Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc

Transcriere

1 ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F (F (+c, I, c R f ( d { F : I R F primitiv fucńii f }- itgrl dfiită fucńii f O fucńi cotiuă p u itrvl dmit primitiv p cl itrvl Drivt oricări fucńii drivil p u itrvl I r propritt lui Drou p I Dc f:i R dmit primitiv p itrvlul I, tuci f r propritt lui Drou p I Fi f:i R Dcă imgi fucńii p u suitrvl J I u st itrvl, tuci f u dmit primitiv p I O fucńi cu puct d discotiuitt d spń I u dmit primitiv dorc u r propritt lui Drou Formul d itgrr pri părńi Fi f,g:i R fucńii drivil cu drivtl cotiu Auci fucńiil f g si f g dmit primitiv şi f ( g ( d f ( g( f ( g( d Torm d schimr d vriilă: Fi I,J R itrvl, ϕ : I J si f : J R fucńii cu proprităńil: ϕ st drivilă p I f dmit primitiv F p J Atuci fucti ( f ϕ ) ϕ dmit primitiv Fo ϕ p I Dc ϕ st o fucti drivil p u itrvl, tuci: + ϕ ) ϕ ( ϕ ( d + C + ϕ ( ) d lϕ( +C, ϕ ϕ( ϕ ( ϕ ( ) ϕ ( d +C, >, l ϕ ( ϕ( 4) d l + C, ϕ ±, ϕ ( ϕ( + 5) ϕ ( ) ϕ( d rctg +C, ϕ ( + ϕ ( 6) d l( ϕ( + ϕ ( ) 7) + ϕ ( + ϕ ( ϕ ( d lϕ( + ϕ ( +C, +C, ϕ >

2 ϕ ( ) ϕ( 8) d rcsi +C, >, < ϕ < ϕ ( 9) siϕ( ϕ ( d cosϕ( +C ) cosϕ ( ϕ ( d siϕ( +C ϕ ( π ) d tgϕ( +C, ϕ ( (k + ), k Z, I cos ϕ( ϕ ( ) d ctgϕ( +C, ϕ ( kπ, k Z, I si ϕ( π ) tgϕ( ϕ ( d l cosϕ( +C, ϕ ( (k + ), k Z, I 4) ctgϕ ( ϕ ( d l siϕ( +C, ϕ ( kπ, k Z, I D : O fucńi rńiolă f, dfiit p u itrvl I, st d form ( [ X ] P, Q R ( (, D : O fucńi rńiolă s umşt fucńi rńiolă simplă dcă r u di forml: f ( P(, P R X ) [ ] ) ) A f (, A, R, N ( ) A + B f (, A, B,, R, 4 <, N ( + + ) * * P f I, Q (, ud Q Oric fucńi rńiolă s pot dscompu, î mod uic, î sum d fucńii rńiol simpl D 4 : Fi F : I R o primitiv fuctii cotiu f : I R S umst itgrl dfiită fucńii f d l l, umărul rl ott şi dfiit pri rlti f ( d F( ) F( ) (formul Liiz-Nwto) ( f ( g ( ) d f ( d g ( d R λ + µ λ + µ, λ, µ ( ) c I, f ( d f ( d f ( c + ( ) c (,) i f ( d f ( c) ( ) Dc f Dc f p g p [,], tuci f ( c d d [,], tuci f ( d g( d [ ] Dc m, M R sut stfl îcât m f M,,, tuci m f d M

3 f ( d f ( d f R + D 5 : Fi, R, < şi fucńi cotiuă pozitivă :[, ] Multim Γ (, ) /, { } f y R y f s umşt sugrficul fucńii f D 9 : FucŃi f :[, ] R s umşt cotiuă p porńiui dcă r cl mult u umăr fiit, ul, d puct d discotiuitt şi cst sut puct d discotiuitt d spń îtâi,g :, f g,, şi g st cotiuă Atuci f st itgrilă p -Fi f [ ] R stfl îcât [,] şi ( d g( f d i -O fucńi f :[, ] R cotiuă p porńiui st itgrilă p [,] şi ( d f i ( [ ] fi : ci, ci R, i, p sut fucńiil socit lui f -Fi f,g : I R drivil cu drivt cotiu Dcă, I, tuci: ( g ( d f ( g( f ( g( f d p c f d, ud i ci -Dcă ϕ : I I st drivil, cu drivt cotiuă şi f : I R st cotiuă, dcă, I, tuci ϕ ( ( ) ϕ ( d f ( t) f ϕ dt ϕ ( ) -Fi f, g :[, ] R cotiu i g( f (, ( ) [,] { } Γ f, g, y /, g y f Dcă R, tuci ri ( f,g ) f ( g( Γ d { } -Fi f :[, ] R cotiuă MulŃim V (, y, z) / y + z f ( î jurul i O dtrmit d fucńi f Volumul cstui corp st f ( -Fi f :[, ] R s umşt corpul d rotńi V π d R o fucńi drivilă cu drivt cotiuă Lugim grficului fucńii st ( f ) + ( f ( ) l d {, y, z / y z f, } -Fi f :[, ] R + cotiuă φ R + s umst suprfń d rotńi dtrmită d fucńi f Ari csti suprfń st ( f ) π f ( + ( f ( ) Α d

4 Prolm rzolvt S cosidră fucńi f :, f ( +, R R +, > ) Să s rt că fucńi f dmit primitiv p R ) Să s clculz f d c) Să s dtrmi volumul corpului ońiut pri rotńi î jurul i O grficului fucńii g :[;] R, g ( f ( R ) O fucńi dmit primitiv dcă st cotiuă p domiul d dfiińi Prolm cotiuităńii s pu î puctul Clculăm limitl ltrl: ( ) + +, f ( ( ) lim f lim < < lim lim + + şi f () Acst sut > > gl şi tuci fucńi st cotiuă p R, dci dmit primitiv p R ) ( ) 4 itpri 4 părńi f d + d d + d + d d + d c) Formul ptru clculul volumului st: π f Vol C f d Avm π π π π ( g ) Vol C g d + d + + d d + d + d π + d + π π π π 6 6 S cosidră fucńiil f,f:r R dt pri f( şi F(( ) ) Să s vrific că fucńi F st o primitivă fucńii f ) Să s clculz ri suprfńi pl dtrmit d grficul fucńii f, O şi drptl şi c) Să s dmostrz că f t f t f t + dt ptru oric > f t R ) ( ) ( ) ( ) F ) f Ari f d F Γ F F ( ) f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t c) f ( t) f ( t) f ( t) f ( t) f + + ud, 4

5 f t f t f t f t f t f f dt dt f t f t f t f f + S cosidră fucńi f :R R, f ( ( + ) ( + ), +, > ) Să s rt că fucńi f dmit primitiv p R ) Să s clculz volumul corpului ońiut pri rotńi î jurul i O, grficului fucńii g:[,] R, g(f(, [,] c) Să s clculz f d R ) Dtrmiăm cotiuitt fucńii î puctul ( + ) ; lim f ( f ( lim f lim > > < cotiuă p R, dci dmit primitiv p R > ) Volumul s clculză după formul: π lim f lim ; < < lim fucńi st cotiuă î şi st Vol C f d f Vol ( Cg ) π ( + d π ( ) d π π π π π f c) d d ( ) d ( ) d d S cosidră fucńi g :R R, g((+) ) Să s clculz g d ) Să s dtrmi umărul rl > stfl îcât g d 9 c) Să s clculz ( + ) R ) g d 6 g d ( + ) d ( ) ( ) d + d 5

6 ) g( + şi g d + d d d d d + OŃim 6 : g( c) ( ) g ( d g ( g ( d g ( ( ) 5 S cosidră fucńi : f :R R, f(+ - ) Să s clculz ri suprfńi pl cupris îtr grficul fucńii f, O şi drptl d cuńii şi ) Folosid fptul că + ptru oric R, să s dmostrz că d c) Să s dtrmi volumul corpului ońiut pri rotńi, î jurul i O, grficului fucńii g :[,] R, g(f (+ f ( R ) ( f ) ) Di Ari Γ f d + d + + ońim d d ( ) şi itgrăm iglitt p itrvlul [,] c) g ( f ( + f ( şi volumul st dt d: π V π + d π + + d π π π 6 S cosidră fucńi f :R R, f ( + + ) Să s rt că oric primitivă fucńii f st crscător p R ) Să s clculz f c) Să s dmostrz că d f l d + V f d R ) O primitivă fucńii f st F :R R, stfl îcât F ( f ( şi f ( + + > c sumă d fucńii pozitiv F ( > Dcă drivt st pozitivă tuci fucńi st crscător, dică F st fucńi crscător R 6

7 ) c) f ( d ( ) d ( d ( ) it pri părti d d d + C + C l f ( l l + + l l d d + + d Clcuăm primitivl sprt: schimr d vr iilă (*) l l d l d l ( l d + C l l d l ( l d + C d l C + ; l l l l l l * + + l + + l l S cosidră fucńi f :[,+ ) R, f ( ) Să s clculz f d ( + l ) Să s rt că oric primitivă fucńii f st crscător p [,+ ) c) Să s dtrmi umărul rl (, ) stfl îcât ri suprfńi pl dtrmit d grficul fucńii f, O, drptl d cuńii şi să fi glă cu l l l l R ) f ( d f ( ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ) Fi F :[,+4) R primitivă fucńii f, tuci F (f(, [,+4) Di [,+4) >, l şi tuci f( Dcă drivt ui fucńii F (f( tuci fucti F st crscător p [,+4) c) ( + l Ari Γ f f d d d d l ( + l + l + l + l ( ) l + l l + l l + l + l l l + l l + l Di Ari ( Γ f ) l ońim: l l (, ) + l + 8 S cosidră fucńiil f,g:(,+ ) R dt pri f( şi g ( ) Să s clculz primitivl fucńii f +g ) Să s rt că 4 + ( f + g ) d 7

8 c) Folosid vtul fptul că +, ptru oric,r, să s dmostrz că 4 + d 4 f + g d + d d + d + l + C R ) f g d d ) c) f(, g(r, folosid rlńi g( f (+g ( Itgrăm iglitt p itrvlul [,] şi ońim: 4 4 f ( g ( d f ( + g ( d f g d S cosidră itgrll I + d ptru oric N * + ) Să s clculz I ) Folosid, vtul, fptul că, ptru oric [,], să s dmostrz că I I c) Să s dmostrz că I+ + I l + + ptru oric N * + R ) Ptru s ońi: I d d + ) I + d Di, [,] s ońi d d I I itrvlul [,] şi s ońi c) + +, [,]; itgrăm p + + ( ) I+ + I d + d + d d d l + + l l + l d ( ) + ) Să s vrific că fucńi g st o primitivă fucńii f S cosidră fucńiil f, g: R R, f ( şi g ( ) Să s clculz f g d c) Să s dmostrz că f g d f g d 8

9 R ) g ( ( ) o primitivă lui f 4 + ) f ( g ( ( ) ( ) + şi + f (, dică g st f ( g ( d ( ) d c) f ( + + f ( ( ) + ( ) + ( g( g ( ( ) ( ) + şi tuci f ( g( ( + )( ) f ( g ( ( )( + ) f d ( g( f ( g ( f ( g( d f ( g ( S cosidră fucńi f :(,+ ) R, ) Să s clculz ) Să s vrific că l f d f d l f + c) Să s rt că şirul cr r trmul grl cu rńi R +, st o progrsi ritmtică I f d l l l f d + d d l l f d + d l d d l l d ) l l + + c) Dcă difrń doi trmi coscutivi st costtă tuci st progrsi ritmtică l l l l I I + ( f ( d ( f ( d d d l + l + l + l şi tuci r + 9

10 S cosidră fucńiil f m :[,] R dfiit pri f m (m +(m m+) +, ud mr ) Să s clculz f ( d d ) Să s clculz f c) Să s dtrmi mr * stfl îcât R ) ) fm d f d + + d C it pri prti f ( d ( + ) d ( + ) ( ) d ( + ) d + ( ) c) m f d m + m m + + d m + m m + + m m m m + m m + + m m şi 6 6 5m m m m m m m 5m m, m Di 6 5 mr * m 5 Ptru ficr N s cosidră itgrll R ) ) Să s vrific că I ) Să s clculz I I l d c) Folosid, vtul, fptul că l,,, să s dmostrz că, N, + ptru oric N l l l l I d d ) l l l l 4 I d l d l l d + [, ] l c) Di l,, pri ridicr l putr N l : şi itgrăm iglitt p, + l l d d d l l l l l l ( l l ) ( ) + + +

11 4 S cosidră fucńi f :[ 4,4] R, f ( 6 ) Să s clculz f ) Să s vrific că 4 d 5 d f 5 ( c) Să s dmostrz că f m d 8, oricr r fi m[,] R ) f ( d ( 6 ) d ) , su 5 d d d f dtrmiăm pritt fucńii g : 5, 5 g ( g d f 5 ( ( g R, 6 :, fucńi impră p itrvlul simtric 5, 5 c) Cosidrăm prsiil 4 + şi 4, ud [,m], cr sut pozitiv şi plicăm iglitt mdiilor: ( 4 + ( Itgrăm iglitt p m m m d d f d m m, dr m şi tuci itrvlul [,m], s ońi: d 8 4m 8 şi vm f m S cosidră fucńi f :[,] R dfiită pri f ( R ) ) Să s vrific că ( f d + + ) Să s dtrmi ri suprfńi pl cupris îtr grficul fucńii g:r R, g( f (, O şi drptl d cuńii şi c) Să s clculz + f d f ( + d + d d +

12 g şi + ) + ( + ) Ari ( Γ g ) + d + + d ( ) ( ) ( 8 ) ( ) it pri + părti c) + f d + + d + d + d ( + ) d ( ) d d ( + ) ( + + ) 6 6 S cosidră itgrll R ) ) c) ) Să s vrific că I l ) Să s clculz I c) Să s dmostrz că I I d, N I +, ptru oric N I d d l l l l l ( ) 8 I d d l l8 l l I+ I d d d d d + +, N ( ) d 7 S cosidră fucńi f :(,+ ) R dfiită pri f (l ) Să s clculz ( f + l ) d ) Să s dmostrz că oric primitivă F fucńii f st cocvă p itrvlul (,+ ) c) Să s clculz ri suprfńi pl cupris îtr grficul fucńii h:[,] R, h( f( +, O şi drptl şi

13 ( l ) R ) f + d l + + l d d 4 ) F primitivă fucńii f, tuci F ( f( şi F ( f ( şi f ( Tlul d sm: +4 F (f ( P (,+4), F ( F st cocvă p (,+4) c) h:[,] R, h( f(+ l + l şi it pri prti Ari Γ h d l d l d l d l l d h + f :, + R, f + l 8 S cosidră fucńi ) Ştiid că g : (, + ) R, g ( f ( l, să s vrific că g ( d g ( + C, > ) Să s clculz f d c) Să s dmostrz că + + f d R ) g ( f ( l + l l şi g ( ) d d + C g ( ) + C, > ) it pri părńi f d + l d d + l d + l d + + l d + l l d + + c) ( l ) l schim d vr iilă f d + d d + d ( ) l + l l l ( ) d l u du l u ( u) du u l u u du u l u u + C l + C it pri u părńi u, du ( ) d 9 S cosidră fucńi f :(,+ ) R, f ( ( + )

14 ) Să s clculz f ( + d ( + ) ) Să s rt că oric primitivă fucńii f st crscător p (,+ ) c) Să s vrific că f f d 8 R ) f ( d + + d d d ( ) ( ) ( ) l l l ) Fi F:(,+ ) R, F (f( primitivă fucńii f Atuci ( + ) f (, (, + ) F ( şi tuci fucńi F ( + ) ( + ) ( + ) st crscător p (,+ ) f ( f f c) f ( f ( d f ( f ( d ( + ) ( + ) S cosidră fucńiil f,f:r R dfiit pri f( şi F ( f t dt ) Să s rt că F( f (+, ptru oric R ) Să s dmostrz că fucńi h:r R, h(f( f ( st cocvă p R c) Să s clculz f d t t R ) F ( f ( t) dt dt + + f ( + ) h(f( f ( - f(+-f( f( şi h( - f (, ir h"( f "( f şi f Cum >, R, f (> h"(< şi h st cocvă p R c) f ( ) d d d ( ) S cosidră fucńi f : R R, f ( ) Să s clculz f d + 4

15 ) Să s clculz volumul corpului ońiut pri rotńi, î jurul i O, grficului fucńii g:[,] R, g ( c) Să s rt că oric primitivă F fucńii f st cocvă p (-4,] şi covă p [, +4) R ) ( ) f d + d l l l l l l l l l ) π π π π π Vol Cg g d d d l l 8 π 9 π 9 4π l l 9 l c) Fi F :R R, primitivă lui f p R, tuci F (f( şi F"(f (, f l l l şi tlul d sm ptru drivtă: F"(f ( P (-4,], F"( F st cocvă, ir p [,+4), F"( F st covă S cosidră fucńi f: [, +4) R, f ( ) Să s clculz f d + ) Să s rt că oric primitivă F fucńii f st covă p [,+4) c) Să s dtrmi > stfl îcât ri suprfńi pl mărgiit d grficul fucńii f O şi drptl d cuńii şi să fi glă cu l R ) f ( d + d d l l l l ) F st cocvă dcă F"( p [,+4) Clculăm drivt dou fucńii F: F ( f ( şi F "( f ( + + >, [, + ) şi tuci F " ( ) ( ) st cocvă p [,+4) c) Ari f ( d ( ) ( ) Γ f l + l l l şi Ari(Γ f )l ( ) ( ) l l ± 4c 4c 5 5,, + 5 5

16 Cum >, vlor crută st f l + şi F ( ) ( + l)l + ) Să s rt că fucńi F st o primitivă fucńii f S cosidră fucńiil f, F : [, +4) R, dt pri ) Să s clculz f d c) Să s dmostrz că f F d ( l ) R ) ( ) l ( l ) l F l + l + f ( ) ( ) + f d F + l + + l + + l ( + ) + ( ) c) + + ( + ( + l + ) ( l + ) F f F d F F d ( l ) 4 S cosidră itgrll I ) Să s clculz I ) Să s rt că I d, N + c) Să s rt că ( ) I ( I+ ) + +, ptru oric N R ) I d d ( ) it pri părti I d d d d ) + I d d d + + d + c) ( + ) + I + I I + I, ptru oric N S cosidră fucńi f: R R d form f( + m + + p ud m,,pr 6

17 ) Ptru m,, p, să s clculz f d ) Să s dtrmi m,,pr ştiid că f ( ) f () şi că f t dt + 4 c) Să s clculz lim f R ) Ptru m,, p, vm f( + şi 5 l l + π Am clcult primitiv: 7 d f ( d ( + ) d f + m + şi ) f m + m + m + f + m + + m + + m + 6 şi m 4 f d 4 + p 4 + p p 4 p 4 p c) 4 4 t t t f t dt t mt t p dt m + + pt + m + + p 4 4 şi 4 + m + + p lim f ( t) dt lim S cosidră fucńiil f, g : (,+ ) R dfiit pri f ( + l şi g ( l ) Să s rt că g st o primitivă fucńii f ) Să s clculz f ( g ( d c) Să s dtrmi ri suprfńi pl cupris îtr grficul fucńii g, O şi drptl d cuńii şi R ) g ( ( l l + ( l l + l + f ( g st o primitivă fucńii f u udu + C g ( ) f ( g ( d g ( g ( d ( g ( ) g ) ( l l ) c) Vol C f π f d π l l π + l l + 9 9

18 f ( d l d l l d l l d l l + + C l l + + C f ( l f ( l f ( l f ( g ( g ( g ( g ( 7 S cosidră fucńi f :R R, f ( 4 +9 ) Să s dtrmi f (d ) Să s rt că oric primitivă fucńii f st fucńi crscător p R c) Să s clculz f ( ) d R ) f ( d ( + 9 ) d + + C 5 l 9 ) Fi F :R R o primitivă fucńii f, tuci F( f( şi 4 >, 9 > f(>, tuci F st fucńi crscător p R 8 9 c) f d + 9 d d + 9 d + u du d l 9 l 9 l 9 8 S cosidră fucńi f:r R, f ( f d f d l f ( ) f d + d ( + + ) d C + ) Să s dtrmi ) Să s vrific că c) Să s rt că R ) ) ( + ) u du + + u f d d l d d ( ) l + l l l c) f f d f d f f f ( ) 9 S cosidră itgrll I d şi + ) Să s vrific că I + J J d + ) Utilizâd, vtul, iglitt +, dvărtă ptru oric R, să s rt că 8 + l 9 J 8

19 c) Să s dmostrz că I + d + R ) ( + ) + I + J d + d + d d d + ) Luâd + ( + ) : ( + ) [,] [,] + d d J J + c) Aplicăm mtod itgrării pri părńi ptru clculul itgrli dfiit I : I d ( ) d d + d ( + ) ( + ) + ( + ) d d Ptru oric umăr turl s cosidră ( + ) ) Să s clculz I ) Utilizâd fptul că I d + + +, ptru oric N şi [,], să s rt că I 9 I 8 + c) Folosid, vtul, idtitt ( ( ( să s rt că I + + ( + )( + ) R ) ( ) + + +, dvărtă ptru oric N şi R, + 5 I + d + d ) Di ( (, ( ( şi ptru 8 s ońi: ( ) ( ) Itgrăm p itrvlul [,] 8 9 ( + ) d ( + ) d I I I I plicm + + glitt u( + ( + ( + dt u ( c) ( ) ( ) ( ) I + d + + d ( + ) S cosidră fucńi f:r R, f ( ) Să s dtrmi f ( ) d 9

20 ) Să s rt că f ( ) d c) Să s clculz R) f ( ) d f d d d ) f ( ( ) ( şi f ( ) d f ( ) ( + ) ( + ) - ( + ) f 4 c) d d d ( ) d ( ) ( ) S cosidră fucńiil f,g:[,] R, f(, g( ) Să s dtrmi mulńim primitivlor fucńii f ) Să s dtrmi volumul corpului ońiut pri rotńi î jurul i O, grficului fucńii f c) Să s rt că ( + ) g ( d < R ) f ( d ( d + C ) Vol C f π f d π d π d d d π + + π π + c) ( )( 8 9 ) ( ) + g d d d < Ptru oric umăr turl ul s cosidră, I d + ) Să s clculz I ) Să s rt că I + I + +, oricr r fi N* c) Utilizâd, vtul, iglitt, dvărtă ptru oric [,] şi N *, să s + dmostrz că I9 R ) + I d d d l ( ) l l ) ( + ) + + I+ + I d + d d d d + +

21 c), [,] şi N * 9 9 9, [,] şi folosid mootoi itgrli dfiit ońim: d d d + I9 I9 I9 4 S cosidră fucńiil f, g:(,+ ) R, f ( +l şi g(+l+ ) Să s rt că f st o primitivă fucńii g ) Să s clculz f ( ) g ( ) d c) Să s dtrmi ri suprfńi pl cupris îtr grficul fucńii f, O şi drptl d cuńii şi R ) f st primitivă lui g dcă f ( g(, (,+ ) f + l + l + l + l + + l + g ) f f f f g d f f d + l l + c) Ari ( Γ f ) f ( d ( l ) l l + d d d + + d + l l d S cosidră fucńiil f,f:r R, f ( + + şi ) Să s rt că fucńi F st o primitivă fucńii f ) Să s clculz f ( ) F ( ) d c) Să s dmostrz că ( f ( + F ( ) d F R ) ( F ) ( ) f ( ) F + + ( ) F F F f F d F F d ( + + ) ( ) ( + ) c) ( ) ( ) ( ) f + F d F + F d F d ( ) F F F F

22