INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.2. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE 2 ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x 4 x 16 y 4 x x 4 Condiţiile radica

Transcriere

1 INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI III.5.. PROBLEME RECAPITULATIVE PROPUSE SPRE REZOLVARE ALGEBRĂ 1. x 16 y 8y x 16 x x 16 x x Condiţiile radicalilor: x 16 ecuaţia devine: 16 x 0 16 y y0; 8 S x y min. Se ridică ecuaţia la pătrat de două ori consecutiv şi se obţine: x 1, soluţie convenabilă a ecuaţiei. n n n n n n ,pentru n 0, n n , pentru n. Aplicând formulele radicalilor compuşi, obţinem: , E 16 N, E pătrat perfect. a b ab 1 5. Se ştie că ab, a,b R. Vom folosi această inegalitate pentru a b fiecare membru din partea stângă a inecuaţiei: x x 008 x 009 3x 010, 0 x 1 x 1 x x x x 008 x 009 3x 010 y 0 x y 0 7. z 5 0 y z 0 0 z x 3 0 z x 3 0 x y 3z 13 1 y 0 3 6x 3y 6 0 z y z 5 0 x y 3z 13 z x 3 0 z 8x 1 0 Din relaţiile (1) şi () x y 3z Prin desfacerea parantezelor şi gruparea termenilor asemenea, obţinem: 0 ab ac bc a b c 1 a b b c c a adevărat a,b,c. 0 1,

2 GEOMETRIE 9. Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu m B ^ 90. Trasăm medianele AN, BD, CI. Notăm AC = b, BC = a, AB = c. k BD CI AN (1) Aplicăm teorema lui Pitagora în CBI, ABN, ABC : c CI BI BC CI a a AN AB BN AN c b a c Înlocuim în relaţia (1) cele obţinute: b c a b c a k a c k a b b b 5 b k b k k 5 c 10. Folosind proprietatea medianei din aproape în aproape, ca de exemplu, A ABC A A'BC 16cm, obţinem A A'B'C' 7 AABC 11cm. 11. Vom folosi în rezolvare desenul de la problema 9. AB 3 3 tgc AB 3 BC AB BC BC 3 AB BC AC 15 BC BC 15 5 BC AB 9cm PABC AB BC AC cm AB 9 3 BC 1 AB 9 3 sinc ; cosc ; tgc ; AC 15 5 AC 15 5 BC 1 15 BC 1cm ctgc 1 tgc. 3

3 1. Vom folosi în rezolvare desenul de la problema 9. Presupunem BD AC, BD = h. a c h b a c Se ştie că: h. 1 1 a c b a c b a c 13. Utilizând inegalităţile existenţei unui triunghi, observăm că există un astfel de triunghi. a b c a b c a ab b c a b c a c b a ac c b a c b a c b b c a b bc c a b c a b c a a b c bc a a b c 1. 1 h; h 1, iar a b c b c b c b c bc. Pentru b c b b adevărat. bc a, prin înlocuiri 15. ABCD paralelogram AO OC BE AO BE AC ABCD paralelogram AD BC AE BC ABCE trapez. ABCE trapez ABCE trapez isoscel AC BE ^ maef meaf ^ a) Aplicăm teorema catetei: AC BC CD AC : AB BC BD AB CD AB BD AC. CD BD b) Din relaţiile anterioare, rezultă: AC AB AC CD AC BD AB CD AC AB BC BC BC AB AC AB AB AC BD AC AB BC CD BC BD BC AD BC BC AB AC BC AB AC BC AB AB AC AC BC c) AB AB AC AC AB AC 0 AB AC AB AB AC AC 0. 3

4 III.6. TESTE DE EVALUARE INIŢIALĂ, SEMESTRIALĂ, FINALĂ MODEL DE TEST DE EVALUARE INIŢIALĂ PENTRU CLASA A VII-A Barem de corectare Partea I: Nr. item Rezultate A. B. D. C. A. C. B. A. D. Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p Partea a II-a: a b a k 1. k, rezultă expresia devine: 3 b 3k 3a ab b 3 k k 3k 9k 36k a 3ab b k 3 k 3k 9k 35k puncte puncte puncte puncte puncte. x Cazul I Cazul II Cazul III Cazul IV. 1 1 AC BC 3. Din DB AB AC BD AE AB Din triunghiurile ACE şi ADB, rezultă: AB AE AC BD LUL ACE ADB ^ ^ DBA ECA AD CE AD FM ^ ^. DAE AEF alterne interne. AC secanta AD FM ^ ^ BAD AFE corespondente. BF secanta ^ ^ DAE AEF ^ ^ ^ ^ BAD AFE AEF AFE AFE isoscel. ^ ^ BAD DAE

5 MODELE DE TESTE SEMESTRIALE PENTRU CLASA A VII-A MODEL DE TEZĂ SEMESTRUL I Barem de corectare Partea I: Nr. item Rezultate 7 3 3cm Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p Partea a II-a: a 1. a b b 5 5 b 5 7 c b c 7 5 a 7 b : b c puncte abc abc abc abc abc n n1. abc n puncte n n 1 abc n n n1 1 n n 1 puncte abc 1 n puncte n abc n 7;8;9 abc 18; 56; 51 puncte 3. a) În ADB BD 6cm puncte 1 punct puncte A ABD A ABD A BCD 18 AABCD AABD 36 3 cm 3 cm 3 cm puncte puncte ^ ^ mobc mmao 150 b) În AMO şi BCO MA BC ^ ^ maom mboc BCO MO CO AMO LUL 5

6 MODEL DE TEZĂ SEMESTRUL II Barem de corectare Partea I: Nr. item Rezultate xy Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p Partea a II-a: xy x y xy x y 10 puncte 1 punct puncte 3 puncte puncte x y 1. xy x xy y 0 x xy y y 0,, y 0 x xy y 0. x 0 6 x x x 6 x / x 0 pentru x ;6 x 5 Z 6 x 3. Construim C' simac [AB este mediană pentru CC' BC BC' BCC ' este isoscel. ^ [BA este bisectoarea CBC ' ^ ^ mcba mabc 15 ^ mcbc' 30 ;notezcd a BC a BD Trasăm CD C'B CDB dreptunghic cos30 BD a 3 a C'D a a 3. În CDC' dreptunghic, CC' C' D CD CC' a 3 AC AC' a 3. sin15 sin15 AC BC 6 a a

7 MODEL DE TEST DE EVALUARE FINALĂ PENTRU CLASA A VII-A Barem de corectare Partea I: Nr. item Rezultate C. A. B. D. B. B. A. C. B. Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p Partea a II-a: 3 puncte a b a b a b 0 3 puncte a b 0 a b 10 b) a b a 7 3 puncte a 1 a b 10 b 3 3 puncte a b 7 3 m a 5 3 puncte m g a b puncte puncte puncte 1 punct puncte puncte puncte 1 punct puncte puncte puncte puncte puncte puncte 1. a) (3 ) (3 9 8 ). E (3 ) a) m DAM ^ 30, m ADM ^ 90 m AMD ^ 60. AM mediană în ABC dreptunghic, BC ABM echilateral AB, ^ ^ deci macb 30,mABC 60. b) AM = 6cm BC =1 cm AB = 6 cm Aplicăm teorema lui Pitagora în AC 6 3 cm P ABC AB BC CA AB AC c) A ABC A ABC 18 3 cm A ABC 31cm ABC AC BC AB cm 7

8 IV.3. JOCURI ŞI REBUSURI Jocul 1. Ceasul matematic Ora Expresia matematică Ora 1: a b 1 a b a b Ora : x x Ora 3: 1 : 3 3 0, 3 Ora : 1 3 Ora 5: Ora 6: Ora 7: Ora 8: Ora 9: Ora 10: ! Ora 11: 10 10! Ora 1: Jocul. Potriveşte corespunzător Dicţionar matematic englez-român circle cerc divided divizibil sum sumă product produs even numbers numere pare intersection intersecţie percent procent empty set mulţime vidă union reuniune set mulţime equal egal hypotenuse ipotenuză remainder rest equation ecuaţie arithmetic average medie aritmetică altitude of a triangle înălţime în triunghi fraction fracţie acute angle Unghi ascuţit geometric average Medie geometrică module modul decimal fraction fracţie zecimală Pythagorean Teorema lui Pitagora Theorem rectangle dreptunghi denominator numitor radical, square root radical, rădăcină pătrată odd numbers numere impare isosceles triangle triunghi isoscel inequality inegalitate area arie numerator numărător square pătrat Jocul 3. Învăţaţi noţiuni matematice prin joc De exemplu, 8 51 dreptunghic 8 1;53 Într-un dreptunghic are loc: a = b + c şi h = (b c) : a

9 Rebus 1. A 1. R Ă D Ă C I N A. P Ă T R A T 3. I N T R O D U C E R E A. R A Ţ I O N A L I Z A R E 5. C O M P U Ş I 6. A L G O R I T M 7. I R A Ţ I O N A L B Rebus. A 1. D R E P T U N G H I C. I P O T E N U Z A 3. C A T E T E. P I T A G O R E I C E 5. U N G H I 6. C O S I N U S 7. R E C I P R O C A 8. T A N G E N T Ă B Rebus 3. A 1. E C H I V A L E N T E. N E C U N O S C U T Ă 3. M U L Ţ I M E A. P A R A M E T R U 5. S O L U Ţ I E 6. L I B E R 7 C O E F I C I E N Ţ I B Rebus. A 1. C A Z U R I. T H A L E S 3. S E C A N T Ă. F U N D A M E N T A L Ă 5. D O U Ă 6. C O R E S P O N D E N T E 7. R A P O R T U L 8. P R O P O R Ţ I O N A L E 9. R E C I P R O C A B 9

10 BIBLIOGRAFIE 1. Ana - Nicoleta Avramescu, Metodica rezolvării problemelor de coliniaritate şi concurenţă, ppt;. Ioan Balica, Marius Perianu, Dumitru Săvulescu, Matematică pentru clasa a VII-a, Clubul matematicienilor, I, 011; 3. Ioan Balica, Marius Perianu, Dumitru Săvulescu, Matematică pentru clasa a VII-a, Clubul matematicienilor, II, 01;. D. Brînzei, E. Onofraş, S. Anita, Gh. Isvoranu, Bazele raţionamentului geometric, Editura Academiei, Bucureşti, 1983; 5. Ioana Dziţac, Trepte matematice clasa a VI-a, ISBN , Editura Perfect, Bucureşti, 011; 6. Ioana Dziţac, Trepte matematice clasa a V-a, ISBN , Editura Focusprint, Oradea, 010; 7. Andrei Octavian Dobre (coordonator), Culegere online, Evaluare naţională la matematică , Ploieşti 010, ISBN: ; 8. I. Drăghicescu, V. Masgras, Probleme de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1987; 9. Grigore Gheba, Carmina Gheba Cîrnu, Editura Icar, Exerciţii şi probleme de matematică, Bucureşti, 1991; 10. Mariana Grasu, Stela Şerban, Probleme de coliniaritate şi concurenţă în planul euclidian; 11. Ana Poştaru, Centrul de excelenţă Timişoara al elevilor capabili de performanţă, fişă pentru clasa a VII-a, Coliniaritate şi concurenţă, ; 1. I. Petrica, C. Ştefan, St. Alexe, Probleme de matematică pentru gimnaziu, Editura Petrion, Bucureşti, 1998; 13. Dana Radu, Eugen Radu, Matematică pentru clasa a VII-a, Editura Teora, 009; 1. Eugen Rusu, Problematizare şi probleme în matematica şcolară, Editura Didactică şi Pedagogică, 1978; 15. Evaluări Naţionale în matematică: Concursul Naţional de Matematică Lumina Math: Concursul de matematică Gordius: Concursul de matematică Sclipirea minţii, Grigore C. Moisil, Olimpiada Naţională de matematică etapele locală, judeţeană şi naţională, alte concursuri: Reviste de matematică: Gazeta Matematică, Revista de matematică Alpha; COLINIARITATE-%C5%9EI-CONCUREN%C5%A%C% Observaţii suplimentare: Realizarea cărţii s-a făcut în Microsof Word 003; Desenele s-au realizat în Paint, Visio, GeoGebra Dynamic Mathematic for Everyone, Adobe Photoshop; Graficele s-au trasat în Microsoft Excel, iar programele s-au realizat în programul C++; O parte dintre poze sunt realizate de către subsemnata, iar cealaltă parte au fost luate de pe igoogle Imagini şi Office.com, iar pentru colaje s-a folosit pizap.com. 30

11 31

12 3