Cursul 6 Integrala în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problema existenţei unei primitive a lui f, adică a unei funcţi

Transcriere

1 Cursul 6 Integrl în complex Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Ne punem problem existenţei unei primitive lui f, dică unei funcţii olomorfe F : D C stfel încât F = f. În czul funcţiilor rele, orice funcţie continuă pe un intervl re primitive, ir ceste sunt dte de formul Leibniz-Newton F (u) = F (u 0 ) + u u 0 f(z)dz. Justificre cestei formule este imedită: dcă F = f, scriem că pe fiecre subintervl l unei diviziuni : u 0 = z 0 < z 1 < < z n = u re loc proximre F (z ) F (z 1 ) F (ζ )(z z 1 ) = f(ζ )(z z 1 ) şi sumăm ceste relţii. În stâng vem o sumă telescopică ir în drept o sumă Riemnn: F (u) F (u 0 ) = F (z ) F (z 1 ) f(ζ i )(z z 1 ) = σ (f, ζ). i=1 Aceste relţii sunt vlbile şi în czul funcţiilor complexe, şi urmând cestă idee m pute încerc să definim direct integrl de l l b lui f c limit sumelor σ (f, ζ), pentru ν( ) = mx z z 1 0, oricum m lege nodurile = z 0, z 1,..., z n = b în D C şi oricum m lege punctele intermedire ζ. Totuşi, cestă libertte totlă în legere punctelor z r restrânge nepermis de mult cls funcţiilor integrbile; se pote răt că nici măcr funcţi f(z) = z, de exemplu, nu r fi integrbilă. 1 Problem se rezolvă stfel: definim mi întâi integrl lui f pe o curbă C, considerând numi diviziuni, şi poi rătăm că f re primitive dcă şi numi dcă vlore cestei integrle este ceeşi pe tote curbele dintre şi b, cz în cre re loc formul Leibniz-Newton. Acestă cle este uşor de urmt, deorece integrl lui f pe o curbă se defineşte c o integrlă Riemnn-Stieltjes cre se reduce imedit l o pereche de integrle curbilinii de speci II- în R 2, ir cest tip de integrlă este dej studit. 1 Justificre: pentru ceeşi diviziune n, dcă legem întâi ζ = z,, şi poi ζ = z 1,, diferenţ sumelor Riemnn corespunzătore v fi σ n (f, ζ) σ n (f, ζ) = (z z 1 ) 2. Pentru = 0 şi b = 1, de exemplu, se pot lege chir pe x relă punctele = z 0, z 1,..., 1 z n = b stfel încât şi n z z 1 2 n,. Avem ν( n ) 0 şi σ n (f, ζ) σ n (f, ζ) 1. 1

2 1. Integrle pentru funcţii rele Amintim ici câtev noţiuni şi rezultte de clcul integrl pentru funcţii rele necesre pentru definire inegrlei complexe. Fie f : [, b ] R o funcţie dtă. Prin diviziune intervlului [, b ] vom înţelege o mulţime finită n = {t, = 0, 1,..., n} [, b ], supusă l condiţi esenţilă: = t 0 < t 1 < < t n = b. Vom not creşterile rgumentului cu t = t t 1 şi cu f(t ) = f(t ) f(t 1 ) creşterile funcţiei (chir dcă ceste din urmă pot fi negtive). Prin norm diviziunii înţelegem ν( n ) = mx t. Notăm cu τ = {τ, = 1, 2,..., n} o legere punctelor intermedire cu τ [ t 1, t ], pentru Integrl Riemnn. Fie f : [, b ] R o funcţie dtă. Dcă f este pozitivă, tunci sum Riemnn σ n (f, τ) = f(τ ) t proximeză ri cuprinsă între grficul lui f şi x orizontlă, deorece e reprezintă sum riilor fâşiilor dreptunghiulre [ t 1, t ] [ 0, f(τ ) ], determinte de o diviziune n şi o legere τ punctelor intermedire. Intuitiv, proximre este cu tât mi bună cu cât norm diviziunii este mi mică. Suntem conduşi stfel l următore definiţie: Definiţie. Funcţi f : [, b ] R este integrbilă Riemnn pe [, b ] dcă există numărul I R, nott I = f(t)dt, stfel înât: ε > 0 η > 0. î. n cu ν( n ) < η, σ n (f, τ) I < ε, τ. Dcă I = f(t)dt, se spune că sumele Riemnn u limit I când norm diviziunilor tinde l 0, independent de modul de legere punctelor intermedire. Se rtă că o funcţie este integrbilă Riemnn pe [, b, ] dcă şi numi dcă este mărginită şi continuă prope peste tot în [, b ] (criteriul lui Lebesgue). Consecinţă: orice funcţie continuă pe porţiuni, dică continuă pe [, b ] cu excepţi unui număr finit de puncte, este integrbilă. Proprietăţile integrlei Riemnn (liniritte în rport cu integrndul, ditivitte în rport cu intervlul, etc.) sunt binecunoscute şi nu le mi mintim ici. Este clr că pentru o funcţie f : [, b ] C, f(t) = u(t) + iv(t), integrl Riemnn se defineşte c limită sumelor σ n (f, τ) = f(τ ) t = u(τ ) t + i 2 v(τ ) t,

3 ir f este integrbilă Riemnn dcă şi numi dcă u şi v sunt integrbile, cz în cre f(t)dt = (u(t) + iv(t))dt = u(t)dt + i v(t)dt Integrl Riemnn-Stieltjes. O generlizre imedită integrlei Riemnn rele se obţine considerând cum două funcţii f, g : [, b ] R şi înlocuind sumele σ n (f, τ) din definiţi integrlei Riemnn din prgrful precedent cu sumele Riemnn-Stieltjes σ n (f, g, τ) = f(τ ) g(t ) = f(τ )(g(t ) g(t 1 )). Obţinem stfel definiţi integrlei Riemnn-Stieltjes, nottă I = fdg = f(t)dg(t). Acestă integrlă re multe proprietăţi semănătore integrlei Riemnn, dr şi unele specifice dtorte considerării funcţiei g. Continuitte funcţiilor f şi g nu sigură existenţ integrlei I = fdg, criteriul uzul fiind următorul: orice funcţie f continuă este integrbilă Riemnn- Stieltjes în rport cu orice funcţie g cu vriţie mărginită. Amintim că o funcţie g : [, b ] R este cu vriţie mărginită dcă există M 0 stfel încât g(t ) M, pentru orice diviziune n intervlului [, b ]. Are loc următore crcterizre: o funcţie g : [, b ] R este cu vriţie mărginită dcă şi numi dcă pote fi scrisă c diferenţ două funcţii monotone de celşi sens. Este uşor de văzut că orice funcţie g lipschitzină este cu vriţie mărginită, în prticulr funcţiile de clsă C 1, cz în cre integrl Riemnn-Stieltjes se reduce l o integrlă Riemnn obişnuită f(t)dg(t) = f(t)g (t)dt Curbe rectificbile. Orice funcţie continuă : [, b ] R 2 este lege de mişcre unui punct curent (t) = (x(t), y(t)) R 2. Două legi de mişcre, : [, b ] R 2, = 1, 2, sunt echivlente dcă punctele lor curente trec prin celeşi locuri, în ceeşi ordine şi tot de tâte ori, mi precis: dcă există o schimbre de rgument t = φ(s), s [ 2, b 2 ], t [ 1, b 1 ], bijectivă, continuă şi strict crescătore, stfel încât 1 (φ(s)) = 2 (s), pentru orice s [ 2, b 2 ]. Cls de echivlenţă unei legi de mişcre = (t) o numim curbă (orienttă) în pln, şi o vom not, de obicei, tot cu. Spunem că = (t) este o prmetrizre, su o prcurgere curbei. Uneori, când nu există pericolul confuziei, notăm tot cu şi suportul curbei, dt de triectori oricărei prmetrizări = (t) curbei, dică imgine plicţiei t (t), şi scriem 3

4 R 2. Atenţie, două curbe distincte pot ve celşi suport, de exemplu, curb dtă de prmetrizre (t) = ( t) este distinctă de curb dr re ceeşi triectorie c, prcursă însă în sens invers. Vom spune că este curb de sens opus lui. Cpetele A = () şi B = (b) nu depind de prmetrizre curbei, spunem că A este punctul de plecre ir B punctul de sosire. Eglitte () = (b) defineşte o curbă închisă. Numi continuitte prmetrizării = (t) nu sigură uni-dimensionlitte curbei. Există exemple celebre de curbe cre trec prin tote punctele unui pătrt, deci căror mulţime suport re rie nenulă, dintre ceste exemple unele vor fi prezentte într-un curs viitor: curb lui Peno, curb lui Lebesgue şi curb lui Hilbert. În încercre de înlătur stfel de comportări strnii, vom cere c = (t) să fie un homeomorfism, dică o bijecţie bicontinuă, cz în cre spunem că este o curbă simplă, o curbă fără utointersecţii. În generl, imgine în R 2 unui intervl [, b ] printr-un homeomorfism se numeşte rc Jordn. Orice rc Jordn este suportul două curbe simple, corespunzătore celor două sensuri de prcurs. Imgine homeomorfă unui cerc se numeşte curbă Jordn. Dcă pe o curbă Jordn se fixeză un punct A, există exct două curbe simple şi închise cre plecă din A şi jung tot în A, corespunzătore celor două sensuri de prcurs. Teorem lui Jordn. Orice curbă simplă şi închisă sepră plnul în două domenii şi este frontier lor comună. Acest enunţ trebuie înţeles stfel: dcă R 2 este o curbă Jordn, tunci mulţime R 2 \ este compusă din exct două componente conexe, un mărginită, numită domeniul interior l curbei şi lt nemărginită, domeniul exterior, ir este frontier fiecărui domeniu. Fie = (t) o prmetrizre unei curbe. Lungime prcursului totl l punctului curent pote fi proximtă cu sum l n () = ( x(t )) 2 + ( y(t )) 2, în cre n este o diviziune lui [, b ] cu norm suficient de mică, cestă sumă fiind eglă cu lungime liniei poligonle cu vârfurile (t ), lute în ordine de prcurs. Curb se numeşte rectificbilă dcă dmite o prcurgere continuă pentru cre sumele l n () sunt mărginite, cz în cre lungime lui, l() def = sup l n () < +. Se rtă că definiţi lui l() nu depinde prmetrizre lesă. Criteriul lui Jordn. Curb (t) = (x(t), y(t)) este rectificbilă dcă şi numi dcă funcţiile componente x = x(t) şi y = y(t) sunt cu vriţie mrginită. 4

5 Consecinţă: orice curbă netedă pe porţiuni, dică dtă de o prmetrizre continuă pe tot intervlul [, b ] şi derivbilă pe (, b) cu excepţi unui număr finit de puncte, este rectificbilă. Mi mult, în cest cz vem l() = x 2 (t) + y 2 (t)dt. Exemplu. Fie A = ( 1, 1) şi B = (1, 1). Pe segmentul AB din pln vom defini următorele prcurgeri de l A l B: 1 : [ 1, 1 ] R 2, 1 (t) = (t, t), 2 : [ 0, 1 ] R 2, 2 (t) = (t 3, t 3 ), 3 : [ π 2, 5π 2 ] R2, 3 (t) = (sin t, sin t) Este evident că prcurgerile 1 şi 2 sunt echivlente, ele definesc curb segmentul AB prcurs o singură dtă de l A l B, cărei lungime pote fi clcultă ş 1 t 2 + t 2 dt = 2 2, 1 su ş (t 3 ) 2 + (t 3 ) 2 dt = 18t4 dt = 3 t 2 dt = 2 2, în timp ce 3 este o prcurgere curbei segmentul AB prcurs în ordine A B A B, şi cre re lungime 5π 2 π 2 cos2 t + cos 2 tdt = 2 5π 2 π 2 cos t dt = 6 2. În finl, trgem tenţi că, deşi este frontier unui domeniu mărginit, o curbă Jordn pote să nu ibe lungime finită, dică să nu fie rectificbilă, mi mult, există curbe Jordn cre u rie nenulă, un exemplu celebru fiind curb lui Osgood Integrl curbilinie de speci II-. În mecnică, pentru clculre energiei necesre deplsării unui punct M sub cţiune unei forţe F, s- introdus noţiune de lucru mecnic. Atunci când M prcurge un segment M 1 M 2 sub cţiune unei forţe constnte, lucrul mecnic L este egl cu produsul sclr dintre vectorul F şi vectorul deplsre r = r 2 r 1, L = F r = F r cos α. În czul generl, când M prcurge o curbă din pln sub cţiune unui câmp de forţe vribil, lucrul mecnic totl se proximeză considerând pe curbă o succesiune finită de puncte, = {M }, cu norm ν( ) = mx M 1 M suficient de mică, şi înlocuind deplsre de pe fiecre rc cu un rectilinie pe segmentul corespunător, efectută sub cţiune unei forţe constnte F, eglă cu 5

6 vlore câmpului F într-un punct orecre de pe cel rc. Notând câmpul de forţe cu F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j, şi vectorul de poziţie l punctului M (x, y ) cu obţinem proximre L() L = r = x i + y j, F r = (P x + Q y ). Dcă deplsre lui M re lege orră r = r(t) = x(t) i + y(t) j, cu t [, b ], tunci orice diviziune n : = t 0 < t 1 < < t n = b intervlului [, b ] determină o diviziune {M (x(t ), y(t )} pe curb, ir oricărei legeri de puncte intermedire τ [ t 1, t ] îi corespunde o legere F = F (x(τ ), y(τ )) pentru câmpul de forţe. Observăm că sumele P x = P (x(τ ), y(τ )) x(t ) şi Q y = Q(x(τ ), y(τ )) y(t ) devin sume Riemnn-Stieltjes pentru integrlele P (x(t), y(t))dx(t) şi Suntem stfel conduşi spre următore Q(x(t), y(t))dy(t). Definiţie. Fie F = P i + Q j un câmp vectoril definit pe un domeniu D din R 2, cu P şi Q continue, şi fie D o curbă dtă de prmetrizre r = r(t), cu t [, b ]. Prin integrl curbilinie (de speci dou) F d r not = P (x, y)dx + Q(x, y)dy întelegem următore sumă două integrle Riemnn-Stieltjes F d r def = P (x(t), y(t))dx(t) + Q(x(t), y(t))dy(t). Pentru un câmp vectoril orecre F, cntitte F d r este numită circulţi lui F pe, şi, dcă F este o forţă, este eglă cu lucrul mecnic efectut pe. În studiul integrlei curbilinii, pentru nu mi fce referire l câmpuri vectorile, se preferă să se socieze integrl curbilinie direct unei forme diferenţile, dică unei expresii de form ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, 6

7 definind ω not = P (x, y)dx+q(x, y)dy def = P (x(t), y(t))dx(t)+ Q(x(t), y(t))dy(t). Pentru sigur existenţ integrlelor Riemnn-Stieltjes implicte, cerinţ minimă pentru curb este să fie rectificbilă ir form ω să fie de clsă C 0 pe D, ltfel spus, componentele P şi Q să fie continue. Se rtă că vlore integrlei nu depinde de prmetrizre curbei, ir pentru o prmetrizre de clsă C 1 clcul ei se reduce l integrl Riemnn: P (x, y)dx + Q(x, y)dy = [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)]dt. Alte proprietăţi: integrl curbilinie de speci dou este ditivă în rport cu juxtpunere curbelor: ω = 1 2 ω + 1 ω, 2 îşi schimbă semnul l schimbre sensului de prcurs ω = ω, şi este liniră în rport cu integrndul: α 1 ω 1 + α 2 ω 2 = α 1 ω 1 + α 2 ω 2, α 1,2 R. Din mecnică, se ştie că lucrul mecnic efectut de forţ de greutte, de exemplu, nu depinde de drum, dică este celşi pentru tote curbele cre unesc două puncte dte. În cest cz, spunem că lucrul mecnic este dt de o integrlă independentă de drum. Deorece integrl îşi schimbă semnul l schimbre sensului de prcurgere curbei, este clr că e v fi independentă de drum dcă şi numi dcă ω = 0, pentru orice curbă rectificbilă închisă D. Tot din mecnică se ştie că cestă propriette o u tote câmpurile de forţe F conservtive, dică pentru cre există un câmp sclr U, numit potenţilul forţei, stfel încât F = grd U def = U x i + U y j. Într-devăr, în cest cz P = U U şi Q =, şi vem x y U L() = F d r = x x (t) + U y y (t)dt = 7

8 d = U(x(t), y(t))dt = U(x(b), y(b)) U(x(), y()). dt În limbjul formelor diferenţile, czul conservtiv de mi sus corespunde czului când ω este o formă diferenţilă exctă, dică tunci când dmite o primitivă Ω = Ω(x, y), de clsă C 1, stfel încât cz în cre ω = ω = dω not = Ω Ω dx + x y dy, dω = Ω(x(b), y(b)) Ω(x(), y()). Reciproc, dcă pentru o formă ω = P dx+qdy integrl nu depinde de drum, tunci pentru orice pereche de puncte (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) D se pote not cu (x1,y 1 ) (x 0,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy vlore comună integrlei pe curbele cre plecă din (x 0, y 0 ) şi jung în (x 1, y 1 ), şi se pote răt destul de uşor că, pentru orice (x 0, y 0 ) D fixt, funcţi Ω(x, y) = (x,y) (x 0,y 0 ) P ( x, ỹ)d x + Q( x, ỹ)dỹ este o primitivă formei P dx + Qdy definită pe o vecinătte lui (x 0, y 0 ). Pentru găsi un criteriu cre să sigure că form P dx + Qdy este exctă, să observăm că în czul în cre Ω este o primitivă de clsă C 2, vem P y = Ω y x = Ω x y = Q x deorece în cest cz derivtele mixte comută. Acestă condiţie crcterizeză independenţ de drum integrlei curbilinii de speci dou în czul în cre D este un domeniu simplu conex, dică un deschis conex D cu propriette că oricre două curbe vând celeşi cpete se pot obţine un din lt printr-o deformre continuă în D. Mi precis, re loc următorul rezultt: Teoremă. Fie D R 2 un domeniu simplu conex şi P, Q : D R două funcţii de clsă C 1. Atunci, form diferenţilă P (x, y)dx + Q(x, y)dy este exctă dcă şi numi dcă P y Q (x, y) = (x, y) x pentru orice (x, y) D. În concluzie, în czul domeniilor simplu conexe, integrl unei formei diferenţile ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy de clsă C 1 este independentă de drum dcă şi numi dcă P y = Q x. 8

9 2. Integrle pentru funcţii complexe Peste tot în cele ce urmeză, vom consider că f = u + iv : D C este o funcţie continuă definită pe domeniul D C, ir D o curbă rectificbilă Integrl sclră. Amintim că în C m definit produsul sclr două numere complexe z 1 = x 1 + iy 1 şi z 2 = x 2 + iy 2 prin z 1 z 2 def = Re z 1 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 = 1 2 ( z 1 z 2 + z 1 z 2 ) = z 1 z 2 cos θ, unde θ = rg z 2 rg z 1, şi el corespunde produsului sclr dintre vectorii de poziţie i punctelor z 1,2 din pln. Interpretând funcţi complexă f = u + iv c un câmp de forţe în pln, lucrul mecnic efectut de f pe curb de ecuţie z(t) = x(t) + iy(t) se clculeză, după cum ştim, cu integrl curbilinie de speci dou L() = udx + vdy, cre este limit sumelor Riemnn-Stieltjes f(z(τ )) z(t ) = u(x(τ ), y(τ )) x(t ) + v(x(τ ), y(τ )) y(t ), socite diviziunilor n : = t 0 < t 1 < < t n = b şi punctelor intermedire (τ ). Suntem conduşi spre următore noţiune: Definiţie. Numărul rel I, dt de integrl curbilinie de speci dou I = udx + vdy, se numeşte integrl sclră funcţiei complexe f = u + iv pe curb, şi se noteză cu f dz not. = I. Proprietăţile integrlei sclre le unei funcţii complexe sunt exct cele le integrlei curbilinii de speci dou, dintre cre remintim: pentru orice funcţie continuăf şi orice curbă rectificbilă, integrl sclră f dz există, ir dcă = z(t) = x(t) + iy(t), t [, b ], este de clsă C 1, tunci f dz = (ux + vy )dt. Acestă eglitte justifică următorul clcul forml: şi, prin urmre z z(t) = x(t) + iy(t) dz = dx + idy = x dt + iy dt f dz = (u + iv) (dx + idy) = 9 (ux + vy )dt.

10 Mi mult, cu cestă definiţie lui dz, produsul sclr f dz devine chir form diferenţilă f dz = u dx + v dy. Integrl f dz este independentă de drum dcă şi numi dcă f dz = 0 pentru orice curbă închisă D. O ltă crcterizre: integrl f dz este independentă de drum dcă şi numi dcă form diferenţilă f dz dmite primitive, dică există Ω de clsă C 1 stfel încât d Ω = Ω Ω dx + dy = u dx + v dy = f dz. x y În czul domeniilor simplu conexe, dcă u şi v sunt de clsă C 1, integrl sclră f dz = u dx + v dy este independentă de drum dcă şi numi dcă u y = v x Integrl complexă. Vom defini cum integrl complexă funcţiei f = u + iv pe curb de ecuţie z = z(t), t [, b ], înlocuind produsul sclr din sum Riemnn-Stieltjes f(z(τ )) z(t ) cre pre în definiţi integrlei sclre, cu produsul două numere complexe: f(z(τ )) z(t ) = (u x v y ) + i (v x + u y ), unde m nott cu u = u(x(τ ), y(τ )), x = x(t ) = x(t ) x(t 1 ) şi nlog pentru v şi y. Definiţie. Numărul complex I + ij, dt de integrlele curbilinii de speci dou I = u dx v dy şi J = v dx + u dy, se numeşte integrl funcţiei complexe f = u + iv pe curb, şi se noteză cu f dz not. = I + ij. Să observăm că cele două integrle curbilinii rele, I şi J, din definiţi mi sus, pot fi scrise c integrle sclre pentru funcţiile f = u iv şi i f = v + iu: I = f dz = u dx v dy şi J = i f dz = v dx + u dy, stfel că vem eglitte: 10

11 fdz = f dz + i i f dz cre reduce integrl complexă l două integrle sclre. Exemplu. Fie (t) = cos t + i sin t, t [ 0, 2π ] cercul unitte. Clculăm direct cu definiţi: ( ) 1 x z dz = x 2 + y + i y dz 2 x 2 + y 2 x dx + y dy y dx + x dy = + i = x 2 + y 2 x 2 + y 2 2π 0 cos t sin t + sin t cos t cos 2 t + sin 2 t dt + i 2π 0 sin 2 t + cos 2 t cos 2 t + sin 2 dt = 2πi. t Să observăm că, în czul unei curbe netede (t) = x(t) + iy(t), t [, b ], cu x şi y de clsă C 1, din proprietăţile integrlei Riemnn-Stieljes rezultă eglitte f(z)dz = (ux vy )dt + i (vx + uy )dt cre pote fi regăsită prin următorul clcul forml: de unde z z(t) = x(t) + iy(t) dz = dx + idy = (x + iy )dt fdz = (u + iv)(dx + idy) = [(ux vy ) + i(vx + uy )]dt. Exemplu. Clculăm din nou integrl funcţiei f(z) = 1 pe cercul unitte, z (t) = cos t + i sin t = e it, t [ 0, 2π ], folosind cum: z = e it dz = ie it dt. Avem: 1 2π z dz = ie it dt = 2πi. 0 eit Fie f : D C o funcţie continuă, f = u + iv. Studiem cum existenţ unei primitive funcţiei f = u + iv, dică unei funcţii olomorfe F = U + iv stfel încât F = f. Conform condiţiilor Cuchy-Riemnn scrise sub formă mtricelă, F = f dcă şi numi dcă ( U U ) dică şi x V x y V y ( u v = v u ), du = U U dx + x y dy = u dx v dy = f dz, dv = V x dx + V y dy = v dx + u dy = i f dz. 11

12 Obţinem că f dmite primitive dcă şi numi dcă formele diferenţile f dz şi i f dz sunt excte, deci dcă şi numi dcă integrl complexă f(z) dz este independentă de drum. Sintetizăm ceste rezultte stfel: Teoremă. Fie f : D C o funcţie continuă pe domeniul D C. Dcă f dmite primitiv F, tunci pentru orice curbă D, f(z) dz = F ((b)) F (()). În prticulr, dcă este o curbă închisă, f(z)dz = 0. Reciproc, dcă f(z) dz = 0 pentru orice curbă închisă D, tunci f dmite primitive. Mi mult, în cest cz, integrl f(z)dz este independentă de drum şi, pentru orice z 0 D fixt, F (z) = z z 0 f(w) dw este unic primitivă lui f pentru cre F (z 0 ) = 0. Exemplu. Aplicând regulile de derivre, vedem că f(z) = z 2 re c primitivă funcţi F (z) = z3 definită pe C, ir f(z) = 3 z 2 re c primitivă F (z) = z 1, 1 definită pe C \ {0}. Dcă pe un domeniu D există o determinre logritmului, F (z) = ln z, tunci cest este o primitivă funcţiei f(z) = 1 şi, prin urmre, z 1 dz = 0, z pentru orice curbă închisă din D. Deorece 1 dz = 2πi 0, z z =1 rezultă că nu există nici o determinre logritmului definită pe tot domeniul D = C \ {0}. Teorem fundmentlă lui Cuchy. Fie D C un domeniu simplu conex şi f : D C o funcţie olomorfă cu f continuă pe D. Atunci, pe orice curbă rectificbilă şi închisă D, f(z) dz = 0. Demonstrţie. Este suficient să rătăm că, în ipotezele teoremei, cele două integrlele sclre din eglitte fdz = f dz + i i f dz, 12

13 sunt independente de drum. Domeniul D fiind simplu conex, prim integrlă este independentă de drum dcă u y = ( v) x, ir dou dcă v y = u x, dică exct condiţiile Cuchy-Riemnn stisfăcute de funcţi olomorfă f = u+iv. 13