Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009

Transcriere

1 Lucian L. TURDEANU Georgeta D. POP (MANEA) BAZELE GEOMETRICE ALE FOTOGRAMETRIEI CONSPRESS BUCUREŞTI 2009

2 CUPRINS Pg. INTRODUCERE. Noţiuni preliminare (L. Turdeanu, G. Pop)... 6 Probleme GEOMETRIA DREPTEI (L. Turdeanu) Coordonate pe dreapta elementară Coordonate pe dreapta afină Coordonate pe dreapta proiectivă Raportul anarmonic Consideraţii preliminare Proprietăţile raportului anarmonic Raportul armonic Definiţii. Proprietăţile raportului armonic Construirea unei diviziuni armonice Fasciculul armonic Transformarea omografică (proiectivă) între forme de ordinul I Definiţii. Consideraţii preliminare Proiectivitatea între două punctuale cu baze distincte Punctuale asemenea Perspectivitatea Teorema lui Pappus. Axa proiectivităţii Corespondenţa proiectivă între fascicule de drepte Centrul proiectivităţii Proiectivitatea între punctuale cu baze suprapuse Fascicule proiective cu vârfuri suprapuse Punctuale involutive Fascicule involutive Coordonate omogene Probleme GEOMETRIA PLANULUI (2D), (G. Pop) Coordonate carteziene în plan

3 2.2. Transformarea conformă liniară în plan Transformarea afină în plan Transformarea plană neliniară, utilizând polinoame Transformarea omografică (proiectivă) între forme de ordinul II Transformarea prin inversiune în plan Definiţii. Proprietăţi. Teoreme Figura inversă a unei drepte Figura inversă a unui cerc Aplicaţii ale inversiunii în plan: inversori Coordonate omogene în plan Coordonate tangenţiale în plan Probleme GEOMETRIA SPAŢIULUI (3D), (G. Pop) Sisteme de coordonate spaţiale Rotaţia spaţială Condiţiile de ortogonalitate. Proprietăţile matricelor ortogonale Determinarea rotaţiei spaţiale prin 3 rotaţii plane Formarea matricei ortogonale în funcţie de 3 din elementele sale Transformarea conformă tridimensională (3D) Forma generală a transformării conforme tridimensionale Forma liniarizată a transformării conforme 3D Transformarea afină în spaţiul tridimensional (3D) Transformarea tridimensională prin polinoame de ordinul II Transformarea omografică (proiectivă) între forme de ordinul III Transformarea prin inversiune în spaţiu Consideraţii generale Figura inversă a unui plan Figura inversă a unei sfere Aplicaţii ale inversiunii în spaţiu: proiecţia stereografică Coordonate omogene în spaţiul tridimensional (3D) Coordonate tangenţiale în spaţiul tridimensional (3D)

4 Probleme BIBLIOGRAFIE INDEX ALFABETIC

5 INTRODUCERE. Noţiuni preliminare Fotogrametria se defineşte ca ştiinţă care are ca obiect determinarea formei, dimensiunilor şi poziţiei unor obiecte din spaţiu, pe baza imaginilor fotografice ale acestora. Aceste imagini, fiind obţinute prin intermediul unor obiectivi fotografici, reprezintă proiecţii centrale (sau conice) ale obiectelor din teren. Aceleaşi proprietăţi le au şi imaginile digitale obţinute prin baleierea (scanarea) fotogramelor. În consecinţă, geometria proiectivă,care studiază proprietăţile geometrice ale proiecţiei conice, reprezintă principala bază matematică a fotogrametriei. Spre deosebire de geometria metrică, sau euclidiană, geometria proiectivă nu face nici o deosebire între elementele de la infinit şi cele de la distanţă finită, deoarece nici o proprietate proiectivă nu face distincţie între acestea. Prin urmare, se poate scrie simbolic: dreapta euclidiană + punctul de la infinit = dreapta proiectivă planul euclidian + dreapta de la infinit = planul proiectiv spaţiul euclidian + planul de la infinit = spaţiul proiectiv Punctul, dreapta proiectivă şi planul proiectiv sunt elementele de bază în spaţiul proiectiv şi se numesc elemente fundamentale. Cu ajutorul elementelor fundamentale se pot obţine anumite figuri simple, numite forme fundamentale. Acestea pot fi de ordinul I, II, III etc. după numărul elementelor necesare pentru determinarea formei. Forme fundamentale de ordinul I: punctuala, ca totalitate a punctelor unei drepte ( ), numită suport sau bază; fasciculul de drepte în plan (fig.1), care se poate obţine prin unirea punctelor unei drepte ( ) cu un punct fix S exterior acesteia, numit vârful fasciculului;ca variabilă se poate considera poziţia punctului M i (x i ) pe ( ), faţă de o origine M 0 sau unghiul α i format din fiecare rază, în raport cu o rază origine SM 0 ; 6

6 S M0 (0) M1 (x1) M2 (x2) M3 (x3) M4 (x4) Fig.1 Fascicul de drepte în plan fasciculul de plane (fig.2), care se poate obţine prin unirea a două puncte fixe (A,B) situate pe o dreaptă fixă ( 0 ) numită axa fasciculului, cu punctele unei drepte ( ); singura variabilă va fi dată de poziţia fiecărui punct M i (x i ) pe dreapta ( ), faţă de o origine M 0. A B M0 (0) M1 (x1) M2 (x2) M3 (x3) Fig.2 Fascicul de plane 7

7 Forme fundamentale de ordinul II: planul punctat, ca totalitate a punctelor lui; fiecare punct din plan este definit de două mărimi M i (x i,y i ) în raport cu un sistem de coordonate plane; planul riglat, ca totalitate a dreptelor lui; având în vedere că o dreaptă din plan este definită de doi parametri, de exemplu m,n (y= mx+n); stea de drepte (fascicul spaţial de drepte), (fig.3), care se poate obţine prin unirea punctelor unui plan P cu un punct fix S exterior acestuia; cele două variabile vor fi date de poziţia fiecărui punct M i (x i, y i ) în planul P; S M1 (x1,y1) M2 (x2,y2) M3 (x3,y3) M4 (x4,y4) M5 (x5,y5) Fig.3 Stea de drepte (fascicul spaţial de drepte) stea de plane,(fig.4), adică totalitatea planelor ce trec printr-un punct; se poate obţine prin unirea a câte două puncte ale fiecărei drepte din plan cu un punct fix S exterior planului P; variabilele vor fi date de cei doi parametri care definesc o dreaptă în plan. 8

8 S Forme fundamentale de ordinul III: Fig.4 Stea de plane spaţiul punctat, ca totalitate a punctelor sale; cele 3 variabile vor fi date de coordonatele fiecărui punct M i (x i, y i, z i ), în raport cu un sistem spaţial; spaţiul planat, ca totalitate a planelor sale; cele 3 variabile pot fi considerate urmele A (a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) pe axele sistemului spaţial de coordonate, în care caz ecuaţia planului este 1 Trebuie făcută observaţia că spaţiul riglat, ca totalitate a dreptelor din spaţiu este o formă de ordinul IV, deoarece o dreaptă în spaţiu este determinată de 4 parametri, de exemplu m, n, p, q: xmzn ypzq sau, Un alt aspect privind noţiunile preliminare se referă la principiul dualităţii, prin care se pot demonstra numeroase teoreme şi proprietăţi geometrice, mult mai simplu. 9

9 Principul dualităţii în plan Dintr-o proprietate de geometrie plană cu caracter proiectiv, se poate deduce alta nouă, schimbând între ele cuvintele punct şi dreaptă. De exemplu: Propoziţie directă Două puncte determină o dreaptă. Propoziţie duală Două drepte determină un punct. Principiul dualităţii în spaţiu Dintr-o proprietate de geometrie în spaţiu cu caracter proiectiv, se poate deduce alta nouă, schimbând între ele cuvintele punct şi plan şi menţinând cuvântul dreaptă. De exemplu: Propoziţie directă Două plane determină o dreaptă Propoziţie duală Două puncte determină o dreaptă. Pe de altă parte, tratările analitice, ale diverselor probleme fotogrametrice (în cadrul fotogrametriei analitice şi digitale) au evidenţiat şi alte componente geometrice de bază, provenind din geometria analitică. Este vorba aici de diferitele tipuri de transformări de coordonate,având în vedere definirea matematică riguroasă a acestora, dar şi semnificaţiile concrete ale parametrilor ce le definesc. Acest lucru va permite ca în practică să se poată alege un tip sau altul de transformare, în funcţie de problema respectivă. De asemenea, pornind de la faptul că aplicaţiile se referă la domeniul măsurătorilor terestre, unde se prelucrează mărimi măsurate pe baza principiului pătratelor minime (minimizarea sumei pătratelor corecţiilor), la toate tipurile de transformări se va face referire la modul concret de aplicare a acestui principiu. Totodată, este de remarcat faptul că toate aceste transformări de coordonate sunt prezentate în mod general, cu notaţii generale, urmând a fi particularizate în cadrul diferitelor discipline, unde sunt utilizate. De exemplu, cele 3 rotaţii (în jurul axelor x,y,z ), notate aici cu α, β, γ, vor primi în fotogrametrie notaţiile consacrate ω, φ, k. Totodată, trebuie precizat că problemele dezvoltate aici şi care fac obiectul disciplinei au rolul pe lângă de a fundamenta şi a exemplifica principiile geometrice pe care se bazează studiul 10

10 fotogrametriei şi cel de a dezvolta raţionamentul principial al studenţilor, pentru a putea aprecia corect modul practic de rezolvare a diferitelor probleme. Desigur, exemplificările referitoare la diferitele proprietăţi şi teoreme vor fi din domeniul fotogrametriei. Totuşi, unele aspecte, îndeosebi cele referitoare la transformările de coordonate, sunt utile şi altor discipline din domeniul măsurătorilor terestre, subliniind astfel caracterul larg aplicativ al problemelor dezvoltate aici. Prin urmare, această carte poate fi utilă nu numai studenţilor, ci şi tuturor specialiştilor din domeniul măsurătorilor terestre. În fine, este important de remarcat faptul că fiecare capitol (inclusiv cel introductiv) se încheie prin prezentarea unor probleme recapitulative, pentru fixarea noţiunilor dezvoltate în capitolul respectiv. Probleme Prin ce se caracterizează geometria proiectivă, în raport cu geometria euclidiană? Care sunt elementele fundamentale? Cum se definesc formele fundamentale şi după ce criteriu se clasifică? Care sunt formele fundamentale de ordinul I? Care sunt formele fundamentale de ordinul II? Care sunt formele fundamentale de ordinul III? Definiţi şi exemplificaţi principiul dualităţii în plan. Definiţi şi exemplificaţi principiul dualităţii în spaţiu. Ce alte elemente geometrice în afară de cele provenind din geometria proiectivă conţine disciplina Bazele geometrice ale fotogrametriei? Pe ce principiu se bazează aplicaţiile din domeniul măsurătorilor terestre? 1. GEOMETRIA DREPTEI 1.1. Coordonate pe dreapta elementară Fie o dreaptă ( ), pe care se fixează un punct origine O şi un punct unitate U, astfel încât =+1 (1) Dreapta elementară organizată astfel, se numeşte axă (fig.5), iar semnul + din relaţia (1) indică sensul axei. 11

11 O' O U' U P(x) P(x') Fig. 5. Dreapta elementară organizată ca axă Se observă că un punct P poate fi definit prin mărimea x (coordonata sa), care se poate exprima prin relaţia: (2) Din geometria analitică se ştie că o coordonată se caracterizează prin 3 proprietăţi: - biunivocitate (între punctele dreptei şi numerele reale), - ordonare (dacă x 1 x 2, P 1 se află la stânga lui P 2 ), - continuitate (fiind date două numere apropiate x 1, x 2, acestora le corespund punctele apropiate P 1,P 2 ). Mărimea x se numeşte coordonată abscisă a lui P. Să presupunem acum că se ia un alt punct origine şi un alt punct unitate (care poate fi situat la dreapta sau la stânga lui ), păstrând mărimea segmentului unitate, care va avea valoarea: =1 (3) (semnul depinzând de poziţia punctului faţă de ). În consecinţă, punctul P va avea o altă abscisă: (4) Această relaţie mai poate fi scris ă sub forma: (5) 12

12 a adică, = a 0 + ε (6) unde, a 0 = şi ε=1 Prin urmare, transformările de forma (6) conţin translaţii şi simetrii Coordonate pe dreapta afină Fie o dreaptă ( ) pe care se fixează două puncte O şi U (ca şi în geometria elementară a dreptei), considerând însă că acestea nu mai îndeplinesc condiţia (1), ci sunt doar diferite (O U). Mărimea x corespunzătoare unui punct P se poate defini prin aceeaşi relaţie (2). Să considerăm acum alte două puncte şi (cu condiţia ), având în vedere totodată că, în general,. Noua coordonată P P lui P se poate defini prin relaţia (4), ţinând seama însă de observaţiile anterioare. De asemenea, relaţia (4) se poate dezvolta sub forma (5), de unde va rezulta: unde, (a 1 fiind finit şi diferit de zero). = a 0 + a 1 (7) a 0 =, a 1= Această transformare, numită transformare afină conţine transformarea (6) ca un caz particular (pentru a 1 =1) şi are deci un caracter mai general. O proprietate importantă a acestei transformări constă în aceea că păstrează invariant raportul segmentelor formate de 3 puncte. Notând acest raport cu r, se poate scrie: R1RR2RR3R (8) 13

13 unde x 1,x 2, x 3 sunt abscisele punctelor M 1,M 2,M 3. Aplicând transformarea (7), se obţine: Considerând acum M 1 (a) şi M 2 (b) fixe şi M 3 (x) mobil, relaţia (8) devine: r (9) de unde se poate deduce = (10) Se observă că între r şi x există o corespondenţă biunivocă, iar punctului de la infinit al dreptei ( ) îi corespunde r=1. Se mai poate remarca faptul că r este o funcţie monoton crescătoare de x în orice interval şi prin urmare, corespondenţa între r şi x este pe lângă biunivocă, ordonată şi continuă. În consecinţă, r îndeplineşte condiţiile unei coordonate, care se va numi coordonată baricentrică (prin analogie cu coordonata centrului de greutate al unui sistem de puncte materiale situate pe o dreaptă). Această coordonată, fiind un raport de două segmente, are avantajul (faţă de coordonata abscisă) de a rămâne invariantă la o schimbare de origine sau de unitate de măsură. Raportul (9) numit şi raport simplu este un invariant al proiecţiei paralele Coordonate pe dreapta proiectivă Se consideră o dreaptă ( ) organizată ca axă (după cum s-a arătat anterior) şi pe ea 3 puncte fixe distincte (A ), numite puncte fundamentale. Fie M un punct mobil pe ( ), a cărui poziţie se poate defini cu ajutorul mărimii, raportul coordonatelor baricentrice ale punctelor C şi M, faţă de punctele fundamentale A şi B: (11) având în vedere că raportul simplu (ABC) al punctelor fundamentale (fixe) este constant, iar r este coordonata baricentrică definită anterior. După cum se poate observa din relaţia (11), între şi r există o corespondenţă biunivocă, ordonată şi continuă. Prin urmare, deoarece r îndeplineşte condiţiile unei coordonate (după cum s-a arătat anterior), rezultă că şi poate fi considerată coordonată şi se va numi coordonată proiectivă. 14

14 În particular, pentru a obţine coordonatele proiective ale punctelor fundamentale, se identifică M respectiv cu A, B şi C, rezultând, pe baza relaţiei (11): 0 1 Dacă se consideră acum, 0, 1, se poate obţine coordonata proiectivă a unui punct mobil M(x), faţă de sistemul de puncte fundamentale cu abscisele (,, : lim,0,1 lim,0, lim 1 lim 1 Prin urmare, coordonata abscisă (x) este un caz particular al coordonatei proiective Raportul anarmonic Consideraţii preliminare Coordonata proiectivă se mai numeşte biraport (raportul a două rapoarte) sau raport anarmonic a patru puncte (A,B,C,D):,,, (12) unde a,b,c,d sunt (respectiv) abscisele punctelor A,B,C,D. Teoremă. Raportul anarmonic este un invariant al proiecţiei conice. Se consideră un fascicul de drepte cu vârful în S. La intersecţia cu o dreaptă ( ) se obţin punctele,,,, iar la intersecţia cu o altă dreaptă 15

15 rezultă punctele,,, (fig.6). Notând ş se cere să se arate că Pentru aceasta se vor construi triunghiuri asemenea, ducând prin şi P P paralele la raza S. Se vor obţine astfel, la intersecţia cu razele S şi S punctele, şi respectiv,. E E' F F' A B C D A' B' C' D' Fig.6 Raportul anarmonic, invariant al proiecţiei conice Având în vedere că din asemănarea triunghiurilor SAC ŞI EBC, respectiv SAD şi FBD rezultă: şi prin urmare, ş 16

16 În mod similar, se deduce: Considerând acum triunghiurile asemenea şi P PP P, respectiv SBF şi P PP P rezultă: şi, având în vedere proprietăţile proporţiilor, din ultima egalitate se poate deduce adică şi prin urmare, raportul anarmonic este un invariant proiectiv Proprietăţile raportului anarmonic Referitor la proprietăţile raportului anarmonic se pot da mai întâi câteva definiţii: - perechile de puncte A, B şi C, D se numesc conjugate (A cu B şi C cu D); - se numeşte transpoziţie, o permutare a două puncte; - o transpoziţie a două puncte conjugate se numeşte transpoziţie de clasa I; - o transpoziţie a două puncte neconjugate se numeşte transpoziţie de clasa a II-a; Teorem ă. O transpoziţie de clasa I inversează raportu l anarmonic, (13) Teoremă. O transpoziţie de clasa a II-a conduce la un raport anarmonic complementar (faţă de 1): Având în vedere că 1, 17 ă 1

17 : şi permutând A cu D (puncte neconjugate), rezultă: Prin urmare, : (14) Pe baza identităţii lui Euler referitoare la 4 puncte coliniare A,B,C,D: 0 rezultă Aducând la acelaşi numitor expresia din membrul drept al relaţiei (14) şi ţinând seama de sensul fiecărui segmen t, se obţine: 1 15 O proprietate importantă constă în acea că două transpoziţii de aceeaşi clasă, compuse succesiv, reproduc raportul anarmonic iniţial: - după o transpoziţie de clasa I rezultă, iar după o nouă transpoziţie de clasa I se obţine ; - după o transpoziţie de clasa a II-a rezultă 1, iar după o nouă transpoziţie de clasa a II-a se obţine 1 Trebuie precizat că pentru patru puncte (A,B,C,D) se pot forma n=4!=24 rapoarte anarmonice, dar numai 6 sunt distincte, fiind câte 4 egale ca valoare, pe baza proprietăţii anterioare. Acestea sunt: (ABCD)=(BADC)=(CDAB)=(DCBA)= (BACD)=(ABDC)=(DCAB)=(CDBA)= (ACBD)=(BDAC)=(CADB)=(DBCA)=1 (CABD)=(DBAC)=(ACDB)=(BDCA)= 18

18 (CBAD)=(DABC)=(ADCB)=(BCDA)=1 (BCAD)=(ADBC)=(DACB)=(CBDA)= Cele 4 valori egale se obţin făcând succesiv câte două transpoziţii de clasa I, apoi de clasa a II-a şi din nou de clasa I după care, dacă s-ar mai face două transpoziţii de clasa a II-a, s-ar reveni la forma iniţială. Pentru a se ajunge la o altă valoare a raportului anarmonic, se au în vedere cele două teoreme anterioare. Astfel, făcând o transpoziţie de clasa I (privind primele două puncte conjugate) se obţine al doilea şir de rapoarte, egale cu 1 şi făcând o transpoziţie de clasa a II-a (privind punctele neconjugate din mijloc, referitoare la primul şir), se obţine cel de-al treilea şir de rapoarte, egale cu 1-. Celelalte şiruri de rapoarte se obţin succesiv faţă de şirul anterior, făcând o transpoziţie de clasa I, apoi de clasa a II-a şi în final de clasa I. Aceste operaţii se pot reprezenta grafic prin figura 7. Trebuie precizat că se pot realiza şi alte scheme privind alternanţa transpoziţiilor de clasa I şi a II-a şi pe baza lor se pot obţine alte variante de definire a celor 6 valori distincte. Desigur, cele 4 valori egale vor fi aceleaşi, dar în altă ordine. O altă proprietate a raportului anarmonic evidenţiază faptul că dacă unul din cele 4 puncte (A,B,C,D) coincide cu punctul de la infinit, atunci raportul anarmonic devine raportul simplu al celorlalte 3 puncte. Să presupunem întâi că punctu l : : lim 19

19 I II I II I Fig.7. Valorile distincte ale raportului anarmonic Aplicând câte două transpoziţii de aceeaşi clasă, pentru a aduce punctul de la infinit pe poziţia din dreapt a, rezultă: Pe de altă parte, se poate constata că raportul anarmonic al unui fascicul este egal cu raportul anarmonic al coeficienţilor unghiulari ai razelor fasciculului. 20

20 S l O(o) A(a) B(b) C(c) D(d) Fig.8. Raportul anarmonic al unui fascicul Din figura 8 se observă că tg, tg etc. Dar se simplifică din rapoarte şi deci,,,,,,,,,, 16 În consecinţă, două fascicule ale căror raze fac respectiv unghiuri egale, au acelaşi raport anarmonic. În sfârşit, o altă proprietate a raportului anarmonic precizează că fasciculele care se intersectează în puncte coliniare (fig.9) sunt echivalente din punct de vedere proiectiv, deoarece formează acelaşi raport anarmonic. 21

21 S2 S1 S3 A B C D Fig.9 Fascicule echivalente proiectiv 1.5. Raportul armonic Definiţii. Proprietăţile raportului armonic. Raportul armonic este un caz particular al raportului anarmonic, în care. În consecinţă, succesiunea punctelor într-o diviziune armonică este cea prezentată în figura 10. O A C B D Fig.10 Diviziunea armonică În acest caz, valoarea raportului anarmonic este invariantă faţă de o transpoziţie de clasa I: Având în vedere definirea raportului armonic, se poate scrie: 22

22 : : 1 17 unde a, b, c, d sunt abscisele punctelor A, B,C, D. Dacă se consideră originea în punctul A, adică a=0, rezultă: 1,, adică de unde se obţine: 2 Împărţind cu b * c * d, rezultă: 2 1 1, având în vedere că originea se află în punctul A. Relaţia (18) arată că segmentul AB este medie armonică a segmentelor AC şi AD. Se poate observa că dacă punctul D tinde la infinit, atunci al doilea termen din membrul drept al relaţiei (18) devin e zero şi această relaţie va căpăta forma: 2 1, 2 19 adică punctul C se va afla la mijlocul segmentului AB. Prin urmare, conjugatul armonic al mijlocului unui segment în raport cu extremităţile acestuia este punctul de la infinit al dreptei suport. Să presupunem acum că originea O se află la mijlocul segmentului AB şi deci b=- a. În consecinţă, relaţ ia (17) devine: adică, 0 de unde rezultă,. : 1, 1 Având în vedere că originea se află în punctul O, această relaţie poate fi scrisă sub forma: (20) 23

23 adică, OA este medie geometrică între OC şi OD. Din relaţia (20) se poate deduce că deoarece produsul este pozitiv, punctele C şi D se vor afla de aceeaşi parte a lui O adică, ambele la dreapta sau ambele la stânga lui O Construirea unei diviziuni armonice Pentru construirea unei diviziuni armonice, se consideră date punctele A,B şi D, urmând să se determine poziţia punctului C, astfel încât cele 4 puncte să formeze o diviziune armonică pe dreapta (. Fig.11. Construirea unei diviziuni armonice Prin A şi B se duc două drepte paralele ş, iar prin D o dreaptă oarecare, care intersectează ş în punctele F şi respectiv E (fig.11). Pe se ia punctul, simetricul lui E faţă de B şi se uneşte, cu F. La intersecţia dreptei P P cu ( se va obţine punctul căutat C. Corectitudinea poziţiei punctului C se poate verifica prin asemănări de triung hiuri şi anume: ~, de ude rezultă 24

24 şi ~, de unde rezultă Având în vedere că : obţinut o diviziune armonică. şi că rezultă 1, adică s-a Fasciculul armonic Pe baza diviziunii armonice, se poate defini fasciculul armonic şi anume: fiind dată pe dreapta o diviziune armonică 1, se numeşte fascicul armonic, fasciculul format de punctele,,, şi un punct S exterior dreptei (fig.12). Se poate remarca faptul că dacă acest fascicul este intersectat de o altă dreaptă, se obţine de asemenea o diviziune armonică, adică P PP PP PP P 1. Teoremă. Orice secantă paralelă cu una din razele unui fascicul armonic formează la intersecţia cu celelalte 3 raze, două segmente egale. S A' C' B' D' A C B D Fig.12 Fascicul armonic 25

25 S A C B II Fig.13. Intersecţia unui fascicul armonic cu o dreaptă paralelă cu una din razele fasciculului Fie un fascicul armonic (fig.13) intersectat cu o dreaptă paralelă cu raza. În consecinţă, punctul D, reprezentând intersecţia razei cu dreapta se află la infinit şi conform relaţiei (19) punctul C se află la mijlocul segmentului AB. Deci, segmentele AC şi CB au mărimi egale Transformarea omografică (proiectivă) între forme de ordinul I Definiţii. Consideraţii preliminare Transformarea omografică este o transformare care conservă raportul anarmonic şi se mai numeşte transformare proiectivă. Prin urmare, sau A B C M ABCM, adică C A C B M A M B CA CB MA MB sau, Având în vedere că raportul dublu din membrul drept conţine mărimi constante (punctele A,B,C fiind fixe), el se va nota cu λ, rezultând: 26

26 ,ă De aici se obţine 1 şi notând,, 1 ş rezultă: 21 Determinantul se numeşte determinantul omografiei. Se pot menţiona 3 situaţii caracteristice: (a) dacă 0, omografia este proprie, adică la valori distincte ale lui x se obţin valori distincte ale lui P P; (b) dacă 0, omografia este improprie, adică la valori distincte ale lui x rezultă aceeaşi valoare a lui P P; (c) omografii generatoare, corespunzătoare următoarelor 3 tipuri de matrice, cu particularizare în relaţia (21): 1 (translaţie), (transformare de scară), (transformare prin inversiune). Teoremă. Condiţia necesară şi suficientă ca o omografie să fie proprie este ca determinantul omografiei să fie d iferit de zero 0. Fie două valori ale lui x: şi şi fie ş valorile corespunzătoare, conform relaţiei (21). Prin urmare, se poate scrie: 27

27 sunt pentru Prin urmare, pentru a obţine 0 este necesar şi suficient ca determinantul omografiei să fie diferit de zero (presupunând Pe de altă parte, se poate remarca faptul că relaţia (21) fiind fracţionară, se poate împărţi prin şi notând, rezultă: 1 22 De aici se poate deduce că o transformare omografică între forme de ordinul I este definită de 3 parametri independenţi, pentru determinarea cărora este necesară cunoaşterea coordonatelor, P P 3 perechi de puncte corespondente (având în vedere că pentru fiecare pereche de puncte omologe se poate scrie câte o ecuaţie) Proiectivitatea între două punctuale cu baze distincte Dacă cele două punctuale au baze distincte, punctele se pot reprezenta (de exemplu) ca în figura 14, unde şi P P punctele de fugă (ale căror coordonate vor fi deduse în continuare). O' J'( ) A'1(x'1) A'2(x'2) A'3(x'3) M'(x') O I( ) A1(x1) A2(x2) A3(x3) M(x) Fig.14 Corespondenţa proiectivă între două punctuale 28

28 este adică, Pornind de la relaţia (21) se obţine: 0 23 sau, 0 24 reprezentând o relaţie biliniară în, P P, numită ecuaţia proiectivităţii. Având în vedere că această proiectivitate este determinată de 3 perechi de puncte corespondente (omologe) se obţine, adăugând ecuaţiei (24) cele 3 relaţii corespunzătoare punctelor,,,,,, un sistem de 4 ecuaţii liniare om ogene cu 4 necunoscute (A,B,C,D): După cum se ştie, un astfel de sistem admite soluţii diferite de soluţia banală (A=B=C=D=0), dacă determinantul său este egal cu zero, adică: (25) 1 Dezvoltând acest determinant după prima linie, se observă că cei 4 complemenţi algebrici ai acesteia (minorii cu semn alternat (-1) i+j ) reprezintă parametrii,,, ai ecuaţiei (24) şi prin urmare şi determinantul (25) se poate considera ecuaţie a proiectivităţii. Să definim acum punctele limită (de fugă): este corespondentul pe al punctului de la infinit al dreptei, iar P P corespondentul pe al punctului de la infinit al dreptei. Pentru determinarea lor se porneşte de la relaţiile (21) lim 29

29 cu se şi şi (23) lim Aceste puncte sunt reprezentate în figura 14, în ipoteza că parametrii α ij sunt pozitivi. Dacă presupunem acum că originile şi P P deplasează în şi P P notăm noile coordonate ale punctelor şi P P şi, P P legătura lor cu x şi x se poate exprima prin relaţiile: În consecin ţă, relaţ ia (23) devine:, 0 iar după simplificări, se obţi ne: Această constantă se numeşte puterea proiectivităţii. Având în vedere semnificaţiile coordonatelor şi P P, relaţia anterioară se poate scrie sub forma: (26) adică, produsul distanţelor de la punctele de fugă la două puncte omologe este constant Punctuale asemenea Definiţie. Două punctuale proiective, se numesc asemenea, dacă punctele lor de la infinit sunt omologe, adică (27) Împărţind relaţia (24) cu P P, obţine m : 30 0

30 şi ţinând seama de (27), rezultă: 0 28 Prin urmare, ecuaţia proiectivităţii în tre două punctuale asemenea va fi: 0 29 Deoarece această ecuaţie conţine cu un parametru mai puţin (faţă de cazul general) se poate deduce că proiectivitatea între două punctuale asemenea este determinată de două perechi de puncte corespondente (în loc de 3). Adăugând ecuaţiei (29) cele două relaţii corespunzătoare punctelor,,, se obţine un sistem de 3 ecuaţii liniare omogene cu 3 necunoscute (B,C,D): Pentru a abţine soluţii diferite de soluţia banală 0, determinantul sistemului trebuie să fie egal cu zero, adică: 1 10 (30) 1 Dezvoltând acest determinant după prima linie, se observă că cei 3 complemenţi algebrici ai acesteia reprezintă parametrii,, ai ecuaţiei (29) şi prin urmare şi determinantul (30) se poate considera ecuaţie a proiectivităţii pentru punctuale asemenea. În particular, dacă se consideră originile absciselor în două puncte omologe, dispare translaţia D şi ecuaţi a (29) devine sau, 0 31 Exemplu. Fie două drepte paralele fixe ş. Printr-un punct S exterior acestora se duce o secantă variabilă, care intersectează ş în ş, ce descriu pe ş diviziuni asemenea (fig.15). 31

31 S O' x' M'(x') O x M(x) Fig.15. Exemplu de punctuale asemenea După cum se ştie, două paralele au acelaşi punct la infinit, adică şi prin urmare, ş reprezintă două punctuale asemenea. În plus, dacă se consideră secanta fixă şi punctele şi P origini ale absciselor pe cele două punctuale ş, rezultă: Perspectivitatea, ă Teoremă. Două punctuale proiective care au un punct autoomolog sunt perspective, adică dreptele care unesc punctele omologe sunt concurente (fig.16.) 32

32 S A'2 A'3 A'1 O A1 A2 A3 B Fig.16. Două punctuale perspective Având în vedere că punctualel e ş sunt proiective, rezultă 32 Unind A 1 cu şi A 2 cu se obţine punctul S. Presupunem că dreapta S intersectează într-un punct B, diferit de A 3. Având în vedere că punctele în care un fascicul intersectează două drepte (în cazul de faţă ş ) formează rapoarte anarmonice egale, rezultă Ţinând seama de relaţia (32), se obţine: de unde rezultă, deoarece două rapoarte anarmonice la care diferă un singur punct, nu pot fi egale decât dacă A 3 şi B coincid. Teoremă. Două fascicule proiective care au o rază autoomologă sunt perspective, adică razele omologe se intersectează în puncte coliniare (fig.17). După cum s-a arătat în capitolul introductiv, fasciculul de drepte în plan reprezintă (ca şi punctuala) o formă de ordinul I. 33

33 coincid. S' S A B C D D' Fig.17. Două fascicule perspective Se consideră fasciculele proiective,,, ~,,, care au o rază autoomologă. Notând cu, şi punctele de intersecţie ale perechilor de raze omologe, va trebui să arătăm că aceste puncte sunt coliniare. Se unesc punctele şi, obţinând dreapta, cu care vom intersecta cele două fascicule. Astfel, fasciculul,,, intersectează în punctele,,,, iar fasciculul,,, presupunem că intersectează în punctele,,, P P. Având în vedere că cele două fascicule sunt proiective, la intersecţia cu o dreaptă (în cazul nostru ) vor determina rapoarte anarmonice egale, adică:, de unde rezultă, din acelaşi motiv ca şi în cazul anterior, adică, două rapoarte anarmonice la care diferă un singur punct, nu pot fi egale decât dacă şi P P Ca aplicaţie, vom prezenta teorema lui Desargues. Fie două triunghiuri şi P PP PP care au vârfurile situate pe 3 drepte concurente. Să se arate că laturile lor corespondente ( cu P PP P, cu P P şi cu P PP P) se intersectează în puncte coliniare (fig.18) 34

34 şi A A' S B D C C' D' B' Fig.18. Ilustrarea teoremei lui Desargues Fie,, punctele de intersecţie respectiv ale laturilor cu P PP P, cu P P, cu P PP P care va trebui să arătăm că sunt coliniare. Considerăm fasciculul,,, intersectat de dreptele ş, rezultând rapoarte anarmonice egale: În consecinţă, fasciculele care se sprijină pe aceste puncte (cu vârfurile în şi P P) sunt proiective: ~ şi au o rază auto omologă. În acest caz, conform teoremei anterioare, perechile de raze corespondente se intersectează în puncte coliniare., ş 35

35 fiind Teorema lui Pappus. Axa proiectivităţii Vom enunţa mai întâi teorema lui Pappus: Pe două drepte şi se iau câte 3 puncte arbitrare,,, respectiv,,. Să se arate că punctele,, rezultate prin unirea lor în diagonală (P P cu P P, P cu P P şi P P cu P P) sunt coliniare (fig.19) Fasciculele ~ sunt echivalente proiectiv, deoarece se sprijină pe aceleaşi puncte coliniare,,,, după cum s-a arătat în paragraful Intersectând primul fascicul cu P P şi cel de-al doilea cu P P, rezultă: punctul P P autoomolog. În consecinţă, dreptele care unesc puncte corespondente, şi sunt concurente, conform primei teoreme din paragraful anterior. Deoarece şi se intersectează în, rezultă că dreapta trece prin şi deci,, sunt coliniare. B' C' p O A' M' M A U V Y B W C X Fig.19. Ilustrarea teoremei lui Pappus. Axa proiectivităţii Această dreaptă (care trece prin,, ) se numeşte axa proiectivităţii şi se notează cu. Să arătăm că este fixă. Fie o pereche de puncte 36

36 se (astfel ajunge se omologe, P P încât P P şi P P să se intersecteze pe, în. Dacă M (mobil) vine în, P P în, iar dacă vine în, ajunge în. Deoarece O este fix, rezultă că şi sunt fixe şi deci, trecând prin şi este fixă Corespondenţa proiectivă între fascicule de drepte După cum am mai arătat, fasciculele de drepte în plan sunt (ca şi punctualele) forme de ordinul I. De asemenea, conform principiului dualităţii, proprietăţile referitoare la fascicule pot fi deduse din cele referitoare la punctuale, schimbând între ele cuvintele punct şi dreaptă (sau rază ). Astfel, suportul al punctualei devine vârful S al fasciculului. Reamintim totodată că poziţia fiecărei raze dint-un fascicul este determinată de coeficientul unghiular în raport cu o rază origine. Prin urmare, în locul absciselor (în raport cu un punct origine) pe o dreaptă suport, razele unui fascicul se definesc prin coeficientul unghiular m i. În consecinţă, corespondenţa proiectivă între două fascicule cu vârfurile respectiv P P exprimă printr-o relaţie biliniară de forma (24), în care, P P înlocuiesc cu, P P: 0 33 şi care reprezintă ecuaţia proiectivităţii în cazul fasciculelor de drepte în plan. Similar punctualelor, proiectivitatea între două fascicule de drepte este determinată de 3 perechi de raze corespondente, având respectiv coeficienţii unghiulari, ;, ;,. Adăugând ecuaţiei (33) cele 3 relaţii corespunzătoare acestor 3 perechi de raze omologe, se obţine un sistem de 4 ecuaţii liniare omogene cu 4 necunoscute (A,B,C,D); Având în vedere că un astfel de sistem admite soluţii diferite de cea banală 0 dacă determinantul său este egal cu zero, rezultă condiţia: 37

37 sunt rezultă m' (fig.20a). exterioare Dezvoltând acest determinat după prima linie, se observă că cei 4 complemenţi algebrici ai acesteia (minorii cu semnul alternat (-1) i+j ) reprezintă parametrii,,, ai ecuaţiei (33) şi prin urmare şi determinantul (34) se poate considera ecuaţie a proiectivităţii. Exemplu. Se consideră o dreaptă, două puncte fixe şi P P dreptei şi un punct mobil pe. Se uneşte cu şi P P Când se deplasează pe, ş generează două fascicule proiective ~,,, ~,,, (fig.20b). S S' S S' m M M1 M2 M3 a). b). Fig.20. Exemplificarea a două fascicule proiective Se poate constata că între ş există o legătură - algebrică (dreptele au ecua ţii algebrice), - biunivocă (fiind dată dreapta se obţine M la intersecţia cu, iar prin unirea cu P P şi inver s), şi - proprie (dacă rezultă şi în consecinţă, deoarece punctele şi P P distincte şi exterioare dreptei ) Centrul proiectivităţii Am văzut că unei proiectivităţi între două punctuale îi putem asocia axa proiectivităţii. Similar (prin dualitate) unei proiectivităţi între două fascicule de 38

38 P P determinată şi se drepte i se poate asocia un punct, centrul proiectivităţii. Cu această ocazie vom da un exemplu concret de aplicare a principiului dualităţii. Formulare directă Fie o proiectivitate între două punctuale cu bazele, respectiv determinată de perechile de puncte, P P;,P P;,P P. Unind punctele cu P şi cu P P, cu P P cu P P, cu P P, şi cu P P obţin respectiv punctele,, (coliniare) care definesc axa proiectivităţii, (fig.19). Formulare duală Fie o proiectivitate între două fascicule cu vârfurile, respectiv de perechile de raze, ;, ;,. Intersectând dreptele cu ş, ş, ş se obţin dreptele AB, CD şi EF (concurente), la intersecţia cărora se va afla centrul proiectivităţii C p (fig.21). Vom prezenta de asemenea şi demonstraţia propriu-zisă. Teoremă. Fie o proiectivitate între două fascicule ~. Se consideră două perechi de raze corespondente, ş, şi se intersectează în diagonală ş, rezultând punctele Aşi B (fig.22). Să se arate că dreapta AB trece printr-un punct fix. 39

39 S S' C E F A B D Cp S Fig.21. Determinarea centrului proiectivităţii S' A B Cp O Fig.22. Ilustrarea teoremei privind centrul proiectivităţii 40

40 Presupunem dreptele ş fixe, le vom numi baze şi le notăm cu respectiv. Dreptele ş le considerăm variabile, rămânând însă omologe în proiectivitatea dată. După cum se poate observa, punctele şi descriu pe şi respectiv pe două punctuale proiective, având un punct autoomolog. Prin urmare, conform unei teoreme anterioare, punctualele sunt perspective şi deci dreapta trece printr-un punct fix. Să arătăm că acest punct este independent de razele alese ca baze şi. Pentru aceasta, vom considera dreapta variabilă în coincidenţă cu P P şi presupunem că are ca omologă dreapta. Vom considera apoi dreapta variabilă în coincidenţă cu P P, având ca omologă dreapta. Deoarece, după cum am arătat, dreptele şi vor trebui să treacă printr-un punct fix (ca şi ), acesta va fi centrul proiectivităţii C p. De asemenea, având în vedere că P P este fixă, rezultă că şi ş sunt fixe şi în consecinţă şi punctul lor de intersecţie C p este fix şi independent de bazele şi Proiectivitatea între punctuale cu baze suprapuse După cum am văzut, noţiunea de punctuală se referă la punctele situate pe o dreaptă suport. Până acum ne-am referit la punctualele cu baze diferite, dar pe aceeaşi dreaptă suport se pot defini două punctuale distincte, aceleaşi puncte având un rol diferit când aparţin unei punctuale, sau alteia. Pentru simplificare, vom considera că abscisele punctelor omologe se măsoară de la aceeaşi origine. De asemenea, vom avea în vedere doar punctele duble (punctele unite). Ca punct dublu se defineşte acel punct care coincide cu omologul său şi având în vedere originea comună, în acest caz. devine Astfel, ecuaţia proiectivităţii (24): reprezentând o ecuaţie de gradul II. 41

41 respectiv o În funcţie de discriminant, se pot distinge 3 cazuri: 1. 40: punctuala are două puncte duble reale şi distincte, iar proiectivitatea este de tip hiperbolic; 2. 40: punctele duble (reale) sunt confundate, iar proiectivi tatea este de tip parabolic; 3. 40: cele două puncte duble sunt imaginare, iar proiectivitatea este de tip eliptic; În particular, în cazul punctualelor asemenea 0 şi relaţia (35) devine: de unde rezultă abscisa unuia din punctele duble: 0 (36) Celălalt punct dublu este punctul de la infinit, deoarece conform definiţiei punctualelor asemenea,. Teoremă. Raportul anarmonic format de punctele duble şi de o pereche arbitrară de puncte omologe este constant. Dacă notăm cu, punctele duble şi cu, P P de puncte omologe, se poate scri e:, P P pereche adică, 42 Având în vedere proprietăţile rapoartelor, relaţia anterioară poate fi scrisă sub forma: adică, (37)

42 în această formă se mai numeşte invariant absolut al proiectivităţii. Determinarea grafică a punctelor duble prin metoda Chasles Fie ecuaţia proiectivităţii (24): 0 şi să determinăm punctele limită şi P P. Pentru aceasta, relaţia anterioară o vom scrie sub forma: de unde se obţine lim şi sub forma: de unde rezultă lim Presupunem că luăm ca origine a absciselor, mijlocul segmentului P P, în care caz. În consecinţă, ecuaţia proiectivităţii (24) devine: 0 38 de unde Deoarece în cazul punctelor dubl e, relaţia (38) devine 0 Dacă se notează cu P unul din punctele duble, se poate scrie 39 Pe de altă parte, după cum s-a arătat anterior, 43

43 şi în Considerând în punctuala se poate obţine omologul său P P 0 în relaţia (38): 0 de unde rezultă 40, făcând sau, 41 Având în vedere relaţiile (39), (40) şi (41) şi notând cu Q al doilea punct dublu, se obţine 42 T P I O J' Q O' Fig. 23. Determinarea grafică a punctelor duble De aici se poate deduce construcţia geometrică: - se plasează pe dreapta suport, punctele, P P,,P P, se construieşte un cerc cu diametrul P PP P se duce tangenta la acest cerc; se trasează apoi cercul cu centrul şi cu raza, obţinând punctele duble P şi Q la intersecţia acestuia cu dreapta suport,. 44

44 Justificarea construcţiei se bazează pe considerarea puterii punctului faţă de cercul : şi având în vedere raza cercului : Fascicule proiective cu vârfuri suprapuse Fie ecuaţia proiectivităţii în cazul fasciculelor de drepte în plan (33): 0 Similar punctualelor cu baze suprapuse, vom presupune că razele celor două fascicule cu vârfuri suprapuse se definesc în raport cu aceeaşi rază origine. De asemenea, se va pune problema determinării razelor duble, adică a acelor raze care coincid cu omologele lor şi pentru care. Astfel, ecuaţia proiectivităţii (33) devine: 0 43 reprezentând o ecuaţie de gradul II. În funcţie de discriminant, se pot distinge 3 cazuri: 1. 40: razele duble sunt reale şi distincte, iar proiectivi tatea este de tip hiperbolic; 2. 40: razele duble reale sunt confundate, iar proiectivi tatea este de tip parabolic; 3. 40: razele duble sunt imaginare, iar proiectivitatea este de tip eliptic; Exemplu. Fie un unghi 2 care se roteşte în plan, în jurul vârfului S (fig.24). Laturile sale, descriu astfel două fascicule proiective cu vârfuri suprapuse. Ne propunem să determinăm razele duble. 45

45 pantele S=S' m m' M M' Fig. 24. Generarea a două fascicule proiective cu vârfuri suprapuse Notând cu şi l respectiv P P laturi or, se poate scrie: Din ultima egalitate rezultă: 1 45 Pentru a obţine razele duble, se particularizează relaţia (45) pentru P P şi prin urmare, : 47 După cum se observă, razele duble sunt în acest caz, dreptele izotrope. Vom prezenta în continuare două proprietăţi ale dreptelor izotrope, care pot părea curioase dacă n-am avea în vedere că se referă la domeniul imaginar. 1. O dreaptă izotropă face cu ea însăşi un unghi nedeterminat. Astfel, înlocuind în relaţia (44) rezultă

46 Similar, considerând se obţine Distanţa dintre două puncte, ş, situate pe o dreaptă izotropă este nulă. Având în vedere de finiţia pantei, se poate scrie Ridicând la pătrat ultima egalitate, rezultă: sau, 1 0 adică, pătratul distanţei este egal cu zero şi prin urmare distanţa dintre cele două puncte este nulă. Vom demonstra acum o teoremă de o mare importanţă teoretică. Teorema lui Laguerre. Fie K raportul anarmonic format de punctele absolute, şi punctele de la infinit ale laturilor unui unghi arbitrar din plan. Mărimea a acestui unghi are valoarea unde este logaritmul natural (neperian). Importanţa acestei relaţii constă în aceea că leagă o noţiune metrică (unghi) de una proiectivă (raport anarmonic) prin intermediul simbolului imaginar (i). Fie (a) şi (b) laturile unui unghi arbitrar din plan şi să considerăm un sistem de coordonate cartezian ortogonal în acest plan, având originea 0 în vârful unghiului (fig.25). 47

47 y (a) y=m1*x y=m2*x (b) O x Fig.25. Ilustrarea elementelor teoremei lui Laguerre Din figura 25 se pot deduce următoarele egalităţi:,, 1 49 Conform ipotezei, putem scrie:,,, Trebuie precizat că punctele absolute, sunt urmele pe dreapta de la infinit ale dreptelor izotrope, având pantele. După cum am văzut în paragraful (relaţia 16), raportul anarmonic a 4 puncte (în cazul nostru situate pe dreapta de la infinit) este egal cu raportul anarmonic al pantelor dreptelor care au determinat aceste puncte. Prin urmare,,,, (50) Dacă vom considera axa 0 y de-a lungul laturii (a) a unghiului (ceea ce nu restrânge generalitatea abo ) ş rin r, din relaţia (49) rezultă: rdării i p u mare lim 1 1 de unde se poate deduce 48

48 În acest caz, relaţia (50) devine 1 1,,, Având în vedere că două transpoziţii de aceeaşi clasă nu modifică raportul anarmonic, vom face două transpoziţii d e clasa I: 1,,, În acest caz, conform unei proprietăţi a raportului anarmonic (prezentată în paragraful ), raportul anarmonic se reduce la raportul simplu al primelor 3 elemente şi prin urmare sau, de unde, Utilizând formulele lui Euler: 1 1, egalitatea anterioară devine: sau, 49

49 sunt se de unde, logaritmând, rezultă: 2 adică, 1 2 Această relaţie se numeşte formula lui Laguerre Punctuale involutive Definiţie. Două punctuale proiective ş cu baze suprapuse sunt în involuţie, dacă oricare două elemente omologe ale lor sunt permutabile, adică, dacă aparţinând punctualei are ca omolog în pe P P, când P P consideră aparţinând punctualei, omologul său în este. Să reluăm ecuaţia proiectivităţii în forma generală (24): 0 unde şi P P coordonate abscise raportate la aceeaşi origine. Conform definiţiei anterioare, dacă se inversează cu P P, ecuaţia devine: şi scăzând-o din prima, rezultă: adică, Deoarece soluţia reprezintă un caz particular (cazul punctelor duble), vom considera cealaltă variantă şi anume, Prin urmare, ecuaţia proiectivităţii (24) va căpăta în cazul involuţiei următoarea formă: 0 (51) 50

50 vom reprezentând o ecuaţie biliniară simetrică. Deoarece această ecuaţie conţine un parametru mai puţin (faţă de cazul general), se poate deduce că proiectivitatea între două punctuale involutive este determinată de două perechi de puncte corespondente (în loc de 3). Adăugând ecuaţiei (51) cele două relaţii corespunzătoare punctelor,,,, se obţine un sistem de 3 ecuaţii liniare omogene cu 3 necunoscute (A,B,D): Pentru a obţine soluţii diferite de soluţia banală 0, determinantul sistemului trebuie să fi e egal cu zero: Dezvoltând acest determinant după prima linie, se observă că cei 3 complemenţi algebrici ai acesteia reprezintă parametrii,, ai ecuaţiei (51) şi prin urmare şi determinantul (52) se poate considera ecuaţie a involuţiei. Pentru a determina punctele limită (de fugă) şi P P ecuaţia (51) sub forma: de unde se poate deduce scrie mai întâi lim şi apoi, sub forma: de unde rezultă lim 51

51 cu se Se observă că aceste puncte coincid şi se vor nota cu C (punct central), adică. Presupunând că originea absciselor se deplasează în (fig.26), în ipoteza că parametrii,, sunt pozitivi şi notând noile coordonate ale punctelor şi P P şi P P, legătura lor cu coordonatele iniţiale şi P P poate exprima prin relaţiile :, respectiv C( B ) A O(=O') M(x) M'(x') Fig.26. Centrul proiectivităţii în cazul punctualelor involutive În consecinţă, ecuaţia (51) devine: 0 iar după simplificări, se obţine: Această constantă se numeşte puterea involuţiei. Având în vedere semnificaţiile coordonatelor şi P P, relaţia anterioară se poate scrie sub forma: 53 adică, produsul distanţelor de la punctul central la două puncte omologe este constant. Să examinăm acum şi cazul particular al punctelor duble. Având în vedere că în acest caz, ecuaţia (51) devine: reprezentând o ecuaţie de gradul II. În funcţie de discriminant, se pot distinge 3 cazuri: 1. 0: punctele duble sunt reale şi distincte, iar involuţia este de tip hiperbolic; 52

52 sunt 2. 0: punctele duble (reale) sunt confundate, iar involuţia este de tip parabolic; 3. 0: punctele duble sunt imaginare, iar involuţia este de tip eliptic; În particular, în cazul punctualelor asemenea, 0 şi ecuaţia involuţiei (54) se reduce la: de unde, 2 Celălalt punct dublu este punctul de la infinit, deoarece conform definiţiei punctualelor asemenea,. Teoremă. Într-o involuţie, două puncte omologe sunt conjugate armonic în raport cu punctele duble. Fie R1 şi R2 punctele duble ale involuţiei (considerate distincte). Conform teoremei din paragraful 1.6.8, raportul anarmonic format de punctele duble şi de o pereche arbitrară de puncte omologe este constant şi deci, conform relaţiei (37), Având în vedere însă că într-o involuţie punctele omologe şi P P permutabile, rezultă: 56 adică, raportul anarmonic rămâne invariant la o transpoziţie de ordinul I, proprietate specifică raportului armonic 1. Se poate remarca de asemenea, că punctul central este conjugatul armonic al punctului de la infinit, adică este situat la mijlocul segmentului format de punctele duble. Exemplu. Laturile unui unghi drept care se roteşte în jurul vârfului S determină pe o dreaptă două punctuale involutive (fig.27). 53

53 este S h /2 M(x) N(a) M'(x') Fig.27. Generarea a două punctuale involutive Se observă că perechea de puncte, P P permutabilă, deoarece rotind cu 90 0 raza în sensul săgeţii, va ajunge în poziţia, iar raza va ajunge în prelungirea razei. Prin urmare, punctul va ocupa poziţia P P, iar punctul P P va veni în. Având în vedere că într-un triunghi dreptunghic, pătratul înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este egal cu produsul proiecţiilor catetelor pe ipotenuză, se poate scrie (conform notaţiilor din figura 27): adică, de unde rezultă reprezentând ecuaţia involuţiei. 0 (57) Pentru involuţie se utilizează simbolul :, exprimând faptul că elementele punctualei sunt în involuţie cu cele ale punctualei. 54

54 sunt Fascicule involutive Definiţie. Două fascicule proiective cu vârfuri suprapuse sunt în involuţie, dacă razele lor omologe sunt permutabile, adică, dacă razei aparţinând fasciculului îi corespunde în fasciculul P P, când se consideră aparţinând fasciculului, îi corespunde în fasciculul P P. Să reluam ecuaţia proiectivităţii în cazul fasciculelor de drepte în plan (33): 0 de unde şi P P coeficienţii unghiulari ai razelor omologe, în raport cu aceeaşi rază origine. Conform definiţiei anterioare, dacă se inversează cu P P, ecuaţia devine: şi scăzând-o din prima, rezultă: adică, Deoarece soluţia reprezintă un caz particular (cazul razelor duble), vom considera cealaltă variantă, şi anume, Prin urmare, ecuaţia proiectivităţii (33) va căpăta în cazul involuţiei următoarea formă: 0 58 reprezentând o ecuaţie biliniară simetrică. Deoarece această ecuaţie conţine un parametru mai puţin (faţă de cazul general), se poate deduce că proiectivitatea între două fascicule involutive este determinată de două perechi de raze corespondente (în loc de 3). Adăugând ecuaţiei (58) cele două relaţii corespunzătoare razelor,,, se obţine un sistem de 3 ecuaţii liniare omogene cu 3 necunoscute,,: 55

55 0 0 0 Pentru a obţine soluţii diferite de soluţia banală (A=B=D=0), determinantul sistemului trebuie să fie egal cu z ero: Dezvoltând acest determinant după prima linie, se observă că cei 3 complemenţi algebrici ai acesteia reprezintă parametrii A,B,D ai ecuaţiei (58) şi prin urmare şi determinantul (59) se poate considera ecuaţie a involuţiei în cazul fasciculelor de drepte în plan. Să examinăm acum şi cazul particular al razelor duble. Având în vedere că în acest caz, ecuaţia (58) devine: reprezentând o ecuaţie de gradul II. În funcţie de discriminant, se pot distinge 3 cazuri: 1. 0: raze duble reale şi distincte, iar involuţia este de tip hiperbolic; 2. 0: raze duble (reale) confundate, iar involuţia este de tip parabolic; 3. 0: raze duble imaginare, iar involuţia este de tip eliptic. Exemplu. Laturile unui unghi drept care se roteşte în jurul vârfului S generează două fascicule involutive (fig.28). 56

56 S m2' m1 m1' m2 Fig.28. Generarea a două fascicule involutive După cum se ştie, relaţia dintre pantele a două drepte ortogonale este 1 sau, În cazul razelor duble şi ecuaţia (61) devine: având rădăcinile Prin urmare, razele duble ale acestei involuţii sunt dreptele izotrope. Acest caz se mai numeşte involuţie ortogonală Coordonate omogene Fie axa RR, pe care am fixat originea, unitatea de măsură şi sensul (fig.5). Punctul P având coordonata abscisă x, va avea două coordonate omogene X, Y, astfel încât 57

57 (63) Coordonatele omogene au următoarele 3 proprietăţi: 1. nu pot fi toate nule simultan; 2. toate sunt finite; 3. se pot înmulţi cu acelaşi factor k, fără ca mărimea coordonatei x să se modifice. Astfel, coordonatele omogene ale originii vor fi (0,1), iar ale punctului de la infinit (1,0). Aceste puncte se numesc puncte fundamentale ale dreptei. Coordonatele omogene prezintă avantajul de a putea opera mai uşor cu cantităţile infinite. Probleme Care sunt cele 3 proprietăţi ale unei coordonate? Prin ce se caracterizează coordonatele pe dreapta afină, faţă de coordonatele pe dreapta elementară? Cum se defineşte coordonata proiectivă şi care este relaţia cu coordonata baricentrică (pe dreapta afină) şi cu coordonata abscisă (pe dreapta elementară)? Definiţi raportul anarmonic. Enunţaţi teorema ce caracterizează raportul anarmonic. Definiţi punctele conjugate, transpoziţiile şi în particular transpoziţiile de clasa I şi de clasa a II-a. Enunţaţi şi formulaţi matematic cele două teoreme referitoare la transpoziţiile de clasa I şi respectiv de clasa a II-a. Precizaţi şi demonstraţi efectul compunerii succesive a două transpoziţii de aceeaşi clasă. Câte variante ale raportului anarmonic se pot forma şi câte sunt distincte? Arătaţi şi demonstraţi ce efect are asupra raportului anarmonic, dacă unul din cele 4 puncte coincide cu punctul de la infinit. Ce proprietate au fasciculele care se intersectează în puncte coliniare şi justificaţi aceasta. Cum se defineşte raportul armonic? Figuraţi o diviziune armonică. Ce proprietate rezultă în cazul alegerii punctului A ca origine la o diviziune armonică şi exprimaţi aceasta prin formula corespunzătoare. 58

58 pe Ce proprietate rezultă în cazul alegerii mijlocul segmentului AB ca origine la o diviziune armonică şi exprimaţi aceasta prin formula corespunzătoare. Descrieţi modul de obţinere a unei diviziuni armonice, când se dau punctele A,B şi D. Cum se defineşte fasciculul armonic? Enunţaţi teorema referitoare la fasciculul armonic. Transformarea omografică (proiectivă) între forme de ordinul I (definiţie, formulă, determinantul omografiei şi cele 3 cazuri de omografii). Câţi parametri independenţi conţine transformarea omografică între forme de ordinul I (precizaţi formula din care rezultă) şi câte perechi de puncte corespondente (cu coordonate şi P P) trebuie cunoscute pentru determinarea lor? Definiţi ecuaţia proiectivităţii (în forma generală şi sub formă de determinant, având în vedere câte perechi de puncte corespondente sunt necesare pentru determinarea proiectivităţii între două punctuale). Definiţi punctele limită (de fugă) şi P P două punctuale proiective, respectiv, (ce reprezintă ele) şi precizaţi principala proprietate în legătură cu acestea. Definiţi punctualele asemenea şi precizaţi ecuaţia proiectivităţii în acest caz (în forma generală şi sub formă de determinant). Definiţi ecuaţia proiectivităţii în cazul punctualelor asemenea, când originile absciselor se află în două puncte omologe şi exemplificaţi acest caz. Enunţaţi cele două teoreme privind perspectivitatea în cazul punctualelor proiective şi respectiv al fasciculelor proiective. Enunţaţi teorema lui Pappus şi definiţi axa proiectivităţii, prezentând şi figura corespunzătoare. Definiţi ecuaţia proiectivităţii (în forma generală şi sub formă de determinant) în cazul corespondenţei proiective între fascicule de drepte. Exemplificaţi generarea a două fascicule proiective. Definiţi centrul proiectivităţii, prin dualitate faţă de axa proiectivităţii. Enunţaţi teorema referitoare la centrul proiectivităţii (în cazul fasciculelor de drepte). Definiţi punctele duble în cazul proiectivităţii între punctuale cu baze suprapuse şi particularizaţi ecuaţia proiectivităţii pentru punctele duble, cu cele 3 situaţii în funcţie de discriminant, precum şi în cazul particular al punctualelor asemenea. Descrieţi modul concret de determinare a punctelor duble prin metoda Chasles. 59

59 Definiţi razele duble în cazul proiectivităţii între fascicule cu vârfuri suprapuse şi particularizaţi ecuaţia proiectivităţii pentru razele duble, cu cele 3 situaţii în funcţie de discriminant. Exemplificaţi generarea a două fascicule proiective cu vârfuri suprapuse şi caracterizaţi razele duble în acest caz. Enunţaţi şi demonstraţi cele două proprietăţi ale dreptelor izotrope în cazul fasciculelor proiective cu vârfuri suprapuse. Enunţaţi teorema lui Laguerre şi evidenţiaţi importanţa ei. Definiţi punctualele involutive şi precizaţi ecuaţia proiectivităţii în acest caz (în forma generală şi sub formă de determinant) Definiţi punctul central C în cazul involuţiei între două punctuale cu baze suprapuse şi precizaţi principala proprietate în legătură cu acesta. Particularizaţi ecuaţia involuţiei în cazul punctualelor cu baze suprapuse pentru punctele duble cu cele 3 situaţii în funcţie de discriminant, precum şi pentru cazul particular al punctualelor asemenea. Exemplificaţi generarea a două punctuale involutive şi deduceţi ecuaţia involuţiei în acest caz. Definiţi fasciculele involutive şi precizaţi ecuaţia proiectivităţii în acest caz (în forma generală şi sub formă de determinant). Particularizaţi ecuaţia involuţiei în cazul fasciculelor proiective cu vârfuri suprapuse pentru razele duble şi prezentaţi cele 3 situaţii în funcţie de discriminant. Exemplificaţi generarea a două fascicule involutive şi caracterizaţi razele duble ale acestei involuţii. Definiţi şi caracterizaţi coordonatele omogene pe dreaptă şi precizaţi punctele fundamentale ale dreptei. 2. GEOMETRIA PLANULUI (2D) 2.1. Coordonate carteziene în plan Vom avea în vedere aici doar sistemele de coordonate ortogonale. Astfel, fiecărui punct din plan i se pot asocia două coordonate: abscisa x şi ordonata y (fig.29). Reciproc, fiecărei perechi de numere reale, îi corespunde un punct în plan. 60

60 y P(x,y) + O x Fig.29. Sistem de coordonate carteziene în plan De asemenea, se poate preciza că sensul pozitiv al rotaţiei în plan este de la axa R Rcătre RR, pe drumul cel mai scurt (justificarea va fi dată în capitolul 3, în legătură cu sistemele de coordonate spaţiale) Transformarea conformă liniară în plan Se vor avea în vedere două tipuri de sisteme de coordonate: - sistem de referinţă, considerat fixat şi - sistem arbitrar, care poate suferi modificări de scară, rotaţii şi translaţii. Se presupune mai întâi că sistemul arbitrar este în coincidenţă cu sistemul de referinţă (fig.30) 61

61 Y y P O x X Fig.30. Sistemul arbitrar în coincidenţă cu sistemul de referinţă În consecinţă,, 64 având în vedere că aceste egalităţi sunt valabile pentru toate punctele din plan. Considerând acum o diferenţă de scară între cele două sisteme, relaţia (64) devine: 65 de unde este factorul de scară. O astfel de situaţie apare de exemplu în fotogrametrie, având în vedere că o imagine fotografică reprezintă terenul la o anumită scară. Pe de altă parte, se poate observa că relaţia (65) poate fi scrisă simplificat, sub forma: 66 deoarece un vector având componente notate cu litere diferite, poate fi reprezentat prin prima componentă. Pentru a evidenţia acest mod de 62

62 reprezentare matriceală a unui vector, se obişnuieşte ca această primă componentă să fie subliniată. Dacă se presupune sistemul arbitrar rotit cu un unghi pozitiv γ (de la X către Y, după cum s-a arătat în paragraful anterior) în raport cu sistemul de referinţă (fig. 31), legătura dintre coordonatele unui punct oarecare P în cele două sisteme se poate exprima prin relaţiile: Y y P y y Y x x Y x O X Fig.31. Sistem arbitrar rotit faţă de sistemul de referinţă X 67 sau, 68 şi, simplificat, sub forma 69 unde este matricea rotaţiei plane γ. Pe de altă parte, translaţiile sistemului arbitrar în raport cu cel de referinţă (fig. 32) se pot exprima prin relaţiile: 63

63 70 sau, simplificat, 71 unde X 0 şi Y 0 sunt coordonatele originii sistemului arbitrar, în raport cu cel de referinţă. Fig.32. Translaţiile sistemului arbitrar în raport cu cel de referinţă Definiţie. Transformarea care conţine atât modificarea scării, cât şi rotaţia şi translaţia sistemului arbitrar (fig. 33) se numeşte transformare conformă liniară în plan sau, transformare ortogona lă plană şi se exprimă prin relaţiile: sau, simplificat,

64 Fig.33. Elementele transformării conforme liniare în plan Dacă se notează: (74) relaţiile (72) devin: 75 sau, 76 65

65 Această transformare depinde de 4 parametri independenţi (a 0, b 0, a 1, b 1 ) conţinând factorul de scară m, rotaţia γ şi translaţiile X 0, Y 0. Punând în evidenţă parametrii transformării, relaţiile (76) se pot scrie sub forma: Având în vedere că pentru un punct se pot scrie două relaţii de forma (77), pentru două puncte având coordonate în ambele sisteme R1R,R1R,R1R,R1R,R2R,R2R,R2R,R2 R se poate forma un sistem de 4 ecuaţii cu 4 necunoscute. Pentru o bună soluţie numerică, cele două puncte vor trebui să fie cât mai depărtate (unul de altul). În cazul coordonatelor obţinute prin măsurători, la determinarea parametrilor se va utiliza metoda pătratelor minime (metoda celor mai mici pătrate) şi, în consecinţă, vor trebui cunoscute coordonatele (în cele două sisteme) pentru un număr de puncte 2 (de asemenea, cât mai depărtate unul de altul) Transformarea afină în plan Faţă de transformarea conformă, transformarea afină are în vedere două tipuri de deformaţii: neortogonalitatea axelor sistemului arbitrar şi scară diferită pe cele două direcţii. Vom presupune mai întâi că faţă de sistemul de referinţă (considerat ortogonal), sistemul arbitrar prezintă o neortogonalitate ε evidenţiată fie pe direcţia y (fig.34a), fie pe direcţia x (fig.34b). 66

66 Y y P y Y P y Y x Y x O x X x X O X X a). b). Fig.34. Neortogonalitatea axelor sistemului arbitrar Din figura 34a se poate deduce: 78 Având în vedere că neortogonalitatea ε are o valoare mică, se pot face aproximaţiile: şi prin urmare, relaţiile (78) devin (în radiani) Similar, pentru cazul prezentat în figura 34b, se obţin relaţiile: Referitor la acest al doilea caz, se poate remarca faptul că rotind sistemul astfel încât axa R să se suprapună peste, se obţine primul caz. Prin urmare, cele două cazuri nu sunt distincte, dacă transformarea conţine şi o rotaţie. 67

67 În ceea ce priveşte al doilea tip de deformaţii, se va presupune că transformarea de scară nu mai este uniformă, ci diferă pe cele două direcţii. Aceasta se poate exprima prin relaţiile: sau, considerând, iar conţinând o corecţie dm faţă de acesta, se poate scrie: Y y O x X Fig.35. Transformarea de scară neuniformă După cum se poate observa din figura 35, o astfel de transformare face ca un pătrat (figurat prin linii întrerupte) să devină un dreptunghi alungit pe direcţia x (ca în această figură), sau pe direcţia y. Definiţie. Transformarea care conţine pe lângă aceste două deformaţii (neortogonalitate şi scară diferită) o rotaţie plană şi translaţia originii sistemului arbitrar X 0,Y 0 se numeşte transformare afină în plan şi se poate exprima prin relaţiile:

68 Se poate observa că s-a avut în vedere doar primul caz de neortogonalitate, deoarece transformarea (83) conţine şi o rotaţie şi prin urmare (după cum s-a arătat anterior), în această situaţie, cele două cazuri de neortogonalitate nu sunt distincte. De asemenea, se poate remarca faptul că transformarea (83) nu este liniară în raport cu 4 din cei 6 parametri,,,,,, primii doi intervenind liniar. Dezvoltând însă relaţiile (83) şi notând: (84) se obţine: (85) Aceste relaţii conţin, desigur, tot 6 parametri,,,,,, dar sunt liniare în raport cu aceştia. Este important însă a reţine ce elemente conţin aceşti parametri (în special cele două deformaţii), pentru a şti când trebuie aplicată transformarea conformă şi când cea afină. De exemplu, aparatele la care se măsoară coordonatele-imagine pe fotograme prezintă (inevitabil) mici neortogonalităţi ale axelor şi mici diferenţe de scară pe cele două direcţii şi în consecinţă, coordonatelor măsurate trebuie să li se aplice transformarea afină. Pe de altă parte, se observă că cele două relaţii (85) sunt independente (privind parametrii necunoscuţi), ceea ce se poate evidenţia în reprezentarea matriceală:

69 sau, 1 87 respectiv, 1 88 Având în vedere că pentru un punct se pot scrie două relaţii (una pentru X şi una pentru Y), pentru 3 puncte având coordonate în ambele sisteme,,,,,,,,,,, se pot forma două sisteme de câte 3 ecuaţii cu 3 necunoscute, care se rezolvă independent. Ca şi în cazul transformării conforme, punctele trebuie să fie cât mai depărtate (unul de altul). În cazul coordonatelor obţinute prin măsurători, la determinarea parametrilor se va utiliza metoda pătratelor minime şi, în consecinţă, vor trebui cunoscute coordonatele (în cele două sisteme) pentru un număr de puncte 3 (de asemenea, cât mai depărtate unul de altul). Pe de altă parte, relaţiile (87) şi (88) evidenţiază un avantaj deosebit în cazul aplicării metodei pătratelor minime şi anume, obţinerea aceleiaşi matrice a coeficienţilor sistemului de ecuaţii normale (pentru X şi pentru Y), diferind doar termenii liberi. În particular, dacă cele două sisteme de coordonate au aceeaşi origine, sau originile se află în puncte corespondente (de exemplu, centrele de greutate ale punctelor în cele două sisteme), dispar translaţiile a 0, b 0 şi se obţine transformarea centro-afină conţinând 4 parametri şi ale cărei formule rezultă prin particularizarea relaţiilor (85): (89) 70

70 2.4. Transformarea plană neliniară, utilizând polinoame În general, polinoamele în ş i sunt de forma: 90 Pentru un polinom de ordinul n, numărul parametrilor transformării este dat de relaţia: şi este evident că acesta (n p ) creşte foarte rapid cu ordinul n. Referitor la relaţiile (90), trebuie precizat că practic se folosesc doar forme particulare reduse ale acestora, dintre care vom prezenta 4 astfel de forme reduse, utilizate în fotogrametrie. a. Polinoame de ordinul II cu 4 termeni: 92 După cum se poate observa, aceste relaţii diferă de cele definind transformarea afină (85) prin ultimul termen (de formă hiperbolică) şi reprezintă o transformare biliniară. Având în vedere că această transformare conţine 8 parametri necunoscuţi, iar pentru un punct se pot scrie două relaţii de forma (92), pentru determinarea acestor parametri vor fi necesare 4 puncte (respectiv 4 puncte în cazul aplicării metodei pătratelor minime) având coordonate cunoscute în cele două sisteme. De asemenea, se poate remarca faptul că cele două relaţii (92) sunt (ca şi la transformarea afină) independente şi deci, rezolvarea se face separat pentru cele două coordonate (X,Y). b. Polinoame de ordinul II cu 5 termeni: 93 Se observă că faţă de transformarea anterioară (biliniară), aici apare în plus termenul parabolic (în ). De asemenea, şi în acest caz, cele două relaţii 71

71 (în X şi Y) sunt independente în raport cu parametrii necunoscuţi şi pot fi tratate separat. Având în vedere că relaţiile (93) conţin 10 parametri, iar pentru un punct se pot scrie două relaţii (în şi ), pentru determinarea acestor parametri vor fi necesare 5 puncte (respectiv 5 puncte în cazul aplicării metodei pătratelor minime) având coordonate cunoscute în cele două sisteme. c. Polinoame de ordinul II cu 5 termeni, da r c u parametri comuni: După cum se poate observa, primi 3 termeni reprezintă transformarea conformă liniară în plan. De asemenea, se poate remarca faptul că 4 din cei 6 parametri sunt comuni,,,. Având în vedere că pentru un punct se pot scrie două relaţii, pentru determinarea celor 6 parametri vor trebui cunoscute 3 puncte (respectiv 3 puncte în cazul aplicării metodei pătratelor minime) având coordonate cunoscute în cele două sisteme. d. Transformarea co nformă de ordinul II în plan: Ca şi în cazul anterior, 4 din cei 6 parametri (cu aceleaşi notaţii) sunt comuni, apărând în plus termenii în. Prin urmare, vor fi valabile consideraţiile de la punctul anterior, privind numărul de puncte necesare pentru determinarea parametrilor necunoscuţi. Pe de altă parte, trebuie remarcat caracterul de transformare conformă, care face ca o reţea rectangulară, deşi se transformă într-o reţea de curbe de ordinul II, intersecţiile acestor curbe să se realizeze în unghi drept (fig.36). 72

72 Fig.36. Ilustrarea transformării conforme de ordinul II în plan 2.5. Transformarea omografică (proiectivă) între forme de ordinul II Dintre formele de ordinul II (prezentate în capitolul introductiv), cea mai reprezentativă (şi aplicativă) formă o constituie planul punctat. Omografia (sau coliniaţia) între două plane ş se poate exprima prin relaţii ce se pot deduce (intuitiv) din formula (21) reprezentând transformarea omografică între forme de ordinul I, având în vedere însă că în plan intervin câte două coordonate:, respectiv P P,P P. În consecinţă, transformarea omografică între două plane se poate exprima prin relaţiile: Determinantul (96) 73

73 se numeşte determinantul omografiei. Dacă 0, omografia este proprie, iar dacă 0, omografia este improprie. Pe de altă parte, se poate remarca faptul că relaţiile (96) fiind fracţionare, se pot împărţi cu şi notând, rezultă: De aici se poate deduce că o transformare omografică între două plane este definită de 8 parametri independenţi,,,,,,,, pentru determinarea cărora este necesară cunoaşterea coordonatelor,, P P,P P pentru 4 perechi de puncte corespondente (având în vedere că pentru o pereche de puncte omologe se pot scrie două ecuaţii de forma (97)). În plus, pentru ca omografia să fie proprie 0, trebuie ca 3 din cele 4 puncte să nu fie coliniare. O aplicaţie semnificativă a acestei transformări este redresarea fotogrametrică. Astfel, dacă terenul poate fi considerat plan şi orizontal (evident, în anumite limite), atunci problema care se pune constă în corespondenţa proiectivă între două plane (fotogramă-teren). Deoarece imaginea fotografică preluată din avion nu este orizontală (datorită înclinărilor avionului) şi este la o scară arbitrară, pentru a putea fi folosită la întocmirea unui fotoplan, ea va trebui redresată adică, fotograma va trebui orizontalizată şi adusă la o anumită scară. Pentru aceasta, este necesară identificarea pe fotogramă a imaginilor,,, ale celor 4 puncte de reper din teren,,,, având coordonate-teren cunoscute (fig.37). Imaginile acestor puncte vor trebui să fie situate către colţurile fotogramei, pentru a fi cât mai depărtate (între ele) şi pentru a asigura condiţia ca 3 din cele 4 puncte să nu fie coliniare, adică omografia să fie proprie. Redresarea se poate realiza pe cale optico-mecanică la un aparat numit fotoredresator, sau pe cale numerică, pe baza relaţiilor (97). 74

74 să Fig.37. Ilustrarea corespondenţei proiective între planul fotogramei şi planul terenului 2.6. Transformarea prin inversiune în plan Definiţii. Proprietăţi. Teoreme După cum s-a arătat în paragraful , transformarea prin inversiune este o omografie particulară, având aplicaţii în fotogrametrie şi în cartografie. Definiţii. Fiind date: un punct fix O (numit centrul sau polul inversiunii) şi un număr algebric K (numit puterea sau modulul inversiunii), fiecărui punct M al unei figuri (F) se poate face să-i corespundă un alt punct P P, astfel încât: - punctele,, P P fie coliniare şi - să fie îndeplinită relaţia. (98) Figura (P P) astfel obţinută se numeşte transformata prin inversiune a figurii (F), sau inversa ei (fig. 38). 75

75 aceeaşi N N' O M M' (F) (F') Fig.38. Ilustrarea transformării prin inversiune Proprietăţi ale inversiunii a. Dacă figurii (P P) i se aplică din nou aceeaşi inversiune (cu acelaşi pol O şi aceeaşi putere K), se obţine figura iniţială (F). Reluând relaţia (98): şi aplicând punctului P P OM OM K inversiune, O OM K 99 se observă că din (98) se poate deduce iar din (99) rezultă Prin urmare, şi cum punctele sunt coliniare, înseamnă că şi deci transformarea prin inversiune este o transformare involutivă. 76

76 P P este o b. Produsul a două inversiuni cu centrul şi modulul, respectiv o omotetie cu centrul şi raportul de omotetie. Reluând relaţia (98) OM OM K şi aplicând punctului P P inversiune cu centrul O şi modul K, O OM se poate deduce (făcând raportul cel or două relaţii): sau, adică, figurile ş sunt omotetice. c. Se poate observa că dacă modulul inversiunii este pozitiv 0, punctele M şi M sunt de aceeaşi parte a lui (fie ambele la dreapta, fie ambele la stânga lui ), iar dacă modulul inversiunii este negativ 0, punctele M şi M sunt de o parte şi alta a polului. d. Locul geometric al punctelor duble (care coincid inverselor lor) este un cerc cu centrul în O şi cu raza 0, numit cerc de inversiune. Teoremă. La două figuri inverse ş, dreapta care uneşte două puncte M şi N ale figurii şi dreapta care uneşte punctele ş, corespondente în figura sunt antiparalele faţă de unghiul celor două raze vectoare (fig.39). 77

77 (C) N N' O (F) M ' ' T ' M' (F') Fig.39. Drepte antiparalele şi la figuri inverse ş scrie Figurile ş fiind inverse, prin definiţie, conform relaţiei (98) se poate 100 unde p este puterea punctului O, faţă de un cerc ce trece prin punctele,,,. Prin urmare, aceste puncte sunt conciclice. Rezultă că este un patrulater înscris şi deci, unghiurile opuse sunt suplementare. În consecinţă, adică, dreptele şi sunt antiparalele faţă de razele vectoare ş. Se poate observa de asemenea că, deoarece cercul de inversiune va fi cercul cu centrul O şi raza 0 şi deci cercurile ş sunt ortogonale. 78

78 P P (inversul este Teoremă fundamentală. Inversiunea conservă unghiurile, adică este o transformare conformă. Ne vom referi tot la figura 39 şi vom presupune că raza vectoare se apropie de. La limită, dreptele şi devin tangente în ş la curbele ş şi formează acelaşi unghi cu raza vectoare. De aici rezultă că unghiul a două curbe care se intersectează într-un punct M este egal cu unghiul curbelor inverse în, inversul lui M (fig. 40). M M' (F1) (F2) (F2') (F1') Fig.40. Inversiunea conservă unghiurile Se observă că unghiul celor două curbe (adică a l tangentelor) în punctele inverse şi P P egal cu: De aici se mai poate deduce că dacă curbele ş sunt tangente în, 0, iar curbele inverse ş vor fi de asemenea tangente în lui ) Figura inversă a unei drepte a. Dacă dreapta trece prin pol, inversa ei este chiar dreapta dată (fig. 41). 79

79 P P şi definesc sunt sunt aparţine, O M N N' M' Fig.41. Inversa unei drepte ce trece prin pol Conform definiţiei inversiunii, punctele,, P P coliniare şi deci P P aparţine dreptei. Similar, punctele,, P P coliniare şi deci P P dreptei. Deoarece punctele şi se află pe, rezultă că şi inversele lor P P aceeaşi dreaptă. b. Figura inversă a unei drepte care nu trece prin pol este un cerc ce trece prin pol (fig.42). M' M O P' P Fig.42. Figura inversă a unei drepte care nu trece prin pol Fie dreapta a cărei figură inversă vrem să-i determinăm (în inversiunea cu polul şi modulul K). Din punctul se coboară o perpendiculară pe şi fie piciorul acestei perpendiculare. Pe dreapta se plasează punctul P P inversul lui, astfel încât (conform definiţiei (98)). Se ia un alt punct pe şi se plasează pe punctul P P, inversul lui, astfel încât. Ca şi în cazul primei teoreme din paragraful anterior, având în vedere că 80

80 este p fiind puterea punctului faţă de un cerc ce trece prin punctele,,,, rezultă că aceste puncte sunt conciclice. Prin urmare, este un patrulater înscris şi deci unghiurile opuse sunt suplementare, de unde rezultă 2. În consecinţă, locul geometric al punctului P P un cerc care trece prin şi are diametrul P P. c. Construcţia geometrică a figurii inverse a unei drepte, având în vedere diferitele relaţii între OP şi (fig.43) Fig.43. Construcţia figurii inverse a unei drepte, când Din punctul O se coboară o perpendiculară pe şi fie piciorul acestei perpendiculare. Se construieşte semicercul cu diametrul şi se intersectează cu un arc de cerc cu centrul în şi raza, obţinând punctul R1, de unde se duce o perpendiculară pe, rezultând P P, inversul lui. 81

81 Întra-adevăr, aplicând teorema catetei în triunghiul dreptunghic R1 se obţine: Figura inversă a dreptei va fi prin urmare, cercul cu diametrul P P (conform celor arătate la punctul anterior). De asemenea, inversul oricărui punct de pe va fi P P, la intersecţia dreptei cu cercul. 2. (fig.44) Fig.44. Figura inversă a unei drepte, când În acest caz, P este punct dublu al inversiunii şi deci, dreapta este tangentă în acest punct la cercul. 82

82 3. (fig.45) Fig.45. Construcţia figurii inverse a unei drepte, când OP K Din punctul se coboară o perpendiculară pe şi fie piciorul acestei perpendiculare. Un arc de cerc () cu centrul în şi raza intersectează în punctele R1 şi R2. Tangenta în R1 (de exemplu) la () intersectează dreapta în punctul P P, inversul lui. Într-adevăr, aplicând teorema catetei în triunghiul dreptunghic R1P obţine: se Figura inversă a dreptei va fi prin urmare, cercul cu diametrul P P, conform celor arătate la punctul anterior (b). De asemenea, inversul oricărui punct de pe va fi P P, la intersecţia dreptei cu cercul. 83

83 pe Figura inversă a unui cerc a. Figura inversă a unui cerc ce trece prin pol este o dreaptă care nu trece prin pol şi este perpendiculară pe diametrul P P al cercului, ce trec prin pol. Ea se află la distanţa faţă de pol (conform relaţiei (98)). Fie cercul trecând prin pol, diametrul P P şi inversul lui P în inversiunea dată (cu polul şi modulul ); se ia un alt punct P P cerc şi inversul acestuia, astfel încât, P P, să fie coliniare şi (fig.42). Deoarece p fiind puterea punctului O faţă de un cerc ce trece prin punctele,, P P,, rezultă că aceste puncte sunt conciclice. Prin urmare P P este un patrulater înscris şi deci unghiurile opuse sunt suplementare. Astfel, având în vedere că 2 (fiind înscris în semicercul cu diametrul P P), rezultă că şi 2 şi în consecinţă 2, adică dreapta este perpendiculară pe diametrul P P al cercului. b. O dreaptă şi un cerc pot fi considerate ca două figuri inverse, luând ca centru de inversiune una din extremităţile diametrului perpendicular pe dreaptă ( sau P P) şi ca modul, respectiv (fig.42). c. Figura inversă a unui cerc ce nu trece prin pol este un cerc omotetic cu acesta (fig.46) 84

84 ia: inversul descrie B A' O A Fig.46. Figura inversă a unui cerc ce nu trece prin pol Fie date: cercul, centrul de inversiune şi modulul. O secantă dusă prin intersectează cercul în şi. Fie P P lui în inversiunea dată. Conform definiţiei inversiunii, P P se va afla pe şi va fi îndeplinită relaţ 101 Pe de altă parte, dacă se notează cu p puterea punctului O faţă de cercul, se poate scrie: 102 adică, Împărţind relaţia (101) la (102) rezultă : Prin urmare când punctul descrie cercul, P P omotetică cu, adică tot un cerc. În particular, dacă, 1 şi deci 103 o figură 85

85 coincide se şi este (fig. razele adică P P cu (punctele fiind coliniare) şi prin urmare, punctele şi sunt inverse; cu alte cuvinte, cercul este propriul său invers. d. Construcţia geometrică a figurii inverse a unui cerc, având în vedere diferitele r elaţii între P P şi (fig.45) Se construieşte cercul cu diametrul P P şi se intersectează cu un arc de cerc () cu centrul în şi cu raza, obţinând punctele R1 şi R2. Dreapta R1R2 intersectează P în, inversul lui P P. Prin natura punctelor R1 şi R2 (simetrice faţă de P P), rezultă evident că dreapta R1 R2 este dreapta căutată, adică inversa cercului şi este perpendiculară î n pe P P. În concluzie, în acest caz, dreapta intersectează cercul dat. Justificarea corectitudinii acestei construcţii se bazează (ca şi în cazul dreptei) pe teorema catetei în triunghiul dreptunghic P P. 2. (fig.44) În acest caz, P P punct dublu al inversiunii şi deci, dreapta este tangentă în acest punct la cercul. 3. (fig. 43) Din P P duce o perpendiculară pe P P şi se intersectează cu un arc de cerc cu centrul în şi raza, obţinând punctul R1, din care se duce o perpendiculară pe R1, rezultând punctul, la intersecţia cu P P. Dreapta căutată va fi perpendiculara în pe P. În concluzie, în acest caz, dreapta este exterioară cercului dat. Justificarea corectitudinii acestei construcţii se bazează (ca şi în cazul dreptei) pe teorema catetei în triunghiul dreptunghic. e. Teoremă. Două cercuri coplanare şi pot fi considerate ca figuri inverse, în raport cu fiecare din centrele lor de omotetie. Fie O centrul de omotetie directă şi respectiv P P celor două cercuri. Se consideră o secantă, ce intersectează cercul în şi, iar cercul Γ în P P P P 47). 86

86 sunt T' B' O B R T C A D O' D' A' R' C' R' B" Fig.47. Două cercuri inverse, în raport cu centrele de omotetie Din figura 47 se poate deduce: 104 şi unde p este puterea punctului O faţă de cercul. 105 Înlocuind OB din relaţia (105) în relaţia (104), rezultă 106 Prin urmare, punctele şi P P inverse în inversiunea cu polul şi modulul. Se procedează similar, pentru centrul de omotetie inversă P P. 87

87 P P faţă vor = şi Din figura 47 se poate deduce: şi 107 unde P este puterea punctului P P Înlocuind P P din relaţia (108) 108 de cercul. în relaţia (107), rezultă 109 Prin urmare, punctele şi P P sunt inverse în inversiunea cu polul P P modulul P P. În particular, dacă cercurile şi sunt tangente, P P 0 şi deci 0, rămânând doar soluţia corespunzătoare lui, iar dacă cercurile şi au raze egale, va fi la infinit, rămânând doar soluţia corespunzătoare lui P P Aplicaţii ale inversiunii în plan: inversori Definiţie. Inversorii sunt dispozitive utilizate la trasarea curbelor inverse, având aplicabilitate practică îndeosebi în fotogrametrie. Dintre diferitele tipuri de inversori, ne vom referi aici doar la inversorul Peaucellier, poate cel mai reprezentativ din punct de vedere al aplicării inversiunii în plan. Acest inversor (fig. 48) se compune din 6 bare : două de lungime a şi 4 de lungime b, formând un romb. Cele 6 bare sunt articulate în punctele,, P P,,P P. Prin construcţie, punctele,, P P fi menţinute coliniare, fiind îndeplinită deci, prima condiţie a inversiunii. 88

88 descriu va Q a b b O P d Q0 d P' a b b Din figura 48 se (F) Fig.48. Inversorul Peaucellier poate deduce : Q' (F') şi prin urmare, fiind astfel îndeplinită şi a doua condiţie a inversiunii, exprimată prin relaţia (98). Prin urmare, punctele şi P P figuri inverse, adică, atunci când punctul descrie o figură, punctul P P descrie figura inversă P P. 89

89 2.7. Coordonate omogene în plan Fie sistemul ortogonal de coordonate carteziene plane (fig. 49). Punctul P având abscisa x şi ordonata y în acest sistem, va avea 3 coordonate omogene X,Y,Z, astfel încât, 110 Ca şi în cazul dreptei, coordonatele omogene în plan au 3 proprietăţi : 1. nu pot fi toate nule simultan; 2. toate sunt finite; 3. se pot înmulţi cu acelaşi factor k, fără ca mărimile coordonatelor x şi y să se modifice. Fig.49. Coordonate carteziene în plan Dacă punctul P este situat la distanţă finită, atât x cât şi y au valori finite. Să presupunem acum că P tinde la infinit (fig. 49). Coordonatele carteziene nu ne pot preciza pe ce direcţie (,, sau o direcţie oarecare din plan ), deoarece în geometria clasică nu se poate opera cu cantităţi infinite. Acest lucru 90

90 este însă posibil, utilizând coordonate omogene. Prin urmare, coordonatele omogene prezintă avantajul de a putea opera cu cantităţi infinite. În cazul coordonatelor omogene, 0 reprezintă punctele de pe axa ; 0 reprezintă punctele de pe axa, iar 0 reprezintă punctele de pe dreapta de la infinit a planului Figura fundamentală a planului constă în două drepte la distanţă finită şi şi alta la infinit (fig. 50). Coordonatele omogene ale vârfurilor triunghiului format de cele 3 dre pte sunt : O (0, 0, 1), (1, 0,0), (0, 1, 0). Fig.50. Triunghiul fundamental al planului Această figură se numeşte triunghiul fundamental al planului şi are un punct la distanţă finită (O) şi două la infinit ( şi ). 91

91 2.8. Coordonate tangenţiale în plan Matematicianul german Plücker a considerat că o figură geometrică se poate defini nu numai prin puncte, ci şi prin alte elemente. De exemplu, să presupunem o dreaptă definită analitic prin ecuaţia Parametrii a, b, c (care definesc dreapta) pot fi consideraţi drept coordonate ale dreptei, care este determinată complet dacă se cunosc aceşti coeficienţi. Parametrii a,b,c se numesc coordonate tangenţiale sau plückeriene ale dreptei. Aceste coordonate au următoarele proprietăţi : 1. nu pot fi toate nule simultan (deoarece atunci n-ar mai exista nici dreapta); 2. toate sunt finite; 3. se pot înmulţi cu acelaşi factor k, fără ca dreapta să se schimbe. Prin urmare, coordonatele tangenţiale au aceleaşi proprietăţi ca şi coordonatele omogene ale unui punct în plan. Deci, aceste coordonate pot caracteriza atât un punct P(a,b,c), cât şi o dreaptă (a,b,c) din plan. Pentru o figură avem astfel două interpretări : una punctuală (ca totalitate a punctelor P ale ei) şi alta tangenţială (ca totalitate a tangentelor care o înfăşoară). De aici rezultă că unui punct putem face să-i corespundă o dreaptă şi invers, unei drepte să-i corespundă un punct. După cum am văzut în capitolul introductiv, acesta este principiul dualităţii în plan. Probleme Prin ce se caracterizează un sistem de referinţă şi un sistem arbitrar? Câţi parametri conţine transformarea conformă liniară în plan, care sunt aceştia şi ce semnificaţii au? Câte puncte trebuie cunoscute în cele două sisteme, pentru a determina parametrii transformării conforme liniare în plan în cazul aplicării metodei pătratelor minime şi ce condiţie trebuie să îndeplinească acestea? Ce deformaţii implică transformarea afină în plan şi cum se exprimă acestea matriceal? 92

92 Câţi parametri conţine transformarea afină în plan, care sunt aceştia şi ce semnificaţii au? Câte puncte trebuie cunoscute în cele două sisteme, pentru a determina parametrii transformării afine în plan în cazul aplicării metodei pătratelor minime şi ce condiţie trebuie să îndeplinească acestea? Prin ce se caracterizează transformarea centro-afină în plan şi care sunt formulele corespunzătoare? Prin ce se caracterizează transformarea biliniară în raport cu cea afină şi care sunt formulele corespunzătoare? Cum se manifestă transformarea conformă de ordinul II în plan (ce îi conferă caracterul de transformare conformă)? Transformarea omografică (proiectivă) între forme de ordinul II (formule, parametri independenţi); precizaţi câte perechi de puncte corespondente trebuie cunoscute pentru determinarea parametrilor şi ce condiţie trebui să îndeplinească acestea. Exemplificaţi transformarea omografică între forme de ordinul II în fotogrametrie. Definiţi inversiunea în plan şi elementele ce o caracterizează. Precizaţi proprietăţile inversiunii în plan. Enunţaţi cele două teoreme referitoare la inversiunea în plan. Definiţi cele două cazuri privind figura inversă a unei drepte (când trece şi când nu trece prin pol). Descrieţi şi justificaţi figurile geometrice referitoare la cele 3 cazuri caracteristice privind figura inversă a unei drepte. Definiţi cele două cazuri privind figura inversă a unui cerc (când trece şi când nu trece prin pol). Descrieţi şi justificaţi construcţiile geometrice referitoare la cele 3 cazuri caracteristice privind figura inversă a unui cec. Enunţaţi teorema referitoare la două cercuri coplanare şi centrele lor de omotetie şi precizaţi ce se întâmplă când cercurile sunt tangente şi când cercurile au raze egale. Definiţi inversorii, prezentaţi inversorul Peaucellier şi arătaţi cum se realizează cele două condiţii ale inversiunii în acest caz. Definiţi şi caracterizaţi coordonatele omogene în plan şi descrieţi figura fundamentală a planului. Definiţi coordonatele tangenţiale ale unei drepte, precizaţi proprietăţile acestor coordonate şi legătura lor cu coordonatele omogene ale unui punct din plan. 93

93 3. GEOMETRIA SPAŢIULUI (3D) 3.1. Sisteme de coordonate spaţiale Vom avea în vedere aici doar sistemele de coordonate rectangulare (triedre rectangulare), care pot fi de dispunere pozitivă sau negativă. Un sistem este de dispunere pozitivă, dacă sensul rotaţiei axei X către Y pe drumul cel mai scurt coincide cu sensul pozitiv al rotaţiei în jurul axei Z (fig.51a) şi este de dispunere negativă în caz contrar (fig.51b). Această definiţie poate fi formulată similar, dacă în locul axelor X,Y,Z, se consideră Y,Z,X, sau Z,X,Y (după cum se poate observa în figura 51a). Z Z O Y O X X a). Y b). Fig.51. Sisteme de dispunere pozitivă (a) şi de dispunere negativă (b) Un sistem de dispunere pozitivă se mai numeşte triedru rectangular drept, sau de sens direct, iar un sistem de dispunere negativă se mai numeşte triedru rectangular stâng, sau de sens invers. Pe de altă parte, după cum se ştie, sensul pozitiv al rotaţiei în jurul unei axe este dat de regula burghiului (sau a şurubului) şi anume, rotaţia este pozitivă, dacă imprimă burghiului (şurubului) înaintarea în sensul pozitiv al axei. Se poate preciza de asemenea că, pentru generalitate, după cum s-a menţionat şi în capitolul introductiv, rotaţiile în jurul axelor X,Y,Z, se notează aici cu,,, urmând a fi particularizate cu notaţiile proprii diferitelor discipline din 94

94 domeniul măsurătorilor terestre. Astfel, în fotogrametrie, aceste rotaţii se notează respectiv cu,,. Pe de altă parte, ca şi în cazul sistemelor de coordonate plane, vom avea în vedere aici două tipuri de sisteme: - sistem de referinţă, considerat fixat şi - sistem arbitrar, care poate suferi modificări de scară, rotaţii şi translaţii. Deoarece rotaţia spaţială necesită o tratare mai amănunţită, vom începe cu dezvoltarea diferitelor aspecte legate de aceasta Rotaţia spaţială Condiţiile de ortogonalitate. Proprietăţile matricelor ortogonale Se consideră două sisteme de coordonate ortogonale spaţiale: (sistem de referinţă) şi (sistem arbitrar, rotit), ambele de dispunere pozitivă şi având aceeaşi origine O (fig.52). z Z P y Z z x X O Y y X Y x Fig.52. Rotaţia spaţială Relaţiile dintre coordonatele X,Y,Z ale unui punct P în sistemul de referinţă şi coordonatele x,y,z ale aceluiaşi punct în sistemul rotit se pot exprima (după cum se ştie din geometria analitică) sub forma : 95

95 (112) sau, sub formă matriceală, (113) Având în vedere observaţiile de la paragraful 2.2, relaţiile (113) se pot scrie simplificat : (114) unde şi sunt vectorii coordonatelor în cele două sisteme, iar R este matricea de rotaţie spaţială. Elementele ale matricei R sunt cosinusurile directoare ale axelor (,, în raport cu axele O(X, Y, Z) şi se pot deduce din relaţiile (112):,,,,,, (115),,, Exprimând pătratul distanţei de la originea O la punctul P 22222, pe baza relaţiilor (112) şi a formulei 222 se obţine (însumând termenii pe coloane) : Prin urmare, coeficienţii lui,, vor trebui să fie egali cu 1, iar ceilalţi egali cu z ero. În conseci nţă, vor trebui satisf ăcute relaţiile :

96 1 0 (116) 1 0 Se poate deduce astfel, că cele 9 elemente ale matricei de rotaţie R nu sunt independente, trebuind să satisfacă 6 condiţii de ortogonalitate (116). Prin urmare, matricea de rotaţie R va depinde numai de 3 parametri independenţi. Ca parametri independenţi se pot considera fie 3 elemente ale matricei de rotaţie, nelegate print-una din relaţiile (116), (de exemplu,,, ), exprimând celelalte 6 elemente în funcţie de acestea, fie cele 3 rotaţii plane,, în jurul celor 3 axe, exprimând cosinusurile directoare în funcţie de ele. În cazul transformării inverse, considerând sistemul fixat şi rotit, relaţiile dintre coordonatele,, ş,, se pot exprima (asemănător relaţiilor (112)) sub forma : (117) sau, sub formă matriceal ă : adică, simplificat, (118) (119) Elementele matricei de rotaţie sunt cosinusurile directoare ale axelor,, în raport c u axe le,, şi, având în vedere relaţiile (115) rezultă :,,,,,,,,, Prin urmare, matricea este transpusa matricei R : 120 şi deci, relaţia (119) devine : 97

97 121 Se observă totodată că rotaţia inversă se exprimă prin matricea transpusă. Substituind din (121) în relaţ ia (114), rezultă : de unde se poate deduce şi deci, Pe de altă parte, se ştie că ( matricea unitate) proprietate specifică matricelor ortogonale. (122) Prin urmare, matricea de rotaţie R este o matrice ortogonală. Pe lângă proprietatea (122) şi condiţiile de ortogonalitate (116), matricele ortogonale mai au următoarele proprietăţi (pe care le particularizăm pentru matricea de rotaţie R) : - determinanţii matricelor, ş au valoarea 1, adică, semnul fiind + când cele două sisteme de coordonate au aceeaşi dispunere şi - dacă sistemele sunt de dispunere diferită; - fiecare element al matricei R este egal cu complementul său algebric (cofactorul), adică minorul cu semnul 1 : 124 etc. - între elementele liniilor matricei R există relaţii de acelaşi tip cu condiţiile de ortogonalitate (116), deoarece şi matricea este ortogonală :

98 1 0 (125) Determinarea rotaţiei spaţiale prin 3 rotaţii plane După cum s-a arătat în paragraful precedent, matricea R corespunzătoare rotaţiei spaţiale depinde de 3 parametri independenţi. Ca parametri independenţi se pot considera cele 3 rotaţii plane,, respectiv în jurul axelor,,. a. Rotaţia (în jurul axei ) z Z Z y P z + y z y O Y Y X x Fig.53. Rotaţia în jurul axei Conform regulii burghiului, rotaţia este pozitivă în sens antiorar (de la Y spre Z). Cu ajutorul figurii 53 se pot deduce relaţiile dintre coordonatele unui punct P, în cele două sisteme : sau, matriceal, 99

99 adică, simplificat, b. Rotaţia (în jurul axei y) Având în vedere că rotaţia este pozitivă în sens orar (de la Z către X), se pot deduce (cu ajutorul figurii 54) relaţiile dintre coordonatele unui punct P, în cele două sisteme : Z z O Z z x y x Y X z P + X x Fig.54. Rotaţia în jurul axei sau, matriceal,

100 adică simplificat, 129 c. Rotaţia (în jurul axei z) y Y Y x P y + x y x O X Fig.55 Rotaţia în jurul axei z X Această rotaţie, care a mai fost tratată în paragraful 2.2 (la transformarea conformă liniară în plan) va fi completată aici cu relaţia (deoarece rotaţia se efectuează în jurul axei z). Având în vedere că rotaţia este pozitivă în sens antiorar (de la X spre Y), se pot deduce (cu ajutorul figurii 55) relaţiile dintre coordonatele unui punct P, în cele două sisteme: sau, matriceal, 101

101 adică, simplificat, Matricea R corespunzătoare rotaţiei spaţiale se va obţine ca produs al celor 3 rotaţii plane, considerate într-o anumită succesiune. Astfel, presupunând că rotaţiile se efectuează în ordinea,,, coordonatele transformate în cele 3 etape succesive vor fi date de relaţiile : Prin urmare,,, (conform relaţiei (114)). De aici rezultă : 132 Se poate deduce că, dacă rotaţiile se efectuează în ordinea,,, matricele de rotaţie corespunzătoare se înmulţesc în ordine inversă. Trebuie remarcat de asemenea, că produsul a 3 matrice ortogonale este tot o matrice ortogonală. Expresiile cosinusurilor directoare care definesc matricea R în forma (132) se obţine efectuând produsul celor 3 matrice, definite explicit în relaţiile (126), (128) şi (130) : Presupunând acum că rotaţiile se efectuează în ordinea,,, matricea de rotaţie spaţială R va fi dată de produsul : 102

102 Bazel e geometrice ale fotogrametriei 134 şi va avea forma : (135) Se observă deci, că pentru o altă succesiune a rotaţiilor, se obţin alte expresii ale cosinusurilor directoare. Se pot determina astfel 6 variante ale matricei de rotaţie, având în vedere numărul de permutări corespunzătoare matricelor, ş 3!6. Adică, aceeaşi rotaţie spaţială poate fi exprimată în 6 moduri distincte, în funcţie de cele 3 rotaţii plane. Din punct de vedere algebric, explicaţia este simplă : produsul matriceal nu este comutativ. Din punct de vedere geometric, trebuie remarcat faptul că mărimile celor 3 rotaţii diferă de la un caz la altul (fiind definite diferit), după cum rotaţia respectivă este primară, secundară, sau terţiară, având în vedere că rotaţiile se efectuează succesiv. Astfel, pentru o anumită matrice de rotaţie R, adică, pentru anumite valori ale cosinusurilor directoare, se pot determina mărimile celor 3 rotaţii plane, corespunzătoare oricăreia din cele 6 forme ale matricei R. De exemplu, din (133) se poate deduce :,, 136 iar din (135) rezultă :,, 137 Se observă că pentru ca mărimea rotaţiei să fie aceeaşi în cele două forme, ar trebui ca să fie egal cu 1, adică 0. Acelaşi raţionament se poate aplica şi pentru. În ceea ce priveşte rotaţia, egalând expresiile corespunzătoare (pentru tg ), rezu ltă : adică, 0 dar, conform proprietăţii (125) a matricelor ortogonale, ar trebui îndeplinită relaţia 103

103 0 Pentru ca termenul să fie egal cu zero, ar trebui ca sau să fie nule. Pe de altă, parte trebuie remarcat că, în cazul transformării inverse, definită de relaţia (121), matricea de rotaţie se obţine conform regulii de transpunere a unui produs matriceal. Astf el, pentru matricea (132) rezultă : iar pentru matricea (134), Prin urmare, celor 6 forme ale matricei R, le vor corespunde 6 forme ale matricei. unde, În particular, în cazul rotaţiilor mici, se pot face aproximaţiile : (în radiani) cos 1,, Introducând aceste aproximaţii în oricare din cele 6 forme ale matricei de rotaţie şi neglijând produsele elementelor diferenţiale, se obţine (în formă unică) matricea rotaţiilor diferenţiale : Aceasta reprezintă forma liniarizată a matricei de rotaţie. Se observă însă, că această matrice nu mai este strict ortogonală, deoarece nu mai satisface riguros condiţiile de ortogonalitate (116). Pe de altă parte, se poate remarca faptul că matricea dr (138) poate fi scrisă sub forma :

104 unde I este matricea unitate, iar este matricea antisimetrică a rotaţiilor diferenţiale Formarea matricei ortogonale în funcţie de 3 din elementele sale După cum s-a arătat anterior,matricea de rotaţie depinde de 3 parametri independenţi,care pot fi consideraţi în diferite moduri. Astfel, ca parametri independenţi se pot lua 3 din elementele matricei de rotaţie, de exemplu cele situate deasupra diagonalei principale,,, celelalte 6 elemente obţinându-se pe baza condiţiilor de ortogonalitate (116) şi a proprietăţilor matricelor ortogonale (124) şi (125). Fie matricea de rotaţie spaţial ă Etapa 1 : se obţin mărimile ş, având în vedere că suma pătratelor elementelor pe linii şi pe coloane trebuie să fie egală cu 1 : 1 (140) 1 În ceea ce priveşte semnul radicalului, acesta va fi + în cazul frecvent al sistemelor de aceeaşi dispunere, când elementele de pe diagonala principală a matricei R sunt pozitive. Etapa a 2-a : se determin ă ş pe baza relaţiilor : 0 (141) 105

105 reprezentând un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute. Din a doua ecuaţie a sistemului (141), se poate deduce : 142 şi, substituind în prim a ecuaţie din ( 141), rezu ltă : Având în vedere că 0 (axele ş nu pot fi perpendiculare), prin multiplicarea relaţiei ( 143) cum se obţin e : de unde rezultă : unde (din motive numerice ) s-a înlocuit 1. După calculul mărimii cu formula (144), se poate determina pe baza relaţiei (142). Etapa a 3-a : se determină ş pe baza proprietăţilor (124), mai avantajoase din punct de vedere numeric decât (116), care ar implica radicali : (145) Trebuie subliniată necesitatea determinării elementelor matricei R în ordinea (140), (144), (142), (145), având în vedere că (succesiv), în aceste formule intervin mărimi care se obţin prin relaţiile anterioare. Pentru aplicarea practică a acestor formule este însă necesară definirea cosinusurilor directoare,,, pe baza cărora se calculează celelalte 6 elemente ale matricei de rotaţie R. Este important de precizat că aceste relaţii pot fi aplicate doar în cazul rotaţiilor mici (de altfel, cazul obişnuit în aerofotogrametrie), când se pot face aproximaţiile : 106

106 (146) prin analogie cu matricea rotaţiilor diferenţiale (138). Aici însă, spre deosebire de matricea (138), se obţine o matrice strict ortogonală. Totuşi, având în vedere limitarea utilizării acestor formule la cazul rotaţiilor mici, trebuie subliniat faptul că determinarea matricei de rotaţie în forma prezentată în paragraful anterior este mai generală şi deci este mai recomandabilă din punct de vedere practic Transformarea conformă tridimensională (3D) Forma generală a transformării conforme tridimensionale Definiţie. Transformarea care, pe lângă rotaţia spaţială R (tratată în paragraful anterior), conţine modificarea scării (cu un factor m) şi translaţia originii sistemul arbitrar în raport cu cel de referinţă,, se numeşte transformare conformă spaţială (tridimensională) sau, transformare ortogonală spaţială (tridimensională) şi reprezintă (matematic) o similitudine (asemănare). Elementele acestei transformări sunt prezentate în figura

107 z Z y x0 y0 o z0 O x Z0 Y X0 X Y0 Fig.56. Elementele transformării conforme spaţiale În acest caz, relaţiile dintre coordonatele unui punct în sistemul de referinţă şi coordonatele aceluiaşi punct în sistemul arbitrar vor fi de forma : sau, cu notaţii simplificate, (147) (148) Această transformare conţine 7 parametri independenţi (3 translaţii,,, factorul de scară şi 3 rotaţii,, în matricea de rotaţie R). Ea va fi utilizată în fotogrametrie la orientarea absolută a stereomodelului în raport cu terenul. În cazul transformării inverse, presupunând sistemul fixat şi sistem arbitrar, se va determina vectorul în funcţie de, pornind de la relaţia (148) : 108

108 de unde, având în vedere că m este scalar şi înmulţind la stânga ambii termeni ai egalităţii cu (conform relaţiei (122)), se obţine : sau, dezvoltat, (149) Dacă se notează 1 relaţia (149) devine : (151) sau, dezvoltat, (152) În această formă, apar explicit translaţiile sistemului arbitrar (aici, ) în raport cu sistemul considerat fixat,,. De asemenea, se poate remarca faptul că translaţiile,, sunt negative, după cum se observă şi din figura Forma liniarizată a transformării conforme 3D Se poate constata uşor că în forma (147), transformarea conformă spaţială (3D) nu este liniară în raport cu parametrii necunoscuţi (de fapt, în raport cu 4 dintre aceştia :,,, ). Deoarece pentru a putea determina parametrii necunoscuţi trebuie utilizate ecuaţii liniare, relaţiile (147) vor trebui liniarizate. Definiţie. Forma liniarizată este o formă diferenţială, prin care se pot obţine corecţii ale parametrilor, pe baza unor valori aproximative ale acestora. Se presupune deci, că s-a făcut în prealabil o transformare aproximativă (utilizând valori aproximative ale parametrilor), urmând a se determina (iterativ) corecţii ale acestora. Prin urmare, 109

109 - în locul factorului de scară, se va considera 1; - în locul matricei d e rotaţie, se va considera RR; - în locul translaţiilor,,, se vor considera corecţiile 0,,. Se poate observa că 1 este element neutru la înmulţirea cu scalari, I este element neutru la înmulţirea matriceală, iar 0 este element neutru la adunare (translaţiile intervenind aditiv). Trebuie precizat însă faptul că înlocuirea translaţiilor,, cu corecţiile diferenţiale,, nu este obligatorie, deoarece acestea intervin liniar în relaţiile (147), dar este recomandabilă, din considerente numerice (pentru omogenitatea valorilor). Cu înlocuirile menţionate, relaţ ia (148) devine : 1 De aici, neglijând termenul de ordinul II diferenţial, se obţine : adică, dezvoltat, Având în vedere faptul că valorile,, obţinute în urma transformării preliminare (pe baza valorilor aproximative ale parametrilor) sunt destul de apropiate de valorile,, (respectiv), se va putea nota : şi, având în vedere rezultatul ultimului produs (matri ceal), relaţia (153) devine 154 Pentru rezolvarea practică a acestei probleme, este util să evidenţiem corecţiile celor 7 parametri ai transformării. Astfel, relaţiile (154) se vor putea scrie sub forma : 110

110 Pentru determinarea celor 7 corecţii, va trebui format un sistem de 7 ecuaţii liniare cu 7 necunoscute. Având în vedere că pentru un punct (cu coordonate cunoscute în ambele sisteme) se pot forma 3 ecuaţii, pentru două puncte vor rezulta 6 ecuaţii, iar pentru al treilea punct va trebui formată ecuaţia în Z (deoarece pentru determinarea rotaţiei spaţiale sunt necesare 3 puncte cu cote cunoscute). Se poate remarca de asemenea, că cele trei translaţii se pot obţine cu ajutorul unui singur punct (cunoscut în cele două sisteme), iar factorul de scară este determinat de două puncte, adică de distanţele corespunzătoare dintre acestea. Desigur, însă, cei 7 parametri se determină simultan, prin rezolvarea sistemului de ecuaţii corespunzător. Pe de altă parte, se observă că ecuaţia în Z conţine toate cele 3 coordonate,, şi prin urmare, coordonatele,, vor trebui cunoscute pentru toate cele 3 puncte. În plus, cele 3 puncte trebuie să fie necoliniare şi cât mai depărtate (unul de altul). În cazul coordonatelor obţinute prin măsurători, implicând aplicarea metodei pătratelor minime, vor trebui cunoscute mai multe coordonate decât cele menţionate anterior. Astfel, pentru 3 puncte determinate complet (cu toate cele 3 coordonate) în cele două sisteme, se pot obţine 9 ecuaţii cu 7 necunoscute. În fotogrametrie, se utilizează de obicei (la orientarea absolută) 4 puncte situate către colţurile stereomodelului (fig. 57), cu coordonate cunoscute şi în teren, pentru care se vor putea forma 12 ecuaţii cu 7 necunoscute. Situate astfel, punctele vor asigura o bună dispunere din punct de vedere geometric (satisfăcând cele două condiţii menţionate anterior) şi în consecinţă, o bună soluţie numerică. 111

111 F' F" Fig. 57. Dispunerea punctelor pentru orientarea absolută a unui stereomodel După cum s-a menţionat la începutul paragrafului, liniarizarea implică aproximare (sunt neglijaţi termenii de ordinul II diferenţial) şi în consecinţă, soluţia se va obţine printr-un proces iterativ. Pentru ca procesul să fie convergent, va trebui ca valorile corecţiilor să fie din ce în ce mai mici, până se îndeplineşte condiţia de oprire a iteraţiilor. După cum am văzut, aceste corecţii se aplică unor valori aproximative, care vor trebui să fie suficient de apropiate de valorile reale ale parametrilor. Determinarea corectă a acestor valori aproximative depinde de aplicaţia respectivă şi nu reprezintă (în general) o problemă deosebită Transformarea afină în spaţiul tridimensional (3D) După cu s-a arătat în paragraful 2.3, transformarea afină (spre deosebire de transformarea conformă) are în vedere două tipuri de deformaţii : neortogonalitatea axelor şi scară diferită pe fiecare direcţie. Referitor la neortogonalitate, trebuie precizat că în spaţiu, aceasta apare în 3 plane : în planul,, în planul, şi în planul,. Având în vedere relaţia (79) care defineşte neortogonalitatea în planul, şi particularizând această relaţie şi pentru celelalte două plane, neortogonalitatea spaţială se poate exprima prin produsul următoarelor 3 matrice : 112

112 În ceea ce priveşte al doilea tip de deformaţii, se consideră că transformarea de scară diferă pe cele 3 direcţii. Aceasta se poate exprima prin matricea : sau, considerând, ş conţinând câte o corecţie, faţă de aceasta,matricea (157) poate fi scrisă sub forma : evidenţiind astfel că, faţă de transformarea conformă (cu un factor de scară unic, m), aici apar două corecţii : ş. Definiţie. Transformarea care conţine pe lângă cele două deformaţii menţionate (neortogonalitatea axelor sistemului arbitrar şi scară diferită pe cele 3 direcţii), o rotaţie spaţială R (definită de unghiurile,, ) şi translaţia originii sistemului arbitrar (definită de mărimile,, ) se numeşte transformare afină spaţia lă (tridimensională) şi se poate exprim a prin relaţiile : Această transformare conţine 12 parametri independenţi :,,,,,,,,,,, î. Dacă se are în vedere reprezentarea scării sub forma (158), se poate remarca faptul că transformarea afină spaţială conţine în plus faţă de parametrii transformării conforme tridimensionale,,,,,,, 5 parametri specifici deformaţiilor menţionate,,,,. De asemenea, în cazul rotaţiilor mici, matricea R se poate considera sub forma diferenţială (138).

113 Totodată, se poate observa că în forma (159), transformarea nu este liniară în raport cu 9 din cei 12 parametri, translaţiile,, intervenind liniar. Dezvoltând însă relaţiile (159) şi notân d : (160) se obţine: (161) Aceste relaţii conţin, desigur, tot 12 parametri,,,,,,,,,,,, dar sunt liniare în raport cu aceştia. Este important însă a reţine ce elemente conţin aceşti parametri (în special cele două deformaţii), pentru a şti când trebuie aplicată transformarea conformă şi când cea afină. Pe de altă parte, se observă că cele 3 relaţii (161) sunt independente (privind parametrii necunoscuţi), ceea ce se poate evidenţia în reprezentarea matriceală : 114

114 sau, Având în vedere că pentru un punct se pot scrie 3 relaţii (una pentru, una pentru şi una pentru ), pentru 4 puncte având coordonate în ambele sisteme,,,,, se pot forma 3 sisteme de câte 4 ecuaţii cu 4 necunoscute, care se rezolvă independent, Ca şi în cazul transformării conforme spaţiale 3 din cele 4 puncte trebuie să fie necoliniare şi cât mai depărtate (unul de altul). În cazul coordonatelor obţinute prin măsurători, la determinarea parametrilor se va utiliza metoda pătratelor minime şi, în consecinţă, vor trebui cunoscute coordonatele (în cele două sisteme) pentru un număr de puncte 4 (dintre care 3 trebuie să fie necoliniare şi cât mai depărtate unul de altul). 115

115 De asemenea, relaţiile (162), (163) şi (164) evidenţiază un avantaj deosebit în cazul aplicării metodei pătratelor minime şi anume, obţinerea aceleiaşi matrice a coeficienţilor sistemului de ecuaţii normale (pentru X, pentru Y şi pentru Z), diferind doar termenii liberi. În particular, dacă cele două sisteme de coordonate au aceeaşi origine, sau originile se află în puncte corespondente (de exemplu, centrele de greutate ale punctelor în cele două sisteme), numărul parametrilor se reduce la 9 (prin dispariţia translaţiilor) şi se obţine transformarea centro-afină, ale cărei formule rezultă prin particularizarea re laţiilor (161) : (165) 3.5. Transformarea tridimensională prin polinoame de ordinul II Vom prezenta aici 3 cazuri specifice de astfel de polinoame utilizate în fotogrametrie şi anume, la compensarea benzilor de aerotriangulaţie. Forma acestor polinoame a fost determinată, având în vedere tipul erorilor care se cumulează la formarea benzilor de aerotriangulaţie, adică la conexiunea fotogramelor (mai precis a stereomodelelor obţinute cu ajutorul acestora). a. Transformarea simultană a celor 3 coordonate Relaţiile utilizate în acest caz sunt de forma : (166) sau, sub formă matriceală, 116

116 (167) Aceste relaţii conţin 11 parametri independenţi şi, având în vedere că pentru un punct se pot scrie 3 relaţii, pentru determinarea parametrilor prin metoda pătratelor minime vor trebui cunoscute coordonatele (în cele două sisteme) pentru un număr de 4 puncte. Aceste puncte vor trebui să fie situate câte două la capetele benzii şi, în cazul benzilor lungi, încă două la mijlocul benzii, ca dispunere minimală (fig.58). R1 R3 R5 R2 R4 R6 Fig.58. Dispunerea punctelor de reper, la o bandă de aerotriangulaţie b. Transformarea separată a coordonatelor planimetrice şi altimetrice În acest caz, relaţiile utilizate vor avea forma : 2 2 (168) pentru transformarea planimetrică şi respectiv, pentru transformarea altimetrică. (169) 117

117 Matriceal, aceste relaţii se pot scrie sub forma : respectiv, După cum se poate observa, pentru determinarea celor 6 parametri planimetrici vor trebui cunoscute coordonatele (în ambele sisteme) pentru 3 puncte (aplicând metoda pătratelor minime), în timp ce pentru cei 5 parametri altimetrici vor fi necesare 5 puncte. Se recomandă aceeaşi dispunere minimală a punctelor ca şi în cazul anterior (fig.58) c. Transformarea independentă a celor 3 coordonate În acest caz, transformarea se va realiza pe baza relaţiilor : sau, sub formă matriceală, (172)

118 Se poate remarca faptul că în acest caz, relaţiile pentru X,Y şi Z sunt independente (privind parametrii transformării), iar în cazul aplicării metodei pătratelor minime, matricea coeficienţilor sistemului de ecuaţii normale va fi aceeaşi pentru cele 3 coordonate, diferind doar termenii liberi. De asemenea, rezolvarea se va face separat pentru X, Y şi Z şi, având în vedere că apar câte 5 parametri în fiecare ecuaţie, vor fi necesare 5 puncte (cu coordonate în ambele sisteme) pentru a aplica metoda pătratelor minime. În ceea ce priveşte dispunerea minimală a punctelor, se recomandă cea prezentată în figura Transformarea omografică (proiectivă) între forme de ordinul III Dintre formele de ordinul III (prezentate în capitolul introductiv), cea mai reprezentativă (şi aplicativă) formă o constituie spaţiul punctat. Omografia între două spaţii Σ ş Σ se poate exprima prin relaţii ce se pot deduce (intuitiv) din formulele reprezentând omografia între două plane (96), având în vedere că în spaţiul tridimensional intervin câte 3 coordonate:,,, respectiv,,. În consecinţă, transformarea omografică între două forme spaţiale se poate exprima prin relaţiile :

119 Determinantul se numeşte determinantul omografiei. Dacă 0, omografia este proprie, iar dacă 0, omografia este improprie. Pe de altă parte, se poate remarca faptul că relaţiile (176) fiind fracţionare, se pot împărţi cu şi notând, rezult ă : De aici, se poate deduce că o transformare omografică între două forme spaţiale este definită de 15 parametri independenţi,,,,,,,,,,,,,,, pentru determinarea cărora este necesară cunoaşterea coordonatelor,, şi,,, pentru 5 perechi de puncte corespondente (având în vedere că pentru o pereche de puncte omologe se pot scrie 3 ecuaţii de forma (177). În pus, pentru ca omografia să fie proprie 0, trebuie ca 3 din cele 5 puncte să nu fie coliniare şi 4 să nu fie coplanare. O aplicaţie fotogrametrică a acestei transformări este orientarea relativă a două fotograme conjugate (având acoperire stereoscopică, de aproximativ 66%). În zona comună apare imaginea aceleiaşi porţiuni din teren, dar din perspective diferite (deoarece imaginile succesive sunt preluate de un avion în zbor). Dacă se elimină discordanţele (paralaxele) dintre perechile de raze corespondente (cel puţin 5, în poziţii corespunzătoare cerinţelor menţionate), se obţine pentru zona comună modelul stereoscopic (spaţial) pentru porţiunea respectivă din teren (evident, la o anumită scară). Se recomandă ca punctele în care se elimină paralaxele (discordanţele) să se afle în aşa-numitele poziţii caracteristice (standard). 120

120 Aceste puncte sunt în număr de 6 (fig.59), al şaselea fiind utilizat pentru control (în cazul realizării orientării relative la un aparat stereofotogrametric), sau pentru a asigura condiţia 5 în cazul realizării orientării relative pe cale numerică (prin calcul), aplicând metoda pătratelor minime. După cum se poate observa din figura 59, punctele caracteristice îndeplinesc condiţia ca 3 să nu fie coliniare. De asemenea, având în vedere că exploatarea fotogrametrică (incluzând orientarea relativă) se realizează în cazul terenurilor accidentate, va fi îndeplinită şi condiţia ca 4 dintre aceste puncte să nu fie coplanare. O" Fig.59. Orientarea relativă a fotogramelor conjugate 3.7. Transformarea prin inversiune în spaţiu Consideraţii generale După cum s-a arătat anterior, transformarea prin inversiune este o omografie particulară, având aplicaţii în fotogrametrie şi în cartografie. 121

121 să De asemenea, trebuie precizat faptul că definiţia inversiunii prezentată în paragraful 2.6.1, cu cele două condiţii: punctele,, P P fie coliniare şi produsul P (să fie constant) este valabilă şi în cazul inversiunii în spaţiu. Pe de altă parte, proprietăţile inversiunii în spaţiu se pot deduce cu uşurinţă din proprietăţile inversiunii în plan prin analogie, fără a prezenta (în toate cazurile) alte demonstraţii Figura inversă a unui plan Se va face aici analogie cu figura inversă a unei drepte. a. Dacă planul trece prin pol, figura inversă este chiar planul dat (fig.60). Astfel, considerând două drepte ce trec prin pol, care au ca inverse (conform paragrafului a.), dreptele date şi având în vedere că un plan este determinat de două drepte, rezultă că figura inversă a planului ce trece prin pol este chiar acel plan. O Fig.60. Figura inversă a unui plan ce trece prin pol b. Dacă planul nu trece prin pol, figura inversă va fi o sferă care trece prin pol şi al cărei diametru ce trece prin pol este perpendicular pe planul dat. Reprezentarea (în secţiune plană) a acestui caz se poate urmări în figura

122 Figura inversă a unei sfere a. Dacă sfera trece prin pol, figura inversă va fi un plan care nu trece prin pol şi este perpendicular pe diametrul sferei ce trece prin pol. Situaţia este similară celei prezentate în figura 42. b. O sferă şi un plan pot fi considerate ca figuri inverse, luând ca centru de inversiune una din extremităţile diametrului perpendicular pe plan (O sau PP P) şi ca modul OP OPP P, respectiv PP PO PP PP (fig. 42). c. Figura inversă a unei sfere care nu trece prin pol este o sferă omotetică cu aceasta, faţă de pol. Situaţia este similară celei prezentate la paragraful c şi care este ilustrată în figura 46. d. Două sfere oarecare pot fi considerate ca figuri inverse, în raport cu fiecare din centrele lor de omotetie. Reprezentare în secţiune plană prin centrele celor două sfere se poate urmări în figura 47. De asemenea, sunt valabile observaţiile privind cazul în care sferele sunt tangente (ca şi cercurile) pe linia centrelor şi când sferele au raze egale Aplicaţii ale inversiunii în spaţiu: proiecţia stereografică Trebuie precizat mai întâi că ne vom referi aici la o singură aplicaţie a inversiunii în spaţiu şi anume la proiecţia stereografică, utilizată în cartografie. După cum se ştie, cea mai simplă reprezentare a Pământului este sub formă de sferă. Pentru a transpune punctele de pe sferă pe un plan, adică pentru întocmirea unei hărţi, trebuie stabilite unele reguli, care stau la baza diferitelor proiecţii cartografice. După cum am menţionat, aici vom prezenta principiul proiecţiei stereografice. Definiţie. Fie o sferă Σ cu centrul, un punct oarecare al ei, P P diametrul ce trece prin şi planul perpendicular pe acesta în. Se numeşte proiecţie stereografică a unui punct de pe sferă, urma a dreptei pe planul (fig. 61). Punctul P se numeşte punct de vedere, iar planul, tablou. 123

123 (fig.62). Fig.61. Elementele proiecţiei stereografice Trebuie precizat (încă odată), pentru a evita orice confuzie, că punctul de vedere P este un punct oarecare de pe sferă, iar reprezentarea lui în poziţia din figura 61 nu influenţează generalitatea abordării. Teoremă. Proiecţia stereografică a unei figuri trasată pe sferă este inversa acestei figuri, luând ca pol punctul de vedere P şi ca modul 2R 2. Prima condiţie a inversiunii şi anume ca punctele,, să fie coliniare este îndeplinită prin definiţie (adică, prin modul î n care a fost definit punctul m). Pentru a demonstra că produsul (este constant), se va considera cercul mare ce trece prin,, P P 124

124 P' R M O m R P Fig.62. Detaliu privind proiecţia stereografică Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice P P şi se poate deduce: adică, 2 2 şi prin urmare, s-a demonstrat şi faptul că valoarea constantei K (reprezentând modulul inversiunii ) este 2 Trebuie remarcat însă că, deoarece punctele situate pe sferă sub planul au proiecţiile stereografice în afara cercului, (fig.61) şi deci, figura obţinută pe planul ar fi prea deformată, utilizarea proiecţiei stereografice în cartografie este limitată la zone restrânse. 125

125 3.8. Coordonate omogene în spaţiul tridimensional (3D) Fie sistemul ortogonal de coordonate carteziene spaţiale (fig.63). Punctul având abscisa, ordonata şi cota în acest sistem, va avea 4 coordonate omogene,,,, astfel încât,, 178 Ca şi în cazul dreptei şi al planului, coordonatele omogene spaţiale au 3 proprietăţi : 1. nu pot fi toate nule simultan; 2. toate sunt finite; 3. se pot înmulţi cu acelaşi factor, fără ca mărimile coordonatelor, ş să se modifice. Fig.63. Coordonate carteziene spaţiale Dacă punctul P este situat la distanţă finită, x,y şi z au valori finite. Să presupunem acum că punctul P tinde la infinit. Coordonatele carteziene nu ne pot preciza pe ce direcţie (,,, sau o direcţie oarecare), deoarece în geometria clasică nu se poate opera cu cantităţi infinite. Acest lucru este însă posibil, utilizând coordonate omogene. Prin urmare, coordonatele omogene prezintă avantajul de a putea opera cu cantităţi infinite. 126

126 În cazul coordonatelor omogene, 0 reprezintă punctele din planul, 0 reprezintă punctele din planul, 0 reprezintă punctele din planul, iar 0 reprezintă punctele din planul de la infinit. Figura fundamentală în spaţiul tridimensional este un tetraedru cu 3 feţe la distanţă finită şi una la infinit (figurată punctat în fig.64) Fig.64. Tetraedrul fundamental al spaţiului tridimensional De asemenea, acest tetraedru are 3 muchii la distanţă finită şi 3 la infinit, precum şi un vârf la distanţă finită () şi 3 la infinit, ş. 127