America, 994 [] Mănescu-Avram, C., O clasă de iraţionale pătratice cu perioada racţiei continue de lungime 4, Revista Mateino.ro, iunie 0 CATEDRA DE MATEMATICĂ, GRUPUL ŞCOLAR DE TRANSPORTURI PLOIEŞTI avram05065@yahoo.com
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multCERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri
CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3
Mai multI
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multOLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multCoordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multUniversitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x
1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multMicrosoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multConcursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car
Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1
Mai multTEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 :
TEST DE PROMOVARE ÎN CLASELE DE EXCELENȚĂ Clasa a V-a 29.09.2018 BAREM SUBIECTUL I a) Determinați numărul natural a din egalitatea: 315 : 7 9 4 22 5 204 : 2 2 a 16 : 4 43 b) Se consideră șirul următor
Mai multPachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Mai multSubiecte_funar_2006.doc
Clasa a VIII-a A. 1. Exista numere n Z astfel încât n si n+ sa fie patrate perfecte? (Gheorghe Stoica) A. 2. Se considera A N o multime cu 7 elemente si k N*. Aratati ca ecuatia 4x 2 4ax+b 2 +10k = 0,
Mai multMicrosoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multwww. didactic.ro Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinus
Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie Trecem în revistă următoarele rezultate importante: 1) Teorema sinusurilor: Teorema cosinusurilor: Fiind dat triunghiul ABC, vom folosi următoarele notaţii:,,
Mai multRecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multMatematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
Mai multExamenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult
CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de Ana-Cristina Blanariu-Șugar, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document
Mai multInspectoratul Şcolar Judeţean Suceava Şcoala Gimnazială Luca Arbure CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a VIII a 29 APRILIE 2017 Clasa a I
Clasa a IV a 1. Rezultatul calculului : 8 + [40 + 8 (00 : 5 7 : )] 0 este A) 0 B) C) 4 D) 8. Valoarea lui x din egalitatea [( x + 60 : ) + 4] 5 = 1985este : A) 1 B) 5 C) 1 D) 10. Suma dintre jumatatea
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multmultimi.PDF
Multii, unctii, nuere reale ) Multiea A are 6 eleente, iar ultiea B are 4 eleente. Se stie ca A B contine 56 de subultii. Cate eleente are intersectia A B? A) B) C) D) E) 4 Solutie. Se stie ca o ultie
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multMatematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1813 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VI
Matematika román nyelven középszint 83 ÉRETTSÉGI VIZSGA 09. május 7. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Informaţii utile
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multNoțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Mai multSimilitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată
Similitudini în plan şi puncte Torricelli asociate Cătălin ŢIGĂERU 1 Subiectul lucrării îl reprezintă operaţia de compunere a similitudinilor aplicată unei configuraţii geometrice: un triunghi ABC şi două
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multINDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE 2 ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x 4 x 16 y 4 x x 4 Condiţiile radica
INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x x 16 x 16 16 x Condiţiile radicalilor: 16 0 16 x 16 ecuaţia devine: 16 x 0 16 y y0; 8 S x y 16
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multRecMat dvi
Probleme propuse 1 P355. Găsiţi trei numere consecutive în şirul numerelor de la 1 la 30 care să aibă suma 30. (Clasa pregătitoare) Mariana Manoli, elevă, Iaşi P356. Colorează figura geometrică care nu
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multsubiecte clasa7
Concursul interjudeńean de matematică Gheorghe Vrănceanu, Bacău-007 Clasa a VII-a Subiectul I Să se demonstreze că există un punct M în interiorul unui triunghi ABC astfel încât triunghiurile ABM, BCM
Mai multMicrosoft Word - Evaluare_initiala_Matematica_Cls07_Model_Test.doc
Precizări metodologice cu privire la testul de evaluare inińială la disciplina MATEMATICĂ, din anul şcolar 011-01 În anul şcolar 011-01, modelul propus pentru testare inińială la disciplina Matematică
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai mult1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad
1. Teorema lui Ceva Ene Mihai+Radu Vlad+Budacu Vlad 2. Teorema lui Menelaus Ciocan Cristian+Cioară Alexandru+Răileanu Daniel 3. Teorema lui Pitagora Paraipan Rareș+Postelnicu Marius+Anghel Mircea
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat de profesor Tatiana Predoană, Fundația Noi Orizonturi, în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Monica Popovici, profesor
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multclasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător. 1. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) 3 B) 10 C)
clasa I Se recomandă citirea enunţurilor de către învăţător.. Continuă numărarea şi află câţi morcovi a mâncat iepuraşul. 6, 7, 8, 9,. A) B) 0 C) D) 9 E). Vecinul mai mic al numărului 70 este: A) 60 B)
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1/2014 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din = astfel încât să obţineţi o
Soluţiile problemelor propuse în nr. /204 Clasele primare P.283. Scrieţi + sau în fiecare pătrăţel din 2 3 4 = 7 2 4 astfel încât să obţineţi o egalitate. Câte soluţii există? Explicaţi! (Clasa I ) Codruţa
Mai multO metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎRSAN 1, Marius DRĂGAN 2, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to o
O metodă de rafinare a unor inegalităţi geometrice Temistocle BÎSAN 1, Marius DĂGAN, Neculai STANCIU 3 Abstract. This paper presents a method to obtain some refined geometric inequalities in a triangle,
Mai mult1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se î
1 Concursul de matematic¼a NICOLAE COCULESCU 2011-12 EDIŢIA a VIII-a SLATINA 29 noiembrie 2012 Clasa a III-a 1. Numere, numere. a) Cinci prieteni se întâlnesc. Ei se salut¼a, ecare dând mâna cu ecare,
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multLucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență MODELE DE PROBLEME REZOLVATE DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURS
ARTUR BĂLĂUCĂ ARITMETICĂ Teme pentru centre de excelență + 0 MODELE DE PROBLEME REZOLVATE + 1130 DE PROBLEME SEMNIFICATIVE PENTRU OLIMPIADE, CONCURSURI ŞI CENTRE DE EXCELENŢĂ Clasa a V-a Ediţia a X-a EDITURA
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multMarian Tarina
PROGRAMA LA MATEMATICĂ An școlar 2018-2019 Temele propuse vor fi detaliate conform programei şcolare în vigoare care cuprinde atât conţinuturile obligatorii cât şi conţinuturile suplimentare menţionate
Mai multMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
Mai multmatematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai mult0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx
Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,
Mai multBARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că
BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru
Mai multMatematica - Clasa teste pentru grupele de excelenta
2. Dacă abc cd = 262, calculaţi ab (c + d). 3. Calculaţi suma numerelor abc, dacă a < b şi c = a + b + 2. 4. Calculaţi suma dintre cea mai mică sumă S = a + b + c + d şi cea mai mare sumă S, dacă a 1 =
Mai multPROIECT DIDACTIC
Plan de lecție Informații generale Obiectul: Matematică Clasa: a VII - a Durata: 50 min Mijloace TIC: calculatorul profesorului cu videoproiector,calculatoare pentru elevi Tema lecției: Aria triunghiului
Mai multNotiuni de algebra booleana
Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt
Mai multProbleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Mai multPrezentarea cursului Didactica Matematicii Oana Constantinescu
Prezentarea cursului Didactica Matematicii Oana Constantinescu Didactica este stiinta conducerii procesului de predare-invatare-evaluare. Ea studiaza procesul de invatare in ansamblul sau, pe toate treptele
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multMergedFile
GHID DE PREDARE A MATEMATICII CU AJUTORUL METODELOR DIGITALE Clasa a VI-a Realizat de Szasz Szilard, profesor Digitaliada, Nicoleta Duma, profesor Digitaliada, Aura Bârdeș, profesor Digitaliada, coordonat
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multŞcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2017_var_02_LRO
Matmatică M_mat-info Toat subictl sunt obligatorii. S acordă punct din oficiu. Timpul d lucru fctiv st d or. 5p. S considră numărul compl z + i. Arătați că z z zz 9 5p. Dtrminați numărul ral m, știind
Mai multClasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce
Clasele primare Probleme propuse 1 P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 şi 18. (Clasa I ) Diana Tănăsoaie, elevă, Iaşi P.165. După ce dau celor doi fraţi mai mari câte două banane, mănânc
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai multMergedFile
Olimpiada de Fizică X Etapa pe judeţ 5 februarie Barem de ealuare şi de notare Se punctează oricare altă modalitate de rezolare corectă a problemei Problema I Geamandura Sarcina de lucru nr. Nr. item Punctaj.a.
Mai multMatematica Clasa 5 Culegere De Exercitii Si Probleme
uprins Teste de evaluare inițială... 7 4 I. Numere naturale. Numere naturale... 9. Scrierea şi citirea numerelor naturale... 9.2 xa numerelor naturale. ompararea şi ordonarea numerelor naturale... 4.3
Mai multgaussx.dvi
Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care
Mai multrecmat dvi
Concursul de matematică Florica T.Câmpan Etapa judeţeană, 5-6 mai 2005 Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute, cl. V-VIII 2 ore. ClasaaIV-a 1. Să seafledouă numere
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai mult