D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să

Transcriere

1 DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă, sa c mai mlte rorietăţi, aflate într-o clasă mai mică de fncţii Fie (, A, µ n saţi c măsră comletă şi fie [1, Considerăm mlţimea E (, A E(, A L (, adică E (, A {f L ( f este A-etajată} Teorema 1239 E (, A este o mlţime densă în L ( în sensl seminormei, adică E (, A L ( Demonstraţie Fie o fncţie f L ( şi fie f + şi f artea ozitivă şi artea negativă a fncţiei f Deci f f + f Cm f + este A-măsrabilă şi nenegativă, din Teorema de aroximare a fncţiilor măsrabile c fncţii etajate (Teorema 101, există n şir (g n E(, A astfel încât g n ( [0, ] şi g n g n+1, n N, iar g n f + De asemenea, deoarece f este A-măsrabilă şi nenegativă, există n şir (h n E(, A astfel încât h n ( [0, ] şi h n h n+1, n N, iar h n f Pentr orice n N, considerăm fncţia f n : [0, ], f n g n h n Din rorietăţile şirrilor (f n şi (g n obţinem că (f n E(, A şi f n f + f f În ls, entr orice n N, avem şi deci f n g n + h n g n + h n f + + f f f n f ( f n + f (2 f 2 f Cm f L (, rezltă f L( şi atnci 2 f L( În conclzie avem: 2 f L(, f n f 2 f, n N şi f n f Teoremei convergenţei dominate (Teorema 1133 şi atnci f n f dµ 0dµ 0 0, adică snt îndelinite condiţiile Prin rmare, există n 0 N aşa încât f n f dµ <, n n 0 şi atnci, fără să restrângem generalitatea, tem resne că f n f dµ <, n N Deci f n f L (, n N şi cm f L (, obţinem că f n (f n f + f L (, n N Rezltă că f n E (, A, n N Atnci, convergenţa de mai ss se rescrie astfel: f n f 0 şi, în consecinţă, (f n E (, A astfel încât f n f Deci f E (, A Atnci avem E (, A L ( E (, A, de nde rezltă E (, A L ( E (, A Prin rmare, E (, A L ( Teorema 1240 Fie (, A n saţi măsrabil şi fie τ o toologie e astfel încât τ A, iar (, τ este n saţi T 4 Fie µ : A [0, ] o măsră σ-finită, comletă şi τ-reglată, 1 şi mlţimea C ( {f L ( f este τ-contină} Atnci C( este densă în L ( în sensl seminormei, adică C( L ( 97

2 DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Demonstraţie Vom arăta mai întâi inclzinea E (, A C( Pentr aceasta să considerăm o fncţie f E (, A, adică f E(, A L ( Cm f este A-etajată, există a 1,, a n R astfel încât f( n {a 1,, a n } şi A i f 1 ({a i } A, i 1, n Deci f a i χ Ai i1 Fie J {i 1, n; a i 0}, K {i 1, n; a i } şi I {i 1, n; i / J K} Deoarece f L (, f este finită µ at şi atnci µ(a i 0, i K Fie ε > 0 Deoarece µ este σ-finită şi τ-reglată, din Teorema 56(1 2, entr orice i I, F i F τ şi G i τ astfel încât ε F i A i G i şi µ (G i \F i < 2 n a i Cm mlţimile F i, cg i snt τ închise şi F i cg i, iar (, τ este n saţi searat T 4, din Lema li Urîson (Teorema 104, există o fncţie τ-contină g i : [0, 1] aşa încât g i (x 1, x F i şi g i (x 0, x cg i Fie fncţia g : R, definită rin g a i g i Cm fncţia g i este τ-contină, i I, rezltă că g este τ-contină Fie i I şi x c (G i \F i cg i F i Atnci x cg i sa x F i Dacă x cg i, cm A i G i, avem x ca i şi deci χ Ai (x g i (x Dacă x F i, cm F i A i, avem x A i şi deci χ Ai (x g i (x Deci χ Ai g i 0 e c (G i \F i De asemenea avem χ Ai g i χ Ai + g i Prin rmare n f g a i χ Ai a i g i a i χ Ai + a i χ Ai a i g i a i χ Ai + a i χ Ai g i i1 i K i K ( ( a i µ(a i + a i χ Ai g i dµ a i χ Ai g i dµ + χ Ai g i dµ i K G i\f i c(g i\f i ( a i 2 dµ a i 2 (µ (G i \F i < ( ε n ε a i 2 G i\f i 2 n a i n ε i1 Deci f g < ε, de nde rezltă g f L ( şi cm f L (, obţinem g (g f + f L ( Prin rmare g C( În conclzie avem: f E (, A, ε > 0, g C( astfel încât f g < ε adică E (, A C( Atnci avem E (, A C( L ( şi cm, din Teorema 1239, E (, A L (, obţinem: Deci C( L ( L ( E (, A C( C( L ( Fie sre exeml mlţimea [a, b], înzestrată c măsra Lebesge, şi fie Din teoremele 1146 şi 1151 obţinem inclzinile Atnci, din teorema anterioară rezltă de nde obţinem C([a, b] {f : [a, b] R f este contină} C([a, b] R ([a, b] L ([a, b] L ([a, b] C([a, b] R ([a, b] L ([a, b], C([a, b] R ([a, b] L ([a, b] Identificând fncţiile ce coincid µ-at, tem rescrie astfel C([a, b] R ([a, b] L ([a, b] Observaţia 1241 Din cele de mai ss, C([a, b] şi R ([a, b] n snt sbsaţii închise în (L ([a, b], şi, în consecinţă, (C([a, b], şi (R ([a, b], n snt saţii Banach (vezi [7], ag 75 Cm (L ([a, b], este n saţi Banach, dedcem că (L ([a, b], este n comletat entr saţiile normate (C([a, b], şi (R ([a, b], (vezi [7], ag 84 În articlar, (L1 ([a, b], 1 este n comletat entr (R ([a, b], 1 În conclzie, rocesl de constrcţie al integralei Lebesge oate fi rivit ca n roces de comletare al integrabilităţii Riemann 98

3 DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Considerăm în continare mlţimea M ([a, b] {f : [a, b] R f este mărginită} şi fie alicaţia : M([a, b] [0, ], f s f (x, f M([a, b] Aceasta este bine definită şi este o normă e M([a, b] Fie f, f n M ([a, b], n N Atnci avem f n f fn f De asemenea, şirl (f n este fndamental în dacă şi nmai dacă este fndamental niform e [a, b] Cm orice şir fndamental niform este convergent niform, dedcem că saţil normat (M([a, b], este n saţi Banach (vezi [7], ag 77 Din Teorema li Weierstrass (referitoare la fncţiile contine e mlţimi comacte rezltă C([a, b] M ([a, b] Întrcât sma a doă fncţii contine este o fncţie contină şi rodsl dintre n scalar şi o fncţie contină este o fncţie contină, rezltă că C([a, b] este sbsaţi liniar în M ([a, b] Acm, dacă f C([a, b], există n şir (f n C([a, b] aşa încât f n f şi cm toate fncţiile fn snt contine, iar f n f, din teorema de transfer de continitate rin convergenţa niformă, rezltă că f este contină, adică f C([a, b] Prin rmare, C([a, b] C([a, b] şi deci C([a, b] este mlţime închisă în (M([a, b], Cm C([a, b] este sbsaţi liniar, iar (M([a, b], este n saţi Banach, dedcem că (C([a, b], este n saţi Banach (vezi [7], ag 75 Pe R ([a, b], între normele şi există rmătoarea relaţie: f Prin rmare, (τ ( R( f dµ ( ( f dµ f dµ τ De asemenea, (τ C( τ f (b a (126 Din Teorema li Weierstrass (de aroximare niformă a fncţiilor contine c olinoame (vezi [7], ag 101, entr orice fncţie f C([a, b], există n şir de olinoame (P n R[] astfel încât P n Cm P n f, entr n ε > 0, există P R[] aşa încât f P < ε 2 f Întrcât mlţimea nmerelor raţionale este densă în R, entr olinoml P, există n olinom Q Q[] astfel încât P Q < ε 2 (vezi [7], ag 102 Atnci f Q f P + P Q < ε 2 + ε 2 ε Dacă A {P : [a, b] R P Q[]}, din cele de mai ss avem f C([a, b], Q A astfel încât f Q < ε, de nde rezltă că A C([a, b] Altfel ss, mlţimea A este densă în (C([a, b], Deoarece mlţimea A este nmărabilă, dedcem că (C([a, b], este n saţi searabil ([7], ag 99 Teorema 1242 Pentr orice 1, (L ([a, b], este n saţi searabil Demonstraţie Din Teorema 1240 avem C([a, b] entr n ε > 0, există g C([a, b] astfel încât L ([a, b] De aici, entr o fncţie f L ([a, b] şi f g < ε 2 (127 Din cele stabilite anterior, C([a, b] A şi atnci, entr fncţia g, există Q A astfel încât ε g Q < (128 1/ 2 (b a Atnci, din (126 şi (128 obţinem: g Q g Q (b a < ε 2, 99

4 DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 13 SPAŢIUL L care îmrenă c (127 determină f Q f g + g Q < ε 2 + ε 2 ε Deci, entr orice fncţie f L ([a, b] şi orice ε > 0, există Q A astfel încât f Q < ε, adică A L ([a, b] Cm A este mlţime nmărabilă, rmează că (L ([a, b], este n saţi searabil Observaţia 1243 Teorema anterioară ne sne de fat că orice fncţie -integrabilă e [a, b] oate fi aroximată, în sensl seminormei, c olinoame c coeficienţi raţionali 13 Saţil L Fie (, A, µ n saţi c măsră comletă şi fie f : R o fncţie A-măsrabilă Fie a s f(x R Cm f a, rezltă că a { α R f α µ-at } şi deci { α R f α µ-at } x Prin rmare, există inf { α R f α µ-at } R Definiţia 131 Se nmeşte marginea serioară esenţială a fncţiei f nmărl ess s f inf { α R f α µ-at } (129 Exemll 132 Să se determine marginea serioară esenţială a fncţiei f : R R, definită rin { x f (x 3, dacă x Q arctg x, dacă x R\Q Observaţia 133 Deoarece f s f(x, rezltă ess s f s f(x x x Există sitaţii în care în inegalitatea de mai ss avem chiar egalitate Prooziţia 134 Dacă f C([a, b], atnci ess s f Demonstraţie Deoarece ess s f Presnem că s s f(x, dacă f(x > 0 şi fie β aşa încât 0 < β < s f(x ( f s f(x 0, atnci ess s f 0 s s f(x f(x Atnci x 0 [a, b] astfel încât β < f(x 0 Cm f este contină în x 0, există δ > 0 aşa încât β < f(x, x (x 0 δ, x 0 + δ [a, b] Deci (x 0 δ, x 0 +δ [a, b] {x [a, b] f(x > β}, de nde 0 < µ((x 0 δ, x 0 +δ [a, b] µ({x [a, b] f(x > β} Fie n α 0 aşa încât f α µ-at Atnci µ({x [a, b] f(x > α} 0 Dacă α < β, atnci {x [a, b] f(x > β} {x [a, b] f(x > α}, de nde obţinem 0 < µ({x [a, b] f(x > β} µ({x [a, b] f(x > α} 0; contradicţie! Deci β α Prin rmare, β α, α > 0 c f α µ-at, de nde rezltă β inf { α R f α µ-at } ess s f Deci, entr orice β c 0 < β < Fie n 0 N aşa încât 1 n 0 < s f(x, avem β ess s f s f(x Lăm β ess s f, n n 0 Prin trecere la limită, obţinem evidentă, avem ess s f s f(x s f(x 1 n, nde n n 0, şi atnci s s f(x 1 n f(x ess s f Cm inegalitatea inversă este Prooziţia 135 Dacă f M(, A, atnci f ess s f µ-at Demonstraţie Dacă ess s f, atnci f ess s f Presnem că ess s f < Fie A { α R f α µ-at } Atnci, entr orice n N, există α n A astfel încât α n < ess s f + 1 n Cm α n A, f α n µ-at şi deci µ({x f(x > α n } 0 Fie B n {x f(x > α n }, n N şi fie B n N B n Atnci µ(b n 0, n N, de nde µ(b 0 100

5 DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 13 SPAŢIUL L Dacă x cb, avem x cb n, n N şi deci f(x α n < ess s f + 1 n, n N Trecând la limită, rezltă f(x ess s f Deci {x f(x > ess s f } B şi cm µ(b 0, obţinem că µ({x f(x > ess s f } 0 Deci f ess s f µ-at Definiţia 136 O fncţie f : R se nmeşte esenţial mărginită dacă f este A-măsrabilă şi ess s f < Notăm c L (, A, µ mlţimea fncţiilor esenţial mărginite e, sa rescrtat c L ( Definim fncţia : L ( [0,, f ess s f, f L ( Teorema 137 L ( este n saţi liniar real, iar alicaţia este o seminormă e L ( Demonstraţie Fie f, g L ( şi λ R Fie A {x f(x > f } şi B {x g(x > g } Din Prooziţia 135 avem f f µ-at şi g g µ-at Deci µ(a µ(b 0 şi atnci µ(a B 0 Dacă x c(a B, avem f(x+g(x f(x + g(x f, de nde rezltă {x f(x+g(x > f } A B Deci µ({x f(x+g(x > f } µ(a B 0, de nde µ({x f(x+g(x > f } 0 Rezltă că f + g f + g µ-at şi atnci ess s f + g f + g < În consecinţă, f + g L ( şi f + g f + g Dacă λ 0, avem λf 0 λ f Presnem că λ 0 Atnci ess s λf inf { α R λf α µ-at } { inf λ α λ R f α } λ µ-at λ ess s f < De aici rezltă λf L ( şi λf λ f Prin rmare, L ( este n saţi liniar real, iar alicaţia este o seminormă e L ( Observaţia 138 Dacă f 0, cm f f µ-at, rezltă f 0 µ-at Prin rmare, în general n este o normă Seminorma oate fi rivită ca o normă dacă identificăm fncţiile egale µ-at În acest sens, entr orice f, g L ( definim relaţia f g f g µ-at este o relaţie de echivalenţă e L ( şi entr orice f L ( considerăm f {g L ( g f}, clasa de echivalenţă a fncţiei f în raort c Fie L (, A, µ mlţimea factor asociată relaţiei, adică { } L (, A, µ f f L ( Când n există ericol de confzie, vom nota acest saţi c L ( Definim oeraţiile + : L ( L ( L (, f + ĝ f + g, f, ĝ L (, : R L ( L (, α f α f, α R, f L ( Fncţiile + şi snt bine definite şi (L (, +, este n saţi liniar real Fie fncţia : L ( [0,, definită rin f f, f L ( este bine definită şi este o normă e L ( Deci (L (, este n saţi liniar normat Teorema 139 Fie f, f n L (, n N Avem rmătoarele: 1 f n f dacă şi nmai dacă A A c µ (A 0 astfel încât fn f \A 2 (f n este fndamental în dacă şi nmai dacă A A c µ (A 0 astfel încât (f n fndamental niform e mlţimea \A Demonstraţie 1 Presnem că f n f Atnci, entr n ε > 0, există nε N astfel încât n n ε, f n f < ε Din Prooziţia 135 avem f n f f n f µ-at şi atnci n n ε, f n f < ε µ-at Pentr orice n N, fie B n {x f n (x f(x ε} şi fie A ε B n Cm µ(b n 0, n n ε, rezltă n n ε µ(a ε 0 De asemenea, n n ε, x \A ε, f n (x f(x < ε Deci 101

6 DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 13 SPAŢIUL L ε > 0, n ε N, A ε A c µ (A ε 0 astfel încât n n ε, x \A ε, f n (x f(x < ε (130 În (130 lăm ε 1 k, nde k N, şi obţinem: k N, n k N, A k A c µ (A k 0 astfel încât n n k, x \A k, f n (x f(x < 1 k Considerăm mlţimea A k N A k Atnci A A şi µ (A 0 Fie acm n ε > 0 şi fie n k N aşa încât 1 k < ε Cm \ A \ A k, obţinem că n n k, x \A, f n (x f(x < 1 k < ε Prin rmare f n Deci A A c µ (A 0 astfel încât f n \A f \A f Presnem că A A c µ (A 0 astfel încât f n f \A Atnci, entr n ε > 0, n ε N astfel încât n n ε, x \A, f n (x f(x < ε De aici rezltă că {x f n (x f(x ε} A şi deci este µ-neglijabilă Atnci f n f < ε µ-at, de nde rezltă că f n f < ε Deci, ε > 0, n ε astfel încât n n ε, f n f < ε, adică f n f 2 Se demonstrează la fel ca nctl (1 Ţinând seama că n şir converge niform dacă şi nmai dacă este fndamental niform, din teorema de mai ss rezltă: Corolar 1310 Fie n şir (f n L ( Şirl (f n este convergent în dacă şi nmai dacă (f n este fndamental în Corolar 1311 (L (, este n saţi Banach De asemenea, caracterizarea din Teorema 139 ne ermite să comarăm convergenţa în c convergenţa aroae niformă Corolar 1312 Fie f, f n L (, n N Dacă f a n f, atnci fn f Vom comara în continare saţil L ( c saţiile L ( Prooziţia 1313 Pentr orice f M(, A şi orice 1, are loc inegalitatea ( f dµ 1 ess s f (µ( (131 Demonstraţie Din Prooziţia 135 avem f ess s f µ-at, de nde rezltă ( ( ( f dµ (ess s f 1 dµ ess s f dµ ess s f (µ( Teorema 1314 Dacă µ( <, atnci 1 L ( 1L ( 2 f f (µ(, f L (, 1 3 (τ τ, 1 L ( 102

7 DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 13 SPAŢIUL L Demonstraţie 1 Dacă f L (, atnci ess s f < şi cm µ( <, din inegalitatea (131 rezltă f dµ <, 1 Deci f L (, 1 2 Pentr f L ( şi 1, inegalitatea (131 se rescrie astfel: f f (µ( 3 Inegalitatea de la nctl (2 imlică (τ τ, 1 (vezi [7], ag 66 L ( Observaţia 1315 În general, inclzinea de la nctl (1 al teoremei recedente este strictă, cm se observă şi din exemll rmător Exerciţil 1316 Fie intervall (0, 1] înzestrat c măsra Lebesge şi fie fncţia f : (0, 1] R, f(x ln x Să se arate că f 1L ((0, 1], dar f L ((0, 1] Teorema 1317 Dacă µ( <, atnci f 1L (, lim f ess s f Dacă f L (, atnci lim f f Demonstraţie Fie f 1L ( Atnci, inegalitatea (131 se scrie astfel f ess s f (µ(, 1 Trecând la limită serioară în această inegalitate, obţinem lim s Dacă ess s f 0, atnci lim s f ess s f lim s µ ( ess s f (132 f 0 şi cm 0 lim inf f lim s f 0, rezltă că există lim f 0 ess s f Presnem acm că ess s f > 0 şi considerăm 0 < α < ess s f Fie mlţimea A α {x f (x > α} Deoarece f este A-măsrabilă, A α A Dacă µ (A α 0, atnci f α µ-at, de nde ess s f α, contrazicând resnerea iniţială Deci µ (A α > 0 Pentr orice 1 avem ( f f dµ Trecând la limită inferioară în această inegalitate, rezltă ( ( f dµ α dµ αµ (Aα A α A α lim inf f α lim inf µ (A α α Deci, α c 0 < α < ess s f, avem α lim inf f Dacă ess s f <, fie n 0 aşa încât 1 < ess s f Lăm atnci α ess s f 1 n 0 n, nde n n 0, şi deci ess s f 1 n Folosind (132 rezltă de nde lim inf f lim inf f, n n 0 Prin trecere la limită c n, obţinem ess s f lim inf f ess s f lim inf f lim s f ess s f, lim s f ess s f Deci lim f ess s f Dacă ess s f, lăm α n N şi atnci n lim inf lim inf f ess s f Atnci lim inf f Din teorema anterioară şi din Prooziţia 134 obţinem: lim s Corolar 1318 Pentr orice fncţie f C([a, b] avem ( b f (x n dx lim n a n f, n N Prin trecere la limită obţinem f ess s f şi deci lim f s f(x ess s f Exerciţil 1319 Să se verifice rezltatl din corolarl anterior entr fncţia f : [a, b] R, definită rin f(x (x a(b x, x [a, b] 103