Tema 5
|
|
- Stancu Ioniță
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Tem 5 Etensini le integrlei Riemnn Modll 5. - Integrle definite, c prmetr. Integrle improprii. Integrle definite, c prmetr Stdil integrlelor definite c prmetr rel este intim legt de reprezentre integrlă fncţiilor rele de o riilă relă cre pre în descriere mtemtică mltor fenomene din: economie, fizică, tehnic etc. Fie [, ] R n interl mărginit şi A R o mlţime orecre, fncţi relă f : [, ] A R depinde de doă riile rele: [, ] şi A. Dcă f este ine definită în rport c pe [, ] şi integrilă Riemnn dpă, tnci eistă integrl definită: f (, cre depinde de prmetrl rel, A. Fncţi: ( R ( ( F : A ; F f,, A este dtă printr-o integrlă definită cre depinde de prmetrl rel, tnci când f stisfce condiţiile precizte. Vom stdi proprietăţile fncţiei F din (: eistenţ limitei pentr A R ( pnct de cmlre pentr A, continitte, deriilitte şi integrilitte. Dcă F n este simpl clclilă din (, om preciz în ce condiţii loc trnsferrile de proprietăţi de l f : [, ] A R l F dtă prin (. Definiţi 5. Fncţi f : [, ] A R tinde niform pe [, ] către fncţi g : [, ] R pentr c A' R, dcă şi nmi dcă em: ε >, δ( ε >.î. Ac < δ( ε şi A' R ( f (, g( <ε, [, ] nott: f [, ] g pentr s lim f (, g(, [, ]. Teorem 5. (Trnsfer de trecere l limită Fie f : [, ] A R fncţie contină pe [, ] pentr A. Dcă eistă limit g lim f, c A' R şi f tinde niform către g pe [, ] în, tnci ( ( em: F f f g ( 3 lim ( lim (, lim (, ( 3
2 ε Demonstrţie. Se plică ( c ( > şi în ipotezele teoremei, em: ε f g f g ε, (, ( (, ( < ( [ ] ( ( Ac <δ ε şi, lim F g. Teorem 5. (Trnsfer de continitte Fie f : D R R c D [, ] [c, d] o fncţie contină pe D, tnci F este contină pe [c, d]. Demonstrţi reine l doedi că [c, d] eistă lim F( F(. În ipotez f contină pe D compctă (închisă şi mărginită, rezltă f niform contină pe D şi conform definiţiei, em: ' '' <δ( ε ε >, δ( ε >.î. ( ', ', ( '', '' Dc ' '' <δ ( 4 ( ε ε f ( ', ' f ( '', '' <, ( >. În ipotezele din ennţ şi folosind (4, se oţine: ( ( (, (, F F f f (, (, (, (, f f f f < ε < ε pentr - <δ( ε eistă lim F( F(, [ c, d] F contină pe [ c, d]. Teorem 5.3 (Trnsfer de deriilitte Dcă f : [, ] [c, d] R este contină şi eistă f ' (derit prţilă li f în rport c fncţie contină pe D [, ] [c, d], tnci F este deriilă pe [c, d] şi em: ( 5 F' ( f '(,, [ c, d] Demonstrţie. F este deriilă pe [c, d], dcă pentr [c, d] F( F( eistă lim F' ( R. Derit prţilă li f în rport c în [c, d] este dtă prin: 4
3 f ( (, (, f f ', lim R integrilă în rport c pe [, ]. Folosind teorem 5., oţinem: F( F( (, (, lim lim f f şi cm f ' este contină pe D este şi fncţie f (, f (, f ( F ( [ c d] F lim ', ' R, este deriilă pe [c, d] şi re loc forml (5., Teorem 5.4 (Trnsfer de integrilitte Dcă f : [, ] [c, d] R este fncţie contină pe compctl D [, ] [c, d], tnci F este integrilă pe [c, d] şi em: ( 6 d d d F ( d f (, d f (, d c c c. Demonstrţi formlei (6 - în iliogrfie ([5], [], [4], [7]. Czl mi generl de fncţii definite prin integrle Riemnn cre depind de n prmetr este tnci când şi limitele de integrre, snt fncţii de cest prmetr. Fie, β : [c, d] [, ] contine, em: β( ( 7 G: [ c, d] R, G( f (, ( Teorem 5.5 (Forml de derire li Leiniz Fie f : [, ] [c, d] R şi, β : [c, d] [, ]. Dcă snt îndeplinite condiţiile: f contină pe D [, ] [c, d] eistă f ' contină pe D, 3, β C ( [c, d], tnci G este deriilă şi re loc forml li Leiniz: ( 8 G' ( f β( β' ( f ( '( + f '(,, [ c, d] β ( (. Demonstrţi în iliogrfie ([5], [], [4], [7]. Teorem 5.6 (Trnsfer de integrilitte Fie f : [, ] [c, d] R o fncţie contină şi, β : [c, d] [, ] contine pe [c,d], tnci G din (7 este integrilă pe [c, d] şi em: d d β( ( 9 G( d f (, d c c ( Demonstrţi în cpitoll Integrl dlă şi în iliogrfie ([5], [], [4], [7]. 5
4 Eemple. ( ( ( + R ( o F sin sin c F cos( cos cos cos 4 4 cos F(, R 4 + ( ( ( ( + o F,, F ln + ( + > ln ln ln, ( ( ( 3 o G c, schimre de riilă t t t+ t şi dt ( (, (, G t dt t t t t dt rcsin + t t t dt t t G t Integrle improprii şi prin Integrl Riemnn s- definit pe interle compcte din R şi orice fncţie integrilă în mod necesr este mărginită. O etensine integrlei Riemnn se oţine înlătrând n dintre ceste doă condiţii: interl de integrre compct (închis şi mărginit, fncţi de integrt mărginită. Vom defini n lt concept de integrlă considerând fncţii de integrt ritrre (dică mărginite s nemărginite în ecinătte ni pnct şi interle de integrt ritrre (mărginite, nemărginite s închise, neînchise. Sensl geometric l noli concept de integrlă este determint de clcll riilor nor mlţimi din pln mărginite de grficl nei fncţii, simptote orizontle, simptote erticle, drepte prlele c O şi O. Acest no concept de integrlă se nmi integrlă improprie s integrlă generliztă s integrlă pe interl necompct. 6
5 Să clclăm ri mlţimilor din pln mărginite de grficl nei fncţii contine, pozitiă şi o simptotă orizontlă, em czrile: f : [, R contină, f > şi simptotă orizontlă f : (, ] R contină, f > şi simptotă orizontlă A ( f ( şi cercetăm dcă eistă: lim A ( ( lim f R [ ] A(, M(, ( f ( A şi cercetăm dcă eistă: ( f ( lim A lim R. N(, B(, [ N(, ] M(, f : R R, f contină, f > şi simptotă orizontlă A (, f( şi cercetăm dcă eistă f ( A (. + lim lim, R + Fie f : I {c} R şi pnctl c I este pnct singlr l li f dcă eistă V V (c. î. f este nemărginită pe V I; în cest cz grficl li f dmite simptotă erticlă c. Vom consider interle necompcte din R de form: [, c c c +, (c, ] c c şi (, c, +. Să clclăm ri mlţimilor din pln mărginite de grficl nei fncţii contine, pozitiă, O şi o simptotă erticlă; em czrile: [ A(, ] M(, c f : [, c R, c pnct singlr şi drept c simptotă erticlă A (, f( şi cercetăm dcă eistă 7
6 ( [ [ N(, N(, ] M(, ] B(, ( ( lim A lim f R c c < c < < c f : (c, ] R, c pnct singlr şi drept c simptotă erticlă ( f ( A şi cercetăm dcă eistă lim Eemple. o f : [, R, f ( +, G f re simptot (, orizontlă şi ri de clclt: A ( rctg rctg + A lim A( lim rctg R o f : [, R, f ( re pnct singlr şi drept simptotă l grficl li f; ri de clclt: A( rcsin rcsin A lim A( lim rcsin R < ( lim A ( f R c c c > c > > c f : (, R,, pncte singlre şi dreptele şi simptote erticle A (, f( şi cercetăm dcă eistă ( ( lim A, lim f R <<< <<< M(, M(, 8
7 Oserţii t( ϕ ϕ c t ϕ: c,, şiϕ C c, se plică interll necompct şi mărginit [, c. Prin schimre de riilă ( t, ( t ( [ [ [ pe interll închis şi nemărginit [,.. Din cest moti om stdi n singr tip de integrlă improprie pentr f : [, R c interl de integrre nemărginit (tip I; czl f : [, c R c c pnct singlr (tip II se redce prin ϕ t l priml cz. ( 3. Dpă discţi precedentă şi eemplele rezolte se consttă cerinţ oligtorie pentr f de fi locl integrilă (integrilă pe orice compct din mlţime s de definiţie pe mlţime s de definiţie. 4. Dcă f : [, R este locl integrilă pentr > sociem li f integrl prţilă: not ( f ( F(, > cre este o integrlă Riemnn. L fel pentr f : (, ] R, em: ( ' G( f (, < şi czl f : R R, ( '' H (, f( pentr, R c <. Definiţi 5. ] Fie f : [, R locl integrilă şi >. Dcă eistă limit finită ( ( ( lim f limf I R prin definiţie, integrl improprie din f pe [,, nottă, f ( este conergentă s re sens în R şi lore ei este ( ( n eistă s este infinită integrl improprie f ( I f. Dcă limit este diergentă s n re sens. ] Fie f : (, ] locl integrilă şi < riil. Dcă eistă limit finită: ( 3 lim f ( limg( V I V R este prin definiţie, integrl improprie din f pe (, ], nottă f ( conergentă s re sens în R şi lore ei este 9
8 ( I f. Dcă limit (3 n eistă s este infinită integrl improprie f ( este diergentă s n re sens. 3] Fie f : R R locl integrilă şi, R riili c <. Dcă eistă limit finită ( 4 lim f ( lim H(, I3 R, + + este prin definiţie, integrl improprie din f pe R (,, nottă, f (. conergentă s re sens în R şi lore ei este f ( I3 Definiţi 5.3 o ] Fie f : [, c R c c pnct singlr, f locl integrilă şi riil c < < c. Dcă eistă limit finită: 5 lim lim R c c ( f ( F( J < c < c prin definiţie, integrl improprie din f pe [, c, nottă, f ( este conergentă s re sens în R şi lore ei este f ( J (5 n eistă s este infinită, integrl improprie f (. Dcă limit este diergentă s n re sens. o ] Fie f : [, c R c, pnct singlr, f locl integrilă şi riil c < < c. Dcă eistă limit finită: c 6 lim lim R ( f ( G( J > > prin definiţie, integrl inproprie din f pe (, c], nottă, f ( conergentă s re sens în R şi lore ei este f ( J n eistă s este infinită, integrl improprie f ( c este + c. Dcă limit (6 + c este diergentă s n + re sens. 3o ] Fie f : (, c R c, c pncte singlre, f locl integrilă şi, (, c riili c < < < c. Dcă eistă limit finită: 3
9 7 lim lim, R ( f ( H( J3 c c <<< c prin definiţie, integrl inproprie din f pe (, c, nottă, f ( conergentă s re sens în R şi lore ei este f ( J n eistă s este infinită, integrl improprie f ( re sens. Eemple. + este +. Dcă limit (7 + este diergentă s n o e ; e lim e lim ( e ' lim( e ( e e lim conergentă c lore e. + ( o e; e lim e lim e lim( e e e este diergentă. 3 o ln ; ln lim ln lim ( ln ( ( lim ln + lim ln ln + este diergentă. 4 o ; lim lim rctg lim rctg rctg rctg ( rctg ( + 5 o ; lim lim ( < lim +. este conergentă c 3
10 + + > 6 o ln ; ln lim ln lim ( ln [ ] + lim ln + ln este conergentă c ln. + 7 o ; lim lim lim > > este diergentă. 8 o c şi ; lim > > ln ; ln ln ; lim lim + ; ; lim[ ln ln ] ; ; lim F( ; << lim ; ; > ( este conergentă pentr > c lore şi diergentă pentr. ( λ c λ> lim c 9 o λ ( ( λ c < c ( ( c ( c ln ln ; λ ln ( c ; λ ( ; λ λ λ ( ( lim ln ( c ln ( c ; c λ lim F( c < c lim ; c λ λ λ λ ( ( lim lim c λ+ c ; λ < c λ λ 3
11 ; λ lim F( ; λ> c este conergentă pentr λ< λ < c ( ; λ< λ λ ( c lore λ λ λ şi este diergentă pentr λ. ( ( Oserţii.. Integrlele improprii s pe interl necompct c f : [, c R, c + snt de doă tipri: I pentr c, em f ( de tip I s integrlă pe interl nemărginit II pentr c R finit şi c pnct singlr l li f, em f ( de tip II s integrlă improprie din fncţie nemărginită (în c limit sperioră. t(. Prin schimre de riilă ϕ( t, ϕ ( t c ϕ C ([, c t interll [, c este plict pe [, şi l fel t ( c ϕ plică [, + c pe [, c. Se stdi nmi teori integrlelor improprii c interl nemărginit (de tip I. 3. Pentr ( I f conergentă prin schimre de riilă t se oţine f ( t dt I cre este de form f ( 4. Prin teorem de redcere: Teorem 5.7 (Teorem de redcere Fie f : R R o fncţie locl integrilă pe R. (i Dcă (. I f este conergentă, tnci pentr R snt conergente 3 I f I f şi re loc forml de redcere: 3 + integrlele: ( şi ( ( 8 f ( f ( + f ( ( I I I (ii Dcă eistă R.î. integrlele improprii ( I f şi 33
12 I f ( snt conergente tnci f ( I3 este conergentă şi re loc forml de redcere (8. Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6]. 5. Dintre integrlele improprii c interl nemărginit se or stdi nmi cele de nott f I. tipl ( 6. Integrlele improprii mite, c interll de integrre nemărginit şi integrndl re cel pţin n pnct singlr se or descompne în integrle improprii de tip I şi de tip II, izolând pnctl singlr. Eemple. c f : (, R, ( + ( + pnct singlr şi se consideră δ >, deci: f ( f ( de tip I definite prin: δ J re în δ de tip II şi + δ δ δ lim lim rctg + ( + ( > + ( lim rctg δ rctg rctg δ I lim lim rctg δ δ ( + δ ( + ( lim rctg rctg δ rctg δ + ( + J + I rctg δ + rctg δ. Definiţi 5.4 Fie f : [, R fncţie locl integrilă. ] Integrl improprie f ( este prin definiţie solt conergentă dcă şi nmi dcă, integrl improprie f ( este conergentă. 34
13 ] Integrl improprie f ( este prin definiţie simpl conergentă s semiconergentă, dcă şi nmi dcă, f ( solt conergentă ( f ( este diergentă. este conergentă şi n este Teorem 5.8 (Criteril generl l li Cch s teorem li Cch Fie f : [, R fncţie locl integrilă. Integrl improprie f ( este conergentă ε >, ( ε ( oricât de mre dorim.î. ', '' [, c ( 9 '' < ' < '' f ( ε ' Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6], [], [6]. Consecinţ 5. Fie f : [, R fncţie locl integrilă şi cre re limit l (+. Dcă f ( este conergentă, tnci (în mod necesr f ( lim. Demonstrţi este o consecinţă imedită teoremei li Cch (5.8. Consecinţ 5. Fie f : [, R fncţie locl integrilă. Dcă integrl improprie f ( este solt conergentă, tnci e este conergentă. Demonstrţie. Aplicând teorem li Cch şi folosind o propriette integrlei definite, em: ', '' > c ' < '', em '' '' f ( f ( '. ' Oserţii lim f l,. Dcă f : [, R fncţie locl integrilă şi eistă ( este diergentă (condiţie sficientă. tnci f (. În czl [, ] R interl compct re loc sitţi: f integrilă pe [, ] f integrilă pe [, ]. În czl [, R interl compct re loc sitţi: f ( conergentă ( f conergentă; reciproc n este în generl deărtă, conform definiţiei 5.4 o integrlă simpl conergentă n este şi solt conergentă. 35
14 Teorem 5.9 Dcă integrl f ( este conergentă, tnci pentr orice şir ( n [, crescător şi c lim ( n> n n n n + f ( este conergentă şi re loc eglitte: n n f f. n n n+ ( ( ( + < < seri nmerică Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6], [], [6]. Oserţii. Teorem 5.9 pne în eidenţă legătr dintre Teori integrlelor improprii şi Teori seriilor nmerice.. Din cest moti se pne în eidenţă o nlogie între criteriile de conergenţă pentr integrle improprii şi criteriile de conergenţă pentr serii nmerice. 3. Stdil integrlelor improprii cprinde doă proleme: I ntr integrlei improprii: fie conergentă, fie diergentă II lore nmerică nei integrle improprii conergentă. Modll 5. - Criterii de conergenţă pentr integrle improprii şi metode de clcl. Integrle improprii remrcile Criterii de conergenţă pentr integrle improprii Vom prezent criterii de conergenţă pentr integrle improprii c integrntl de semn constnt (poziti şi c integrntl de semn orecre pe interll de integrre. Fie f, şi f locl integrilă pe [, ; tnci f f şi conergenţ f coincide c conergenţ soltă. În cest cz pentr > riil, integrl prţilă F( f ( şi <, em: ( ( ( F f f ( + ( ( + ( ( f f F f F, deci F este fncţie monoton crescătore. Eistă lim F( F fncţie crescătore este mărginită sperior (mjortă pentr. Teorem 5. Fie f : [, R pozitiă şi locl integrilă. Integrl improprie f ( este conergentă dcă şi nmi dcă, integrl prţilă F( este mărginită sperior pe [, pentr. Demonstrţie. f ( conergentă lim F ( I R F monoton crescătore pe [, este mărginită sperior. def 36
15 Teorem 5. (Criteril de comprţie c ineglităţi Fie f, g: [, R pozitie şi locl integrile. Dcă em ( : f ( g(,, tnci loc firmţiile: g ( conergentă f ( conergentă; f ( diergentă g ( diergentă. Demonstrţie. Din f ( g(, F( f G(, > g. Dcă g ( conergentă G( mărginită sperior pentr şi F( G(, > F( mărginită sperior pentr def T. f ( conergentă. f ( diergentă lim F (, F( crescătore şi pozitiă F( nemărginită sperior şi cm F( G(, > G( nemărginită sperior pentr, G( crescătore şi pozitiă lim G ( def g ( diergentă. Teorem 5. (Criteril de comprţie c limită Fie f, g: [, R pozitie şi locl integrile. Dcă eistă limit ( f( lim ll, [, g ( ] tnci loc firmţiile: pentr l finit (l < şi g ( conergentă f ( conergentă; pentr l nenl (l > şi g ( diergentă f ( diergentă; 3 pentr < l < +, integrlele f ( şi g ( ceeşi ntră. Demonstrţie. Ipotez ( ( ε>, ε > şi ε >. î. > ε > ( l ε g( < f( ( l+ε g( şi folosind teorem se oţin firmţiile din ennţ ([5], [], [6]. Teorem 5.3 (Criteril în Fie f : [, R pozitiă şi locl integrilă. (i Dcă eistă >. î. (3 lim f( l < tnci: f ( conergentă; (ii Dcă eistă. î. (4 lim f( l > tnci: f ( diergentă. Demonstrţie. Se plică teorem 3 c g (, > şi conergentă pentr > şi diergentă pentr (eempll 8. 37
16 Teorem 5.4 (Criteril în λ Fie f : [, c R c c pnct singlr şi f pozitiă şi locl integrilă pe [, c. λ (i Dcă eistă λ < stfel încât (5 lim ( f( l < tnci: f ( este conergentă; c < c λ (ii Dcă eistă λ stfel încât (6 lim ( f( l > tnci: ( c f este > diergentă. c Demonstrţie. Se plică teorem 3 c g ( şi c ( λ conergentă pentr λ< şi diergentă pentr λ (eempll 9. c ( λ Teorem 5.5 (Criteril integrl l li Cch Fie f : [, R o fncţie descrescătore şi pozitiă, tnci integrl improprie f ( şi seri nmerică f ( n ceeşi ntră. n Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6], [], [6]. Teorem 5.6 (Criteril tip Ael - Dirichlet Fie f, g: [, R locl integrile. Dcă snt îndeplinite condiţiile: f este contină şi re o primitiă mărginită F pe [, ( M sp F( ; g C ([, şi g este monoton descrescătore c lim g ( tnci f ( g ( este conergentă. Demonstrţi în iliogrfie ([5], [6], [], [6]. Consecint 5.3 Fie f, g: [, R locl integrile. Dcă snt îndeplinite condiţiile: f este conergentă; g este monoton descrescătore şi lim g ( l R, tnci f ( g ( este conergentă. Consecinţ 5.4 Fie f, g: [, R locl integrile. Dcă snt îndeplinite condiţiile: f ( re integrlele prţile mărginite; g este monoton descrescătore şi lim g (, tnci f ( g ( este conergentă. 38
17 Eemple. sin, > em : F ( sin cos cos, > descrescătore c lim g ( sin sin, >, > conergentă, deorece F ( sin cos cos, şi g( ( lim g (. ( şi g (. ( este conergentă. > > descrescătore c. ceeşi ntră dpă criteril integrl l li Cch 3. şi n n(ln n( ln (teorem 6. Aem, dpă criteril de condensre l li Cch, n n n n n n ( ln ln n conergentă pentr > şi diergentă pentr şi snt conergente pentr > şi diergente pentr ( ln n n(ln (conergentă dp criteril în c (conergentă dp criteril în c ln + e conergentă > ( lim e, >. e e 7. diergentă; lim f( lim pentr λ 8. conergentă (eistă lim f( l şi λ ; eistă + ( + ( > lim( λ f( l şi λ. < 9. < λ conergentă (eistă ( + ( + > λ lim ( f( c λ. 3. diergentă (eistă lim λ f( c λ. > + lim + f( c λ ; eistă Metode de clcl pentr integrle improprii Vom reforml metodele de clcl pentr integrl Riemnn în czl integrlelor improprii. 39
18 Teorem 5.7 (Forml Leiniz - Newton. Fie f : [, R locl integrilă şi cre dmite o primitiă φ. Integrl f ( este conergentă, dcă şi nmi dcă, eistă în R limit: ( lim φ ( not φ R şi re loc forml Leiniz Newton: (7 f ( φ ( φ ( φ ( ( lim φ( φ(. Consecinţ 5.5 Fie f : [, R este fncţie contină, tnci pentr orice primitiă s φ, not f ( este conergentă eistă lim φ φ ( R şi re loc forml (7. Teorem 5.8 (Forml de integrre prin părţi Fie f, g : [, R c f, g C ([, şi stfel încât lim( fg( R ir gf ( '( este conergentă tnci şi ( '( f g este conergentă şi re loc forml de integrre prin părţi:. (8 f ( g '( lim f ( g ( f ( g ( f '( g ( Teorem 5.9 (Schimre de riilă într-o integrlă improprie Fie f : [, R o fncţie contină şi ϕ : [, β [, - < < β +, ϕ ijectiă şi ϕ C ([, β, tnci f ( este conergentă, dcă şi nmi dcă, β ( f ϕ ϕ ' dt este conergentă şi re loc forml schimării de riilă: β (9 f ( ( f ϕ( t ϕ'( tdt. Demonstrţiile de l teoremele pornesc de l plicre formlelor de clcl pentr F( f ( cre este integrlă Riemnn şi folosind ipotezele, rezltă formlele de clcl (7, (8 şi (9. Eempl. este conergentă ( lim( λ f( l c λ. Fie ( + 4 cos t ϕ( t c ϕ: [,, şi em: ( + 4 sintdt dt d,tg t t φ ( rctg, dt + 4cos t + ( + 4cos t sint c φ :, [, < şi em: ( + 4 dt 4cos + t 4
19 dt d rctg lim rctg rctg Integrle improprii remrcile sin I. Integrl Dirichlet:, c > fit şi considerăm: sin sin sin I, I +. Aem: I cos cos cos cos cos lim + cos cos şi cos cos + este solt conergentă ( c I sin este conergentă pentr >. Pentr I sin este conergentă, eistă limită + conergentă sin ;<< lim ; > şi în sin czl (, eistă limită lim. În conclzie sin > este conergentă pentr (, şi diergentă pentr, sin sin, I diergentă pentr ; >. + II. Integrlele li Fresnel: sin şi cos snt conergente, prin sstitţi sint t (t > se oţine: sin dt t şi cost cos dt conergente c t. p III. Integrlele li Eler. Fncţi et: β (, ( p p e + q p q şi fncţi gm Γ (. Aplicând criteril în λ (teorem 5 se rtă că β(p, q este conergentă pentr p> şi q>; plicând criteril în (teorem 4 se rtă că Γ(p este conergentă pentr p>. (Biliogrfie [5], [], [6]. Folosind metod integrării prin părţi (teorem II se dedc rmătorele proprietăţi le fncţiilor β(p, q şi Γ(p: ( β(p, q β(q, p; p >, q>; 4
20 ( β(p, q ( p! ( q!, pq, N ( p+ q! ( Γ(p + pγ(p, p ; Γ(n + n!, n N. Γ( p Γ( q 3. β ( pq,, p>, q> Γ ( p+ q < p < β ( p, p 4. β, şi sin < q < < p < 5. Γ( p Γ( p ; < p< ; Γ ( p sin ( p IV. Integrl Eler Poisson. Integrl Gss. (Integrl Eler Poisson t e t e dt, Γ c sstitţiile: ( dt t >, t,, lim e, >. t (Integrl Gss t e e + e e ( t c sstitţiile: e t e dt Γ, (Poisson dt t >, t,. t Oserţie. Fncţi f e ( * ( c ( + fi ţi R R, R se nmeşte în Teori proilităţilor densitte normlă. Folosind conenil integrl Poisson e se rtă că f ( şi cest se nmeşte integrl proilităţilor [7]. 4
Seminarul 1
Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să
DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,
Mai multCurs 8 Derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale 8.1 Derivata şi diferenţiala unei funcţii reale. Propriet¼aţi generale De niţia 8.1.1
Curs 8 Derivbilitte şi diferenţibilitte pentru funcţii rele 8.1 Derivt şi diferenţil unei funcţii rele. Propriet¼ţi generle De niţi 8.1.1 (i) Fie f A R! R şi 2 A 0 \ A Spunem c¼ f re derivt¼ în punctul
Mai multM1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de
Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele
Mai multSocietatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Olimpiada Naţională de Matematică Etapa Naţională, Braşov, 2 aprilie 2013
Societte de Ştiinţe Mtemtice din Români Ministerul Educţiei Nţionle Olimpid Nţionlă de Mtemtică Etp Nţionlă, Brşov, 2 prilie 213 Cls XII- Problem 1. Să se determine funcţiile continue f : R R cu propriette
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multCursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi
Cursul 6 Integrl în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problem existenţei unei primitive lui f, dică unei funcţii olomorfe F : D C stfel încât F = f. În czul funcţiilor rele,
Mai mult{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud
{ 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai multCalcul diferenţial şi integral (notiţe de curs) Şt. Balint E. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mariş Cuprins I Introducere
Clcul diferenţil şi integrl (notiţe de curs) Şt. Blint E. Kslik, L. Tǎnsie, A. Tomoiogă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. Mriş Cuprins I Introducere 6 1 Noţiunile: mulţime, element l unei mulţimi, prtenenţ l
Mai multModel de planificare calendaristică
Liceul Greco-Ctolic Timotei Cipriu Avizt. Director, Vicenţiu RUSU. Şef Ctedră, PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ANUL ŞCOLAR 04-05 Disciplin MATEMATICĂ, Filieră TEORETICĂ, progrm nr. 35/3.0.006 Cls XI-, profil
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai multPowerPoint Presentation
Metode Numerice de Integrre și Derivre Funcțiilor dte Numeric Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mil: Levente.Czumil@ethm.utcluj.ro WePge: http://users.utcluj.ro/~czumil Formul clsică trpezelor rezultă prin
Mai multMicrosoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc
ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F
Mai multMicrosoft Word - CP4-13.DOC
Capitoll 4 TRASFORMĂRI DE IMAGII 4. ITRODUCERE Termenl de transformări de imagini se referă la clasa matricilor nitare tilizate în reprezentarea imaginilor. La fel cm n semnal nidimensional poate fi reprezentat
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multLOGICAL DESIGN OF DIGITAL COMPUTERS
Strctra și Organizarea Calclatoarelor Titlar: BĂRBULESCU Lcian-Florentin Capitoll 6 STRUCTURA SIMPLIFICATĂ A UNUI PROCESOTR MIPS CONȚINUT Procesor MIPS c eecția pe n cicl Little-endian și Big-endian Registrele
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Oiective de referinţă Exemple de ctivităţi de învăţre L sfârşitul
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multUNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot
Mai multOBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE 1. Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul Obi
OBIECTIVE DE REFERINŢĂ ŞI EXEMPLE DE CTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢRE. Cunoştere şi înţelegere conceptelor, terminologiei şi procedurilor de clcul Obiective de referinţă L sfârşitul clsei VII- elevul v fi cpbil..să
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multLABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII. INTERPOLAREA FUNCŢIILOR 1. Vectori Şi valori proprii. Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice p¼atrati
LABORATOR 9 - VECTORI ŞI VALORI PROPRII INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Vectori Şi vlori rorii Metod rotţiilor lui Jcobi Fie A o mtrice ¼trtic¼ Un vector x R n se numeşte vector roriu în rort cu A dc¼ x 6= 0 şi
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multPowerPoint Presentation
Curs 9 Integrre Numerică Clculul Numeric l Integrlelor cu plicții în Ingineri Electrică Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL Lortorul de Cercetre în Metode Numerice Deprtmentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică
Mai multMicrosoft Word - fmnl06.doc
Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.
Mai multLimite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai mult112 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I / Realizări invariante la semnal treaptă (RIST) pentru sisteme fără timp mort For
Prof dr ig Tom L Drgomir, TEORA SSTEMELOR - 4/5 Relizări ivrie l eml repă RST per ieme fără imp mor Formlele foloie l dicreizre per RST e oţi pe z rcrii di Fig9 E coţie pre di cem di Fig86 oă î Fig87 c
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multSăptămâna 1 Partea I Nr. item Rezultate a) {1; 2; 3; 4; 5; 8} {2} {2; 3; 5; 6; 7} 55 [AE b) {2; 4} C {1; 3; 4; 5; 7} 55 AD c) {1; 3; 5} {2;
Săptămân ) {; ; ; 4; ; 8} {} {; ; ; 6; 7} [AE b) {; 4} C {; ; 4; ; 7} AD c) {; ; } {; } Cls VII- Mtemtică Răspunsuri {; 4} AF. ) A {0,,,, 4, }, B {, 4,, 6, 7}. b) A Ç B {, 4, }; A È B {0,,,, 4,, 6, 7};
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multElemente de aritmetica
Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al
Mai multSubiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mai 2019 CLASA a V-a Citește fiecare cerință și analizează cu
Suiectul I (20 puncte) CONCURSUL ȘCOLAR NAȚIONAL DE GEOGRAFIE,,TERRA ETAPA NAȚIONALĂ 18 mi 2019 CLASA V- Citește fiecre cerință și nlizeză cu tenție desenele su imginile de mi jos. Selecteză cerculețul
Mai multMatematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I
Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multMicrosoft Word - Articol_Cretu Ion [RO].docx
40 No solț ntegrale termoelastce pentr semspaț NOI SOLUȚII INTEGALE TEOELASTICE PENTU SEISPAȚIU Ion Creț, lector nv. Unverstatea Tehncă a oldove INTODUCEE Oțnerea solțlor ntegrale în termoelastctate de
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multFIŞA NR
Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 10 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dez
Seminar 1 Transformata Fourier Integrala Fourier Seriile Fourier sînt utile pentru dezvoltarea unor funcții periodice (sau convertibile în unele periodice). Însă dacă funcțiile sînt arbitrare, se folosește
Mai multcurs 9 v3 [Compatibility Mode]
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 03 Aa prioritară nr. Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice
Mai multCursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l
Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multGheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-
Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale
Mai multCursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o probl
Cursul 10 Fractali de tip Newton Vom prezenta în continuare o nouă modalitate de generare a fractalilor, modalitate care îşi are originea într-o problemă formulată în anul 1879 de Arthur Cayley (1821 1895)
Mai multCursul 13 Mulţimi Julia Fie f : C C o funcţie complexă şi fie f n = f f f iterata de ordin n a lui f. Peste tot în continuare vom presupune că f este
Cursul 13 Mulţimi Julia Fie f : C C o funcţie complexă şi fie f n = f f f iterata de ordin n a lui f. Peste tot în continuare vom presupune că f este dezvoltabilă în serie de puteri în tot planul (cum
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multCuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.
Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multPowerPoint-Präsentation
Unverstatea Translvana n Braşov Laboratorl e Veere Artcală Robstă ş Control Metoe Nmerce Crs 7 ntegrarea nmercă Ggel Măceșan Cprns ntrocere Metoa trapezl ș eroarea e trncere Metoa l Rcarson Metoa l Smpson
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multCursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de re
Cursul 12 Şiruri recurente în planul complex Vom studia, în continuare, comportarea în raport cu data iniţială a şirurilor definite prin relaţii de recurenţă de forma z n+1 = f(z n ), n = 0, 1, 2,...,
Mai multAnaliză de flux de date 29 octombrie 2012
Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,
Mai multCopyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la
Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,
Mai multMicrosoft Word - 3 Transformata z.doc
Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 3 SEMNALE ANALOGICE Obiectivele acestui curs: Distribuţii. Funcţii singulare Distribuţii utile în studiul semnalelor. Transf
EMNALE ANALOGICE Obiecivele ceui cur: Diribuţii Funcţii ingulre Diribuţii uile în udiul emnlelor Trnform Fourier Funcţi de denie pecrlă Proprieăţi le rnformelor Fourier direcă şi inveră 3 Diribuţii Funcţii
Mai multMOMENTUL REZISTENT INTAMPINAT DE CAPUL DE FORAJ, LA FORAREA ORIZONTALA CU BURGHIU INTR-UN PAMANT NECOEZIV
OENTUL REZISTENT INTAPINAT DE CAPUL DE FORAJ, LA FORAREA ORIZONTALA INTR-UN PAANT NECOEZIV Şoimuşn Vlentin, prof.univ.r.ing. Fcultte e Utilj Tehnologic UTCB vlentinsoimusn@yhoo.com Abstrct This pper presents
Mai multMicrosoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc
ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multMicrosoft Word - 06-Rosu-Mihaela-RED-TR_Proiect_did_Bunat_toamnei_II_ROM.doc
Proiect de lecție Şcol Gimnzil,,Anghel Mnolche Scrioște Dt: 9 noiembrie 2017 Cls: II- A Disciplin: Comunicre în limb român Unitte temtic: File din crte tomnei Titlul lecției : Buntți de tomn Tipul lecţiei:
Mai multBR_409995
RAEI Prte II- DESCRIEREA ACTIVITĂŢILOR DE ÎMBUNĂTĂŢIRE A CALITĂŢII REALIZATE Obiective Termene Responsbilitţi Indictori Nr. Activitţi Tipul crt ctivitte 1 relizre 1 6 Activitte l Îmbuntţire octombrie Echip
Mai multInvesteşte în oameni
FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Politehnică Timișoara 1. Facultatea / Departamentul 3 Facultatea de Inginerie Hunedoara / Inginerie Electrică
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai mult02. Analiza matematica 3 - MI 2
FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul
Mai multAnaliză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014
Analiză statică Analiza fluxului de date 23 octombrie 2014 Analiză statică: definiție O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăți ale programului sursă. (in
Mai multMergedFile
Olimpiada de Fizică X Etapa pe judeţ 5 februarie Barem de ealuare şi de notare Se punctează oricare altă modalitate de rezolare corectă a problemei Problema I Geamandura Sarcina de lucru nr. Nr. item Punctaj.a.
Mai multModelarea deciziei financiare şi monetare
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI FACUTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VAORI Modelarea deciziei financiare şi monetare Teoria producătorului Aleandru eonte Departamentul de Monedă
Mai multETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți
Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei
Mai multC10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la
C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate
Mai multRetele Petri si Aplicatii
Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2019) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3
Mai multClustere şi impurităţi în sisteme complexe
C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods
Mai multProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013
GRUPUL DE ACŢIUNE LOCALĂ Județul Bistriț-Năsăud, orș BECLEAN, Zon de Agrement Fig, FN, Cod poștl 425100, Tel: 037-1408616, Fx: 037-1377056, e-mil: secretrit@gltinutulhiducilor.ro Progrmul Nţionl de Dezvoltre
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4
Mai multMECANICA FLUIDELOR
MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,
Mai multComplemente de Fizica I Cursul 1
Complemente de Fizică I Cursul 1 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul I. Transformări de coordonate I.1. Transformări Galilei. I.2. Spațiul E 3 al vectorilor tridimensionali.
Mai multDorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA
Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea
Mai multMergedFile
PROIECT DIDACTIC Clasa a VII-a Matematică Proiect didactic realizat în cadrul programului - pilot Digitaliada, revizuit de Simona Roșu, profesor Digitaliada Textul și ilustrațiile din acest document începând
Mai multMicrosoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR
Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multLOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,
LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski
Mai multCursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi T
Cursul 14 Mulţimea lui Mandelbrot Mulţimile şi funcţiile cu caracter excepţional (mulţimea lui Cantor, insula lui Koch, funcţiile lui Weierstrass şi Takagi, curbele lui Peano, mulţimile Julia, ş.a.) au
Mai multSEMNALE ŞI SISTEME CURSUL 2 C.2. SEMNALE ANALOGICE 1.2. Reprezentări ale semnalelor prin diferite forme ale seriei Fourier Seria Fourier trigonometric
.. SEMNLE NLOGIE 1.. Reprezentări ale emnalelor prin diferite forme ale eriei Fourier Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier trigonometrică utilizează pentru SFG (eria Fourier generalizată) itemul
Mai multFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematica 1.3 Departamentul Matematica Didactic 1.4
Mai mult