joined_document_27.pdf

Transcriere

1 INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a V - a FEBRUARIE 014 a). Pe un stadion intră la un meci un număr de persoane după următoarea regulă: în primul minut de la deschiderea stadionului, intră o persoană, în al doilea minut intră dublul numărului de personae din primul minut plus încă o persoană, regula se menţine, adică în minutul k+1 intră dublul numărului de persoane din minutul k plus încă o persoană, k. Câte personae au intrat după şapte minute? b). Se dă şirul 1,3,7,15,31,63,.. Arătaţi că dacă n este termenul de pe locul 01 al şirului atunci numărul n+1 este cub perfect. I a) Împărţind numărul natural a la numărul natural b se obţine câtul 14 şi restul 18. Dacă diferenţa dintre numerele a şi a-3b este egală cu 135, arătaţi că numărul a este pătrat perfect. Gazeta matematica b) Câte numere de trei cifre împărţite la un număr natural b dau câtul 14 şi restul 18.. Calculaţi suma lor. II Numărul natural are suma cifrelor egale cu 7. Arătaţi ca numărul + se divide cu 97. Gazeta matematica V a) Scrieţi numărul ca o sumă de două pătrate perfecte nenule. b) Arătaţi că numărul poate fi scris ca o sumă de două pătrate perfecte. c) Dacă x,y,t sunt numere naturale nenule cu proprietatea + = atunci arătaţi că oricare ar fi k există a şi b numere naturale nenule, astfel încât = +.

2 BAREM CLASA A V-A a) In primul minut o persoana In al doilea minut 1+1=3 persoane In al treilea minut 3+1=7 persoane In al patrulea minut 7+1=15 persoane In al cincilea minut 15+1=31 persoane In al saselea minut 31+1=63 persoane In al saptelea minut 63+1=17 persoane Dupa sapte minute intra =47 persoane puncte unct b) =1 = 1+1=3 = (+1)+1= ++1 = ( ++1)+1= ++1 unct. = =n } puncte Deci n= => n+1= n+1= = = cub perfect } 1 punct I a=b a-3b=b a-(a-3b)=b (b 11+18) =3b=135 => b=45 } 1 punct a=b = = 648 = } 1 punct a= = =p.p } 1 punct

3 II a) a+b+c+d=7 = 1001a + 110b + 110c d (1) } punct } 1 punct si inlocuire in relatia (1) adica = 1001(a+d) + 110[7-(a+d)] = 891(a+d) } puncte 891= } 1 punct => 97 } 1 punct V a) =169=144+5= } 1 punct b) = = ( + } puncte =(1 + (5 = } 1 punct c) = = } 1 punct = = + } 1 punct = unde a= b= } 1 punct

4 INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a VI - a FEBRUARIE 014 a) Demonstrați că pentru orice k și n numere naturale. b) Determinați numărul natural nenul n pentru care I Supliment Gazeta Matematică /013 a) Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului care sunt multiplii pentru numărul. b) Arătați că numărul este număr natural pentru orice n II număr natural nenul. Supliment Gazeta Matematică 3/013 Fie punctul O mijlocul unui segment de dreaptă [AB]. Pe semidreapta (OA se consideră un punct E astfel încât. Aflați lungimea segmentului AB știind că EO = 6 cm. V Se consideră trei puncte A, B, C astfel încât. Fie D și E de o parte și de alta a dreptei AC și (BM, (BN bisectoarele unghiurilor și respectiv. Știind că semidreptele (BM și (BN sunt opuse, demonstrați că punctele D, B, E sunt coliniare.

5 Barem de corectare CLS VI a) Demonstrați că pentru orice k și n numere naturale. b) Determinați numărul natural nenul n pentru care SOLUȚIE PUNCTAJ p p p I a) Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului care sunt multiplii pentru numărul. b) Arătați că numărul este număr natural pentru orice n număr natural nenul. SOLUȚIE = : 5 = 15 = Multiplii lui15, divizori ai lui 15 sunt de forma 15 divizori ai lui 15, in numar de PUNCTAJ (11+ 1) (11+ 1) = 144 a),

6 p II Fie punctul O mijlocul unui segment de dreaptă [AB]. Pe semidreapta (OA se consideră un punct E astfel încât. Aflați lungimea segmentului AB știind că EO = 6 cm. Problema are două cazuri : CAZUL I : SOLUTIE Din Cum punctul O este mijlocul segmentului PUNCTAJ CAZUL II : SOLUȚIE Din. Cum punctul O este mijlocul segmentului PUNCTAJ

7 V Se consideră trei puncte A, B, C astfel încât. Fie D și E de o parte și de alta a dreptei AC și (BM, (BN bisectoarele unghiurilor și respectiv. Știind că semidreptele (BM și (BN sunt opuse, demonstrați că punctele D, B, E sunt coliniare. SOLUȚIE PUNCTAJ (BM bisectoarea (BN bisectoarea Punctele A, B, C coliniare rezultă că (BM și (BN semidrepte opuse deci,. Finalizare, punctele D, B, E coliniare. p

8 INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a VII - a FEBRUARIE 014 (4p) a) Calculaţi: x= æ1 ç + è ö æ -ç1+ ø è ö ; ø æ (3p)b)Calculaţi: y= ç è I ö ; ø (7p)Arătaţi că dacă numerele raţionale a şi b indeplinesc simultan condiţiile: i) a+b < 4 şi ii) ab-a -b+4 > 0, atunci a < şi b <. II (7p)Se consideră triunghiul ABC, AE bisectoarea Ð BAC, astfel incat [AE] º [EC]. Aflaţi măsura Ð ABC dacă AC=AB. V In triunghiul ABC, m(ðabc)=m(ðacb ) şi AD^BC, (DÎBC). Punctele E şi C sunt situate de o parte şi de alta a dreptei AB astfel incat BE^AE şi ÐEAB º ÐACB. Bisectoarea unghiului AED intersectează dreapta AC in M. Dacă {H} =AE Ç BC, arătaţi că: (3p)a) triunghiurile BHA si AHC sunt isoscele ; (p)b) MCDE este paralelogram ; (p)c) Perimetrul paralelogramului MCDE este egal cu al triunghiului ABC. (Gazeta matematică)

9 BAREM CLASA A VII-A a) 11= 11 1; = 11,...,1089 = (); =, - =,..., - = b) (p); = (); y= ( ) () (); y= ( ) (); y= 100 I ab- a- b+ 4 = ab ( - ) - ( b- ) = ( a- )( b- ) (p); ( a- )( b- ) > 0 Þ" a- > 0, b- > 0" sau " a- < 0, b- < 0" (p); i) a>, b> Þ a+ b> 4, imposibil (); ii) a<, b< Þ a+ b< 4 (); finalizare (). II Duc EF ^ AC (p); EAC este isoscel (); Þ [ EF] º [ FC] º [ FA] (); AC AB= Þ [ EF] º [ AB] (); ABEº AFE( ( LUL.. ) (); m( B ) = 90 (). V a) mc ( ) = x Þ mbad ( ) = 90- x si mcad ( ) = 90- x (); AHC : mahc ( ) + mhca ( ) + mcah ( ) = 180 Þ mahc ( ) =xx (); deci BHA si AHC sunt isoscele (); b) DE mediana in DAH Þ [ DE ] º [ AE ] Þ EAD isoscel, EG bisectoare ÞEG^ AD si DC^ AD ÞEG DC (); [ DE] º [ HE] Þ medb ( ) = x = mc ( ) ÞDE MC (); c) EM linie mijlocie in AHC Þ [ AM ] º [ MC] ; MCDE paralelogram Þ [ MC] º [ DE],[ ME] º [ CD] ; P ABC = AB+ BC+ AC= AB+ BD+ DC+ MC+ MA= BH+ BD+ DC+ MC+ MA= HD+ DC+ MC+ MC= DC+ MC= P DCME (p)

10 INSPECTORATUL ȘCOLAR JUDEȚEAN GORJ OLIMPIADA NAȚIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a VIII - a FEBRUARIE 014 a) Daca ab,, ABÎ, astfel incat a= A+ 1 si b= B+ 1, atunci demonstrati ca: ( A- B) + A + B - a + b -a-b- ab= b) Determinati toate perechile ( x, y ) de numere intregi nenule pentru care I x + y = x+ y+ xy a) Pentru orice yî *, demonstrati ca: y ( y 1)( y 1) y- = y y y x-a b-x b) Fie aî, bî,0 < a < b si expresia E( x) = +, xî - { ab, } b-x x-a ab a+ b ab Demonstrati ca i) E( ) > E( ) ; ii) E( ) E( ab) a+ b a+ b > II Se considera cubul respectiv [ CD ]. a) Demonstrati ca ( MNP) ABC ( ) V Prelucrare GM/013 ABCDABCD si M, N, P mijloacele segmentelor [ AB],[ BC] ; b) Daca AB= a, calculati d( PMN, ). Pe planul triunghiului ABC, cu AB= AC= a, BC= a, se ridica perpendiculara DC, astfel incat DC= a a) Calculati m [ (( DAC ),( DBC))] ; b) Daca M si E sunt mijloacele segmentelor [ BC ] respectiv [ DA ], demonstrati ca punctul M este egal departat de punctele ABC,, si E; c) Determinati tg ( ( AC, BD)).

11 BAREM CLASA A VIII-A a) Inlocuire si calcul direct (p); b) Daca ( x, y ) este o solutie a ecuatiei, atunci exista si sunt unice X, YÎ, astfel incat x= X+ 1, y= Y+ 1. Cf. a) avem echivalentele ( X - Y) + X + Y - x + y = x+ y+ xyû x + y -x-y- xy= 0Û = 0 Û ( X - Y ) + X + Y = (p); (( X -Y), X, Y ) Î {(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} (p); ( x, y) Î {(1,),(,1),(,)} () I a) y ( y-1)( y -1) + -y- =... = () y y y a b b) i) E ( + ) =... = (); () E ( ab ) = a + b a + b b a (); a b ii) E( ab) = + (); Daca 0< a< b, fie b a II seama de a), avem: a) MN AC si ( MNP) ABC ( ) AC AC ( (); b) Fie Q mijlocul [ CD ]; ab a+ b ( a-b) E( )- E( ) = > 0 a+ b ab a y=. Atunci 0< y< 1 si, tinand b 3 ab 1 1 ( y-1)( y -1) E( )- E( ab) = y + -y- = > 0 (p). a+ b y y y ACCA paralelogram) PQ CCÞPQ^ ABC ÞMN AC (); P ( ) (); CQN si MP BC (); BNM sunt dreptunghice si isoscele deci m( MNQ ) = 90 (); d( PMN, ) = PN (teorema celor a trei perpendiculare) (); QN =, a 6 PQ= aþ PN = (). V a) AC, BC^DCÞ m [ (( DAC ),( DBC ))] = m ( BCA ) (); ABC este isoscel si dreptunghic in A m( BCA ) = 45 (); b) [ AM ] este mediana in ABC, dreptunghic in A AM ^BC, AM ^DCÞAM ^ ( DBC) (); [ ] dreptunghic in M AD a DM = = (0,5p); a Þ MA= MB= MC= (0,5p); ME este mediana in DMA,

12 c) Fie P mijlocul lui [ AB ]. Se demonstreaza ca: PM AC,, PE BDÞ m ( AC, BD ) = m ( EPM ) (); a 3 a BD= a 3, PE=, PM = si, cum (); tg EPM = (). a ME= Þ MEP este dreptunghic in M