Valerica Doina MUNTEAN, Ovidiu T. POP, Maria REIZ Petru BRAICA, Adrian BUD, Virgil POP, Călin POPESCU, LUPOU Agota, CZIPROK Andrei, KOCZINGER Eva, Nic

Transcriere

1 Valerica Doina MUNTEAN, Ovidiu T. POP, Maria REIZ Petru BRAICA, Adrian BUD, Virgil POP, Călin POPESCU, LUPOU Agota, CZIPROK Andrei, KOCZINGER Eva, Nicoleta CUIBUȘ, Traian TĂMÎIAN, Manuela POPESCU, Cristian GUȚ, Anca ȘTEȚ, Camelia ONCIU, SZEKELYI Sandor TEME PREDATE ÎN TABĂRA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ LIONS SOMEȘ SATU MARE clasa a VI-a SATU MARE 08 ISBN

2

3 CUPRINS Despre tabăra națională LIONS SOMEȘ Satu Mare... 6 Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE I. METODĂ AREOLARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIE... 7 I. Introducere... 7 I. Probleme pregătitoare... 7 I.3 Demonstrarea unor teoreme clasice folosind arii... II. RESTURILE PĂTRATELOR PERFECTE LA ÎMPĂRȚIREA CU 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ȘI APLICAȚII... 6 II. Binomul Newton... 6 II. O VII 397 RMT Ion Pârse... 7 III. METODA CONSTRUCȚIILOR AUXILIARE ÎN REZOLVAREA UNOR PROBLEME DE GEOMETRIE... 0 IV. REZOLVAREA ECUAȚIILOR DIOFANTICE. METODA DESCOMPUNERII... IV. Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații:... IV. Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații:... IV.3 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații:... IV.4 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații:... 4 CONCURS INDIVIDUAL CONCURSUL PE ECHIPE SOLUȚII LA CONCURSUL INDIVIDUAL SOLUȚII LA CONCURSUL PE ECHIPE Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE V. APLICAȚII ALE NOȚIUNILOR DE PARTE ÎNTREAGĂ ȘI PARTE FRACȚIONARĂ ALE UNUI NUMĂR RAȚIONAL... 3 V. Definiţii, notaţii, proprietăţi V. Aplicații:... 3 VI. CONGRUENŢE MODULO N VI. Definiţia relaţiei de congruenţă modulo n VI. Aplicaţii VII. PROBLEME DE GEOMETRIE VII. Problemă de geometrie VII. Problemă de geometrie VIII. PROBLEME PROPUSE VIII. Probleme propuse

4 CONCURS INDIVIDUAL SOLUȚII LA CONCURSUL INDIVIDUAL CONCURSUL PE ECHIPE SOLUȚII LA CONCURSUL PE ECHIPE Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE IX. CLASE DE NUMERE ÎNTREGI IX. Numerele norocoase Ulam IX. Problemă propusă X. CONSTRUCȚII GEOMETRICE X. Ce înseamnă construcția? X. Construcții imposibile X.3 Construcții de bază X.4 Rezolvarea problemelor de construcții geometrice... 5 X.5 Probleme... 5 XI. CUM SE COMPUNE O PROBLEMĂ DE OLIMPIADĂ... 5 XII. ECUAŢII DIOFANTICE XII. Introducare XII. Exerciţii şi metode de rezolvare: XII.3 Probleme propuse XIII. CALCULUL UNOR SUME XIII. Proprietăți. Formule utile XIII. Aplicaţii XIV. PUNCTE COLINIARE XIV. Metode de abordare XIV. Puncte coliniare-probleme... 6 XV. ŞIR DE RAPOARTE EGALE... 6 XV. Probleme... 6 XV. Soluții... 6 XVI. PROBLEME DE DIVIZIBILITATE XVI. Metode de determinare a unor numere prime în condiții date XVI. Probleme care se rezolvă folosind teorema împărțirii cu rest, cmmdc, cmmmc XVI.3 Probleme temă: XVII. METODA REDUCERII LA ABSURD XVII. Probleme rezolvate

5 XVII. Probleme propuse... 7 XVII.3 Surse bibliografice utilizate: XVIII. PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU CONCURSURILE DE MATEMATICĂ XIX. PROBLEME DE GEOMETRIE XX. PROBLEME DE SINTEZĂ CONCURS INDIVIDUAL

6 Despre tabăra națională LIONS SOMEȘ Satu Mare Inspectoratul Şcolar Judeţean Satu Mare, împreună cu Clubul Lions Someș Satu Mare, în colaborare cu filiala Satu Mare a SSMR și Liceul Teoretic German Johann Ettinger Satu Mare, organizează Tabăra națională de matematică - LIONS SOMEȘ SATU MARE, începând din anul 06. Această tabără se dorește a fi un stagiu de pregătire a Olimpiadei de Matematică pentru elevi de clasa a VI-a. Pentru îndeplinirea acestui obiectiv, elevii au avut un program intens de pregătire, îmbinat cu activităţi de petrecere a timpului liber. Astfel, în fiecare zi elevii au participat, dimineaţa, la 3 ore de curs susținute de profesori de matematică sătmăreni. De asemenea, elevii au participat la activități de inițiere/învățare intensivă a limbii germane. Pentru a asigura activități delectante de petrecere a timpului liber, au fost invitate eleve de la Colegiul Național Ioan Slavici Satu Mare, profil pedagoigic, care și-au exersat, în această tabără, cunoștințele dobândite în domeniu. Din programul acestei tabere nu a lipsit workshop-ul tematic de dezvoltare personală și activitățile sportive. Activităţi de petrecere a timpului liber desfășurate: Deschiderea festivă; Jocuri de inițiere a prieteniilor; Activități în aer liber; Excursie în Țara Oașului; Workshop tematic de dezvoltare personală; Seara specială a talentelor; Drumeție; Pick nick; Foc de tabără; Istorie locală și tradiții sătmărene; Jocuri sportive; Jocuri de tabără. Cursurile de matematică s-au constiuit din teme care au respectat programa Olimpiadei Naționale de Matematică pentru clasa a VI-a și pe care le-am redat în această lucrare. Inspector școlar, prof.dr. Valerica Doina MUNTEAN 6

7 Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE 06 I. METODĂ AREOLARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE GEOMETRIE Prof.dr. Petru Braica, ȘCOALA GIMNAZIALĂ GRIGOREMOISIL SATU MARE I. Introducere Metoda areolară reprezintă un instrument util în demonsrăriile unor proprietăți geometrice folosind noțiunea de arie ( a triunghiului, a pătratului sau altor poligoane). În cele ce urmează vom ilustra prin câteva exemple în ce constă metoda areolară sau cu arii. I. Probleme pregătitoare. Fie pătratul ABCD iar M,N,P și q sunt mijloacele laturilor (AB),(BC),(CD),(CA). Construim în intriorul pătratului arcele de cercul C(D;DP),C(A;AM) și C(C;CP) iar în exteriorul pătratului C(B;BM). Determinați raportul dinre aria hașurată și aria pătratului (Cangurl Matematică) 7

8 Soluție: Dacă împărțim C(B;BM) Ext (ABCD) în patru părți: II*,III* și I* observăm că putem decupa I,II,III și suprapune peste I*,II*,III*.. Fie ABCD un pătrat iar mijloacele laturilor (AB), (BC), (CD)și (DA). Se notează cu M,N,P și Q. construim segmentele [AN], [BP], [CQ] și [DM] și notăm intersecțiile AN BP = {X}, BP CQ= {Y}, CQ DM={Z} și DM AN={T}. Determinați A[XYZT]. (Concursul Kangourou). A[ABCD] Soluția problemei: Considerăm s n x =A, s p y =B, s q z =C,s M T = D și din congruențele BXN CA N (i.v) și CYP DB P (i.v), DZQ AC Q (i.v) și ATM BD M (i.v). decupând putem transforma suprafața pătratului în crucea cu 5 pătrarte egale cu XYZT de unde concluzia S[XYZT] S[ABCD] = 5. Mai rămâne de arătat că BX=XY =YXPZ. În BYC XN BY și CY BY deci (XN)linie mijlocie = BX=XY Din BXN CYP (i.v) = BX=YP 8

9 3. E cunoscut inegalitatea triunghiului pentru lungimiile a,b,c, laturilor ABC: b c < a b + c și cu anaoagele. 3,7, nu reprezintă lungimea lataturilor unor. Demonstrați că se poate construi un triunghi cu lungimiile h a, h b, h c dacă a c-b < b: c < a(b + c) și analogele iar dacă cu laturah a, h b, h c atunci cu h ha, h hb, h hc se poate construi întotdeauna un triunghi Soluție: c b < a < b + c; s = ah a = bh b = ch b Dacă cu lun.lat h a, h b, h c atunci: h b h c < h a h b + h c s b s c < s a s b + s c < + / abc b c a b c / s, a c b < bc a(b + c) și reciproc Pentru partea a doua obținem că: cu lat. de lungimi h ha, h hb, h hc h a h b h c h b h c < h a (h b + h c ) s a s b s c s b s c < s a (s b + s c ) (R.M.T) a (c b) bc bc < a (b + c bc ) / abc c b a < b + c (A) 3b. Cu înâlțimile unui triunghi nu se poate forma un triunghi întotdeauna dar cu medianele da. 9

10 4. Într-un triunghi medianele împart suprafața în șase triunghiuri echivalente. Soluția: În (BGC), (GM) este mediană S[BGM] = S[CGM]. In BNC, S[CGN] GN BG = s[cgn] = S[CGB] sau S[CGN] = S[CGM] = S[BGM] S[CGB] =d(c;bn) GN/ = d(c;bn) BG/ Analog se arată că S = S = S 3 iar ABN și BNC sunt echivalente, deci concluzia problemei. 0

11 5. Fie ABC și construim s B A = A, s C B = B și s A C = C. Calculați S[ABC] S[A B C ]. Observație: ABN și A B C au același centru de greutate. 6. Fie ABC și construim A (AB, B (BC și C (CA încât AB BA = BC CB = CA AC =. Arătați că S[ A B C ] S[ABC] = Fie ABCD pătrat și M, N Int ABCD cu m( MAN) = m( MCN) = 45 o. Demonstrați că T + T + T 3 = S + S + S 3 (Mongolia) I.3 Demonstrarea unor teoreme clasice folosind arii 8. (PITHAGORA T.) Pătratul ipotenuzei unui tiunghi este egal cu suma pătratelor catetelor.

12 ip = A ABCD = 4 c c +(c c ) = c + c 9. (Teorema bisectoarei interioare) Piciorul bisectoarei interioare împarte latura într-un raport egal cu raportul laturilor vărfului. Demonstrație: Evaluăm S[ABD] BD d(a,bc)/ = k în două moduri. k = S[ADC] Deci BD = AB. DC AC = BD DC d(a,bc)/ DC, analog k = AB AC.

13 0. (Teorema bisectoarei exterioare) BD = AB D C AC Dem. d(d,ac) AC/ d(d,ab) AB/ = AC AB BD = BD d(a,bc)/ = S[ABD] = DC DC d(a,bc)/ S[ADC]. Trapezul ABCD are AB CD, AC BD = {O}. Demonstrați că AOD și BOC sunt echivalente. Folosim teorema ce afirmă că segmentele paralele cuprinse între drepte paralele sunt congruente. Deci AB CD d(a, CD) = d(b, CD). Avem S[ADC] = DC d(a,dc)/ =. S[BDC] DC d(b,dc)/ Deci S[ADC] = S[BDC] S[AOD] = S[BOC]. S[DOC]. (Teorema lui Thales) O paralelă dusă la laturile unui triunghi, determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. 3

14 ABC, MN BC AM MB = AN NC Demonstrație: AM MB = AM d(n,ab)/ MB d(n,ab)/ = S[AMN] S[MNB] = S[AMN] S[MNC] = AN d(m,ac)/ NC d(m,ac)/ = AN NC. 3. (Teorema Menelaus) ABC, M BC, N AB, P AC. M, N, P sunt coliniare MB MC CP PA AN NB = Demonstrație: Ducem BQ MP. CMP MB = PQ MC PC produsul: MB MC CP PA AN NB = PQ PC CP PA AP PQ = 4. Cum aplicăm Teorema Menelaus. AP CP =? AN și ABQ = AP NB PQ. Acum evaluăm 4

15 În AMC, B, N, P sunt coliniare MB CP AN = CP AP = sau =. BC PA NM PA CP 5

16 II. RESTURILE PĂTRATELOR PERFECTE LA ÎMPĂRȚIREA CU 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ȘI APLICAȚII (Bibliografie: Pătrate perfecte și cuburi perfecte Edit. Gil I. Cucurezeanu) Prof.dr.Petru Braica, ȘCOALA GIMNAZIALĂ GRIGOREMOISIL SATU MARE II. Binomul Newton Selectăm coeficienții și obținem un tabel. (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Cum scriem: (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b + 0a b 3 + 5ab 4 + b 5 (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 5a 4 b + 0a 3 b 3 + 5a b 4 + 6ab 5 + b 6 Consecință: (a + b) n = Ma + b n și (a b) n = Ma + ( b) n Dem. (a + b) n = a n + ( n )an b + ( n )an b + + b n = Ma + b n. (a b) n = a n + ( n ) an ( b) + ( n ) an ( b) + + ( b) n = Ma + ( b) n. Exemplu: Demonstrați că: 3 n, n N. 3 n = ( + ) n = M +. II. Cum găsim resturile posibile la împărțirea unui pătrat perfect la împărțirea cu k=3,4,5,. n=3 Considerăm N = {3k} {3k + } {3k + }. Pătratele perfecte provin din ridicarea la pătrat a unui număr natural care poate fi: n = (3k) = 9k M 3 6

17 n = (3k + ) = M 3 + = M 3 + n = (3k + ) = M 3 + = M 3 + Resturile posibile ale unui pătrat perfect la împărțirea cu trei sunt 0 și. Prin urmare nu există pătrate perfecte de forma 3k+. Exemplu: Suma pătratelor a trei numere consecutive poate să fie pătrat perfect? a + (a + ) + (a + ) = M 3 +, deci nu poate să fie pătrat perfect. Exemplu: Suma cifrelor unui număr este 05. Poate fi el pătrat perfect?. n=7 Deci k 0,,,4(mod 7) 3. n = 8 N = {7k} {7k + } {7k + } n = (7k) = 49k = M 7 n = (7k + ) = M 7 + = M 7 + n = (7k + ) = M 7 + = M n = (7k + 3) = M = M 7 + k 0,,4(mod 8) 4. n=9 N = {9k} {9k + } {9k + } n = (9k) = M n = (9k + ) = M 9 + n = (9k + ) = M k 0,,4,7(mod 9) Exemplu: Un număr natural are suma cifrelor 08. Poate fi pătrat perfect? II. O VII 397 RMT Ion Pârse ) Arătați că numărul A = 3 n + 5 n + 7 n nu este pătrat perfect pentru nici un număr natural. Soluție: Analizăm două cazuri n = k sau n = k +. 7

18 n = k. A = 3 k + 5 k + 7 k = (4 ) k + (4 + ) k + (8 ) k = M k n = k +. A = 3 k+ + 5 k+ + 7 k+ = (4 ) k+ + (4 + ) k+ + (8 ) k+ = M k ) Arătați că numărul A = 3 n + 5 n nu este pătrat perfect pentru nici un număr natural. 3) Arătați că ecuația x + 06y = 07z 3 z + 05 nu are soluții. GM/06. Sol. 07z 3 z = 06z 3 + z 3 z = M 3 + (z )z(z + ) = M 3 Deci x + M 3 = M x = 05 fals 4) Există numere prime p,q,r astfel încăt p + q + r să fie pătrat perfect? GM 6-7-8/06 5) Verificați dacă există numere întregi a astfel încăt 8a + a ) Fie (ab, bc7, ca8 )=3. Demonstrați că a +b +c nu poate fi pătrat perfect. ab 3 a + b + = M 3 bc7 3 b + c +7=M 3 b + c + = M 3 3/ca8 c + a + 8 = M 3 c + a + = M 3 a + b = M 3 + c + b = M 3 + c + a = M 3 + (+) (a + b + c) = M 3 + (c ) = M 3 + (a + b + ) = M 3 (, 3) = c = M 3 c = M 3 + (a c) = M 3 + a = M 3 (4 + c + ) = M 3 a = M 3 + (a+4+c)=m 3 b = M 3 b=m 3 + (c+a+)=m 3 Deci a + b + c = M M M 3 = M 3 + K 7) Fie a, a = k. Demonstrați că a 3 Q. 8

19 a 3 = K 6 (mod 3) 8) Arătați că nu există pătrat perfect cu ultimele 4 cifre N =a = 4 a = 4 [a ] = 4(M 4 + 3) 9) Arătați că numărul n=abcd + bcda + cdab + dabc k 9

20 III. METODA CONSTRUCȚIILOR AUXILIARE ÎN REZOLVAREA UNOR PROBLEME DE GEOMETRIE Prof. BUD ADRIAN, Lic. Teoretic Negrești Oaș. În triunghiul ABC avem m( ACB) = 5. Notăm cu M este mijlocul laturii [BC]. Știind că m( AMB) = 45, aflați m( BAC).. În triunghiul ABC avem m( BAC) = 0 și m( ABC) = 50. Dacă D este un punct în interiorul triunghiului astfel încât m( DBC) = 0 si m( DCB) = 0, aflați m( ADC). 3. În triunghiul ABC avem m( BAC) = 90 și m( ABC) = 30. Notăm cu BE și AD bisectoarele unghiurilor ABC respectiv BAC. Arătați că BE = AD. 4. În triunghiul ABC avem m( BAC) = 90 și AB = AC. Dacă M este un punct în interiorul triunghiului astfel încât m( MBA) = 5 și m( MCA) = 30, aflați m( MAC). 5. În triunghiul ABC avem m( BAC) = 00 și AB = AC. Pe prelungirea laturii AB se consideră punctul M astfel încât AM = BC. Aflați m( BMC). 6. În triunghiul ABC avem m( BAC) = 00 și AB = AC. Pe latura BC se consideră punctul D astfel încât AC = DC iar pe latura AB se consideră punctul F astfel încât DF AC. Aflați m( DCF). 7. În triunghiul ABC avem m( BAC) = 0 și AB = AC. Pe latura AC se consideră punctul G astfel încât CG = BC. Mediatoarea segmentului AG intersectează AB în F. Arătați că AF = BC. 8. Fie triunghiul echilateral ABC. Dacă D este un punct în interiorul triunghiului astfel încât m( BCD) = 0 și m( CBD) = 0, aflați m( ADC). 9. În triunghiul ABC avem m( BAC) = 30 și AB = AC. Dacă M este un punct în exteriorul triunghiului astfel încât m( BCM) = 50 și CM = BC, arătați că ABM este isoscel și aflați m( AMC) (Prelucrare ONM 06, Bud Adrian). 0. Fie triunghiul ABC cu m( BCA) = 40 și m( ABC) = 80. Pe latura (BC) se iau punctele E şi D astfel încât m( CAE) = 0 şi BD = CE. Calculaţi m( EAD). 0

21 IV. REZOLVAREA ECUAȚIILOR DIOFANTICE. METODA DESCOMPUNERII Prof. BUD ADRIAN, Lic. Teoretic Negrești Oaș IV. Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații: a) ab + 3a b = 5 c) 6xy + 3x + y = 34 e) ab + 3a 4b = 6 b) xy + 4x + 3y = 6 d) 5xy 3x 5y = 3 f) 0ab 4a + 5b = Rezolvare model d) 5xy 3x 5y = 3 3x(5y ) (5y ) = (3x )(5y ) = Caz { 3x = 5y = { x = Z 3x = 3 Caz { y = Z 5y = { x = 0 y = 3 Z 5 5 3x = Caz 3 { 5y = { x = 4 y = Z 5 3x = Caz 5 { 5y = {x = 3 3 Z y = 0 Caz 7 { 3x = 5y = { x = y = 3x = Caz 4 { 5y = {x = 0 Z 3 y = 3 Z 5 3x = x = 7 Caz 6 { { 5y = y = Z 5 3x = Caz 8 { 5y = {x = Z 3 x = Z 5 Ecuația are o singură soluție { x = y =

22 IV. Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații: a) ab 3a + 5b = 3 c) 3xy 5x + y = 7 e) ab 5a + 3b = 4 b)5xy + x 3y = d) 4xy 6x + 3y = 8 f) 6ab + 4a 3b = 7 Rezolvare model d) 4xy 6x + 3y = 8 x(y 3) + 3y = 8 4x(y 3) + 6y = 6 4x(y 3) + 3(y 3) = 7 (4x + 3)(y 3) = 7 Caz { 4x + 3 = y 3 = 7 {x = Z y = 5 Caz 3 { 4x + 3 = 7 y 3 = {x = y = 4x + 3 = = Caz { {x y 3 = 7 y = 4x + 3 = 7 Caz 4 { y 3 = {x = 0 4 Z y = x = = Ecuția are doăua soluții { si {x y = y = IV.3 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații: a) x + y = 3 b) x 3 y = 5 6 c) 3 x 5 y = d) 4 x + y = 4 9 e) x + 3y = 4 f) 3x y = 5 6 g) 5x + 5 y = 3 0 h) 4x + 3y = 3 8 Rezolvare model f) 3x y = 5 6 Se impun condițiile { x 0 y 0

23 Se aduce ecuația la același numitor și renunțăm la el. Ecuația devine 4y 3x = 5xy 5xy + 3x 4y = 0 x(5y + 3) 4y = 0 5 5x(5y + 3) 0y = 0 5x(5y + 3) 4(5y + 3) = (5x 4)(5y + 3) = Caz { 5x 4 = 5y + 3 = { x = y = 3 Caz 3 { 5x 4 = 5y + 3 = 6 { x = 6 Z 5 y = 9 Z 5 Caz 5 { 5x 4 = 3 5y + 3 = 4 { x = 7 Z 5 y = 7 Z 5 5x 4 = Caz { 5y + 3 = {x = 5x 4 = Caz 4 { 5y + 3 = 6 {x = 5x 4 = 3 Caz 6 { 5y + 3 = 4 {x = 3 Z 5 y = 9 Z 5 Z 5 y = 3 Z 5 Z 5 y = Z 5 Caz 7 { 5x 4 = 4 5y + 3 = 3 { x = 8 Z 5x 4 = 4 5 Caz 8 { 5y + 3 = 3 {x = 0 y = 0 y = 6 Z 5 Caz 9 { 5x 4 = 6 5y + 3 = { x = y = 5x 4 = Caz { 5y + 3 = { x = 6 5 Z y = 4 5 Z 5x 4 = 6 Caz 0 { 5y + 3 = {x = Z 5 y = Z 5 5x 4 = Caz { 5y + 3 = {x = 8 Z 5 y = Z 5 x = x = Ecuația are două soluții { și { y = 3 y = 3

24 IV.4 Rezolvați în mulțimea întregi următoarele ecuații: a) x+3 = 3y+ 3x+ y+3 b) 3x+ = y+3 4x 3 3y c) 3x y+3 = 3x+ 3y+ d) x+ 3y = 3x 5 y+3 Rezolvare model d) x + 3x 5 = 3y y + 3 Se impun condițiile { 3y 0 y Se aduce ecuația la același numitor și renunțăm la el. Ecuația devine: (x + )(y + 3) = (3x 5)(3y ) 4xy + 6x + y + 3 = 9xy 6x 5y + 0 5xy + x + 7y 7 = 0 5xy x 7y + 7 = 0 x(5y ) 7y = 0 5 5x(5y ) 05y = 0 5x(5y ) 7(5y ) = 04 (5x 7)(5y ) = 04 5x 7 = Caz { 5y = 04 { x = 8 Z 5 5x 7 = y = 9 Z Caz { 5y = 04 { x = 6 Z 5 y = 6 Z 5 5 5x 7 = Caz 3 { 5y = 0 {x = 9 5 Z y = 8 5x 7 = Caz 4 { 5y = 0 { x = 3 y = 4 Z 5 5x 7 = 3 Caz 5 { 5y = 68 { x = 4 y = 56 5x 7 = 3 Z Caz 6 { 5 5y = 68 {x = 4 5 Z y = 6 5x 7 = 4 Caz 7 { 5y = 5 { x = Z 5 5x 7 = 4 y = 39 Z Caz 8 { 5y = 5 {x = 5 5x 7 = 6 Caz 9 { 5y = 34 { x = 3 Z 5 5x 7 = 6 y = Z Caz 0 { 5y = 34 {x = Z y = 63 5 Z 5 Z y = 46 5 Z 5x 7 = Caz { 5y = 7 {x = 9 5 Z y = 5x 7 = Caz { 5y = 7 { x = y = 9 Z 5 Ecuația nu are soluții întregi. 4

25 CONCURS INDIVIDUAL 06 Tabăra Națională de Matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE -6 iulie 06. În Tabăra Naţională de Matematică Lions Someş Satu Mare, -6 iulie 06, sunt 6 elevi. La finalul taberei, la despărţire, toţi cei 6 elevi fac schimb de cărţi de vizită şi îşi strâng mâna. a) Câte cărţi de vizită s-au dat? b) Câte strângeri de mână au fost?. Fie a, b, c, d N cu a b = b c și c d = d a. Fie n = (a 06 b 06 )(b 06 c 06 ) și m = (c 06 d 06 )(d 06 a 06 ). Arătați că m n este număr natural pătrat perfect. 3. Se consideră ABC de arie 5 cm. Construim B (BC astfel încât CB = BC; C (CA astfel încât AC = AC și A (AB astfel încât BA = AB Calculați aria triunghiului A B C. 4. În triunghiul ABC avem m( BAC) = 00 și AB = AC. Pe semidreapta (AB se consideră punctul M astfel încât AM = BC. Aflați m( BMC). Subiectul a fost întocmit de: prof. Braica Petru prof. Bud Adrian prof. Muntean Doina prof. Pop Ovidiu 5

26 CONCURSUL PE ECHIPE 06 Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE -6 iulie 06. a) Suma pătratelor a trei numere naturale consecutive este egală cu numărul de zile ale anului viitor. Care sunt acele numere? b) Suma pătratelor a cinci numere naturale consecutive este egală cu dublul numărului de zile ale ale anului viitor. Care sunt acele numere?. O invenție aplicată unui motor de mașină economisește 30% din combustibil, a doua invenție economisește 45% iar a treia 5%. Cât combustibil se poate economisi dacă se folosesc cele trei invenții simultan? 3. La tabăra națională LIONS SOMEȘ Satu Mare participă 6 elevi din județele Satu Mare, Bistrița Năsăud, Cluj Napoca și Bihor. Arătați că există cel puțin 3 elevi care-și sărbătoresc ziua de naștere în aceeași lună a anului a) Un punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. Justificați. b) Două triunghiuri isoscele ABC și ADE de baze BC respectiv DE au unghiurile BAC și DAE congruente, AB AE. Punctul D aparține interiorului unghiului CAE. Intersecția dreptelor BD și CE se notează cu P. Demonstrați că semidreapta PA este bisectoarea unghiului BPE. 5. a) Unde și cât timp a negociat groful Karoly primirea autorizației de construire a castelului din Carei? b) Din câte bucăți de marmură de Carrara a fost construit șemineul din stânga parterului castelului Karoly din Carei? 6. Diese Wörter sind versteckt: 6

27 Subiectul a fost întocmit de: prof. Braica Petru prof. Bud Adrian prof. Dumitru Lorena prof. Megyeșan Alexandra prof. Muntean Doina prof. Pop Ovidiu prof. Pop Virgil prof. Onciu Camelia prof. Reiz Maria prof. Szekelyi Sandor 7

28 SOLUȚII LA CONCURSUL INDIVIDUAL 06 Tabăra Națională de Matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE -6 iulie 06. a) Fiecare participant a dat câte o carte de vizită celorlalţi participanţi, deci un elev a dat 5 de cărţi de vizită. Numărul total de cărţi de vizită date este 5x6 = 650. b) Fiecare elev strange mâna celorlalţi elevi, deci fiecare elev strânge 5 de mâini. Când doi elevi îşi strâng mâna, această strângere de mână este socotită la fiecare dintre ei. Din acest motiv, numărul total de strangeri de mână este 5x6 = 35.. Din proporțiile date în ipoteză avem că b = d, iar deoarece b și d sunt naturale rezultă că b = d. După înlocuiri obținem că m = n de unde concluzia rezultă imediat. 3. Construim segmentul (A C). Avem S(ABC) S(BCA ) Deci S(BCA ) = S(ABC) = 0. În triunghiul A BB avem că S(A BC) S(A CB ) = BC CB =, prin urmare avem S(A CB ) = S(A BC) = 0. = AB A B = Așadar aria S(A BB ) = S(A BC) + S(A CB ) = = 30. Analog se demonstrează că S(B CC ) = S(AA C ) = 30. În concluzie aria cerută va fi S(A B C ) = = 95 centimetri pătrați. 4. Construim ABP echilateral astfel încât P și C se află în semiplane diferite delimitate de dreapta AB. Se arată ușor că m( PBC) = 00. AMC AM BC LUL BCP { MAC CBP} AMC BCP AC BP m( AMC) = m( BCP) 8

29 APC isoscel m( ACP) = = 0 m( BCP) = 30 m( AMC) = 30. 9

30 SOLUȚII LA CONCURSUL PE ECHIPE 06 Tabăra Națională de Matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE iulie 06. a) 0,, b) 0,,, 3, = 0,88750 = 0,75 7,5% Deoarece avem luni, 6 de elevi și = 4, conform principiului cutiei există cel puțin 3 elevi născuți în aceeași lună. 4. Triunghiurile BAD și CAE sunt congruente caz LUL înălțimile construite din A în cele două triunghiuri sunt congruente întrucât în triunghiuri congruente înălțimile corespunzătoare laturilor omoloage sunt congruente. Deoarece punctul A este la aceeași distanță de laturile PB și PE cctd. 5. a) la Budapesta, timp de o săptămână 6. b) o singură bucată Diese Wörter sind versteckt: BUCHT INSEL GEBIRGE BERG HüGEL TEMPEL BRüCKE BAUM KANNIBALENDORF PIRAT BURG VULKAN SCHATZ WALD 30

31 Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE 07 V. APLICAȚII ALE NOȚIUNILOR DE PARTE ÎNTREAGĂ ȘI PARTE FRACȚIONARĂ ALE UNUI NUMĂR RAȚIONAL Prof.dr.Valerica Doina MUNTEAN, ISJ SATU MARE V. Definiţii, notaţii, proprietăţi. - Dacă un număr rațional a are scrierea zecimală a = a 0, a a a 3, a 0 Z, a, a, a 3,, a n {0,,,,9}, atunci partea întreagă a lui a a se notează cu [a] și se definește prin [a] = { 0, dacă a 0 a 0, dacă a < 0 Mai simplu de reţinut: partea întreagă a lui a este cel mai mare număr întreg care nu îl depăşeşte pe a (este aşadar cel mult egal cu a); dacă facem apel la reprezentarea pe axă, atunci a este primul număr întreg din stânga lui a. - Pentru orice a Q avem [a] = k Z dacă și numai dacă k a < k +. - Prin definiţie, partea fracţionară a numărului real a este {a} = a [a], evident {a} [0, ). V. Aplicații: I.. Să se determine valoarea expresiei E = [x + y] + [x] + [3y] dacă x =,75 și y =,5.. Să se determine valoarea expresiei E = [x + y] + [3x] + [3y] dacă x =,78 și y =,. 3. Să se determine valoarea expresiei E = {a} + [a] + {3a} dacă a = 0,5. 4. Să se determine valoarea expresiei E = {a} + [4a] + {a} dacă a = 0,8. 3

32 5. Comparați numerele E = 4{a} + [3a] + [a] și F = {3b} + [b] + {b} dacă a =, și b = 0,8. 6. Comparați numerele E = {a} + [a] + {3a} și F = {3b} + [b] + [b] dacă a =, și b = 0,7. II.. Să se rezolve ecuația [ x+3 ] = x+ 3. Soluție: Notăm [ x+3 x+ ] = k, k Z = k x = 3k, k Z 3 x+3 = 3k +3 = 3k+ k 3k+ < k + k 3k + < k + k 0 k + < k <, k Z k {,0} Atunci, pentru k = 0 x = pentru k = x = 5. Probleme propuse. Să se rezolve ecuația [ x+4 ] = x Să se rezolve ecuația [ x+5 3 ] = x+. 4. Să se rezolve ecuația [ x 3 ] = 3x Să se rezolve ecuația [ x+3 4 ] = 3x+ 4. 3

33 III.. Să se rezolve în Q + ecuația { 4x+7 } + x+ [5x+4 ] = 4, (5), unde {x} respectiv [x] x+ reprezintă partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului rațional pozitiv x. Soluție: 4x+7 x+ = 3x+6+x+ x+ = 3x+6 + x+ = 3(x+) + x+ = 3 + x+ x+ x+ x+ x+ x+ Deoarece x Q + 0 < x+ < x+ {4x+7} = x+ x+ x+ () 5x + 4 x + = 4x x x + = 4x + 4 x + + x x + = 4 + x x + Deoarece x Q + 0 < x x+ < [5x+4 x+ ] = 4 () Din () și () { 4x+7 } + x+ [5x+4 x+ ] = 4, (5) + 4 = x+ x+ 9 x + x + = 5 9 9x + 9 = 5x + 0 4x = x = 4 Q + Probleme propuse:. Să se rezolve în Q + ecuația [ 3x+ ] + x+ {3x+5 } =, (7), unde {x} respectiv [x] x+ reprezintă partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului rațional pozitiv x. 3. Să se rezolve în Q + ecuația [ x+ ] + x+ {4x+7 } =, (5), unde {x} respectiv [x] x+ reprezintă partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului rațional pozitiv x. 33

34 VI. CONGRUENŢE MODULO N Prof.dr.Petru Braica, ȘCOALA GIMNAZIALĂ GRIGOREMOISIL SATU MARE VI. Definiţia relaţiei de congruenţă modulo n Congruenţa triunghiurilor are următoarele proprietăţi: (r) ABC ABC (s) ABC DEF DEF ABC (t) ABC DEF, DEF GHI ABC GHI Definiţie. Spunem că două numere întregi a şi b sunt congruente modulo n, n mathbbz fixat, dacă au acelaşi rest la împărţirea cu n, adică n (a b) sau a b Z. Notăm a b(mod n) sau a n b şi citim ä congruent cu b modulo n". Exemplul.. 7 0(mod3) pentru că 7 = cdot3 + şi 0 = (mod5) pentru că = 5 + şi 5 = (mod7) pentru că 43 = şi 6 = Proprietăţi. Fie n Z fixat:. (r) a a(mod n) (evidentă). (s) a b(mod n) b a(mod n) 3. (t) a b(mod n) şi b c(mod n) a c(modn) n Demosntraţie: a b(modn) n a b a b = n k, k Z b c(modn) n b c b c = n k, k Z Adunând cele două relaţii: a c n(k + k )Rightarrowa c(mod n) Observaţie. Se observă similitudinea cu congruenţa triunghiurilor. a b(mod n, c (mod n) a + c (mod n)b + d, ; a c (mod n)b d 4. a b(mod n), c d(mod n) a + c b + d(mod n) a c b d(mod n) 34

35 VI. Aplicaţii 5. a b(mod n) a k b k, k N * 6. a b(mod n) și c Z a c b c(mod n) 7. a b(mod n) și c Z a c b c(mod nc) 8. ac bc(mod n) și (c,n)= a b(mod n) 9. ac bc(mod n) și c Z a n b(mod n) 0. a b(mod n) și d n a b(mod n). a b(mod n) și d a, d n d b. Mica Teorema a lui Fermat Pentru aεz, (a, p) =, p numar prim avem: a p (mod p) sau a p a(mod p) Problema. Arătaţi că A = Soluţia. u. c. (3 40 = şi u. c( 40 ) = 6 deci A 5. Soluţia. (cu ) 3 4 (mod 5) (3 4 ) 0 0 (mod 5) 3 40 (mod 5). 4 (mod 5) ( 4 ) 0 0 (mod 5) 40 (mod 5). Deci, pe baza P4: = 0(mod 5). Problema. Demonstraţi că ecuaţia x + 7 y = 9 z nu are soluţii în mulţimea numerelor naturale. Soluţie: 9 (mod 3) 9 z (mod 3) x + 7 y [( ) x + ](mod 3] deci: x-par x + 7 y 9mod 3) x-impar x + 7 y 0(mod 3) Problema 3. Să se rezolve în N N N ecuaţia: 3 x + 4 y = 5 z (I.V. Maftei, 979) Soluţie: Luăm modulo 4 termenii egalităţii: 5 z (mod 4) şi 4 y 0(mod 4) deci 3 x (mod 4) deci x este par, x = x. Altfel, 3 k+ = 3 3 k 3 (mod 4) sau 3 k+ (mod 4), ce nu convine. Luăm modulo 3 termenii egalităţii: 3 x 0(mod 3), 4 y (mod 3), deci 5 z (mod 3, de unde z număr par, întrucât dacă z = k + am avea 5 k+ = 5 (5 ) k = 5 5 k = 5 (M 3 + ) k 5 (mod 3), situaţie care nu convine. În concluzie 4 y = 5 x 3 x = (5 x 3 x )(5 x + 3 x ), de unde (5 x 3 x ) = α și (5 x + 3 x ) = β cu α + β = y. 35

36 Din { 5z = β ( α β + ) β = 3 x = β ( α β ) α = y { 5z = α + 3 x = α sau { 5z = y + 3 x = adică {4y = 5 z 4 y = 3 x +, adică 4 y = (3 + ) y = M 3 + = M 3 Convine: y = y = = x = y = z = soluție. Problema 4. Arătați că x 5 y = 4 nu are soluții întregi. Soluție: Considerăm ecuația modulo : (x 5 ) = x t(mod ), t {0; }, x Z, deci x 5 s(mod ), s { ; 0; } x 5 4 q(mod ), q {6; 7; 8} y r(mod ), r {0; ; 3; 4; 5; 9} deci ecuația nu are soluții. Problema 5. 3 x y = 7 Soluție: Presupunem y 3; considerăm ecuația modulo 8 3 x 7(mod 8), însă 3 x 3( mod 8) sau 3 x (mod 8) (x par sau impar) Rămâne cazul y = 0, y =, y = care sunt imediate. Soluția: (x, y) = (,) Problema 6: Care este restul împărțirii la. Soluție: 67 4(mod ), 68 5(mod ) (mod ) și (mod ). Cum însă 0 (mod ) avem: (mod ). Restul cerut este deci 7. Problem 7: Prin împărțire la 5 a unui număr se obține restul, pătratul său prin împărțire la 5, dă restul 4, iar cubul său, împărțit la 5, dă restul 93. Care este numărul? Soluție: n (mod 5) n = 5k +, n 4(mod 5) n = 5y + 7, n 3 = 93(mod 5) n = 5q

37 VII. PROBLEME DE GEOMETRIE VII. Problemă de geometrie Fie ABC cu m( BAC) = 90 si AB = AC. In punctul B se construieste o perpendiculara pe dreapta AB pe care se considera punctul D astfel incat BD = AB iar punctele A si D sunt de o parte si de alta a dreptei BC. Fie E BC astfel incat DE = DB. Aratati ca AE BC. Prof.Adrian BUD, LICEUL TEORETIC NEGREȘTI OAȘ Supliment GM 5/07 Soluție Fie M mijlocul segmentului AB si {P} = BC DM. Astfel BM = BA = AC DBM = BA {DB BAC BM = AC } CC DBM BAC m( MDB) = m( CBA) m( MBP) + m( BMP) = m( MDB) + m( BMD) = 90 DM BE In DEB isoscel avem DP inaltime DP mediana deci P este mijlocul lui EB. MP AE In AEB avem MP linie mijlocie { MP BE astfel ca AE BC. 37

38 VII. Problemă de geometrie Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu m(abc ) = 90. Pe dreapta perpendiculară în B pe AB se consideră punctul D astfel încât punctele A și D sunt de aceași parte a dreptei BC iar AD = BC. Determinați măsura unghiului BAD. Prof.Adrian BUD, LICEUL TEORETIC NEGREȘTI OAȘ Sorana Ionescu Olimpiada de matematică faza județeană 06. Soluție m( DAM) = 60 m( DAB) = m( DAM) + m( MAB) Fie ABM dreptunghic isoscel ABM BAC(CC) MA = BC(= AD) m( ABD) = m( DBC) m( ABC) = = 45 m( MBD) = m( MBA) m( DBA) = = 45 = m( ABD) BMD BAD(LUL) MD = AD(= AM) Se obține imediat că ADM este echilateral. = = 05 38

39 VIII. PROBLEME PROPUSE VIII. Probleme propuse Prof.dr. Ovidiu T. POP, COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI EMINESCU SATU MARE. Există numere a,b Z astfel încât a+b să fie par şi a +b să fie impar? Soluţie. Suma (a+b)+( a +b )=a(a+)+b(b+) este un număr par, deci numerele a+b şi a +b au aceeaşi paritate. Răspunsul este negativ.. Există numere a,b,c Z astfel încât a+b, b+c, c+a să fie toate impare? Soluţie. Suma (a+b)+(b+c)+(c+a)=(a+b+c) este un număr par, deci răspunsul este negativ. 3. Fie patrulaterul convex ABCD, M,N mijloacele diagonalelor AC, respectiv BD. Să se arate că: a) BM< BA+BC ; b) MN< p, unde p este semiperimetrul patrulaterului. Soluţie. a) Fie E simetricul lui B faţă de M. Atunci patrulaterul ABCE este paralelogram, deci MB ME şi AB CE. În triunghiul BEC avem că BE<CB+CE şi ţinând seama de congruenţele de mai sus obţinem că BM<CB+AB, de unde rezultă a). b) Folosind a) în triunghiurile ABC, ADC şi MBD avem BM< BA+BC, DM< DA+DC, respectiv MN< BM+DM, de unde după înlocuiri, se obţine inegalitatea de la b). 39

40 CONCURS INDIVIDUAL 07 Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE iulie 07. Fie S suma divizorilor naturali ai numărului 06. a) Să se arate că S se poate scrie ca o sumă de trei numere naturale pătrate perfecte. b) Să se arate că produsul tuturor divizorilor naturali ai numărului 06 este un cub perfect.. Se consideră triunghiul ABC cu m( A) > 90. În interiorul unghiului BAC se consideră semidreptele (Ax, și (Ay încât m( BAx) = m( CAy). Notăm cu M mijlocul laturii BC și cu P și Q picioarele perpendicularelor din C pe semidreptele (Ax, respectiv pe (Ay. a) Demonstrați că triunghiul MPQ este isoscel. b) Sunt pe același cerc punctele P, Q, R, S, unde R și S sunt picioarele perpendicularelor din B pe semidreptele (Ax, și (Ay?. Justificați dacă există nouă numere naturale prime diferite două câte două a căror sumă să fie 5.. Fie patrulaterul convex ABCD cu M și N mijloacele diagonalelor AC, respectiv BD. Să se arate că: a) BM < BA+BC ; b) MN < p, unde p este semiperimetrul patrulaterului. 3. Fie ABC cu m( BAC) = 90 și AB = AC. În punctul B se construiește o perpendiculară pe dreapta AB pe care se consideră punctul D astfel încât BD = AB iar punctele A și D sunt de o parte și de alta a dreptei BC. Fie E BC astfel încât DE = DB. Arătați că AE BC. Subiectul a fost întocmit de:. prof.dr. Muntean Doina. prof.dr. Braica Petru 3. prof. Pop Virgil 4. prof.dr. Pop Ovidiu 5. prof. Bud Adrian 40

41 SOLUȚII LA CONCURSUL INDIVIDUAL 07 Tabăra Națională de Matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE iulie 07. a) 06 = S = = = = = 3 36 (3 + ) = = (9 + 4) 6 = = (3 6) + (3 6) + ( 6) = b) Numărul divizorilor lui 06 este N = (5 + ) ( + ) ( + ) = 6 3 = 36 Notăm divizorii numărului 06 cu d, d,..., d 36. Deoarece și 06 sunt și ei divizori și considerând d < d < < d 36, putem scrie d = 06, d = 06,..., d 36 = 06. Înmulțind termen d 36 d 35 cu termen se obține: d d d 36 = 06 d 06 d 06 d 36 d d d 36 = 0636 d d d 36 (d d d 36 ) = Atunci d d d 36 = 06 8 = ((06) 6 ) 3. d. a) Se alege mijlocul laturii AC, notat cu N și se demonstrează că triunghiul MNP e congruent cu triunghiul MNQ, cazul LUL, latura MN e comună, PN și QN sunt mediane corespunzătoare ipotenzei AC în triunghiurile dreptunghice CPA și CQA iar unghiurile MNP și MNQ se calculează în funcție de unghiul A și unghiul BAx. Din congruența trunghiurilor se obtține concluzia. 4

42 b) Se demonstrează analog că MR = MS, după care MR = MP deci punctul M e egal depărtat de PQRS deci răspunsul e afirmativ. 3. Dacă între cele nouă numere prime îl vom considera pe vom avea 8 numere prime impare iar suma lor va fi un număr par, deci suma nu va putea fi 5. Dacă nu îl vom considera pe atunci suma primelor nouă numere prime este: = 7 > a) Fie E simetricul lui B faţă de M. Atunci patrulaterul ABCE este paralelogram, deci MB ME şi AB CE. În triunghiul BEC avem că BE < CB + CE şi ţinând seama de congruenţele de mai sus obţinem că BM < CB + AB, de unde rezultă a). b) Folosind a) în triunghiurile ABC, ADC şi MBD avem BM < BA+BC, DM < DA+DC, respectiv MN < BM+DM, de unde după înlocuiri, se obţine inegalitatea de la b). 5. Fie M mijlocul segmentului AB și {P} = BC DM. Astfel BM = BA = AC DBM = BA {DB BAC BM = AC } CC DBM BAC m( MDB) = m( CBA) m( MBP) + m( BMP) = m( MDB) + m( BMD) = 90 DM BE În DEB isoscel avem DP înălțime DP mediana deci P este mijlocul lui EB. În AEB avem MP MP AE linie mijlocie { astfel că AE BC. MP BE 4

43 CONCURSUL PE ECHIPE 07 Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE. Să se rezolve în Q + ecuația { 3x iulie 07 } + x+ [3x+ x+ ] =, (7) unde {x} respectiv [x]reprezintă partea fracționară, respectiv partea întreagă a numărului rațional pozitiv x.. Să se rezolve în Z ecuațiile: a) 7x 58y = ; b) 3x + 5y 7z = Arătați că ecuația: x + y = 09, nu are soluții în Z Z. 4. Fie triunghiul isoscel ABC cu BC = AC. Mediatoarea segmentului [BC] intersectează latura [AB] în punctul D astfel ca AC = AD. Să se găsească măsurile unghiurilor triunghiului ABC. 5. a) Există numere a, b Z astfel încât a + b să fie par şi a + b să fie impar? b) Există numere a, b, c Z astfel încât a + b, b + c, c + a să fie toate impare? 6. Unde este situat Muzeul Țării Oașului? 7. În ce an s-a înființat Muzeul Țării Oașului? 8. În câte secțiuni este împărțit Muzeul Țării Oașului? Precizați-le. 9. Prin ce este reprezentată arhitectura tradițională la Muzeul Țării Oașului? 0. Care este cea mai vie parte a Muzeului Țării Oașului? Justificați.. Ce este olăritul și care sunt resursele necesare olăritului?. Descrieți procesul de modelare a obiectelor cu ajutorul olăritului? (cel mult 5 de cuvinte) 3. Miercuri, elevii participanți la Tabăra Națională de Matematică LIONS SOMEȘ Satu Mare 07, merg în excursie în Țara Oașului. Aceștia pornesc din fața Liceului Teoretic German Johann Ettinger din Satu Mare la ora 4 50, iar autocarul circulă cu viteza medie de. Se face o pauză de răcorire cu o înghețată timp de 5 minute, iar pentru vizitarea Muzeului Țării Oașului, se alocă o oră și un sfert. Știind că la întoarcere viteza medie cu care circulă autocarul este, stabiliți ora la care ajung elevii înapoi la liceu. 43

44 4. Diese Wörter sind versteckt: 44

45 Subiectul a fost întocmit de:. prof.dr. Muntean Doina. prof. Bud Adrian 3. prof.dr. Braica Petru 4. prof. Pop Virgil 5. prof.dr. Pop Ovidiu prof. Dumitru Lorena prof. Peto Melinda 4. prof. Onciu Camelia 4. prof. Reiz Maria 4. prof. Szekely Sandor 45

46 SOLUȚII LA CONCURSUL PE ECHIPE 07 Tabăra Națională de Matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE iulie 07. a) 7x 58y = Aproximăm fracția 7 = 58 = Dacă renunțăm la ultima fracție 3 = 3+ = se obține o aproximare a lui = 5 7 Astfel m = 5 și n = 7 și soluția particulară S = {(x 0 = 7, y 0 = 5 )}, adică S = {(x 0 = 87, y 0 = 55)}. Ecuația devine 7x 58y = (x 87) = 58(y 55) Deoarece 7 nu este multiplu de 58 rezultă că x x 87 = 58k, k Z Astfel x = 58k + 87, k Z și imediat y = 7k + 55, k Z Soluția generală a ecuației este S = {(58k + 87, 7k + 55)}, k Z b) 3x + 5y 7z = 3 Ecuația este echivalentă cu 3x + 5y + 3z 0z = 3 3(x + z) + 5(y z) = 3 Notăm x + z = α și y z = β cu α, β Z Ecuația devine 3α + 5β = 3 cu (,) este o soluție particulară a ecuației. Astfel x + z = x = z și y z = y = z + Considerând z ca o variabila oarecare k Z, soluția generală a ecuației este 46

47 S = {( k, k +, k)}, k Z. 3. Presupunem că ar exista soluții pentru ecuația din enunț. Pentru orice x număr întreg are loc x 0; (mod 4) și analog y 0; (mod 4). Acum aplicăm proprietatea ; din a x(mod n) și b y(modn) rezultă a + b x + y(mod n); obținem că: x +y 0; sau (mod 4). Pe de altă parte 09 3(mod 4), de unde contradicția. Întrucât presupunerea făcută duce la contradicție problema este rezolvată. 4. În ABC, BC = AC m( BAC) = m( ABC) = x. Fie M mijlocul segmentului [AC] DM este mediatoare segmentului [BC] DCB este isoscel cu DC = DB m( DCB) = m( DBC) = x m( BDC) = 80 x m( ADC) = x m( ACD) = x (AC = AD). În ABC, m( BAC) + m( ABC) + m( ACB) = 80 x = 36. Soluție: 36 ; 36 ; a) Suma (a + b) + (a + b ) = a(a + ) + b(b + ) este un număr par, deci numerele a + b şi a + b au aceeaşi paritate. Răspunsul este negativ. b) Suma (a + b) + (b + c) + (c + a) = (a + b + c) este un număr par, deci răspunsul este negativ. 6. Muzeul Țării Oașului se află în apropierea centrului orașului Negrești Oaș, județul Satu Mare. 7. Muzeul Țării Oașului s-a înființat în anul Acesta este împărțit în două secțiuni: Muzeul în aer liber și Galeria de artă Dr. Mihai Pop. 9. Arhitectura tradițională este reprezentată prin biserica de lemn de la Lechința, case din Racșa, Moișeni, Negrești, Casa olarului din Vama și două case moleculare din Gherța Mică. 0. Cea mai vie parte a muzeului este reprezentată de instalațiile tehnice în special cele acționate de apă deoarece oameni vin să macine la moară, spală la vultoare, prelucrează țesuturile de lână la piuă și produc ceramica.. Olăritul este procesul de modelare a obiectelor din lut, iar resursele necesare olăritului sunt roata olarului, cuptorul de ars, malaxorul și resurse pentru vopsit/decorat.. Pregătirea argilei (lutului) pentru modelare, modelarea argilei cu ajutorul roatei de modelat, uscarea vaselor, înmuierea în albeala (angoba), introducerea vaselor la cuptor, ornamentarea vaselor. 3. Elevii se întorc la cămin la ora 8 35 de minute

48 Diese Wörter sind versteckt: BUCHT INSEL GEBIRGE BERG HüGEL TEMPEL BRüCKE BAUM KANNIBALENDORF PIRAT BURG VULKAN SCHATZ WALD 48

49 Tabăra națională de matematică LIONS SOMEȘ SATU MARE 08 IX. CLASE DE NUMERE ÎNTREGI Prof.dr.Valerica Doina MUNTEAN, ISJ SATU MARE IX. Numerele norocoase Ulam Numerele norocoase Ulam sunt numerele ce rămân după trecerea tuturor numerelor naturale printr-o sită ale cărei etape sunt: începând cu șirul întregilor pozitivi, următorul număr după este ; toate numerele pare sunt eliminate, următorul rămas după este 3; fiecare al treilea număr din șir este eliminat, următorul rămas după este 7; fiecare al 7-lea număr din șirul rămas este eliminat ș.a.m.d. IX. Problemă propusă Notăm cu M mulțimea numerelor norocoase. a) Dacă scriem în ordine crescătoare numerele mulțimii M, care sunt primele 7 numere norocoase? b) Aflați numărul de divizori naturali al celui de-al 7-lea număr norocos. c) Fie S suma divizorilor naturali ai celui de-al 7-lea număr norocos. Să se arate că 8S este un număr natural pătrat perfect. Soluție: a) Primele 7 numere norocoase:, 3, 7, 9, 3, 5,. b) Al 7-lea număr norocos este = 3 7. Numărul de divizori al numărului este ( + )( + ) = 4. c) S = = 4 8 = 5 8S = 8 5 = 3 5 = 8 = ( 4 ). 49

50 X. CONSTRUCȚII GEOMETRICE Prof. KOCZINGER Éva, LICEUL TEOLOGIC ROMANO-CATOLIC HÁM JÁNOS SATU MARE X. Ce înseamnă construcția? Construcții euclidiene: - folosește numai rigla (fără unități de măsură) și compasul Pași elementari de construcții: -prin două puncte construite se poate construi o dreaptă ( și numai una) -construcția unui cerc cu mijloc și rază dată -determinarea punctului de intersecție a două drepte construite - determinarea punctelor de intersecție a unui cerc și o dreaptă construită - determinarea punctelor de intersecție a două cercuri contruite Construcția euclidiană constă în repetarea finită a acestor pasuri elementare de construcții. O figură este constructibilă, dacă se poate obține prin repetarea nr finit de ori a pasurilor elelmentare. Lorenzo Mascheroni ( ) a demonstrat: Contrucțiile euclidiene pot fi efectuate numai cu compasul. Poncelet- Steiner: Construcțiile geometrice pot fi efectuate numai cu rigla. X. Construcții imposibile - Cuadratura cercului - Dublarea cubului - Trisecțiunea unghiului - Construcția poligonului regulat de 7 laturi X.3 Construcții de bază Trebuie cunoscute următoarele construcții simple:. Construcția unui segment de lungime dată (copierea segmentului). Construcția unui unghi de măsură dată (copierea unui unghi) 3. Mediatoarea unui segment 4. Construcția unei drepte perpendiculară pe o dreaptă dată ( cazuri) 50

51 5. Cercul circumscris unui triunghi (Cercul care trece prin 3 puncte necoliniare) 6. Determinarea centrului unui cerc 7. Construcția unei drepte ce trece printr-un punct și este paralelă cu o dreaptă dată 8. Construcția unui triunghi, dacă se cunosc două laturi și unghiul opus laturii mai mari 9. Bisectoarea unui unghi 0. Construcția cercului înscris într-un triunghi. Construcția unor unghiuri de măsuri specifice: 60, 30, 5, 90, 45, 75, 50, 0, 35. Construcția tangentei la un cerc într-un punct al cercului 3. Construcția tangentelor la cerc dintr-un punct exterior X.4 Rezolvarea problemelor de construcții geometrice. Analiza. Construcția 3. Demonstrația 4. Discuția X.5 Probleme. Să se construiască un triunghi dreptunghic cunoscând suma lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei. Să se construiască un triunghi cunoscând lungimile medianelor sale. 3. Să se construiască un triunghi dreptunghic la care se cunosc înălțimea și mediana corespunzătoare ipotenuzei. 4. Să se construiască un triunghi ABC, dacă se cunoaște mijloacele B, Cale laturilor AC și AB precum și piciorul D al înălțimii duse din A. 5. Problema lui Napoleon: Să se împartă aria unui cerc în patru părți de arii egale cu ajutorul arcelor. 5

52 XI. CUM SE COMPUNE O PROBLEMĂ DE OLIMPIADĂ Prof. Adrian BUD, Liceul Teoretic Negrești Oaș Fie ABC isoscel cu AB = AC și m( ABC) = α. Se construiește DBC cu DC = BC astfel încât D se găsește în semiplanul determinat de dreapta AB ce nu conține C, iar m( BCD) = β. Determinați m( DAB). Soluție În ABC isoscel AB = AC avem m( BAC) = 80 m( ABC) = 80 α Fie ABE echilateral. m( ACD) = m( ACB) m( BCD) = α β m( EBC) = m( EBA) m( CBA) = 60 α m( EAC) = m( BAC) m( BAE) = 80 α 60 = 0 α În ACE isoscel AC = AE(= AB) avem m( AEC) = m( ACE) = = 30 + α 80 m( EAC) = 80 (0 α) m( BEC) = m( BEA) + m( AEC) = α = 90 + α Comparăm ADC cu ECB [CA] ADC [BE] ECB { ACD EBC ( ) [DC] [BC] } LUL ADC ECB 5

53 De unde m( DAC) = m( CEB) = 90 + α m( DAB) = m( DAC) m( BAC) = 90 + α (80 α) = 3α 90 CONDIȚIE ( ) m( ACD) = m( EBC) α β = 60 α β = α 60 OBS pentru α = 40 si β = 0 se obține problema din lista scurtă ONM 08 clasa a VI-a, autor prof. Braica Petru. 53

54 XII. ECUAŢII DIOFANTICE Prof. Manuela POPESCU, COLEGIUL NAȚIONAL DOAMNA STANCA SATU MARE XII. Introducare Aparent, o ecuaţie nu ridică mari probleme în studiul existenţei soluţiilor şi determinarea acestora. Însă există ecuaţii cu o formă foarte simplă, care se rezolvă cu dificultate sau nu se rezolvă. Aceste ecuaţii poartă numele matematicianului grec Diofant, considerat părintele algebrei. Acesta s-a născut în jurul anului 4 d. Hr. şi a trăit 84 de ani, după cum rezultă din descifrarea ghicitorii de pe piatra sa funerară: Călătorule! Aici odihnesc osemintele Unui om bun care a trăit O viaţă lungă şi plină de virtuţi. Copilăria lui a ţinut o şesime de viaţă. Apoi a mai trăit o doisprezecime Până când s-a însurat cu o femeie Care nu i-a dăruit copii, decât după ce A mai trecut a şaptea parte din viaţă, Plus încă 5 ani. Iar fiului său soarta i-a hărăzit Să trăiască doar jumătate din viaţa părintelui În mâhnire adâncă a murit bătrânul Supravieţuind cu patru ani fiului său Călătorule! Ştii câţi ani am eu În această zi când îmi sfârşesc viaţa? 54

55 În legătură cu o ecuaţie diofantică de forma E(x, x,, x n ) = 0, unde E(x, x,, x n ) este o expresie cu coeficienţi întregi, se pun următoarele probleme: - în ce condiţii are soluţii întregi; - dacă ecuaţia are soluţii întregi, numărul lor este finit sau infinit; - în condiţiile în care ecuaţia are soluţii întregi, cum se determină mulţimea acestora. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei va fi: S = {(α, α,, α n ) α i Z, i =, n E(x, x,, x n ) = 0}. XII. Exerciţii şi metode de rezolvare: Metoda descompunerii. Determinaţi numerele întregi a şi b, ştiind că: a a b 4 a ba 9 5 Soluţie: Ecuaţia devine: 5 0 ab b 4a ab b 9 a b Se disting cazurile: Caz : a şi b Caz : a şi b. Mulţimea soluţiilor va fi: S,0 ;, a a ab 9 0 x y. Aflaţi unde x,y sunt soluţiile întregi ale ecuaţiei: xy 5 x 7y 046 Soluţie: Ecuaţia devine: unde distingem cazurile: 7 Deci x y 04,00 x 7 y 5 0. Dar 0 este număr prim, de y 5 sau x 7 0, 5 x, 0 y. 55

56 Metoda parametrică. Arătaţi că ecuaţia x 67y 00 are o infinitate de soluţii în mulţimea numerelor întregi. Soluţie: Se observă că Ecuaţia devine: x y ceea 67 - pătrat perfect. Cum y este număr întreg ce implică 30 y 30 y 67k, k Z, adică y 30 67k, k Z, respectiv x 67k ecuaţia are o infinitate de soluţii şi S 67 k,30 67k k Z. Într-adevăr Folosirea inegalităţilor. Determinaţi numerele întregi pozitive x şi y pentru care: (Etapa locală Caraş-Severin) xy y 7 x. Soluţie: xy y 7 x x y 7 x y x Fracţia x este subunitară, ceea ce implică x 0 0 x y 7 y. Din 0 y 7 y se obţine y 3 () Din y y 7 se obţine y y 7, y 0, ceea ce implică,,3 Din relaţiile () şi () rezultă y 3, după care x. y () Ecuaţii diofantice liniare. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: 3 x 4y 7 Soluţie: Ecuaţia este echivalentă cu 3 4y 0 De aici x 4 x 4k x 4k y 0 y 3k y 3k 3 4k 4 x. 56

57 Mulţimea soluţiilor este S 4 k, 3k k Z XII.3 Probleme propuse. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: x 3y 5. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: x 3y 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: x 3y 4 57

58 58 XIII. CALCULUL UNOR SUME Prof. Traian TĂMÎIAN, LICEUL TEORETIC CAREI XIII. Proprietăți. Formule utile Notăm n n k k a a a a... Exemple. Ex) k k Ex) 0 ) 0 (... ) 3 ( ) ( ) ( 0 k k k Proprietăţi. P) n k k n k k k n k k b a b a ) ( P) n k k n k k a p pa Formule utile. F) ) (... n n n k n k F) 6 ) )( (... n n n n k n k F3) ] ) ( [... n n n k n k XIII. Aplicaţii I) Calculaţi sumele : ) ) ( 00 k k S k ; ) n k k k S ) )( ( ; 3) n k k k S ) )(3 (3 ; 4) n k k k S ) 3)(4 (4 ; 5) n k k k k S ) (

59 II) Calculaţi sumele : n ) S k( k ) ; ) S 3... n( n ) ; 3) S (n ) k n 4) S k(3k ) ; 5) S 3 k(k k n k 4) 59

60 XIV. PUNCTE COLINIARE Prof. Cristian GUȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR.3 CAREI XIV. Metode de abordare Având în vedere că noţiunea legată de punctele coliniare apare atât la concursurile de matematică cât şi la evaluarea naţională iar mulţi dintre copii întâmpină dificultaţi în a aborda o astfel de temă, mi-am propus să abordez coliniaritatea a trei puncte pe baza informaţiilor care apar în geometria de clasa VI-a. În funcţie de datele problemei eu am găsit trei modalităţi de abordare: Metoda I Dacă se dau trei puncte distincte A,B,C şi are loc una dintre relaţiile AB = AC + BC sau AC = AB + BC sau BC = AC + AB atunci punctele A, B, C sunt coliniare. Metoda II Dacă se dau trei puncte distincte A,B,C şi dacă : m( ABC) = 80 sau m( BAC) = 80 sau m( BCA) = 80 atunci punctele A, B, C sunt coliniare. Metoda III Dacă se dau trei puncte distincte A, B, C şi arătăm că ele aparţin aceleaşi drepte, atunci ele sunt coliniare. 60

61 XIV. Puncte coliniare-probleme ) Fie punctele A, B, C coliniare astfel încât AB = 7, cm, BC = 8, cm să se calculeze lungimea segmentului AC. ) Fie punctele P, Q, R distincte, PQ = 4cm, QR = 7 cm și PR = cm, să se stabilească dacă punctele P, Q, R sunt coliniare. 3) Dacă punctele D, E, F sunt distincte astfel încât DE = 8cm, EF = cm, DF = 0 cm, să se stabilească dacă punctele D, E, F sunt coliniare. 4) Se dă următorul desen: Ştiind că punctele B, C, Q sunt coliniare în această ordine şi dacă [CR este bisectoarea ACQ și m( BCR) = 5 să se determine m( ACB) și m( RCQ). 5) Fie ABC oarecare, m( A) = 49, m( B) = 7, punctele P,Q situate în exteriorul ABC, P Int ACQ și m( ACP) = 00, m( PCQ) = 0, să se arate că punctele B, C, Q sunt coliniare. 6) Dacă ABC este isoscel cu vârful în punctul A, iar punctele H, G, I, O reprezintă ortocentrul,centrul de greutate, centrul cercului încris în triunghi respectiv centrul cercului circumscris triunghiului să se arate că punctele H, G, I, O sunt coliniare. 7) Fie ABC oarecare, punctul P simetricul punctului C faţă de mijlocul [AB], punctul Q simetricul punctului B faţă de mijlocul [AC], să se arate că punctele P, A, Q sunt coliniare. 6

62 XV. ŞIR DE RAPOARTE EGALE Prof. Anca ȘTEȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR. CAREI XV. Probleme. Să se afle numerele natural a, b, c şi m ştiind că a = 3b, 6c = 5a, a, b, c sunt prime intre ele şi m = [a, b, c]. Aflaţi numerele a, b, c ştiind că a = b 6 şi b 8 = c 4 ştiind că a + b + c = Dacă x + y + z = 6 şi 5 = 9 = 6 să se afle x, y şi z. 4x y 8z 4. Determinaţi numerele de forma abc ştiind că a+b 5. Dacă a = b şi b = 7 şi a + b + c 4 7 c 9 3,5 6. Aflaţi toate numerele natural abc 4,5 = b+c = c+a. 4 5 = 30 să se afle numerele a, b şi c. ştiind că ab, bc, ca sunt direct proporţionale cu 3; ; 6 iar suma cifrelor numărului este divizibilă cu Numerele a, b, c, d sunt numere natural, iar a+, b+, c+3 şi 4 sunt direct proportionale cu 5; 6; 7 şi d. Scrieţi în ordine crescătoare cele patru numere. 8. Fie numerele raţionale a, b, c, d astfel încât a+b+c = d+a+b c d = b+c+d a = c+d+a b. Arătaţi că oricare dintre ele este media aritmetică a celorlalte trei. XV. Soluții Pb.. a = 3b a 3 = b / a 6 = b 4 6c=5a c 5 = a 6, din cele douărelaţii obţinem a 6 = b 4 = c 5 = k a = 6k, b = 4k, c = 5 k, cd. k = obţinem că a = 6, b = 4, c = 5 şi m = 60. Pb.. a = b 6 / a = b 3 b 8 = c 4 / 4 b = c 6