Curs 8 Variabile aleatoare continue 8.1 Funcţia caracteristică Definiţia Fie X o v. a. cu densitatea de probabilitate f. Funcţia ϕ X (t) = M [ e
|
|
- Matei Dima
- 4 ani în urmă
- Vzualizari:
Transcriere
1 Curs 8 Variabile aleaoare coiue 8 Fucţia caracerisică Defiiţia 8 Fie X o v a cu desiaea de probabiliae f Fucţia ϕ X ) = M [ e ix] = e ix fx)dx, se umeşe fucţia caracerisică corespuzăoare v a X Teorema 8 Dacă X ese o v a cu fucţia caracerisică ϕ X ), auci ϕ X ) =, M [X ] ϕ X ) = i), M [X ] = ϕ) ), ude M [X ] repreziă momeul iiţial! i = de ordi 3 Dacă a, b R ϕ ax+b ) = e ib ϕ X a) 4 Dacă X şi Y su v a idepedee, auci ϕ X+Y ) = ϕ X )ϕ Y ) Demosraţie ϕ X ) = e ix fx)dx = fx)dx = Folosim dezvolarea î serie a fucţiei expoeţiale e ix şi se îlocuieşe î defiiţia fucţiei geeraoare, ϕ X ) = i) M [X ]! = 3 ϕ ax+b ) = fx)dx + i! e iax+ib fx) = e ib xfx)dx + i)! x fx)dx + + i)! e iax fx) = e b ϕ X a) x fx)dx + = 4 ϕ X+Y ) = M [ e ix+y )] = M [ e ix e ] iy = M [ e ix] M [ e ] iy = ϕ X )ϕ Y ), ude am ţiu seama de idepedeţa v a care a permis scrierea relaţiei relaiv la medie Exerciţiul Să se deermie fucţia caracerisică peru v a X Exp [λ] Soluţie ϕ X ) = e ix λe λx dx = λ e i λ)x dx = λei λ)x i λ = λ i λ deorece λ > şi e i λ)x = e ix e λx = e λx x
2 Exerciţiul Să se deermie fucţia caracerisică peru v a X Gama [p, λ] Soluţie ϕ X ) = e ix f X )dx = λp Γp) e ix x p e λx dx = Facem schimbarea de variabilă u = i λ) x şi obţiem ϕ X ) = λp Γp) e u u p λ i) p dx = λ p λ i) p λp Γp) Să calculăm media şi ) dispersia cu ajuorul fucţiei caracerisice λ p ϕ X ) = pλ p j λ i) p = λ i) p+ pj ϕ X ) = λ M [X] = p λ ϕ X ) = pp + )λp j λ i) p+ M [X ] = D [X] = M [X ] M [X]) = p λ pp + ) λ e i λ)x x p dx Exerciţiul 3 Fie X Pois[λ] şi Y Pois[µ], va idepedee Demosraţi că X + Y Pois[λ + µ] Soluţie Deermiăm fucţia caracerisică a lui X Pois[λ] ϕ X ) = M[e ix ] = Deoarece va su idepedee, e ik e k= λ λk k! = e λ e i λ) k k= k! = e λei ) ϕ X+Y ) = ϕ X )ϕ Y ) = e λei ) e µe i ) = e λ+µ)e i ) Deoarece fucţia caracerisică deermiă comple fucţia desiae de probabiliae rezulp că X + Y Pois[λ + µ] f X x) = e ix ϕ X )d, Exerciţiul 4 Deermiaţi fucţia caracerisică peru va X N[, ] Soluţie Avem ϕ X ) = M[e ix ] = σ π Făcâd schimbarea de variabilă y = x m σ deoarece ϕ X ) = σ π = eim σ π, obţiem e im+σy) e y σdy = e im π Î cazul X N[, ], obţiem e y iσ) dy = e im σ, e ix e x m) σ dx e y iσ) dy = e u du = π ϕ X ) = e e y iyσ+i σ e σ dy
3 Cuoscâd fucţia caracerisică, puem calcula M[X] = ϕ X ) = m, M[X ] = ϕ X ) = m + σ, i i D[X] = M[X ] M[X]) = σ Exerciţiul 5 Fie X N[m, σ ] şi Y N[m, σ ] două va idepedee Auci X +Y N[m + m, σ + σ ] Soluţie Obţiem ϕ X ) = e im σ, ϕ X ) = e im σ, ϕ X+Y ) = ϕ X ) ϕ X ) = e im σ e im σ = e im +m ) σ +σ Exerciţiul 6 Dacă X,, X N[m, σ] su va idepedee, auci X + + X σ N[m, ] Soluţie Găsim ca mai sus că Folosid Teorema 8, pucul 3, rezulă ϕ X ++X ) = e im σ ϕ X ++X ) = ϕ ) X ++X ) = eim σ ) Exerciţiul 7 Să se deermie fucţia caracerisică peru v a X χ ) Soluţie ϕ X ) = e ix f X ) = Γ ) e ix x e x dx = Γ ) x e ix dx Facem schimbarea de variabilă u = i x şi obţiem x = u, dx = du, deci i i ϕ X ) = = Γ ) i) Γ ) i u e u i du ) u e u du = i) La disribuţia χ ) se poae ajuge porid de la disribuţii ormale Propoziţia 83 Fie va idepedee X,, X N[, ] şi Y = Y χ ) Demosraţie Fie F i fucţia de repariţie a va X i Avem Xi Auci i= F i x) = P X i x ) = P x X i x) = π x e d = π x e d x 3
4 Pri derivare deermiăm desiăţile de probabiliae ale lui X i f i x) = F i x) = e x π x = Γ )x e x, deci X i χ ) Deoarece X,, X su idepedee, rezulă că ϕ X ++X ) = ϕ X ) ϕ X ) = + i) + i) = + i), care ese ocmai fucţia caracerisică a uei va care urmează o disribuţie hi-păra cu grade de liberae 8 Teorema Limiă Cerală 8 Euţ Teorema Limiă Cerală TLC) ese ua dire cele mai imporae eoreme di eoria probabiliăţilor Iuiiv, orema afirmă că suma uui umăr mare de v a idepedee, ideic disribuie, sadardizae poae fi aproximaă de o disribuţie ormală Rezulă imporaţa acesei disribuţii, deşi desiaea sa de probabiliae are o formă care pare complicaă Teorema limiă cerală mai poară deumirea de miracolul lui Gauss Peru a realiza aces lucru, să cosiderăm desiaea de probabiliae a sumei a variabile idepedee, de ipul Uif [ 5, 5] Obţiem urmăoarele: Dacă vom compara acese grafice cu graficul uei desiăţi de probabiliae a uei va ormal disribuie, vom observa asemăarea remarcabilă chiar peru desul de mic Aces lucru e coduce iuiiv la ideea că suma variabilelor aleaoare se comporă, îr-u aumi ses, ormal Exac Teorema Limiă Cerală formalizează aces lucru Fie X, X,, X, u şir de v a idepedee şi ideic disribuie cu M [X i ] = m şi D [X i ] = σ, i Fie S = X + X + + X şi M = S Teorema limiă cerală dă iformaţii asupra v a Z = S m σ = M m) σ = M m σ = M m σ Deoarece M [M ] = m, D [M ] = σ, deducem că M [Z ] = şi D [Z ] = Aceaă v a se umeşe sadardizaă, deci şirul Z ese versiuea sadardizaă a şirului M Îaie de a demosra Teorema Limiă Cerală, avem evoie de urmăoarele prelimiarii, ce rezulă di dezvolările Taylor ale fucţiei expoeţiale: Dacă u, auci Dacă R, auci e i i şi De asemeea, vom folosi urmăorul rezula: e u + u u 8) ei i i) 3 6 8) 4
5 = = = 3 = If we compare hese graphs o he desiy of a sadard ormally disribued radom Teoremavariable, 8 we Teorema ca see remarkable covergeţei similariiesdomiae) eve for small Fie f ) u şir de fucţii, covergee pucual la o fucţie f, f coiue cu excepţia uui umăr fii de puce şi domiae de o fucţie iegrabilă g : Auci f ese iegrabilă şi f x) gx), Defiiţia 8 Spuem că şirul X ) de va coverge î disribuţie la va X şi oăm X d X dacă Desiy of a sadard ormally disribued radom variable lim F X x) = F X x), peru orice Thispuc resul leads x Rus o desuspec coiuiae ha sums a of luiradom F X variables somehow behave ormally The CLT frames his fac Formulăm acum u al rezula uil, ce permie simplificarea demosraţiei TLC Teorema 83 Teorema de coiuiae a lui Lévy) Fie X ) u şir de va asfel îcâ şirul fucţiilor caracerisice corespuzăoare ϕ X coverge pucual la o fucţie ϕ Auci X d X ϕ = ϕ X gx)dx < lim f x)dx = fx)dx Îaie de a formula TLC, avem evoie de defiiţia covergeţei î disribuţie 5
6 = 3 = If we compare hese graphs o he desiy of a sadard ormally disribued radom variable, we ca see remarkable similariies eve for small Desiy of a sadard ormally disribued radom variable Figura 8: Disribuţia ormală sadard This resul Teorema leads 84 us o Teorema suspeclimiă ha sums Cerală) of radom Fie X variables ) u şir de va somehow idepedee, behaveide- ormally The CLT frames his fac ic disribuie, sadardizae M[X i ] = şi D[X i ] = ) Auci, peru orice x R, ) lim P x = x e u du, π X + + X adică X ++X d Z, ude Z N[, ] Demosraţie Noăm cu S = X + + X Fie ϕ Xk fucţia caracerisică a lui X k, care ese aceeaşi peru fiecare k iid), deci o puem oa cu ϕ Auci, peru orice R, ] i S ϕ S ) = M [e = lim M k= ] [ )] [e i X k = ϕ Rămâe de arăa, folosid Teorema de coiuiae a lui Levy, că [ )] ϕ = e, deoarece am arăa mai sus că fucţia caracerisică a va ormale sadard ese de ipul e Dacă =, u avem imic de demosra Presupuem Avem [ )] )] ϕ e ] [ϕ = [e ) ϕ e, 83) ) deoarece ϕ şi e Urmează ) ) ) ) ϕ e ϕ + e 6
7 Folosid 8) peru u =, obţiem ) e 4 8 = 4 8 peru 84) Peru primul modul, ) ) [ ϕ = M M e i X [ e i X deoarece M [X] = şi M [X ] = D [X] = Pe de o pare, folosid prima relaţie di 8), obţiem ei X + i ) X + i X ei X X + X = X Pe de ală pare, folosid a doua relaţie di 8), obţiem ei X Peru orice δ > şi N, defiim şi fucţia caracerisică a mulţimii A, Auci + i X)] X + i + i ) ] X + i X, 85) + i X + i ) X + i X 3 X 3 6 3/ A := Aδ, ) := { X > δ } I A x) = {, dacă x A, î res ) + X ei X + i ) X + i X X I A + 3 X 3 I 6 3/ A c Rezulă [ M e i X + i ) ] X + i X M [ ] X 3 I A + 6 M [ X 3 ] I 3/ A c = M [ ] X 3 I A + 6 M [ X 3 ] I / A c 86) Cum X δ pe A c, rezulă M [ X I A c] δ I A c f X x)dx, } {{ } de ude M [ X 3 I A c] M [ X ] M [ X I A c] δ 7
8 Deci, De asemeea, 3 6 M [ X 3 ] 3 δ I / A c 6 M [ X I A ] = M [ X I { X δ } ] Cum şirul de fucţii f := X I { X δ } f X ese crescăor, cu limia pucuală f = X f X, care ese [ iegrabilă M ] [X ] = ), rezulă aplicâd Teorema covergeţei domiae că lim M X I { X δ } = M [X ] = Fie acum ε > Fie δ > asfel îcâ 3 δ < ε Alegem de asemeea 6 4 ε N asfel îcâ, peru orice ε, să avem 4 < ε şi 8 4 M [X I A ] < ε Va rezula, combiâd relaţiile 83)-86), că peru orice ε >, exisă ε N asfel îcâ, peru orice ε, [ )] ϕ e < ε, ceea ce era de demosra Ale variae ale eoremei limiă cerală su urmăoarele: Teorema 85 TLC) Fie X ) N u şir de v a idepedee şi ideic disribuie iid) cu M [X i ] = m şi D [X i ] = σ, i Auci peru orice umere reale a < b, avem lim P {a Z b}) = b e x dx 87) π Teorema 86 TLC) Fie X ) N u şir de v a idepedee disribuie cu M [X i ] = şi D [X i ] = σ i, i şi lim σ = σ Auci peru orice umere reale a < b, avem lim P {a Z b}) = b e x dx π 8 Aplicaţii ale Teoremei Limiă Cerală Aplicaţie la sodaje de opiie Exerciţiul 8 Presupuem că se realizează experimee de ip Beroulli î care u eveime A se produce cu probabiliaea p Noăm cu X k variabila aleaoare care ia valoarea dacă la experieţa cu umărul de ordie k se produce eveimeu A şi dacă u se produce A Variabilele aleaoare X k ) k su idepedee Auci S = X + X + + X repreziă umărul oal de apariţii ale lui A, deci umărul de succese ale lui A î urma efecuării a experieţe S ese o v a reparizaă biomial, S Bi, p) V a X ) N au aceeaşi repariţie biomială) Noăm cu Z = S p pq Coform eoremei limiă cerală rezulă că peru orice a < b şi suficie de mare, P {a Z b}) = b e x dx = Φb) Φa) π a 8 a a
9 Peru orice α < β, avem α S β dacă şi umai dacă α p pq Noâd α p = a, β p = b, rezulă că pq pq Z β p pq ) ) β p α p P {α S β}) = Φ Φ pq pq şi deci P p + a pq S p + b pq) = Φb) Φa) Î paricular, peru a = b b > ) rezulă formula P {p b pq S p + b pq}) = Φb), 88) peru >> uii saisiciei recomadă pq ) Aceasă formuă ese uilizaă î sodaje asfel: cosiderăm o populaţie saisică umaă căreia îi cerem opiia îr-o aumiă chesiue: ce echipă de fobal, ce parid, ce eleviziue ec preferă Nu oaă lumea poae fi cosulaă şi auci se realizează u sodaj pe eşaioae resrâse, alese cu obieciviae Să presupuem că se cosulă persoae şi oăm cu S umărul de persoae care se prouţă peru succes); se deermiă paramerul p ca fiid frecveţa de succes Peru b = 7 avem Φb) = 985 deci Φb) = 97 şi coform 88), se realizează cu eroare sub 3% eveimeul S [ p 7 pq S p + 7 pq ] ; apoi peru b = 96 avem Φb) = 95 şi coform 88), se realizează cu eroare sub 5% eveimeul S [p 96 pq S p + 96 pq] Exerciţiul 9 Dir-u sodaj realiza îr-u oraş a rezula că dir-u eşaio de voaţi 6 ar voa cu paridul X Cu o eroare de sub 3% să se esimeze câi dire cei, milioae de voaţi ar voa peru X Soluţie Avem p = 6 = 6 şi q = 4, = şi luăm b = 7, deci umărul ceru ese cuprims îre p 7 pq şi p + 7 pq deci îre = şi = 76 Aproximarea legii biomiale prir-o lege ormală Fie X o v a discreă reparizaă biomial cu paramerii p şi deci M [X] = p, D [X] = pq şi k N, k Să se calculeze P {X = k}) şi P {X k}) folosid eorema limiă cerală peru suficie de mare şi pq u foare mic) Coform eoremei limiă cerală X N p, pq) şi deci { [ P {X = k}) = P X k, k + ]}) k + = Φ p ) k Φ p ) pq pq 9
10 Adăugarea lui 5 la k se umeşe corecţie pri coiuiae A fos peru îmbuăăţirea aproximaţiei La fel { P {X k}) = P X k + }) k + = Φ p ) pq Exerciţiul Se arucă o moedă şi probabiliaea de a obţie baul ese 6 Se arucă moeda de ori Care ese probabiliaea de a obţie baul de 65 de ori? Soluţie Fie X v a care ia ca valori umărul de apariţii ale baului î cele de arucări Evide X Biomial [; 6] Coform eoremei limiă cerală X N 6, 4) { [ P {X = 65}) = P X 65, 65 + ]}) 65 + = Φ 6 ) 65 Φ 6 ) 4 4 = Φ 35) Φ 39) = = 34 O v a disribuiă biomial se aproximează cu o v a disribuiă ormal dacă p > 5, q > 5 Aproximarea legii Poisso prir-o lege ormală Fie X o v a discreă reparizaă Poisso cu parameru λ Auci M [X] = λ, D [X] = λ Coform eoremei limiă cerală X N λ, λ) Să se calculeze P {X = k}) şi P {X k}) peru k umăr aural P {X = k}) = P { [ X k, k + ]}) = Φ k + λ λ ) Φ k λ ) λ La fel, P {X k}) = P { X k + }) k + = Φ λ ) λ Aproximarea ese buă dacă λ > 5 Exerciţiul Saisica araă că la o uiae de asigurări se primesc î medie 3 de reclamaţii pe a Fie X umărul de reclamaţii pe a, presupus repariza Poisso Să se deermie probabiliaea ca să primească cel puţi 35 de reclamaţii pe a Soluţie Avem P {X 35}) = P {X 35}) = Φ ) = Φ 9734) = = 47
Calcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 7 2019 Aca Igat Memorarea matricelor rare - se memorează doar valorile eule şi suficiete iformaţii despre idici astfel ca să se poată recostitui complet matricea Pp. că matricea A
Mai multProbleme rezolvate 1) Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: 1 a) x n n = ( n+ 1)( n+ 2 )...( n+ n), n 2 n ( 1) 1 n n b) 2 3 n 5 n... ( 2
Probleme rezolvate ) Să se calculeze itele următoarelor şiruri: a) x = ( + )( + )...( + ), 3 ( ) b) 3 5... ( x = e + e + + ) e Soluţie ( + )( + )...( + ) a) x = =... + + +. k l x = l +. Folosid coseciţa
Mai multLimite de funcţii reale
( =, a b ) + a + b o 3 L + M L + M = + = + a + b b a + a + b + A A L + M = = + + ( + + )( + ) + + o 4 + 3 3 = + + 8 8 + 4 +. Limita uei fucţii îtr-u puct Vom prezeta coceptul de "limită a uei fucţii îtr-u
Mai multCOMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 2019
COMENTARII ÎN LEGĂTURĂ CU ANUMITE PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE ÎN GAZETA MATEMATICĂ PARTEA I AUTOR: PROFESOR COTEA MARIANA EUGENIA MARTIE 09 INTRODUCERE Gazea Maemaică repreziă peru pasioații de maemaică,fie
Mai multETTI-AN1, , C. Ghiu Notițe de Adrian Manea Seminar 4 Serii Fourier și recapitulare 1 Serii Fourier Pentru dezvoltarea în serie Fourier (care
Semiar 4 Serii Fourier și recapitulare Serii Fourier Petru dezvoltarea î serie Fourier (care se poate aplica atuci cîd seriile Taylor sît imposibile, trebuie satisfăcute codițiile Dirichlet: (D Fucția
Mai multMicrosoft Word - 3 Transformata z.doc
Capitolul 3 - Trasformata 05 06 CAPITOLUL 3 TRANSFORMATA BIDIMENSIONALĂ Defiim trasformata bidimesioală astfel: obţiem trasformata Fourier. (, e ω (3. şi (3. e ω Suprafaţa î plaul, defiită de şi va fi
Mai multPagina 1 din 5 Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa județeană/a sectoarelor municipiului București a olimpia
Pagia 1 di 5 Problema I: Patru pitici Parţial Puctaj. Răsturarea uui co 5 pucte 1. oform primului dese semificația lucrului miim W este dată de relația W mg y ude y L h L Lsi L(1 si. u ajutorul relației
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 8 2019 Aca Igat Valori şi vectori proprii (eigevalues, eigevectors) Defiiţie Fie A. Numărul complex se umeşte valoare proprie a matricei A dacă există u vector u, u0 astfel ca: Au=u
Mai multAnaliz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci
Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor
Mai multMicrosoft Word - _Curs II_2_Mar17_2016out.doc
CURS II Mar. 016 Prof. I. Lupea, Programare II, UTCluj 1. Operatorul SELECT -> aduare selectivă, umai elemete pozitive ditr-u şir. Tipuri de date şi culori asociate î diagramă.. For loop î For loop (imbricat).1.
Mai multAero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D
Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge
Mai mult1. Se masoara forta de presiune X (Kg/cm 3 ), la care un anumit material cedeaza. Se presupune ca X urmeaza o lege normala. Pentru 10 masuratori se ob
1. Se masoara forta de presiue X (Kg/cm 3 ), la care u aumit material cedeaza. Se presupue ca X urmeaza o lege ormala. Petru 10 masuratori se obti urmatoarele valori: Cerite: 19.6 19.9 20.4 19.8 20.5 21.0
Mai multMicrosoft Word - subiecte
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Mai multProgramare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte un program pentru sumarea primilor 100 de termeni ai seriilor următoare şi verificaţi numeric e
Programare Delphi Laborator 2 a. Serii. Elaboraţi câte u program petru sumarea primilor 00 de termei ai seriilor următoare şi verificaţi umeric egalităţile date: () (2) (3) 2 + 3 4 + 5 + = l 2; 6 2 + 2
Mai multSTRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC Un articol stiintific incepe cu titlul articolului, dupa care se scriu numele autorilor, in ordinea contributiei. Pe
STRUCTURA UNUI ARTICOL STIINTIFIC U articol stiitific icepe cu titlul articolului, dupa care se scriu umele autorilor, i ordiea cotributiei. Petru fiecare autor trebuie metioata afilierea, adica istitutia
Mai multDependenţă funcţională n Cursul 9 Fie funcţiile f : A R R, i 1, m. A mulțime nevidă. i Definiţia 1. Spunem că funcţia g: A R depinde de funcţiile f1,
Depedeţă ucţioală Cursul 9 Fie ucţiile : A R R, i, A ulție evidă i Deiiţia Spue că ucţia g: A R depide de ucţiile, eistă o ucţie h de variabile astel îcât pe ulţiea A dacă g h,,,, A Dacă u eistă o ucție
Mai multMicrosoft Word - pag_006.doc
ARTICOLE METODICO-ŞTIINŢIFICE O APLICAŢIE A CERCULUI LUI EULER Prof Ileaa Stoica, Liceul Adrei Mureşau Braşov La cocursul iterjudeţea Laureţiu Duica de la Braşov, ediţia 3 a fost propusă la clasa a VII-a
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET A I - IA CUR 6 Cof.dr.ig.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . Legea iducției electromagetice 2. Eergii și forțe î câmp magetic . Legea iducției electromagetice
Mai multMicrosoft Word - anmatcap1_3.doc
. IRURI DE NUMERE Fie E omulimedeelemete,i o submulimedeidici,i. Defii ie:numim ir de umere reale o familie de umere reale cu idici umere aturale, pe care îl vom ota cu ( a ) ; a se ume te termeul geeral
Mai multGabriela Grosu / EDCO 1 SEMINAR NR. 9, REZOLV ¼ARI EDCO, AIA 1:5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la acestea: ecu
Gabriela Grosu / EDCO SEMINAR NR. 9, REOLV ¼ARI EDCO, AIA :5: Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul înâi şi ecuaţii reducibile la acesea: ecuaţii Bernoulli, ecuaţii Riccai :5:: Ecuaţii diferenţiale liniare
Mai multTiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n
Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n Cuprins Notații v 1 Topologie în R n 1 1.1 Spațiul euclidian R n........................ 1 1.2 Structura topologică a spațiului
Mai multMicrosoft Word - SUBIECTE FAZA LOCALA FEBRUARIE 2007
CLASA a - V a 1 007 1. a) ArătaŃi că umărul A= 1+ + + +... + este divizibil cu 15. b) La u cocurs de matematică au participat elevi di clasele a V-a A, a V-a B şi a V-a C. 7 de elevi u sut di clasa a V-a
Mai multMicrosoft Word - MD.05.
pitolul uvite-cheie serii de puteri, puct regult, puct sigulr, ecuţie idicilă osideră o ecuţie difereţilă de ordi k ( k ) L(,,,,..., ) () Se pote căut soluţi sub for uei serii de puteri î jurul puctului
Mai multMatematici aplicate științelor biologie Lab10 MV
LP10 - TATITICA INFERENŢIALĂ. Itervale de îcredere. Cosiderații teoretice Majoritatea studiilor statistice u se realizează pe îtreaga populaţie statistică di uul sau mai multe icoveiete: - talia populaţie
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem
D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim
Mai multSlide 1
ELECTROTEHNICĂ ET An I - ISA CURS 13 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR e-mail: Claudia.Pacurar@ehm.ucluj.ro REGIMUL TRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE Generaliăţi Definiţie Regimul elecrocineic
Mai multCe este decibelul si Caracteristica BODE
. Ce ete decibelul? Itoria utilizării acetei uităţi de măură ete legată de proprietăţile fiziologice ale itemului auditiv uma. Spre exemplu (figura ), dacă e aplică uui difuzor u emal cu o putere de W
Mai multCurs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi
Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a
Mai multM1-ACS, , M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 9 Extreme cu legături. Integrale improprii 1 Extreme condiționate Atunci cînd domeniul de
Seminr 9 Extreme u legături. Integrle improprii Extreme ondiționte Atuni înd domeniul de definiție l unei funții de mi multe vribile onține, l rîndul său numite euții (numite, generi, legături, problemele
Mai multI
ACADEMIA DE UDII ECONOMICE BUCUREŞI CAEDRA DE MONEDĂ INGINERIE FINANCIARĂ APLICAŢII Bucureşi 9 CUPRIN I. Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni... 3 II. Noţiuni elemenare... 5 III. Modelul Binomial... 9
Mai multMicrosoft Word - PI-L8r
Procesarea Imailor - aboraor 8: Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 1 8. Proprieăţi saisice ale imailor de ensiae 8.1. Inroducere În aceasă lucrare se vor prezena prcipalele răsăuri saisice care caracerizează
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7
Mai multTEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:
TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins
Mai multCURS 8
Trasformatorul perfect MATRCE POTV REAE M = = = s Φ Φ ( ( ) = ) = = l, = l (pe acelaşi miez), factor de cuplaj Petru cuplajul perfect ( = ) = l = = Traformatorul cu u cuplaj perfect: = sl Trasformatorul
Mai multAlgebra: 1. Numere naturale. Operatii cu numere naturale. Ordinea operatiilor. Puteri si reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Multimea nu
Algebr: 1. Numere turle. Opertii cu umere turle. Ordie opertiilor. Puteri si reguli de clcul cu puteri. Comprre puterilor. Multime umerelor turle este * N 0,1,2,3,...,,... si N N {0} 1,2,3,...,,.... Pe
Mai multPowerPoint Presentation
Calculul Aproximativ al Derivatelor Funcțiilor umerice Ș.l. Dr. ing. Levente CZUMBIL E-mail: Levente.Czumbil@ethm.utcluj.ro WebPage: http://users.utcluj.ro/~czumbil Determinarea distribuţiei de sarcină
Mai multCAPITOLUL 1
3. CARACTERISTICI STATISTICE ALE UNEI SERII DE DATE 3.. INTRODUCERE Statistica matematică, mai precis metodele furizate de aceasta s-au implemetat puteric î metodologia de lucru a diferite domeii. Apelul
Mai multGHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007
GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de
Mai multOLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I a) Calculaţi: 13 :
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 1.0.01 CLASA A V-A SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE DE CORECTARE Subiectul I 5 5 a) Calculaţi: 1 :1 17 4 14 4 8 :17 5 :100 5:. b) Arătaţi că umărul x 74a 4a7 a74 este
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai mult20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do
SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul
Mai multrrs
Modelul Tramo - Seas uiliza în analiza seriilor dinamice Prof. univ. dr. Consanin ANGHELACHE (acincon@yahoo.com) Academia de Sudii Economice din Bucureși / Universiaea Arifex din Bucureși Prof. univ. dr.
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.
Mai multMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Etapa Națională a Olimpiadei de FIZICĂ 3-7 Mai 2019, Târgoviște Barem de eval
BAEM DE COECTAE Clasa a -a Pagia di 9 Subiect - MECANICĂ CLASICĂ Parţial Puctaj Bare subiect ucte Problea. Mişcări ucte a.) Mișcarea puctului aterial este uifor ariată a / cost. Eidet rectiliie u poate
Mai multDistanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,
Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea
Mai multSoluţiile problemelor propuse în nr. 1 / 2006 Clasele primare P.104. Suma dintre predecesorul unui număr şi succesorul numărului următor lui este 29.
Soluţiile problemelor propuse î r. / 006 Clasele primare P.04. Suma ditre predecesorul uui umăr şi succesorul umărului următor lui este 9. Careesteacestumăr? (Clasa I ) Iria Luca, elevă, Iaşi Soluţie.
Mai multCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se
Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să
Mai multCalcul Numeric
Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula
Mai multPrelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor
Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)
Mai multMicrosoft Word - cap1p4.doc
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu
Mai multSeminarul 1
Mtemtici specile Seminrul Februrie 8 ii Fr bteri de l norm progresul nu este posibil. Frnk Zpp Integrle improprii Motivtie: Folosind integrl definit putem integr functii continue pe intervle mrginite.
Mai mult2
C4: Structuri nanocristaline. Modelul Kronig-Penney 1. Stucturi cuantice traditionale Reducerea dimensionalităţii unui sistem fizic (de exemplu material semiconductor) produsă prin confinarea particulelor
Mai multSIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv
SIMULARE EXAMEN DE BACALAUREAT LA MATEMATICA 8.07.0 Toate subiectele (I, II, III) sut obligatorii. Se acordă 0 pucte di oficiu. Tipul efectiv de lucru este de ore. La toate subiectele se cer rezolvări
Mai multMicrosoft Word - LogaritmiBac2009.doc
Logaritmi. EcuaŃii logaritmice Logaritmi DefiiŃie. Fie a R * +, a şi b R * + douã umere reale. Se umeşte logaritm al umãrului real strict pozitiv b epoetul la care trebuie ridicat umãrul a, umit bazã,
Mai multCursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac
Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire
Mai mult8
9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele
Mai multCursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de
Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),
Mai multŞiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29
Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale
Mai multMicrosoft Word - 3_bratu_ro.doc
Economie eoreică şi aplicaă Volumul XVIII (011), No. 11(564), pp. 1-9 Inervale de previziune ale inflaţiei în România Mihaela BRATU Academia de Sudii Economice, Bucureşi mihaela_mb1@yahoo.com Rezuma. În
Mai multCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0
Mai multC:/Octavian/proiecte_TeXandFriends_mai2015/Alte_tutoriale/asimpt/book.dvi
Ocavian G. Musafa Inegrarea Asimpoică a Ecuaţiilor Diferenţiale Ordinare în Cazul Neauonom Trei aricole Publicaţiile DAL Craiova Fişier prelucra în daa de [November 19, 2015] Averismen Aces eseu nu a
Mai multPreţ bază
OPERATORUL PIEŢEI DE ENERGIE ELECTRICĂ ŞI DE GAZE NATURALE DIN ROMÂNIA INDICATORI SPECIFICI PUBLICAŢI DE OPCOM SA PREŢURI ŞI INDICI DE PREŢ/VOLUM Piaţa petru Ziua Următoare (PZU) Preţuri orare [lei/mwh]
Mai multOlimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 14 februarie 2015 Subiecte 1. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m într-o mişcare uniformă la înălţ
Subiece. Lespedea şi palanul Mihai ridică o lespede de masă m înr-o mişcare uniformă la înălţimea h = m pe un plan înclina, cu ajuorul sisemului de scripeţi din Figura (palan). Când lespedea urcă uniform,
Mai multMicrosoft Word - Raspunsul la niste provocari. Partea III..doc
Răspunsul la niște provocări. Partea a III-a. Re-citirea problemei cu alți ochelari Tiberiu Socaciu Preambulul Ca urmare a unei provocări primite pe pagina Proful de Mate de pe Facebook 1, de la un elev
Mai multMD.09. Teoria stabilităţii 1
MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,
Mai multTeoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.
Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului
Mai multCLP_UTCN-grila-2012.dvi
Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera
Mai multDAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT
DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ
Mai multRealizarea fizică a dispozitivelor optoeletronice
Curs 03/04 Curs marti, 7-0, P4 C 3C 4*/3 9.33 9 0 C Capitolul B E t H D B J D t 0 t J Ecuatii costitutive D B J E H E I vid 0 4 0 7 H m 0 8,8540 F m c0,99790 0 0 0 8 m s X Simplificarea ecuatiilor lui
Mai mult1
APROXIMAREA PROFILULUI TRANSVERSAL AL DRUMURILOR PRIN FUNCŢII MATEMATICE ÎN VEDEREA EVALUARII PARAMETRILOR DE CALITATE AI SUPRAFEŢEI CAROSABILE Prof dr ig Bruj Adri Şef lucr dr ig Dim Mri Asist ig Cătăli
Mai multCursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont
Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi
Mai multE_c_matematica_M_mate-info_2019_var_06_LRO
Matmatică M_mat-ifo Filira tortică, profilul ral, spcializara matmatică-iformatică Filira vocaţioală, profilul militar, spcializara matmatică-iformatică Toat subictl sut obligatorii. S acordă 0 puct di
Mai multClasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul
Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.
Mai multFacultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:
Mai multLaborator 7- Distributii de probabilitate clasice Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 15.nov
Laborator 7- Distributii de probabilitate clasice Sef lucrari dr.mat. Daniel N.Pop Departamentul de calculatoare si inginerie electrica 15.nov.2017 1 1 Preliminarii Matlabul lucreaza cu functia de repartiţie
Mai multSpatii vectoriale
Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale
Mai multC:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi
Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector
Mai multPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL
ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.
Mai multGfK: România, pe locul 33 din 42 din punctul de vedere al puterii de cumpărare în 2016, la nivel european
GfK: România, pe locul 33 din 42 din punctul de vedere al puterii de cumpărare în 2016, la nivel european 18 Jan 2017 de Romina Ardelean [1] Cu o putere medie de cumpărare sau venit disponibil pe cap de
Mai multPrelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi
Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte
Mai multMicrosoft Word - Tema_FIR.doc
TEMA. FILTRE CU RĂSPUNS FINIT LA IMPULS. Un filru digial RFI cu fază liniară, de ipul, cu coeficienţi reali şi cu imp de înârziere de grup minim, are: / - zerourile z = e π, z = 0, 7. - aenuare infiniă
Mai multMicrosoft Word - Indrumar2008_v6.doc
6.. Decimarea Decimarea reprezină operaţia de reducere a raei de eşanionare a unui semnal discre cu un facor înreg : LUCRAREA 6 CHIBAREA RATEI DE EŞANTIONARE. APLICAŢII ALE CIRCUITELOR ULTIRATĂ x [ n]
Mai multGeometrie afină Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 Săptămâna Endomorfismele unui spaţiu afin Transla
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 12 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 3 Apendix 2
Mai multCOMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati
COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan
Mai multMicrosoft Word - CAN si CNA.doc
CONVETOAE ANALOG-NUMEICE SI NUMEIC ANALOGICE Asa cum s-a meniona anerior, dupa amplificarea si filrarea semnalelor care urmeaza sa fie prelucrae de un sisem digial, se face conversia analog-numerica a
Mai multConcursul Interjudeţean de Matematică Cristian S. Calude Galaţi, 26 noiembrie 2005 Inspectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiinţe Mat
Cocursul Iterjudeţea de Matematică Cristia S. Calude Galaţi, 6 oiembrie 005 Ispectoratul Şcolar al Judeţului Galaţi, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Filiala Galaţi şi catedra de matematică a
Mai multBAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:
BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac
Mai multCursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această ev
Cursul 1 1. Introducere Corpul numerelor complexe Dezvoltarea istorică a gândirii matematice a urmărit îndeaproape evoluţia ideii de număr. Această evoluţie, exprimată succint prin şirul de incluziuni
Mai mult2.1.Tipul tablou unidimensional
7. Grafuri 7.1. Grafuri neorientate - Teste grilă 1. V_88_I_5. Care este numărul minim de noduri pe care îl poate conţine un graf neorientat cu 50 de muchii, şi în care 15 noduri sunt izolate? a. 25 b.
Mai multLucrarea nr
REDRESOARE MONOFAZAE U FLRU APAV. OBEVE a) Sabilirea dependenţei dinre ipul redresorului (monoalernanţă, bialernanţă) şi forma ensiunii redresae. b) Deerminarea efecelor modificării valorilor rezisenţei
Mai multjoined_document_27.pdf
INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul
Mai multD.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observaţia Cum am văzut în Teorema 11.46, orice funcţie integrabilă
D.Rusu, Teori măsurii şi integrl Lebesgue 11 INTEGRALA LEBESGUE Cursul 10 Observţi 11.50 Cum m văzut în Teorem 11.46, orice funcţie integrbilă Riemnn e un intervl mărginit [, b] este continuă µ-..t.. Prin
Mai multO teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with ap
O teoremă de reprezentare (II) Marian TETIVA 1 Abstract. In this paper some (in general well-known) results on complete sequences are exposed, with applications to Erdős-Suranyi sequences. We start from
Mai multMicrosoft Word - D_ MT1_II_001.doc
,1 SUBIECTUL II (0p) Variana 1001 a b 1 Se consider maricea A = b a, cu a, b i b 0 a) S se arae c dac maricea X ( ) verific relaia AX = XA, aunci exis uv,, asfel încâ u v X = v u n n n n * n x ( ) ( )
Mai mult