Calcul Numeric

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Calcul Numeric"

Transcriere

1 Calcul Numeric Cursul Aca Igat

2 Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u Vectorul u se umeşte vector propriu asociat valorii proprii λ. Petru existeţa vectorului u 0 este ecesar şi suficiet ca matricea (I A) să fie sigulară, adică det(i A)=0. 1

3 Poliomul de grad : p det I A A se umeşte poliom caracteristic al matricei A. Propoziţia 1 Fie rădăciile poliomului caracteristic 1, 2,..., disticte, i j petru 1 i j şi u1, u2,, u vectorii proprii corespuzători. Atuci u1, u2,, u sut liiar idepedeţi. (demostraţia se face pri iducţie) 2

4 Propoziţia 2 Fie valorile proprii i ale matricei A disticte. Atuci există o matrice esigulară T astfel ca: 1 T AT diag[ 1, 2,, ]. Demostraţie. Fie u1, u2,, u vectorii proprii ai matricei A. Cosiderăm matricea T ale cărei coloae sut vectorii proprii ui, u1u 2 u ]. Deoarece vectorii proprii sut liiar idepedeţi coform propoziţiei 1 rezultă că matricea T este esigulară. Vom avea: AT Au Au Au u u u T.diag Îmulţid la stâga cu T -1 obţiem cocluzia propoziţiei 2. 3

5 Defiiţie Matricile A şi B sut asemeea (otaţie AB) dacă şi umai dacă există o matrice esigulară T (det T 0) astfel ca: A=T B T -1 Propoziţia 3 A B pa pb. Demostraţie. p det( I A) det I TBT det TT TBT A 1 1 T I B T T I B T p det det( )det det B Propoziţia 3 e spue că matricele asemeea au același poliom caracteristic şi aceleași valori proprii. 4

6 Teorema lui Gershgori Fie A Atuci: şi o valoare proprie oarecare a matricei A. i0 î â ai 0i r 0 i r 0 i a 0 i0 j j1 ji 1,2,, astfel c t. (Valoarea proprie se află î cercul di plaul complex de cetru a şirază r.) i i i 0 5

7 Demostraţie. Fie o valoare proprie a matricei A şi u 0 u vector propriu asociat valorii proprii, Au u. Avem: u a u a u ( a ) u a u, i 1,,. i ii i ij j ii i ij j j1 j1 ji ji u u max u ; k 1,, 0 u 0). Fie i0 astfel ca Vom avea: i 0 u uj u j j ai, ţiâd seama că 1. 0i a 0 i0 j ai 0 j ri 0 u u u j1 i j1 i i ji k ji0 6

8 Observaţie. Presupuem că matricea A are vectori proprii 1 2 liiar idepedeţi u, u,, u asociaţi valorilor proprii 1, 1 2 2,..., Fie U u u u. Datorită idepedeţei vectorilor u k rezultă că matricea U este esigulară şi avem: diag 1, 2,, 1 U AU. Cosiderăm matricea perturbată: A A B. 1 1 U A U U BU C. 1 A( ) U A( ) U au aceleaşi valori proprii ( ) c c i ii ij i j1 ji. i 7

9 Metoda puterii petru matrice simetrice Propoziţie Fie T A, A A. Atuci toate valorile proprii ale matricei A sut umere reale. Demostraţie. Fie şi u, u 0 Au u. Cosiderăm produsul scalar: Au, u u, u u. T Au, u u, A u u, Au Au, u Au, u, Au u 2. u

10 Propoziţie T Fie A, A A. Atuci există o bază ortoormată de vectori proprii ai matricei A, {u 1, u 2,..., u } : i u, u j ij 1 dacă i j 0 dacă i j Echivalet, putem scrie ca există vectori proprii {u 1, u 2,..., u } asociaţi valorilor proprii reale {λ1, λ2,..., λ} atfel ca: T AU U U AU cu diag şi 1 2 [,,..., ] U [ u u u ] matrice ortogoală

11 Defiiţie Se umeşte coeficiet Rayleigh al vectorului matricea A următoarea mărime scalară: u petru T u Au Au, u Au, u ru ( ) T u u u, u u Se verifică uşor că dacă u este vector propriu al matricei A asociat valorii proprii λ atuci r(u)= λ. T Fie A, A A. Matricea are valori proprii reale λ1, λ2,..., λ. Presupuem î plus că:

12 Metoda puterii este u algoritm care aproximează valoarea proprie de modul maxim λ1 şi u vector propriu asociat. Se poreşte de la u vector eul de ormă euclidiaă 1, (0) (0) u, u 2 1 şi se costruieşte următorul şir de vectori de ormă euclidiaă 1: (0) (1) 1 (0) (2) 1 (1) u, u Au, u Au,..., (0) (1) Au Au u Au ( k) ( k1) ( k1) Au 2,... Î aumite codiţii acest şir coverge la u vector propriu asociat valorii proprii λ1, iar coeficieţii Rayleigh corespuzători coverg către λ1. 11

13 Teoremă T Fie A, A A o matrice simetrică petru care valorile proprii îdepliesc codiţia: Dacă (0) u, (0) 2 1 u, asociat lui λ1) atuci: k 1 k u A u k (0) Au u ( ) (0) 1 ru ( k ) ( ) 1 2 (0) 1 (, ) 0 u u (u 1 vector propriu ( vector propriu asociat lui ) 1 12

14 Demostraţie. Fie {u 1, u 2,..., u } vectori proprii asociaţi valorilor proprii {λ1, λ2,..., λ} care formează o bază ortoormată î. Avem: (0) 1 2 u a1u a2 u au, ai (0) 1 Deoarece ( u, u ) 0 rezultă că a1 0. Di costrucţia şirului u (k) deducem că există o costată ck astfel ca: 13

15 u c A u ( k) k (0) k k c A ( a u a u a u ) k c ( a u a u a u ) k 1 k 2 k k k k k ck1 a1u a2 u a u 1 1 Di această ultimă relaţie, di faptul că λ1 este valoare proprie domiată şi a1 0 deducem că petru k suficiet de mare vectorul u (k) se aliiază după vectorul propriu u 1 : u c a u ( k) k 1 k

16 u (0) (0) k do Metoda puterii 0; k ; w u ( k ) k, u 1; Au ( k1) 1 w 2 ; 2 w ; r u Au u ( k ) ( k ) ( k ) ( ), ; ( k) ( k) while( Au u şi k k ); k max 15

17 Metoda iteraţiei iverse T Cosiderăm o matrice simetrică A, A A şi u umăr real care u este valoare proprie a matricei A. Vom folosi metoda puterii petru a aproxima valoarea proprie a matricei A care este cea mai apropiată de μ şi u vector propriu asociat. valoare proprie det( A I ) 0 ( A I ) Fie {λ1, λ2,..., λ} valorile proprii reale ale matricei A. 1 16

18 Valorile proprii ale matricei (A-μI) -1 sut: 1 1 1,,..., ( 1 ) ( 2 ) ( ) Matricele A şi (A-μI) -1 au aceiași vectori proprii. Să presupuem că λi este valoarea proprie cea mai apropiată de μ (şi sigura). Atuci: 1 1 j I j I 17

19 Această relaţie sugerează ideea aplicării metodei puterii matricei (A - μi) -1 petru a aproxima valoarea proprie (λi μ) -1 şi a uui vector propriu asociat. Algoritmul duce la aproximarea valorii proprii cea mai apropiată de μ, λi şi a uui vector propriu asociat acestei autovalori, u I. 18

20 u (0) (0) k do Metoda iteraţiei iverse 0; k ; Se rezolvă sistemul u ( k ) k, u 1; 1 w 2 2 w ; r u Au u ( k ) ( k ) ( k ) ( ), ; ( k1) ( A I ) w u ; ( k) ( k) while( Au u şi k k ); k max 19

21 Spuem că o matrice H Hesseberg dacă: Forma superioară Hesseberg este î formă superioară h 0, i 1,,, j 1,, i 2 ij O matrice î formă Hesseberg arată astfel: 20

22 H h h h h h h h h h h h h h h h h h h h 1 Ne iteresează u algoritm care să trasforme o matrice pătratică A oarecare îtr-o matrice Hesseberg superioară H care să aibă aceleaşi valori proprii: 21

23 1 A Ha.î. H A, H PA P, Pmatrice esigulară Algoritmul este o adaptare a algoritmului lui Housholder şi se desfăşoară î (-2) paşi, folosid matricile de reflexie petru a trasforma matricea. Pas 1 se efectuează operaţiile A=P1 A P1 (matricea P1 se alege astfel îcât coloaa 1 să fie trasformată î formă superior Hesseberg) 22

24 Pas 2 iit A = P2 AP2 P2 ( P1 A ) P2 (P2 trasformă coloaa 2 î formă superior Hesseberg fără să schimbe coloaa 1) Pas r A P ( iit r APr Pr Pr 1 P1 A P1 Pr 1) Pr (se trasformă coloaa r î formă superior Hesseberg fără să schimbe primele (r-1) coloae) 23

25 Pasul r (r=1,2,,-2) La itrarea î pasul r matricea A are primele (r-1) coloae î formă superior Hesseberg. La ieşirea di pasul r matricea A va avea primele r coloae î formă superior Hesseberg: A P A P, A A ies r itr r ies itr r r T r r P = I 2 v ( v ), v R, v = 1 r 2 Vectorul v r se alege astfel ca matricea Aies să aibă coloaa r î formă superior Hesseberg şi să u schimbe primele (r-1) coloae ale matricii Aitr. 24

26 Calculul matricii Pr 1 T P I uu ka = r 1r r1r ir r ir i= r1 sem k = sem a r 1 r k = = a a a = a k = 25

27 := r r ir r a k u a a 0 1 ( ) r r P I

28 Algoritmul de trecere de la matricea A la matricea Pr A este următorul: Ae jpetru j = 1,, r 1 T ( Pr A) e j = ( a1r, a2r,, arr, k,0,,0) petru j = r j Ae j upetru j = r 1,, = ( Ae, u) = u a j j i ij i= r1 ui = 0, i = 1,, r, ur 1 = ar1r k, ui = air, i = r 2,, 27

29 Vom descrie î cotiuare cum se efectuează operaţia A:=APr fără a face îmulţire matricială (matricea A este cea obţiută mai sus avâd primele r coloae î formă superior Hesseberg). Vom arata că această operaţie u schimbă forma superior Hesseberg obţiută. Vom pue î evideţă trasformările liiilor matricii A. Petru i=1,..., avem: T T 1 T ei ( AP) oualiieiamatriciiape i A)( I uu ) 1 ( ) i ei A ei A uu ei A u ude T T T T T 28

30 T i ( ei A) u air1ur 1 aiu Elemetele liiei i se schimbă astfel: i aij aij u j, j r 1,,, i 1,, Operaţia A:=APr u modifică primele r coloae ale matricii A, ele rămââd î formă superior Hesseberg. 29

31 Algoritmul de obţiere a formei superior Hesseberg forr 1,, 2 costrucţiamatriciipcostataşivectorulu 2 = air; i= r1 if( ) break ; / / r r 1 P I k = ; if( ar1r0 ) k k; ka ; r1r u a k; u a, i r 2,, ; r1 r1r i ir r r 30

32 A P A r trasformareacoloaelor j r 1,, for j r 1,, ( / ) ( Ae, u) / = ( u a ) / ; j j i ij i= r1 fori r 1,, aijaij ui ; trasformareacoloaeiramatriciia a k; a i r 2,, ; r1r ir 31

33 A AP trasformarealiiilori 1,, fori 1,, ( / ) (( ) ) / = ( ) / ; for j r 1,, aijaij u j; r T i ei A u u jaij j= r1 32

34 Algoritmul QR de aproximare a valorilor proprii ale uei matrici oarecare Prezetăm î cotiuare cel mai folosit algoritm de aproximare a valorilor proprii petru matrici pătratice oarecare. Spuem că o matrice S este î formă Schur reală dacă matricea S este î formă superior Hesseberg şi î plus este bloc-diagoală: 33

35 S S S S p S S 22 2 p 0 S pp blocurile Sii sut astfel ca: - Sii - este valoare proprie reală 22 - S ii - este bloc corespuzător valorilor proprii complexe Valorile proprii corespuzătoare blocului ab 22 Sii c d sutrădăciile ecuaţiei: 34

36 - a b -c -d 2 ( - a)( - d) - bc ( a d) ad bc 0 Se presupue că această ecuaţie de gardul 2 are rădăcii complexe. Algoritmul QR de aproximare a valorilor proprii ( k ) costruieşte u şir de matrici A, matrici asemeea ( k ) cu matricea A, A A, k, şir care coverge la o matrice î ( k ) formă Schur reală, A S, k. Matricea limită S este asemeea cu matricea A, valorile prorii ale matricii S fiid uşor de calculat. Şirul A (k) se costruieşte astfel: 35

37 (0) (0) (0) A : A, A Q R ( descomp. QR calc. petrumatriceaa ) 0 0 (1) (1) (1) A : R Q, A Q R ( descomp. QRcalc. petrumatriceaa ) A (2) : R Q 1 1 ( k) ( k) A Q R ( descomp. QRcalc. petrumatriceaa ), ( k 1) A k k : RkQk, k 0,1, 2, 1 T Matricile Qk sut matrici ortogoale ( Q k Qk ) iar matricile Rk sut superior triughiulare. 36

38 Matricile A (k) şi A (k+1) sut asemeea: Q A Q R R Q A T ( k ) T ( k ) k k k k k A R Q Q A Q A A, k ( k1) T ( k ) ( k1) ( k ) k k k k Matricile şirului costruit sut toate asemeea pri urmare au aceleaşi valori proprii aume cele ale matricii iiţiale A= A (0) : (0) (1) ( k ) A A A A S Dacă matricea A (k) este î formă superioară Hesseberg, atuci descompuerea QR realizată cu algoritmul lui Gives se simplifică. Reamitim algoritmul lui Gives: 37

39 R R R R R A R 1( 1) p( p) pp1( pp1) 1( 1) 12( 12) Dacă matricea A este î formă Hesseberg î algoritmul lui ( 1) Gives, di cele îmulţiri cu matrici de rotaţie 2 rămâ doar (-1): R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) A R. 1 1 pp1 pp Problema care se pue este dacă porid cu o matrice î formă Hesseberg, toate matricile şirului rămâ î formă Hesseberg: 38

40 ( k ) A ( îformăhesseberg) H QR( cugives)? ( k1) T ( k ) T A H RQ Q A Q Q HQestetotîformăHesseberg Avem: H Q HQ R R ( ) R ( ) R ( ) T T T T rr1 rr1 1 1 Notăm cu: petru care avem: R R R ( ) T

41 ri 1 cri 1 sri 2, i ri 1 0, i 2,, ri 1 0, i 3,, ri 2 sri 1 cri 2, i ri 2 0, i 3,, ri 2 0, i 3,, deci coloaa 1 se trasformă î formă Hesseberg iar coloaa 2 rămâe î formă suprior triughiulară. La pasul p avem: RR ( ) R ( ) R ( ) RR ( ) R, T T T T p1 p p1 p pp1 pp1 pp1 pp1 R RR ( ) R ( ) T T p1 p p1 p 40

42 matricea R are primele (p-1) coloae î formă Hesseberg iar restul coloaelor sut î formă superior triughiulară. Vom arata că la acest pas matricea R va avea primele p coloae î formă Hesseberg iar restul coloaelor î formă superior T triughiulară. Operaţia R R Rpp1( pp1) presupue doar schimbarea elemetelor coloaelor p şi p+1: r ip crip srip1, i r ip 0, i p 1,, r ip1 srip crip1, i r ip1 0, i p 2,,. rip 0, i p 2,, rip1 0, i p 2,, 41

43 Observăm di relaţia de mai sus că î matricea R coloaa p are formă Hesseberg iar coloaa p+1 rămâe î formă superior triughiulară (celelalte elemete di matrice u se modifică). ( k 1) Pri urmare după pasul -1 matricea H A este î formă superioară Hesseberg. Algoritmul QR de aproximare a valorilor proprii folosid descompuerea Gives păstrează forma Hesseberg. 42

44 Algoritmul QR petru valori proprii seaducematriceaala formahesseberg AQ AQ T ; k 0; while( AformaSchurreală) A QR; / / secalculeazăcualgoritmulgives T A RQsau Q AQ; k k 1; 43

45 Î practică se presupue că matricea A este î formă Hesseberg eredusă, adică: a ii 1 0 i 2,, Dacă matricea u este î formă eredusă, problema se decuplează: A11A12 p A, p 1sau 2 A21A22 p p p 44

46 Algoritmului QR cu deplasare ( shift ) simplă Algoritmul cu deplasare simplă este următorul: T AQ AQ ; aducerealaformahessebergeredusă k 0; while( AformaSchurreală) A dki QR; / / secalc. cualg. Gives A : RQ d ki; k k 1; 45

47 dk sut costatele de deplasare. Dacă A - d I = QR (A (k) ) şi A RQdI ( A (k+1) ), se pue problema dacă cele două matrici sut asemeea ( A A) (şirul de matrici costruit cu pasul QR cu deplasare simplă au aceleaşi valori proprii). A Q T QRQ dq T QQ T ( QR di ) QQ T AQ A A Variata cu deplasare se efectuează petru a accelera covergeţa algoritmului. Dacă λ1, λ2,..., λ sut valorile proprii ale matricii A ordoate astfel ca: d d d

48 Rapiditatea cu care a 1 0, k este dată de rata de ( k ) p covergeţa a expresiei covergeţa Teoremă ( k ) a 1 0 p p1 p d d k. Dacă se alege d este rapidă. Avem următoarul rezultat: Fie d o valoare proprie a uei matrici Hesseberg ereduse H. Dacă H RQ d I, cu H d I QR descompuerea QR a matricii H d I QR. Atuci: h1 0, h d 47

49 Algoritmul QR cu deplasare simplă găseşte valoarea proprie d îtr-u sigur pas. Euristic s-a costatat că la fiecare pas, cea ( ) mai buă aproximare a uei valori proprii este a k. ( k ) d a k Algoritmul QR cu deplasare simplă T AQ AQ ; aducerealaformahessebergeredusă k 0; while( AformaSchurreală) A ai QR; / / secalc. cualgoritmulgives A : RQ ai ; k k 1; 48

50 Algoritmului QR cu deplasare ( shift ) dublă Î cazul câd valorile proprii a1, a2 corespuzătoare blocului: appap G, p 1 apa sut complexe, a1, a2, abordarea cu deplasare simplă u mai asigură accelerarea covergeţei. Avem: 49

51 det( I G) ( a )( a ) ( a )( a ) a a ( a a ) a a ( a a ) a a a a pp p p pp pp p p a a a a trace( G), a a a a a a detg 1 2 pp 1 2 pp p p Algoritmul QR cu deplasare dublă costă î trecerea de la matricea A = A (k) la matricea A2 = A (k+1) realizâd doi paşi cu deplasare simplă : A A1 (deplasare simplă a1), A1 A2 (deplasare simplă a2) 50

52 Fie matricea : A a I Q R A R Q a I A a I Q R A R Q a I M Q Q R R Q Q R R Q A a I R : Q Q AQ a I R Q Q AQ R a Q R T T A a 2 I Q1R1 A a2 I A a1 I M Q Q R R A a I A a I A ( a1 a2) A a1a2i 51

53 Avem următoarele relaţii de asemăare: T T T T T T T , : 1 2 A A Q AQ A Q A Q Q Q AQ Q Q Q A Q Q A Q Q A Q Q Q AQ Q Q Q Matricea Q care asigură trecerea de la matricea A la matricea A2 este matricea ortogoală di descompuerea QR a matricii M A a 2I A a1 I. Pasul QR cu deplasare dublă se face urmâd etapele: 52

54 1) se calculează matricea 2 M A sa qi cu s = a1+a2 = app+a, q = a1a2 = app a - apap ; 2) se calculează descompuerea QR a matricii M; 3) A2:=Q T AQ. 53

55 Vectori proprii Cosiderăm două matrici asemeea A şi B: A B A PBP 1, Pmatrice esigulară Ştim că cele două matrici au acelaşi poliom caracteristic, p A ( ) p ( ), deci au aceleaşi valori proprii. Ne iteresează B care este legătura ître vectorii proprii asociaţi aceleiaşi valori proprii. Fie u vector propriu asociat valorii proprii petru matricea A şi w vector propriu asociat valorii proprii petru matricea B. Care este relaţia ître u şi w? 54

56 1 1 Au u, Bw w, A PBP PBP u u BP u P u w P u, u Pw Dacă se aplică algoritmul QR uei matrici simetrice, forma Schur reală la care se ajuge este o matrice diagoală: S = Λ = diag[1, 2,..., ] Legătura ditre matricea simetrică iiţială A şi matricea diagoală este de forma: S = Λ = diag[1, 2,..., ] = U T A U ude U este o matrice ortogoală, coloaele matricii U fiid vectori proprii asociaţi valorilor proprii reale 1, 2,...,. Matricea U se poate calcula astfel: 55

57 Algoritmul QR petru matrici simetrice (valori +vectori proprii) seaducematriceaa laformahesseberg AQ AQ U Q T ; T ; k 0; while ( Amatricediagoal ă) A QR; / / secalculeazăcu algoritmulgives T A RQsauQ AQ; U UQ; k k 1; 56

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A

Mai mult

CURS 8

CURS 8 Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul

Mai mult

Limite de funcţii reale

Limite de funcţii reale ( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.

Mai mult

Microsoft Word - subiecte

Microsoft Word - subiecte Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Mai mult

Microsoft Word - 3 Transformata z.doc

Microsoft Word - 3 Transformata z.doc Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi

Mai mult

Microsoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc

Microsoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.

Mai mult

Pagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia

Pagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației

Mai mult

ETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care

ETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția

Mai mult

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2

Probleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2 Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice

Mai mult

Microsoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007

Microsoft Word - SUBIECTE  FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007 CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a

Mai mult

Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e

Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2

Mai mult

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,

Mai mult

Ce este decibelul si Caracteristica BODE

Ce este decibelul si Caracteristica BODE . Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula

Mai mult

Dependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,

Dependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1, Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție

Mai mult

STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe

STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia

Mai mult

Microsoft Word - anmatcap1_3.doc

Microsoft Word - anmatcap1_3.doc . IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral

Mai mult

CAPITOLUL 1

CAPITOLUL 1 3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul

Mai mult

Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu

Algebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe

Mai mult

Concursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat

Concursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a

Mai mult

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc

Microsoft Word - LogaritmiBac2009.doc Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,

Mai mult

Microsoft Word - MD.05.

Microsoft Word - MD.05. pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului

Mai mult

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 : OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este

Mai mult

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval BAEM DE COECTAE Clasa a -a Pagia di 9 Subiect - MECANICĂ CLASICĂ Parţial Puctaj Bare subiect ucte Problea. Mişcări ucte a.) Mișcarea puctului aterial este uifor ariată a / cost. Eidet rectiliie u poate

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29. Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.

Mai mult

Microsoft Word - pag_006.doc

Microsoft Word - pag_006.doc ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a

Mai mult

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro

Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare 1 Metoda lui Newton Algorithm 1 Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. Date de intrare: - Funcţia f - Apro Ecuatii si sisteme de ecuatii neliniare Metoda lui Newton Algorithm Metoda lui Newton pentru ecuaţia f(x) = 0. - Funcţia f - Aproximaţia iniţială x - Eroarea admisă ε - Numărul maxim de iteraţii ITMAX

Mai mult

1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob

1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob 1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: 19.6 19.9 20.4 19.8 20.5 21.0

Mai mult

Programa olimpiadei de matematică

Programa olimpiadei de matematică Programa olimpiadei de matematică petru clasele V VIII Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse î mod implicit coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă,î

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să

Mai mult

Preţ bază

Preţ bază OPERATORUL PIEŢEI DE ENERGIE ELECTRICĂ ŞI DE GAZE NATURALE DIN ROMÂNIA INDICATORI SPECIFICI PUBLICAŢI DE OPCOM SA PREŢURI ŞI INDICI DE PREŢ/VOLUM Piaţa petru Ziua Următoare (PZU) Preţuri orare [lei/mwh]

Mai mult

Realizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice

Realizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui

Mai mult

SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv

SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz

Universitatea Politehnica din Bucureşti Facultatea de Electronică, TelecomunicaŃii şi Tehnologia InformaŃiei Tehnici Avansate de Prelucrarea şi Analiz Uiversitatea Politehica di ucureşti Facultatea de Electroică, TelecomuicaŃii şi Tehologia IformaŃiei Tehici Avasate de Prelucrarea şi Aaliza Imagiilor urs 7 Morfologie matematică Pla urs 7 Morfologie matematică

Mai mult

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

Matematici aplicate științelor biologie Lab10 MV

Matematici aplicate științelor biologie  Lab10 MV LP10 - TATITICA INFERENŢIALĂ. Itervale de îcredere. Cosiderații teoretice Majoritatea studiilor statistice u se realizează pe îtreaga populaţie statistică di uul sau mai multe icoveiete: - talia populaţie

Mai mult

Diapositive 1

Diapositive 1 Tablouri Operatii pe tablouri bidimensionale Lectii de pregatire pentru Admitere 09 / 03 / 2019 1 Cuprins Operatii pe tablouri bidimensionale 0. Tablouri unidimensionale scurta recapitulare 1.Tablouri

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

1

1 APROXIMAREA PROFILULUI TRANSVERSAL AL DRUMURILOR PRIN FUNCŢII MATEMATICE ÎN VEDEREA EVALUARII PARAMETRILOR DE CALITATE AI SUPRAFEŢEI CAROSABILE Prof dr ig Bruj Adri Şef lucr dr ig Dim Mri Asist ig Cătăli

Mai mult

PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C

PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

Curs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e

Curs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema

Mai mult

Metode Numerice

Metode Numerice Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă

Mai mult

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla

Geometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea   cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2

Mai mult

Autoevaluare curs MN.doc

Autoevaluare curs MN.doc Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor

Mai mult

Microsoft Word - fmnl06.doc

Microsoft Word - fmnl06.doc Metode Numerce Lucrre de lbortor r. 6 I. Scopul lucrăr Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. II. Coţutul lucrăr. Metode tertve de rezolvre sstemelor lre. Geerltăţ. 2. Metod Jcob. 3. Metod Guss-Sedel.

Mai mult

E_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO

E_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di

Mai mult

HNT_vol_Vorbire_v_7_hhh.PDF

HNT_vol_Vorbire_v_7_hhh.PDF Utilizarea tehicilor uatate (fuzzy) si de diamica eliiara petru siteza adaptiva a vorbirii Horia-Nicolai L. Teodorescu cademia Româa, Sectia Stiita si Tehologia Iformatiei, Calea Victoriei 25, Bucuresti

Mai mult

FIŞA NR

FIŞA NR Prof CORNELI MESTECN Prof RRODIC TRIŞCĂ CLUJ-NPOC 009 CUPRINS FIŞ NR NUMERE RELE Pg 6 FIŞ NR ECUŢII Pg 8 FIŞ NR FUNCŢII TEORIE Pg 0 4 FIŞ NR 4 FUNCŢII EXERCIŢII Pg FIŞ NR ECUŢII IRŢIONLE, ECUŢII EXPONENŢILE

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

Microsoft Word - F.Paladi_TD_manual.doc

Microsoft Word - F.Paladi_TD_manual.doc dq d d c lm lmt lm 0, T 0 dt T 0 dt T 0 d lt deoarece lm(lt ) La fel se poate demostra că ş T 0 cp cv lm 0, care tde către zero ma let decât dfereţa de la T 0 cp umărător c c P V 15 Etropa Exstă tre formulăr

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018

Mai mult

2

2 C5: Metoda matricilor de transfer BIBLIOGRAFIE E. Tulcan Paulescu, M. Paulescu Algorithms for electronic states in artificial semiconductors of use in intermediate band solar cells engineering. In Physics

Mai mult

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru

Mai mult

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri

CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, tri CERCURI REMARCABILE ASOCIATE UNUI TRIUNGHI 19 3. CERCURI EXÎNSCRISE Natura vorbeşte în limbajul matematicii: literele acestei limbi sunt cercuri, triunghiuri şi alte guri geometrice. Galileo Galilei 3

Mai mult

Microsoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc

Microsoft Word - Tema 06 - Convertoare analog-numerice.doc Convertoare analog-numerice (ADC) Convertoarele analog-numerice sunt circuite electronice (în variantă integrată sau hibridă) care, printr-un algoritm intrinsec de funcţionare, asociază valorilor tensiunii

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult

CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 20 aprilie 2019 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE SUBIECTUL I Se punctează doar rezult CONCURSUL DE MATEMATICǍ ISTEŢII D ARBORE EDIŢIA a X-a - 0 aprilie 09 Clasa a IV-a BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE Se punctează doar rezultatul: pentru fiecare răspuns se acordă fie uncte, fie 0 puncte Nu

Mai mult

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc

Microsoft Word - Concursul SFERA.doc CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SFERA EDIŢIA a II-a BĂILEŞTI, 1 martie 005 CLASA a IV-a Pentru întrebările 1-5 scrieţi pe lucrare litera corespunzătoare răspunsului corect 1. Care este numărul care

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

Laborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d

Laborator 4 Modele sistemice liniare. Reprezentare numerică. Conversii. Conexiuni 4.1 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB d Laborator 4 Modele sistemice liniare Reprezentare numerică Conversii Conexiuni 41 Tema Formarea deprinderilor de utilizare a convenţiilor MATLAB de reprezentare numerică a modelelor sitemice de stare şi

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a

I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a I. Partea introductivă Proiectul unității de învățare CONCEPTUL DE MATRICE ŞCOALA: Colegiul Național Petru Rareș Suceava CLASA: a XI a- matematică / a XI a- informatică neintensiv PROFESOR: Dumitrașcu

Mai mult

gaussx.dvi

gaussx.dvi Algebră liniarăi 1 Recapitulare cunoştiinţe de algebră din clasa XI-a În clasa a XI s-a studiat la algebră problema existenţei soluţiei 1 şi calculării soluţiei sistemelor liniare 2 (adică sisteme care

Mai mult

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru

ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine număru ALGORITMICĂ. Seminar 3: Analiza eficienţei algoritmilor - estimarea timpului de execuţie şi notaţii asimptotice. Problema 1 (L) Să se determine numărul de operaţii efectuate de către un algoritm care determină

Mai mult

OLM_2009_barem.pdf

OLM_2009_barem.pdf Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI

Mai mult

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,

Mai mult

Laborator Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere b

Laborator Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere b Laborator 4 1.04-5.04.2019 8.04-12.04.2019 1. Implementarea algoritmului DES - Data Encryption Standard. Exemplu DES Algoritmul DES foloseşte numere binare. Fiecare grup de 4 biţi reprezintă un număr hexazecimal.

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x 1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima

Mai mult

Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc

Microsoft Word - Analiza12BacRezolvate.doc ANALIZA MATEMATICA D : Fi I u itrvl şi f,f:i R FucŃi F s umşt primitivă lui f dcă: ) F st drivilă; ) F (f(, I Fi I u itrvl şi fucńi f:i R cr dmit primitiv Dcă F, F :I R sut primitiv l fucńii f, tuci F

Mai mult

Subiectul 1

Subiectul 1 Subiectul 1 În fişierul Numere.txt pe prima linie este memorat un număr natural n (n

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea

Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea Probleme rezolvate de fizică traducere de Nicolae Coman după lucrarea Contents Vectori... 4 Modul de rezolvare a problemelor... 5 despre vectori... 6 Vector deplasare... 12 Vector viteza... 12 Statica...

Mai mult

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului

Mai mult

Programarea şi utilizarea calculatoarelor

Programarea şi utilizarea calculatoarelor Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Facultatea de Inginerie Departamentul de Automatică, Energie şi Mediu Programarea calculatoarelor Lect.dr. Adrian Runceanu Curs 6 Instrucţiunile limbajului

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan

Mai mult

Electricitate II

Electricitate II Electricitate II Circuitul electric. Legile circuitului electric. Sumar Circuitul electric simplu Legile lui Ohm Legile lui Kirchhoff Gruparea rezistorilor Transformarea stea-triunghi Gruparea generatoarelor

Mai mult

SSC-Impartire

SSC-Impartire Adunarea Înmulțirea Numere și operații în virgulă mobilă 1 Împărțirea cu refacerea restului parțial Împărțirea fără refacerea restului parțial 2 Primul operand: deîmpărțit (X) Al doilea operand: împărțitor

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf

Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor

Mai mult

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNICĂ ET An I - ISA CURS 13 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ehm.ucluj.ro REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE Generaliăţi Definiţie Regimul elecrocineic

Mai mult

Microsoft PowerPoint - ImplementareLimbaj [Read-Only] [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - ImplementareLimbaj [Read-Only] [Compatibility Mode] Detalii de implementare. Declararea variabilelor, transmiterea parametrilor catre subprograme. Declararea variabilelor variabile globale -declarate in afara oricarei functii variabile locale -declarate

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

Slide 1

Slide 1 1 PROIECTAREA ALGORITMILOR Lect. univ. dr. Adrian Runceanu 1 Curs Alocarea dinamică de memorie în C++ Conţinutul cursului 1. Tipuri de date. Conceptul de pointer 3. Operatori specifici pointerilor 4. Aritmetica

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012

Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză de flux de date 29 octombrie 2012 Analiză statică: definiţie O analiză a codului sursă (fără a executa programul), cu scopul de a determina proprietăţi ale programului sursă. (in principal corectitudinea,

Mai mult

ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f

ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja f ALGORITMII ŞI REPREZENTAREA LOR Noţiunea de algoritm Noţiunea de algoritm este foarte veche. Ea a fost introdusă în secolele VIII-IX de către Abu Ja far Mohammed ibn Musâ al- Khowârizmî în cartea sa intitulată

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult