Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf

Transcriere

1 Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuańii liniare: metoda lui Gauss, metoda rădăcinii pătrate, metoda lui Iacobi, metoda Gauss Seidel, metode de relaxare, pseudoinversa unei matrici. Metode de aproximare a spectrului: metoda rotańiilor, metoda puterilor. Metode numerice de rezolvare a ecuańiilor neliniare: principiul contracńiei, metoda lui Newton, metoda bisectiei. Interpolare cu polinoame: formula lui Hermite, interpolare cu noduri simple, diferenńe divizate, interpolare cu funcńii spline cubice. Formule de cuadratură: formulele Newton-Côtes, formula trapezului, formula lui Simpson, polinoamele lui Legendre şi formulele lui Gauss, formula lui Hermite, formula lui Romberg. Metode numerice de rezolvare a ecuańiilor diferenńiale: metoda lui Taylor, metoda lui Euler, metoda Euler-Cauchy, metoda lui Runge-Kutta, consistenńă, stabilitate, convergenńă. BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE 1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică. Editura Universitară Bucureşti, Gh Grigore, Sinteze, Biblioteca virtuala, 3. Berbente, S. Mitran, S. Zancu, Metode Numerice (Numerical Methods), Editura Tehnica, pages (in Romanian), Subiecte propuse analiza numerica 1. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. 2. Metoda bisectiei converge liniar. 3. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. 4. Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala

2 5. Polinomul lui Legendre de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre de grad 4 adica 6. In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu diferente divizate. 7. Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton. 8. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe adica 9. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. 10. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia ii aplicam metoda. 11. Se considera ecuatia f(x)=0 cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge catre una din solutiile ecuatiei de mai sus. 12. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. 13. Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale de lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor obtinute. 14. Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala

3 15. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a numarului x. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. 16. Pentru A= sa se calculeze. 17. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda 18. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2]. 19. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i unde

4 Aceasta este metoda 20. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. 21. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB, unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. 22. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este Care este a doua iteratie? 23. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara. 25. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. 26. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes Cat este?

5 27. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Notam. Fixam pasul h si consideram formula iterativa Aceasta este metoda 28. Pentru A= sa se calculeze. 29. Pentru A= sa se calculeze. 30. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c. Acest pas este primul pas in metoda 31. Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0)? 32. Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula 33. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

6 . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara 34. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes 35. Cat este A 0? Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Ce metode numerice pot fi utilizata pentru rezolvarea lui? 36. Aproximati integrala cu metoda trapezului. 37. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare se numeste metoda pe 38. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul este 39. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1. Care este a doua iteratie? 40. Aproximati integrala

7 cu metoda lui Simpson. 41. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula Aproximam integrala cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Formula de calcul este Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei. Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive. 44. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este. Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru, unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus? 45. Pentru A= sa se calculeze. 46. Care metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)? 47. Se da tabelul x y si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de spline este data de. Cat este m? iar pe [0,1] functia

8 48. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala 49. cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este. Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru? Care metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)? 50. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. 51. Se da tabelul Fie polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica. Cat este? 52. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala. Cat este urmatoarea iteratie? 53. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. 54. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala. Cat este urmatoarea iteratie? 55. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul este..

9 56. Aproximati integrala cu metoda trapezului. 57. Pentru A= sa se calculeze. 58. Se considera functia si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)? 59. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult egal cu. 60. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Notam. Fixam pasul h si consideram formula iterativa Aceasta este metoda 61. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda

10 62. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii. La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea 63. Se da tabelul Fie polinomul lui Lagrange interpolant al valorilor din tabel, adica, grad P, calculat cu metoda lui Lagrange. Care e cu aproximatie numarul de operatii efectuate pentru calcularea valorii presupunand ca 2 nu este printre valorile. 64. Se rezolva sistemul cu matricea A data de Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga? 65. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. 66. Pentru A= sa se calculeze. 67. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat.

11 68. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1. Notam. Care este prima iteratie? 69. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5]. 70. Se da tabelul x y si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de. Calculati valoarea lui m. 71. Se da tabelul x y si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de. Cat este m? 72. Pentru A= sa se calculeze. 73. Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5].

12 74. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y =y-6x, y(0)=1 75. cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam. Cat este prima iteratie produsa de metoda lui Euler? Se da tabelul Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3]. 76. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB, unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. 77. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile? 78. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala. Cat este urmatoarea iteratie? 79. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y =y+x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam. Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? 80. Se considera functia si P(x) polinomul lui Lagrange de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)? 81. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes

13 este aproximata de unde este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este? 82. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste metoda prin pe 83. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala Jacobi garantata sa convearga?. De ce este metoda lui 84. Se rezolva ecuatia 1. Care este a doua iteratie? =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 85. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii. La primul pas se alege vector si 86. se calculeaza matricea Se rezolva numeric ecuatia diferentiala, y(1)=1 Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h=. Notam. Efectuam zece iteratii in metoda Euler- Cauchy. Obtinem iteratiile succesive. Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica pentru

14 87. Se considera ecuatia Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv. Aceasta este metoda. 88. Aproximam integrala cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Formula utilizata este Se considera functia si polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe nodurile 1,2,3,4,5. Cat este? 90. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara 91. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. 92. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi. 93. Se da tabelul

15 Notam cu polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica are grad n si daca si. Atunci polinomul lui Lagrange ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus este dat de formula: 94. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen liber formula Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul si calculam urmatoarea iteratie dupa pentru i de la 1 la n Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva? 95. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel. 96. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele 97. Se rezolva ecuatia 98. = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei. Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive. Se da tabelul

16 Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4]. 99. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel Se da tabelul x y si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de. Cat este m? 101. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei. Alegem predictie initiala. Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? 102. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB, unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare 104. functiei. Alegem predictie initiala. Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? Se da tabelul Notam cu polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus adica. Atunci coeficientii pot fi determinati prin rezolvarea sistemului 105. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

17 y =y-x, y(0)= cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam. Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? Se da tabelul Sa se calculeze unde este polinomul interpolant al valorilor din tabel Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala. Cat este urmatoarea iteratie? 108. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5) 110. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri pentru aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. Care sunt pasii efectuati in aceasta metoda de cuadratura? 111. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara 112. Aproximati integrala

18 cu metoda trapezului Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB, unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare functiei. Alegem predictie initiala. Cat este urmatoarea iteratie conform metodei aproximatiilor succesive? 115. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este 1 iar a doua este notata. Notam cu solutia exacta a ecuatiei ce este aproximata de metoda bisectiei. Estimati eroarea - cu teorema de estimare a erorii corespunzatoare metodei bisectiei Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci in mod necesar sunt 117. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala. Cat este urmatoarea iteratie? 120. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala cu metoda lui Euler cu pas h=0.5. Notam acest caz este.. Formula iterativa din metoda lui Euler in 121. Aproximati integrala

19 cu metoda lui Simpson Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii. La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea 123. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c. Acest pas este primul pas in metoda 124. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa. La primul pas in aplicarea metodei lui Gauss se permuta liniile Se rezolva sistemul cu matricea Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda Ce conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar? 127. Consideram un prim pas:

20 intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda numerica incepe cu acest pas? 128. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB, unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B Pentru A= sa se calculeze Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip Se da tabelul x y si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel. Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia spline este data de. Cat este m? 132. Se da tabelul Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2) 133. Pentru A= sa se calculeze Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala

21 . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii. La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea 136. Metoda Newton-Cotes este o metoda de Se considera ecuatia Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv, n numar natural. Aceasta este metoda Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt. Se considera urmatoarea metoda de integrare numerica: Cum alegeti pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3? 139. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y =y, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam. Calculati aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y(x) e solutia exacta a ecuatiei de mai sus Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB, 141. unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala, y(1)=1

22 Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam. Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem iteratiile succesive. Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica pentru 142. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii. La primul pas se alege vector si se calculeaza matricea 143. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen liber. Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul formula pentru i de la 1 la n si calculam urmatoarea iteratie dupa Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa? 144. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal ca.

23 146. Pentru A= sa se calculeze.

24