OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :

Transcriere

1 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 : :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este divizibil cu 7, oricare ar fi cifra eulă a. Delia Badea, Râmicu Vâlcea Soluţie a) 1 5 :1 = 1 = ,5p (17 ) 5 :17 14 = p ( 5 ) 4 :100 4 = 4 = p 8 = 56 4 = ,5p Răspus fial: p b) x = a a + 100a p x = a... 1p x = 7. ( + a) p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

2 Subiectul II a) Aflaţi restul împărţirii umărului a = ( ) la 016. b) Arătaţi că suma primelor 017 umere impare este pătrat perfect. c) Scrieţi umărul 017 ca sumă de 017 umere aturale cosecutive. Soluţie Cristia Pîrvuţă, Râmicu Vâlcea a) = :... 1p a = p Fializare: R = p b) 1 = 0 + 1; = 1 + 1; 5= + 1;...; 40 = p S = = 017 este pătrat perfect... 1p c) a + (a + 1) + (a + ) (a + 016) = p a = = p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

3 Subiectul III Să se determie umerele aturale se obţie câtul 16 şi restul eul. şi a căror sumă este egală cu, ştiid că împărţidu-l pe la Dumitru Dobre, Râmicu Vâlcea Soluţie + =... 1p = 16 +, 0 < <.. 1p 17 + = = 17,... 1p = = p < 17 < 18 < + = 19 = p Fializare: = 05 şi = 18.. p Subiectul IV Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

4 U umăr atural se umeşte cub bipătratic dacă este cub perfect şi se scrie ca suma a două pătrate perfecte eule diferite. U umăr atural se umeşte pătrat bicubic dacă este pătrat perfect şi se scrie ca suma a două cuburi perfecte eule diferite. a) Daţi u exemplu de cub bipătratic şi u exemplu de pătrat bicubic. b) Arătaţi că există o ifiitate de cuburi bipătratice şi o ifiitate de pătrate bicubice. Cătăli Cristea, Craiova, G.M. Soluţie a) Exemplu de cub bipătratic: p Justificare: 5 = p Exemplu de pătrat bicubic: p Justificare: = p ) (10 ) + (5 ) = = 15 = (5 ), p Există o ifiitate de cuburi bipătratice = (5 ) = (10 ) + (5 ),... 0,5p ( ) + ( ) = + 8 = 9 = ( ),... 1p Există o ifiitate de pătrate bicubice = ( ) = ( ) + ( ),... 0,5p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

5 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A VI-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I Aflați umerele prime a,b,c, știid că verifică simulta relațiile = 15 și = 49. S.G.M. 1/015 Soluţii şi bareme = p ( ) = p {,17}.....1p = = 19; = p = 17 = 19; = 8 u covie.... 1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

6 Subiectul II a) Descompueți î factori primi umărul 015. b) Arătați că fracția este ireductibilă. Statie Ileaa, Rm.Vâlcea Soluţii şi bareme a) 015= p b) Fie d=c.m.m.d.c. al umărătorului și umitorului d și d p d ( ) p d p = 015 imposibil...p = 1 fracția este ireductibilă.... 1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

7 Subiectul III Se dau ughiul cu măsura de 150 și ughiul drept, astfel îcât puctele C și D se află î semiplae opuse față de dreptele OA și OB. Aflați măsura ughiului format de bisectoarele ughiurilor și. Statie Alexadru, Rm.Vâlcea Soluţii şi bareme Notez ( ) cu x. Caz I. ( se află î iteriorul ughiului AOB ( ) = 90 1p ( ) = p Măsura ughiului format de bisectoare = p Caz II. ( se află î iteriorul ughiului AOB ( ) = p ( )= p ( ) = p Măsura ughiului format de bisectoare =10...1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

8 Subiectul IV Fie A,B,C,D pe dreapta d astfel îcât [ ] [ ] și [ ] [ ]. Arătați că: a) [ ] și [ ] au același mijloc. b) Dacă se colorează puctele dreptei cu culori alb și roșu, atuci există pucte de aceiași culoare astfel îcât uul este mijlocul segmetului determiat de celelalte. Burla Adria, Rm.Vâlcea Soluţii şi bareme Fie M mij. [CD] MC = MD dar AC = DB = [ ] Fiid date 5 pucte pe dreapta coform pricipiului cutiei exista pucte colorate cu aceiași culoare..1p Fără a restrâge geeralitatea presupuem A, B albe și C, D roșii. [ ]...1p Alegem coveabil o uitate de măsură astfel îcât A(0); B(1);C();D()..1p Deci AC=DB și [CD] [AB]...1p Fie M mij. [CD] M mij. [AB]. 1p Dacă M-rosu C-M-D verif p Dacă M alb A-M-D verifică p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

9 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A VII-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Să se arate că există umere irațioale x petru care este umăr rațioal. b) Există umere rațioale x petru care umărul să fie rațioal? Justificați răspusul dat. G.M. r. 4/015 - Io Băetu, Botoșai Soluţii şi bareme a) De exemplu = = 1 Q sau oricare alt exemplu bu...p b) Presupuem că există umere rațioale x petru care este rațioal. m p Notăm cu și fracțiile ireductib bile care reprezită umerele rațioale x, respectiv, cu m,, q p, q N, (m, ) = 1, (p, q) = 1. Avem m p și ridicâd la pătrat obțiem: q q m q p (1).....1p Di Di q m m q q q p p m p q q m q p mq. Avâd ( m, ) 1 q ()....0,5p q p. Avâd ( q, p) 1 q ()....0,5p Di () și () rezultă q. Relația (1) devie p m + = M ( (4)....0,5p U pătrat perfect poate avea ua di formele M sau M + 1. Dacă suma a două pătrate perfecte este multiplu de, atuci fiecare este multiplu de. Avem deci = și = (, N ) (5)...1p Di (4) și (5) avem: 9a 9b ( a b ) c, N. Di = și = vem, deci, (, ) 1 - cotradicție! ,5p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

10 Subiectul II Se cosideră umerele: = 1, = 1 +,..., = ( + 1), ude pri [ ] am otat partea îtragă a umărului a și este u umăr atural eul. a) Calculați. b) Demostrați că umărul A S u este rațioal, oricare ar fi umărul atural eul. Costati Popescu, Șc. Gim. Take Ioescu Râmicu Vâlcea Soluţii şi bareme a) Petru, 1 avem < ( + 1) < ( + 1) p < ( + 1) < p ( + 1) =, (1)...1p Aplicăd relația (1), terme cu terme, sumei, avem: S p b) Aplicăd relația (1), terme cu terme, sumei, avem: 1 S ,5p A ( 1)...0,5p Avem 1 1, deci umărul, fiid cupris strict ître două pătrete perfecte, u poate fi pătrat perfect, oricare ar fi umărul atural eul p Rădăcia pătrată a uui umăr atural, care u este pătrat perfect, u este u umăr rațioal. Avem, deci, A S Q...1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

11 Subiectul III Fie ABCD u paralelogram cu >. Bisectoarea ughiului ABC itersectează diagoala AC î puctul E, iar bisectoarea ughului DCB itersectează diagoala BD î puctul F. a) Arătați că aria triughului AEB estee egală cu aria triughiului CFD. b) Demostrați că dreapta EF este paralelă cu dreapta BC. Costati Popescu, Șc. Gim. Take Ioescu Râmicu Vâlcea Soluţii şi bareme A E F D a) AAEB AE (1)...0,5p A AC ABC ACFD DF ()...0,5p A BD DBC Di teorema bisectoarei avem: AE AB AE AB ()...0,5p EC BC AC AB BC DF CD DF CD (4)...0,5p BF BC BD CD BC Di AB = CD (laturi opuse î paralelogram), (4), (), () și (1), AE DF AAEB A CFD rezultă (5) (6)....0,5p AC BD A A ABC DBC Di (, ) = (, ) = (, )...0,5p BC d( AD, BC) AABC A DBC (7)....0,5p Di (6) și (7) găsim A A...0,5p b) Fie AC BD O AEB CFD. Avem AC AO ( OE AE) și BD DO ( OF DF ) ( diagoalele paralelogramului se îjumătățesc) ,5p Di relația (5) avem: AE DF AE DF AE DF AE DF...1,5p AC BD ( OE AE) ( OF DF) OE AE OF DF OE OF OE EA OF FD B (reciproca teoremei lui Thales). Di O C...1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

12 Subiectul IV Fie ABC u triughi dreptughic cu itersectează dreapta AD î puctul G și latura AB î puctul E. Se otază cu F piciorul perpedicularei di E pe latura BC. a) Arătați că patrulaterul AEFG este romb. b) Dacă triughiul AEG este echilateral, aflați raportul ditre aria patrulaterului AEFG și aria triughiului ABC. Soluţii şi bareme ( ) = 90,, ( ). Bisectoarea ughiului ACB Tiberiu Pigui, Liceul Atim Ivireau, Râmicu Vâlcea a) Di proprietatea bisectoarei avem: B C = (, ) = (, ) = ( ) ( ) (1)... F D...1p ( ) = 90 ( ) = 90 ( ) = ( ) = ( )...1p este isoscel ( ) ( ) ()...0,5p Di (1) și () avem ( ) ( ) (). Avem (4)...0,5p Di () și (4) avem AEFG paralelogram și di () rezultă că este romb....1p b) AEFG romb, deci CE este bisectoare și îălțime î triughiul AFC este isoscel. (5)...0,5p ( ) = ( ) = 90 ( ) = 90 [90 ( )] = 60 (6) Di (5) și (6) este echilateral....0,5p Î echilateral, îălțimile AD și CE sut și mediae, deci G este cetrul de greutate al triughiului AFC AG AD (7)...0,5p ( ) = 90 ( ) = = FD FC AC BC BC (teorema ughiului de 0 o ) (8)...0,5p 4 Di (7) și (8) avem: 1 1 AD BC 1 1 AAEFG AG FD AD BC A ABC. Raportul cerut este p 4 E A G Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

13 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A VIII-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I Se cosideră umărul a = 7 7. a) Arătați că a este umăr atural; (p) b) Dacă b = a 0 016, aflați partea îtreagă a umărului b; (p) c) Știid că c a a 6 a 6 a 1, stabiliți dacă c (0,). (p) Duță Elea Mihaela, Lic.Teh. G-ral Magheru Rm. Vâlcea Barem de corectare a) a 7 7 = N... p b) Avem: ( 6 ) p 0 < b < 1 [b] = 0...1p c) c a 4 a 6 a 6 a , a a aa...1p p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

14 Subiectul II Fie umerele a, b, c R astfel îcât a b c 1. Arătaţi că : a) = 5; (4p) b) + +. (p) Gheorghe Radu, C.N.I. Matei Basarab Rm. Vâlcea Barem de corectare a) 4a + 4b + 4c = 4 4a + 4b = 4 4c. Aalog celelalte p = = = = ( ) + ( ) + ( ) = c + b + a...p = 6 (a + b + c ) = 6 1 = p b) Di iegalitatea a + b + c ab + bc +ac rezultă: ab + bc + ac 1..1p (a + b +c) = a + b + c + (ab + bc + ac) 1 + =.... 1p a + b + c p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

15 Subiectul III Î cubul ABCDA'B'C'D' se otează cu P proiecția puctului C' pe diagoala A'C. Demostrați că dreptele AP și D'P sut perpediculare. G.M. Nr. 10 / 015, Io Voicu, Ialomița Barem de corectare Notează AB = a și calculează: AC = a, A'C = a, PC = Notează cu S și T proiecțiile lui P pe AC și respectiv A' D' a și A'P = a... 1p Di asemăarea triughiurilor CPS a a și C A'A calculează PS = și AS = Calculează AP = a î triughiul dreptughic PSA...1p Di asemăarea triughiurilor A'PT și A'CD' calculează PT = a și TD'=...p a...1p Calculează D'P = a î triughiul dreptughic PTD'...1p Fializează folosid Reciproca Teoremei lui Pitagora...1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

16 Subiectul IV Fie ABCD u trapez dreptughic cu m(d) = 90 0, AB CD, AB = cm, DC = 6cm și AD = 4 cm. Pe perpediculara î D pe plaul (ABC) se cosideră puctul E astfel îcât DE = 8cm. Fie M (BC) astfel îcât BM = cm. a) Demostrați că AM (EDM); (4p) b) Calculați distața de la puctul D la plaul (AEM). (p) Mari Mazilu, C.N.I. Matei Basarab Rm. Vâlcea Barem de corectare a) Calculează BC = 8 cm și arată că DMC este echilateral...1p Pri calcul găsește m(adm) = 0 0 și m(dam) = p AM DM...1p AM DE și fializare...1p b) Fie DF EM, F ME, EM AM, DM AM și EM, AM (AEM) cu R T DF (AEM)...p Calculează DF = 4,8 cm...1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

17 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A IX-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul 1. a) Arătaţi că 4 ( ) ( 1) ( 1), ude este u umăr atural eul......p b) Calculaţi S, ude S , ude lui S p S reprezită partea îtreagă a Barem : Prof. Druga Costati, Costatiescu Dragoş C.N.,,Alexadru Lahovari,Rm. Vâlcea Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

18 Subiectul II a) Arătaţi că î orice triughi ABC are loc relaţia OH OA OB OC, ude O este cetrul cercului circumscris triughiului, iar H este ortocetrul triughiului......p. b) Fie ABCD u patrulater îscris î cercul de cetru O şi care are diagoalele AC şi BD perpediculare. Dacă H 1 şi H sut ortocetrele triughiurilor ACD şi ABC, arătaţi că BH DH p 1 Barem : Prof. Druga Costati, Costatiescu Dragoş C.N.,,Alexadru Lahovari,Rm. Vâlcea Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

19 Subiectul III a) Câte progresii aritmetice de umere aturale există cu primul terme 1 şi care coţi umărul 45001?...p b) Arătaţi că u există progresii aritmetice ecostate de umere aturale cu toţi termeii pătrate perfecte p Prof. Druga Costati, Costatiescu Dragoş C.N.,,Alexadru Lahovari,Rm. Vâlcea Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

20 Subiectul IV. Fie a,b,c umere reale strict pozitive. Demostraţi că : a a b c 4 b c Barem : b c a c a b 4 4. G.M. Nr 5/015 Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

21 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A X-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE SUBIECTUL I a) Să se rezolve ecuația b) Dacă x, log 9 x x să se calculeze log x log x. log x x, ude a reprezită partea îtreagă a lui a. Soluţie: log x log log a) x x 9 x... 1p log x Notăm t, t 0, x 0. Ecuația devie t x t t.. 1p log x x p Soluție uică x... 1p b) Fie [ ] =, N {1} k x k k x k 1 log log log 1 log x... 1p x k x x x x k. 1p Fializare log x 1 x... 1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

22 SUBIECTUL II Să se rezolve ecuația x 1 x 1. Soluţie: Notăm x 1 t și avem că t x p... 1p t x 1 x t 1 1p t x x t 1 5 x1 1, x,.4p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

23 SUBIECTUL III Numerele disticte,, C z 1 z z z au modulele egale. Cosiderăm umerele a, b, z z z z 1 c z z z z 1 1. Să se arate că dacă a b c 1 atuci a b c. Soluţie: a a; b b; c c... p a, b, c sut umere complexe pur imagiare... 1p a ix; b iy; c iz... 1p 1 ix 1 iy 1 iz 1. p 1 ix 1 iy 1 iz Deoarece x y z 1 și xy yz zx 1 rezultă că x y z, adică a b c.... 1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

24 SUBIECTUL IV Determiați umerele a, b, c, știid că a b c, a b c cu a b c și N 15, a b c și a b c 8 1. Soluţie: a b c Cosiderăm umerele reale x, y, z a.î. si x, si y, si z. a b c si x si y si z.. 1p si si si z. 1p 8 a b c x y si x si y si z si x si y si z 4 si x si y si z.. 1p Cum si,si,si 1,1 x y z rezultă că si x si y si z 1 1p 1 cu soluțiile si x 1, si x 1p si x 1 4 si x si x 1 0 Deci,,,1 a b c și di codițiile impuse avem că a b și c 1. 1p a b c cu soluția uică 4. 1p Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

25 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A XI-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE SUBIECTUL I Soluție: Scrie relația Determiați matricea A M A A 1 A 1 A I Justifică A* iversabilă, det A* 4 Arată că det A A* 1, C, dacă A * det A 0, iar A A*...(1p). det A A* 1 4, și calculează iversa sa A...(1p) (p). 1 G.M. 1/015 Arată det * det A A, det A 18...(1p). Fializare 1 A 1...(1p). 1 Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

26 SUBIECTUL II Se cosideră matricea Soluție: Scrie X a 1 ka a X a 1 ka a Calculează A k 1 k X ka I aa 1 a, k k A, k * 1 1 N... (1p). k 1 k 1 a X b I aa ba k 1abAA X a X b X ka, a C*, k N *. Să se calculeze X a, N 1 a 1 A, iar apoi X k 1 ab a b * prof. Dicu Floretia, Rm. Vâlcea k 1 a b...(p). k 1 k 1 k 1 Deci X a X k 1 1 a k 1 1, k 1 X a X k 1 1 a k 1 1 k 1...(1p). X a X k a k 1...(1p). k 1 Fializare iducție matematică... (1p). Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

27 SUBIECTUL III Fie șirul de umere reale x 0 defiit pri 0 1 si Studiați covergeta șirului și apoi determiați limita sa. x x 0 x 1, 1 1 *** Soluție: Cum x 1 six 1 1, 1... Dacă otăm a x 1, 1, atu Deoarece a 1, deducem că 0 a 0 0 a este crescător (1p). Deci coverget și există limita sa lim a a, a R...(1p). Rezultă a si a,... (1p). Deci a 0, iar lim x 1....(1p).... (1p). ci a si a 1, , 1...(1p)....(1p) Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

28 SUBIECTUL IV Să se calculeze 1 cos x cos x cos 4x...cos lim x x x prof. Dicu Floretia, Rm. Vâlcea Soluție: 1 cos x cos lim x x cos 4x... cos x x 0 se gasește î cazul de edetremiare 0...(1p). 1 cos y cosy cos yx...cos Se face substituția y x, y 0 și limita devie lim y0 y La umărător facem artificiu de calcul: y...(1p). 1 cos y cos y cos yx...cos lim y0 y 1 cos y cos y(1 cos y cos yx...cos lim lim y0 0 y y y y 1 cos y cos y cos y cos y cos yx...cos lim y0 y y)... k0 1 cos lim y0 y k y y...(p). si lim y k1 y y0 y0 k1 k0 k0 si lim k1 y y k y y lim y0 k0 k y y k0 k1...(p). 1 k0 k (1p). 6 Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Fax: +40 (0)

29 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A XII-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I Fie î M (R )matricele A 1 1 si B și petru fiecare R defiim matricea t 1 M t A t B. 1. Să se arate că mulțimea de matrice R este u grup î raport cu îmulțirea matricelor.. Să se arate că fucția R este u izomorfism de grupuri. (Problemă de admitere facultatea de matematică) Soluție: Verificăm că mulțimea G este parte stabilă,dacă t si u sut reale eule avem t 1 u 1 tu u t M tm u A B A B A BA AB t u 9 9t 9u 1 tu 1 B A B M tu 9t u t u Deoarece avem A A, AB BA 0, B B. Rezultă parte stabilă.di Mt Muobtiem t uși cu aceasta deducem că I M 1 este elemet eutru,iar simetricul lui M t este M 1,deci G cu imultirea este t grup comutativ...(5p) Di partea stabilă deducem că f este morfism și demostrăm ijectivitatea și surjectivitatea...(p) Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Fax: +40 (0)

30 Subiectul II Fie G, și a, b G diferite cu proprietățile a e b e a e aba b 7 1,,, ude e este elemetul eutru al grupului G. Să se determie ordiele elemetelor a și b. *** Soluție: Avem ordiul lui a egal cu 7. Folosid relațiile a k k k 1 ab b a a b ab 1, demostrăm pri iducție matematică b a b petru orice k atural...(4p) Luăm k=7 și obțiem b e b e....(p) Deci ordiul lui b este17(umăr prim).(1p) Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Fax: +40 (0)

31 Subiectul III Fie R R și k , x, J x f xdx, x k. Determiați k astfel îcât lim J 1. 0,î rest. Soluție: 1 si xcos, x 0 0, x 0 Deoarece fucția g este impara avem Scriem f x k x k g x k 1 1 J x f xdx x k g xdx k k k 1 1 x kdx kx k x kdx k 1 1 k k dx k k 1. k k k k k k k Gorgotă Vasile și Ulmeau Sori....(p) Obțiem de ude se obție k1 si k...(5p) lim J k k 1 Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Fax: +40 (0)

32 Subiectul IV Fie fucția R R o fucție cotiuă cu proprietatea Să se arate că e1 1 f x dx. f x e f x x, R. Flori Nicolaescu-G.M.11\015 Soluție: Cosiderăm fucția R R bijectivă.( p) 1 Deci ipoteza se scrie g f x x f x g x - argumetare..(1 p) Pri itegrare avem 1 e1 e1 e1 1 f x dx g x dx Dar idetitateayoug avem e1 0 1 (1) g x dx g x dx e 1.(p) 1 Obtiem g x dx (). Di (1) și () se obție ce se cerea demostrat...( p) 1 Str. Geeral Berthelot, r. 8-0 Str. Ecateria Teodoroiu, r. 8B, Slatia, 0015, jud. Olt Tel: +40 (0) Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Fax: +40 (0)