Microsoft Word - Probleme-PS.doc

Transcriere

1 PROBLEME PROPUSE PENTRU EXAMENUL LA PRELUCRAREA SEMNALELOR a) Să se demonstreze că pentru o secvenńă pară x[ n] x[ n] este adevărată egalitatea X( z) X( z) b) să se arate că polii (zerourile) acestei transformate z sunt în perechi z, z n c) demonstrańi că semnalul în timp discret x[ n] a este o secvenńă pară Să se reprezinte grafic semnalul pentru a 3 4 şi n < 4 d) determinańi transformata z a semnalului de la punctul c) şi domeniul de convergenńă e) găsińi polii şi zerourile acestei transformate Un SLIT cu intrarea x( t ) si ieşirea y( t ) este descris de ecuańia diferenńiala: dy ( dy( 5y ( x( dt dt H s, funcńia de transfer a sistemului SchiŃaŃi constelańia de poli si zerouri a) DeterminaŃi ( ) b) DeterminaŃi h( t ) dacă sistemul este stabil; - sistemul este cauzal; - sistemul nu este nici stabil nici cauzal 3 Un SLIT cu intrarea x( t ) şi ieşirea y( t ) şi având răspunsul la impuls ( ) h t este descris de ecuańia diferenńială : 3 d y( d y( dy( + (+ α ) + α(+ α) + α y( x( 3 dt dt dt a) DeterminaŃi funcńia de transfer a sistemului în funcńie de α dh( b) Dacă g( + h( câńi poli are funcńia G( s )? Dar H( s ) şi care sunt aceştia? dt c) Pentru h t dacă semnalul e cauzal α determinańi H( s ) şi ( ) 4 DeterminaŃi transformata Laplace şi domeniul de convergenńă pentru fiecare din următoarele funcńii de timp: t 3t a) ( ) σ + x t e ( e σ ( t 3t b) ( ) σ x t e ( + e σ ( t c) x( te d) x(, t, rest 5 Se consideră sistemul cu reacńie din figura de mai jos: X(s - H d (s) Y(s H r (s) K unde Hd( s) Hr( s) ( s+ )( s+ ), iar H d s+

2 a) Să se determine H( s ), funcńia de transfer a sistemului cu reacńie ; b) Să se studieze stabilitatea acestui sistem în funcńie de valorile parametrului K, folosind criteriul lui Nyquist ; c) Să se găsească valoarea amplificării K pentru care câştigul în curent continuu al sistemului în buclă deschisă este identic cu câştigul în curent continuu al sistemului cu reacńie 6 Un SLIT discret este descris de ecuańia cu diferenńe finite: y[ n] y[ n ] + y[ n ] x[ n] a) să se determine funcńia sa de transfer H( z ) SchiŃaŃi constelańia de poli şi zerouri şi indicańi regiunea de convergenńă b) să se determine răspunsul la impuls h[ n ] c) să se analizeze stabilitatea sistemului 7 Se consideră sistemul din Figura, unde este o pulsańie constantă : x( x ( H () x ( x 3 ( H () y( sin 8t sin t Figura Spectrul semnalului de intrare este reprezentat în Figura X() -4-4 Figura Se mai dau : sin(7 sin(3 h (, respectiv 4, daca 5 H ( ) inrest X ; a) Să se determine şi să se reprezinte grafic spectrele ( ), să se determine şi să se reprezinte grafic ( ) b) Pentru rad / s c) Care ar trebui să fie valoarea pulsańiei valoare reprezentańi grafic X 3( ) t 4 8 Un SLIT are răspunsul: ( ) t 3t x( ( e e ) σ ( a) determinańi răspunsul în frecvenńă al sistemului, H( s ) b) determinańi funcńia pondere a sistemului, h( t ) c) care este ecuańia diferenńiala care descrie sistemul, d) dańi o implementare posibilă a sistemului X şi ( ) X 3 şi Y( ) ;, astfel încât Y( ) să fie identic cu ( ) X Pentru această t y t (e e ) σ ( dacă la intrare se aplică semnalul Se consideră SLIT discret caracterizat de ecuańia cu diferenńe finite: y[ n] y[ n ] + y[ n ] x[ n] Sistemul este considerat cauzal şi în stare de repaus inińial

3 a) Să se determine funcńia de transfer a sistemului, H( z ) ; b) Să se găsească răspunsul la impuls al acestui sistem; c) Să se dea o formă de implementare a sistemului utilizând blocuri de întârziere Se consideră sistemul în timp discret, cauzal, din figură: x[n] z - 5/6 -/ y[n] -/6 z - a Să se găsească funcńia de transfer a acestui sistem, H( z ), precum şi răspunsul său la impuls, [ ] b Să se determine răspunsul în frecvenńă al sistemului, H( Ω ) şi să se schińeze modulul său pentru Ω [ π, π] Să se justifice existenńa lui H( Ω ) c Care este amplitudinea semnalului de la ieşirea sistemului daca la intrarea sa se aduce semnalul: π x[ n] sin n 9? Se consideră SLIT şi cauzal descris de ecuańia diferenńială: d y( dy ( ) ( dx ( ) ( ) ( + α + α + α yt + 4x( dt dt dt cu condińii inińiale nule, unde α este un parametru real a Să se determine funcńia de transfer a sistemului, H b Să se găsească domeniul de valori ale parametrului α, pentru care sistemul este stabil c Să se scrie expresia semnalului de la ieşirea sistemului, dacă la intrarea sa se aduce semnalul xt cos Se consideră α 3 ( ) t RelaŃia intrare-ieşire a unui SLITD este descrisă de ecuańia: yn yn + yn xn xn 4 z [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a Să se determine funcńia de transfer a acestui sistem, H ( ) precum şi răspunsul său la impuls, [ n] n σ? c Să se schińeze o implementare a acestui sistem, folosind un număr minim de blocuri de întârziere b Cum răspunde sistemul dacă la intrarea sa este adus semnalul: x[ n] [ n ] h n ; h ; 3 Se consideră sistemul din figura următoare: x( x ( H () x ( x 3 ( H () x 4 ( H 3 () x 5 ( y( cos5 t sin3 t cos t Se cunoaşte că: 3

4 X() H () H 3 () unde este o pulsańie constantă FuncŃia de transfer a filtrului H ( ) este: H ( ) Să se reprezinte grafic spectrele semnalelor x( t ), x( t ), x3( t ), x4( t ), x5( t ) şi ( ) y t π j e π j e < 4 Să se determine semnalele în timp discret care corespund următoarelor transformate Z: 3z a X ( z) ( z )( z ) 3 4 ( z ) b X ( z) 3 ( z )(+ z ) 3 c X ( z) 4(+ z )( z ) d X ( z), z > 4 ( z ) 4 z z + 75z a DeterminaŃi poli şi zerourile sistemului h n, astfel încât sistemul să fie cauzal 5 Fie funcńia de transfer a unui SLITD: H( z) b DeterminaŃi răspunsul la impuls, [ ] c ImplementaŃi sistemul, folosind un număr minim de celule de întârziere, >, dy( 6 Se consideră SLIT continuu caracterizat de ecuańia diferenńială: + y( x( dt h t al acestui sistem a Să se determine răspunsul în frecvenńă ( ) c b Să se determine răspunsul la impuls [ ] d H, respectiv răspunsul la impuls, c( ) h n, respectiv funcńia de transfer ( ) H z a sistemului în timp discret care echivalează sistemul în timp continuu pe baza metodei invarianńei răspunsului la impuls c SchiŃaŃi formele de implementare pentru sistemele de la punctele a) şi b) 7 Se consideră sistemul din figură: d x( t ) r ( t ) r ( t ) r3( t ) H( ) H ( ) ( cos unde h( t ) şi h( t ) au expresiile: h ( şi h ( sin 9t y( t ) sin t şi este constantă X( ) 4

5 a DeterminaŃi expresia lui Y( ) în funcńie de X( ), dacă x( t ) este un semnal de bandă limitată, b ReprezentaŃi grafic spectrele semnalelor r ( t ), r ( t ), r3( t ) şi y( t ) pentru semnalul ( ) din figură x t cu graficul 8 a Fie un sistem obńinut prin conectarea a două SLIT discrete ale căror funcńii de transfer sunt H ( z), respectiv H ( ) z DeterminaŃi funcńia întregului sistem în funcńie de ( ) H s, H ( ) şi G (s) b Fie sistemul obńinut prin conectarea sistemelor discrete LIT din figura: s DeterminaŃi funcńia întregului sistem în funcńie de H ( ), H ( ), G ( ) şi G ( ) 9 Se consideră semnalul z( t ) de bandă limitată, la intervalul [, ] s s s s cu spectrul din figură: + Se notează: c, şi M j c z t x t e t a arătańi ca este valabila relańia ( ) ( ), unde ( ) intervalul [, ] M M x t este un semnal de bandă limitată la 5

6 b utilizând formula de recuperare a semnalului x( t ) din eşantioanele sale, determinańi cea mai mare valoare T pentru care este valabilă relańia: z( ( ) Se consideră sistemul din figură: n z nt e j ( t nt) e t sin π n T t π n T x ( x ( H () x 3 ( cos3 x 7 ( y( x 4 ( x 5 ( h ( x 6 ( cos cos5 unde H( ) şi spectrele semnalelor x( t ) şi 4( ) x t sunt cele de mai jos : X () X 4 () H () -π π -π -π π π -4π -3π 3π 4π a Să se determine şi să se reprezinte grafic spectrele X ( ), X 3( ) şi 5( ) sint b Ştiind că h ( sin 4 sin 3 x ( 7 X ;, determinańi cea mai mică valoare a pulsańiei pentru care c DeterminaŃi frecvenńa minimă de eşantionare, e min f, pentru care semnalul ( ) eşantioanele sale prin filtrare trece-jos ideală ReprezentaŃi grafic spectrul semnalului ( ) y t poate fi recuperat din y t Se consideră sistemul din figură Semnalul x( t ) este un semnal de banda limitată la intervalul M, M, iar p ( t ) este un semnal periodic de perioada T π M a Notând cu X( ) spectrul semnalului x( t ) şi cu a n coeficienńii dezvoltării Fourier a semnalului p( t ), arătańi că spectrul semnalului eşantionat se poate scrie: X ( ) a X( n ), e? e n e n b Presupunând că x( t ) are o componentă continuă nenulă a, arătańi că ( ) xe( t ) prin filtrare trece-jos ideală şi determinańi parametrii filtrului trece-jos x t se poate recupera din 6

7 c Dacă x( t ) are spectrul din figură reprezentańi modulul spectrului semnalului e( ) cazuri: p( δ ( şi p( δ ( t ) T T x t în următoarele Se consideră semnalul periodic x (, cu dezvoltarea în serie Fourier: x( cos( kπ Fie x e ( semnalul obńinut prin eşantionarea lui ( a DeterminaŃi şi reprezentańi grafic spectrul semnalului x ( b DeterminaŃi şi reprezentańi grafic spectrul semnalului x e ( c Apare fenomenul de aliere în acest caz? JustificaŃi răspunsul! 3 Fie x( sin + sin 4 şi g( x( sin 4 a DeterminaŃi şi reprezentańi grafic spectrele X( ) şi ( ) b Produsul g( sin 4 4 k x cu frecvenńa de eşantionare, G k 3 f e 4Hz este trecut printr-un filtru trece jos ideal cu frecvenńa de tăiere 4π şi câştigul în banda de trecere egal cu DeterminaŃi şi reprezentańi grafic semnalul obńinut la ieşirea filtrului trece jos 4 Se consideră circuitul din figură: R ( x a C ( y a a DeterminaŃi H ( ) şi a H a, funcńia de transfer al circuitului b PrecizaŃi: pulsańia, frecvenńa de tăiere f şi constanta de timp τ al circuitului, dacă C µf R kω şi c Folosind tabelele găsińi şi reprezentańi grafic răspunsul la impuls, h a ( d DeterminaŃi răspunsul la impuls al unui sistem discret, ce simulează circuitul dat prin metoda invarianńei răspunsului la impuls, precum şi funcńia sa de transfer Discretizarea se efectuează cu o perioada de eşantionare, T e ms 5 Se consideră sistemul din figură: X H d Y - K H r a Să se determine funcńia de transfer a sistemului în buclă închisă ştiind că amplificarea în buclă deschisă este: 7

8 d ( ) r( ) H s H s s+ s 4 { } b AnalizaŃi stabilitatea sistemului în buclă deschisă DeterminaŃi Re Hd( j) Hr( j) Im{ H d ( j) H r ( j) } şi c Să se determine, aplicând criteriul lui Nyquist, domeniul de valori ale parametrului K, pentru care sistemul cu reacńie este stabil 6 Fie sistemul cu reacńie din figură: X ( z) H d K Y ( z) - a Să se determine funcńia de transfer al sistemului în buclă închisă j b Ştiind, că: Hr ( z) Hd( z), determinańi: { ( Ω jω j Re Hr e ) Hd( e )} şi { ( Ω jω Im Hr e ) Hd( e )} z c Să se determine, aplicând criteriul lui Nyquist, domeniul de valori ale parametrului K, pentru care sistemul cu reacńie este stabil 7 Fiind dat circuitul din figură: R H r x a ( C ( y a a Să se determine expresia funcńiei sale de transfer H a, a răspunsului său în frecvenńă a( ) răspunsului său la impls, h a (, dacă se consideră τ R C H şi a b DeterminaŃi răspunsul la impuls al unui sistem discret, ce simulează circuitul dat prin metoda n z Să se reprezinte grafic invarianńei răspunsului la impuls, h d [ ] precum şi funcńia sa de transfer, H d ( ) în acelaşi desen h a ( şi h d [ n] c DeteminaŃi d( Ω) H ( Ω) şi H ( ) pentru τ R C d a H, răspunsul în frecvenńă al sistemului în timp discret obńinut ReprezentaŃi grafic s + 8 Un sistem cu reacńie are funcńiile de transfer: H d, a Să se determine G, câştigul în bucla de reacńie deschisă, şi să se analizeze stabilitatea acestuia H r s + 8

9 b În ipoteza că în bucla de reacńie închisă se introduce un câştig K, să se determine, aplicând criteriul lui Nyquist, domeniul de valori ale parametrului K pentru care sistemul cu reacńie este stabil 9 În figură se dă schema bloc a unui modulator echilibrat Cele două modulatoare MA cu purtătoare şi două benzi sunt alimentate cu semnalul x( t ) în antifază Pentru x( t ) având spectrul X( ), ( c >> M ) determinańi S( ) şi arătańi, că s( t ) este un semnal MA cu purtătoare suprimată MA cu benzi si purtătoare x( t ) * * * x( t ) x( A cos t c c + - s( t ) M X( ) M MA cu benzi si purtătoare 3 Se consideră sistemul analogic liniar şi invariant în timp descris de ecuańia: ( ) dy t dt ( ) ( ) + y t x t a Să se determine răspunsul în frecvenńă H( ) al acestui sistem şi să se reprezintă grafic, modulul său b Să se determine răspunsul la impuls al unui sistem discret ce echivalează sistemul analogic considerat prin metoda invarianńei răspunsului la impuls, precum şi funcńia sa de transfer c Să se reprezinte grafic modulul răspunsului în frecvenńă H( Ω ), pentru sistemul de la punctul b, pe intervalul [ π, π] aplică semnalul [ ] cos Să se precizeze amplitudinea semnalului de la ieşirea acestui sistem dacă la intrare se x n π n 9