Seminar 6 1. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f (x) = e x cos 2x. Soluţie: Funcţia dată satisface condiţiile teoremei de repre

Transcriere

1 Seminar 6. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f x) e x cos x. Funcţia ată satisface coniţiile teoremei e reprezentare a unei funcţii printr-o integrală Fourier şi mai observăm că f este o funcţie pară. Atunci avem f x) π cos uxu f t) cos utt π Folosin formula trigomometrică rezultă şi obţinem integrala I cos a cos b cos t cos ut e t cos t cos utt cos uxu cos a + b) + cos a b) Trecem la calculul primei integrale şi avem I e t cos t + u) t t sin t + u) e u + }{{} cos t + u) + cos t u) e t cos t cos utt. } {{ } I e t cos t + u) t + e t cos t u) t. } {{ } } {{ } I I + t sin t + u) e t u + t cos t + u) e u + ) e t sin t + u) u + t sin t + u) e t u + u + ) u + ) I, 8 e t ) t ) cos t + u) u + ) t t cos t + u) e u + ) t

2 e une rezultă Analog se emosntrează că I I u + ) +. u ) +, cee ce implică ) I e t cos t cos utt u + ) + + u ) + şi în final obţinem f x) π. Rezolvaţi ecuaţia integrală ) u + ) + + u ) cos uxu. + g u) cos uxu h x), une h x) { x, < x, x >. une Ecuaţia poate fi scrisă sub forma echivalentă π g u) cos uxu f x), f x) π x, < x, x > şi prin urmare aflarea funcţiei g revine la eterminarea transformatei Fourier prin cosinus a funcţiei f şi avem g u) f x) cos uxx x cos uxx π π π sin ux x sin ux π u u x sin u π u sin u π u + cos u u ) u, 9 ) sin ux x x u cos ux + u )

3 eci g u) π u sin u + u cos u ) u. 3. Calculaţi transformata Fourier iscretă F n; m). Observăm că x n) n e une rezultă F n; m) F x n) ; m) X m) Pentru cazul m obţinem n n m π i n e. F n; ) n n e n n ). avem În rest pornin e la x n n n x n x n x n x x ) x n ) x x x x x x) x ) ) x) x x) x + + x x). Deoacere e it cos t i sin t rezultă e πi m) e πi m. Mai eparte vom folosi notaţia w e πi e une rezultă w m ) şi x w m. Atunci rezultă F n; m) n n w m) n w m ) w m ) w m ) w m + w m w m ) w m ) w m + w m w m ) w m ) wm w m ), m ). w m wm 3

4 4. Calculaţi transformata Fourier iscretă inversă F m; n). Observăm că X m) m şi avem x n) F Pentru cazul n obţinem X m) ; n) F m; n) m m e F m; ) m. m i n m π. În rest proceăm analog, ar pentru substituţia x w n şi avem F m; n) m x m x m x m e une rezultă în final m m m F m; n) w n w n, n ). m w n ) m 5. Găsiţi funcţiile original pentru următoarele tranformate Laplace a) X p) p 3p +, b) Y p) p p + ). a) Descompunem transformata Laplace astfel X p) şi folosin formula p 3p + p ) p ) p p L [ e at] p) p a in tabelul e transfromate Laplace, rezultă funcţia original x t) e t e t. b) Din nou escompunem funcţia ată astfel iar upă ientificare obţinem p p + ) Ap + B p + Cp + D p +, A, B, C, D, ceea ce implică că Y p) p p +. 3

5 Folosin in nou formulele L [t n ] p) n! a, L [sin at] p) pn+ p + a, in tabelul e transfromate Laplace, rezultă funcţia original y t) t sin t. 6. Rezolvaţi problema Cauchy x + x + 5x x ) x ) folosin transformata Laplace. Folosin transformata Laplace avem ceea ce implică e une rezultă L [x] p) X p), L [x ] p) px p) x ) px p), L [x ] p) p X p) p x ) x ) p X p) p, X p) şi în final obţinem p X p) p + [px p) ] + 5X p), p + p + p + 5 p + p + ) + + p + ) + p + p + ) + + p + ) + x t) e t cos t + e t sin t e t cos t + ) sin t. 7. Integraţi ecuaţia x + x x t, une x ) x ) şi x ). Deoarece ecuţia este neomogenă, vom aplica transformata Laplace atât în membrul stâng cât şi în memrul rept şi avem, L [x] p) X p), L [x ] p) p X p) p x ) x ) p X p) L [x ] p) p 3 X p) p x ) p x ) x ) p 3 X p) +, L [t] p) p, 3

6 e une rezultă X p) p p p 3 + p ) p) + p) p p ) p + p + ) p + p p + p + ) p + p + ) + şi în final obţinem x t) t + e t sin t. 33

7 Probleme propuse. Reprezentaţi printr-o integrală Fourier funcţia f : R R, f x) x e x.. Găsiţi funcţia original pentru tranformata Laplace X p) 3. Calculaţi transformata Fourier iscretă F n ; m ). 4. Rezolvaţi problema Cauchy x x 6x x ) x ) folosin transformata Laplace. 5. Integraţi ecuaţia iferenţială x + x + x + x, une x ) x ) x )., p 3 5p + 6p. 34