Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

Mărimea: px
Porniți afișarea la pagina:

Download "Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n"

Transcriere

1 Tiberiu Trif Analiză matematică 2 Calcul diferențial și integral în R n

2

3 Cuprins Notații v 1 Topologie în R n Spațiul euclidian R n Structura topologică a spațiului R n Șiruri de puncte în R n Mulțimi compacte în R n Probleme Limite ale funcțiilor vectoriale de variabilă vectorială Continuitatea funcțiilor vectoriale de variabilă vectorială Probleme Calcul diferențial în R n Spațiul normat al aplicațiilor liniare Probleme Derivata unei funcții vectoriale de variabilă reală Diferențiabilitatea unei funcții vectoriale de variabilă vectorială Derivata după o direcție a unei funcții vectoriale de variabilă vectorială Derivate parțiale ale unei funcții vectoriale de variabilă vectorială Probleme Operații cu funcții diferențiabile Probleme Diferențiabilitatea funcției inverse Teoreme de medie pentru funcții de variabilă vectorială Probleme i

4 ii 2.13 Funcții de clasă C Teorema difeomorfismului local Funcții implicite Probleme Extreme condiționate Derivate parțiale de ordinul doi Diferențiala a doua Probleme Condiții necesare și suficiente de extrem Probleme Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior Probleme Integrale multiple Integrala Riemann pe un interval compact în R n Criterii de integrabilitate Riemann pe un interval compact în R n Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann pe un interval compact în R n Calculul integralelor Riemann pe intervale compacte prin reducere la integrale iterate Integrala Riemann pe mulțimi mărginite în R n Calculul integralelor Riemann pe mulțimi mărginite prin reducere la integrale iterate Schimbarea variabilelor în integralele multiple Probleme Calculul integralelor duble Probleme Calculul integralelor triple Probleme Calculul integralelor multiple Probleme diverse Funcții cu variație mărginită Definiții și notații Proprietăți ale variației totale Integrabilitatea Riemann-Stieltjes în raport cu o funcție cu variație mărginită Probleme Integrale curbilinii Drumuri și curbe Integrala de primul tip de-a lungul unui drum

5 iii 5.3 Forme diferențiale de gradul întâi Integrala unei forme diferențiale de gradul întâi pe un drum (integrala de al doilea tip de-a lungul unui drum) Formula lui Green Integrarea formelor diferențiale exacte Probleme Integrale curbilinii de primul tip Probleme Integrale curbilinii de al doilea tip Integrale de suprafață Pânze și suprafețe Integrala de primul tip pe o pânză de suprafață Forme diferențiale de gradul doi Integrala unei forme diferențiale de gradul doi pe o pânză de suprafață (integrala de al doilea tip pe o pânză de suprafață) Formula lui Stokes Formula lui Gauss-Ostrogradski Probleme Integrale de suprafață de primul tip Probleme Integrale de suprafață de al doilea tip Bibliografie??? Index???

6 iv

7 Notații N, Q, R mulțimile numerice clasice: a numerelor naturale (fără 0), a numerelor raționale și respectiv a numerelor reale; R mulțimea extinsă a numerelor reale; R n spațiul euclidian n-dimensional; 0 n originea lui R n ; e 1, e 2,..., e n elementele bazei canonice din R n ; x, y produsul scalar al vectorilor x, y R n ; x norma vectorului x R n ; d(x, y) distanța euclidiană dintre x, y R n ; B(a, r) bila deschisă de centru a și rază r; B(a, r) bila închisă de centru a și rază r; V(x) familia tuturor vecinătăților punctului x R n ; int A mulțimea tuturor punctelor interioare ale lui A; ext A mulțimea tuturor punctelor exterioare lui A; cl A mulțimea tuturor punctelor aderente lui A; bd A mulțimea tuturor punctelor frontieră pentru A; A mulțimea tuturor punctelor de acumulare pentru A; [φ] matricea aplicației liniare φ; φ norma aplicației liniare φ; v

8 vi Notații f (x) derivata funcției de variabilă reală f în punctul x; f (x; v) derivata funcției f în punctul x după direcția v; df(x) diferențiala funcției f în punctul x; J(f)(x) matricea Jacobi a funcției f în punctul x; f(x) gradientul funcției f în punctul x; f x j (x) = f x j (x) derivata parțială în raport cu variabila x j a funcției f în punctul x; f x i x j (x) = 2 f x j x i (x) derivata parțială de ordinul doi în raport cu variabilele (x i, x j ) a funcției f în punctul x; d 2 f(x) diferențiala a doua a funcției f în punctul x; H(f)(x) matricea hessiană a funcției f în punctul x; f (k) x i1 x ik (x) = k f x ik x i1 (x) derivata parțială de ordinul k în raport cu variabilele (x i1,..., x ik ) a funcției f în punctul x; d k f(x) diferențiala de ordinul k a funcției f în punctul x. Part (T ) familia tuturor partițiilor lui T ; π norma partiției π; P (π) familia tuturor sistemelor de puncte intermediare asociate partiției π; σ(f, π, ξ) suma Riemann asociată funcției f, partiției π și sistemului de puncte intermediare ξ; R(T ) mulțimea tuturor funcțiilor f : T R, care sunt integrabile Riemann pe T ; T f, T f(x)dx, b 1 a 1 b n a n f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n integrala Riemann a funcției f pe intervalul compact T ; s(f, π) suma Darboux inferioară asociată funcției f și partiției π;

9 Notații vii S(f, π) suma Darboux superioară asociată funcției f și partiției π; fdx integrala Darboux inferioară a funcției f pe T ; T fdx integrala Darboux superioară a funcției f pe T ; T A f, A f(x)dx, A f(x 1,..., x n ) dx 1 dx n integrala Riemann a funcției f pe mulțimea mărginită A; V (f, ) variația funcției f relativă la diviziunea ; b (f) variația totală a funcției f; a BV ([a, b], R n ) mulțimea tuturor funcțiilor definite pe [a, b] cu valori în R n, care sunt cu variație mărginită; BV [a, b] mulțimea tuturor funcțiilor definite pe [a, b] cu valori în R, care sunt cu variație mărginită; I(γ) imaginea drumului γ; l(γ) lungimea drumului γ; I(Γ) imaginea curbei Γ; l(γ) lungimea curbei Γ; γ fds, γ f(x)ds, γ f(x 1,..., x n )ds integrala în raport cu lungimea a funcției f de-a lungul drumului γ; γ f, γ f 1dx f n dx n integrala formei diferențiale f pe drumul γ; D frontiera orientată pozitiv a mulțimii D; D f integrala formei diferențiale f pe frontiera orientată pozitiv a lui D; I(σ) imaginea pânzei σ; σ bordul pânzei σ;

10 viii Notații I(Σ) imaginea suprafeței Σ; σ fds, σ f(x, y, z)ds integrala în raport cu aria a funcției f pe pânza de suprafață σ; σ f, σ f 1 dy dz + f 2 dz dx + f 3 dx dy integrala formei diferențiale f pe pânza de suprafață σ; λ f integrala formei diferențiale f pe lanțul λ.

11 Capitolul 1 Topologie în R n 1.1 Spațiul euclidian R n Definiție (spațiul liniar R n ). Fiind dat n N, considerăm mulțimea precum și operațiile R n := { (x 1,..., x n ) j {1,..., n} : x j R }, + : R n R n R n (x, y) R n R n x + y R n : R R n R n (α, x) R R n α x R n, numite adunare și respectiv înmulțire cu scalari, definite în felul următor: dacă x := (x 1,..., x n ) R n, y := (y 1,..., y n ) R n și α R, atunci punem (1) x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) și respectiv (2) α x := (αx 1,..., αx n ). Se verifică imediat că aceste operații se bucură de următoarele proprietăți: 1 x, y, z R n : x + (y + z) = (x + y) + z; 2 x, y R n : x + y = y + x; 3 Există un element 0 n R n (numit originea lui R n ) așa încât x+0 n = x oricare ar fi x R n ; 1

12 2 1 Topologie în R n 4 Pentru orice x R n există un element x R n (numit simetricul sau opusul lui x) așa încât x + ( x) = 0 n ; 5 x R n : 1 x = x; 6 α, β R x R n : α (β x) = (αβ) x; 7 α, β R x R n : (α + β) x = α x + β x; 8 α R x, y R n : α (x + y) = α x + α y. Originea lui R n este unică și 0 n = (0,..., 0). De asemenea, simetricul oricărui element x R n este unic. Dacă x = (x 1,..., x n ), atunci x = ( x 1,..., x n ). O mulțime nevidă X, înzestrată cu două operaţii + : X X X (x, y) X X x + y X : R X X (α, x) R X α x X, se numește spațiu liniar peste corpul R al numerelor reale (sau spațiu liniar real) dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: (SL1) x, y, z X : x + (y + z) = (x + y) + z; (SL2) x, y X : x + y = y + x; (SL3) Există un element 0 X X (numit originea lui X) astfel încât x + 0 X = x oricare ar fi x X; (SL4) Pentru orice x X există un element x X (numit simetricul sau opusul lui x) așa încât x + ( x) = 0 X ; (SL5) x X : 1 x = x; (SL6) α, β R x X : α (β x) = (αβ) x; (SL7) α, β R x X : (α + β) x = α x + β x; (SL8) α R x, y X : α (x + y) = α x + α y. Din proprietățile 1 8 rezultă că mulțimea R n, înzestrată cu adunarea și înmulţirea cu scalari definite prin (1) și (2), este un spațiu liniar real. In continuare, elementele lui R n vor fi numite vectori sau puncte, iar elementele lui R vor fi numite scalari. Produsul α x, dintre scalarul α R și vectorul x R n, se va nota simplu cu αx (adică punctul va fi omis).

13 1.1 Spațiul euclidian R n Definiție (baza canonică a lui R n ). Considerăm vectorii e 1 := (1, 0, 0,..., 0) R n, e 2 := (0, 1, 0,..., 0) R n,. e n := (0, 0, 0,..., 1) R n. Mulțimea {e 1, e 2,..., e n } este o bază algebrică a spațiului liniar real R n, numită baza canonică sau baza standard a lui R n. Orice vector x = (x 1,..., x n ) din R n se reprezintă cu ajutorul vectorilor din baza canonică sub forma x = x 1 e x n e n Definiție (produsul scalar în R n ). Fie x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) doi vectori din R n. Produsul scalar dintre x și y este numărul real definit prin (3) x, y := x 1 y x n y n. Se constată imediat că produsul scalar are următoarele proprietăți: 1 x, y, z R n : x + y, z = x, z + y, z ; 2 α R x, y R n : αx, y = α x, y ; 3 x, y R n : x, y = y, x ; 4 x R n \ {0 n } : x, x > 0. Din (3) rezultă că x, 0 n = 0 n, x = 0 și că x, x 0 oricare ar fi x R n. Fiind dat un spațiu liniar real X, o funcție, : X X R se numește produs scalar pe X, dacă îndeplinește următoarele condiții: (PS1) x, y, z X : x + y, z = x, z + y, z ; (PS2) α R x, y X : αx, y = α x, y ; (PS3) x, y X : x, y = y, x ; (PS4) x X \ {0 X } : x, x > 0. Perechea ordonată (X,, ) se numește spațiu cu produs scalar sau spațiu prehilbertian real. Din proprietățile 1 4 rezultă că (R n,, ), unde, este produsul scalar definit prin egalitatea (3), este un spațiu prehilbertian real, numit spațiul euclidian R n.

14 4 1 Topologie în R n Teoremă (inegalitatea lui Cauchy Buniakovski Schwarz). Pentru orice vectori x, y R n are loc inegalitatea Demonstrație. Se va face la seminar. x, y x, x y, y Definiție (norma euclidiană în R n ). Funcția : R n [0, ), definită prin (4) x := x, x = x x2 n oricare ar fi x = (x 1,..., x n ) R n, se numește norma euclidiană în R n. Este uşor de verificat că norma euclidiană are următoarele proprietăți: 1 x = 0 x = 0 n ; 2 α R x R n : αx = α x ; 3 x, y R n : x + y x + y. Inegalitatea de la 3 se numește inegalitatea triunghiului și ea este o consecință a inegalităţii lui Cauchy Buniakovski Schwarz. Fiind dat un spațiu liniar real X, o funcție : X [0, ) se numește normă pe X, dacă îndeplinește următoarele condiții: (N1) x = 0 x = 0 X ; (N2) α R x X : αx = α x ; (N3) x, y X : x + y x + y. Perechea ordonată (X, ) se numește spațiu normat real. Din proprietățile 1 3 rezultă că (R n, ), unde este norma euclidiană definită prin (4), este un spațiu normat real Definiție (distanța euclidiană în R n ). Funcția d : R n R n [0, ), definită pentru orice puncte x = (x 1,..., x n ) R n și y = (y 1,..., y n ) R n prin (5) d(x, y) := x y = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2, se numește distanța sau metrica euclidiană în R n. Proprietățile normei euclidiene garantează că

15 1.2 Structura topologică a spațiului R n 5 1 d(x, y) = 0 x = y; 2 x, y R n : d(x, y) = d(y, x); 3 x, y, z R n : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Fiind dată o mulțime nevidă X, o funcție d : X X [0, ) se numește metrică sau distanță pe X, dacă îndeplinește următoarele condiții: (M1) d(x, y) = 0 x = y; (M2) x, y X : d(x, y) = d(y, x); (M3) x, y, z X : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Perechea ordonată (X, d) se numește spațiu metric. Din proprietățile 1 3 rezultă că (R n, d), unde d este distanța euclidiană definită prin (5), este un spațiu metric. 1.2 Structura topologică a spațiului R n Definiție (bile). Fiind date a R n și r > 0, notăm B(a, r) := {x R n d(x, a) < r} = {x R n x a < r}, B(a, r) := {x R n d(x, a) r} = {x R n x a r}. Aceste mulțimi se numesc bila deschisă și respectiv bila închisă cu centrul în a și de rază r. Evident, avem a B(a, r) B(a, r) Definiție (vecinătăți). Fie x un punct arbitrar din R n. O mulțime V R n se numește vecinătate a lui x dacă există r > 0 astfel ca B(x, r) V. Familia tuturor vecinătăților lui x va fi notată cu V(x) Definiție. Fie A o submulțime a lui R n și fie x R n. Se spune că x este punct interior al lui A dacă A V(x), adică dacă există r > 0 astfel ca B(x, r) A; punct exterior lui A dacă R n \ A V(x), adică dacă există r > 0 astfel ca B(x, r) R n \ A; punct aderent lui A dacă V A oricare ar fi V V(x);

16 6 1 Topologie în R n punct frontieră pentru A dacă V A și V (R n \ A) oricare ar fi V V(x); punct de acumulare pentru A dacă (V A) \ {x} = oricare ar fi V V(x); punct izolat al lui A dacă există V V(x) astfel ca V A = {x}. Mulțimea tuturor punctelor interioare ale lui A se numește interiorul lui A și va fi notată cu int A. Mulțimea tuturor punctelor exterioare lui A se numește exteriorul lui A și va fi notată cu ext A. Mulțimea tuturor punctelor aderente lui A se numește închiderea sau aderența lui A și va fi notată cu cl A. Mulțimea tuturor punctelor frontieră pentru A se numește frontiera lui A și va fi notată cu bd A. Mulțimea tuturor punctelor de acumulare pentru A se numește derivata mulțimii A și va fi notată cu A Teoremă. Pentru orice mulțime A R n au loc următoarele relații: 1 int A A cl A; 2 ext A = int ( R n \ A ) ; 3 cl A = R n \ int ( R n \ A ) ; 4 bd A = (cl A) cl ( R n \ A ) ; 5 (int A) (bd A) = cl A; 6 (int A) (bd A) (ext A) = R n ; 7 (int A) (bd A) = ; 8 (int A) (ext A) = ; 9 (ext A) (bd A) = ; 10 cl A = A A. Demonstrație. Demonstrăm doar relația 10. Arătăm mai întâi că (1) cl A A A.

17 1.2 Structura topologică a spațiului R n 7 Fie în acest scop x cl A arbitrar. Dacă x A, atunci x A A. Dacă x A, să dovedim că x A. Fie V o vecinătate oarecare a lui x. Cum x cl A, avem V A. Intrucât x A, deducem că (V A) \ {x} =. Drept urmare avem x A, deci x A A. Așadar, incluziunea (1) are loc. ținând seama de relația 1, precum și de incluziunea evidentă A cl A, deducem că (2) A A cl A. Din (1) și (2) rezultă că relația 10 are loc Definiție (mulțimi deschise și mulțimi închise). O mulțime A R n se numește: deschisă dacă A V(x) oricare ar fi x A, adică dacă pentru orice x A există un r > 0 așa încât B(x, r) A; închisă dacă mulțimea R n \ A este deschisă Exemplu. Dacă a R n și r > 0, atunci bila deschisă B(a, r) este o mulțime deschisă, iar bila închisă B(a, r) este o mulțime închisă. In adevăr, pentru orice x B(a, r) avem x a < r. Notând r := r x a > 0, se arată ușor că B(x, r ) B(a, r), deci B(a, r) este mulțime deschisă. De asemenea, pentru orice punct x R n \ B(a, r) avem x a > r. Notând r := x a r > 0, se arată ușor că B(x, r ) R n \ B(a, r). Prin urmare, mulțimea R n \ B(a, r) este deschisă, deci B(a, r) este o mulțime închisă Propoziție. Dacă A este o submulțime a lui R n, atunci int A este o mulțime deschisă, iar cl A este o mulțime închisă. Demonstrație. Fie x int A. Atunci există un r > 0 astfel încât B(x, r) A. Dovedim că B(x, r) int A. Fie în acest scop y B(x, r). Atunci avem y x < r. Notând r := r y x > 0, are loc incluziunea B(y, r ) B(x, r) A, deci y int A. Prin urmare, există pentru fiecare x int A un r > 0 astfel ca B(x, r) int A. Aceasta înseamnă că int A este mulțime deschisă. Conform relației 3 din teorema și a celor stabilite mai sus, mulțimea R n \ cl A = int ( R n \ A ) este deschisă, deci mulţimea cl A este închisă Teoremă (caracterizarea mulțimilor deschise). Fiind dată o mulțime A R n, următoarele afirmații sunt echivalente:

18 8 1 Topologie în R n 1 A este deschisă. 2 Are loc egalitatea int A = A. 3 Are loc egalitatea A bd A =. Demonstrație. 1 2 Conform teoremei 1.2.4, avem int A A. Pe de altă parte, deoarece A este deschisă, pentru fiecare x A există un r > 0 astfel încât B(x, r) A. Deci fiecare punct x A este interior lui A. In consecință, avem int A = A. 2 3 Dacă int A = A, atunci în baza relației 7 din teorema avem A bd A = (int A) (bd A) =. 3 1 Presupunem că A bd A =, dar A nu este deschisă. Există atunci un punct x 0 A cu proprietatea că B(x 0, r) A oricare ar fi r > 0. Rezultă de aici că B(x 0, r) ( R n \ A ) oricare ar fi r > 0. Pe de altă parte, mai avem și x 0 B(x 0, r) A oricare ar fi r > 0. In consecință, trebuie să avem x 0 bd A, deci x 0 A bd A, ceea ce contrazice presupunerea făcută. Contradicția obținută arată că A este deschisă Teoremă (caracterizarea mulțimilor închise). Fiind dată o mulțime A R n, următoarele afirmații sunt echivalente: 1 A este închisă. 2 Are loc egalitatea cl A = A. 3 Are loc incluziunea bd A A. 4 Are loc incluziunea A A. Demonstrație. 1 2 Dacă A este închisă, atunci R n \ A este deschisă, deci int ( R n \ A ) = R n \ A, conform teoremei Folosind acum afirmația 3 din teorema deducem că cl A = R n \ int ( R n \ A ) = R n \ ( R n \ A ) = A. 2 1 Dacă A = cl A, atunci mulțimea A este închisă, conform propoziției Din 2 și afirmația 5 a teoremei rezultă că A = cl A = (int A) (bd A),

19 1.2 Structura topologică a spațiului R n 9 deci bd A A. 3 2 Din 3 și afirmațiile 1 și 5 ale teoremei rezultă că deci cl A = A. cl A = (int A) (bd A) A cl A, 2 4 Din 2 și afirmația 10 a teoremei rezultă că A = cl A = A A, deci A A. 4 2 Din 4 și afirmațiile 1 și 10 ale teoremei rezultă că deci cl A = A. cl A = A A A cl A, Teoremă. Familia T, a tuturor submulțimilor deschise ale lui R n, se bucură de următoarele proprietăți: 1 T și R n T. 2 Oricare ar fi familia (G i ) i I, de mulțimi din T, avem i I G i T. 3 Pentru orice mulțimi G 1, G 2 T, avem G 1 G 2 T. Demonstrație. Imediată Observații. a) Fiind dată o mulțime arbitrară X, se numește topologie pe X orice familie T P(X), de submulțimi ale lui X, care îndeplinește următoarele condiții: (T1) T și X T ; (T2) Oricare ar fi familia (G i ) i I, de mulțimi din T, avem i I G i T ; (T3) Pentru orice mulțimi G 1, G 2 T, avem G 1 G 2 T. Perechea ordonată (X, T ) se numește spațiu topologic. Din teorema rezultă că familia T, a tuturor submulțimilor deschise ale lui R n, este o topologie pe R n, numită topologia euclidiană. b) Familia T, a tuturor submulțimilor închise ale lui R n, se bucură de următoarele proprietăți: 1 T și R n T ;

20 10 1 Topologie în R n 2 Oricare ar fi familia (F i ) i I, de mulțimi din T, avem i I F i T ; 3 Pentru orice mulțimi F 1, F 2 T, avem F 1 F 2 T. c) Intersecția unei familii oarecare de mulțimi din T nu aparține, în general, lui T. De exemplu, mulţimea G k := ( 1 k, 1 ) k este deschisă în R pentru fiecare k N, dar G k = {0} este închisă în R. k=1 De asemenea, reuniunea unei familii oarecare de mulțimi din T nu aparține, în general, lui T. De exemplu, mulțimea F k := [ k, 1 1 ] 2k este închisă în R pentru fiecare k N, dar F k = ( 1, 1) este deschisă în R. 1.3 Șiruri de puncte în R n k= Definiție (șiruri convergente în R n ). Orice funcție f : N R n se numește șir de puncte din R n. Dacă f(k) = x k R n pentru k N, atunci șirul va fi notat (x k ) k N sau, simplu, (x k ). Fiecare termen x k al șirului fiind un punct din R n, este de forma x k = (x k1, x k2,..., x kn ). Fie (x k ) un șir de puncte din R n și fie x R n. Se spune că (x k ) converge către x (sau că x este o limită a șirului (x k )) dacă ε > 0 k 0 N a.î. k k 0 : x k x 0 < ε. Se constată imediat că un șir de puncte din R n are cel mult o limită. In cazul în care aceasta există, șirul se numește convergent. Faptul că șirul (x k ) converge către x va fi notat prin (x k ) x sau lim x k = x. k Teoremă. Fie (x k ) un șir de puncte din R n și fie x R n. Atunci Demonstrație. Evidentă. (x k ) x lim k x k x = Teoremă. Fie (x k ) și (y k ) șiruri convergente de puncte din R n, fie x := lim k x k, y := lim k y k, fie (α k ) un șir convergent de numere reale și fie α := lim k α k. Atunci Demonstrație. Imediată. lim (x k + y k ) = x + y și lim (α kx k ) = αx. k k

21 1.3 Șiruri de puncte în R n Teoremă. Fie (x k ) un șir de puncte din R n, x k = (x k1,..., x kn ) (k N) și fie x = ( x 1,..., x n ) R n. Atunci lim x k = x j {1,..., n} : lim x kj = x j. k k Demonstrație. Necesitatea. Presupunem că lim k x k = x. Conform teoremei avem atunci lim k x k x = 0. Deoarece x k x = (x k1 x 1 ) 2 + (x k2 x 2 ) (x kn x n ) 2 x kj x j pentru fiecare j {1,..., n}, rezultă că lim k x kj x j = 0, adică lim k x kj = x j pentru orice j {1,..., n}. Suficiența. Admitem acum că lim k x kj = x j, adică lim x kj x j = 0 k pentru orice j {1,..., n}. Deoarece n x k x = (x kj x j ) 2 j=1 n x kj x j, deducem că lim k x k x = 0, deci lim k x k = x, conform teoremei Definiție (șiruri fundamentale în R n ). Un șir (x k ), de puncte din R n se numește fundamental (sau şir Cauchy) dacă j=1 ε > 0 k 0 N a.î. k, l k 0 : x k x l < ε Teoremă. Fie (x k ) un șir din R n, x k = (x k1,..., x kn ) (k N). Atunci următoarele afirmații sunt echivalente: 1 Șirul (x k ) este fundamental. 2 Pentru fiecare j {1,..., n}, șirul de numere reale (x kj ) este fundamental. Demonstrație. 1 2 Presupunem că (x k ) este fundamental. Fie j {1,..., n} fixat. Pentru a dovedi că șirul (x kj ) este fundamental, fie ε > 0. Există atunci un k 0 N așa încât pentru orice k, l k 0 să avem x k x l < ε. Deoarece x k x l = (x k1 x l1 ) (x kn x ln ) 2 x kj x lj,

22 12 1 Topologie în R n deducem că x kj x lj < ε pentru orice k, l k 0. Drept urmare, șirul de numere reale (x kj ) este fundamental. 2 1 Fie ε > 0 oarecare. Pentru fiecare j {1,..., n} există un k j N astfel ca x kj x lj < ε n pentru orice k, l k j. Notând k 0 := max{k 1,..., k n }, avem n x k x l = (x kj x lj ) 2 j=1 n x kj x lj < ε, oricare ar fi k, l k 0. In consecință, șirul (x k ) este fundamental Teoremă (A. L. Cauchy). Un șir de puncte din R n este convergent dacă și numai dacă el este fundamental. Demonstrație. Fie (x k ) un șir din R n, x k = (x k1,..., x kn ) (k N). Avem (x k ) convergent j {1,..., n} șirul (x kj ) este convergent j=1 j {1,..., n} șirul (x kj ) este fundamental (x k ) fundamental, cele trei echivalențe fiind justificate de teorema 1.3.4, teorema lui Cauchy pentru șiruri de numere reale și respectiv teorema Teoremă (caracterizarea secvențială a punctelor aderente). Fie A o submulțime a lui R n. Un punct x R n este aderent lui A dacă și numai dacă există un șir (x k ), de puncte din A, care converge către x. Demonstrație. Necesitatea. Dacă x cl A, atunci pentru orice k N avem B ( x, 1 ) k A. Pentru fiecare k N alegem xk B ( x, 1 ) k A. Atunci (xk ) este un șir de puncte din A cu proprietatea x k x < 1 k oricare ar fi k N. In baza teoremei rezultă că (x k ) x. Suficiența. Admitem că există un șir (x k ), de puncte din A, care converge către x. Fie V o vecinătate arbitrară a lui x. Există atunci r > 0 în așa fel încât B(x, r) V. Cum (x k ) x, există un k 0 N astfel ca x k x < r oricare ar fi k k 0. Atunci pentru orice k k 0 avem x k B(x, r) V și x k A, deci V A. Intrucât V a fost arbitrară, deducem că x cl A.

23 1.4 Mulțimi compacte în R n Consecință (caracterizarea secvențială a punctelor de acumulare). Fie A o submulțime a lui R n. Un punct x R n este punct de acumulare al lui A dacă și numai dacă există un șir (x k ), de puncte din A \ {x}, care converge către x. Demonstrație. Rezultă din teorema 1.3.8, ținând seama că x A dacă și numai dacă x cl ( A \ {x} ) Consecință (caracterizarea secvențială a mulțimilor închise). O mulțime A R n este închisă dacă și numai dacă pentru orice șir convergent de puncte din A, limita sa aparţine lui A. Demonstrație. Se aplică teorema și teorema Mulțimi compacte în R n Definiție (mulțimi compacte). Fie A R n. Se numește acoperire a mulțimii A orice familie (A i ) i I, de submulțimi ale lui R n, pentru care A i I A i. Acoperirea (A i ) i I se numește deschisă dacă toate mulțimile A i (i I) sunt deschise. O mulțime A R n se numește compactă dacă din orice acoperire deschisă a sa se poate extrage o subacoperire finită, adică dacă pentru orice acoperire deschisă (A i ) i I a lui A există o submulțime finită J a lui I cu proprietatea că A i J A i. Evident, orice mulțime finită A R n este compactă Exemplu. O mulțime A R n se numește hipercub închis dacă este de forma A = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ], unde a 1, b 1, a 2, b 2,..., a n, b n R, a 1 < b 1, a 2 < b 2,..., a n < b n și b 1 a 1 = b 2 a 2 = = b n a n. Vom dovedi în cele ce urmează că orice hipercub închis din R n este o mulțime compactă. Facem demonstrația doar în cazul particular n = 2 (demonstrația pentru n arbitrar este, în esență, aceeași, fiind însă puțin mai dificil de redactat). Fie așadar A = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] și fie l = b 1 a 1 = b 2 a 2. Presupunem prin absurd că mulțimea A nu este compactă, adică există o acoperire deschisă (G i ) i I a lui A, din care nu se poate extrage nici o subacoperire finită. Cu ajutorul centrului său, împărțim pătratul A în 2 2 pătrate: [ a 1, a 1+b 1 2 ] [ a 2, a 2+b 2 2 ], [ ] [ a1 +b 1 2, b 1 a 2, a 2+b 2 2 ], [ a 1, a 1+b 1 2 ] [ a2 +b 2 2, b 2 ], [ ] [ ] a1 +b 1 2, b 1 a2 +b 2 2, b 2.

24 14 1 Topologie în R n Cel puțin unul dintre aceste 2 2 pătrate nu poate fi acoperit cu un număr finit de mulțimi din familia (G i ) i I. Fie A 1 = [a 11, b 11 ] [a 21, b 21 ] un asemenea pătrat, unde a 1 a 11 < b 11 b 1, a 2 a 21 < b 21 b 2, b 11 a 11 = b 21 a 21 = l 2. Cu pătratul A 1 se procedează ca și cu A. Se descompune A 1 cu ajutorul centrului său în 2 2 pătrate. Cel puțin unul dintre aceste pătrate nu poate fi acoperit cu un număr finit de mulțimi din familia (G i ) i I. Fie A 2 = [a 12, b 12 ] [a 22, b 22 ] un asemenea pătrat, unde a 11 a 12 < b 12 b 11, a 21 a 21 < b 21 b 22, b 12 a 12 = b 22 a 22 = l 2 2. Continuând raționamentul, obținem inductiv un șir A k = [a 1k, b 1k ] [a 2k, b 2k ] de pătrate cu următoarele proprietăți: a) A k A oricare ar fi k N; b) niciunul dintre pătratele A k (k N) nu poate fi acoperit cu un număr finit de mulțimi din familia (G i ) i I ; c) șirurile (a 1k ) și (a 2k ) sunt crescătoare, șirurile (b 1k ) și (b 2k ) sunt descrescătoare și b 1k a 1k = b 2k a 2k = l 2 k oricare ar fi k N. Există așadar x 1, x 2 R cu proprietatea {x 1} = [a 1k, b 1k ] și {x 2} = k=1 [a 2k, b 2k ]. Notând x := (x 1, x 2 ), avem atunci x k=1 A k A. Cum (G i ) i I este o acoperire a lui A, există un i 0 I astfel ca x G i0. Deoarece G i0 este deschisă, există r > 0 așa încât B(x, r) G i0. Alegem un k N în aşa fel încât 2l/2 k < r. Pentru orice punct x = (x 1, x 2 ) A k avem k=1 x 1 x 1 b 1k a 1k = l 2 k şi x 2 x 2 b 2k a 2k = l 2 k. Urmează de aici că x x = (x 1 x 1 )2 + (x 2 x 2 )2 2l 2 k < r,

25 1.4 Mulțimi compacte în R n 15 deci A k B(x, r) G i0. Prin urmare, pătratul A k poate fi acoperit cu o mulțime din familia (G i ) i I, în contradicție cu construcția şirului de pătrate (A k ). Contradicția obținută arată că mulțimea A este compactă Definiție (mulțimi mărginite). O mulțime A R n se numește mărginită dacă există a R n și r > 0 astfel ca A B(a, r). Evident, toate bilele închise și toate bilele deschise din R n sunt mulțimi mărginite. De asemenea, orice submulţime a unei mulțimi mărginite din R n este mărginită Teoremă (caracterizarea mulțimilor compacte). Fiind dată o mulțime A R n, următoarele afirmații sunt echivalente: 1 A este compactă. 2 Orice submulțime infinită a lui A are cel puţin un punct de acumulare care aparține lui A. 3 A este secvențial compactă, adică orice șir de puncte din A are un subșir convergent către un punct din A. 4 A este mărginită și închisă. Demonstrație. 1 2 Admitem că A este compactă. Presupunem prin absurd că există o mulțime infinită A 0 A care nu are niciun punct de acumulare aparținând lui A. Aceasta înseamnă că pentru fiecare x A există un r x > 0 încât B(x, r x ) A 0 \ {x} =, deci B(x, r x ) A 0 {x} oricare ar fi x A. Familia ( B(x, r x ) ) este o acoperire deschisă a lui A. Intrucât A este compactă, există x 1,..., x m A în așa fel încât A B(x j, r xj ). Atunci x A m avem A 0 = A A 0 j=1 m ) (B(x j, r xj ) A 0 {x 1,..., x m }, j=1 ceea ce este absurd, căci A 0 este infinită. 2 3 Fie (x k ) un șir arbitrar de puncte din A și fie A 0 mulțimea termenilor șirului, A 0 := {x k k = 1, 2,...}. Dacă mulțimea A 0 este finită, atunci cel puțin unul dintre termenii şirului se repetă de o infinitate de ori. Prin urmare, în acest caz șirul (x k ) posedă un subșir convergent către un punct din A și anume un subșir constant. Presupunem în continuare că A 0 este infinită. Conform ipotezei 2, mulțimea A 0 posedă cel puţin un punct de acumulare x A. Atunci orice vecinătate a lui x conține o infinitate de termeni ai șirului (x k ). Construim un subșir (x kj ) al șirului (x k ) în felul următor:

26 16 1 Topologie în R n alegem k 1 N astfel ca x k1 B(x, 1); de îndată ce k j ( N a ) fost construit deja, alegem k j+1 > k j în așa fel 1 încât x kj+1 B x, j+1. Cum x kj x < 1/j oricare ar fi j N, rezultă în baza teoremei că (x kj ) x. 3 4 Presupunând că A nu este mărginită, avem A B(0 n, k) oricare ar fi k N. Prin urmare, pentru fiecare k N există un punct x k A cu x k > k. Conform ipotezei 3, şirul (x k ) are un subșir (x kj ), convergent către un punct x A. Avem atunci lim j x kj x = 0, conform teoremei Pe de altă parte, avem x kj x x kj x > k j x pentru orice j N. Cum lim j k j =, deducem că lim j x kj x =, ceea ce este absurd. Contradicția obţinută arată că A este mărginită. Pentru a dovedi că A este închisă, folosim consecința Fie (x k ) un șir convergent arbitrar de puncte din A și fie x R n limita sa. Conform ipotezei 3, șirul (x k ) are un subșir convergent către un punct din A. Limita acestui subșir fiind x, rezultă că x A. Prin urmare, A este închisă. 4 1 Admitem că A este mărginită și închisă. Există atunci un r > 0 în așa fel încât A [ r, r] n. Pentru a dovedi că A este compactă, fie (G i ) i I o acoperire deschisă a lui A. Atunci (G i ) i I {R n \ A} va fi o acoperire deschisă a hipercubului închis [ r, r] n. Acesta fiind o mulțime compactă (a se vedea exemplul 1.4.2), există o mulțime finită J I astfel ca [ r, r] n ( R n \ A ) ( ) G i. Intrucât A [ r, r] n, rezultă că A i J G i, adică (G i ) i J este o subacoperire finită a acoperirii (G i ) i I. In consecință, mulțimea A este compactă Observații. a) Echivalența 1 3 din teorema este cunoscută în literatura de specialitate sub numele de,, teorema de compactitate metrică a lui Hausdorff. Ea este valabilă nu doar în R n ci în orice spațiu metric. b) Echivalența 1 4 din teorema este cunoscută în literatura matematică sub numele de,, teorema lui Borel Lebesgue. Ea este valabilă în R n precum şi în orice spațiu normat finit dimensional, dar nu și într-un spațiu metric arbitrar. i J

27 1.5 Probleme Probleme 1. Fie a = (3, 2, 4) R 3 și b = (8, 6, 3) R 3. Să se determine a + b, a b, 3a + b, a, b, a, b, d(a, b). 2. Să se demonstreze inegalitatea lui Cauchy-Buneakovski-Schwarz: x, y R n : x, y x, x y, y. 3. Să se demonstreze identitatea paralelogramului: x, y R n : x + y 2 + x y 2 = 2 x y Fie m N și fie x 1,..., x m R n astfel ca și x i = 1 oricare ar fi i {1,..., m} x i x j = 1 oricare ar fi i, j {1,..., m}, i j. Să se demonstreze că mulțimea {x 1,..., x m } este liniar independentă. 5. Fie {i, j, k} baza canonică a spațiului R 3. Concursul Traian Lalescu, UBB, etapa locală, 2013 a) Să se demonstreze că dacă a, b, c R 3 satisfac inegalitatea a 2 + b 2 + c 2 < 1, atunci {i + a, j + b, k + c} este bază în R 3. b) Să se demonstreze că dacă a, b, c R 3 satisfac inegalitatea atunci {a, b, c} este bază în R 3. cos(a, i) + cos(b, j) + cos(c, k) > 5 2, Concursul Traian Lalescu, UPB, etapa locală, Fie H o matrice de tipul n n cu elemente din mulțimea { 1, 1}, ale cărei linii sunt ortogonale două câte două. Presupunem că există în H o submatrice de tipul a b cu toate elementele 1. Să se demonstreze că ab n. Concursul William Lowell Putnam 2005

28 18 1 Topologie în R n 7. Fiind date numerele reale p, q > 1, cu proprietatea 1 p + 1 q demonstreze că: 1 Are loc inegalitatea lui Young = 1, să se a, b [0, [ : ab ap p + bq q. 2 Are loc inegalitatea lui Hölder a 1,..., a n, b 1,..., b n [0, [ : ( n n a k b k k=1 k=1 a p k ) 1 p ( n k=1 b q k ) 1 q. 8. Fiind dat numărul real p 1, să se demonstreze că are loc inegalitatea lui Minkowski [ n ] 1 p (a k + b k ) p k=1 ( n k=1 a p k ) 1 ( p n + k=1 b p k ) 1 p oricare ar fi a 1,..., a n, b 1,..., b n [0, ). 9. Fiind dat numărul real p 1, să se arate că funcția p : R n [0, ), definită prin x p := ( n k=1 x k p ) 1 p oricare ar fi x = (x 1,..., x n ) R n, este o normă, numită p-norma pe R n. 10. Fie X un spațiu liniar real și : X [0, ) o normă pe X. Se spune că norma provine dintr-un produs scalar dacă există un produs scalar, pe X, cu proprietatea x = x, x pentru orice x X. Să se demonstreze că p-norma p pe R n, unde p 1 și n 2, provine dintr-un produs scalar dacă și numai dacă p = Să se demonstreze că funcția : R n [0, ), definită prin x := max { x 1,..., x n } oricare ar fi x = (x 1,..., x n ) R n, este o normă, numită norma Cebîșev pe R n. Cebîșev nu provine dintr-un produs scalar. Să se arate că norma

29 1.5 Probleme Să se demonstreze că pentru orice x R n are loc egalitatea lim x p = x. p 13. Fie A R n n și fie φ : R n R n aplicația liniară având matricea A în baza canonică a lui R n. Să se demonstreze că dacă φ(x) = x oricare ar fi x R n, atunci există un număr natural m astfel ca A m = I n. SEEMOUS Să se demonstreze că pentru orice a R n și orice r > 0 are loc egalitatea cl B(a, r) = B(a, r). 15. Să se demonstreze că pentru orice mulțime A R n sunt adevărate următoarele relații: 1 int A A cl A; 2 ext A = int (R n \ A); 3 cl A = R n \ int (R n \ A); 4 bd A = (cl A) cl (R n \ A); 5 (int A) (bd A) = cl A; 6 (int A) (bd A) (ext A) = R n ; 7 (int A) (bd A) = ; 8 (int A) (ext A) = ; 9 (ext A) (bd A) = ; 10 cl A = A A. 16. Să se demonstreze că pentru orice mulțimi A, B R n au loc următoarele incluziuni: int (A \ B) (int A) \ (int B) și (cl A) \ (cl B) cl (A \ B). Să se dea exemple de mulțimi A, B R n pentru care incluziunile de mai sus sunt stricte.

30 20 1 Topologie în R n 17. Fiind date mulțimile A, B R n, să se demonstreze că: a) Dacă A B = R n, atunci ( cl A ) ( int B ) = R n. b) Dacă A B =, atunci ( cl A ) ( int B ) =. 18. Să se demonstreze că pentru orice mulțimi A 1, A 2 R n are loc egalitatea cl(a 1 A 2 ) = (cl A 1 ) (cl A 2 ). Este adevărat că pentru orice familie (A i ) i I de submulțimi ale lui R n are loc egalitatea ( ) cl A i = cl A i? i I i I 19. Să se demonstreze că pentru orice mulțimi A 1, A 2 R n are loc egalitatea (A 1 A 2 ) = A 1 A 2. Este adevărat că pentru orice familie (A i ) i I de submulțimi ale lui R n are loc egalitatea ( A i? i I A i) = i I 20. Fie (x k ) și (y k ) șiruri convergente de puncte din R n și fie x := lim k x k, y := lim k y k. a) Să se demonstreze că lim k d(x k, y k ) = d(x, y). b) Să se deducă apoi că lim k x k = x. 21. Să se determine lim k , }{{} k radicali k b(j) j(j + 1), j=1 unde b(j) este numărul cifrelor 1 din reprezentarea binară a lui j (de exemplu, b(6) = b(110 2 ) = 2, b(8) = b( ) = 1).

31 1.5 Probleme Fie f : R R o funcție aditivă, adică o funcție cu proprietatea x, y R : f(x + y) = f(x) + f(y) și fie gr(f) := { (x, f(x)) R 2 x R } graficul lui f. Să se demonstreze că: a) Dacă f este continuă în cel puțin un punct, atunci f este continuă pe R. b) Dacă f este continuă în cel puțin un punct (deci pe R), atunci f(x) = cx oricare ar fi x R, unde c = f(1). c) Dacă f este discontinuă pe R, atunci cl gr(f) = R 2, adică gr(f) este o submulțime densă a lui R Fie (x k ) un șir convergent de puncte din R n și x := lim k x k. Să se demonstreze că mulțimea A := {x} { x k k = 1, 2,... } este compactă. 24. Să se demonstreze că mulțimea { } 1 A := {0} n n N este compactă în R. { 1 n + 1 m } n, m N, n m 25. Să se demonstreze că dacă A este o submulțime compactă a lui R n, iar B este o submulțime compactă a lui R m, atunci mulțimea A B este compactă în R n R m = R n+m. 26. Fiind date mulțimile A, B R n, notăm A + B := { x R n a A și b B : x = a + b }. a) Să se demonstreze că dacă una dintre mulțimile A și B este închisă, iar cealaltă este compactă, atunci mulțimea A + B este închisă. b) Dați exemplu de mulțimi închise A și B pentru care mulțimea A + B nu este închisă. 27. Fie A și B submulțimi nevide ale lui R n și fie d(a, B) := inf { d(x, y) x A, y B }.

32 22 1 Topologie în R n a) Să se demonstreze că dacă A = {a} și B este închisă, atunci există un b B așa încât d(a, B) = d(a, b). b) Să se demonstreze că dacă A este compactă și B este închisă, atunci există a A și există b B așa încât d(a, B) = d(a, b). c) Arătați printr-un contraexemplu că afirmația de la b) nu rămâne adevărată în cazul când A și B sunt ambele închise dar niciuna compactă. 28. Fiind dată mulțimea A R n și numărul real r > 0, notăm B := { x R n a A : x a = r }. Berkeley 1978 a) Să se reprezinte grafic mulțimea B în cazul în care r = 1, iar A R 2 este cercul cu centrul în (0, 0) și de rază 2, respectiv segmentul care unește punctele (0, 0) și (1, 1). b) Să se demonstreze că dacă A este închisă, atunci și B este închisă. Berkeley (lema numărului Lebesgue) Fiind dată o mulțime mărginită A R n, numărul real, definit prin sup { d(x, y) x, y A }, se numește diametrul mulțimii A. Să se demonstreze că dacă A este compactă, iar (G i ) i I este o acoperire deschisă a lui A, atunci există un număr real δ > 0 cu următoarea proprietate: pentru orice submulțime B a lui A, având diametrul cel mult δ, există un i I astfel ca B G i. (Orice număr δ cu această proprietate se numește număr Lebesgue al acoperirii (G i ) i I.) Berkeley 1986, 1994, Limite ale funcțiilor vectoriale de variabilă vectorială Definiție. O funcție f : A R m, unde A este o submulțime nevidă a lui R, se numește funcție vectorială de variabilă reală. O funcție f : A R, unde A este o submulțime nevidă a lui R n, se numește funcție reală de variabilă vectorială.

33 1.6 Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială 23 O funcție f : A R m, unde A este o submulțime nevidă a lui R n, se numește funcție vectorială de variabilă vectorială. Fie A o submulțime nevidă a lui R n și f : A R m o funcție vectorială. Fie apoi f 1,..., f m : A R funcțiile reale definite în felul următor: dacă x A și f(x) = (y 1,..., y m ) R m, atunci f i (x) := y i oricare ar fi i {1,..., m}. Funcțiile f 1,..., f m se numesc componentele scalare ale lui f. Se vede ușor că f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)) pentru orice x A. In continuare vom folosi notația f = (f 1,..., f m ) : A R m atunci când dorim să punem în evidență componentele scalare ale lui f Definiție (limita unei funcții într-un punct). Fie A R n, a A, f : A R m o funcție și b R m. Se spune că b este o limită a lui f în punctul a (sau că f are limita b în punctul a) dacă ε > 0 δ > 0 a.î. x A \ {a} cu x a < δ : f(x) b < ε. Se vede imediat că f are cel mult o limită în a. Faptul că b este limita lui f în punctul a se va nota prin lim x a f(x) = b Teoremă (caracterizarea secvențială a limitei). Fie A o submulțime a lui R n, a A, f : A R m o funcție și b R m. Atunci lim f(x) = b dacă și x a numai dacă pentru orice șir (x k ) de puncte din A \ {a}, care converge către a, avem lim f(x k) = b. k Demonstrație. Necesitatea. Presupunem că lim x a f(x) = b. Fie (x k ) un șir oarecare de puncte din A \ {a}, astfel ca (x k ) a. Pentru a dovedi că (f(x k )) b, fie ε > 0 arbitrar ales. Există atunci un δ > 0 în așa fel încât pentru orice x A\{a}, cu x a < δ, să avem f(x) b < ε. Cum (x k ) a, există un k 0 N astfel încât pentru orice k k 0 să avem x k a < δ. Drept urmare, avem f(x k ) b < ε oricare ar fi k k 0. Deci (f(x k )) b. Suficiența. Presupunând că b nu este limita lui f în punctul a, rezultă că există un ε > 0 cu proprietatea că pentru orice δ > 0 există cel puțin un punct x A \ {a} astfel ca x a < δ și f(x) b ε. In particular, pentru δ = 1/k, rezultă că pentru fiecare k N există un punct x k A \ {a} în așa fel încât x k a < 1/k și f(x k ) b ε. Atunci (x k ) este un șir de puncte din A \ {a} și cum lim k x k a = 0, avem (x k ) a. Conform ipotezei noastre, trebuie să avem lim k f(x k ) = b, deci lim k f(x k ) b = 0. Dar această egalitate este în contradicție cu faptul că f(x k ) b ε pentru orice k N. Contradicția obținută arată că lim x a f(x) = b.

34 24 1 Topologie în R n Teoremă. Fie A R n, a A, b, c R m, α R și fie f, g : A R m funcții cu proprietatea lim f(x) = b, lim g(x) = c. Atunci x a x a ( ) lim f(x) + g(x) = b + c și lim αf(x) = αb. x a x a Demonstrație. Rezultă din teoremele și Teoremă. Fie A R n, a A, fie b R, c R m şi fie funcțiile f : A R, g : A R m cu proprietatea lim f(x) = b și lim g(x) = c. Atunci x a x a lim f(x)g(x) = bc. x a Demonstrație. Rezultă din teoremele și Observație. In general, lim g(x) = b x a lim f(y) = c y b Contraexemplu: fie f, g : R R funcțiile definite prin lim (f g)(x) = c. x a g(x) := { 1 dacă x 0 2 dacă x = 0 și f(y) := { 2 dacă y 1 3 dacă y = 1. Atunci (f g)(x) = f(g(x)) = { 3 dacă x 0 2 dacă x = 0. Avem lim x 0 g(x) = 1, lim y 1 f(y) = 2, dar lim x 0 (f g)(x) = Teoremă. Fie A R n, B R m, a A, b B, c R p și fie g : A B și f : B R p funcții care îndeplinesc următoarele condiții: (i) lim x a g(x) = b și lim y b f(y) = c; (ii) există r > 0 astfel încât pentru orice x A \ {a} cu x a < r să avem g(x) b. Atunci lim x a (f g)(x) = c. Demonstrație. Fie (x k ) un șir arbitrar de puncte din A \ {a}, cu proprietatea că (x k ) a. Notăm y k := g(x k ) (k N). Atunci teorema garantează că (y k ) b. Cum (x k ) converge către a, există un k 0 N astfel ca x k a < r oricare ar fi k k 0. Prin urmare, avem y k = g(x k ) b oricare ar fi k k 0.

35 1.7 Continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială 25 Așadar, (y k ) k k0 este un șir din B \ {b}, care converge către b. Aplicând din nou teorema 1.6.3, deducem că lim f(y k) = c, adică lim (f g)(x k) = c. k k Intrucât șirul (x k ) a fost arbitrar, din partea de suficiență a teoremei rezultă că lim(f g)(x) = c. x a Teoremă. Fie A R n, a A, f : A R m o funcție și b R m. Atunci lim f(x) = b dacă și numai dacă lim f(x) b = 0. x a x a Demonstrație. Imediată (se aplică definiția funcțiilor f și g : A R, g(x) := f(x) b ) Teoremă. Fie A R n, a A, f = (f 1,..., f m ) : A R m o funcție și fie b := (b 1,..., b m ) R m. Atunci lim f(x) = b i {1,..., m} : lim f i(x) = b i. x a x a Demonstrație. Se aplică teoremele și Continuitatea funcțiilor vectoriale de variabilă vectorială Definiție. Fie A R n și fie a A. O funcție f : A R m se numește continuă în punctul a dacă ε > 0 δ > 0 a.î. x A cu x a < δ : f(x) f(a) < ε Observație. O funcție f : A R m este continuă în toate punctele izolate ale lui A. In adevăr, fie a un punct izolat al lui A și fie ε > 0. Există o vecinătate V a lui a astfel ca V A = {a}. Alegem δ > 0 în așa fel încât B(a, δ) V. Atunci B(a, δ) A = {a}, deci singurul punct x A care satisface x a < δ este x = a. Evident, pentru x = a inegalitatea f(x) f(a) < ε are loc. In consecință, f este continuă în a Teoremă (caracterizarea secvențială a continuităţii). Fie A R n și fie a A. O funcție f : A R m este continuă în punctul a dacă și numai dacă pentru orice șir (x k ) de puncte din A, care converge către a, avem lim f(x k) = f(a). k Demonstrație. Este asemănătoare cu demonstrația teoremei

36 26 1 Topologie în R n Teoremă (continuitate vs. limită). Fie A R n și fie a A A. O funcție f : A R m este continuă în a dacă și numai dacă lim x a f(x) = f(a). Demonstrație. Necesitatea. Rezultă din teoremele și Suficiența. Fie ε > 0 arbitrar. Cum lim x a f(x) = f(a), există un δ > 0 astfel încât pentru orice x A\{a} cu x a < δ să avem f(x) f(a) < ε. Dar această inegalitate este evident adevărată și pentru x = a. In consecință, pentru orice x A cu x a < δ avem f(x) f(a) < ε. Aceasta înseamnă că f este continuă în a Teoremă. Fie A R n, a A, f, g : A R m funcții continue în a și fie α R. Atunci funcțiile αf și f + g sunt continue în a. Demonstrație. Se aplică teoremele și Teoremă. Fie A R n, a A, și fie f : A R, g : A R m funcții continue în a. Atunci și funcţia fg este continuă în a. Demonstrație. Se aplică teoremele și Teoremă. Fie A R n, a A, B R m, g : A B o funcţie continuă în a și f : B R p o funcție continuă în punctul g(a). Atunci funcția f g este continuă în a. Demonstrație. Fie (x k ) un șir oarecare de puncte din A, care converge către a. Cum g este continuă în a, în baza teoremei avem (g(x k )) g(a) =: b. Deoarece f este continuă în b, tot în baza teoremei deducem că lim f(g(x k)) = f(b) lim (f g)(x k)) = (f g)(a). k k Intrucât șirul (x k ) a fost arbitrar, partea de suficienţă a teoremei asigură că f g este continuă în a Teoremă. Fie A R n, a A și f = (f 1,..., f m ) : A R m o funcție. Atunci f este continuă în punctul a dacă și numai dacă f i este continuă în a pentru fiecare i {1,..., m}. Demonstrație. Se aplică teoremele și Teoremă. Dacă A R n este o mulțime compactă, iar f : A R m este o funcție continuă, atunci mulțimea f(a) este compactă.

37 1.8 Probleme 27 Demonstrație. Fie (y k ) un șir arbitrar de puncte din f(a). Pentru fiecare k N există un x k A astfel ca y k = f(x k ). Intrucât A este compactă, conform implicației 1 3 din teorema 1.4.4, șirul (x k ) posedă un subşir (x kj ) convergent către un punct x A. Continuitatea lui f în a și teorema implică lim f(x kj ) = f(x), adică lim y kj = f(x). Așadar, şirul (y k ) posedă j j subșirul (y kj ), convergent către f(x) f(a). In baza implicaţiei 3 1 din teorema 1.4.4, deducem că mulțimea f(a) este compactă Teoremă (K. Weierstrass). Dacă A R n este o mulțime compactă nevidă, iar f : A R este o funcție continuă pe A, atunci f este mărginită și își atinge marginile. Demonstrație. Conform teoremei 1.7.9, f(a) este o submulţime compactă a lui R. In baza implicației 1 4 din teorema 1.4.4, rezultă că: f(a) este mărginită, deci f este mărginită; f(a) este închisă, deci f(a) își conţine atât marginea inferioară cât și marginea superioară. Cu alte cuvinte, f își atinge marginile. 1.8 Probleme 1. Dați exemplu de funcții f, g : R R, care îndeplinesc următoarele condiții: (i) lim g(x) = 1; x 0 (ii) lim f(y) = 2; y 1 (iii) lim x 0 (f g)(x) Să se calculeze următoarele limite: ( 1) lim x 2 + y 2) sin 1 (x,y) (0,0) xy ; 2) lim (x,y) (0,2) sin(xy) ; x x 2 y 2 3) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; x 3 + y 3 4) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; 5) lim (x,y) (0,0) x 3 + y 3 ; xy

38 28 1 Topologie în R n 1 cos ( x 3 + y 3) 6) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; 7) lim (x,y) (0,0) 8) lim (x,y) (0,0) 9) lim (x,y) (0,0) 10) lim (x,y) (0,0) x 2 + y x 2 + y 2 1 ; 1 + x 2 y 2 1 x 2 + y 2 ; 1 cos ( x 2 + y 2) x 2 y 2 (x 2 + y 2 ; ) e 1 x 2 +y 2 x 4 + y 4 ; 11) lim ( 1 + x 2 y 2) 1 x 2 +y 2 ; (x,y) (0,0) x sin y y sin x 12) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; 1 cos x cos y 13) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 ; xy sin x sin y 14) lim (x,y) (0,0) xy(x 2 + y 2 ) ; x 1 x n 15) lim (x 1,...,x n) 0 n x , n N; x2 n 16) lim (x 1,...,x n ) 0 n x p xp n x 1 x n, n, p N; 1 cos x 1 cos x n 17) lim (x 1,...,x n ) 0 n x ; x2 n x 1 x n sin x 1 sin x n 18) lim (x 1,...,x n ) 0 n x 1 x n (x x2 n). 3. Fie A o submulțime compactă a lui R n, fără puncte izolate, iar f : A R o funcție având limită finită în fiecare punct al lui A. Să se demonstreze că f este mărginită. 4. Fie A = [0, 1) [0, 1) și f : A R funcția definită prin f(x, y) = x 1 2 m n 2 m y n,

39 1.8 Probleme 29 unde sumarea se face pentru toate perechile de numere naturale (m, n) care satisfac inegalitățile indicate. Să se determine lim (1 (x,y) (1,1) xy2 )(1 x 2 y)f(x, y). Concursul William Lowell Putnam Să se demonstreze că pentru orice număr natural n 2 există o funcție f : R n R cu proprietatea că toate cele n! limite iterate lim x σ(1) 0 lim lim f(x 1, x 2,..., x n ) x σ(2) 0 x σ(n) 0 există și sunt distincte două câte două. σ S n Olimpiadă studențească, U.R.S.S. 6. Fie B o submulțime închisă a lui R n și f 1,..., f p, g 1,..., g q : B R funcții continue pe B. Să se demonstreze că mulțimea A = { x B f i (x) = 0, i = 1,..., p, g j (x) 0, j = 1,..., q } este închisă. 7. Fie f : R n R m o funcţie continuă pe R n şi fie B o submulţime deschisă a lui R m. Să se demonstreze că mulţimea este deschisă în R n. f 1 (B) := {x R n f(x) B} 8. Fie f : R n R m o funcţie continuă pe R n şi fie B o submulţime închisă a lui R m. Să se demonstreze că mulţimea este închisă în R n. f 1 (B) := {x R n f(x) B} 9. Să se demonstreze că norma euclidiană este o funcție continuă de la R n în [0, ). 10. Conform teoremei lui Weierstrass, dacă A R n este o mulțime compactă, atunci orice funcție continuă f : A R este mărginită (și chiar își atinge marginile). Demonstrați reciproca: dacă A este o submulțime a lui R n cu proprietatea că orice funcție continuă f : A R este mărginită, atunci A este compactă. Berkeley 1987

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k,

Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, Distanţa euclidiană (indusă de norma euclidiană) (în R k ). Introducem în continuare o altă aplicaţie, de această dată pe produsul cartezian R k XR k, aplicaţie despre care vom vedea că reprezintă generalizarea

Mai mult

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l

Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative l Cursul 6 Cadru topologic pentru R n În continuarea precedentei părţi, din cursul 5, dedicată, în întregime, unor aspecte de ordin algebric (relative la R n, în principal), sunt prezentate aici elemente

Mai mult

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29

Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi Iaşi, 2015 Analiză Matematică Lucian Maticiuc 1 / 29 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone. Subşiruri ale

Mai mult

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci

Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Analiz¼a Matematic¼a - Curs 6 M¼ad¼alina Roxana Buneci Cuprins 4 Spaţii topologice (continuare din cursul 5) 3 4.6 Spaţiul R n............................ 3 5 Calcul diferenţial 7 5. Derivatele funcţiilor

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Dem D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 6 MĂSURA LEBESGUE Cursul 5 Teorema 6.26 Există submulţimi ale lui R care nu sunt măsurabile Lebesgue. Demonstraţie. Fie mulţimea A = [0, ], pe care definim

Mai mult

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac

Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a ac Cursul 8 Funcţii analitice Vom studia acum comportarea şirurilor şi seriilor de funcţii olomorfe, cu scopul de a dezvălui o proprietate esenţială a acestor funcţii: analiticitatea. Ştim deja că, spre deosebire

Mai mult

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail:

TEORIA MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea Al.I.Cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R Iaşi, ROMANIA, e mail: TEORI MĂSURII Liviu C. Florescu Universitatea l.i.cuza, Facultatea de Matematică, Bd. Carol I, 11, R 700506 Iaşi, ROMNI, e mail: lflo@uaic.ro În mod intenţionat această pagină este lăsată albă! Cuprins

Mai mult

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X u Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Mulţimi algebrice ireductibile. Dimensiune 1 Mulţimi ireductibile Propoziţia 1.1. Fie X un spaţiu topologic. Următoarele afirma-ţii sunt echivalente:

Mai mult

0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx

0 Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică 1. Să se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) x 4 ; b) x 3 dx dx Probleme pentru pregătirea examenului final la Analiză Matematică. ă se calculeze următoarele integrale improprii: dx a) + x ; b) x dx dx; c) + x x + x ) ; dx x d) x + x ) ; e) dx; f) x p e xq dx, p >,

Mai mult

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de

Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de Cursul 12 (plan de curs) Integrale prime 1 Sisteme diferenţiale autonome. Spaţiul fazelor. Fie Ω R n o mulţime deschisă şi f : Ω R n R n o funcţie de clasă C 1. Vom considera sistemul diferenţial x = f(x),

Mai mult

Microsoft Word - cap1p4.doc

Microsoft Word - cap1p4.doc Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială.6 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. În cele ce urmează vom introduce două definiţii echivalente pentru noţiunea de subspaţiu

Mai mult

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007

GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 2007 GHEORGHE PROCOPIUC PROBLEME DE ANALIZĂ MATEMATICĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE IAŞI, 7 Cuprins Elemente de teoria spaţiilor metrice 4 Spaţii metrice 4 Mulţimea numerelor reale 8 Şiruri şi serii 5 Şiruri de

Mai mult

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL ANUL ŞCOLAR 2011-2012 CLASA a IX-a În programa de concurs pentru clasa a IX-a sunt incluse conţinuturile programelor din clasele anterioare şi din etapele anterioare. 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică.

Mai mult

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont

Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f cont Cursul 7 Formula integrală a lui Cauchy Am demonstrat în cursul precedent că, dacă D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D, atunci, pe orice curbă rectificabilă şi

Mai mult

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII-

Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA 45 Matematică. Clasa a VII- Gheorghe IUREA Adrian ZANOSCHI algebră geometrie clasa a VII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard 3 Algebră Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale

Mai mult

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc

Microsoft Word - Programa finala olimpiadei matematica 2007 gimnaziu.doc ROMÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII DIRECŢIA GENERALĂ ÎNVĂŢĂMÂNT PREUNIVERSITAR SERVICIUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA OLIMPIADEI DE MATEMATICĂ CLASELE V XII AN ŞCOLAR 006 / 007 Pentru

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi Curs 1 Noţiuni de teoria câmpului 1.1 Vectori şi operaţii cu vectori 1.1.1 Scalari şi vectori Definiţie 1.1. Un număr real λ R se va numi scalar. O pereche de numere reale (a 1,a ) R se va numi vector

Mai mult

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT

DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂT DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ ANDA OLTEANU PAUL VASILIU MATEMATICĂ. CULEGERE DE PROBLEME TIP GRILĂ PENTRU ADMITEREA ÎN ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN Colecţia Matematică DAN LASCU ADRIANA-LIGIA SPORIŞ

Mai mult

02. Analiza matematica 3 - MI 2

02. Analiza matematica 3 - MI 2 FIȘA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1. Instituția de învățământ superior Universitatea de Vest din Timișoara 1.2. Facultatea Matematică și Informatică 1.3. Departamentul Matematică 1.4. Domeniul

Mai mult

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi

Curs 10 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 10.1 Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordi Curs 0 Aplicaţii ale calculului diferenţial. Puncte de extrem 0. Diferenţiale de ordin superior S¼a trecem acum la de nirea diferenţialelor de ordin superior. De niţia 0.. Fie n 2; D R k o mulţime deschis¼a

Mai mult

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul

Clasa IX 1. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul Clasa IX. O lăcustă face salturi, fiecare salt în linie dreaptă şi de două ori mai lung ca precedentul. Poate vreodată lăcusta să revină în punctul de plecare iniţial? Soluţie. Răspunsul este negativ.

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ BACALAUREAT 2015 PROGRAMA M_tehnologic Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale,

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele fiind diferite. Arătaţi că x y z 0

Mai mult

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D

Aero-BCD, , Prof. L. Costache & M. Olteanu Notițe de Adrian Manea Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri 1 Șiruri de funcții D Seminar 5 Șiruri și serii de funcții. Serii de puteri Șiruri de funcții Definiţie.: Fie (f n ) n un șir de funcții, cu fiecare f n : [a, b] R și fie o funcție f : [a, b] R. PC Spunem că șirul (f n ) converge

Mai mult

8

8 9.5 Fluxul unui vector printr-o suprafaţă deschisă-continuare Observaţie: Dacă vrem să calculăm fluxul vectorului a = P x y z i + Q x y z j + R x y z k (,, ) (,, ) (,, ) prin suprafaţa definită de ecuaţia

Mai mult

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL

Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL Pachete de lecţii disponibile pentru platforma AeL -disciplina Matematică- Nr. crt Nume pachet clasa Nr. momente Nr.Recomandat de ore 1 Corpuri geometrice V 6 1 2 Fracţii V 14 5 3 Măsurarea lungimilor.

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2019 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2019, Programele de examen la disciplina Matematica se diferenţiază în funcţie de filiera,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 INSPECTORATUL Ș C O L A R J U D E Ț E A N C O V A S N A PROGRAMA PENTRU SIMULAREA EXAMENULUI DE BACALAUREAT 2015 LA DISCIPLINA MATEMATICĂ În cadrul examenului de Bacalaureat 2015, Programele de examen

Mai mult

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_

programa_olimpiada_matematica_IX-XII_ R O M  N I A MINISTERUL EDUCAłIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI DIRECłIA GENERALĂ MANAGEMENT ÎNVĂłĂMÂNT PREUNIVERSITAR CONSILIUL NAłIONAL PENTRU CURRICULUM ŞI EVALUARE ÎN ÎNVĂłĂMÂNTUL PREUNIVERITAR PROGRAMA

Mai mult

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi

Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivi Prelegerea 3 În această prelegere vom învăţa despre: Clase speciale de latici: complementate. modulare, metrice, distributive şi 3.1 Semi-distributivitate şi semi - modularitate Fie L o latice. Se numeşte

Mai mult

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud

{ 3x + 3, x < 1 Exemple. 1) Fie f : R R, f(x) = 2x + 4, x 1. Funcţia f este derivabilă pe R\{1} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să stud { 3 + 3, < Eemple. ) Fie f : R R, f() + 4,. Funcţia f este derivabilă pe R\{} (compunere de funcţii elementare), deci rămâne să studiem derivabilitatea în a. Atunci f s() 3+3 6,< 3, f d f() f() (),> funcţia

Mai mult

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor

Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor Prelegerea 4 În această prelegere vom învăţa despre: Algebre booleene; Funcţii booleene; Mintermi şi cuburi n - dimensionale. 4.1 Definirea algebrelor booleene Definiţia 4.1 Se numeşte algebră Boole (booleană)

Mai mult

I

I METODA VECTORIALĂ ÎN GEOMETRIE prof. Andrei - Octavian Dobre Această metodă poate fi descrisă după cum urmează: Fiind dată o problemă de geometrie, după explicitarea şi reprezentarea grafică a configuraţiei

Mai mult

Spatii vectoriale

Spatii vectoriale Algebra si Geometrie Seminar 2 Octombrie 2017 ii Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat. Bertrand Russell 1 Spatii vectoriale

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 61 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 7 Pro Didactica Programa M Rezolvarea variantei 6 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL Varianta 6. Subiectul I. (a) Coordonatele punctelor C şi D satisfac

Mai mult

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la

Copyright c 2001 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician   1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la Copyright c 1 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1 Ministerul Educatiei si Stiintei Examenul de bacalaureat la matematica, Profilurile: fizica-matematica, economie,

Mai mult

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP.

Teoreme cu nume 1. Problema (Năstăsescu IX, p 147, propoziţia 5) Formula lui Chasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP. Teoreme cu nume Problema (Năstăsescu IX, p 47, propoziţia 5) Formula lui hasles Pentru orice puncte M, N şi P avem MN + NP = MP 2 Problema (Năstăsescu IX, p 68, teoremă) Vectorul de poziţie al centrului

Mai mult

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici patrate Aproximarea funcţiilor prin metoda celor mai mici pătrate Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018

Mai mult

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC),

Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar. Notăm σ c = aria ( QAB) σ a = aria ( QBC), Coordonate baricentrice Considerăm în plan un triunghi ABC şi un punct Q în interiorul său, fixat arbitrar Notăm σ c = aria ( QAB) = aria ( QBC), = aria ( QCA) şi σ = aria ( ABC), astfel încât σ = + +

Mai mult

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ETAPA JUDEȚEANĂ 18 martie 2017 Filiera Tehnologică : profilul Tehnic Clasa a IX -a Problema 1. 2 Se Clasa a IX -a Se consideră funcţia f : R R, f ( x) x mx 07, unde mr a) Determinaţi valoarea lui m ştiind că f( ), f() şi f () sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice b) Dacă f() f(4), să

Mai mult

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation ELEMENTE DE MORFOLOGIE MATEMATICA Morfologia matematica Cadru de abordare diferit: Pana acum : Imaginea este o functie de doua variabile. Pixelii imaginii (valori si coordonate de pozitie) sunt structurati

Mai mult

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati

COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathemati COMENTARII FAZA JUDEŢEANĂ, 9 MARTIE 2013 Abstract. Personal comments on some of the problems presented at the District Round of the National Mathematics Olympiad 2013. Data: 12 martie 2013. Autor: Dan

Mai mult

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc

Microsoft Word - D_ MT1_II_001.doc ,1 SUBIECTUL II (30p) Varianta 1001 a b 1 Se consideră matricea A = b a, cu a, b şi 0 http://wwwpro-matematicaro a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atunci există uv,, astfel

Mai mult

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM

UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 2019 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IM UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB 6 aprilie 219 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1) Problemele de tip grilă din Partea A pot

Mai mult

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA

Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 2000 standard EDITURA PARALELA Dorel LUCHIAN Gabriel POPA Adrian ZANOSCHI Gheorghe IUREA algebră geometrie clasa a VIII-a ediţia a V-a, revizuită mate 000 standard 3 10 PP Algebră Capitolul I. NUMERE REALE Competenţe specifice: Determinarea

Mai mult

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 21 aprilie 2018 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se conside CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICA PANAITOPOL EDIŢIA a X-a, TULCEA, 1 aprilie 18 Clasa a VII - a Soluţii orientative şi bareme Problema 1. Se consideră numerele reale x, y şi z, cel puţin două dintre ele

Mai mult

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1. Ştiind cos x = 3 2, atunci sin2 x 1 5 6 7 Universitatea Politehnica din Bucureşti 019 Disciplina: Geometrie şi Trigonometrie G1 * Varianta A 1 Ştiind cos x atunci sin x este: (6 pct a 1 ; b 1 ; c 1 ; d ; e 1 8 ; f Soluţie Folosind prima

Mai mult

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş

Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică ş Probleme date la examenul de logică matematică şi computaţională. Partea a II-a Claudia MUREŞAN Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Academiei 4, RO 0004, Bucureşti, România

Mai mult

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți

ETTI-AM2, , M. Joița & A. Niță Notițe de Adrian Manea Seminar 11 Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferenți Seminar Transformarea Laplace Aplicații Transformarea Z Ecuații și sisteme diferențiale Folosind transformata Laplace, putem reolva ecuații și sisteme diferențiale. Cu ajutorul proprietăților transformatei

Mai mult

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do

20 SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie do SUBIECTE DE EXAMEN - De fapt, în pofida acestor probleme, până la urmă tot vom logaritma, căci aceasta este tehnica naturală în context. Trebuie doar să gestionăm cu precauţie detaliile, aici fiind punctul

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS ETTI /msetti.dvi urs 4 Integrale curbilinii 4.1 Drumuri şi curbe Definiţie 4.1. O funcţie continuă γ : [a,b] R m se numeşte drum plan dacă m = 2 sau drum în spaţiu dacă m = 3. Punctul γ(a) se numeşte originea drumului,

Mai mult

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru,

Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, Capitolul MD. 10 Metoda funcţiilor Liapunov Fie sistemul diferenţial x = f (t, x), t t 0, x D R n. (10.1) Presupunem că x = 0 este punct de echilibru, adică f (t, 0) = 0, t t 0. In acest paragraf, funcţia

Mai mult

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA Sem. I,

LOGICA MATEMATICA SI COMPUTATIONALA  Sem. I, LOGICA MATEMATICĂ ŞI COMPUTAŢIONALĂ Sem. I, 2017-2018 Ioana Leustean FMI, UB Partea III Calculul propoziţional clasic Consistenţă şi satisfiabilitate Teorema de completitudine Algebra Lindenbaum-Tarski

Mai mult

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să

D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 12 SPAŢII L P Cursul 11 Proprietăţi de densitate în spaţiile L p Proprietăţile de densitate ne permit să DRs, Teoria măsrii şi integrala Lebesge 12 SPAŢII L P Crsl 11 Prorietăţi de densitate în saţiile L Prorietăţile de densitate ne ermit să aroximăm fncţiile din L ( c fncţii din L ( c o strctră mai simlă,

Mai mult

Cuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr.

Cuprins ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. Cuprins CALCUL INTEGRAL CUPRINS Unitatea de învăţare Titlu Pagina INTRODUCERE 1 1 Primitive 3 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 4 1.1. Primitive. Noțiuni generale 4 1.2. Calculul primitivelor Test

Mai mult

Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf

Microsoft Word - probleme_analiza_numerica_ses_ian09.rtf Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor

Mai mult

Elemente de aritmetica

Elemente de aritmetica Elemente de aritmetică Anul II Februarie 2017 Divizibilitate în Z Definiţie Fie a, b Z. Spunem că a divide b (scriem a b) dacă există c Z astfel încât b = ac. In acest caz spunem că a este un divizor al

Mai mult

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea   marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Limbaje regulate și automate Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 24 noiembrie 2014 Un exemplu: automatul de cafea acțiuni (utilizator): introdu

Mai mult

MD.09. Teoria stabilităţii 1

MD.09. Teoria stabilităţii 1 MD.09. Teoria stabilităţii 1 Capitolul MD.09. Teoria stabilităţii Cuvinte cheie Soluţie stabilă spre +, instabilă si asimptotic stabilă, punct de echilibru, soluţie staţionară, stabilitatea soluţiei banale,

Mai mult

Microsoft Word - TIC5

Microsoft Word - TIC5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE CAPITOLUL 5 CAPACITATEA CANALELOR DE COMUNICAŢIE În Capitolul 3, am văzut că putem utiliza codarea sursă pentru a reduce redundanţa inerentă a unei surse de informaţie

Mai mult

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu

Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu Logică și structuri discrete Mulțimi Casandra Holotescu casandra@cs.upt.ro https://tinyurl.com/lectureslsd Mulțimi aspecte teoretice Ce sunt mulțimile? Mulțimea e un concept matematic fundamental. Definiție

Mai mult

matematica

matematica MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII PROGRAMĂ ŞCOLARĂ M A T E M A T I C Ă CLASA A IX-A CICLUL INFERIOR AL LICEULUI Aprobată prin ordin al ministrului nr. / Bucureşti, 2009 NOTĂ DE PREZENTARE În

Mai mult

CLP_UTCN-grila-2012.dvi

CLP_UTCN-grila-2012.dvi Liceul: Numele: Punctaj: Prenumele: Concursul liceelor partenere cu Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Test grilă Ediţia a treia mai 0 Clasa a X-a În casuţa din stânga întrebării se va scrie litera

Mai mult

Algebra si Geometri pentru Computer Science

Algebra si Geometri pentru Computer Science Natura este scrisă în limbaj matematic. Galileo Galilei 5 Aplicatii liniare Grafica vectoriala In grafica pe calculator, grafica vectoriala este un procedeu prin care imaginile sunt construite cu ajutorul

Mai mult

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

BAC 2007 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: BAC 27 Pro Didactica Programa M1 2 Rezolvarea variantei 36 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ CAPITOLUL 1 Varianta 36 1. Subiectul I. (a) Avem 2 ( ) 2+ ( ) 2= 7i = 2 7

Mai mult

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t),

CURBE BÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), CURE ÉZIER În CAGD se utilizează adesea curbele polinomiale, adică acele curbe definite de o parametrizare polinomială: C : [a, b] R 3 C(t) = (x(t), y(t), z(t)) cu x, y, z polinoame de grad n. Maximul

Mai mult

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart

LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL Aspecte generale Programarea neliniară are o foart LUCRAREA 8 PROGRAMAREA NELINIARĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN ENERGETICĂ. METODE DE ORDINUL 0 8.. Aspecte generale Programarea neliniară are o foarte mare importanţă în rezolvarea problemelor de optimizări,

Mai mult

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE

METODE NUMERICE ÎN INGINERIE METODE NUMERICE ÎN INGINERIE REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE Aspecte generale (1) (2) (3) (4) (5) Unicitatea soluţiei Un sistem de ecuaţii liniare are o soluţie unică numai dacă matricea

Mai mult

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi

C:/Users/Lenovo/Dropbox/activitate matematica/cursuri/MS IE /msie.dvi urs 2 Integrale de suprafaţă 2.1 Pânze şi suprafeţe Definiţie 2.1. Fie D R 2 o mulţime conexă şi deschisă. O funcţie continuă σ : D R 3 se numeşte pânză de suprafaţă. ulţimea = σd) se numeşte imaginea

Mai mult

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa

Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; pa Limbaje de ordinul I LOGICA DE ORDINUL I Un limbaj L de ordinul I este format din: o mulţime numărabilă V = {v n n N} de variabile; conectorii şi ; paranteze: (, ); simbolul de egalitate =; cuantificatorul

Mai mult

Retele Petri si Aplicatii

Retele Petri si Aplicatii Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 3 RPA (2019) Curs 3 1 / 48 Conţinutul cursului 1 Arbori de acoperire 2 Probleme de decizie în reţele Petri 3 Invarianţi tranziţie RPA (2019) Curs 3 2 / 48 Arbori de acoperire

Mai mult

Notiuni de algebra booleana

Notiuni de algebra booleana Noţiuni de algebră booleană (în lucru) Definiţie Algebră booleană = o structură algebrică formată din: O mulţime B Două operaţii binare notate cu (+) şi (.) O operaţie unară notată cu ( ) pentru care sunt

Mai mult

PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C

PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi C PAS cap. 2: Reprezentări rare p. 1/35 Prelucrarea avansată a semnalelor Capitolul 2: Reprezentări rare Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PAS

Mai mult

Noțiuni matematice de bază

Noțiuni matematice de bază Sistem cartezian definitie. Coordonate carteziene Sistem cartezian definiţie Un sistem cartezian de coordonate (coordonatele carteziene) reprezintă un sistem de coordonate plane ce permit determinarea

Mai mult

OLM_2009_barem.pdf

OLM_2009_barem.pdf Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Societatea de Ştiinţe Matematice din Romania Olimpiada Naţională de Matematică Etapa finală, Neptun Mangalia, 13 aprilie 2009 CLASA A VII-a, SOLUŢII ŞI BAREMURI

Mai mult

Limbaje Formale, Automate si Compilatoare

Limbaje Formale, Automate si Compilatoare Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare Curs 1 2018-19 LFAC (2018-19) Curs 1 1 / 45 Prezentare curs Limbaje Formale, Automate şi Compilatoare - Curs 1 1 Prezentare curs 2 Limbaje formale 3 Mecanisme

Mai mult

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a

Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a Performanta in matematica de gimnaziu si liceu-program de pregatire al elevilor olimpici MULTIMI. OPERATII CU MULTIMI Partea I+II Cls. a V-a 6.02.2016 si 13.02.2016 Material intocmit de prof. BAJAN MARIANA

Mai mult

Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car

Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r car Concursul de Matematică Upper.School ediția 2019 Etapa III - Clasa a 7-a Lista de probleme PROBLEMA 1 / 4 punctaj: 7 Aflați numerele prime p, q, r care satisfac simultan următoarele condiții: qr p 4 1

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 6 2019 Anca Ignat Algoritmul lui Givens Fie A o matrice reală pătratică de dimensiune n. Pp. că avem: A QR unde Q este o matrice ortogonală iar R este o matrice superior triunghiulară.

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4

Mai mult

Metode Numerice

Metode Numerice Metode Numerice Prof. Bogdan Gavrea CTI 2019 pentru rezolvarea numerică a sistemelor liniare Matrici diagonal dominante Definiţie O matrice A M n,n (C), A = (a ij ) 1 i,j n se numeşte diagonal dominantă

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de

FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Matematică 1.3 Departamentul Matematică Didactic 1.4

Mai mult

Microsoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc

Microsoft Word - Programa_Evaluare_Nationala_2011_Matematica.doc C E N T R U L NAłIONAL DE EVALUARE ŞI E X A M I N A R E PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ EVALUAREA NAłIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI A VIII A Pagina 1 din 5 PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ I. STATUTUL

Mai mult

Autoevaluare curs MN.doc

Autoevaluare curs MN.doc Anul II, IEI IFR Semestrul I Metode numerice Chestionar de autoevaluare C1 1 Să se scrie o procedură care să calculeze produsul scalar a doi vectori 2 Să se scrie o procedură de înmulţire a matricelor

Mai mult

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că

BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA ianuarie Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că BARAJ NR. 1 JUNIORI FRANŢA 019 9 ianuarie 019 1. Fie x şi y două numere întregi astfel încât 5x + 6y şi 6x + 5y să fie pătrate perfecte. Arătaţi că x şi y sunt divizibili cu 11.. Fie Γ un cerc de centru

Mai mult

Microsoft Word - 03 Dominica MOISE.doc

Microsoft Word - 03 Dominica MOISE.doc CONFERINȚA NAȚIONALĂ DE INSTRUMENTAȚIE VIRTUALĂ, EDIȚIA A V-A, BUCURE TI, 20 MAI 2008 13 Pachet de programe care ilustrează capitole din matematică, fizică şi studiul fractalilor Luminița Dominica MOISE,

Mai mult

Slide 1

Slide 1 ELECTROTEHNCĂ ET An - SA CRS 8 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCRAR e-mail: Claudia.Pacurar@ethm.utcluj.ro . ntroducere în teoria circuitelor electrice. Puteri în regim armonic 3. Caracterizarea în complex a

Mai mult

Calcul Numeric

Calcul Numeric Calcul Numeric Cursul 4 2019 Anca Ignat Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare Fie matricea nesingulară A nn şi b n. Rezolvarea sistemului de ecuații liniare Ax=b se poate face folosind regula

Mai mult

Marian Tarina

Marian Tarina PROGRAMA LA MATEMATICĂ An școlar 2018-2019 Temele propuse vor fi detaliate conform programei şcolare în vigoare care cuprinde atât conţinuturile obligatorii cât şi conţinuturile suplimentare menţionate

Mai mult

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014

Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea   marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Logică și structuri discrete Logică propozițională Marius Minea marius@cs.upt.ro http://www.cs.upt.ro/ marius/curs/lsd/ 3 noiembrie 2014 Unde aplicăm verificarea realizabilității? probleme de căutare și

Mai mult

Clustere şi impurităţi în sisteme complexe

Clustere şi impurităţi în sisteme complexe C: Soluţii numerice ale ecuaţiei Schrödinger independentă de timp. Metoda Tirului BIBLIOGRAFIE Ion. I. Cotaescu. Curs de Mecanica Cuantică, Tipografia UVT 990 Epperson J, An introduction to numerical methods

Mai mult

C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la

C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la C10: Teoria clasică a împrăștierii Considerăm un potențial infinit în interiorul unui domeniu sferic de rază a și o particulă incidentă (Figura 1) la distanta b de centrul sferei. Alegem un sistem de coordonate

Mai mult

Matematica VI

Matematica VI There are no translations available. Datorita unor probleme tehnice, site-ul nu poate fi vizionat cu Internet Explorer 8, partea de teste (apare pagina alba). Pentru navigare, va recomandam Chrome, Mozilla,

Mai mult

Examenul de bacalaureat 2012

Examenul de bacalaureat 2012 2 MONITORUL OFICIAL AL ROMÂNIEI, PARTEA I, Nr. 696/7.IX.2016 ACTE ALE ORGANELOR DE SPECIALITATE ALE ADMINISTRAȚIEI PUBLICE CENTRALE MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE ȘI CERCETĂRII ȘTIINȚIFICE ORDIN privind

Mai mult

FIŞA DISCIPLINEI

FIŞA DISCIPLINEI FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1.Instituţia de învăţământ superior Universitatea SPIRU HARET 1.2.Facultatea Inginerie, Informatică şi Geografie 1.3.Departamentul Informatică şi Geografie 1.4.Domeniul

Mai mult

Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov

Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică şi Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11

Mai mult

Investeşte în oameni

Investeşte în oameni FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Politehnică Timișoara 1. Facultatea / Departamentul 3 Facultatea de Inginerie Hunedoara / Inginerie Electrică

Mai mult