C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi"

Transcriere

1 urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului, iar γ(b) reprezintă extremitatea drumului. Dacă γ(a) = γ(b) drumul se numeşte închis. Mulţimea γ([a, b]) se numeşte urma/traiectoria/imaginea/suportul drumului. Observaţie 4.2. Dacă m = 3 putem scrie drumul γ specificând componentele funcţiei vectoriale γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) sau γ: x = x(t), y = y(t), z = z(t), iar dacă m = 2, componenta a treia, z, lipseşte. t [a,b] Exemplu 4.3. Drumul descris de x = (1 t)x A +tx B, y = (1 t)y A +ty B, z = (1 t)z A +tz B, t [,1] are ca suport segmentul AB, parcurs de la A(x A,y A,z A ) la B(x B,y B,z B ). Exemplu 4.4. Drumul descris de { x = x +rcost, y = y +rsint, t [,2π] este drumul plan închis ce are ca suport cercul de ecuaţie (x x ) 2 + (y y ) 2 = r 2, cu centrul (x,y ) şi raza r, care este parcurs în sens trigonometric având originea şi extremitatea în punctul (x +r,y ). Definiţie 4.5. Drumul γ : [a,b] R m, γ (t) = γ(a + b t) se numeşte inversul drumului γ. Observaţie 4.6. Să observăm că γ (a) = γ(b), γ (b) = γ(a) şi γ ([a,b]) = γ([a,b]). Drumul γ are aceeşi urmă ca şi drumul iniţial, dar este parcurs în sens invers de la extremitatea drumului iniţial la originea acestuia. 1

2 2 URS 4. INTEGRALE URBILINII Definiţie 4.7. Fie γ 1 : [a,b] R m şi γ 2 : [b,c] R m două drumuri cu proprietatea că extremitatea primului coincide cu originea celui de-al doilea γ 1 (b) = γ 2 (b). Atunci putem defini reuniunea/juxtapunerea/compunerea drumurilor ca fiind drumul notat γ 1 γ 2 : [a,c] R m, definit prin { γ1 (t), t [a,b] (γ 1 γ 2 )(t) = γ 2 (t), t [b,c]. Definiţie 4.8. Fiind dat un drum γ : [a,b] R m şi o diviziune a intervalului [a,b] t = a < t 1 < < t n = b, drumurile γ k : [t k 1,t k ] R m, k = 1,2,...,n definite prin γ k (t) = γ(t), t [t k 1,t k ] formează descompunerea drumului γ asociată diviziunii. Putem scrie γ = γ 1 γ 2 γ n. Definiţie 4.9. Un drum γ : [a,b] R m se numeşte neted dacă aplicaţia γ este de clasă 1 pe [a,b] şi γ (t), pentru orice t [a,b]. Drumul γ se numeşte neted pe porţiuni dacă există o descompunere γ = γ 1 γ 2 γ n astfel încât toate drumurile γ k sunt netede. Observaţie 4.1. Un drum în spaţiu este neted dacă componentele sale x, y, z sunt funcţii derivabile cu derivatele funcţii continue pe [a,b] şi (x (t),y (t),z (t)) (,,), pentru orice t [a,b]. Definiţie Două drumuri γ 1 : [a,b] R m şi γ 2 : [c,d] R m sunt echivalente dacă există o funcţie h : [a,b] [c,d] strict crescătoare şi continuă astfel încât h(a) = c şi h(b) = d şi γ 1 = γ 2 h. Observaţie Dacă notăm prin γ 1 γ 2 faptul că γ 1 şi γ 2 sunt drumuri echivalente, atunci relaţia binară reprezintă o relaţie de echivalenţă. Într-adevăr, alegând h(t) = t avem γ γ, ceea ce arată proprietatea de reflexivitate. Pentrucăhestrictcrescătoare, eaesteinjectivă, iarpentrucăhecontinuăşih(a) = c şi h(b) = d rezultă că h([a,b]) = [c,d] şi deci h este surjectivă, ceea ce implică faptul că h este bijectivă. Astfel, există inversa funcţiei h, care este o funcţie continuă, strict crescătoare şi h 1 (c) = a şi h 1 (d) = b. În plus, avem γ 2 = γ 1 h 1. Am demonstrat că γ 1 γ 2 implică γ 2 γ 1, ceea ce reprezintă proprietatea de simetrie. Ne rămâne să verificăm faptul că relaţia este tranzitivă. Fie γ 1 γ 2 şi γ 2 γ 3. Atunci există h : [a,b] [c,d] şi g : [c,d] [e,f] strict crescătoare şi continue cu h(a) = c, h(b) = d şi g(c) = e, g(d) = f cu proprietatea că γ 1 = γ 2 h şi γ 2 = γ 3 g. Funcţia i = g h : [a,b] [e,f] are proprietatea că i(a) = g(h(a)) = g(c) = e şi i(b) = f. În plus, ieste strict crescătoare şi continuăşi γ 1 = γ 2 h = (γ 3 g) h = γ 3 (g h) = γ 3 i, ceea ce demonstrează că γ 1 γ 3. Definiţie Se numeşte curbă o clasă de drumuri echivalente. Fiind dată o curbă, un drum care o reprezintă se numeşte parametrizare a curbei. Exemplu Drumulγ 1 (t) = (sint,cost), t [, 2] π esteechivalentcudrumulγ2 (t) = (t, 1 t 2 ), t [,1]. Într-adevăr, funcţia h : [, 2] π [,1], h(t) = sint este strict crescătoare şi continuă cu h() = şi h ( π 2) = 1 şi în plus γ1 = γ 2 h. Ambele drumuri γ 1 şi γ 2 reprezintă parametrizări ale aceleaşi curbe: sfertul de cerc din primul cadran parcurs de la (,1) la (1,).

3 4.1. DRUMURI ŞI URBE 3 Observaţie O curbă este mulţimea tuturor drumurilor echivalente care au un suport dat şi un sens de parcurs precizat. O curbă plană se poate specifica în 4 forme: 1) forma parametrică: γ(t) = (x(t),y(t)), t [a,b] 2) forma vectorială: r = x(t) ı+y(t) j, t [a,b] 3) forma explicită: y = f(x), x [a,b] 4) forma implicită: F(x,y) = şi descrierea sensului de parcurs. O curbă în spaţiu se poate specifica în 3 forme: 1) forma parametrică: γ(t) = (x(t),y(t),z(t)), t [a,b] 2) forma vectorială: r = x(t) ı+y(t) j+z(t) κ, t [a,b] 3) ca intersecţie de două suprafeţe { f(x,y,z) = şi descrierea sensului de parcurs. g(x,y,z) =. Definiţie Se numeşte curbă simplă o curbă cu parametrizarea γ : [a,b] R m funcţie injectivă pe [a, b) (adică la valori distincte ale parametrului corespund puncte distincte pe suportul curbei [cu excepţia, poate, a capetelor în cazul unei curbe închise]). Exemplu Un exemplu de curbă care nu este simplă este curba descrisă parametric prin ecuaţiile Y { x = cos3tcost, y = cos3tsint, t [,π]. Punctul (, ) se obţine pentru trei valori distincte ale X parametrului t: π, π şi 5π. Un astfel de punct se numeşte punct triplu. urba se numeşte trifoi. Definiţie Fie o curbă. onsiderăm n puncte luate pe curbă în ordine notate P k, k =,2,...,n. Unind punctele P k cu P k+1 se formează linia poligonală P P 1...P n, notată pe scurt P. Notăm cu L P = P k 1 P k lungimea liniei poligonale P. Se notează L = supl P marginea superioară a tuturor lungimilor liniilor poligonale care se pot lua pe curba. Dacă L este un număr real, curba se numeşte rectificabilă, iar numărul L se numeşte lungimea curbei. Teoremă 4.19 (Formula de calcul a lungimii unei curbe netede). Orice curbă netedă este rectificabilă. Dacă curba este reprezentată parametric prin x = x(t), : y = y(y), t [a,b] z = z(t), atunci lungimea se calculează cu formula L = b a [x (t)] 2 +[y (t)] 2 +[z (t)] 2 dt.

4 4 URS 4. INTEGRALE URBILINII Exemplu 4.2. Să se calculeze lungimea unui cerc. onsiderăm cercul cu centrul de coordonate (x,y ) şi rază r. Parametrizarea acestui cerc parcurs în sens trigonometric este : { x = x +rcost, y = y +rsint, t [,2π] Avem L = = [x (t)] 2 +[y (t)] 2 dt = r 2 (cos 2 t+sin 2 t)dt = ( rsint)2 +(rcost) 2 dt rdt = 2πr. 4.2 Integrale curbilinii de speţa I Definiţie Fie f : D R m R o funcţie şi o curbă care are suportul inclus în D. Numim integrală curbilinie de speţa I a funcţiei f pe curba numărul real I (dacă un astfel de număr există) cu proprietatea că pentru orice ε > există δ > astfel încât pentru orice alegere a punctelor M k în ordine pe curbă cu proprietatea că M este originea curbei, M n este extremitatea curbei, iar fiecare segment M k 1 M k are lungimea mai mică decât δ (putem scrie l(m k 1 M k ) < δ) şi pentru orice alegere a punctelor N k de pe curbă aflate între M k 1 şi M k să aibă loc I f(n k ) l(m k 1 M k ) < ε. Notaţie Dacă există numărul I atunci el este unic şi se notează f ds. Interpretare Să considerăm un exemplu practic care a condus la noţiunea de integrală curbilinie de speţa I. Avem un fir material de grosime neglijabilă în raport cu lungimea având forma curbei. În fiecare punct al curbei avem o anumită densitate dată de funcţia ρ : R. Ne propunem să calculăm masa firului material. Aproximăm curba cu linia poligonală M M 1...M n, unde M k sunt puncte luate în ordine pe curbă. Aproximăm masa firului material cu masa liniei poligonale construite, presupunând că densitatea pe fiecare segment al liniei poligonale este constantă şi are ca valoare densitatea unui anumit punct N k de pe curbă aflat între M k 1 şi M k. Masa fiecărui segment omogen este produsul dintre densitatea segmentului şi lungimea segmentului. Masa liniei poligonale va fi masa(m k 1 M k ) = ρ(n k ) l(m k 1 M k ). La limită, atunci când numărul de puncte de pe curbă creşte la infinit, această sumă tinde la masa firului material. Observaţie Masa firului material se calculează cu formula m = ρds. Dacă firul este omogen şi ρ = 1 atunci masa coincide cu lungimea firului. Formula pentru lungimea unei curbe este l() = ds.

5 4.2. INTEGRALE URBILINII DE SPEŢA I 5 Teoremă 4.25 (Formula de calcul a integralei curbilinii de speţa I). Dacă este o curbă netedă reprezentată parametric prin : x = x(t), y = y(y), z = z(t), şi f : R este o funcţie continuă atunci f(x,y,z)ds = b a t [a,b] f(x(t),y(t),z(t)) [x (t)] 2 +[y (t)] 2 +[z (t)] 2 dt. Observaţie Integrala nu depinde de parametrizare. Teoremă Fie o curbă netedă pe porţiuni şi fie k curbele netede care alcătuiesc descompunerea curbei. Atunci f ds = f ds = f ds+ + f ds. 1 n 1 n Teoremă Fie o curbă netedă şi fie curba parcursă în mod invers. Atunci f ds = f ds. Exemplu Să se calculeze (x + y)ds, unde este curba închisă formată din segmentul AB, cu A( 1,1) şi B(1,1) şi arcul de pe parabola y = x 2, cuprins între A şi B. Putem scrie (x+y)ds = (x+y)ds+ (x+y)ds, AB unde P este porţiunea de pe parabola de ecuaţie y = x 2 cuprinsă între A şi B. Segmentul AB se parametrizează x = 2t 1, y = 1, t [,1]. Atunci AB (x+y)ds = 1 P 2t 4dt = 2. Porţiunea P de parabolă se parametrizează y = x 2, x [ 1,1]. Atunci P (x+y)ds = 1 1 (x+x 2 ) 1+4x 2 dx = 2 1 x 2 1+4x 2 dx. u schimbarea de variabilă x = 1 2 sht, cu a = sh 1 (2) = ln(2+ 5) rezultă P a (x+y)ds = 2 = 1 16 a a sh 2 t cht cht 4 2 dt = 1 sh 2 tch 2 tdt = ch4t 1 dt = 1 ( ) sh4a a a sh 2 2tdt = 1 ( ln(2+ 5) 32 ). În final, (x+y)ds = 2+ 1 ( ln(2+ ) 5). 32

6 6 URS 4. INTEGRALE URBILINII 4.3 Integrale curbilinii de speţa II Definiţie 4.3. Fie F : D R 3 R 3 o funcţie vectorială f = (P,Q,R) şi o curbă care are suportul inclus în D. Numim integrală curbilinie de speţa a IIa a funcţiei f pe curba numărul real I (dacă un astfel de număr există) cu proprietatea că pentru orice ε > există δ > astfel încât pentru orice alegere a punctelor M k (x k,y k,z k ) în ordine pe curbă cu proprietatea că M este originea curbei, M n este extremitatea curbei, iar fiecare segment M k 1 M k are lungimea mai mică decât δ şi pentru orice alegere a punctelor N k de pe curbă aflate între M k 1 şi M k să aibă loc I P(N k )(x k x k 1 )+Q(N k )(y k y k 1 )+R(N k )(z k z k 1 ) < ε. Notaţie Dacă există numărul I din definiţie atunci el este unic şi se notează P dx+qdy +Rdz. Interpretare Să considerăm un exemplu practic care a condus la noţiunea de integrală curbilinie de speţa a II-a. Ne propunem să calculăm lucrul mecanic L al unei forţe F ce acţionează asupra unui punct ce se deplasează pe curba. Aproximăm curba cu linia poligonală M M 1...M n, unde M k sunt puncte luate în ordine pe curbă. Aproximăm lucrul mecanic L cu lucrul mecanic al unui punct ce se deplasează pe linia poligonală construită, presupunând că forţa pe fiecare segment al liniei poligonale este constantă şi are aceeaşi valoare ca forţa ce acţionează asupra unui anumit punct N k de pe curbă aflat între M k 1 şi M k. Lucru mecanic de pe fiecare segment este produsul scalar dintre forţă şi deplasare. Lucrul mecanic pe linia poligonală va fi F(N k ) M k 1 M k = La limită, această sumă tinde la lucrul mecanic L. P(N k )(x k x k 1 )+Q(N k )(y k y k 1 )+R(N k )(z k z k 1 ). Observaţie Dacă r = x ı+y j+z κ este vectorul de poziţie, atunci vectorul deplasare este d r = dx ı+ dy j+ dz κ. u aceasta, putem scrie P dx+qdy +Rdz = F d r, care se mai numeşte circulaţia vectorului F de-a lungul curbei. Dacă curba este închisă, atunci pentru integrală se mai foloseşte şi notaţia F d r. Teoremă 4.34 (Formula de calcul a integralei curbilinii de speţa a II-a). Dacă este o curbă netedă reprezentată parametric prin x = x(t), : y = y(y), t [a,b] z = z(t), şi F = P ı + Q j + R κ, unde P,Q,R sunt funcţii continue pe un domeniu ce conţine suportul lui, atunci b F d r = [P(x(t),y(t),z(t))x (t)+q(x(t),y(t),z(t))y (t)+r(x(t),y(t),z(t))z (t)]dt. a

7 4.4. FORME DIFERENŢIALE EXATE 7 Observaţie Integrala nu depinde de parametrizare. Teoremă Fie o curbă netedă pe porţiuni şi fie k curbele netede care alcătuiesc descompunerea curbei. Atunci F d r = F d r = F d r+ + F d r. 1 n 1 n Teoremă Fie o curbă netedă şi fie curba parcursă în mod invers. Atunci F d r = F d r. Exemplu Să se calculeze z2 dx+xdy+(x 2 +y 2 )dz, unde este curba aflată la intersecţia conului z = x 2 +y 2 cu paraboloidul z = 6 (x 2 + y 2 ), iar sensul de parcurgere al curbei este sensul orar dacă curba este privită din origine. La intersecţia conului z = x 2 +y 2 cu paraboloidul z = 6 (x 2 +y 2 ) se găseşte un cerc. Ecuaţia cercului se determină rezolvând sistemul { z = Z x 2 +y 2 z = 6 (x 2 +y 2 ). Obţinem z = 2 şi x 2 +y 2 = 4. Putem să parametrizăm acest cerc în felul următor: x = 2cost, : y = 2sint, t [,2π]. z = 2, Pentru calculul integralei avem I = z 2 dx+xdy +(x 2 +y 2 )dz = = 8 sintdt+4 cos 2 tdt = 8cost X [4( 2sint)+2cost(2cost)]dt 2π +2 (1+cos2t)dt = 4π. Y 4.4 Forme diferenţiale exacte Definiţie Fie D R 3 o mulţime deschisă şi fie P,Q,R : D R funcţii de clasă 1. Expresia ω = P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz se numeşte formă diferenţială de ordinul întâi pe D. Definiţie 4.4. Forma diferenţială ω = P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz se numeşte exactă dacă există o funcţie φ 1 (D) cu proprietatea că P = φ x, Q = φ y, R = φ z. Funcţia φ se numeşte primitiva formei diferenţiale exacte ω.

8 8 URS 4. INTEGRALE URBILINII Teoremă 4.41 (Formula lui Leibniz-Newton pentru forme diferenţiale exacte). Dacă γ : [a,b] D, D R 3 un drum de clasă 1, iar φ : D R o primitivă a formei diferenţiale exacte ω, atunci ω = φ(γ(b)) φ(γ(a)). γ Definiţie O mulţime D R 3 este deschisă dacă pentru orice (x,y,z ) D există un r > astfel încât mulţimea { (x,y,z) (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 < r 2} este inclusă în D. Altfel spus, o mulţime este deschisă dacă pentru orice punct al mulţimii, mulţimea include cel puţin o bilă centrată în punctul ales. Definiţie O mulţime D R 3 este conexă dacă nu există două mulţimi deschise D 1,D 2 R 3 astfel încât D 1 D, D 2 D, D 1 D 2 =, D D 1 D 2. u alte cuvinte, o mulţime este conexă dacă este formată dintr-o singură bucată. Teoremă 4.44 (Teorema de caracterizare a formelor diferenţiale exacte). Fie D R 3 o mulţime deschisă şi conexă şi ω o formă diferenţială pe D. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) ω este o formă diferenţială exactă 2) pentru orice drum închis γ cu suportul inclus în D avem ω = γ 3) ω nu depinde de drum. γ Teoremă Fie D R 3 o mulţime deschisă. Dacă ω = P dx+qdy +Rdz este o formă diferenţială exactă, iar φ este o primitivă de clasă 2 (D) a formei diferenţiale ω, atunci P y = Q x, Q z = R y, R x = P z. Definiţie O mulţime D R 3 este stelată dacă există cel puţin un punct a D cu proprietatea că pentru orice x D segmentul [a,x] este inclus în întregime în D. Teoremă Fie D R 3 o mulţime deschisă şi stelată. Dacă ω = P dx+qdy+rdz, P,Q,R 1 (D) este o formă diferenţială cu proprietatea că atunci ω este o formă diferenţială exactă. P y = Q x, Q z = R y, R x = P z Observaţie Teorema anterioară ne arată în ce condiţii o formă diferenţială este exactă. Primitiva acestei forme diferenţiale se determină cu formula φ(x,y,z) = x x P(t,y,z )dt+ y y Q(x,t,z )dt+ z z R(x,y,t)dt. În plan, formula pentru primitiva unei forme diferenţiale exacte ω = P dx+qdy este φ(x,y) = x x P(t,y )dt+ y y Q(x,t)dt.

9 4.4. FORME DIFERENŢIALE EXATE 9 Exemplu alculaţi Fie (2,3,4) (1,,1) Acestea sunt funcţii de clasă 1 pe R 3 şi yz(2x+y z) dx+xz(x+2y z) dy +xy(x+y 2z) dz. P = yz(2x+y z), Q = xz(x+2y z), R = xy(x+y 2z). P y = Q = 2xz +2yz z2 x Q z = R y = x2 +2xy 2xz R x = P z = 2xy +y2 2yz. Pentru că R 3 este stelată, rezultă că forma diferenţială ω = P dx + Qdy + Rdz este exactă. Determinăm o primitivă cu formula φ(x,y,z) = = x z P(t,,)dt+ Pe baza formulei lui Leibniz-Newton (2,3,4) (1,,1) y Exemplu 4.5. Se dă forma diferenţială Q(x,t,)dt+ z R(x,y,t)dt z xy(x+y 2t)dt = xy(x+y)t xyt 2 = xyz(x+y z). P dx+qdy +Rdz = φ(2,3,4) φ(1,,1) = 24. ω = y x 2 +y dx+ x 2 x 2 +y dy. 2 Să se arate că ω nu este exactă. Să se calculeze ω, unde este cercul x2 +y 2 = r 2 parcurs în sens trigonometric. Fie P = y şi Q = x. Acestea sunt funcţii de clasă 1 pe R 2 \ {(,)}, cu x 2 +y 2 x 2 +y 2 proprietatea că P y = Q x = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2, (x,y) (,). Dacă ω ar fi exactă atunci integrala pe orice curbă închisă din domeniu ar fi. Dar [ rsint ω = ( rsint)+ rcost ] (rcost) dt = 2π. r 2 r 2 Acest lucru ne arată că ω nu este exactă. Iar acest fapt, că ω nu este exactă, se explică din faptul că mulţimea R 2 \{(,)} nu este stelată.

0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx

0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea

Mai mult

8

8 9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0

Mai mult

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

CLP_UTCN-grila-2012.dvi Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x 1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima

Mai mult

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot

Mai mult

RecMat dvi

RecMat dvi Conice şi cubice în probleme elementare de loc geometric Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this Note, a number of simple problems are presented to support the idea that conic and cubic curves can frequently

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007 GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la

C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician   1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente

Mai mult

Analiză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019

Analiză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019 Analiză 2 Notițe de seminar Adrian Manea Curs: A. Niță 11 mai 2019 Cuprins 1 Ecuații și sisteme diferențiale 3 1.1 Ecuații liniare de ordinul n cu coeficienți constanți.............. 3 1.2 Metoda eliminării

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

Algebra si Geometri pentru Computer Science

Algebra si Geometri pentru Computer Science Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul

Mai mult

Cuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.

Cuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei

Mai mult

Noțiuni matematice de bază

Noțiuni matematice de bază Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea

Mai mult

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia

Mai mult

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul

Mai mult

Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea

Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea Contents Vectori... 4 Modul de rezolvare a problemelor... 5 despre vectori... 6 Vector deplasare... 12 Vector viteza... 12 Statica...

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

Subiectul 1

Subiectul 1 Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

Autoevaluare curs MN.doc

Autoevaluare curs MN.doc Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor

Mai mult

Complemente de Fizica I Cursul 1

Complemente de Fizica I  Cursul 1 Complemente de Fizică I Cursul 1 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul I. Transformări de coordonate I.1. Transformări Galilei. I.2. Spațiul E 3 al vectorilor tridimensionali.

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a

Mai mult

Matematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I

Matematici Speciale - Ingineria Sistemelor Seminar 1 Probleme rezolvate 1. Studiaţi convergenţa integralelor improprii: Z 1 p Z 3 2x 2 a) I Matematici Seciale - Ingineria Sistemelor 5-6 Seminar Probleme rezolvate. Studiaţi convergenţa integralelor imrorii: a) I d, b) J d, c) K + ;5 entru a d şi b c k. Soluţie: a) Integrala I este divergent¼a,

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

Microsoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR

Microsoft Word - Tsakiris Cristian - MECANICA FLUIDELOR Cuvânt înainte Acest curs este destinat studenţilor care se specializează în profilul de Inginerie economică industrială al Facultăţii de Inginerie Managerială și a Mediului, care funcţionează în cadrul

Mai mult

Notiuni de algebra booleana

Notiuni de algebra booleana Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt

Mai mult

02. Analiza matematica 3 - MI 2

02. Analiza matematica 3 - MI 2 FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO

E_d_Informatica_sp_SN_2014_bar_10_LRO Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba E. d) Informatică Varianta 10 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. În rezolvările cerute,

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 2017

Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 2017 Daniela ROŞU MATEMATICI SPECIALE Culegere de probleme Universitatea Gheorghe Asachi Iaşi 17 Cuprins 1 Integrale prime şi sisteme simetrice 1 1.1 Abstract teoretic................................ 1 1.

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati

Mai mult

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0911_roman.doc Matematika román nyelven középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Indicaţii

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

MECANICA FLUIDELOR

MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR Generalităţi Orice substanţă care curge se numeşte fluid. În această categorie se încadrează atât lichidele cât şi gazele. Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice,

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI Etapa locală, 24 februarie 2017 PROFIL TEHNIC ŞI SERVICII, RESURSE NATURALE, PROTECŢIA MEDIU SUBIECTE - clasa a IX-a 1. Determinați mulțimile: a) ; b) ; c). 2. Arătați că: a), ; b) dacă, atunci. 3. Considerăm dreptunghiul ABCD și punctele E, F și M, astfel încât, și. Dacă N este mijlocul lui (EF),

Mai mult

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009

Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme... 11 1. GEOMETRIA

Mai mult

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014

Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea   marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Logică și structuri discrete Relații. Funcții parțiale Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 20 octombrie 2014 Relații în lumea reală și informatică Noțiunea matematică de

Mai mult

Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car

Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1

Mai mult

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru

Mai mult

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul

Mai mult

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_ R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA

Mai mult

matematica

matematica MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În

Mai mult

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_roman.doc Matematika román nyelven középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN MATEMATICĂ KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN DE BACALAUREAT NIVEL MEDIU Az írásbeli vizsga időtartama:

Mai mult

OLM_2009_barem.pdf

OLM_2009_barem.pdf Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI

Mai mult

Şcoala ………

Şcoala ……… Şcoala... Clasa a X-a Disciplina: Matematică TC + CD Anul şcolar: 07-08 TC = trunchi comun 35 săptămâni: 8 săptămâni semestrul I CD = curriculum diferenţiat Nr. ore: 3 ore / săptămână 7 săptămâni semestrul

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Calculul Aproximativ al Derivatelor Funcțiilor umerice Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mail: Levente.Czumbil@ethm.utcluj.ro WebPage: http://users.utcluj.ro/~czumbil Determinarea distribuţiei de sarcină

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind

Mai mult

Fizica fluidelor Cursul 5

Fizica fluidelor  Cursul 5 Fizica fluidelor Cursul 5 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara Capitolul III. Curgeri potențiale. III.1. Fluidul perfect. III.2. Teorema lui Bernoulli. III.3. Echilibrul hidrostatic. III.4.

Mai mult

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind

Mai mult

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3

Mai mult

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care

Mai mult

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s

8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} s 8.1. Elemente de Aritmetică. 8. Aplicatii (15 aprilie 2019) Lema 8.1. Fie (A, +) un grup abelian şi H, K A. Atunci H K şi H + K = {h + k h H şi k K} sunt sungrupuri ale lui A. Propoziţia 8.2. Considerăm

Mai mult

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.

Mai mult

Electricitate II

Electricitate II Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor

Mai mult

ASDN

ASDN PROIECTAREA LOGICĂ Laboratorul PL Suport de Laborator II 1. Să se găsească sumele minimale şi produsele minimale pentru următoarele funcţii: (a) f = m(0 + 2 + 4 + 8 + 10 + 12), (b) f = m(2 + 3 + 6 + 7

Mai mult

Microsoft Word - IngineriF_A.DOC

Microsoft Word - IngineriF_A.DOC Se considera v BE 0.6V in conductie si β00. Pentru v I.6+0.05sinωt [V], tensiunea este : +0V R C 5K v I v BE 0.5mA 0V C a 7.50.3sinωt [V] c.5.5sinωt [V] b 7.5.5sinωt [V] d.60.05sinωt [V] Se cunoaste β00

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,

Mai mult