Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T
|
|
|
- Nicoară Diaconu
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi Takagi, curbele lui Peano, mulţimile Julia, ş.a.) au fost studiate intens de matematicieni încă de la apariţia lor, în analiza matematică mai ales, în a doua jumătate a secolului al XIX-lea. Cel care a reuşit să facă cunoscute aceste obiecte matematice publicului larg a fost Benoît Mandelbrot ( ) care, prin două cărţi fundamentale: Les objets fractals, forme, hasard et dimension (apărută în 1975) şi The Fractal Geometry of Nature (1982), a introdus denumirea de fractal şi a argumentat în mod convingător utilitatea lor în diverse domenii. O bună parte din succesul popularizării acestor noţiuni atât de abstracte a fost însă asigurat de reprezentările lor grafice computerizate, care au dezvăluit o adevărată lume ascunsă, plină de forme şi culori încântătoare. Frumuseţea vizuală a fractalilor este indiscutabilă, şi dintre ei cel mai faimos este, de departe, mulţimea lui Mandelbrot, despre care vom vorbi în continuare. 1. Mulţimi Julia pentru funcţii pătratice. Plecăm de la studiul mulţimilor Julia J c asociate funcţiilor pătratice f c : C C, f c (z) = z 2 + c, unde c joacă rolul unui parametru care parcurge mulţimea numerelor complexe. Deoarece f c este un polinom, ştim că J c este frontiera bazinului de atracţie a punctului de la infinit (care este un atractor) sau, în mod echivalent, frontiera mulţimii Julia plină, P c = z 0 C şirul (fc n (z 0 )) este mărginit. Pentru implemetarea unui algoritm de trasare a mulţimilor P c, este util următorul rezultat: dacă există k N astfel încât (f k (z 0 )) > 2 atunci f n (z 0 ) pentru n şi, prin urmare, z 0 P c. Prin intermediul funcţiilor f c, asociem fiecărui număr complex c C mulţimea Julia J c, şi suntem interesaţi să determinăm valorile parametrului c pentru care mulţimea asociată J c este conexă. Amintim că o mulţime A C este conexă dacă nu există submulţimile deschise D 1 şi D 2 cu A D 1, A D 2, A D 1 D 2 = şi A D 1 D 2. 1
2 Definiţia 1. Mulţimea lui Mandelbrot, M, este mulţimea valorilor lui c pentru care J c este conexă: 2 M = c C J c este conexă. De exemplu, pentru c = 0 avem f 0 (z) = z 2 şi, prin urmare, f n 0 (z) = z 2n. Obţinem, P 0 = z 0 C şirul (z 2n 0 ) este mărginit = z 0 C z 0 1, de unde urmează că J 0 este cercul de rază unu centrat în origine, care este în mod evident mulţime conexă. În concluzie, 0 M. Programul următor trasează mulţimea J c pentru c = i. public class Julia : ComplexForm Complex f(complex z, Complex c) return z * z + c; public override void makeimage() Complex c = new Complex(-1, 0.35); setxminxmaxyminymax(-2, 2, -2, 2); int nriter = 1000; for (int ii = imin; ii <= imax; ii++) for (int jj = jmin; jj <= jmax; jj++) Complex z = getz(ii, jj); int k = 0; for (; k < nriter && z.ro2 < 4; k++) z = f(z, c); setpixel(ii, jj, getcolor(3 * k)); if (!resetscreen()) return; Examinând rezultatul arătat în Figura 1, observăm că mulţimea P c nu este conexă şi, cu atât mai mult, nici frontiera sa J c nu este conexă, deci c = i / M.
3 3 Figura 1. Mulţimea J c pentru c = i. 2. Trasarea mulţimii lui Mandelbrot. Stabilirea conectivităţii unei mulţimi pe cale algoritmică este extrem de dificilă şi din acest motiv Definiţia 1 nu este proprice reprezentării grafice a mulţimii M (dar este utilă în stabilirea, pe cale riguroasă, a proprietăţilor ei). O metodă foarte simplă de trasare a mulţimii M se obţine pe baza următorului rezultat 1 stabilit de Hans Brolin în 1965: mulţimea Julia asociată unui polinom de grad mai mare decât unu este conexă dacă şi numai dacă nici unul dintre punctele sale critice (zerourile derivatei) nu se află în bazinul de atracţie al punctului de la infinit. În cazul nostru f c (z) = z 2 + c are derivata f (z) = 2z şi deci z = 0 este singurul punct critic al lui f c. Mulţimea J c este conexă dacă şi numai dacă z = 0 nu se află în bazinul de atracţie al punctului de la infinit. Este uşor de văzut că şirul (fc n (0)) tinde la infinit dacă şi numai dacă este nemărginit, şi am justificat astfel următoarea caracterizare: Teorema 1. Mulţimea lui Mandelbrot este mulţimea valorilor lui c pentru care şirul (fc n (0)) este mărginit: M = c C şirul (fc n (0)) este mărginit. Pentru a testa dacă parametrul c C este sau nu în mulţimea lui Mandelbrot calculăm termenii şirului z 0 = 0, z 1 = z0 2 + c,..., z N = zn c, unde N 1 H. Brolin, Invariant sets under iteration of rational functions, Arkiv för Matematik, 6(1965) p
4 este un număr suficient de mare. Dacă toţi z n sunt în modul mai mici decât doi, considerăm că şirul (z n ) este mărginit şi, prin urmare, c M. Pixelul corespunzător lui c va fi colorat cu negru (de exemplu) dacă c M şi cu alb în caz contrar. Se obţine o imagine ca în Figura 2, unde este reprezentată regiunea [ 2.5, 1.5] [ 2.0, 2.0] din planul complex. 4 Figura 2. Mulţimea lui Mandelbrot Imagini mult mai interesante se obţin prin metoda de colorare ETA, când fixăm culoarea pixelului corespunzător lui c în funcţie de numărul de termeni ai şirului (fc n (0)) care au modulul mai mic decât doi. public class Mandelbrot: ComplexForm public override void makeimage() double x0 = ; double y0 = 0.486; double r0 = 2.0 / 1000; setxminxmaxyminymax(x0 - r0, x0 + r0, y0 - r0, y0 + r0); int nriter = 1425; for (int ii = imin; ii <= imax; ii++) for (int jj = jmin ; jj <= jmax; jj++) Complex c = getz(ii,jj); Complex z = 0;
5 5 int k=0; for (; k < nriter && z.ro2 < 4; k++) z = z * z + c; if (k == nriter) setpixel(ii, jj, Color.Black); else setpixel(ii, jj, getcolor(700 + k)); if (!resetscreen()) return; Figura 3. class Mandelbrot Mulţimea lui Mandelbrot este o mulţime compactă şi conexă, cuprinsă în pătratul [ 2, 2] [ 2, 2], şi este formată, în linii mari, dintr-un corp principal dat de cardioida 1 (ω 1)2 C 0 = c C c = cu ω 1, 4 un cap circular C 1 = c C c + 1 1/4 şi dintr-un şir infinit de bulbi. Corpul C 0 este format din valorile lui c pentru care funcţia f c are un punct fix atractor. Într-adevăr, cu parametrizarea c = (1 (ω 1)2 )/4, soluţiile ecuaţiei
6 f c (z) = z, adică z 2 z + c = 0. (1) sunt z 1 = ω/2 şi z 2 = 1 ω/2. Impunând ca f c(z) = 2z să fie subunitară în modul obţinem că aceste două puncte fixe nu pot fi în acelaşi timp de tip atractor, iar valorile lui c pentru care cel puţin unul dintre ele este de tip atractor sunt date de apartenenţa c C 0. 6 Figura 4. Mulţimea lui Mandelbrot. Detaliu; Punctele c C 1 sunt caracterizate de existenţa unei orbite periodice atractive de perioadă doi. Să justificăm: punctele z 3 şi z 4 formează o orbită periodică dacă sunt distincte şi f c (z 3 ) = z 4 iar f c (z 4 ) = z 3. Rezultă imediat că ele sunt soluţii pentru ecuaţia (f c f c )(z) = z, care are forma z 4 + 2cz 2 z + c 2 + c = 0. (2) Ecuţia polinomială (2) are exact patru rădăcini în C, şi anume punctele z 3 şi z 4 ale orbitei căutate şi cele două puncte fixe z 1 şi z 2 ale lui f c determinate mai înainte. Deci rădăcinile ecuaţiei (1) sunt şi rădăcini pentru (2), rezultă de aici o relaţie de divizibilitate între polinoame care se verifică printr-o simplă împărţire: z 4 + 2cz 2 z + c 2 + c = (z 2 z + c)(z 2 + z + c + 1). Obţinem că z 3 şi z 4 sunt radăcinile ecuaţiei z 2 + z + c + 1 = 0. (3) Să calculăm acum valoarea derivatei (f c f c ) în punctele z 3 şi z 4. Avem (f c f c ) (z 3 ) = f c(f c (z 3 ))f c(z 3 ) = f c(z 4 )f c(z 3 ) = 4z 3 z 4.
7 Din ecuaţia (3) rezultă că z 3 z 4 = c + 1. Deci (f c f c ) (z 3 ) = (f c f c ) (z 4 ) = 4(c + 1), şi, prin urmare, orbita z 3, z 4 este atractoare dacă şi numai dacă c + 1 < 1/4, adică c C 1. Caracterizări asemănătoare relative la existenţa orbitelor periodice au loc şi pentru ceilalţi bulbi. Mărind la scară regiunile aflate în preajma frontierei, se observă că aceasta este compusă, pe lângă componentele deja enumerate, şi din numeroase filamente în care se află prinse copii mai mici ale mulţimii M. 7 Figura 5. Filamente Imagini foarte frumoase se obţin în regiuni care conţin puncte de frontieră, vezi de exemplu Figura 4 în care este redată vecinătatea punctului c 0 = i. 3. Cazul real. In cele ce urmează vom analiza intersecţia mulţimii lui Mandelbrot cu axa reală, adică mulţimea valorilor lui c R pentru care şirul x n+1 = x 2 n + c, pentru n 1, (4) x 0 = 0, este mărginit. Vom justifica egalitatea M R = [ 2.0, 0.25], utilizând pentru ilustrarea comportamentului şirului (x n ) următoarea clasă C # :
8 8 public class MandelbrotReal : ComplexForm double f(double x, double c) return x * x + c; public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-2, 2, -2, 2); ScreenColor = Color.White; setaxis(); setline(xmin, Xmin, Xmax, Xmax, PenColor); double c = ; // GRAFICUL y=f(x,c) double x, y, xv, yv; xv = getx(imin); yv = f(xv, c); for (int k = imin; k < imax; k++) x = getx(k); y = f(x, c); setline(xv, yv, x, y, PenColor); xv = x; yv = y; // SIRUL x_n xv = 0; double xp = f(xv, c); int kol = 500; for (int k = 0; k < ; k++) Color col = getcolor(kol + k); setline(xv, xp, xp, xp, col); xv = xp; xp = f(xv, c); setline(xv, xv, xv, xp, col); if (!resetscreen() xp < -2 xp > 2) break;
9 1. Cazul c > Parabola y = x 2 + c nu intersectează prima bisectoare, şirul (x n ) este monoton crescător şi nemărgit, c M. 9 Figura 6. c= Cazul c = 0.25 Ecuaţia x = f c (x) are radacina dublă x = 0.5, şirul (x n ) tine la x, deci este mărginit. Figura 7. c=0.25
10 3. Cazul 0.75 < c < Funcţia f c are două puncte fixe reale, x 1 = ( c)/2 şi x 2 = (1 1 4c)/2, dintre care x 1 este repulsor iar x 2 este atractor. Sirul (x n ) converge la x 2 în mod oscilant. 10 Figura 8. c= Cazul c = 0.75 Atractorul x 2 devine punct fix neutru, x n x 2. Figura 9. c=-0.75
11 5. Cazul 1.25 < c < 0.75 Punctul fix x 2 este repulsor, apare o orbită periodică de perioadă doi de tip atractor. 11 Figura 10. c= Cazul c = Orbita de ordin doi devine neutră, pentru c < 1.25 apare o orbită atractoare periodică cu perioada patru. Figura 11. c=-1.25
![7. Cazul 2 < c < 1.25. Sirul (x n ) rămâne în intervalul [ 2.0, 2.0] având în general un comportament oscilant neregulat, haotic.](/docs-images/100/145842458/images/12-1.jpg "Apar un şir de ferestre de stabilitate, formate din valorile lui c pentru care x n tinde catre un ciclu limită periodic. 12 Figura 12. c=-1.")
12 7. Cazul 2 < c < Sirul (x n ) rămâne în intervalul [ 2.0, 2.0] având în general un comportament oscilant neregulat, haotic. Apar un şir de ferestre de stabilitate, formate din valorile lui c pentru care x n tinde catre un ciclu limită periodic. 12 Figura 12. c=-1.29 Figura 13. c=
13 13 Figura 14. c= Figura 15. c= -1.98
14 8. Cazul c = 2. Avem z 0 = 0, z 1 = 2, z 2 = 2, z 3 = 2,.... Sirul (x n ) este constant egal cu 2 pentru n 2, deci c = 2 M. 14 Figura 16. c= Cazul c < 2. Avem x 0 = 0, x 1 = c < 2, x 2 > 2,..., x n +, deci c M. 4. Diagrama Feigenbaum. Analiza comportării şirului x n = fc n (0) în funcţie de parametrul real c efectuată în paragraful precedent poate fi sintetizată în aşa numita diagramă Feigenbaum, o reprezentare grafică în care pe verticală sunt puse valorile lui c iar pe orizontală punctele limită ale şirului (x n ) corespunzător. Metoda practică este următoarea: în dreptul fiecărui c [ 2.0, 2.0] reprezentăm (pe orizontală) toţi termenii x n din domeniul n 10000, 10001,..., 11000, de exemplu. Valorile lor aproximează suficient de bine punctele limită ale şirului. public class Feigenbaum : ComplexForm double f(double x, double c) return x * x + c; public override void makeimage() setxminxmaxyminymax(-2, 2, -2.1, 1.1); ScreenColor = Color.White; setaxis();
15 15 for (int jj = jmax; jj >= jmin; jj--) double c = gety(jj); double x = 0; for (int k = 0; k < 11000; k++) x = f(x, c); if (k < 10000) continue; setpixel(geti(x), jj, PenColor); if (!resetscreen()) break; for (double y = -2; y <= 2; y += 0.25) setline(xmax - 0.5, y, Xmax, y, Color.Green); for (double y = -2; y <= 2; y += 1) setline(xmax - 0.5, y, Xmax, y, Color.Red); resetscreen(); Figura 17. Diagrama Feigenbaum
Cursul 13 Mulţimi Julia Fie f : C C o funcţie complexă şi fie f n = f f f iterata de ordin n a lui f. Peste tot în continuare vom presupune că f este
Cursul 13 Mulţimi Julia Fie f : C C o funcţie complexă şi fie f n = f f f iterata de ordin n a lui f. Peste tot în continuare vom presupune că f este dezvoltabilă în serie de puteri în tot planul (cum
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,
-
Laborator 3. Temă 1. Desenaţi şi coloraţi un pentagon regulat în vârfurile căruia se construiesc spre exterior triunghiuri echilaterale ca în figura următoare: 2. Desenul următor este trasat de metoda
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Microsoft Word - 03 Dominica MOISE.doc
CONFERINȚA NAȚIONALĂ DE INSTRUMENTAȚIE VIRTUALĂ, EDIȚIA A V-A, BUCURE TI, 20 MAI 2008 13 Pachet de programe care ilustrează capitole din matematică, fizică şi studiul fractalilor Luminița Dominica MOISE,
Microsoft Word - 2 Filtre neliniare.doc
20 Capitolul 2 - Filtre neliniare 21 CAPITOLUL 2 FILTRE NELINIARE 2-1. PRELIMINARII Răspunsul la impuls determină capacitatea filtrului de a elimina zgomotul de impulsuri. Un filtru cu răspunsul la impuls
CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),
![CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),](/thumbs/101/150500936.jpg "CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),")
CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL
Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fi
Lucrarea 7 Filtrarea imaginilor BREVIAR TEORETIC Filtrarea imaginilor se înscrie în clasa operaţiilor de îmbunătăţire, principalul scop al acesteia fiind eliminarea zgomotului suprapus unei imagini. Filtrarea
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014
Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de
Microsoft Word - a5+s1-5.doc
Unitatea şcolară: Şcoala cu cls. I-VIII Sf. Vineri Profesor: Gh. CRACIUN Disciplina: Matematică Clasa a V-a / 4 ore pe săpt./ Anul şcolar 007-008 PROIECTAREA DIDACTICĂ ANUALĂ Număr săptămâni: 35 Număr
BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Noțiuni matematice de bază
Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
CLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru
ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină
RecMat dvi
Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,
Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia
TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Examenul de bacalaureat 2012
CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,
Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:
E_d_Informatica_sp_MI_2015_bar_02_LRO
Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. d) Informatică Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializările: matematică-informatică matematică-informatică intensiv informatică Toate subiectele
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Curs 3 Permutari cu repetitie. Combinari. Algoritmi de ordonare si generare
Curs 3 Permutări cu repetiţie. Combinări. Algoritmi de ordonare şi generare Octombrie 2015 Cuprins Algoritmi de ordonare şi generare pentru permutări cu repetiţie Reprezentarea binară a submulţimilor Algoritmi
Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc
Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Examenul de bacalaureat 2012
PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,
Examenul de bacalaureat 2012
INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Microsoft Word - TIC5
CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie
FIŞA DISCIPLINEI
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul
PROGRAMARE ORIENTATA PE OBIECTE
Curs 2 Principiile Programării Orientate pe Obiecte Programare Orientată pe Obiecte Tehnici de programare Programarea procedurală Modul în care este abordată programarea, din punct de vedere al descompunerii
Matematica VI
There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
INDICATORI AI REPARTIŢIEI DE FRECVENŢĂ
Indicatori ai formei distribuţiei Atunci când valorile unei serii sunt distribuite nesimetric în jurul mediei, acest fapt este imposibil de surprins cu ajutorul indicatorilor de dispersie. S-au introdus
Autoevaluare curs MN.doc
Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
MergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VI-a Matematică Proiect didactic realizat de Nicoleta Popa, profesor Digitaliada, revizuit de Ioan Popa, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),
Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Clustere şi impurităţi în sisteme complexe
C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Şcoala ………
Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul
Microsoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Microsoft Word - Concursul SFERA.doc
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care
Laborator 4: Continuare Programare Orientată pe Obiecte Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 29 octombrie 2011
Laborator 4: Continuare Programare Orientată pe Obiecte Întocmit de: Adina Neculai Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu 29 octombrie 2011 I. NOŢIUNI TEORETICE A. Suprascrierea metodelor O clasă derivată
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Modelarea si Simularea Sistemelor de Calcul
Modelarea şi Simularea Sistemelor de Calcul Generarea de numere aleatoare ( lab. 5) Numim variabilă aleatoare acea funcţie X : (Ω, δ, P) R, care în cazul mai multor experimente efectuate în condiţii identice
SUBPROGRAME
SUBPROGRAME Un subprogram este un ansamblu ce poate conţine tipuri de date, variabile şi instrucţiuni destinate unei anumite prelucrări (calcule, citiri, scrieri). Subprogramul poate fi executat doar dacă
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş
Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A 1,...,
Teoria Grafurilor şi Combinatorică recapitulare Principii de numărare Reţineţi că: P (n, r) este numărul de şiruri (sau r-permutări) de forma A,..., A r unde A,..., A r sunt elemente distincte dintr-o
Procesarea Imaginilor Laborator 3: Histograma nivelurilor de intensitate 1 3. Histograma nivelurilor de intensitate 3.1. Introducere În această lucrar
Procesarea Imaginilor Laborator 3: Histograma nivelurilor de intensitate 1 3. Histograma nivelurilor de intensitate 3.1. Introducere În această lucrare se vor prezenta conceptul de histogramă a nivelurilor
Microsoft PowerPoint - Curs_SDA_9_RO_2019_v2.pptx
SDA (PC2) Curs 9 Liste / Grafuri / Arbori Iulian Năstac Lista dublu înlănțuită Recapitulare Într-o astfel de listă fiecare nod conţine doi pointeri: unul spre nodul următor şi unul spre nodul precedent.
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Examenul de bacalaureat 2012
2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind
Microsoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR
Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul
DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03 B DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea
Grafuri - Concepte de baza. Tipuri de grafuri. Modalitati de reprezentare
Concepte de bază. Tipuri de grafuri. Modalităţi de reprezentare Mircea Marin Departamentul of Informatică Universitatea de Vest din Timişoara mircea.marin@e-uvt.ro 9 noiembrie 2018 Introducere Ce este
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu
Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție
matematica
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În
SEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric
.. SEMNLE NLOGIE 1.. Reprezentări ale emnalelor prin diferite forme ale eriei Fourier Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier trigonometrică utilizează pentru SFG (eria Fourier generalizată) itemul
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a
Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA
L7
Lucrarea de laborator nr. 7 POINTERI 1. Conţinutul lucrării În lucrare se prezintă tipul pointer, operaţiile permise asupra pointerilor, modul de alocare şi eliberare dinamică a memoriei. 2. Consideraţii
OLM_2009_barem.pdf
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x.
1. Găsiți k numerele cele mai apropiate într-un şir nesortat Dându-se un şir nesortat și două numere x și k, găsiți k cele mai apropiate valori de x. Date de intrare: arr [] = {10, 2, 14, 4, 7, 6}, x =
MD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Microsoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc
C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009
Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA
I
METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR 1
OPERATII DE PRELUCRAREA IMAGINILOR Prelucrarea imaginilor 2 Tipuri de operatii de prelucrare Clasificare dupa numarul de pixeli din imaginea initiala folositi pentru calculul valorii unui pixel din imaginea
PowerPoint Presentation
ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE
METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea
02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Generarea semnalelor standard 1 Scopul lucrării Familiarizarea cu modul de generare şi reprezentare în mediul Matlab a semnalelor de test, considerate
Generarea semnalelor standard Scopul lucrării Familiarizarea cu modul de generare şi reprezentare în mediul Matlab a semnalelor de test, considerate standard în ingineria sistemelor automate. Însuşirea
Laborator 3
Laborator 3 Programare III săptămâna 8-12.10.2018 OBIECTIVE: - Folosirea modificatorilor unei clase (public, abstract, final) - Folosirea modificatorilor de acces în declaraţiile membrilor unei clase Noţiuni:
Elemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate
Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Microsoft Word - Cap09_AutoorganizareSiEmergentaInSistemeleAdaptiveComplexe_grile.doc
Grile 1. Care este proprietatea universală în sistemele vii, organizaţii şi sisteme economice şi sociale, cărora le conferă calitatea de a manifesta caracteristici şi comportamente cu totul noi, care nu